1


2

Mục lục
Trang
Mở đầu................................................................................................................................
Chơng 1: Một số vấn đề về cơ sở lý luận...........................................................................
1.1. Tính hệ thống................................................................................................................
1.1.1. Khái niệm về tính hệ thống........................................................................................
1.1.2. ích lợi của việc nghiên cứu tính hệ thống...................................................................
1.1.3.Tính hệ thống trong hoạt động dạy Toán.....................................................................
1.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.......................................................................
1.2.1. Những khái niệm cơ bản...........................................................................................
1.2.2. Bản chất và các thành tố đặc trng của phơng pháp dạy học
PH và GQVĐ.....................................................................................................................
1.2.3. Những hình thức của dạy học PH và GQVĐ............................................................
1.2.4. Cách tiếp cận PH và GQVĐ trong tiến trình dạy Toán.............................................
1.2.5. Vai trò của tính hệ thống đối với việc PH và GQVĐ...............................................
1.3. Các cơ sở khoa học của tính hệ thống trong dạy học Toán ở trờng THPT nhằm
nâng cao chất lợng PH và GQVĐ......................................................................................
1.3.1. Cơ sở thực tiễn..........................................................................................................
1.3.2. Cơ sở triết học..........................................................................................................
1.3.3. Dựa trên các quan điểm đổi mới phơng pháp dạy học.............................................
1.3.4. Cơ sở Tâm lý Giáo dục học.................................................................................
1.4. Vài nét về thực trạng vận dụng tính hệ thống trong dạy học Toán ở trờng THPT
............................................................................................................................................
1.4.1.Khảo sát thực trạng vận dụng tính hệ thống trong dạy học Toán..............................
30
32

1.5. Kết luận Chơng 1........................................................................................................
Chơng 2: Các biện pháp vận dụng nguyên tắc tính hệ thống trong dạy học Hình
học lớp 10 ở trờng THPT..........................................................................
2.1. Đặc điểm chơng trình Hình học lớp 10.......................................................................
2.1.1. Sơ lợc về chơng trình sách giáo khoa mới hiện nay.....34
2.1.2.Đặc điểm xây dựng chơng trình Hình học 10 THPT hiện nay36
2.2. Các định hớng và một số giải pháp s phạm vận dụng nguyên tắc tính hệ thống
nhằm nâng cao chất lợng PH và GQVĐ trong dạy học Toán.............................................
2.2.1. Các định hớng vận dụng nguyên tắc tính hệ thống nhằm nâng cao chất lợng
PH và GQVĐ trong dạy học Hình học 10..........................................................................


3
2.2.2. Một số giải pháp s phạm vận dụng nguyên tắc tính hệ thống nhằm nâng cao
chất lợng PH và GQVĐ trong dạy học Hình học 10..........................................................
2.3. Một số bài soạn theo hớng vận dụng nguyên tắc tính hệ thống..................................
2.4. Kết luận chơng 2.......................................................................................................
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm.....................................................................................
3.1. Mục đích thực nghiệm...............................................................................................
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm.............................................................................
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm..................................................................................
3.4. Kết luận về thực nghiệm s phạm...............................................................................
Kết luận của luận văn....................................................................................................
Tài liệu tham khảo.........................................................................................................

Quy ớc về các chữ viết tắt
sử dụng trong luận văn
Viết tắt
DH


Viết đầy đủ
:

Dạy học

HS
LTKT

:
:

Nxb

Lí thuyết kiến tạo
:

GV

Học sinh

Nhà xuất bản
:

Giáo viên

GQVĐ

:

Giải quyết vấn đề


PH

:

Phát hiện


4
PPDH

:

SGK
THPT

Phơng pháp dạy học
:

:

Sách giáo khoa

Trung học phổ thông

Lời cảm ơn
Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của GS.
TS. Đào Tam. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành
đến Thầy.
Xin cảm ơn các Thầy cô giáo giảng dạy trong chuyên ngành

Lý luận và Phơng pháp giảng dạy bộ môn Toán đã cho tác giả
những bài học bổ ích trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin cảm ơn Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp - nguồn cổ vũ
động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành Luận văn.
Dù đã rất cố gắng, song Luận văn cũng không tránh khỏi
những khiếm khuyết, tác giả mong nhận đợc sự góp ý của các
Thầy cô giáo và các bạn.
Vinh, tháng 12 năm 2011.
Tác giả


5

Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay
nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo và độc lập suy nghĩ của học
sinh, đòi hỏi học sinh chủ động trong quá trình tìm tòi, phát hiện và giải quyết
nhiệm vụ nhận thức dới sự tổ chức, hớng dẫn của giáo viên. Vì vậy, việc giáo
dục Toán học ở trờng THPT đặt ra yêu cầu đối với ngời học phải có nền tảng
tri thức cơ bản vững vàng, nâng cao khả năng ứng dụng, vận dụng vào học tập
và đời sống.
1.2. Toán học là một môn học có tính hệ thống chặt chẽ, kiến thức toán
học chỉ có thể hiểu kĩ và vững chắc nếu nh học sinh nắm đợc chúng một cách
có hệ thống và cũng có kiến thức Toán học mới có cơ sở để rèn luyện t duy,
thế giới quan khoa học. Vì thế, trong khi dạy học Toán ngời giáo viên phải
quan tâm đến việc nghiên cứu chơng trình và sách giáo khoa không chỉ ở lớp,
ở cấp mình đang dạy mà ở cả những lớp, những cấp có liên quan. Có nh vậy
mới xác định đợc vị trí của giáo trình mình phụ trách trong toàn bộ hệ thống
tri thức ở nhà trờng phổ thông, mới thấy hết mối liên hệ của nó với các giáo

trình khác. Đối với giáo trình từng lớp cũng vậy, ngay từ đầu năm học, giáo
viên phải nghiên cứu, nắm vững mục đích, yêu cầu và tinh thần cả toàn giáo
trình, mối liên hệ giữa các chơng, giữa các bài, các mục, có nghĩa là phải nắm
vững hệ thống kiến thức, kĩ năng của toàn bộ giáo trình. Đặc biệt chơng trình
Toán lớp 10 là sự hoàn thiện kiến thức của chơng trình Toán THCS và chuẩn
bị các kiến thức cho các lớp tiếp theo của cấp THPT.
1.3. Liên quan đến tính hệ thống trong dạy học Toán, đã có một số luận
án, luận văn, các công trình nghiên cứu khoa học của các tác giả đề cập đến
vấn đề này. Chẳng hạn, luận văn Thạc sĩ Giáo dục học của Nguyễn Thị Tuyết
Mai (2005): " Vận dụng tính kế thừa trong dạy học giải bài tập toán nhằm
tổ chức hoạt động nhận thức cho học sinh lớp 11", các công trình nghiên cứu
của GS.TS. Đào Tam (1998): "Bồi dỡng học sinh khá giỏi ở THPT: Năng lực huy


6
động kiến thức khi giải các bài toán", "Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ
thông qua việc khai thác các phơng pháp khác nhau giải các dạng toán Hình
học ở Trờng THPT".
1.4. Bản chất của quá trình dạy học toán là dạy các mối liên hệ, quan hệ.
Bởi vậy trong quá trình dạy học nếu ngời giáo viên luyện tập cho học sinh
cách xác định kiến thức có trớc cơ sở cho việc xác định kiến thức mới sẽ góp
phần giúp học sinh huy động kiến thức đã có kiến tạo kiến thức mới, huy động
đúng tiền đề cho việc giải quyết vấn đề nói chung, giải các bài toán nói riêng.
Điều nói trên có ý nghĩa về mặt phơng pháp trong dạy học kiến tạo.
Nghiên cứu phơng pháp dạy học chú trọng tính tuần tự trong hệ thống
kiến thức có tác dụng tăng cờng khả năng liên tởng, chuyển hóa các liên tởng.
Giúp lựa chọn các tri thức đã có tạo tình huống gợi động cơ cho hoạt động
phát hiện kiến thức mới.
Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn là: "Vận
dụng nguyên tắc tính hệ thống trong dạy học Hình học lớp 10 ở trờng

THPT".
2. Mục đích nghiên cứu
2.1. Xác định rõ vai trò và ý nghĩa của việc" Vận dụng nguyên tắc tính
hệ thống trong dạy học Hình học lớp 10 ở trờng THPT".
2.2. Đề ra một số biện pháp khắc sâu tính hệ thống kiến thức góp phần
nâng cao chất lợng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bộ môn Toán.
3. Giả thuyết khoa học
Cần và có thể đề ra các phơng thức luyện tập khắc sâu tính hệ thống kiến
thức theo định hớng nâng cao chất lợng phát hiện và giải quyết vấn đề trong
dạy học hình học lớp 10.
4. đối tợng nghiên cứu
- Nghiên cứu vai trò của nguyên tắc tính hệ thống trong dạy học sách
giáo khoa hiện nay.
- Tập trung khai thác nguyên tắc tính hệ thống, tính tuần tự làm sáng tỏ
vai trò của nó trong dạy học Toán.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là:
5.1. Nghiên cứu một số vấn đề lý luận về tính hệ thống, vận dụng nguyên tắc
tính hệ thống theo định hớng nâng cao chất lợng phát hiện và giải quyết vấn đề.
5.2. Xác định rõ những cơ sở lý luận và thực tiễn để vận dụng nguyên tắc
tính hệ thống trong dạy học Toán.
5.3. Xác lập những định hớng cơ bản làm cơ sở cho việc xây dựng thực
hiện các biện pháp s phạm.


7
5.4. Xây dựng một số biện pháp thực hiện vận dụng nguyên tắc tính hệ
thống trong dạy học Toán.
5.5. Xây dựng một số bài soạn theo hớng vận dụng nguyên tắc tính hệ
thống.

6. Phơng pháp nghiên cứu
6.1. Nghiên cứu lý luận:
- Nghiên cứu các tài liệu về phơng pháp dạy học Toán, các cơ sở về Tâm
lý học, Giáo dục học, Triết học, sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham
khảo về chơng trình Hình học lớp 10 ở trờng phổ thông.
- Nghiên cứu các bài báo về khoa học Toán học phục vụ cho đề tài.
- Nghiên cứu các công trình, các vấn đề có liên quan trực tiếp đến đề tài
(luận án, luận văn, khoá luận tốt nghiệp, các chuyên đề, công trình nghiên cứu
khoa học...).
6.2. Nghiên cứu thực tiễn:
Quan sát thực trạng dạy và học môn toán nói chung và dạy học Toán lớp
10 nói riêng ở một số địa phơng trong nớc.
6.3. Thực nghiệm s phạm:
- Tổ chức thực nghiệm kiểm chứng thông qua các lớp học thực nghiệm và
các lớp học đối chứng trên cùng một lớp đối tợng.
- Đánh giá kết quả định tính, định lợng bằng phơng pháp thống kê trong
khoa học giáo dục.
7. Đóng góp luận văn
7.1. Về mặt lý luận:
- Làm rõ các cơ sở khoa học, xác định rõ vai trò và vị trí của việc vận
dụng nguyên tắc tính hệ thống nhằm nâng cao chất lợng phát hiện và giải
quyết vấn đề trong dạy học Toán.
7.2. Về mặt thực tiễn:
- Xây dựng đợc một số biện pháp dạy học để vận dụng tính hệ thống
nhằm nâng cao chất lợng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học Toán.
- Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho các giáo viên ở các
trờng THPT.
8. Cấu trúc luận văn
Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3 chơng:
Chơng 1: Một số vấn đề về cơ sở lý luận

1.1. Tính hệ thống.
1.1.1. Các khái niệm về tính hệ thống.
1.1.2. ích lợi của việc nghiên cứu tính hệ thống.
1.1.3. Nguyên tắc tính hệ thống trong dạy học Toán.


8
1.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.2.1. Những khái niệm cơ bản.
1.2.2. Bản chất, các thành tố đặc trng của phơng pháp dạy học phát hiện
và giải quyết vấn đề.
1.2.3. Những hình thức và các cấp độ của dạy học phát hiện và giải quyết
vấn đề.
1.2.4. Cách tiếp cận phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học Toán
THPT.
1.2.5. Vai trò của tính hệ thống đối với việc phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.3. Các cơ sở khoa học của tính hệ thống trong dạy học Toán ở Trờng
THPT nhằm nâng cao chất lợng phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.3.1. Cơ sở thực tiễn.
1.3.2. Cơ sở Triết học.
1.3.3. Dựa vào xu hớng đổi mới phơng pháp giảng dạy.
1.3.4. Cơ sở Tâm lý - Giáo dục học.
1.4. Vài nét về thực trạng vận dụng tính hệ thống trong dạy học Toán ở trờng THPT.
1.4.1. Khảo sát thực trạng vận dụng tính hệ thống trong dạy học Toán ở
trờng THPT.
1.4.2. Tình hình vận dụng tính hệ thống trong dạy học Toán ở trờng
THPT.
1.4.3. Nguyên nhân.
1.5. Kết luận chơng 1.
Chơng 2: Các biện pháp vận dụng nguyên tắc tính hệ thống trong dạy học

Hình học lớp 10 ở trờng THPT.
2.1. Đặc điểm chơng trình Hình học lớp 10.
2.2. Các định hớng và một số biện pháp s phạm nhằm nâng cao chất
lợng phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học Toán trên cơ sở vận
dụng nguyên tắc tính hệ thống.
2.3. Một số bài soạn theo hớng vận dụng nguyên tắc tính hệ thống.
2.4. Kết luận chơng 2.
Chơng 3: Thực nghiệm s phạm
3.1. Mục đích thực nghiệm.
3.2. Nội dung thực nghiệm.
3.3. Tổ chức thực nghiệm.
3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4.1. Đánh giá định tính.
3.4.2. Đánh giá định lợng.


9
Kết luận của luận văn.
Tài liệu tham khảo.

CHƯƠNG 1

Một số vấn đề về cơ sở lý luận
1.1. Tính hệ thống
1.1.1. Khái niệm về tính hệ thống
Theo Từ điển Tiếng Việt, hệ thống có nghĩa là: Tập hợp nhiều yếu tố,
đơn vị cùng loại hoặc cùng một chức năng, có quan hệ hoặc liên hệ với nhau
chặt chẽ, làm thành một thể thống nhất. [19, tr. 418].
Theo Nguyễn Bá Kim, hệ thống đợc hiểu là một tập hợp những phần tử
cùng với những quan hệ giữa những phần tử của tập hợp đó. [17, tr.183].

Ví dụ 1.1: Tứ giác, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông
đợc sắp xếp theo một hệ thống phụ thuộc vào các thuộc tính đặc trng. Giữa
các phần tử có quan hệ với nhau nh hình bình hành đợc định nghĩa thông qua
tứ giác có các cặp cạnh đối song song, hình thoi đợc định nghĩa thông qua tứ
giác có bốn cạnh bằng nhau hay thông qua hình bình hành có hai cạnh kề
bằng nhau, hình chữ nhật đợc định nghĩa thông qua tứ giác có bốn góc vuông
hay thông qua khái niệm hình bình hành có một góc vuông..., hình vuông đợc
định nghĩa thông qua hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau. Các phần tử
trên có chung tính chất là đa giác có bốn cạnh, bốn góc.
Tính hệ thống còn hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau:
- Hệ thống là tập hợp những t tởng, nguyên tắc, quy tắc liên kết với nhau
một các logic, làm thành một thể thống nhất. [19, tr. 418].
Ví dụ 1.2: Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC ta có:
uuur uuur uuur r
GA + GB + GC = 0
uuuu
r uuur uuur uuuu
r
MA + MB + MC = 3MG ( Với M bất kì)

Trong không gian trọng tâm của tứ diện cũng có tính chất tơng tự cụ thể
là: Nếu G là trọng tâm của tứ diện ABCD ta có:
uuur uuur uuur uuur r
GA + GB + GC + GD = 0
uuuu
r uuur uuur uuuu
r
uuuu
r
MA + MB + MC + MD = 4MG ( Với M bất kì)


- Hệ thống là cách thức phân loại, sắp xếp sao cho có trật tự logic. [19, tr.
418].


10
Ví dụ 1.3: Chơng Phơng pháp tọa độ trong mặt phẳng đợc đặt sau chơng
Véctơ bởi vì kiến thức về Véctơ là cơ sở để nghiên cứu về tọa độ trong mặt
phẳng. Có thể làm sáng tỏ điều nói trên qua trình tự dạy học các khái niệm đó
nh sau:
Trong chơng Véctơ sách giáo khoa Hình học 10 nâng cao có đề cập các
định lí :
r
r
Điều kiện để hai véctơ cùng phơng: Véc tơ b cùng phơng với véc tơ a

r r
r
r
(a 0) khi và chỉ khi có số k sao cho b = ka .
Biểu thị một véctơ qua hai véc tơ không cùng phơng: Cho hai véc tơ
r

r

r

không cùng phơng a và b . Khi đó mọi véc tơ x đều có thể biểu thị đợc một
r


r

cách duy nhất qua hai véc tơ a và b , nghĩa là có duy nhất cặp số m, n sao
r
r
r
cho x = ma + nb .
Từ các định lí trên học sinh có thể hiểu đợc khái niệm tọa độ của véctơ
đối với hệ tọa độ, từ đó nghiên cứu các kiến thức về tọa độ trong mặt phẳng
nh: từ điều kiện hai véc tơ cùng phơng dễ dàng nhận xét đợc liên hệ giữa các
véc tơ pháp tuyến, giữa các véc tơ chỉ phơng của cùng một đờng thẳng ; nhận
xét đợc điều kiện để hai đờng thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau.
- Hệ thống còn đợc hiểu là tính chất có trình tự, có quan hệ logic giữa các
yếu tố. [19, tr. 418].
Ví dụ 4: Sau khi học phép cộng học sinh mới đợc học phép nhân trên cơ
sở vận dụng tri thức về phép cộng ( Phép nhân là phép cộng nhiều lần của cùng
một đại lợng nh nhau).
Mặc dù các cách hiểu về tính hệ thống là cha hoàn toàn đồng nhất về
ngôn ngữ diễn đạt, nhng dễ nhận ra rằng, giữa các cách hiểu đó không có sự
khác biệt đáng kể. Trong Luận văn này, chúng tôi quan tâm chủ yếu tới ý
nghĩa bản chất của của tính hệ thống đó là hệ thống đợc hiểu là một tập hợp
những phần tử cùng với những quan hệ giữa những phần tử của tập hợp đó; là
tính chất có trình tự, có quan hệ logic giữa các yếu tố.
1.1.2. ích lợi của việc nghiên cứu tính hệ thống
- Tính hệ thống đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học nói
chung và nghiên cứu phơng pháp dạy học nói riêng. Nói nh vậy bởi vì: " Bất
cứ một yếu tố nào trong hệ thống tri thức ở nhà trờng bao giờ cũng đòi hỏi học
sinh cũng phải biết một yếu tố tri thức khác thì mới hiểu đợc, mặt khác nó lại
là cơ sở để hiểu một yếu tố tri thức khác nữa. [1].



11
Bởi thế trong quá trình dạy học nếu ngời giáo viên biết cách xác định
kiến thức có trớc cơ sở cho việc xây dựng kiến thức mới sẽ góp phần giúp học
sinh huy động đúng tiền đề cho việc giải quyết vấn đề. Nghiên cứu tính tuần
tự trong hệ thống kiến thức có tác dụng tăng cờng khả năng liên tởng, chuyển
hóa các liên tởng.
- Việc nghiên cứu tính hệ thống cũng góp phần quan trọng trong việc
phát triển năng lực trí tuệ chung nh: t duy trừu tợng và trí tởng tợng không
gian, t duy logic và t duy biện chứng; rèn luyện các hoạt động trí tuệ cơ bản
nh phân tích, tổng hợp, tơng tự, khái quát hoá; các phẩm chất t duy nh linh
hoạt, độc lập, sáng tạo. Những điều nói trên đợc thể hiện qua việc giáo viên
làm cho học sinh quen và có ý thức sử dụng những thao tác nh: xét tơng tự,
khái quát hoá, quy lạ về quen... Mọi kiến thức thu nhận đợc đều phải có căn
cứ, dựa trên những quy tắc, kinh nghiệm nhất định chứ không phải tự nhiên
mà có.
- Ngoài ra chúng ta có thể vận dụng tính hệ thống trong các hoạt động hớng đích gợi động cơ, tạo tiền đề xuất phát trong quá trình dạy học. Hoạt động
hớng đích, gợi động cơ sẽ có hiệu quả nếu giáo viên làm cho học sinh thấy đợc mối liên hệ giữa mục đích đặt ra với tri thức mà học sinh đã có. Còn những
tiền đề xuất phát đề cập ở đây là những kiến thức, kỹ năng đặc thù liên quan
trực tiếp đến nội dung sắp học đến.
1.1.3. Tính hệ thống trong hoạt động dạy Toán
Toán học là môn học có tính trừu tợng cao. Nó đợc thể hiện ngay trong
định nghĩa của F. Engels về Toán học: Toán học là khoa học nghiên cứu về
các quan hệ số lợng, hình dạng và logic trong thế giới khách quan [17, tr.
43].
Môn Toán đợc đặc trng bởi tính hệ thống logic chặt chẽ của nó, tuy có
nhiều vấn đề còn thừa nhận, có những chứng minh cha thật chặt chẽ do đặc
điểm tâm lý nhận thức của học sinh. Nhng nhìn chung các kiến thức trong môn
Toán trong trờng phổ thông từ lớp 1 tới lớp 12 đều có tính hệ thống, logic của
nó; kiến thức học trớc là cơ sở cho kiến thức học sau; khái niệm học sau là đợc

minh họa, định nghĩa thông qua các khái niệm học trớc; từ các mệnh đề này
suy ra các mệnh đề khác một cách tuần tự. Tất cả các kiến thức Toán học ở tr ờng phổ thông đợc sắp xếp nh những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt
chẽ tạo thành những mạch xuyên suốt chơng trình.
Tri thức mới với ý nghĩa đúng đắn của nó, chỉ thực sự đợc hoà nhập với
vốn hiểu biết của học sinh khi nó đợc xây dựng trên cơ sở tri thức vốn có của
học sinh. Cũng chính vì vậy mà khi bàn về cách tìm tòi lời giải các bài toán,
G. Polya thờng nhấn mạnh câu hỏi Bạn có biết bài toán nào giống nó


12
không? [20, tr. 55]. Cũng theo G. Polya: Thực tế khó mà đề ra một bài toán
hoàn toàn mới, không giống một chút nào với các bài toán khác, hay là không
có một điểm nào chung với một bài toán trớc đây đã giải" [20, tr. 55]. Nếu nh
có một bài toán nh vậy nó tất yếu đã giải đợc. Thực vậy, khi giải một bài toán,
ta luôn luôn phải lợi dụng những bài toán đã giải, dùng kết quả, phơng pháp
hay là kinh nghiệm có đợc khi giải các bài toán đó. Hiển nhiên, những bài
toán ta dùng tới phải có liên hệ nào đó với bài toán hiện có. Việc trả lời câu
hỏi của G. Polya thực chất liên hệ tới tính hệ thống trong giải bài tập Toán.
Mục đích của câu hỏi trên đây để học sinh hoạt động huy động kiến thức có từ
trớc và quy lạ về quen.
Tất nhiên tính hệ thống trong Toán học đó là theo khuynh hớng chọn lọc,
phát triển để đi lên. Chẳng hạn: Về sự hình thành và phát triển của các tập hợp
số.
Sự phát triển các tập hợp số không phải do lý trí chủ quan của các nhà
Toán học mà do nhu cầu thực tế trong đời sống hay nhu cầu của việc phát triển
kiến thức trong nội bộ Toán học.
Tập hợp số đợc đa ra đầu tiên là tập số tự nhiên: N = { 0; 1; 2; 3;....}
Tập hợp N các số tự nhiên tồn tại mâu thuẫn, các mâu thuẫn đó bắt
nguồn từ thực tế cuộc sống, chẳng hạn sử dụng số tự nhiên cha phản ánh đợc
các hiện tợng thực tế của thế giới khách quan nh: lãi và lỗ, đi tiến và đi lùi,

nhiệt độ nóng và lạnh..v.v.. Trên tập hợp các số tự nhiên phép trừ không luôn
luôn thực hiện đợc: 5 - 3 = 2; 3 - 5 = ?
Sự mở rộng tập số tự nhiên N sang tập các số nguyên Z hay nói cách
khác tập hợp Z các số nguyên ra đời nhằm giải quyết những mâu thuẫn của
tập hợp N các số tự nhiên.
Tuy nhiên, trong tập hợp Z các số nguyên xuất hiện những mâu thuẫn
mới sau đây:
Trớc hết chỉ sử dụng số nguyên cha phản ánh đợc các hiện tợng thực tế
của thế giới khách quan nh: do lũ lụt phải chia lại đất đai hay chia số cá đánh
bắt đợc, chia số con mồi săn bắt đợc, chia quà cho các em nhỏ... Từ các phép
chia trên dẫn tới thơng không là số nguyên. Đây cũng chính là mâu thuẫn
trong nội bộ Toán học của số nguyên: phép chia không luôn luôn thực hiện đợc:
8: (- 4) = -2; (-7) : 3 = ?
Đứng trớc yêu cầu đó, tập hợp các số hữu tỷ Q ra đời nhằm giải quyết
những mâu thuẫn của tập hợp các số nguyên Z.
Nhng tập hợp Q các số hữu tỷ lại xuất hiện những khó khăn mới: không
đáp ứng đợc nhu cầu của phép đo đạc hay tính toán tồn tại những đoạn thẳng


13
có độ dài không là số hữu tỷ. Chẳng hạn đo độ dài đờng chéo hình vuông có
cạnh bằng 1, hoặc phép khai căn của một số không âm không luôn luôn thực
4 2
= Q nhng 2 Q .
9 3
Sự mở rộng từ tập hợp Q sang tập hợp R hay tập hợp R các số thực ra đời
nhằm giải quyết các mâu thuẫn của tập hợp Q các số hữu tỷ.
Tuy nhiên tập hợp R các số thực xuất hiện các mâu thuẫn mới: phép
khai căn không luôn luôn thực hiện đợc, chẳng hạn, căn của một số âm nh:
hiện đợc:


2 =?
Và tập hợp các số phức ra đời nhằm giải quyết những mâu thuẫn của tập
hợp R các số hữu tỷ, nh vậy ta đã tìm đợc căn bậc hai của các số âm.
Việc học tập của học sinh có kết quả trong một tiết học thờng đòi hỏi
những tiền đề nhất định về trình độ kiến thức, kỹ năng sẵn có của ngời học.
Vận dụng tính hệ thống trong dạy Toán chính là giáo viên hớng dẫn, gợi mở
cho học sinh khả năng huy động kiến thức để giải đáp nguồn gốc một khái
niệm, các cách hình thành định lý, hoặc giải các bài tập Toán; tập cho học sinh
biết "quy lạ về quen" trong quá trình giải bài tập Toán... Dạy học Toán luôn
phải gắn liền với tính hệ thống và phát triển xây dựng kiến thức mới.
1.2. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề
1.2.1. Những khái niệm cơ bản
1.2.1.1. Phát hiện
Theo Từ điển Tiếng Việt, phát hiện là tìm thấy cái cha ai biết nghĩa
là tìm ra cái mới đợc nhân loại thừa nhận và dùng đợc trong phạm vi khoa học
và cả phạm vi loại ngời.
Phát hiện theo cách hiểu của Bruner là ngay từ ngày đầu đi học, đứa
trẻ cần phải có những giây phút sung sớng khi phát hiện ra điều mới lạ. Sự
phát hiện đó có thể chỉ là sự hiểu biết về hàng loạt sự kiện xảy ra hàng ngày ở
xung quanh nó và là một phần của cuộc đời nó. Phát hiện theo cách hiểu ở
đây không phải là mới đối với nhân loại mà là mới đối với bản thân chủ thể,
và thờng đợc dùng trong nhà trờng và đối với trẻ nhỏ.
Phát hiện trong dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đợc hiểu theo
nghĩa: tìm thấy cái chính mình cha biết và có nhu cầu muốn biết, dùng theo
nghĩa này để chỉ rõ vai trò của học sinh trong việc tìm tòi, thảo luận, tranh
luận để tìm ra phơng án giải quyết vấn đề.
1.2.1.2. Vấn đề



14
I.Ia.Lecne cho rằng: Vấn đề là một câu hỏi nảy ra hay đặt ra cho chủ
thể, mà chủ thể cha biết lời giải từ trớc và phải tìm tòi sáng tạo lời giải, nhng
chủ thể đã có sẵn một số phơng tiện ban đầu để sử dụng thích hợp vào việc
tìm tòi đó
Nguyễn Bá Kim đã xuất phát từ khái niệm hệ thống để định nghĩa tình
huống, tình huống bài toán, bài toán rồi từ đó đa ra khái niệm vấn đề: Một
bài toán đợc gọi là vấn đề nếu chủ thể cha có trong tay một thuật giải có thể
áp dụng để giải bài toán đó.
Mỗi vấn đề đợc gắn với một tình huống gợi vấn đề hay còn gọi là tình
huống vấn đề. Cần phân biệt tình huống hiện thực với tình huống vấn đề. Tình
huống hiện thực là tình huống cá nhân áp dụng trực tiếp các thuật giải, các
quy trình hành động đã biết. Tình huống gợi vấn đề là tình huống trong đó cá
nhân cha biết thuật giải, cha biết con đờng nào dẫn đến câu trả lời. Tình
huống gợi vấn đề gợi ra cho học sinh những khó khăn về lý luận hay thực tiễn
mà họ thấy cần thiết và có khả năng vợt qua, nhng không phải ngay tức khắc
nhờ thuật giải mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để
biến đổi đối tợng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có.
1.2.1.3. Giải quyết vấn đề
Xét riêng trong môn toán, giải quyết vấn đề cũng có nhiều cách hiểu
khác nhau, Branca đã tổng kết đợc ba cách hiểu sau:
1) Khi giải quyết vấn đề đợc xem nh một mục đích thì nó độc lập với
các bài toán cụ thể, với quy trình và phơng pháp cũng nh đối với nội dung
toán học cụ thể.
b) Khi giải quyết vấn đề đợc xem nh một quá trình thì các phơng pháp,
quy trình, chiến lợc và các thủ thuật mà học sinh sử dụng để giải toán sẽ là
những điều quan trọng.
c) Khi giải quyết vấn đề đợc xem nh một kỹ năng cơ bản thì những điều
cần đợc quan tâm là các nội dung cụ thể của bài toán, các dạng bài toán và
các phơng pháp giải.

Rõ ràng rằng giải quyết vấn đề là hoạt động nhận thức phức tạp, để giải
quyết vấn đề chủ thể trớc hết phải có lòng ham muốn giải quyết vấn đề, có
mục tiêu và niềm tin thực hiện đợc mục tiêu đó, đồng thời biết huy động các
năng lực trí tuệ: trí nhớ, tri giác, khái niệm, suy luận, ...tham gia tích cực vào
hoạt động giải quyết vấn đề. Giải quyết vấn đề vừa là quá trình, vừa là quy
trình, vừa là phơng tiện để cá nhân sử dụng các kiến thức, kỹ năng, kinh
nghiệm đã có để giải quyết một tình huống có vấn đề mà cá nhân có nhu cầu.


15
Một quá trình giải quyết vấn đề bắt đầu khi gặp vấn đề và kết thúc khi có câu
trả lời cho vấn đề đặt ra.
1.2.2. Bản chất, các thành tố đặc trng của phơng pháp dạy học
PH và GQVĐ.
Dạy học PH và GQVĐ là kiểu dạy có nét đặc trng là giáo viên trực tiếp
tạo ra những tình huống có vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện ra vấn đề,
hoạt động tự giác và tích cực để GQVĐ. Thông qua đó mà lĩnh hội tri thức,
rèn luyện kỹ năng và đạt đợc các mục đích học tập khác.
Đặc trng cơ bản của phơng pháp dạy học PH và GQVĐ là tình huống
có vấn đề, ứng với một mục tiêu xác định, những thành phần chủ yếu của của
một tình huống bao gồm: Nội dung của môn học hoặc chủ đề, tình huống khởi
đầu, hoạt động trí tuệ của học sinh trong việc trả lời câu hỏi hoặc giải quyết
vấn đề, kết quả hoặc sản phẩm của hoạt động, đánh giá hiệu quả.
Đặc trng thứ 2 là: Quá trình dạy học theo phơng pháp PH và GQVĐ đợc
chia thành những "thao tác", những giai đoạn có tính mục đích chuyên biệt,
học sinh hoạt động tích cực, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình
để giải quyết vấn đề.
Đặc trng thứ 3 là: Mục đích dạy học không chỉ làm cho học sinh lĩnh
hội đợc kết quả của quá trình giải quyết vấn đề, mà còn ở chỗ làm cho họ phát
triển khả năng tiến hành những quá trình nh vậy. Quá trình dạy học theo phơng pháp giải quyết vấn đề bao gồm nhiều hình thức tổ chức đa dạng lôi cuốn

ngời học tham gia cùng tập thể, động não, tranh luận dới sự dẫn dắt, gợi mở,
cố vấn của thầy.
Dạy học giải quyết vấn đề tạo ra trớc học sinh những tình huống có vấn
đề làm cho các em học sinh ý thức đợc, thừa nhận và giải quyết những tình
huống này trong quá trình hoạt động chung của học sinh và giáo viên. Ngoài ra
dạy học giải quyết vấn đề không những đặt ra những vấn đề nhận thức và lôi
cuốn học sinh vào công việc nhận thức tích cực mà còn phải giúp đỡ họ thông
hiểu các biện pháp của hoạt động nhận thức nhằm tiếp thu kiến thức mới và
nắm vững những biện pháp đó. Nét bản chất của dạy học giải quyết vấn đề
không phải là sự đặt ra câu hỏi mà là tạo thành tình huống có vấn đề. Vận dụng
tính hệ thống trong dạy học sẽ tạo ra đợc các tình huống có vấn đề, tổ chức điều
khiển học sinh phát hiện ra vấn đề, giải quyết vấn đề từ đó học sinh dễ dàng
chiếm lĩnh đợc tri thức và đạt đợc mục đích học tập khác.
1.2.3. Những hình thức của dạy học PH và GQVĐ.


16
Tuỳ theo mức độ độc lập của học sinh trong quá trình giải quyết vấn đề
mà ngời ta nói tới các cấp độ khác nhau,cũng đồng thời là những hình thức
khác nhau của dạy học PH và GQVĐ. Có nhiều cách phân chia nhng theo giáo
s Nguyễn Bá Kim ,Vũ Dơng Thụy thì có thể đa ra ba hình thức phân chia nh
sau:
+ Tự nghiên cứu vấn đề:Trong tự nghiên cứu vấn đề, tính độc lập của
ngời học đợc phát huy cao độ. Thầy giáo chỉ tạo ra tình huống có vấn đề, ngời
học tự PH và GQVĐ đó. Hoặc cùng lắm là thầy giáo giúp học sinh phát hiện
vấn đề. Nh vậy trong hình thức này, ngời học độc lập nghiên cứu vấn đề và
thực hiện tất cả các khâu cơ bản của quá trình nghiên cứu này.
+ Đàm thoại giải quyết vấn đề: Trong đàm thoại giải quyết vấn đề, học
sinh giải quyết vấn đề không hoàn toàn độc lập mà có sự gợi ý, dẫn dắt của
thầy khi cần thiết. Phơng tiện để thực hiện hình thức này là những câu hỏi của

thầy và những câu trả lời hoặc hành động đáp lại của trò. Nh vậy có sự đan
kết, thay đổi hoạt động của thầy và trò dới hình thức đàm thoại.
+ Thuyết trình giải quyết vấn đề: ở hình thức này, mức độ độc lập của
học sinh thấp hơn ở hai hình thức trên. Thầy giáo tạo ra tình huống có vấn đề,
sau đó chính bản thân thầy đặt vấn đề và trình bày quá trình suy nghĩ giải
quyết.Trong quá trình này có tìm kiếm dự đoán, có thể sẽ thất bại phải điều
chỉnh mới đi đến kết quả, kiến thức đợc trình bày không phải dới dạng có sẵn
mà là trong quá trình khám phá ra chúng.
Theo Lerner thì dạy học PH và GQVĐ có thể phân chia nh sau:
+ Phơng pháp nghiên cứu: Giáo viên tổ chức hoạt động tìm tòi sáng tạo
cho học sinh bằng cách đặt ra chơng trình hành động và kiểm tra, học sinh
phải tự mình giải quyết chơng trình đó.
+ Phơng pháp tìm tòi từng phần: Giáo viên giúp học sinh tự mình giải
quyết từng giai đoạn trong phơng pháp nghiên cứu.
+ Phơng pháp trình bày nêu vấn đề: Giáo viên giới thiệu cho học sinh
cách giải quyết đã có, giới thiệu các phơng thức vận dụng vấn đề đó, giúp học
sinh hiểu đợc lôgic và mâu thuẫn trong việc tìm cách giải quyết này.
Những cách phân loại trên tuy khác nhau về cách đặt tên nhng về bản
chất, đều thể hiện mức độ tính tích cực khác nhau và do đó đòi hỏi mức độ
độc lập của học sinh cũng khác nhau trong quá trình học tập. Hình thức thứ
hai và thứ ba tác giả chú ý tới hoạt động dạy của giáo viên, hình thức thứ nhất
lại chú ý tới hoạt động của học sinh. Qua đó ta nhận thấy rằng nếu không vận


17
dụng một cách triệt để tính hệ thống trong quá trình dạy học sẽ khó đạt đợc
các hình thức của phơng pháp dạy học PH và GQVĐ.
Trong giờ học PH và GQVĐ, các câu hỏi đều nhằm vào việc gợi lại các
tri thức có liên quan trong vốn tri thức đã đợc lĩnh hội trớc đây của học sinh.
Các câu hỏi của giáo viên có tác dụng làm dễ dàng và thúc đẩy bớc tìm tòi tri

thức có liên quan để tìm ra lối giải quyết thích hợp, loại trừ đợc những sai lệch
có thể có trên bớc đờng giải quyết đúng đắn khi học sinh đa điều mình đã biết
vào trong những mối liên hệ không thích hợp. Về vai trò của câu hỏi, M. I.
Makhơmutôv đa ra nhận xét khái quát: "Trong việc tích cực hóa nhận thức của
học sinh, các câu hỏi bao giờ cũng có ý nghĩa tiên quyết" [dẫn theo 31]. Cũng
là một câu hỏi nhng đối với đối tợng học sinh này thì hợp lý, còn với đối tợng
khác thì không. Nhiệm vụ của ngời giáo viên là đa ra hệ thống câu hỏi sao cho
phù hợp với đại đa số học sinh trong lớp. "Nghệ thuật hỏi phải tới mức độ
thành nghệ thuật điều khiển hoạt động của học sinh" , dẫn theo [31, tr. 27]).
Câu hỏi đa ra không đợc quá dễ, nhng cũng không nên nghĩ rằng những câu
hỏi đối với mình là dễ thì đối với học sinh cũng dễ. Nói chung phải đảm bảo
yêu cầu tính vừa sức trong nghệ thuật nêu câu hỏi.
1.2.4. Cách tiếp cận PH và GQVĐ trong tiến trình dạy Toán
Trong giải Toán cần thiết có những tình huống vấn đề, tức là cần xây
dựng những tình huống trong đó tồn tại một vấn đề mà điều quan trọng hơn là
tình huống còn phải thoả mãn một số điều kiện khác nữa. Tình huống cú vấn
đề trong giải Toán có thể cụ thể hóa là một tình huống học tập bao gồm các
thành tố sau:
- Nội dung và trọng tâm của bài toán;
- Tình huống khởi đầu;
- Hoạt động trí tuệ của học sinh khi trả lời câu hỏi hoặc thực hiện quá
trình giải Toán;
- Đánh giá, thu nhận bài toán;
Tóm lại, đó là một vấn đề nhận thức (hay là một vấn đề học tập đợc
biểu đạt bởi một nhiệm vụ nhận thức) cha đợc giải quyết, mang tính khách
quan, đợc hình thành từ một khó khăn về lý luận hay thực tiễn, là một yếu tố
kích thích quan trọng đối với hoạt động t duy tích cực, độc lập, sáng tạo của
học sinh, mà với sự nỗ lực của học sinh, dới sự hớng dẫn của thầy có thể giải
quyết đợc. Lời giải của bài toán chính là kết quả của hoạt động đó.
Hoạt động dạy học cơ bản nhất trong PPDH của giáo viên là giúp học

sinh nhận biết và giải quyết đợc các tình huống vấn đề luôn luôn nảy sinh


18
trong tiến trình giải Toán. Đây chính là đặc trng và lôgic của dạy học PH và
GQVĐ, góp phần đắc lực cho việc hình thành và phát triển năng lực PH và
GQVĐ của học sinh trong dạy học giải Toán. Nh vậy thì năng lực PH và
GQVĐ có thể hiểu: Đó là năng lực tập trung vào khả năng tìm kiếm và áp
dụng chiến lợc giải quyết vấn đề bằng con đờng có mục tiêu, đòi hỏi cách t
duy phê phán và cách tiếp cân sáng tạo để đạt đợc kết quả.
Với ý
nghĩa của hoạt động giải Toán thì năng lực PH và GQVĐ giúp học sinh cách
tiếp cận phát hiện và giải quyết những tình huống vấn đề nảy sinh trong đề
toán, ở hai mức độ sau:
- Giáo viên phân tích, tổ chức các vấn đề, biểu đạt từng vấn đề trong đề
toán, giúp đỡ học sinh giải quyết các tình huống vấn đề đó, kiểm tra lại cách giải
quyết của học sinh trong tiến trình giải quyết toàn bộ các vấn đề trong bài toán .
- Học sinh nói chung tự phát hiện đợc các vấn đề nảy sinh, chủ động
giải quyết đợc các tình huống vấn đề ở bài toán dới sự gợi ý của giáo viên, kết
quả là học sinh đi đến lời giải, nắm tri thức và phơng thức giải Toán.
Cách tiếp cận PH và GQVĐ trong tiến trình dạy Toán
Cách tiếp cận PH và GQVĐ trong tiến trình giải Toán là từng bớc bằng
những phơng pháp phơng thức, kinh nghiệm, kiến thức cần có để nghiên cứu
và giải quyết bài toán đã cho.
Trong bài báo "Cẩm nang còn thiếu của mỗi chúng ta" [30, tr.9], đề cập
đến phơng pháp luận khoa học sáng tạo, khẳng định dù khoa học tự nhiên hay
khoa học xã hội cũng cần phải giải quyết hàng loạt vấn đề hóc búa. Có những
suy nghĩ, cách giải quyết vấn đề tối u, hiệu quả không chỉ dựa vào những kinh
nghiệm mà còn có những quy luật, những phơng pháp cụ thể cho từng cách
giải quyết vấn đề. Trong giải Toán không chỉ dừng lại việc đa ra các tình

huống vấn đề, phát hiện vấn đề, nhận biết vấn đề nảy sinh trong các tình
huống, mà quan trọng hơn là giải quyết vấn đề, giải quyết các tình huống vấn
đề, do đó phải rèn luyện cho học sinh những phơng pháp, những kỹ thuật tìm
tòi, phát hiện giải quyết những vấn đề, tình huống vấn đề đặt ra; Đó là cách
tiếp cận PH và GQVĐ trong giải Toán, bao gồm:
+ áp dụng phép tơng tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, quy lạ về quen, xét
trờng hợp suy biến.


19
+ áp dụng phép phân tích tổng hợp (phân tích có định hớng thông qua
tổng hợp) của hoạt động nhận thức khi học sinh tự lực nghiên cứu bài toán, rút
ra những luận cứ xây dựng kế hoạch giải, thực hiện và đi đến lời giải bài toán.
+ áp dụng phép suy diễn và quy nạp: Sáng tạo trong tiến trình giải Toán
là một loại suy diễn và quy nạp nối tiếp nhau để giải bài Toán mới trên cơ sở
lựa chọn kiến thức đã học. Những kiến thức tham gia vào quá trình t duy trong
việc giải Toán có thể chia thành hai loại: Một là, những kiến thức mà học sinh
thu nhận trực tiếp từ bớc tiếp nhận, phân tích bài toán. Hai là những kiến thức
nằm trong vốn kinh nghiệm của học sinh.
- Các thủ thuật làm mẫu: Giáo viên thực hiện một phần tiến trình từ đó
học sinh sẽ tự làm ra kết quả; làm mẫu cho một dạng Toán đặc trng sau đó áp
dụng để giải các dạng tơng tự hoặc liên quan; học sinh có thể phân chia nội
dung bài toán thành những đơn vị kiến thức nhỏ, sau đó giải quyết từng phần
tiến tới giải tổng thể bài toán.
- Các thủ thuật thiết lập mối quan hệ nhân quả: Giải bài toán bằng cách đi
tìm những nguyên nhân gây nên một hiện tợng nào đó, sau đó học sinh tự thiết
lập những mối quan hệ nhân quả trong các sự kiện đợc phân tích.
1.2.5. Vai trò của tính hệ thống đối với việc phát hiện và giải quyết vấn
đề.
Nh chúng ta đã biết, Toán học là kết quả của sự trừu tợng hóa diễn ra trên

những bình diện khác nhau. Có những khái niệm Toán học là kết quả của sự
trừu tợng hóa những đối tợng vật chất cụ thể, nhng cũng có những khái niệm
nảy sinh do sự trừu tợng hóa những cái trừu tợng đã đạt đợc trớc đó.
Dạy học giải bài tập Toán là điều kiện quan trọng để thực hiện tốt các
mục tiêu dạy học, là một trong những vấn đề trọng tâm của phơng pháp dạy
học Toán ở trờng phổ thông. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình
thức chủ yếu của hoạt động Toán học. Các bài toán là phơng tiện không thể
thay thế trong quá trình giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t dPH và
GQVĐ, hình thành các kỹ năng, kỹ xảo, phát triển năng lực sáng tạo, giải
quyết các bài toán thực tế. Vì vậy, việc tổ chức giải các bài toán có hiệu quả sẽ
góp phần quan trọng đối với chất lợng dạy Toán. Dạy học giải bài tập Toán
không chỉ dừng lại ở mức độ hớng dẫn học sinh trình bày đúng đắn, đầy đủ và
có căn cứ chính xác lời giải, mà phải biết cách hớng dẫn học sinh thực hành
giải bài tập theo yêu cầu của phơng pháp tìm tòi lời giải, tập cho học sinh khả
năng độc lập giải quyết vấn đề.


20
Việc vận dụng tính hệ thống trong quá trình dạy học Toán học nói chung
và giải bài tập Toán nói riêng nhằm giúp học sinh khắc sâu các định lý, các
khái niệm Toán học, giúp các em nắm vững hệ thống kiến thức một cách cơ
bản vững chắc; phát huy đợc khả năng t duy của các em, rèn luyện năng lực
huy động kiến thức để giải quyết những tình huống có vấn đề.
Vận dụng tính hệ thống trong giải bài tập Toán còn góp phần phát triển
t duy cho học sinh: các em biết cách phát triển các bài tập trong sách giáo
khoa phổ thông, biết tổng quát hoá, đặc biệt hoá, biết quy lạ về quen hoặc có
thể đề xuất một bài toán tơng tự. Thông qua dạy học giải bài tập Toán rèn
luyện cho học sinh thói quen cũng nh khả năng độc lập phát hiện và giải quyết
các vấn đề có liên quan. Từ đó giúp t duy logic, t duy sáng tạo của các em
từng bớc phát triển, năng lực các em đợc nâng cao.

Trong thực tiễn dạy học, tính hệ thống đối với việc nâng cao chất lợng
phát hiện và giải quyết vấn đề đợc thể hiện qua:
* Các hoạt động gợi động cơ hình thành định lý và giải bài tập Toán. Từ
các khái niệm, định lý cơ bản đã học xây dựng các quy trình giải bài toán
Hình học điển hình.
Ví dụ 1.4: Trong quá trình dạy học định lí Côsin trong tam giác giáo
viên có thể tổ chức các hoạt động gợi động cơ hình thành định lí nh sau:
+ Xét bài toán: Trong tam giác ABC cho biết hai cạnh AB, AC và góc A.
Hãy tính cạnh BC.
+ Xuất phát từ định lí Pythagore: Nếu tam giác ABC vuông tại A thì
BC2 = AC2 + AB2.
Dựa vào các kiến thức về véctơ ta có thể chứng minh đẳng thức trên nh sau:
uuu
r 2 uuur uuur
uuur2 uuur2
uuur uuur uuur2 uuur2
BC2 = BC = (AC AB) 2 = AC + AB 2AC.AB = AC + AB = AC 2 + AB 2
.
Từ đó giáo viên có thể tạo tình huống nếu tam giác ABC không vuông
tại A thì BC2 = ?.
* Khả năng huy động kiến thức cơ bản là các khái niệm, định lý trong
sách giáo khoa để giải toán, từ đó hình thành, hệ thống phơng pháp giải các
dạng toán điển hình, hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyết trong
chừng mực có thể làm cho học sinh nhớ và khắc sâu những lý thuyết đã học.
Học sinh có thể phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, phát triển một định lý, tính
chất nào đó. Tất cả những thao tác t duy đó sẽ góp phần củng cố, khắc sâu và


21
mở rộng kiến thức cho học sinh, giúp các em nhìn các khái niệm, định lý Toán

học một cách có chiều sâu, có hệ thống, điều đó góp phần nâng cao hoạt động
nhận thức cho các em.
Ví dụ 1.5. Khái niệm và phơng pháp chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Ba điểm A, B, C thẳng hàng nếu chúng nằm trên một đờng thẳng.
Các cách chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng:
- Chứng minh hai góc ở vị trí đối đỉnh tạo bởi đờng thẳng qua A, B, C
bằng nhau.
- Chứng minh đờng thẳng AB và đờng thẳng AC cùng song song với
một đờng thẳng nào đó.
- Chứng minh AB = k.AC , với k 0.
- Chứng minh ABC = 180.
- Chứng minh ba điểm A, B, C có cùng phơng tích với hai đờng tròn.
- Sử dụng Định lý Thales.
- Chứng minh A, B, C cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.
* Đặt bài toán cần giải trong mối quan hệ biện chứng với các bài tập Toán
khác. Các qui luật của t duy biện chứng chỉ rõ rằng: khi xem xét một sự vật
phải xuất phát từ chính bản thân sự vật trong cả quá trình phát triển của nó,
phải xem xét đầy đủ mối liên hệ bên trong của sự vật đó, phải nhận thức sự vật
trong sự phát triển trong sự tự vận động của nó. Chính vì thế khi xem xét bài
toán, học sinh cần phải xem xét một cách đầy đủ toàn diện với tất cả các mối
quan hệ bên trong bên ngoài, giữa cái chung cái riêng, giữa cái cụ thể với cái
trừu tợng... Trên cơ sở đó, dùng phép tơng tự hoặc tổng hợp để chuyển cái
riêng thành cái chung, cái cụ thể thành cái trừu tợng và ngợc lại. Từ đó hình
thành cho các em cái nhìn đầy đủ hơn về lịch sử hình thành cũng nh quá trình
phát triển của Toán học.
Ví dụ 1.6. Quá trình hình thành và phát triển của hệ trục tọa độ Đềcác
(Descartes) vuông góc ở trờng phổ thông:
Ngời phát minh ra hệ trục tọa độ là R. Descartes (1596 - 1650) một nhà
Triết học kiêm Vật lý và Toán học ngời Pháp.
Để thực hiện từng bớc phù hợp với trình độ nhận thức học sinh ở mỗi lớp

trong từng bậc học, SGK trình bày theo thứ tự:
- Tia số (Số học lớp 6);
- Trục số hữu tỷ (Đại số lớp 7);


22
- Trục số thực và mặt phẳng tọa độ (Đại số lớp 9);
- Hệ tọa độ Đềcác (Descartes) vuông góc trong mặt phẳng (Hình học lớp 10);
Để xác định vị trí của một điểm ngời ta thờng dùng hệ trục tọa độ Đềcác
vuông góc trong mặt phẳng.
Đó là một hệ gồm hai đờng thẳng
y
x'Ox, y'Oy vuông góc với nhau, trên đó lần
lợt chọn các véctơ đơn vị:

E1

ur uuuu
r uu
r uuuur
e1 = OE1 , e 2 = OE 2

O

x'

Hai đờng thẳng ấy gọi là hai trục tọa

x


E2

y'

độ. Trục x'Ox gọi là trục hoành, trục y'Oy
gọi là trục tung.

Điểm O gọi là gốc tọa độ
- Hệ tọa độ Đềcác (Descartes) vuông góc trong không gian (Hình học lớp 12).
Để xác định vị trí của một điểm hoặc một véctơ trong không gian, ngời ta
thờng dùng hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc trong không gian.
z
Đó là một hệ gồm ba đờng thẳng
x'Ox, yOy', z Oz' vuông góc với nhau từng

x'

E3

y'

đôi một, trên đó lần lợt chọn các véctơ đơn
ur uuuu
r uu
r uuuur uu
r uuuur
vị: e1 = OE1 , e 2 = OE 2 , e3 = OE 3 .

O
E1


E2

y
Ba đờng thẳng ấy gọi là ba trục tọa độ.
Trục x'Ox gọi là trục hoành, trục y'Oy gọi
x
z'
là trục tung và trục zOz' gọi là trục cao.
Điểm O gọi là gốc tọa độ.
Nhận xét:
Sự hình thành và phát triển hệ trục tọa độ Đềcác vuông góc trong không
gian theo thứ tự xét trên nửa đờng thẳng, trên đờng thẳng, trên mặt phẳng và
trên không gian. Phát triển theo số chiều của không gian, có thể mở rộng sau
này ở bậc Đại học đến n chiều. Ngoài ra có thể phát triển theo hớng không cần
các véctơ đơn vị đôi một vuông góc và độ dài bằng 1, nh hệ tọa độ afin. Phát
triển theo các môn học: Số học, Đại số và Hình học. ích lợi của việc phát triển
này, thể hiện mối quan hệ giữa Số học, Đại số và Hình học tạo ra công cụ khá
đắc lực để giải các bài toán Đại số nh: phơng pháp véctơ, phơng pháp tọa độ.


23
Ví dụ 1.7. Cho hai điểm phân biệt A, B cố định và số k không đổi. Tìm tập
hợp các điểm M sao cho MA 2 MB 2 = k .
Đây là một bài toán không dễ nếu ta sử dụng cách giải bằng phơng
pháp hình học tổng hợp hoặc phơng pháp véctơ. Cách giải bằng phơng pháp
toạ độ sẽ cho ta lời giải đơn giản nhất.
y
Đặt AB = a, a > 0. Chọn hệ trục toạ độ
Oxy có gốc O trùng A, Ox chứa B. Khi đó

A(0; 0) và B(a; 0).
Gọi M(x; y), ta có:
O

MA 2 MB 2 = k

A

[ x + y ] [( x a ) + y ] = k
2

2

x=

k
.
2a

2

2

B

Vậy tập hợp các điểm M là đờng thẳng có phơng trình x =

x

k

trong hệ
2a

A
B
toạ độ đã chọn. (Đờng thẳng này vuôngA góc với AB). B
* Xác lập mối quan hệ giữa Hình học phẳng và Hình không gian. Bài tập
Hình học không gian có thể là sự mở rộngD hay xétMtơng tự một bài toán DHình M
học phẳng nào đó hoặc các bài tập Hình học không gian có thể xem là tổ hợp
các bài toán phẳng.
Ví dụ 1.8. Chứng minh rằng sáu mặt phẳng, đi qua
N
N trung điểm một
C cạnh
C
của tứ diện ABCD và vuông góc với cạnh đối diện thì đồng quy.[ 26,tr.19].
Để giải Ví dụ trên, chúng ta quan tâm giải bài tập Hình học phẳng liên
quan: "Ba đờng cao của tam giác đồng quy", khi giải bài toán này cần xem
các đờng cao qua trung điểm của các đoạn AA, BB, CC và vuông góc với
cạnh đối diện BC, CA, AB; theo cách giải có thể chuyển sang cách giải của
bài tập không gian nh sau:
N
B CA; O là tâm đờng trònP
Gọi M, N lần lợt là trung điểm của cạnh BC,
ngoại tiếp tam giác ABC; G là trọng tâmA của tam giác ABC; H là giao điểm
A E
của OG và đờng cao AA1 khi đó:
F

A


D
GM 1
= và HAG = OMG; HGA = OGM (hình 1)
GOM GHA vì
GA 2
C
M

H

N

O

G
B

M
Hình 1

B

H

G

M

O

D
N

C

I
A

Hình 2


24

Từ đó ta có GH = 2GO H cố định và các đờng cao BB1, CC1 tơng tự
cũng đi qua H.
Khi đó, học sinh có thể giải bài toán ở Ví dụ 1.8 bằng cách tơng tự. Gọi
O là tâm mặt cầu ngoại tiếp, O thuộc mặt phẳng trung trực của cạnh CD qua
trung điểm N. Mặt phẳng qua trung điểm M của AB vuông góc với CD tại I.
Mặt phẳng (OMI) cắt mặt phẳng qua M vuông góc với CD và mặt phẳng trung
trực của CD theo hai giao tuyến song song MI và ON. Trọng tâm G của tứ
diện ABCD là trung điểm của MN, OG cắt MI tại H. GON = GHM H
là điểm đối xứng của O qua G. Có nghĩa là mọi mặt phẳng qua trung điểm
một cạnh và vuông góc với cạnh đối diện qua H (hình 2).
1.3. Các cơ sở khoa học của tính hệ thống trong dạy học toán ở trờng
THPT nhằm nâng cao chất lợng phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.3.1. Cơ sở thực tiễn.
Qua thực tế dạy học, chúng tôi thấy:
* Học sinh chỉ có thể lĩnh hội đợc kiến thức mới nếu nh có nền tảng
kiến thức cơ sở vững vàng và khả năng huy động kiến thức đó để giải thích
hoặc chứng minh, tìm tòi kiến thức mới.

* Học sinh khi giải toán thờng dựa trên sự bắt chớc hay nói cách khác
theo ngôn ngữ Toán học là xem bài toán đó tơng tự nh một bài toán đã giải.
Các em quan sát, thu nhận và bắt chớc giáo viên đã giải bài toán nh thế nào và
thực hành lại một cách có chọn lọc. Giáo viên muốn phát triển khả năng giải
các bài tập Toán của học sinh thì phải tạo hứng thú cho học sinh, đảm bảo cho
học sinh nhiều điều kiện học hỏi và thực hành.
* Kiến thức Toán học đợc trình bày một cách có logic và hệ thống chặt
chẽ từ lớp 1 đến lớp 12. Kiến thức trớc là nền tảng của kiến thức sau. Kiến
thức sau là sự mở rộng của kiến thức trớc. Nhng đa số các em còn lúng túng
trong việc ứng dụng khai thác, mở rộng, phát triển các kiến thức. Điều này
hạn chế không nhỏ tới việc huy động vốn kiến thức của học sinh, ảnh hởng
đến việc rèn luyện t duy, khả năng thu nhận kiến thức cũng nh sự hiểu biết thế
giới quan khoa học của học sinh.
1.3.2. Cơ sở Triết học


25
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá
trình phát triển. Một vấn đề đợc gợi cho học sinh hứng thú học tập, tự giác độc
lập tìm tòi và khám phá, chính là mâu thuẫn giữa yêu cầu nhận thức mới với
kiến thức và kinh nghiệm sẵn có. Tình huống này phản ánh một cách logic và
biện chứng quan hệ bên trong giữa kiến thức cũ, kỹ năng cũ, kinh nghiệm cũ
với yêu cầu tìm hiểu, giải thích sự kiện mới, t duy mới hay đổi mới tình thế
hoặc bài toán nào đó. Và thế cứ mỗi lần mâu thuẫn xuất hiện rồi đợc giải
quyết thì hiểu biết của học sinh lại tiến thêm một bớc theo một quy luật gọi là
phủ định của phủ định. Nh thế có nghĩa là nói có mâu thuẫn xuất hiện tức
là có một sự bất lực nào đó của kiến thức hiện có trớc nhiệm vụ giải quyết hay
giải thích một sự việc hay hiện tợng nào đó; nh vậy là sự vật hay hiện tợng này
phủ định kiến thức hiện có. Trớc tình hình đó yêu cầu học sinh phải tìm cách
giải quyết hay giải thích sự vật hiện tợng đó. Nghiên cứu khoa học sẽ đa đến

những kiến thức mới cho phép giải quyết sự vật hay giải thích hiện tợng.
Những kiến thức này, ban đầu tởng nh mâu thuẫn với kiến thức cũ (phủ định
lần một) nhng sau khi đã hiểu sâu nó, lại thấy thống nhất với kiến thức cũ,
trùm lên kiến thức cũ. Sự thống nhất này phủ định kết quả của lần phủ định trớc (cho rằng lý thuyết mới trái với lý thuyết cũ). Qua hai lần phủ định ta đ ợc
một lý thuyết mới trùm lên lý thuyết cũ, mở rộng lý thuyết cũ.
Ta có thể khẳng định các quy luật của phép biện chứng duy vật đã kết
luận: cái mới bao giờ cũng là kết quả của sự mở rộng cái cũ. Không có cái
mới nào tách rời cái cũ. Tuy nhiên kiến thức mới phải dựa trên kiến thức cũ
một cách có chọn lọc, phát triển thì khoa học mới ngày càng tiến lên và trình
độ nhận thức của học sinh mới ngày càng nâng cao.
1.3.3. Dựa trên các quan điểm đổi mới phơng pháp giảng dạy
Trong những năm gần đây, khối lợng trí thức khoa học tăng lên một cách
nhanh chóng. Theo các nhà khoa học cứ tám năm nó lại tăng lên gấp đôi. Thời
gian học tập ở trờng phổ thông lại có hạn. Để hoà nhập và phát triển với xã
hội, con ngời phải tự học tập, trau dồi tri thức các kỹ năng kỹ xảo biết ứng
dụng các kiến thức tích luỹ trong nhà trờng vào cuộc sống. Đứng trớc tình
trạng đó, các nhà Tâm lý s phạm, các nhà Giáo dục trên thế giới và trong nớc
đã có những đóng góp tích cực vào công cuộc đổi mới phơng pháp dạy học
theo quan điểm của lý thuyết kiến tạo. Lý thuyết kiến tạo (LTKT) là Lý thuyết
bàn về việc học và phát huy tối đa vai trò tích cực và chủ động của ngời học
trong quá trình học tập. Đối với hoạt động dạy học Toán, LTKT quan niệm
quá trình học toán là: học trong hoạt động, học là vợt qua chứng ngại, học
qua sự tơng tác xã hội, học thông qua hoạt động giải quyết vần đề. Tơng thích