Sở giáo dục V đào tạo Lào Cai
TRUNG TM GIO DC THNG XUYấN SA PA

sáng kiến kinh nghiệm
"Phơng pháp Phân loại bài toán tìm toạ độ đỉnh,
viết phơng trình các cạnh của tam giác"

Họ và tên: Lu Võn Hng

Năm học: 2013- 2014


2
Mục lục
Trang
1. Mục lục: ..................................................................................................

02

2. Lý do thực hiện: ......................................................................................

03

3. Phạm vi thực hiện: ..................................................................................

03

4. Thời gian thực hiện: ................................................................................

03

5. Quá trình thực hiện: ................................................................................

04

6. Nội dung: ...............................................................................................

05

Phần I - Nhắc lại kiến thức cơ bản: .............................................................

05

Phần II - Phơng pháp chung để giải toán: .................................................

06

Phần III - Các dạng bài tập thờng gặp : .....................................................

06

7. Kết quả thực hiện: ..................................................................................

19

8. Kiến nghị sau khi thực hiện: ...................................................................

19

9. Tài liệu tham khảo: .................................................................................


20


3
A- Lý do chọn đề tài
Bài toán tìm tọa độ đỉnh, viết phơng trình các cạnh trong tam giác khi biết trớc 1 số yếu tố của tam giác là dạng toán hay và không quá khó trong chơng trình
lớp 10; để làm bài toán dạng này đòi hỏi phải nắm vững kiến thức hình học phẳng,
mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác và các điểm đặc biệt của tam giác nh:
Trọng tâm, trực tâm, tâm đờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp. Mức độ t duy lời giải toán
vừa phải nhẹ nhàng, lô gíc.
Đây cũng là dạng toán chiếm tỷ lệ nhiều trong phần phơng pháp toạ độ trong
mặt phẳng trong các đề thi vào đại học, cao đẳng.
Là giáo viên giảng dạy ở TTGDTX và đang trực tiếp giảng dạy khối 10 tôi
thấy nhìn chung đối tợng học sinh ở mức trung bình mức độ t duy vừa phải, các em
dễ nhầm lẫn khi giải bài toán dạng này bởi các em học sinh rất hay nhầm lẫn các
yếu tố trong tam giác nên việc giải các bài tập về tìm tọa độ đỉnh và viết phơng
trình các cạnh trong tam giác gặp nhiều khó khăn. Để giúp học sinh không bị khó
khăn khi gặp dạng toán này tôi đa ra phơng pháp phân loại bài tập từ dễ đến khó để
học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng bớc giúp học sinh hình thành
lối t duy giải quyết vấn đề.
Qua đó giúp các em học tốt hơn về bộ môn Hình học lớp 10, tạo cho các em
tự tin hơn khi làm các bài tập Hình học và tạo tâm lý không "bí" khi giải bài tập
hình.
B- Phạm vi thực hiện đề tài
Đề tài này đợc thực hiện trong phạm vi lớp 10 TTGDTX Sa Pa.
C- Thời gian thực hiện đề tài
Là những buổi phụ đạo sau khi học xong chơng phơng pháp toạ độ trong mặt
phẳng, các tiết bài tập hình học, các buổi ôn thi đại học năm học 2013-2014.
D- Quá trình thực hiện đề tài
Chuẩn bị trớc khi thực hiện đề tài:

- Hệ thống bài tập và phơng giải các dạng toán trên.
- Yêu cầu các em học sinh thực hiện làm một số bài tập:
Bài 1: Tìm tọa độ các đỉnh A, B của tam giác ABC biết đỉnh C ( 1; 2 ) ; đờng trung tuyến kẻ từ A có phơng trình: 5x + y 9 = 0 và đờng cao kẻ từ B có phơng trình là: x + 3y 5 = 0
Bài 2: Lập phơng trình các cạnh của ABC nếu cho C ( 4; 5 ) và 2 đờng
cao xuất phát từ A và B có phơng trình lần lợt là 2x y + 1 = 0 và 3x + 8y + 13 = 0
Bài 3: Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC biết C ( 4; 1) ; đờng trung
tuyến hạ từ A có phơng trình là: 2x + 3y = 0 ; đờng cao hạ từ đỉnh A có phơng trình
là: 2x 3y + 12 = 0
Số liệu kho sỏt cụ thể trớc khi thực hiện đề tài:
Kết quả của lớp 10A (s số 30 hs)
Bài 1
Bài 2
Bài 3

Làm đúng
20
10
8
Kết quả của lớp 10B (sĩ số 32)

Làm sai
5
13
12

Số h/s không có lời giải
5
7
10



4
Bài 1
Bài 2
Bài 3

Làm đúng
17
18
16

Làm sai
11
11
10

Số h/s không có lời giải
4
3
6

Kết quả của lớp 10C (sĩ số 34)
Bài 1
Bài 2
Bài 3

Làm đúng
17
18
16


Làm sai
13
13
10

Số h/s không có lời giải
4
3
8

Nh vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả là không cao; sau khi
nêu lên lời giải và phân tích từng bớc làm bài thì hầu hết các em học sinh đều hiểu
bài và tỏ ra hứng thú với dạng bài tập này.
E- Nội dung thực hiện đề tài
Phần I: Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan
1. Véc rtơ chỉ
r phơng của đờng thẳng d
r
Vectơ u 0 và có giá song song hoặc trùng với d thì u là vectơ chỉ phơng
của d.
r
r
Nếu u là vectơ chỉ phơng của d thì k. u cũng là vectơ chỉ phơng của d ( k 0 )
2. Véc rtơ pháp
tuyến của đờng thẳng d
r
r
Vectơ n 0 và có giá vuông góc với d thì n là vectơ pháp tuyến của d
r

r
Nếu n là vectơ pháp tuyến của d thì k n cũng là vectơ pháp tuyến của d (
k 0)
3. Phơng trình của đờng thẳng
r
Nếu đờng thẳng d đi qua điểm M ( x 0 ; y 0 ) và có véc tơ chỉ phơng là u ( a;b ) với
a 2 + b 2 0 thì:
x = x 0 + at
+ Phơng trình tham số của đờng thẳng d là:
( t R là tham số)
y
=
y
+
bt
0

x x 0 y y0
+ Phơng trình chính tắc của đờng thẳng d là :
( a.b 0 )
=
a
b
Phơng trình tổng quát của đờng thẳng d có dạng: Ax + By + C = 0
r
Phơng trình đờng thẳng d qua M ( x 0 ; y 0 ) , có vectơ pháp tuyến n ( A;B ) với
A 2 + B2 0 là: A ( x x 0 ) + B ( y y0 ) = 0
Phơng trình đờng thẳng d qua M ( x 0 ; y 0 ) có hệ số góc k: y = k ( x x 0 ) + y 0
Phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm A ( x1; y1 ) , B ( x 2 ; y 2 ) có dạng:
x x1

y y1
=
x 2 x1 y 2 y1
x y
Phơng trình đoạn thẳng chắn trên các trục tọa độ: + = 1
a b
(đi qua 2 điểm A ( a;0 ) Ox; B ( 0;b ) Oy )


5
Phơng trình đờng thẳng d song song với đờng thẳng : Ax + By + C = 0 có
dạng Ax + By + m = 0 ( m C )
Phơng trình đờng thẳng d vuông góc với đờng thẳng : Ax + By + C = 0 có
dạng Bx Ay + m = 0
4. Các kiến thức khác
Cho A ( x A ; y A ) ; B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C )
uuur
- Véc tơ AB ( x B x A ; y B y A )
x + x B yA + yB
- Toạ độ trung điểm I của AB là I A
;
ữ
2
2

uuur uuur
- Độ dài vectơ AB là AB = AB = ( x B x A ) 2 + ( y B y A ) 2
- Nếu điểm M ( x M ; y M ) chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k 1 thì
x A kx B


uuuu
r
uuur
x M = 1 k
MA = kMB
y = y A ky B
M
1 k
uuur
uuur
x B x A = k ( x C x A )
- A, B, C thẳng hàng AB = kAC
y B yA = k ( yC y A )
- Nếu A, B, C là 3 đỉnh 1 tam giác, gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì ta
có:
x + x B + x C y A + yB + yC
G A
;
ữ
3
3


r
Quy ớc:
Pháp tuyến của đờng thẳng ký hiệu là n
r
Chỉ phơng của đờng thẳng ký hiệu là u
Phần II: Nêu phơng pháp chung để giải toán:
Trong bài toán Viết phơng đờng thẳng d thì phơng pháp chung nhất là đi xác

định véc tơ chỉ phơng hoặc vetơ pháp tuyến của đờng thẳng và toạ độ một điểm mà
đờng thẳng đi qua sau đó áp dụng các dạng phơng trình đờng thẳng nêu trên để viết
phơng trình đờng thẳng đó.
Phần III: Các dạng bài tập thờng gặp
Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A, biết hai trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh
còn lại BM, CN. Tìm toạ độ B; C, viết phơng trình các cạnh của tam giác.
Phơng pháp:
Cách 1:
B1: Tìm toạ độ trọng tâm G ( x G ; y G ) của ABC
B2: Tham số hoá toạ độ của B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) theo phơng trình BM,
CN.
B3: Tìm toạ độ của B, C: áp dụng công thức:
x + xB + xC
y + y B + yC
; yG = A
xG = A
3
3
B4: Viết phơng trình các cạnh.
Cách 2:


6
B1: Tìm toạ độ trọng tâm G ( x G ; y G ) của ABC
B2: Xác định điểm H đối xứng với A qua G theo công thức trung điểm.
Khi đó tứ giác BGCH là hình bình hành.
B3: Lập phơng trình đờng thẳng HC qua H và song song với trung tuyến BM.
C là giao điểm của HC với CN.
B4: Lập phơng trình đờng thẳng HB qua H và song song với trung tuyến CN.
B là giao điểm của HB với BM.

B5: Viết phơng trình các cạnh.
Ví dụ:
1. Cho tam giác ABC có A ( 1;3) và hai đờng trung tuyến BL: x 2y + 1 = 0
và CK: y 1 = 0 . Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC
Bài giải:
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phơng trình:
x 2y + 1 = 0 x = 1

G ( 1;1)

y 1 = 0
y = 1
Gọi G' là điểm đối xứng với A qua G. Ta có:
xA + xG '

x
=
G

x G ' = 2x G x A
x G ' = 1
2


G ' ( 1; 1)

y
+
y
y

=
2y

a
y
=

1
A
G
'
G
'
G
A
G
'


y =
G
2
Tứ giác BGCG' là hình bình hành nên G'C // BL nên phơng trình G'C có
dạng:
x 2y + m = 0 . G ' G 'C 1 2 ( 1) + m = 0 m = 3 .
Phơng trình G'C là: x 2y 3 = 0
y 1 = 0
x = 5
Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ:


C ( 5;1)
x 2y 3 = 0 y = 1
Lại có G'B // CK nên phơng trình G'B có dạng:
y + n = 0 mà G ' G 'B 1 + n = 0 n = 1 .
Phơng trình G'B là: y + 1 = 0
y + 1 = 0
x = 3
Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ:

B ( 3; 1)
x 2y + 1 = 0 y = 1
Khi đó: Phơng trình cạnh AB là: x y + 2 = 0
Phơng trình cạnh AC là: x + 2y 7 = 0
Phơng trình cạnh BC là: x 4y 1 = 0
2. Cho tam giác ABC có A ( 2;3) và hai đờng trung tuyến BM: x 2y + 1 = 0
và CN: x + y 4 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC
Lời giải
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phơng trình:
2x y + 1 = 0 x = 1

G ( 1;3)

x + y 4 = 0
y = 3
Vì B thuộc đờng thẳng BM nên giả sử B ( x B ; y B ) thì:


7
x B 2y B + 1 = 0 y B =


xB +1
x +1

B x B; B
ữ
2
2


Tơng tự C ( x C ;4 x C )
Mặt khác vì G ( 1;3) là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:
2 + xB + xC
2

1 =
x
=
3
xB + xC = 5

B 3





xB + 1
xB 2 xC = 3 x = 13
3 + 2 + 4 xC
C 3

3 =
3

2 5 13 1
Vậy B ; ữ; C ; ữ
3 6 3 3
BBTT: Cho tam giác ABC có A ( 3;1) và hai đờng trung tuyến BM:
2x y 1 = 0 và CN: x 1 = 0 . Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC
Dạng 2: Tam giác ABC biết đỉnh A và 2 đờng cao BH, CK. Tìm tọa độ các
đỉnh B; C, lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
Phơng pháp:
B1: Lập phơng trình cạnh AB đi qua A và vuông góc với CK
Lập phơng trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH
B2: Tìm toạ độ điểm B, C.
B3: Lập phơng trình cạnh BC
Ví dụ
1. Lập phơng trình các cạnh của ABC nếu cho A ( 2; 1) và 2 đờng cao
xuất phát từ B và C có phơng trình lần lợt là 2x y + 1 = 0 và 3x + y + 2 = 0
Bài giải:
Vì BH AC nên cạnh AC có phơng trình x + 2y + m = 0 , AC qua A nên
2 2 + m = 0 m = 0 . Phơng trình cạnh AC là: x + 2y = 0
Vì CK AB nên cạnh AB có phơng trình x 3y + n = 0 , AB qua A nên
2 + 3 + n = 0 n = 5 . Phơng trình cạnh AB là: x 3y 5 = 0
4

x
=


x + 2y = 0

4 2
5
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ

C ; ữ
5 5
3x + y + 2 = 0 y = 2

5
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
8

x
=

x 3 y 5 = 0
5


2 x y + 1 = 0
y = 11

5
8 11
B ; ữ
5 5


8
uuu

r 4 13 1
uuur
Khi đó BC = ; ữ = ( 4;13) nên vectơ pháp tuyến của BC là n BC = ( 13; 4 ) . Ph5 5 5
8
11

ơng trình cạnh BC có dạng: 13 x + ữ 4 y + ữ = 0 13x 4y + 12 = 0
5
5

2. Tam giác ABC có A ( 1;2 ) và phơng trình hai đờng cao lần lợt là BH:
x + y + 1 = 0 và CK: 2x + y 2 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC
Bài giải:
Cạnh AB đi qua A ( 1;2 ) và vuông góc với CK: 2x + y 2 = 0 nên AB có phơng trình: 1( x 1) 2 ( y 2 ) = 0 x 2y + 3 = 0
Tơng tự cạnh AC đi qua A ( 1;2 ) và vuông góc với BH: x + y + 1 = 0 nên AC
có phơng trình: 1( x 1) 1( y 2 ) = 0 x y + 1 = 0
5

x=

x 2 y + 3 = 0
5 2
3
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:

B ; ữ
3 3
x + y + 1 = 0
y = 2


3
1

x
=

x y + 1 = 0
1 4
3
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:

C ; ữ
3 3
2x + y 2 = 0 y = 4

3
BBTT:
1. Lập phơng trình các cạnh của ABC nếu cho A ( 1; 3) và 2 đờng cao
xuất phát từ B và C có phơng trình lần lợt là 5x + 3y 25 = 0 và 3x + 8y 12 = 0
2. Cho ABC có phơng trình cạnh AB: 5x 3y + 2 = 0 và 2 đờng cao xuất
phát từ A và B có phơng trình lần lợt là 4x 3y + 1 = 0 và 7x + 2y 22 = 0
Dạng 3: Tam giác ABC biết 1 đỉnh A, phơng trình đờng cao BH và trung
tuyến xuất CK. Xác định tọa độ đỉnh B, C; lập phơng trình các cạnh.
Phơng pháp:
B1: Lập phơng trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH.
Từ đó tìm đợc tọa độ điểm C là giao điểm của AC và trung tuyến CK.
B2: Tham số hoá toạ độ B ( x B ; y B ) ; K ( x K ; y K ) (với K là trung điểm của AB)
xA + xB

x K =

2
theo phơng trình BH, CK. Tìm toạ độ B nhờ:
y = yA + yB
K
2

B3: Lập phơng trình cạnh AB; BC
Ví dụ:
1. Xác định tọa độ của các đỉnh A; C của ABC biết B(0; 2) và đờng cao
(AH) : x 2y + 1 = 0 ; trung tuyến (CM) : 2x y + 2 = 0.
Bài giải:
Theo bài ra BC đi qua B(0; 2) và vuông góc với (AH) : x 2y + 1 = 0 nên
phơng trình cạnh BC là: 2x + y + 2 = 0
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ:


9
2 x + y + 2 = 0 x = 1
vậy C ( 1;0 )


2 x y + 2 = 0
y = 0
xA + xB
xA + 0


x
=
x

=
M
M


2
2
Giả sử A ( x A ; y A ) ta có:

y = yA + yB
y = yA 2
M
M

2

2
x
y 2
Vì M thuộc trung tuyến CM nên 2. A A
+ 2 = 0 2x A y A + 6 = 0
2
2
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
11

xA =

x A 2y A + 1 = 0


11 4
3

A ; ữ

3 3
2x A y A + 6 = 0 x = 4
A

3
11 4
Vậy A ; ữ; C ( 1;0 )
3 3
2. Xác định tọa độ của các đỉnh B; C của ABC biết A(4; 1) và đờng cao
(BH) : 2x 3y = 0 ; trung tuyến (CK) : 2x + 3y = 0.
Bài giải:
Theo bài ra AC đi qua A(4; 1) và vuông góc với (BH) : 2x 3y = 0 nên phơng trình cạnh AC là: 3x + 2y 10 = 0
3 x + 2 y 10 = 0 x = 6
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ:

C ( 6; 4 )
2
x
+
3
y
=
0
y
=


4


2
2

Giả sử B ( x B ; y B ) ta có: 2x B 3y B = 0 nên y B = x B vậy B x B ; x B ữ
3
3

2

Tơng tự toạ độ của K x K ; x K ữ. Vì K là trung điểm của AB nên ta có:
3

4 + xB

xA + xB
xK =


2
x K =

2


2
y

+
y
B
y = A
2x K 1 + 3 x B
=
K

2
2
3
11

xK =

2x x B = 4

5 5
8
K

B ; ữ
4 6
4x K + 2x B = 3 x = 5
B

4
BTTT: Lập phơng trình các cạnh của ABC biết C(3;5) và phơng trình đờng cao và đờng trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh lần lợt là 5x + 4y 1 = 0 và
8x + y 7 = 0



10
Dạng 4: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC và biết trọng tâm G. Xác định
tọa độ các đỉnh, lập phơng trình cạnh còn lại.
Phơng pháp:
B1 (Chung cho 2 cách): tìm toạ độ điểm A là giao điểm của uAB
uur và AC
uuuu
r
Suy ra toạ độ điểm M là trung điểm của BC nhờ : AG = 2GM hoặc
uuuu
r 3 uuur
AM = AG
2
Cách 1:
B2: Tham số hoá toạ độ của B ( x B ; y B ) ; C ( x C ; y C ) theo phơng trình AB, AC
B3: Tìm toạ độ của B; C nhờ:

xB + xC

x
=
M

2

y = y B + yC
M
2


B4: lập phơng trình của BC.
Cách 2:
B2: Viết phơng trình đờng thẳng MN qua M và song song với AC với N là
trung điểm củauuAB.
ur Tìm
uuurtọa độ điểm N.
B3: Từ AB = 2AN suy ra tọa độ điểm B. Phơng trình cạnh BC qua B và nhận
uuur
BM làm vectơ chỉ phơng. Từ đó tìm tọa độ C.
Ví dụ:
1. Tam giác ABC biết phơng trình AB: 4x + y + 15 = 0 ; AC: 2x + 5y + 3 = 0
và trọng tâm G ( 2; 1) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, viết phơng trình
BC.
Bài giải
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
4x + y + 15 = 0
x = 4

A ( 4;1)


2x + 5y + 3 = 0 y = 1
Gọi M ( x; y ) là trung điểm của BC, vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
3

x

x
=
( x G x A ) x = 1

M
A

uuuu
r 3 uuur
2
M
M ( 1; 2 )
AM = AG
3
y
=

2
2
M
y y = ( y y )
A
G
A
M
2
Gọi N là trung điểm của AB. Phơng trình đờng thẳng MN // AC có dạng:
2x + 5y + m = 0 . Điểm M MN 2 10 + m = 0 m = 12 .
Phơng trình MN là: 2x + 5y + 12 = 0
7

2x + 5y + 12 = 0 x =
7


Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ

2 N ; 1 ữ
2

4x + y + 15 = 0
y = 1

uuur
uuur x B x A = 2 ( x N x A )
x = 3
Ta có AB = 2AN
B
B ( 3; 3)
y
=

3
y

y
=
2
y

y
(
)
B
B

A
N
A
uuur
Đờng thẳng BC qua B và nhận BM = ( 2;1) làm vectơ chỉ phơng có dạng:


11
x+3 y+3
=
x 2y 3 = 0
2
1

x 2y 3 = 0
x = 1
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:

C ( 1; 1)
2x + 5y + 3 = 0 y = 1
2. Tam giác ABC biết phơng trình AB: x + y 1 = 0 ; AC: x y + 3 = 0 và
trọng tâm G ( 1;2 ) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Bài giải
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
x + y + 1 = 0
x = 2

A ( 2;1)

x y + 3 = 0 y = 1

Gọi M ( x; y ) là trung điểm của BC, vì G là trọng tâm nên:
5

x
=
3 = 2 ( x 1)
uuur
uuuu
r

2 M 5; 5

AG = 2GM

ữ
5
2
2


1 = 2 ( y 2 )
y =

2
Vì B thuộc AB nên toạ độ B ( x B ; y B ) với x B + y B 1 = 0 y B = 1 x B
nên B ( x B ;1 x B ) . Tơng tự C ( x C ; x C + 3)
5 5
Mà M ; ữ là trung điểm của BC nên ta có:
2 2
xB + xC


5 xB + xC
x
=
M

2 =
x B + x C = 5
x B = 1
2
2




x B + x C = 3 x C = 4
y = y B + yC
5 = 1 xB + xC + 3
M

2
2
2
nên B ( 1;0 ) ; C ( 4;7 )
BBTT: Tam giác ABC biết phơng trình AB: 2x 3y 7 = 0 ; AC:
x + 9y + 28 = 0 và trọng tâm G ( 4; 2 ) . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Dạng 5: Tam giác ABc biết hai cạnh AB, AC và trực tâm H. Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC, viết phơng trình cạnh BC.
Phơng pháp:
B1: tìm toạ độ điểm A là giao điểm của AB và AC

B2: Tham số hoá toạ độ của B(xB ; yB) theo AB
B3: Tìm toạ độ của B:
uuur uuur
uuur
Vì H là trực tâm nên HB là vectơ pháp tuyến của AC. Vậy HB.u AC = 0
uuur
B4: Phơng trình cạnh BC qua B và có HA là véc tơ pháp tuyến.
Ví dụ:
Tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB: 5x 2y + 6 = 0 và cạnh AC:
4x + 7y 21 = 0 và H ( 0;0 ) là trực tâm của tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh và lập
phơng trình cạnh BC.
Bài giải:
Toạ độ của A là nghiệm của hệ phơng trình:


12
5x 2y + 6 = 0
x = 0

A ( 0;3)


4x + 7y 21 = 0 y = 3
5x B + 6
5x + 6

B x B; B
ữ
2
2


uuur
Mặt khác vì H là trực tâm nên HB AC Suy ra HB là vectơ pháp tuyến của
uuur uuur
5x + 6
AC. Suy ra: HB.u AC = 0 7x B 4 B
= 0 x B = 4 B ( 4; 7 )
2
uuur
Tơng tự, HA là vectơ pháp tuyến của BC. Vậy phơng trình cạnh BC là:
0 ( x + 4 ) + 3( y + 7 ) = 0 y + 7 = 0
Vì B ( x B ; y B ) AB 5x B 2y B + 6 = 0 y B =

35

y + 7 = 0
x =
35

Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ:

2 C ; 7 ữ
2

4x + 7y 21 = 0 y = 7

BTTT: Tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB: 3x 2y 1 = 0 và cạnh AC:
x + y 3 = 0 và H ( 2;4 ) là trực tâm của tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơng trình cạnh BC.
Dạng 6: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC và I là tâm đờng tròn ngoại tiếp
tam giác. Xác định tọa độ các đỉnh và lập phơng trình cạnh BC.

Phơng pháp:
B1: Tìm toạ độ điểm A là giao của AB và AC
Gọi M là trung điểm cạnh AB. Vì I là trực tâm nên IM AB M
Tìm toạ độ của B nhờ M là trung điểm của AB
B2: Gọi N là trung điểm của AC. Vì I là trực tâm nên IN AC N
Tìm toạ độ của C nhờ N là trung điểm của AC
B3: Lập phơng trình cạnh BC
Ví dụ:
Tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB: x + y 1 = 0 ; cạnh AC:
2x y 2 = 0 và I ( 1;1) là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác. Xác định tọa độ các
đỉnh.
Bài giải:
x + y 1 = 0
x = 1
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

A ( 1;0 )
2x

y

2
=
0
y
=
0


Gọi M ( x M ; y M ) là trung điểm của AB. Ta có

x M + y M 1 = 0 y M = 1 x M M ( x M ;1 x M )
uuu
r uuur
1
1 1
Vì IM AB nên IM.u AB = 0 1( x M 1) + ( x M ) = 0 x M = M ; ữ
2
2 2
Tơng tự N ( x N ;2x N 2 ) trung điểm của AC
uur uuur
7
7 4
Ta có: IN.u AC = 0 1( x N 1) + 2 ( 2x N 3) = 0 x N = N ; ữ
5
5 5
Mặt khác vì M là trung điểm của AB nên suy ra B ( 0;1)
9 8
Tơng tự vì N là trung điểm của AC nên suy ra C ; ữ
5 5


13
Dạng 7: Tam giác ABC biết đỉnh B, đờng cao AH, đờng phân giác ngoài của
góc C. Xác định tọa độ các đỉnh và viết phơng trình các cạnh của tam giác.
Phơng pháp:
B1: Viết phơng trình cạnh BC qua B và vuông góc với AH
Suy ra C là giao điểm của BC với phân giác ngoài góc C.
B2: Gọi k là hệ số góc của cạnh AC, k1 là hệ số góc của phân giác ngoài góc
k k 2 k k1
=

k
C, k 2 là hệ số góc của BC. áp dụng 1
1 + k1k 2 1 + kk1
B3: Viết phơng trình cạnh AC qua C có hệ số góc k.
Suy ra A là giao điểm của AH và AC
B5: Viết phơng trình cạnh AB qua A và B
Ví dụ: Cho tam giác ABC biết B ( 2; 1) ,phơng trình đờng cao AH:
3x 4y + 27 = 0 , phơng trình đờng phân giác ngoài của góc C: x + 2y 5 = 0 .
Tìm tọa độ các đỉnh và viết phơng trình các cạnh của tam giác.
Bài giải:
Phơng trình cạnh BC qua B và vuông góc với AH là: 4x + 3y 5 = 0
Suy ra C là giao điểm của BC với phân giác ngoài góc C. Tọa độ điểm C là
4x + 3y 5 = 0 x = 1
nghiệm của hệ

C ( 1;3)
x + 2y 5 = 0
x = 3
1
Gọi k là hệ số góc của cạnh AC, k1 = là hệ số góc của phân giác ngoài
2
k
k2
k k1
4
=
k=0
góc C, k 2 = là hệ số góc của BC. áp dụng 1
1 + k1k 2 1 + kk1
3

Phơng trình cạnh AC qua C có hệ số góc k = 0 là: y 3 = 0
Suy ra A là giao điểm của AH và AC. Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
y 3 = 0
x = 5

A ( 5;3)

3x 4y + 27 = 0 x = 3
Phơng trình cạnh AB qua A và B là: 4x + 7y 1 = 0
F- Kết quả thực hiện
Giúp học sinh tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập đó có thể coi là một thành
công của ngời giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các em học sinh lớp
10A, 10B, 10C kiểm tra 45 phút với nội dung là các bài toán viết phơng trình các đờng thẳng thuộc dạng có trong đề tài. Kết quả là đa số các em đã nắm vững đợc phơng pháp giải các dạng bài tập trên và nhiều em có lời giải chính xác.
Số liệu cụ thể sau khi thực hiện đề tài:
Kết quả của lớp 10A (sĩ số 30)
Làm đúng
Làm sai
Số h/s không có lời giải
Bài 1
24
6
0
Bài 2
16
10
4
Bài 3
15
10
5

Kết quả của lớp 10B (sĩ số 32)
Làm đúng

Làm sai

Số h/s không có lời giải


14
Bài 1
20
Bài 2
23
Bài 3
24
Kết quả của lớp 10C (sĩ số 34)
Bài 1
Bài 2
Bài 3

Làm đúng
25
24
26

10
8
5

2

1
3

Làm sai
8
9
5

Số h/s không có lời giải
1
1
3

G- Kiến nghị sau quá trình thực hiện đề tài
Kiến nghị với nhà trờng:
Mở rộng khuyến khích việc mở các lớp chuyên đề, ôn luyện, kiểm tra đánh
giá việc ôn luyện của học sinh.
Mong muốn lớn nhất của tôi khi thực hiện đề tài này là học hỏi, đồng thời
giúp các em học sinh trớc hết là bớt đi sự khó khăn khi gặp các bài toán tìm tọa độ
đỉnh và viết phơng trình các cạnh trong tam giác, đồng thời ôn luyện lại cho học
sinh về mối quan hệ của đờng thẳng, từ đó các em say mê học toán.
Đề tài của tôi chắc hẳn không thể tránh khỏi thiếu sót. Rất mong quý thầy
cô, đồng nghiệp cùng đọc và đóng góp ý kiến cho tôi để đề tài của tôi đợc hoàn
thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
Sa pa, tháng 3 năm 2014
Ngời viết bản sáng kiến

Lu Võn Hng



15
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa, sách giáo viên Hình học lớp 10 - Chơng trình cơ bản.
2. Sách giáo khoa, sách giáo viên Hình học lớp 10 - Chơng trình nâng cao.
3. Hớng dẫn thực hiện Chuẩn kiến thức, kỹ năng môn Toán.
4. Tuyển tập các bài toán về đờng thẳng trong mặt phẳng.
5. Đề thi tốt nghiệp các năm từ 2000-2013.
6. Đề thi đại học cao đẳng các năm từ 2002-2013.