TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

Chương I : HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bảng các giá trị lượng giác của góc đặc biệt
Độ

00

rad

0

300

450

600

900

π

π

π

π

6

4

3

2

GTLG

sinα

0

cosα

1

tanα

0

cotα

||

1

2

2
3

2
3
3
3

3

2

1

0

2

2

1

1500

2π

3π

5π

3

4


6

3
2
−

||

3
3

1

1350

1

2

2

1200

0

3

1
2


− 3
−

3
3

Ct đổi độ sang rad
Rad =

π
180

Ct đổi Rad sang độ
Đoˆ =

180

π

.Rad

Cung đối

2

2
2
2


−1
−1

−
−

3
2
3
3

− 3

π

2700

3600

3π

2π

2

0

−1

−1


0

1

0

||

0

||

0

||

0

Công thức biến đổi tổng thành tích
Các hệ thứ cơ bản

.Đoˆ

1

2

−


1800

sin 2 x + cos 2 x = 1 , tan x =
cot x =

cos x
sin x

1
= 1 + tan 2 x
cos 2 x

sin x
cos x

, tanx.cotx=1
,

1
= 1 + cot 2 x
sin 2 x

sin( − x ) = − sin x

Công thức biến đổi tích thành tổng
1
[ cos(a − b) + cos(a + b)]
2
1
sin a. sin b = [ cos(a − b) + cos(a + b)]

2
1
sin a. cos b = [ sin( a − b) + sin( a + b)]
2
cos a. cos b =

cos( − x ) = cos x

Công thức cộng

tan( − x ) = − tan x

sin(a ± b) = sin a. cos b ± cos a. sin b

cot( − x ) = − cot x

cos(a ± b) = cos a. cos b sin a. sin b
tan( a ± b ) =

a +b
a −b
. cos
2
2
a +b
a −b
sin a − sin b = 2 cos
. sin
2
2

a +b
a −b
cos a + cos b = 2 cos
. cos
2
2
a +b
a −b
cos a − cos b = −2 sin
sin
2
2
sin a + sin b = 2 sin

tan a ± tan b
1 tan a. tan b

Các phương trình đặc biệt
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

1


Cung phụ
sin(π / 2 − x ) = cos x
cos(π / 2 − x ) = sin x
tan(π / 2 − x ) = cot x
cot(π / 2 − x ) = tan x
Cung bù
sin(π − x ) = sin x


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
sin u = 0 ⇔ u = kπ
Công thức nhân đôi
sin 2a = 2 sin a. cos a

sin u = 1 ⇔ u =

cos 2a = cos 2 a − sin 2 a = 2 cos 2 a − 1
= 1 − 2 sin 2 a
2 tan a
tan 2a =
1 − tan 2 a

tan(π − x ) = − tan x

tan u = 0 ⇔

cot(π + x ) = cot x

π

+ kπ

4

tan u = −1 ⇔ u = −

2


tan(π + x ) = tan x

+ kπ

2

sin u
= 0 ⇔ sin u = 0 ⇔ u = kπ
cos u

tan u = 1 ⇔ u =

1 − cos 2 x
sin x =
2
1
+
cos
2x
cos 2 x =
2

cos(π + x ) = − cos x

π

π
+ kπ
2
cos u = 1 ⇔ u = k 2π

cos u = − 1 ⇔ u = π + k 2π

Công thức hạ bậc

Hơn kém ∏
sin(π + x ) = − sin x

+ kπ

cos u = 0 ⇔ u =

sin3x = 3sinx - 4 sin3x
cos3x = 4cos3x - 3cosx

cot(π − x ) = − cot x

2

sin u = − 1 ⇔ u = −

Công thức nhân ba ;

cos(π − x ) = − cos x

π

cot u = 0 ⇔

cos u
sin u


cot u = 1 ⇔ u =

π
4

π
4

+ kπ

= 0 ⇔ cos u = 0 ⇔ u =

π
2

+ kπ

+ kπ

cot u = −1 ⇔ u = −

π
4

+ kπ

ξ1 - HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1/ TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ


sin x

tan x =

cos x
cos x

cot x =
y=

xác định khi cos x ≠ 0 ⇔ x ≠

2

+ kπ , k∈ z

xác định khi sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ , k∈ z

sin x
f ( x)

xác định khi g ( x ) ≠ 0

g ( x)

y=

π


xác định khi f ( x ) ≥ 0

f (x )

BÀI TẬP
Tìm tập xác định của các hàm số :
π
2

1) y =
2) y = tan  3 x − 
6

sin 2 x − 1
4) y =

7) y =

3
2

5) y =

2

sin x − cos x
1 + sin x

8)


1 − sin x

10) y =

x +1

( sin x + 1) ( 2 cos x −
HD :

7)

2

)

sin x + 3

y=

11) y =

3) y = tan2x + cot3x

(

+ cot x + 45

cos x
2x + 3


0

)

π

3 − cot  2 x − 
4


1
sin x + cos x

6) y =
9) y =

2
sin 2 x − cos x
cos x
1 + sin x

12) y =

Vì 1 + sin x ≥ 0 và 1 − sin x ≥ 0 nên

1 − sin x
1 − sin x





+ tan  2 x −

1
2

4 cos x − 3

≥ 0 .Biểu thức trong

căn bậc hai không âm,để hàm số xác định thì 1 − sin x ≠ 0
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

2

π



3


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
2/ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT :
− 1 ≤ sin x ≤ 1 , − 1 ≤ cos x ≤ 1
và 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 , 0 ≤ cos 2 x ≤ 1
sin 2 x
sin x. cos x =
2
2

2
(
2 sin x. cos x )
sin 2 x
2
2
sin x. cos x =
=
4
4

 π
 π
 = 2 sin  x + 
 4
 4
 π
 π
sin x − cos x = 2 sin  x −  = − 2 cos x + 
4
 4

 π
 π
cos x − sin x = 2 cos x +  = − 2 sin  x + 
4
 4

sin x + cos x = 2 cos x −


VÍ DỤ :
Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất :
1)
2)

y = 2 sin x + 3
2
4 − 3 cos 2 x
y=
5

Bài giải :
1) Ta có : − 1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ − 2 ≤ 2 sin x ≤ 2 ⇔ − 2 + 3 ≤ 2 sin x + 3 ≤ 2 + 3 ⇔ 1 ≤ y ≤ 5
Vậy : Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y min = 1 đạt được khi : sin x = −1 ⇔ x = −
Giá trị lớn nhất cùa hàm số là y max = 5 đạt được khi : sin x = 1 ⇔ x =
2) Ta có :

π
2

π
2

+ k 2π ,

+ k 2π ,

k∈z
k∈z


2
2
2
2
0 ≤ cos 2 x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 3 cos 2 x ≤ 3 ⇔ 0 ≥ −3 cos x ≥ −3 ⇔ 4 ≥ 4 − 3 cos x ≥ −3 + 4
2
4
1
4 4 − 3 cos 2 x 1
≥y≥
⇔
≥
≥ ⇔
5
5
5
5
5

Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là y max =

4
đạt được khi :
5

π
π
π
2
cos 2 x = 0 ⇔ cos 2 x = 0 ⇔ 2 x = + kπ ⇔ x = + k ,

2
4
2

k∈z

1
đạt được khi
5
 x = kπ
 cos 2 x = 1
2 x = k 2π
2
π
cos 2 x = 1 ⇔
⇔
⇔
,
cos 2 x = −1
 2 x = π + k 2π
 x = + kπ

2

Giá trị nhỏ nhất cùa hàm số là y min =

k∈z

BÀI TẬP
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau :

1) y = 3 − sin 2 x cos 2 x
2) y = 2 sin 2 x − 3 sin 2 x cos 2 x + 2 cos 2 x
4) y = 2 sin 2 x − 5 cos 2 x + 2
5) y = cos 2 x + 2 cos 2 x

3) y = 2 − sin x − cos x

7) y = 3 2 − sin 2 x + 5

8) y = sin6x + cos6x

9) y = cos x + cos( x −

10) y = 3 sin 2 3 x − 4 cos 2 3 x + 2 cos 6 x

11) y =

13) y = sin 4 x + cos 4 x

14) y =

(

HD :

)

1)Thay sin 2 x. cos 2 x =

2

2
3 − 4 sin x. cos x
2
3 cos 2 x − 3 sin 2 x − 5

6) y = 2 cos x + 1

12) y =

2 − 3 sin 4 x
4

3

2

sin 2 x
4

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

3

π
)
3


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
2)


2
sin 2 x
2
2
y = 2(sin x + cos x ) − 3
4

π
π


3) Thay sin x + cos x = 2 cos x −  thì y = 2 − 2 cos x − 4 


4





2 - PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
1-Phương trình sinu = a
+ a <-1 hay a > 1 : phương trình vô nghiệm
+ -1 ≤ a ≤1 : Nếu a không là giá trò đặc biệt thì nghiệm của pt là :

sin u = a ⇔





Nếu a là giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng : sin u = sin v ⇔

u = arcsin a + k 2π
u = π − arcsin a + k 2π

u = v + k 2π
 u = π − v + k 2π

,k ∈ z

,k ∈ z

2-Phương trình cosu = a
+ a <-1 hay a > 1 : phương trình vô nghiệm
+ -1 ≤ a ≤1 : Nếu a không là giá trò đặc biệt thì nghiệm của pt là :

cos u = a ⇔

u = arccos a + k 2π , k ∈ z
u = − arccos a + k 2π

Nếu a là giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng : cos u = cos v ⇔
3- Phương trình tanu = a

Điều kiện : cos u ≠ 0 ⇔ u ≠

u = v + k 2π , k ∈ z
 u = −v + k 2π


π

+ kπ ,
k∈z
2
Nếu a không là giá trò đặc biệt ta có : tan u = a ⇔ u = arctan a + kπ , k ∈ z
Nếu a là giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng : tan u = tan v ⇔ u = v + kπ , k ∈ z
4- Phươpng trình cotu = a
Điều kiện : u ≠ kπ , k ∈ z
Nếu a không là giá trò đặc biệt : cot u = a ⇔ u = arc cot a + kπ , k ∈ z
Nếu a là giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng : cot u = cot v ⇔ u = v + kπ , k ∈ z

BÀI TẬP
Bài 1 : Giải các phương trình
1)




2 cos 2 x −




π

(

π


4) 2 sin  2 x −

(

)




π

π


 = cot x − 
3
 6

Bài 2 : Giải các phương trình
1) 4 sin 2 2 x − 3 = 0
4) sin2x + cos22x = 1
7) tan2x.cot3x = 2
10)




cos 2 x
1 − sin 2 x


x
2







11) cos 2 x +

 2x π 
−  +1 = 0
 3 4



2x



3

6) 2 cos



+ 1 = 0

π


3π

 − cos 3 x −
6
4



=0


9) tan(2x+600) = 10
12) cos

x
2

3) sin2x + 2cos2x = 0

5) sin2x + cos2x = 0
8 ) sin22x- cos2x = 0

6) 8 sinx cosx cos2x = 9) tan3x.tan2x = 1

2x
3

=


1
3

2

12) cosxcos2xcos4xcos8x =

=0

HD : Điều kiện xác định của phương trình là : sin 2 x ≠ 1 ⇔ 2 x ⇔

π
2

+ k 2π ⇔ x ≠

π
4

+ kπ

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

4

(

= − cos 2 x − 30

2) sin2x – cosx = 0


2
11) cot

3 sin x = cos x

Bài 3 : Giải phương trình :

)

8) sin  − 3  + 1. 3 cot

)

3) cot 450 − 3 x = 3

5) cos 3 x + 450 − sin 4 x = 0

− 3 = 0
6

7) ( sin x + cos x ) 3 tan 2 x + 1 = 0
10) tan  2 x +

(

2) sin ( 3 x − 2 ) = −1

 =1


5

1
16

0

)


TRNG THPT HUNH VN SM
Vi : k = 0 x


4

, k =1 x

5

, k =2 x

4

9

, k =3 x

4


13
4



Vi iu kin trờn thỡ phng trỡnh ó cho tng ng vi :
cos 2 x = 0 2 x =

Vi : h = 0 x =


4


2

+ h x =

(loi) , h = 1 x



4
3
4

+h


2


,

kz

,h = 2 x

5
4

(loi ) , h = 3 x

7
4

/

Nhn thy vi k l thỡ nghim ca phng trỡnh tha iu kin ca bi
Vy pt cú nghim x =


4

+h


2

vi h l ngha l h = 2k+1


3. PHệễNG TRèNH BAC HAI THEO MOT HM S LệễẽNG GIAC
Phng trỡnh bc 2 theo 1 hm s lng giỏc l pt cú mt trong cỏc dng sau :
asin2x + bsinx + c = 0 (1)
atan2x + btanx + c = 0 (3)
2
acos x + bcosx + c = 0 (2)
acot2x + bcotx + c = 0 (4)
Caựch giaỷi : t n ph t bng mt trong cỏc hslg trờn,pt (1) v (2) iu kin -1 t 1 ,pt (3) v ((4) phi cú
iu kin ca tanx v cotx
V D
Gii cỏc phng trỡnh :
Gii :

sin2x 3sinx +2 = 0
t t = sinx , iu kin 1 t 1 ,phng trỡnh tr thnh :
t2 3t + 2 = 0



t = 1
t = 2

Nghim t = 2 khụng tha iu kin ca phng trỡnh .
Vi t = 1 sinx = 1 x =
BI TP
Bi 1 :Gii cỏc phng trỡnh
1) 2cos2x 3cosx + 1 = 0
2
3) cot


x
x
6 cot + 5 = 0
2
2

Bi 2 : Gii cỏc phng trỡnh :
1) 8cos2x + 2sinx - 5 = 0
3) cos2x - 3 sinx =1
5) 6 sin23x +cos12x =14
7) cos4x + cos2x =2
9) 2cos2x sin2x - 4cosx + 2 = 0
11) cos2x + sin2x +2cosx + 1 = 0
x
2 x
13) sin 2 cos + 2 = 0
2
2
1



+ k 2 , k Z

2

2) tan 2 2 x (1 + 3 ) tan 2 x + 3 = 0
4) 4 sin 2 x 2(1 + 3 ) sin x + 3 = 0

2 cos 2 x + 2 cos x 2 = 0

4) 2 cos 2 x 2 1 + 3 sin x + 3 2 = 0
6) cos 2 x sin 2 x = 0
8) 3 tan 2 x + 3 cot 2 x 3 3 = 0

2)

(

)

10) 9sin2x -5cos2x -5sinx + 4 = 0
12) tanx + 2cotx = 3
14) sin3x+cos3x =sinx + cosx

15)sin4x + cos4x = sin 2 x

16) 2cos22x +3sin2x = 2

17) 2 cos2 x = sin4x

3
3
18) sin x + cos x =

2

19) (3-2cosx)cosx = 2cos2x -1

2 sin 2 x
2

2 x
20) cos 2 x + 2 cos x = 2 sin
2

HNG DN
CNG ễN TP I S V GII TCH 11 HKI NM HC 2012- 2013

5


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

sin 2 x
)
2

12) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x) =(sinx+cosx)(1-

( )2 + (cos2 x )2 = [(sin 2 x )2 + (cos2 x )2 + 2 sin 2 x cos2 x] − 2 sin 2 x cos2 x
2
2
sin 2 x
= (sin 2 x + cos 2 x ) − 2 sin 2 x cos 2 x = 1 − 2.
4

15) sin 4 x + cos 4 x = sin 2 x

18) Thay sin3x + cos3x =(sinx+cosx)(sin2x –sinxcosx+cos2x)=(sinx+cosx)(12
16) Thay sin x =


sin 2 x
2

))

1 − cos 2 x
2

3/ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SINX VÀ COSX : a sinx + b cosx = c

(1)

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

sin a. cos b ± cos a. sin b = sin( a ± b )
cos a. cos b ± sin a. sin b = cos( a b )

Cách giải
Cách 1 :

2
2
a +b

Chia hai vế của phương trình cho
a
2
2
a +b


Vì







a
2
2
a +b

sin x +

2 
 
 +
 
 

b
2
2
a +b
b
2
2
a +b


sin x. cos α + cos x. sin α =
⇔

sin( x − α ) =

c

cos x =

2





=1

2
2
a +b

nên nếu

a
2
2
a +b

= cos α


thì

b
2
2
a +b

= sin α

pt trở thành :

c
a2 + b2

c
2

a +b

2

Đây là pt lượng giác cơ bản,pt này có nghiệm khi

Cách 2 :

,ta được :

c
2


a +b

2

2
2
2
≤1⇔ a +b ≥ c

Chia hai vế của phương trình cho a ,pt trở thành :

b
c
c
sin x + cos x =
⇔ sin x + tan α . cos x =
a
a
a
sin α
c
c
c
⇔ sin x +
cos x =
⇔ sin x cos α + cos x sin α = cos α ⇔ sin( x + α ) = cos α
cosα
a
a
a

c
cos α > 1 thì phương trình vơ nghiệm .
a
c
c
cos α < 1 ta đặt
cos α = sin β ,pt trở thành :
Nếu
a
a
sin( x + α ) = sin β đây là pt cơ bản
Nếu

x
2t
1− t 2
sin
x
=
, ta có cơng thức :
, cos x =
thì pt trở thành :
2
1+ t 2
1+ t 2
2t
1− t 2
a
+
b

= c ⇔ (b + c)t 2 − 2at + b − c = 0 , Đây là pt bậc hai theo t
2
2
1+ t
1+ t

Cách 3 : Đặt t = tan

B.VÍ DỤ :
ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

6


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
Giải phương trình :

sin x − 3 cos x = 1
Bài giải :
Cách 1 : Chia hai vế của phương trình cho 2 ta được :

1
3
1
sin x −
cos x =
2
2
2
1

3
0
Vì = cos 60 và
= sin 60 0 nên phương trở thành :
2
2
1
sinxcos600 - cosxsin600 =
2
⇔ sin(x- 600) = sin300

 x − 60 0 = 30 0 + k 360 0
 x = 90 0 + k 360 0
⇔ 

0
0
0
0
0
0
 x − 60 = 180 − 30 + k 360  x = 210 + k 360

, k∈z

Cách 2 : Chia hai vế của pt cho 1 , phương trình trở thành

sin x − 3 cos x = 1
⇔ sin x − tan 60 0. cos x = 1
sin 60 0

⇔ sin x −
cos x = 1
cos 60 0
⇔ sin x cos 60 0 − cos x sin 60 0 = cos 60 0
1
⇔ sin( x − 60 0 ) = ⇔ sin( x − 60 0 ) = sin 30 0 , đây là pt cơ bản .
2
x
Cách 3 : Đặt t = tan , phương trình trở thành :
2
2t
1− t 2
−
3
= 1 ⇔ 2t − 3 + 3t 2 = 1 + t 2 ⇔ 1 − 3 t 2 − 2t + 1 + 3 = 0
2
2
1+ t
1+ t

(

)

Đây là phương trình bậ hai theo t

C.BÀI TẬP
Giải các phương trình :
1) 3 cos 2 x − 3 sin 2 x = −3


2)

(

)

(

2 cos(− x) + 2 sin ( π + x ) = 3

3) 3sin2x + 4 cos2x = 5

4)

5) sinx + cosx =

6) sin 2 x + 2 3 cos 2 x = 0

2
7) sin 4 x = 3 ( cos 4 x − 1)
1
2
9) sin 2 x + sin x =
2
HD :

)

3 sin x − 30 0 + cos x − 30 0 = 1


8) tan150.cosx + sinx -1 = 0
10)

1 + sin x
=2
1 − cos x

1 + cos 2 x
2
sin 150
8) Thay tan 150 =
rồi qui đồng mẫu số .
cos15 0
1 − cos 2 x
2
9) Thay sin x =
2
2
6) Thay cos x =

10) Đặt điều kiện rồi qui đồng ,khử mẫu đưa về dạng ( 1 )

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT THEO SINX VÀ COSX

asin2x + b sinxcosx + c.cos2x =d
A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ

với a,b,c không đồng thời bằng 0

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013


7


TRNG THPT HUNH VN SM
Cỏch gii :
Cỏch 1 :
+ Vi cosx = 0 tửụng ửựng sin x = 1 th vo pt
Nu vt = vp ( tha) : pt cú nghim x =


2

+ k , k z

Nu vt vp (khụng tha ) pt khụng cú nghim x =



+ k

2

+ Vi cos x 0 ,Chia hai veỏ cuỷa phửụng trỡnh cho cos2x,phửụng trỡnh trụỷ thaứnh :
a tan2x + b tanx + c =

d
2
cos x


a tan2x + b tanx + c = d(1+tan2x)
õy laứ phửụng trỡnh bc 2 theo tanx .
2
Cỏch 2 : Dựng cụng thc h bc , thay sin x =
1 cos 2 x

2
, cos x =

2
1 + cos 2 x

sin 2 x

1 + cos 2 x
2

, sin x cos x =

sin 2 x
2

ta c :

+c
=d
2
2
2
b sin 2 x + (c a ) cos 2 x = 2d a c

õy l phng trỡnh bc nht theo sin2x v cos2x
a

+b

1 cos 2 x

B.V D ;
Vớ d 1 : Gii cỏc phng trỡnh :
2sin2x 5 sinx.cosx - cos2x = -2
Bi gii :
Cỏch 1 :
+ Vi cosx = 0 tng ng vi sin x = 1 khi ú VT = 2 VP = -2 nờn cosx = 0 khụng tha
món phng trỡnh (1). Pt khụng cú nghim cosx = 0 .
+ Vi cosx 0 , chia hai v ca pt cho cos2x . pt tr thnh :
2 tan2x -5 tanx -1 =

2
= 2 1 + tan 2 x
2
cos x

(

)

4tan2x 5tanx + 1 = 0

tan x = 1
1


tan x = 4

kz
Vi tanx = 1 x = + k ,
4
1
1
x = arctan + k , kz
Vi tanx =
4
4
1

cos
2
x
1 + cos 2 x
sin 2 x
2
2
Cỏch 2 : Thay sin x =
, cos x =
, sin x cos x =
ta c :
2
2
2
2


1 cos 2 x
2

5

sin 2 x
2



1 + cos 2 x

5 sin 2 x + 3 cos 2 x = 5

2

= 2

õy l phng trỡnh bc nht theo sin2x v cos2x .
Vớ d 2 : Gii phng trỡnh :

2 cos 2 x 3 3 sin 2 x 4 sin 2 x = 4
Bi gii :
Pt c vit li di dng : cos 2 x 3 3 sin x cos x 2 sin 2 x = 2
CNG ễN TP I S V GII TCH 11 HKI NM HC 2012- 2013

8


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

+ Với cosx = 0 tương ứng với sin x = ±1 khi đó VT = -2 = VP = -2 nên cosx = 0 thỏa
phương trình (1). Pt có nghiệm cosx = 0 ⇔ x =

π
+ kπ ,
2

k∈z .

+ Với cosx ≠ 0 , chia hai vế của pt cho cos2x . pt trở thành :
1 - 3 3 tanx -2 tan2x=

(

−2
2
= −2 1 + tan x
2
cos x

)

⇔ 1 − 3 tan x = 0
⇔ tan x =

1
3

⇔ tan x = tan


Vậy pt có nghiệm là x =

π
6

π
π
+ kπ , và x = + kπ ,
2
6

Bài tập : Giải các phương trình
1) 3 sin 2 x + 4 sin 2 x + 8 3 − 9 cos 2 x = 0

(

)

2)

3) 3sin2x - 4 sinxcosx +5cos2x = 2
5) sin 2 x − 3 cos 2 x =

(

)

7) 2 sin 2 2 x + 3 + 3 sin 2 x cos 2 x +

(


(

π
+ kπ ,
6

k∈z

k∈z

)

2
3 + 1 sin x − 3 sin 2 x +

(

4) sin2x + sin2x - 2cos2x =

(1 − 3 ) sin 2 x
2

⇔x=

)

2
3 − 1 cos x = 0


1
2

6) cos 2 2 x − 3 sin 4 x = 1 + sin 2 2 x

)

2
3 − 1 cos 2 x = −1 8)

9) 2 sin x + 3 sin 2 x + 2(1 + 3 ) = 5 + 3
Một số pt áp dụng công thức biến đổi :
2

(

)

2
2
3 sin x + 1 − 3 sin x. cos x − cos x + 1 − 3 = 0

10) sin x − 2 cos 2 x − 4 sin 2 x = 0
2

Vd: Giải các phương trình
1) sinx + sin2x + sin3x = 0
3) cos3x.cos7x = sin4x.sin6x
5) 2 sin2x.sinx =1 + cosx – cos3x


2) cos3x – cos4x + cos5x = 0 (*)
4) cos 2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2 (*)

Giải
1) sinx + sin2x + sin3x = 0
Ta có : sinx + sin2x + sin3x = 0
⇔ ( sin x + sin 3 x ) + sin 2 x = 0

⇔ sin 2 x( 2 cos x + 1) = 0

⇔ 2 sin 2 x cos x + sin 2 x = 0
 sin 2 x = 0
⇔
2 cos x + 1 = 0

•

sin2x= 0 ⇔ x = kπ , k ∈ z

•

1
2π
2cosx+1 = 0 ⇔ cos x = − = cos
2
3

2π

 x = 3 + k 2π

⇔
, k∈z
2π
x = −
+ k 2π
3


CHƯƠNG II : TỔ HỢP – XÁC SUẤT
ξ 1 QUI TẮC ĐẾM
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

9


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
1- Qui tắc cộng : Một công việc được thực hiện bởi nhiều phương án .Phương án thứ nhất có m cách
chọn,phương án thứ hai có n cách chọn thì có m + n cách chọn công việc .
Nếu và B là các tập hợp hữu hạn không có giao nhau( A ∩B = ∅ )thì
n ( A ∪ B ) = n( A) + n ( B )

Nếu Avà B là hai tập hợp hữu hạn bất kì ( A và B có thể giao nhau) thì n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
n ( A ∪ B ) = n ( A) + n ( B ) − n ( A ∩ B )

2- Qui tắc nhân : Một công việc được thực hiện bởi nhiều công đoạn liên tiếp nhau .Công đoạn thứ nhất
có m cách chọn,công đoạn thứ hai có n cách chọn thì có m . n cách chọn công việc .
B. VÍ DỤ
Ví dụ 1:
Có 4 nam , 5 nữ .hỏi có bao nhiêu cách chọn :

a) Một học sinh đi trực
b) Một cặp song ca .

Bài giải :
a) Số cách chọn một học sinh đỉ trực
Có 4 cách chọn 1nam
Có 5 cách chọn 1 nữ
Vậy theo qui tắc cộng ta có : 4 + 5 = 9 cách
b) Số cách chọn một cặp song ca
- Có 4 cách chọn nam,
- Ứng với 1 cách chọn nam thì lại có 5 cách
chọn nữ
Vậy theo qui tắc nhân ta có 4.5 = 20 cách chọn

Vd2 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số:
a) Có 4 chữ số
b) Có 4 chữ số khác nhau
c) Số lẻ có 4 chữ số khác nhau
d) Số chẵn có 4 chữ số khác nhau
Bài giải :
a ) Gọi số cần tìm là abcd
Tại a có 5 cách chọn vì a≠ 0 ( a ∈ {1,2,3,4,5} )

Tại b có 6 cách chọn ( b ∈ { 0,1,2,3,4,5} )
Tại c có 6 cách chọn
( tương tự )
Tại d có 6 cách chọn
Qui tắc nhân ta có : 5.6.6.6 = 1080 số
b) Gọi số cần tìm là abcd


Tại a có 5 cách chọn vì a≠ 0 ( a ∈ {1,2,3,4,5} )
Tại b có 5 cách chọn vì b ≠ a
Tại c có 4 cách chọn vì c ≠ a và c ≠ b ( tương tự )
Tại d có 3 cách chọn vì d ≠ a và d ≠ b và d ≠ c Qui
tắc nhân ta có : 5.5.4.3 = 300 số
c) Gọi số cần tìm là abcd
Tại d có 3 cách chọn ( d ∈ {1,3,5} )
Tại a có 4 cách chọn vì a ≠ 0 và a ≠ d
Tại b có 4 cách chọn vì b ≠ a và b ≠d

Tại c có 3 cách chọn vì c ≠ a và c ≠ b và c ≠ dQui tắc
nhân ta có : 3.4.4.3 = 144 số .
d) Gọi số cần tìm là abcd
Cách 1:Số có 4 chữ số khác nhau = số lẻ có 4 chữ số khác
nhau + số chẵn có 4 chữ số
⇒ số chẵn có 4 chữ số khác nhau = Số có 4 chữ số khác
nhau – số lẻ có 4 chữ số khác nh = 300 – 144 = 156
Cách 2 :
Trường hợp d = 0 . Tại d có 1 cách chọn
Tại a có 5 cách chọn vì a≠d
Tại b có 4 cách chọn vì b ≠ a và b ≠d
Tại c có 3 cách chọn
Theo qui tắc nhân ta có 1.5.4.3 = 60 số
Trường hợp d ≠ 0 . Tại d có 2 cách chọn ( d ∈ { 2;4} )
Tại a có 4 cách chọn vì a ≠ 0 và a ≠ d
Tại b có 4 cách chọn vì b ≠ a và b ≠d
Tại c có 3 cách chọn
Theo qui tắc nhân ta có 2.4.4.3 = 96 số

Bài tập

1/ Từ các số 1,2,3,4,5,6,,7 có thể lập được bao nhiêu số :
a) Có 5 chữ số
b) Có 5 chữ số khác nhau
c) Số chẵn có 5 chữ số
d) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau
2/ Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số:
a) Có 5 chữ số
b) Có 5 chữ số khác nhau
c) Số lẻ có 5 chữ số khác nhau
d) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau
e) Số chẵn có 5 chữ số khác nhau và chia hết cho 5
3/ Một lớp học có 50 học sinh trong đó có 30 hs biết đá bóng,20 học sinh biết đánh bóng chuyền ,15 học sinh
biết cả hai môn . Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh
a) Biết chơi thể thao
b) Không biết chơi thể thao .
4 / Từ A đến B có 3 con đường ,từ B đến C có 4 con đường ,từ C đến D có 5 con đường . Hỏi có bao nhiêu cách
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

10


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
đi :
a) Từ A đến D .
( ĐS : 3.4.5 cách )
b) Từ A đến D rồi trở về A . (ĐS : 60.60 cách )
c) Từ A đến D rồi trở về A mà không trở lại đường cũ . (ĐS: 60.24 cách)
5) Có 10 cặp vợ chồng đi dự tiệc .Người ta chọn 1 cặp để phát biểu ý kiến ,Hỏi có bao nhiêu cách chọn để :
a) Hai người đó là vợ chồng ( Đs : 10 cách )
b) Hai người đó không phải là vợ chồng . ( Đs : 90 cách )

6) Có bao nhiêu cách xếp 5 nam , 5 nữ vào 10 ghế thành hàng ngang sao cho :
a)Nam nữ ngồi xen kẽ nhau . (Đs : 5!.5! cách)
b)Các bạn nam ngồi cạnh nhau . (Đs : 6.5!.5! cách )

ξ 2 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
1)Hoán vi : Chọn n trong n phần tử và xếp theo 1 thứ tự nhất định thì gọi là 1 hoán vị của n phần tử.Tổng
số các hoán vị là :
Pn = n!= n( n − 1)(n − 2)....3.2.1
2)Chỉnh hợp : Chọn k trong n phần tử ( 1 ≤ k ≤ n ) và sắp xếp theo 1 thứ tự nhất định (vd:nhất,nhì,ba) thì
gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử.Tổng số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là :
Ank =

n!
(n − k )!

3)Tổ hợp : Một tập hợp con gồm k phần tử ( 1 ≤ k ≤ n ) được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử .
Tổng số các tổ hợp chập k của n phần tử là :

C nk =

n!
k!( n − k )!

B. VÍ DỤ :
Có 10 học sinh .Hỏi có bao nhiêu cách xếp :
1) 10 học sinh vào cái bàn có 10 chỗ ngồi.
2) 4 học sinh để phát thưởng nhất ,nhì , ba ,tư .
3) 3 học sinh đi trực
Bài giải :

1) Chọn 10 học sinh trong 10 ,sắp xếp theo một thứ tự nhất định ,mỗi cách sắp xếp là một hoán
vị của 10 phần tử. Tổng số các hoán vị là :
P10 = 3628800 cách xếp
2) Chọn 4 trong 10 học sinh và sắp xếp theo một thứ tự :nhất ,nhì ,ba tư là chỉnh hợp chập 4 của 10
4
phần tử . Tổng số cácchỉnh hợp này là : A10 = 5040
3) Chọn 3 trong 10 học sinh đi trực . Mỗi cách chọn là 1 tập hợp con có 3 phần tử .Tổng số tập hợp
3
con này là tổ hợp chập 3 của 10 phần tử . Như vậy có C10 = 120 cách xếp
C.BÀI TẬP
1) Từ 8 điểm trên mp ta có thể vẽ được bao nhiêu
a) Đường thẳng
b) Véc tơ
c) Tam giác
2) Một ban chấp hành gồm 7 người . Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a) Cả 7 người vào một bàn ăn có 7 chỗ ngồi khác nhau .
b) Ba người vào ban thường vụ : Bí thư,phó bí thư,ủy viên.
c) Năm người đi dự đại hội đoàn cấp trên .
3) Có bao nhiêu cách chọn 5 trong 11 cầu thủ đá phạt đền.
4) Có bao nhiêu đường chéo trong 1 hình đa giác lồi 20 cạnh.
5) Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành từ 5 đt// và 4 đt vuông góc .
6) Trên giá sách có 10 quyển sách toán,8 quyển sách văn và 3 quyển sách lý.Lấy 3 quyển.Tính số cách lấy để :
a) Mỗi loại có 1 quyển.
b) Cả 3 quyển cùng loại.
c) Chỉ có đúng 1 quyển sách văn.
d) Có ít nhất 1 quyển toán.
D.MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP
Giải các phương trình :
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013


11


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
2
1) Ax = 12

4)

( n + 1)! = 72
( n − 1)!

2)

n!
n!
−
=3
( n − 2)! ( n − 1)!

n!−( n − 1)! 1
=
( n + 1)! 6

3)

3
x−2
6) Ax + C x = 14 x


3
2
5) Ax + 5 Ax = 21x

2
2
7) 2 Ax + 50 = A2 x

1
2
8) C x + C x = 6

2
2
10) 2C x +1 + 3 Ax = 30

0
x −1
x −2
11) C x + C x + C x = 79

7x
2
1
2
3
2
12) C x + 6C x + 6C x = 9 x − 14

5

14) Pn+3 = 720 An Pn −5

5
4
15) An = 18 An− 2

x +3
3
17) C x +8 = 5 Ax +6

18)

13)

1 2
6
A2 x − Ax2 ≤ .C x3 + 10
2
x

(

2
2
16) Px Ax + 72 = 6 Ax + 2 Px

)

2 2
Ax −2

3
10
9
8
22) Ax + Ax = 9 Ax
3
2
19) C x −1 − C x −1 =

20)

1
2
3
9) C x + C x + C x =

1
1
7
− 2 =
1
C x C x +1 6C 1x +4

1
1
1
− x = x
x
C 4 C5 C 6


2
2
21) 2 Pn + 6 An − Pn . An = 12

2
2
23) 2C x +1 + 3 Ax < 30

1
3
24) 72 Ax − Ax +1 = 72

ξ3 -NHỊ THỨC NIU-TƠN
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
−n
a0 = 1 , a =

Cần nhớ :

1
,
an

a =a
m

n

m
n


am
= a m −n ,
n
a

, am.an = am+n ,

(a )

m n

= a m.n

1) Công thức nhị thức niu tơn :
( a + b ) n = Cn0 a n + Cn1 a n−1b1 + Cn2 a n− 2b 2 + ... + Cnk a n− k b k + .. + Cnn b n
k

n −k

k

+ Số hạng tổng quát là C n a b
+ Tổng các hệ số của (ax+by)n là (a+b)n
2) Tam giác pax-can : các hệ số được xếp theo tam giác sau
n=0 (a+b)0
1
n=1 (a+b)1
1 1
n=2 (a+b)2

1 2 1
n=2 (a+b)3
1 3 3
1
hay
n=4
1
4 6 4
1
n=5
1
5 10 10 5 1

1
1
1
1
1
1

1
2
3
4
5

1
3 1
6 4 1
10 10 5 1


B.BÀI TẬP
1/ Khai triển nhị thức :
a)) (x+2)4

(

e) x − 2

)

b) (3x- 4)5




6

3 

i)  2 x 3 − 2 
x 


f)  x −
5

2

x


7

2

k)  x 2 − 
x


d) ( sin x + 2 )

c) (2x-3y)5




g)  x 2 +
5

(

1 

2x 

5

m) 2 x − 3xy
2





h)  2 x −

)

6

1

a)Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  x + 
x

4




b)Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển  x −

2

x

20

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

12


4 

x2 

4

 x2
x 
n) 
+ 2 
 y y 

10

2/

4

4


TRNG THPT HUNH VN SM




a) Tỡm s hng khụng cha x trong khai trin 2 x
b) Tỡm s hng th 8 trong khai trin (1-2x)12


1

x2

6

12

4

c) Tỡm s hng th 6 trong khai trin x 2 +
x


n

1

n +1
n
d) Tỡm heọ soỏ cuỷa x trong khai trieồn 3 2 x 5 bieỏt C n + 4 C n +3 = 7( n + 3)
x

4

e) Bit h s ca x2 trong khai trin (1+3x)n l 90.Tỡm n

4- PHẫP TH V BIN C
A.KIN THC CN NH
1/ Khụng gian mu : l tp hp tt c cỏc kt qu cú th sy ra trong mt phộp th .k/h .

2/ Bin c : l tp con ca khụng gian mu

5. XC SUT CA BIN C
A. KIN THC CN NH :
1 - nh ngh xỏc sut : t s P( A) =

n( A)
gi l xỏc sut ca bin c A
n ()

2/ Tớnh cht :

A B =
thỡ A v B l hai bin c i ( B = A ) khi ú : P( A) + P ( B ) = 1 hay P( A) + P( A) = 1
A B =

Nu

B.V D :
Cú 3 qu cu trng , 4 qu cu xanh . Chn ngu nhiờn hai qu .Tớnh xỏc sut ca bin c :
a) Hai qu cựng mu
b) Hai qu khỏc mu
c) t nht mt qu trng
d) Khụng cú qu trng no .
Bi gii :

2
Ly hai trong 7 qu cu l t hp chp 2 ca 7 phn t ,do do ú n() = C7 = 21
a ) Chn c hai qu cựng mu ,Cú hai kh nng:
2

+ Chn c hai qu trng ,cú C3 cỏch
+ Chn c hai qu xanh ,cú C 42 cỏch
n( A) 9 3
2
2
=
=
Nờn n( A) = C3 + C 4 = 9 , do ú P ( A) =
n() 21 7
b) Chn c hai qu khỏc mu
1
+ Cú C3 cỏch chn mt qu trng .
+ ng vi 1 cỏch chn trng thỡ li cú C 41 cỏch qu xanh
n( B ) 12 4
1
1
=
=
Qui tc nhõn ta cú n(B) = C3 .C 4 = 12 , do ú P ( B ) =
n() 21 7
c) Chn c ớt nht mt qu trng : Cú hai kh nng :
1
1
+ Chn c 1 trng, 1 xanh : cú C3 .C4 cỏch
2
+ Chn c hai trng : cú C3 cỏch .
1
1
2
Qui tc cụng ta cú n ( C ) = C3 .C4 + C3 =15 ,do ú P ( A) =


n( A) 15 5
=
=
n() 21 7

A B =
nờn A v B l hai bin c i nhau ( B = A ) nờn :
A B =

d) vỡ

CNG ễN TP I S V GII TCH 11 HKI NM HC 2012- 2013

13


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
P(A) + P(B) = 1 ⇒ P(D) = 1- P(C) = 1 −

5 2
=
7 7

C.BÀI TẬP
2) Gieo một đồng tiền hai lần . Tính xác suất của các biến cố :
A: “ Lần đầu xuất hiện mặt sấp”
B: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần”
3) Gieo một đồng tiền ba lần .Tính xác suất của biến cố :
A: “ Lần đầu xuất hiện mặt sấp’

B: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần”
C: “ Không có lần nào xuất hiện mặt sấp .
D: “ Mặt sấp xuất hiện ít nhất hai lần”
3) Gieo con súc sắc hai lần . Tính xác suất của các biến cố :
a) Lần đầu xuất hiện mặt một chấm .
b) Mặt một chấm xuất hiện ít nhất một lần .
c) Không có lần nào xuất hiện mặt một chấm . d) Tổng số chấm trên hai mặt nhỏ hơn 5.
5) Có 4 quả cầu trắng , 5 quả xanh , 6 quả đỏ . Chọn 3 quả .Hỏi có bao nhiêu cách chọn
a) Ba quả cùng màu.
b) Ba quả khác màu .
c) Ít nhất một quả trắng.
d) Không có quả trắng nào .
e) Có đúng một quả trắng
f) Ít nhất hai quả trắng .
6) Một bình có 16 viên bi với 7 bi trắng ,6 bi đen,3 bi đỏ .
a) Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi .Tính xác suất để :
i) Lấy được 3 bi đỏ .
ii) Lấy được 3 bi không đỏ
b) Lấy ngẫu nhiên hai bi . Tính xác suất để lấy được:
i) Hai bi khác màu.
ii) Hai bi cùng màu

CHƯƠNG III : DÃY SỐ - CẤP SỐ
ξ 1-PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp chứng minh qui nạp gồm có 3 bước :
Bước 1 : Kiểm tra mệnh đề đúng với n= 1
Bước 2 : Giả thiết mệnh đề đúng với n=k
Bước 3 : Ta c/m mệnh đề đúng với n = k+1
Vd1 : Cmr ∀ n∈N* ,ta có :
1+3+5+ ….+ (2n-1) = n2

Vd2: Chứng minh ∀ n∈N* thì :

1 + 2 + 3 + ... + n =

n( n + 1)
2

Vd3: : Cmr ∀ n∈N* thì n3 – n chia hết cho 3
Vd4 : Cmr ∀ n∈N* ,ta có : 3n > 3n+1

ξ2 DÃY SỐ
a) Dãy số un gọi là dãy số tăng nếu un Dãy số un gọi là dãy số giảm nếu un >un+1
b) Phương pháp khảo sát tính đơn điệu của dãy số :
Phương pháp 1 : xét hiệu un+1 – un nếu un+1 –un >0 ⇒ un+1 > un thì dãy số tăng
nếu un+1 –un < 0 ⇒ un+1 < un thì dãy số giảm
Phương pháp 2 : Nếu un > 0 với mọi n∈ N* thì lập tỉ số
Nếu
Nếu

u n+1
un

u n +1
un

>0 với mọi n∈ N* thì dãy số tăng

u n +1
<0 0 với mọi n∈ N* thì dãy số giảm

un

Vd :
a) Chứng minh dãy số sau là dãy số tăng : u n = 2n-3
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

14


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
b) Chứng minh dãy số sau là dãy số giảm : u n =

1
n

ξ 3 CẤP SỐ CỘNG
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ :
u n = u n−1 + d
a) ĐN :

( hoặc un+1 = un + d )

b) Số hạng tổng quát : u n = u1 + ( n − 1) d
u
+ u k +1
u k = k −1
2
n
S n = u1 + u n
2

c) Tính chất :

(

d) Tổng :

)

( k ≥2)
Sn =

Hay

n
2

[ 2u1 + (n − 1)d ]

B . BÀI TẬP
Dạng 1 : Tìm số hạng của cấp số cộng :
Vd1 :

1) Tìm 5 số hạng đầu của csc biết u1 = 2 , d = 3 .
2) Cho cấp số cộng biết u1 = 3 , u6 = 23
a) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
b) Tính số hạng thứ 50 .
c) Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên .
3) Tìm 6 số hạng đầu liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu là 12,tổng của ba số hạng
kế là 30 .

3) Xen vào giữa số 3 và số 24 để được một csc có tám số hạng .
Dạng 2 : Tính tổng của cấp số cộng
1) Tính tổng S = 1+4+7+…+ 997+1000

( HD : un = u1 + (n-1)d =1000 , tìm n )

3
5
101
2) Tính tổng S = 1 + + 2 + + ... +
2
2
2
3) Tính tổng S= 400 + 396 + 392 + …+ 4
4) Tính tổng S= 12-22+32 - 42 +52-62 + …+ (-1)n-1.n2 (HD: 12-22 = -3 , 32-42 = -7 , 52-62 = -11 )
Dạng 3 : Tìm số hạng đầu và công sai của csc ,biết :

 u2 = 4
u 5 = 13

1) 

2u5 − u3 = 14
 u 4 + u 6 = 20

u 5 − u 2 = −9
 u 6 .u 7 = 54

4) 

u1 + u5 − u3 = 10
 u1 + u 6 = 7

8) 

2) 

3) 

11

u 2 + u 7 = 3
u1 + 2u5 = 0
5) 
6) 
14
 S 4 = 14
 S4 =
3


7) 

u 3 + u 4 − 2u5 = −6
S 5 = 30

 u1 + u 2 + u3 = 27
2
2
2

u1 + u 2 + u3 = 275

Dạng 4 : Chứng minh dãy số (un) là cấp số cộng ,tìm n .
1) Cho dãy số (un) biết un= 2n-3 .
a) Chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng .Tìm u1 và d .
b) Số 1999 là số hạng thứ bao nhiêu ?
c) Số 9800 là tổng của bao nhiêu số hạng ?
2) Tìm x trong cấp số cộng biết :
a) 1+ 6 +11+ 16 +…+ x = 970
b) 2 + 7 + 12 +…+ x = 24
Giải : a) Tổng trên là tổng của cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 1,un = x ,công sai d = 5 ,và có
Sn = 970. Để tìm được x ta cần tìm n .Ta có :
n
S n = 2u1 + ( n − 1) d = 970 ⇔ n[ 2.1 + ( n − 1).5] = 1940
2
⇔ 2n + 5n 2 − 5n = 1940

[

]

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

15


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
n = 20
⇔ 5n 2 − 3n − 1940 = 0 ⇔ 
 n = −194

(loai )

Do đó x chính là số hạng thứ 20 hay x = u20 = u1 + 19d =1+19.5 = 96
Dạng 5 : Dùng tính chất của cấp số cộng để giải một số bài toán :
1) Tìm m để 3 số : 3m2 + 1 ; 7m – m2 ; m2 + 3 lập thành một cấp số cộng
1
2
3
2) Tìm x trong cấp số cộng có 3 số hạng liên tiếp là C x , C x , C x
3) Tìm x để 1+ sinx , sin2x , 1+ sin3x lập thành một cấp số cộng .
4) Cho cấp số cộng có 4 số hạng liên tiếp là 1 , x+1 , y - 2 , 19 lập thành một cấp số cộng .
Dạng 6 : Xác định các góc,cạnh trong một tam giác ,tứ giác .
1) Tìm 3 góc trong 1 tam giác lập thành một cấp số cộng có công sai d = 30 .
2) Tìm 3 góc trong 1 tam giác vuông lập thành một cấp số cộng .
3) Tìm 3 góc trong một tam giác lập thành một cấp số cộng biết góc nhỏ nhất là 20 0 .
4) Ba góc của 1 tam giác có số đo lập thành 1 cấp số cộng.Góc nhỏ nhất bằng 1/7 góc lớn nhất.Tính
số đo 3 góc tam giác ấy.
5) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành 1 cấp số cộng có góc nhỏ nhất bằng 15 0
6) Tìm các cạnh trong một đa giác lập thành một cấp số công, có chu vi là 158 cm , biết góc lớn nhất là
44 ,công sai d = 3 cm

ξ4 . CẤP SỐ NHÂN
A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ :
u n = un −1.q
a) ĐN :
b) Số hạng tổng quát : u n = u1.q

( hoặc un+1 = un .q )

n −1

2

c) Tính chất :

u k = u k −1 .u k +1

d) Tổng :

S n = u1

( k ≥2)

1 − qn
1− q

Nếu q < 1 thì q n → 0 ,ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là :

S=

u1
1− q

B. BÀI TẬP
Dạng 1 : Tìm số hạng và tổng của cấp số nhân :
1) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số nhân biết u1 = 2 , q = 3 .
2) Cho cấp số nhân có 3 số hạng đầu là

1 2 4

,
,
, tính u8 , S8 .
3 9 27

3) Cho cấp số nhân có bốn số hạng liên tiếp là 3 , x , 9 , y . Hãy tìm x , y
4) Cho cấp số nhân biết u1 = 3 , u4 = 81
a) Tìm 5 số hạng đầu của cấp số nhân.
b) Tính số hạng thứ 8 .
c) Tính tổng của 6 số hạng đầu tiên .
5) Xen vào giữa số 1 và số 243 ,sáu số để được một cấp sốp nhân có tám số hạng .
6) Xen vào giữa số -2 và số 256 ,sáu số để được một cấp số nhân có tám số hạng .
Dạng 2 : Tìm số hạng đầu và công bội của csn ,biết :

 u2 = 4
u 4 = 16

2) 

u5 − u3 = 24
u 2 + u3 = 12

5) 

1) 
4) 

 u 4 − u 2 = 72
u5 + u3 = 144

3) 

 u1 + u 2 − u3 = −22
u 2 + u 4 − u 6 = −44

u1 − u3 + u 5 = 65
 u1 + u 7 = 325

6) 

u 5 − u1 = 15
 u4 − u2 = 6

Dạng 3 : Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân ,tìm n .

 u1 + u5 = 51
u 2 + u 6 = 102

1) Cho cấp số nhân biết 

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

16


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM
a)Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân
b)Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069 ?
c)Số 12288 là số hạng thứ mấy ?
1


 u1 − u3 = 3
2) Cho cấp số nhân (un) có 
1
u 2 + u3 = −
2


a) Tìm số hạng thứ 15

b) số

− 6561
là số hạng thứ mấy ?
8

3) Cho dãy số (un) biết un= 2n.
a) Chứng minh dãy số (un) là một cấp số nhân .Tìm u1 và q .
b) Số 1024 là số hạng thứ bao nhiêu ?
c) Số 2046 là tổng của bao nhiêu số hạng ?
4) Tìm số các số hạng ( tìm n ) của cấp số nhân ( un) biết :
a) q = 2 , un = 96 , Sn = 189
b) q = 2 , un =

1
31
, Sn =
8
8

n −1
n −1
Giải : a) Ta có : u n = u1 .q = 96 ⇔ u1 .2 = 96 ⇔ u1 .

2n
192
= 96 ⇔ 2 n =
2
u1

1− qn
1 − 2n
= 189 ⇔ u1
= 189 ⇔ u1 − u1 .2 n = −189
1− q
1− 2
192
⇔ u1 − u1 .
= −189 ⇔ u1 = 3
u1
192
n
= 64 = 2 6 ⇔ n = 6
Với u1 = 3 thế vào pt (1) ta được : 2 =
3
S n = u1

Vậy cấp số nhân trên có 6 số hạng
Dạng 4 : Xác định các góc trong một tam giác ,tứ giác .
1) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành một cấp số nhân có công bội q = 2 .

2) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành một cấp số nhân có góc nhỏ nhất là 9 0 .
3) Tìm 4 góc trong 1 tứ giác lập thành 1 cấp số nhân biết góc lớn nhất gấp 9 lần góc nhỏ nhất .
Dạng 5 : Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
1) Tính tổng :

1 1 2 4
+ + +
+ ...
2 3 9 27
1 1 1 1 1
1
+
+ ...
c) S = 1 − + − + −
2 3 4 9 16 27
1
1
1
1
+
+
+ ... +
e) S =
( HD :
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
a) S =

1 1
1

1
+ 2 − 3 + 4 + ...
2 2
2 2
1 1
1
d) S = 3 + + + ... + n + ...
2 4
2
b) S = 1 −

1
1
1
1 1 1
1
1 1
= −
= − ,..,
= − ,
)
n(n + 1) n n + 1
1.2 1 2 2.3 2 3

2) Viêt số a = 5,121212…dưới dạng phân số . ( HD : a = 5+0,12+0,0012+..=5+

12
12
+
+ .... )

100 10000

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

17


TRƯỜNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

SỞ GD VÀ ĐT TIỀN GIANG
TRƯƠNG THPT HUỲNH VĂN SÂM

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 NĂM HỌC 2011 -2012
Môn toán – khối 11 , Thời gian 120 phút

Bài 1 : ( 3 điểm ) Giải các phương trình :
1) cos22x + cos2x = 1
2) 2 + cos2x + sin2x = 3sin2x
3) sinx + cos2x +sin3x + cos4x = 0
Bài 2 : ( 2 điểm )
1) Cho 10 điểm trên đường tròn ( C )
a) Có bao nhiêu tam giác được tạo nên từ 10 điểm đã cho ?
b) Có bao nhiêu đường chéo từ đa giác lồi được tạo từ 10 điểm trên .
3
x −2
2) Giải phương trình : Ax + C x = 14 x

2

3) Tìm số hạng thứ tư trong khai triển  x − 

x


5

Bài 3 : ( 1 điểm)

3u1 + 2u3 = −4
. Tìm u1 và d
4u 2 + 5u 5 = 18

Cho cấp số cộng (un) sao cho : 

Bài 4 : ( 2 điểm )
Trong mpOxy cho đường thẳng (d) :2x – y + 3 = 0 và đường tròn ( C ) : x 2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0

1)

→

Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến véc tơ u = (−2;1)
2) Tìm ảnh của ( C ) qua phép vị tự tâm I(2;3) ,tỉ số k = 2 .
Bài 5 : ( 2 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành ,tâm O .
1)Tìm giao tuyến của hao mặt phẳng :
a)(SAC) và (SBD)
b)(SAB) và (SCD)
2) Gọi M là trung điểm của SD . Tìm giao điểm của :
a) SA với mp(MBC)
b) SO với mp(MBC)
( Hình vẽ được 0,5 điểm )

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 HKI NĂM HỌC 2012- 2013

18