TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG VÀNH
EUCLIDE

Giảng viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

TS. Lê Phương Thảo

Ngô Thuận Dủ
MSSV: 1110088
Lớp: SP Toán – Tin K37

Cần Thơ, 2015


LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành luận văn này, em đã trang bị đầy đủ những kiến thức cần thiết và
sự giúp đỡ của quý thầy, cô trong bộ môn đã giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Đặc biệt, em xin chân thành gởi lời cám ơn sâu sắc đến Cô Lê Phương Thảo, Cô
đã giúp đỡ rất nhiệt tình và tận tình, để em có thể hoàn thành tốt luận văn này.
Và em cũng gởi lời cám ơn đến các bạn trong thời gian làm luận văn đã ủng hộ

tình thần và giúp đỡ em hoàn thành luận văn. Gia đình cũng đã ủng hộ, động viên.
Tuy nhiên, đã được Cô hướng dẫn tận tình và em đã cố gắng rất nhiều, nhưng do
kiến thức vẫn còn hạn chế nên luận văn không tránh được những sơ sót. Mong quý
thầy, cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện hơn!
Em xin chân thành cám ơn!
Cần Thơ, ngày tháng

năm 2015

Sinh viên Ngô Thuận Dủ.

2


MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................. 6
BẢNG VIẾT TẮT, KÝ HIỆU ........................................................................ 8
Chương I. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................ 9
1.1

Vành ..................................................................................................... 9

1.1.1

Định nghĩa ..................................................................................... 9

1.1.2

Tính chất ..................................................................................... 10


1.1.3

Ví dụ............................................................................................. 10

1.2

Vành con ............................................................................................ 10

1.2.1

Định nghĩa ................................................................................... 10

1.2.2

Định lí 1 (Tiêu chuẩn nhận biết một vành con) ........................ 11

1.2.3

Ví dụ............................................................................................. 11

1.3

Ideal.................................................................................................... 12

1.3.1

Định nghĩa ................................................................................... 12

1.3.2


Định lí 2 ....................................................................................... 12

1.3.3

Ví dụ............................................................................................. 13

1.3.4

Ideal sinh bởi một tập hợp – Ideal chính ................................. 13

1.4

Miền nguyên ...................................................................................... 14

1.4.1

Định nghĩa ................................................................................... 14

1.4.2

Ví dụ............................................................................................. 14

1.5

Trường ............................................................................................... 14

1.5.1

Định nghĩa ................................................................................... 14


1.5.2

Ví dụ............................................................................................. 14

1.5.3

Trường con.................................................................................. 14

1.6

Bài tập ................................................................................................ 15

Chương 2. VÀNH ĐA THỨC - VÀNH EUCLIDE ................................... 22
2.1

Ideal nguyên tố và ideal tối đại........................................................ 22

2.1.1

Định nghĩa ................................................................................... 22
3


2.1.2

Tính chất ..................................................................................... 22

2.1.3


Ví dụ............................................................................................. 23

2.2

Vành chính ........................................................................................ 24

2.2.1

Các khái niệm ............................................................................. 24

2.2.2

Định nghĩa ................................................................................... 24

2.2.3

Mệnh đề 1 .................................................................................... 24

2.3

Vành đa thức ..................................................................................... 25

2.3.1

Định nghĩa ................................................................................... 25

2.3.2

Định lí 4 ....................................................................................... 27


2.3.3

Định lí 5 (Thuật chia Euclide) ................................................... 27

2.3.4

Đa thức bất khả quy trên miền nguyên.................................... 27

2.3.5

Nghiệm của đa thức.................................................................... 28

2.3.6

Tiêu chuẩn Eisenstein ................................................................ 29

2.3.7

Phương trình bậc 3..................................................................... 30

2.4

Vành Euclide ..................................................................................... 31

2.4.1

Định nghĩa ................................................................................... 31

2.4.2


Định lí 7 ....................................................................................... 33

2.4.3

Bổ đề 1 ......................................................................................... 33

2.5

Bài tập ................................................................................................ 33

Chương III. ỨNG DỤNG VÀNH EUCLIDE............................................. 48
3.1

Bài toán tìm ước chung lớn nhất ..................................................... 48

3.1.1

Bổ đề 2 ......................................................................................... 48

3.1.2

Thuật toán Euclide ..................................................................... 48

3.1.3

Phép chia Euclide ....................................................................... 50

3.1.4

Mối liên hệ giữa bội chung nhỏ nhất (BCNN) và ƯCLN ....... 53


3.1.5

Bài tập.......................................................................................... 54

3.2

Bài toán phương trình Diophante ax + by = c ................................ 64

3.2.1

Điều kiện có nghiệm của phương trình Diophante ................. 64

3.2.2

Liên phân số và giản phân ......................................................... 64

3.2.3

Xác định nghiệm ban đầu của phương trình Diophante ........ 67
4


3.2.4
3.3

Bài tập.......................................................................................... 70

Bài toán phương trình Pell x2 – dy2 = 1 (2) ..................................... 80


3.3.1

Tập hợp nghiệm của phương trình Pell ................................... 80

3.3.2

Giải phương trình Pell bằng liên phân số ................................ 83

3.4

Phương trình Pell tổng quát ............................................................ 87

3.4.1

Mệnh đề 2 .................................................................................... 87

3.4.2

Định nghĩa ................................................................................... 88

3.4.3

Thuật toán giải phương trình Pell tổng quát........................... 90

3.4.4

Chú ý ............................................................................................ 91

3.4.5


Bài tập.......................................................................................... 93

3.5

Bài toán Fermat ................................................................................ 96

3.5.1

Giới thiệu phương trình x n  y n  z n ........................................ 96

3.5.2

Phương trình Pythagore ............................................................ 97

3.5.3

Chứng minh định lí Fermat với n = 4....................................... 99

3.5.4

Chứng minh định lí với n = 3 ................................................. 102

3.5.5

Chứng minh bổ đề Euler ......................................................... 106

3.5.6

Bài tập........................................................................................ 111


3.6

Vành Euclide sinh ra ideal tối đại ................................................. 114

KẾT LUẬN .................................................................................................. 120
TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 121

5


PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong suốt quá trình học tập tại Trường Đại học Cần Thơ, môn học “Lý thuyết
Vành và Trường” là môn học làm em thích thú và nghiên cứu sâu. Các kiến thức
mới lạ và ứng dụng của nó đã làm em thấy thú vị khi tiếp cận môn học này. Phần
nhỏ của môn học đó mà em cảm thấy bị cuốn hút là vành Euclide. Khi nói đến vành
Euclide thì nó có các tính chất mới lạ và ứng dụng đã làm em say mê khi nghiên
cứu về nó. Với cách học theo chế độ tín chỉ hiện nay thì việc nghiên cứu của sinh
viên là quan trọng, tự mình tìm ra nhiều điều thú vị từ môn học và đó là lý do em
chọn đề tài “VÀNH EUCLIDE VÀ ỨNG DỤNG VÀNH EUCLIDE”. Nói đến
vành Euclide thì phép toán đặc trưng là phép chia, ứng dụng của vành Euclide là
tìm ước chung lớn nhất của hai số, vành Euclide sinh ra ideal tối đại,…..
Đặc biệt, thuật toán Euclide là một thuật toán để xác định ước chung lớn nhất
(GCD – Greatest Common Divisor) của hai phần tử thuộc vành Euclide. Điều quan
trọng chủ yếu là nó không yêu cầu việc phân tích thành thừa số nguyên tố của số
nguyên và nó cũng mang ý nghĩa lớn vì nó là một trong những thuật toán cổ nhất
được biết đến từ thời Hy Lạp cổ đại.
II. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng nghiên cứu của đề tài này là các bài toán về vành, vành con, miền
nguyên, trường, ideal tối đại, ideal nguyên tố, các bài toán về ứng dụng của vành

Euclide như: tìm ước chung lớn nhất, phương trình Diophante, bài toán Fermat,….
III.

MỤC ĐÍCH VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Nhằm tìm hiểu về vành, các vành đặc biệt và trong đó có vành Euclide. Hiểu
thêm ứng dụng của vành Euclide trong các bài toán và có thêm các kỹ thuật giải
toán.
Nội dung nghiên cứu gồm:
-

Chương I. Kiến thức chuẩn bị: Hệ thống lý thuyết và các bài tập về vành,
miền nguyên và trường.

-

Chương II. Vành đa thứ - vành Euclide: Tổng hợp lý thuyết và bài tập, đặc
biệt là bài tập về vành Euclide từ nhiều nguồn tài liệu.
6


-

Chương III. Ứng dụng vành Euclide: Các bài tập ứng dụng vành Euclide.

IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Sưu tầm các tài liệu, tổng hợp lại các lý thuyết và bài tập cho từng chương. Trên
cơ sở đó, phân tích các bài toán và đưa ra các bài tập tương tự. Cuối cùng là lời giải
chi tiết các bài tập minh họa.
V. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN

-

Nhận đề tài, tìm tài liệu liên quan.

-

Nghiên cứu các tài liệu.

-

Lập đề cương chi tiết.

-

Xin ý kiến của giảng viên hướng dẫn.

-

Thực hiện đề tài.

-

Trình bày luận văn.

7


BẢNG VIẾT TẮT, KÝ HIỆU
Ký hiệu


Ý nghĩa

x, P( x)

Với mọi x, P(x)

x, P( x)

Tồn tại x, P(x)

ab

a là ước của b
Tập hợp các số tự nhiên
Tập hợp các số nguyên
Tập hợp các số hữu tỉ
Tập hợp các số thực
Tập hợp các số phức



Tập hợp rỗng



Kết thúc phần chứng minh, bài tập

 a; b 

Cặp phần tử


C( X )

Tâm của nhóm X

A  B( A  B)
B  A( A  B)

A là tập con của tập hợp B

<a> hay (a)

Ideal chính sinh bởi phần tử a

A B

Tích Descartes của hai tập hợp A và B

f : AB
f
A 
B

Ánh xạ f từ A đến B

 a, b 

Ước chung lớn nhất của số a và b

 a, b 


Bội chung nhỏ nhất của số a và b

deg f ( x)

Bậc của f(x)

8


Chương I.
1.1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Vành

1.1.1 Định nghĩa
Một tập hợp X gọi là vành nếu trên X có xác định hai phép toán hai ngôi gồm
phép cộng (+) và phép nhân (•), thỏa mãn các điều kiện sau:
V1: Tập hợp X là một nhóm giao hoán (nhóm Aben) đối với phép toán cộng.
V2: Tập hợp X là nửa nhóm đối với phép toán nhân.
V3: Phép toán nhân phân phối đối với phép toán cộng.
Để hiểu rõ hơn, tập hợp X là vành nếu nó được trang bị hai phép toán hai ngôi
trên X là theo lối cộng và theo lối nhân, thỏa mãn các điều kiện sau:
Với mọi x, y , z  X
V1 (X,+) là một nhóm Aben
(1)  x  y   z  x   y  z 
(2) 0  X : 0  x  x  0  x
(3) ( x)  X : x  ( x)  ( x)  x  0

(4) x  y  y  x
V2 (X,•) là nửa nhóm  xy  z  x  yz 
V3 Phép toán nhân phân phối đối với phép toán cộng
Phân phối trái: x( y  z )  xy  xz
Phân phối phải:  y  z  x  yx  zx
Lưu ý:
Nhóm (X, +) là nhóm cộng của vành X. Trong đó, phần tử trung lập (hay là phần
tử không) kí hiệu là 0. Phần tử đối xứng của phần tử x  X gọi là phần đối của x, kí
hiệu là – x.
Nếu phép nhân trên X có tính chất giao hoán thì vành X gọi là vành giao hoán.

9


Nếu phép nhân có phần tử đơn vị (kí hiệu e hay 1) thì vành X gọi là vành có đơn vị.
1.1.2 Tính chất
Sau đây là là một số tính chất của vành được suy ra từ định nghĩa.
Giả sử X là vành.
Tính chất 1. Với mọi x, y  X . Ta có:
(1) x( y  z )  xy  xz
(2) ( y  z) x  yx  zx
(tính chất phân phối phép nhân đối với phép trừ)
Tính chất 2. Với mọi x  X . Ta có: 0x  x0  0
Tình chất 3. Với mọi x, y  X . Ta có:
(1) x( y)  ( x) y   xy
(2) ( x)( y)  xy
Tính chất 4. Với mọi x, y  X . Ta có:

 n  m  n m
  xi    y j    ( xi y j ) (luật phân phối tổng quát)

 i 1   j 1  i 1 j 1
1.1.3 Ví dụ
(1) Dễ thấy với phép toán cộng và phép nhân thông thường các số thì các tập
hợp

, , ,

đều là những vành giao hoán, có đơn vị là 1. Ta lần lượt gọi là

vành các số nguyên, vành các số hữu tỉ, vành các số thực và vành các số phức.
(2) Gọi M (n, ) là tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n, với các phần tử là số
thực. Khi đó với hai phép toán cộng và phép toán nhân các ma trận, M (n, )
là một vành có đơn vị, không giao hoán nếu n  1. Tương tự, ta có các vành:

M (n, ); M (n, ); M (n, ).
1.2

Vành con

1.2.1 Định nghĩa
Giả sử X là một vành và A là một tập con khác rỗng ổn định đối với hai phép
toán trong X, nghĩa là x  y  A, xy  A với x, y  A . Tập A được gọi là một vành
con của vành X, nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành.

10


1.2.2 Định lí 1 (Tiêu chuẩn nhận biết một vành con)
Giả sử A là một tập con khác rỗng của vành X, khi đó các điều kiện sau là tương
đương:

a. A là một vành con của vành X.
b. Với x, y  A, ta có: x  y  A, xy  A và  x  A .
c. Với x, y  A, ta có: x  y  A, xy  A .
1.2.3 Ví dụ
Ví dụ 1
(1) Vành

là vành con của vành

.

(2) Bất kỳ một vành X nào cũng có hai vành con tầm thường là vành không (chỉ
gồm phần tử 0 của vành X) và bản thân vành X.
Ví dụ 2 Chứng minh rằng: Nếu k là một số nguyên cho trước thì tập
k  kn n 

 là một vành con của vành các số nguyên

.

Giải
Nhận xét: Ta chứng minh vành con bằng định lí 1, điều kiện tương đương với
x, y  A, ta có: x  y  A, xy  A .

Ta có:

x  k , m  : x  km
y  k , n  : y  kn
Thật vậy, hiển nhiên   k 
x  y  km  kn  k (m  n)  k


xy  km.kn  k (kmn)  k
Từ đó suy ra: k là vành con của
Ví dụ 3 Chứng minh rằng:

.

 2   a  b

2 a, b 

 với phép toán cộng và

nhân các số lập thành một vành giao hoán, có đơn vị của vành các số thực .
Giải
Nhận xét: Ta có thể chứng minh là vành con rồi suy ra là một vành, nhờ vào các
điều kiện tương đương của định lí mục 1.2.2 của vành con.

11


Thật vậy: Hiển nhiên

 2 

 2  vì vậy  2    .
Với x  a  b 2   2 
y  c  d 2   2

n ,n  n  0 2 


Ta có: x  y  (a  b 2)  (c  d 2)  ( a  c)  (b  d ) 2 

xy  (a  b 2)(c  d 2)   ac  2bd    bc  ad  2 
Như vậy,

 2  là một vành con của vành

. Do

 2

 2
là vành nên

 2  là một

vành.
Ta lại có,

là vành giao hoán nên

 2  có đơn vị là 1  1  0
1.3

 2  cũng là một vành giao hoán và vành

2.

Ideal


1.3.1 Định nghĩa
Giả sử X là một vành.
(1) Vành con A của X gọi là ideal trái của X nếu xa  A, x  X và a  A.
(2) Vành con A của X gọi là ideal phải của X nếu ax  A, x  X và a  A.
(3) Vành con A của X gọi là ideal của X nếu A vừa là ideal trái và là ideal phải
của X .
Đối với vành giao hoán, các khái niệm ideal trái, ideal phải và ideal là trùng
nhau.
Chú ý: Giả sử X là vành có đơn vị và A là ideal của X chứa đơn vị của X. Khi
đó: A  X  1 A. (1 là phần tử đơn vị của X ).
1.3.2 Định lí 2
Môt tập con A   của một vành X là ideal của X khi và chỉ khi các điều kiện
sau thỏa mãn:
a. Với mọi a, b  A, ta có: a  b  A.

12


b. Với mọi a  A và x  X , ta có: xa  A và ax  A .
1.3.3 Ví dụ
Ví dụ 1
(1) Giả sử X là một vành. Khi đó 0 và X là các ideal của X, gọi là các ideal
tầm thường của X. Mỗi ideal khác 0 và khác X của một vành X được gọi là một
ideal thực sự của vành X.
(2) Tâm C ( X ) của vành X là một vành con của vành X nhưng không là ideal của
vành X.
Ví dụ 2 Cho X là vành giao hoán, có đơn vị và a  X . Chứng minh rằng:
A  ax x  X  là ideal của X.


Giải
Hiển nhiên: A  X và A   vì 0  a.0  A .

ax, bx  A : ax  bx  (a  b) x  A
ax  A,   X :  ax   a  x   A , tương tự:   ax   a  x   A .

Vậy A là ideal của vành X. 
1.3.4

Ideal sinh bởi một tập hợp – Ideal chính

(1) Giả sử S  X là một bộ phận con của vành X. Ta để ý đến họ những ideal
của vành X mà có chứa tập S. Họ này khác rỗng vì ít nhất cũng có một ideal chứa S
là ideal tầm thường X.
Gọi A là giao tất cả các ideal của vành X có chứa tập S. Ta có A là ideal của vành
X và đó chính là ideal nhỏ nhất của vành X có chứa tập S. Ta gọi ideal A là ideal
sinh bởi tập S.
Nếu S  a1 , a2 , a3 ,..., an  thì ideal A được gọi là ideal sinh ra bởi các phần tử
a1 , a2 , a3 ,..., an .

(2) Nếu bộ phận S chỉ gồm một phần tử a thì ideal sinh bởi phần tử a được gọi
là ideal chính. Kí hiệu a hay  a  .

13


1.4

Miền nguyên


1.4.1 Định nghĩa
(1) Giả sử X là một vành, phần tử a  0 của X gọi là ước của không, nếu tồn tại
phần tử b  0 của X sao cho ab=0 hoặc ba=0.
(2) Một vành X được gọi là một miền nguyên nếu X là vành giao hoán, có đơn
vị, có nhiều hơn một phần tử và không có ước của không.
1.4.2 Ví dụ
(1) Vành các số nguyên
(2) Vành

n



n

, số hữu tỷ

là miền nguyên.

là một miền nguyên khi và chỉ khi n là một số nguyên tố.

(3) Vành M (n, ) không phải là một miền nguyên nếu n>1.
1.5

Trường

1.5.1 Định nghĩa
Một tập hợp X được gọi là một trường nếu X là một vành giao hoán, có đơn vị,
có nhiều hơn một phần tử và mọi phần tử khác không đều khả nghịch.
Nói rõ hơn thì một tập hợp X là một trường nếu trên X có xác định hai phép toán

cộng và nhân thỏa mãn các điều kiện sau:
T1 : X là một nhóm Aben đối với phép cộng.
T2 : X

0 là một nhóm Aben đối với phép nhân.

T3 : Phép nhân phân phối đối với phép cộng.
1.5.2 Ví dụ
(1) Mỗi vành
(2) Vành

, ,

đều là một trường.

n các số nguyên mod n là một trường khi và chỉ khi n là một số

nguyên tố.
1.5.3 Trường con
a. Định nghĩa
Giả sử X là một trường. Tập con A khác rỗng được gọi là trường con của X nếu
A ổn định với hai phép toán trong X và A cùng với hai phép toán cảm sinh là một
trường.

14


b. Định lí 3 (Tiêu chuẩn nhận biết một trường con)
Giả sử A là một tập con có nhiều hơn một phần tử của một trường X. Khi đó các
điều kiện sau là tương đương:

(1) A là một trường con của X.
(2) x, y  A, x  y  A, xy 1  A nếu y  0.
(3) x, y  A, x  y  A, xy  A,  x  A, x 1  A nếu x  0.
c. Ví dụ
(1) Giả sử X là một trường. Khi đó X là một trường con của chính nó.
(2) Trường số hữu tỷ
1.6

là trường con của trường số thực

.

Bài tập

BÀI TẬP 1. Chứng minh rằng tập

(i)  a  bi a, b 

 với hai phép toán cộng

và phép toán nhân lập thành một vành giao hoán, có đơn vị.
Giải
Ta chứng minh tập

 i   a  bi a, b   là một vành con của vành các số thực

. Thật vậy, ta có:
Vì

 i  nên




x  a  bi 
y  c  di 

 i   . Với

i 
i 

Ta có x  y  a  bi  c  di   a  c    b  d  i 

xy   a  bi  c  di    ac  bd    bc  ad  i 
Như vậy,
hoán nên
Vậy

i .

i  .

 i  là một vành con của vành các số thực

. Do

là vành giao

 i  cũng là một vành giao hoán và vành  i  có đơn vị là: 1  1  0i.
 i  là một vành giao hoán, có đơn vị.


m
BÀI TẬP 2. Cho tập hợp A   
n
vành con của vành


m, n  ; n  2k  1. Chứng minh rằng A là


các số hữu tỷ. Tìm các phần tử khả nghịch trong A.
Giải

15


Thật vậy, ta có: m 
Với x 

m
A
1

 A  A   và A  .

a
c
 A, y   A
b
d


Ta có x  y 

a c ac
a c ad  bc
 
 A.
 A và xy   
b d bd
b d
bd

Như vậy, A là một vành con của vành các số hữu tỷ
Giả sử

.

m x mx
x
m
 
 1 , suy ra
 A có khả nghịch trong A là , khi đó
n y ny
y
n

mx  ny . Do n và y là số lẻ nên m và x cũng phải có dạng 2k  1, k  . Vậy các

phần tử khả nghịch của A là


m
, trong đó m và n đều có dạng 2k  1, k  .
n

BÀI TẬP 3. Giả sử f : X  X là một tự đồng cấu của vành X. Chứng minh rằng
tập hợp A  x  X f ( x)  x là một vành con của vành X.
Giải
Thật vậy, ta có: f 1  1 A 

 A  A   và A  X .

Với a, b  A : f  a   a, f  b   b , ta có:

f  a  b   f  a   f  b    a  b   A và f  ab   f  a   f  b   ab  A.
Suy ra A là một vành con của vành X .
BÀI TẬP 4. Cho X là vành. Tập con của X là C ( X )  a  X ax  xa, x  X  gọi
là tâm của vành X.
a. Chứng minh rằng tâm của vành X là vành con giao hoán của X.
b. Tìm tâm của vành M (n, ).
Giải
a. C ( X )  a  X ax  xa, x  X 
Do x  C  X  : 0 x  x0  0  C  X   C  X   .
Giả sử a, b  C  x  và x  X , ta có:

x  a  b   xa  xb  ax  bx   a  b  x và  ab  x  a  bx   a  xb   x  ab  .

16



Suy ra a  b  C  X  , ab  C  X  . Vậy C  x  là vành con của X, hiển nhiên

C  X  là vành giao hoán.
b. Gọi I n là ma trận đơn vị cấp n, với mọi a 

thì aI n  C  X  .

Ngược lại, giả sử A là tâm của vành X. Gọi Tij là ma trận có các phần tử trên
đường chéo chính và ở vị trí  i, j   1 , còn các vị trí khác đều bằng 0.
Vì
C Mn,

Ty A  ATy

suy

ra

aii  a jj , aij  0 .

Vậy

A  aI n ,

do

đó

  aI n a  .


a b 

BÀI TẬP 5. Chứng minh rằng I   
a, b, c   là vành con của vành

 0 c 

M 2 ( ) các ma trận vuông cấp hai.

Giải

a b 

Rõ ràng tập hợp I   
a, b, c   là một tập con khác rỗng của vành

 0 c 

M 2 ( ) các ma trận vuông cấp hai. Suy ra   I  M 2 

a b 
a
Với A   1 1  , B   2
 0 c1 
0
a b  a
A  B   1 1   2
 0 c1   0
a a
AB   1 2

 0

.

b2 
 I , ta có:
c2 

b2   a1  a2

c2   0

b1  b2 
 I và
c1  c2 

a1b2  b1c2 
I
c1c2 

Vậy X là vành con của vành M 2 ( ) các ma trận vuông cấp hai.
BÀI TẬP 6. Cho X là một vành tùy ý, n là số tự nhiên cho trước. Chứng minh rằng
tập A  x  X nx  0 là một ideal của vành X.
Giải
Vì n.0  0 nên 0  A    A  X .

17


na  0

Với mọi a, b  A ; ta có: 
nb  0

n  a  b   a  b  a  b  ...  a  b  a  a  ...  a  b  b  ...  b  na  nb
n

 a  b  A.

n

n

Với mọi a  A, y  X : na  0 ; ta có:

n  ay    na  y  0 y  0  ay  A
Tương tự, n  ya   y  na   0 y  0  ya  A
Vậy tập A là một ideal của vành X.
BÀI TẬP 7. Giả sử B và A là một ideal của một vành X và A  B . Chứng minh
rằng tập B A   x  A x  B  X A là một ideal của vành X A.
Giải
Hiển nhiên   B A  X / A. Giả sử x1  A, x2  A  B / A . Khi đó x1 , x2  B và
do

B

là

ideal

của


vành

X

x1  x2  B .

nên

Từ

đó

ta

có,

 x1  A   x2  A   x1  x2   A  B / A.
Với mọi x  A  B / A, x  A  X / A . Khi đó x  B, x  X và do B là ideal của
vành X nên xx  B . Bởi vậy ta có

 x  A x  A  B / A . Vậy

 x  A x  A  xx  A  B / A ,

tương tự

B A là một ideal của vành X A.

BÀI TẬP 8. Tìm tất cả các ideal của vành


2



và

10

.



2

,

2

Giải


Ta có

2

Ta có

10




2

có các ideal là

 0,0,

2



/ 10 . Ta biết các ideal của

m là ước của 10 nên ta có

/10 

10

2

, 0 

2



 0 .


đều có dạng m , m và số thực

, 2 /10 ,5 /10 ,10 /10  0.

18


BÀI TẬP 9. Cho X là một vành. Đặt:

a b 

Y  
a
,
b
,
c

X


0 c 


và

 0 a 

S  
a  X  . Chứng minh rằng:


 0 0 

a. Y lập thành một vành với hai phép toán cộng và phép nhân ma trận.
b. S là ideal của Y.
Giải
a. Chứng minh ở BÀI TẬP 5.

 0 a 

b. Rõ ràng tập hợp S   
a  X  là một tập con khác rỗng của vành

 0 0 

M 2 ( ) các ma trận vuông cấp hai. Suy ra   S  M 2 

a
0 a1 
Với A1  
, A2   2

0 0 
0

.

b2 
a b
 S, B  


  Y , ta có:
c2 
0 c 

0 aa1 
0 ac1 
0 a1  a2 
,
và
A1  A2  
BA
A
B




S
S
1
1
0 0 
0 0   S
0 


0



Vậy S là ideal của vành Y.
BÀI TẬP 10. Phần tử a được gọi là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương n sao cho

an  0 . Chứng minh rằng nếu a là một phần tử lũy linh của vành X thì 1  a là khả
nghịch và tìm 1  a  .
1

Giải





Ta có: 1  a  1  a  a 2  ...  a n1  1  a n  1  0  1. Từ đó suy ra 1  a là khả
nghịch. Suy ra 1  a   1  a  a 2  ...  a n1.
1



BÀI TẬP 11. Chứng minh rằng A  a  b 3 a, b 

 là một miền nguyên.

Giải
Nhận xét: Để chứng minh A là một miền nguyên, do nhận thấy A là một bộ
phận của trường các số phức cùng với phép cộng và phép nhân nên trước hết ta phải
chứng minh A là vành con của vành các số phức.

19



Thật vậy, n  n  0 3  n   A    A  .
Với mọi x  a  b 3  A, y  c  d 3  A . Khi đó:
x  y  a  b 3  c  d 3   a  c    b  d  3  A.







xy  a  b 3 c  d 3   ac  3bd    ad  bc  3  A.
Suy ra A là một vành con của vành các số thực
Vì trường các số phức

.

là giao hoán, không có ước của 0 nên A cũng là giao

hoán, không có ước của 0. Hơn nữa, đơn vị 1  1  0 3  A . Suy ra A là vành giao
hoán, có đơn vị và không có ước của 0.
Vậy A là một miền nguyên.

 a b 

BÀI TẬP 12. Chứng minh rằng tập S   
a, b   là một trường đối với

  b a 


phép cộng và phép nhân của ma trận.
Giải
 Ta thấy lực lượng của tập S nhiều hon 1 hay S  1.

 a b
c
 Với mọi A  
,B  

 b a 
 d

d
 S với a, b, c, d 
c 

. Khi đó:

bd
bc  ad 
 ac
 ac  bd
A B  
 S , AB  

S

b

d

a

c

bc

ad
ac

bd








Suy ra tập S là vành con của M 2 

S

là một vành.

 a b  1 0   a b 
Ta thấy I 2 là ma trận đơn vị của vành S hay AI 2  
.

.
 b a  0 1  b a 


bc  ad 
 ac  bd
Ta lại có: BA  
  AB. Suy ra vành S là một vành giao
   bc  ad  ac  bd 
hoán, có đơn vị.

 a b
Với mọi A  
  S với a, b 

b
a



. Khi đó tồn tại ma trân C  S : A.C  I 2 ,

mâ trận C là ma trận nghịch đảo của ma trận A.

20


a
b 

 2
2
2


 a b
a b
a  b2 
  I 2 . Vậy tập S là một trường.
Ta có: 
.
a

 b a      b 
  a 2  b 2  a 2  b 2 
BÀI TẬP 13. Chứng minh rằng tập
của trường các số thực



 2   a  b 2 a, b 
 

 là một trường con

.
Giải

Thật vậy, r 

:r  r 0 2

 2 
 


Với mọi x  a  b 2, y  c  d 2 



 2   
 

 2  .
 

 2  . Khi đó:
 

x  y  a  b 2  c  d 2   a  c   b  d  2 

 2 .
 

Giả sử y  c  d 2  0 , ta có







ab 2 cd 2
x ab 2
ac  2bd bc  ad





2
y cd 2
c 2  2d 2
c 2  2d 2 c 2  2d 2
Vậy

 2  là một trường con của trường các số thực
 

21

.

 2 .
 


Chương 2.
2.1

VÀNH ĐA THỨC - VÀNH EUCLIDE

Ideal nguyên tố và ideal tối đại

2.1.1 Định nghĩa
Giả sử X là một vành giao hoán, có đơn vị:

1. Ideal P của vành X được gọi là ideal nguyên tố nếu P  X và x, y  X từ
xy  P suy ra rằng x  P hoặc y  P.

2. Ideal M của vành X được gọi là ideal tối đại nếu M  X và tồn tại A là ideal
của X sao cho M  A  X  M  A thì A  X  1 A.
2.1.2 Tính chất
1. Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị. Ideal P của X là ideal nguyên tố khi và
chỉ khi vành thương X P là một miền nguyên.
Chứng minh
Giả sử P là ideal nguyên tố của X. Do P  X nên X P  0  P . Với mọi
x, y  X ; ta có

 x  P  y  P   xy  P  0.

Khi và chỉ khi xy  P suy ra x  P

hoặc y  P hay xy  P  0. Do đó X P không có ước của không. Vậy X P là một
miền nguyên.
Ngược lại, X P là một miền nguyên thì P  X . Với mọi x, y  X thì xy  P
khi và chỉ khi  x  P  y  P   xy  P  0  x  P  0 hoặc y  P  0 hay x  P
hoặc y  P. Vậy P là ideal nguyên tố. 
2. Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị. Ideal M của X là ideal tối đại khi và
chỉ khi vành thương X M là một trường.
Chứng minh
Giả sử M là ideal tối đại của X. Khi đó M  X , nên X M  0 . Giả sử
x  M  X M , x  M  0; ta có x  M . Gọi A  x. y y  X   xX là một ideal

sinh bởi x  X . Vậy A  M là một ideal của X thực sự chứa M. Vì M là ideal tối đại
nên A  M  X , do đó tồn tại y  X , m  M : xy  m  1 hay xy  1   m  M . Vậy


22


 x  M  y  M   xy  M  1  M , tức là

x  M khả nghịch. Do đó X M là một

trường.
Ngược lại, giả sử X M là một trường và A là một ideal của X thực sự chứa M.
Khi đó M  X và tồn tại x  A mà x  M , do đó x  M  0 . Do X M là trường
nên x  M có nghịch đảo là y  M , tức là  x  M  y  M   xy  M  1  M .
Từ đó xy  1  m  M hay xy  m  1  A  A  X . Vậy M là ideal tối đại. 
3. Giả sử X là vành giao hoán, có đơn vị. Khi đó:
i. Ideal {0} của X là nguyên tố khi và chỉ khi X là một miền nguyên.
ii. Ideal {0} của X là tối đại khi và chỉ khi X là một trường.
2.1.3 Ví dụ
Xét vành các số nguyên
M p

. Giả sử M là ideal khác không của

, khi đó

là ideal nguyên tố khi và chỉ khi p là số nguyên tố.

Chứng minh
Ta có M  p

là ideal nguyên tố khác không trong


thì p là số nguyên tố.

Thật vậy, giả sử p  km với k  1, m  p thì km  M . Do M là ideal nguyên tố
nên k  M hoặc m  M . Mâu thuẫn.
Ngược lại, nếu p là một số nguyên tố thì M  p là một ideal nguyên tố.
Hiển nhiên M 

, giả sử m, n  ; m.n  M thì m.n chia hết cho p. Do đó m

chia hết cho p hoặc n chia hết cho p (do p nguyên tố) hay m  p
Vậy M  p

hoặc n  p .

là ideal nguyên tố.

Như vậy M  p

là ideal nguyên tố khác không trong

khi và chỉ khi p là số

nguyên tố.
Hơn nữa, mỗi ideal nguyên tố khác không p trong
Thật vậy, giả sử A  p là một ideal của

n  kp, k  do p là số nguyên tố và p  n
ideal tối đại. 

23


là một ideal tối đại.
chứa n

và A  n , thì

nên p= 1 hay A 

. Vậy p là


2.2

Vành chính

2.2.1 Các khái niệm
a. Định nghĩa
Giả sử X vành giao hoán có đơn vị.
Phần tử c  X được gọi là phần tử bất khả quy nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i. Phần tử c  0 và c không khả nghịch.
ii. Nếu c  ab với a, b  X thì a khả nghịch hoặc b khả nghịch.
Phần tử p  X được gọi là nguyên tố nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
i. Phần tử p  0 và p không khả nghịch.
ii. Nếu p | ab với a, b  X thì p | a hoặc p | b.
b. Ví dụ
1. Trong vành

, các số nguyên tố (dương và âm) là các phần tử bất khả quy.

2. Trong vành


 x  (vành đa thức trên trường số thực

) các đa thức bậc nhất

hoặc đa thức bậc 2 không có nghiệm thực đều là những phần tử bất khả quy.
2.2.2 Định nghĩa
Một miền nguyên X được gọi là một vành chính nếu mọi ideal của X đều là ideal
chính.
 Ví dụ Vành các số nguyên
minh rằng mọi ideal A của
Nếu A  0  0.

là một vành chính. Thật vậy, chỉ cần chứng

đều là ideal chính.

thì A là một ideal chính sinh bởi 0. Nếu A  0 , gọi n là số

nguyên dương nhỏ nhất trong A (số này tồn tại, vì có phần tử x  0  A nên  x  A ,
trong hai số x và – x có 1 số luôn dương). Giả sử a  A , chia a cho n ta được:

a  nb  r
Với b, r 

và 0  r  n . Vì A là một ideal và n  A nên nb  A , do đó

r  a  nb  A .
Nếu r  0 thì n không là số nguyên dương bé nhất của A, mâu thuẫn với giả
thiết của số n. Do đó r  0 và a  bn , tức là A  n

2.2.3 Mệnh đề 1
Giả sử X là một vành chính. Khi đó:
24

là ideal chính sinh bởi a. 


i. Nếu p  X là một phần tử bất khả quy thì  p  là ideal tối đại trong X.
ii. Mọi ideal nguyên tố khác không trong X đều là ideal tối đại.
iii. Phần tử p  X là nguyên tố khi và chỉ khi p là bất khả quy.
iv. Mọi cặp phần tử khác không a, b  X đều có ước chung lớn nhất . Nếu d là
ƯCLN của a, b thì d  as  bt  s, t  X  .
Chứng minh
i.

Vì X là một miền nguyên khi đó p là bất khả quy khi và chỉ khi  p  là ideal

tối đại trong tập S tất cả các ideal chính của X.
ii. Giả sử P là một ideal nguyên tố khác không trong X. Vì X vành chính nên

P   p  vì  p  là ideal nguyên tố khác không của X thì p là nguyên tố của X, do
đó p là bất khả quy. Vậy  p  là ideal tối đại (theo i).
iii. Ta có mọi phần tử nguyên tố của X đều bất khả quy thì mọi phần tử nguyên
tố đều bất khả quy. Ngược lại, nếu p  X là bất khả quy thì  p  là ideal tối đại,
do đó  p  là ideal nguyên tố. Vì p  0 nên  p    0  , do đó p là phần tử nguyên
tố.
iv. Tập con A  ax  by x, y  X  là một ideal của vành X (đó chính là ideal
của X sinh bởi tập S  a, b ). Vì X là một vành chính nên A   d  với d  A .
Rõ ràng a, b  A do đó d | a, d | b . Vì d  A nên tồn tại các phần tử s, t  X sao
cho d  as  bt . Giả sử c  X , c | a và c | b tức là a  ca ', b  cb '  a ', b '  X  , khi

đó d  ca ' s  cb ' t  c  a ' s  b ' t  hay c | d . Vậy d  as  bt là ước chung lớn
nhất của a và b. 
2.3

Vành đa thức

2.3.1 Định nghĩa
Giả sử A là vành giao hoán, có đơn vị 1. Gọi P là tập hợp tất cả các dãy

 a0 , a1 ,..., an ,...

trong đó các ai  A, i 

và chỉ có một số hữu hạn các ai  0 .

Như vậy trong P xác định hai phép toán như sau:

25