TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
TR
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN TOÁN

-----

-----

LU
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Đề tài :

KHÔNG GIAN L

p



Giảng viên hướng
ớng dẫn:
Th.s Lê Hồng Đức
ức

SVTH : Nguyễn
n Tuấn
Tuấ Anh
MSSV : 1110004
Lớp : Sư Phạm
m Toán K37

K3

Cần Thơ, tháng 4 năm 2015


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN

Trên con đường chinh phục thành công, một
phần động lực lớn cho em vượt lên những khó
khăn, thử thách chính là sự quan tâm, giúp đỡ
của các thầy, cô - những người trang bị cho em
kiến thức, kĩ năng vững vàng trong suốt quá
trình học tập, rèn luyện.
Qua bốn năm đại học, dưới sự chỉ dạy, động
viên của các thầy, cô Bộ môn Toán- Khoa Sư
phạm – Trường Đại học Cần Thơ, em càng nhận
thức rõ hơn về năng lực bản thân và cố gắng
phát huy để tiếp tục hành trình lập nghiệp.
Đến đây, em muốn gửi lời cảm ơn chân thành
đến các thầy, cô – đặc biệt là thầy Lê Hồng Đức
đã tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn
này. Kính chúc các thầy, cô nhiều sức khỏe,
thành công trong cuộc sống!

04/2015
Sinh viên

Nguyễn Tuấn Anh

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

Mục lục
A. PHẦN MỞ ĐẦU ……………………………………………………………………1
B. PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1

……………………………………………………………….3
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Bổ túc lý thuyết độ đo .……………………………………………………………3
1.1.1 Đại số . ..……………………………………………………………………3
1.1.2 σ − đại số …………………………………………………………………4
1.1.3 σ − đại số Borel ……………………………………………………………4
1.1.4 Độ đo ………………………………………………………………………5
1.1.5 Định nghĩa …………………………………………………………………6
1.1.6 Hàm đo được ………………………………………………………………6
1.1.7 Khái niệm hầu khắp nơi …………………………………………………..7
1.1.8 Hàm đơn giản ……………………………………………………………..7
1.1.9 Đinh lý ………..……………………………………………………………8
1.1.10 Hội tụ theo độ đo …………………………………………………………8

1.1.11 Định lý …………………………………………………………………….8
1.1.12 Định lý (Egoroff ) ………………………………………………………..9
1.2 Bổ túc lý thuyết tích phân Lebesgue

…………………………………………….9

1.2.1 Khả tích ……………………………………………………………………9
1.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Lebesgue………………………. ……9
SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

1.2.3 Bổ đề Fatou ………………………………………………………………..10
1.2.4 Định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue …………………………………….10
1.3 Bổ túc giải tích hàm ………….………………………………………………….10
1.3.1 Định nghĩa chuẩn …………………………………………………….….10
1.3.2 Hội tụ theo chuẩn ………………………………………………………..12
1.3.3 Không gian Banach ………………………………………………………12
1.3.4 Định lý …………………………………………………………………….13
CHƯƠNG 2

KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH l p VỚI p ∈ ( 0; +∞ )

2.1 Không gian l p với p ∈ (0; + ∞ ) …………………………………………………14
2.1.1 Định nghĩa ………………..…………………………………..………….14

2.1.2 Định nghĩa hàm khả tích cấp p ………... ………………………………15
2.1.3 Định nghĩa f

p

với p ∈ ( 0; +∞ ) ……… …………………………………16

2.1.4 Định lý (Không gian l p ( X , F , µ ) là không gian tuyến tính)………… 16
2.2 Không gian tuyến tính l p với p ∈ [1; + ∞ ) ………………………………………17
2.2.1 Định nghĩa ………………………….……………………………………17
2.2.2 Bổ đề ……………………………………………………………………..18
2.2.3 Định lý (Bất đẳng thức Holder) ………………………………………..18
2.2.4 Các hệ quả ……………………………………………………………….20

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

2.2.5 Định lý (Bất đẳng thức Minkowski) ……………………………………21
KHÔNG GIAN Lp VỚI p ∈ [1; +∞)

CHƯƠNG 3

3.1 Định nghĩa quan hệ tương đương……………………………………………….. 24
3.2 Định nghĩa Lp ( X , F , µ) …..……………………………………………………….24

3.2.1 Định lý (Không gian Lp ( X , F , µ) là không gian tuyến tính)………….. 25
3.2.2 Định lý (Không gian Lp ( X , F , µ) là không gian Banach)……………..26
3.2.3 Định lý

………………………………………………………………….28

3.2.4 Định lý

..………………………….……………………………………30

3.2.5 Định lý

…………………………….…………………………………..30

3.2.6 Định lý

…………………………….…………………………………...33

3.3 Định nghĩa hội tụ yếu…………………………………………….………………34
3.3.1 Định lý

(Điều kiện đủ để một dãy hội tụ yếu)….……...…………….34

3.3.2 Định lý

…………………………………….………………………….35
KHÔNG GIAN L∞

CHƯƠNG 4


4.1 Định nghĩa chặn cốt yếu.………………………………………………………..40
4.2 Định nghĩa

f

∞

…………………………………….……………………………40

4.3 Định nghĩa l ∞ ( X , F , µ ) ……………………………….…………………………41
4.3.1 Định lý 12 (Không gian l ∞ ( X , F , µ ) là không gian tuyến tính)...………41

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

4.3.2 Định lý 13 (BĐT Holder với p = 1 và q = +∞ ) ………………………….42
4.3.3 Định lý 14 (BĐT Minkowski với p = +∞ ) …………….…………………43
4.4 Định nghĩa L∞ ( X , F , µ) ….………………………………………………………44
4.4.1 Định lý 15 ( L∞ ( X , F , µ) là không gian Banach)….……………………..44
4.4.2 Định lý 16 ………………………………………………………………..45
4.5 Định nghĩa hội tụ yếu……………………………………………………………46
4.5.1 Định lý 17 ………………………………………….……………………..47
4.5.2 Định lý 18 ……………………………………………………………..…48
4.5.3 Định lý 19 …………………………………………………………………48

KHÔNG GIAN Lp VỚI p ∈ ( 0;1)

CHƯƠNG 5

5.1 Định nghĩa hàm ρ ………………………………………………………………51
5.1.1 Bổ đề …………………………………….……………………………….51
5.1.2 Định lý 20 ( Lp ( X , F , µ ) là đầy đủ với mêtric ρ )………………………..52
5.2 Định nghĩa g

q

với q ∈ ( −∞;0 ) …………………………..………………………54

5.2.1 Định lý 21 (BĐT Holder với p ∈ ( 0;1) và q ∈ ( −∞;0 ) ) …………………55
5.2.2 Định lý 22 (BĐT Minkowski với p ∈ ( 0;1) ) ……………………………..56
CHƯƠNG 6

BÀI TẬP

58

C. PHẦN KẾT LUẬN ………………………………………….……………………68

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

Lớp: Sư phạm toán học K37


Luận văn tốt nghiệp


Không gian Lp

TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………….………………………..69

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

A. PHẦN MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Để có thể tiếp thu kiến thức toán học hiện đại thì kiến thức cơ bản về “Độ đo và tích
phân Lebesgue” và “Giải tích hàm” là rất cần thiết. Trong quá trình học vì lý do chủ
quan cũng như khách quan kiến thức của em về hai phần trên còn nhiều hạn chế đặc
biệt là “Giải tích hàm”, với mục tiêu hoàn thiện kiến thức cho bản thân trước khi ra
trường, em đã chọn làm luận văn phần Giải tích về “Không gian Lp ”. Đề tài trên được
Thầy hướng dẫn em gợi ý chọn, vì khi làm việc với không gian Lp em không chỉ biết
được các tính chất cơ bản của không gian đó phục vụ cho việc học tập và nghiên cứu
sau này, mà quan trọng hơn hết là em có thể ôn lại các kiến thức mà em chưa vững.
II. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là bổ sung lại kiến thức mảng Giải tích, tìm hiểu
các tính chất cơ bản của các Không gian Lp . Đồng thời, thực hiện luận văn là bước đầu
tạo đà cho các nghiên cứu khoa học sau này. Với cách trình bài khá chi tiết, rõ ràng,
hi vọng luận văn sẽ trở thành một tài liệu tham khảo cho các bạn đọc đam mê nghiên
cứu toán học.
III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Không gian Lp , tính chất cơ bản của không gian đó, cũng như mối liên hệ của các
không gian ứng với giá trị p cụ thể.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích, tổng hợp, khái quát hóa và trừu tượng hóa.
Phân loại, hệ thống kiến thức, chứng minh làm rõ vấn đề.
V. Tóm tắt nội dung nghiên cứu
Luận văn gồm 6 chương:

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 1

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong phần này, trình bày các kiến thức về đại số, σ − đại số, hàm đo được, các
định lý quan trọng của tích phân Lebesgue, các định lý và tính chất quan trọng của
chuẩn trong giải tích hàm phục vụ cho mục sau của luận văn.
CHƯƠNG 2

KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH l p VỚI p ∈ ( 0; +∞ )


Trình bày các khái niệm ban đầu, xây dựng không gian tuyến tính l p từ đó thấy
được sự hạn chế của không gian này vì ở đây ta không thể xây dựng cho nó một chuẩn.
CHƯƠNG 3

KHÔNG GIAN Lp VỚI p ∈ [1; +∞)

Dựa trên nền tảng của không gian l p xây đựng các lớp tương đương từ đó hình
thành không gian Lp , với không gian này cùng với chuẩn được xây dựng ta tìm thấy
rất nhiều tính chất đặc biệt của nó như: Không gian Lp là không gian Banach, mối
quan hệ giữa hội tụ hầu khắp nơi và hội tụ theo chuẩn ở không gian này, tính hội tụ
yếu…
CHƯƠNG 4

KHÔNG GIAN L∞

Ở phần này trình bày cách xây dựng không gian L∞ , các tính chất cơ bản của không
gian này. Từ đó ta thấy được không gian Lp với p ∈ [1; + ∞) và không gian L∞ dù có
cách xây dựng khác nhưng nhưng có rất nhiều tính chất giống nhau, đồng thời
trình bày mối liên hiện của L∞ với Lp .
CHƯƠNG 5

KHÔNG GIAN L VỚI p ∈ ( 0;1)
p

Khác với không gian Lp với p ∈ [1; + ∞) , không gian Lp với p ∈ (0;1) không thể
xây dựng chuẩn giống như Lp với p ∈ [1; + ∞) . Ở đây trình bày cách xây dựng chuẩn
trong không gian này đồng thời trình bày một số tính chất cơ bản của nó.
CHƯƠNG 6

BÀI TẬP


Trình bày các bài tập được chọn lọc, nhằm vận dụng và bổ sung cho lý thuyết đồng
thời cũng xuất hiện các tính chất mới của không gian Lp .
SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 2

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

B. PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Bổ túc lý thuyết độ đo
1.1.1 Đại số
Cho X là một tập tùy ý khác rỗng, A là tập hợp các tập các tập con của X được
gọi là một đại số nếu:
a) X ∈ A.
b) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A.
c) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A.
Tính chất
a) ∅ ∈ A.
n


b) A1 ; A2 ;...; An ∈ A ⇒ ∪ Ai ∈ A.
i =1

n

c) A1 ; A2 ;...; An ∈ A ⇒ ∩ Ai ∈ A.
i =1

d) A; B ∈ A ⇒ A ∩ B ∈ A.
e) A; B ∈ A ⇒ A \ B ∈ A.
Ví dụ:

A = {∅; X } ; A = { A : A ⊂ X } ; A = { X ; A; Ac ; ∅} là các đại số trên X .

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 3

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

1.1.2 σ − đại số
Cho X là một tập tùy ý khác rỗng, F là tập hợp các tập các tập con của X được
gọi là một σ − đại số nếu:
a) X ∈ A.
b) A ∈ A ⇒ Ac ∈ A.

∞

c) A1 ; A2 ;...; An ;... ∈ A ⇒ ∪ Ai ∈ A.
i =1

Cặp ( X , F ) được gọi là không gian đo được.
Tính chất
∞

A1 ; A2 ;...; An ;... ∈ A ⇒ ∩ Ai ∈ A
i =1

Ví dụ:
a) F = {∅; X } ; F = { A : A ⊂ X } ; F = { X ; A; Ac ; ∅} là các σ − đại số trên X .
b) Cho X = [ 0;1] . Họ tập hợp các tập hợp hữu hạn hoặc có phần bù hữu hạn là một
đại số nhưng không phải là một σ − đại số.
Nhận xét:
a) Một đại số đóng với mọi phép toán thực hiện trên hữu hạn các tập hợp.
b) Một σ − đại số đóng với mọi phép toán thực hiện trên hữu hạn hoặc đếm được
các tập hợp.
1.1.3 σ − đại số Borel

σ − đại số Borel trên X là một σ − đại số sinh ra bởi họ tất cả các tập hợp mở trong
không gian tôpô ( X ;τ ) và được ký hiệu là BX .

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 4

Lớp: Sư phạm toán học K37



Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

1.1.4 Độ đo
Một độ đo µ trên một đại số A là hàm tập µ : A → ℝ thỏa mãn:
a) µ ( A) ≥ 0

∀A ∈ A .

b) µ (∅) = 0 .

 ∞  ∞
c) A1 ; A2 ;...; An ;... ∈ A thỏa Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ≠ j thì µ  ∑ Ai  = ∑ µ ( Ai ) .
 i =1  i =1

( X , A, µ ) được xem là một không gian độ đo.
Tính chất:

 n  n
a) A1 ; A2 ;...; An ∈ A thỏa Ai ∩ Aj = ∅ ∀i ≠ j thì µ  ∑ Ai  = ∑ µ ( Ai ) .
 i =1  i =1
b) A; B ∈ A; A ⊂ B ⇒ µ ( A) ≤ µ ( B) .
c) A; B ∈ A; A ⊂ B; µ ( A) < +∞ thì µ ( B \ A) = µ ( B) − µ ( A) .

 ∞  ∞
d) A1 ; A2 ;...; An ;... ∈ A thì µ  ∑ Ai  ≤ ∑ µ ( Ai ) .
 i =1  i =1

Ví dụ: Cho X ≠ ∅
a) A = { X ; ∅} hàm µ được xác định như sau µ (∅) = 0 ; µ ( X ) = 1 là một độ đo
trên đại số A .
b) A = { A : A ⊂ X } hàm µ được xác định như sau µ ( A) = n nếu tập A có n phần
tử và µ ( A) = +∞ nếu tập A là tập vô hạn, là một độ đo trên đại số A .

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 5

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

1.1.5 Định nghĩa
Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) .
a) µ được gọi là độ đo hữu hạn nếu µ ( X ) < +∞ .
b) µ là độ đo σ − hữu hạn nếu tồn tại

{X i} ⊂ F

sao cho µ ( X i ) < +∞ ∀i

và

∞


X = ∪ Xi .
i =1

c) µ được gọi là độ đo đủ nếu:
A ∈ F và µ ( A) = 0 thì B ∈ F ∀B ⊂ A .
1.1.6 Hàm đo được
Hàm f : A → ℝ được gọi là đo được trên tập A nếu A ∈ F ( F là một σ − đại số)
và:
∀a ∈ ℝ , f −1 ( a; +∞ ] = { x ∈ A : f ( x ) > a} ∈ F

Tính chất:
a) Hàm f đo được trên A . B ⊂ A và B ⊂ F thì f đo được trên B .
b) Hàm f đo được trên dãy { An } thì f đo được trên

∪A

n

n∈ℕ

c) Hàm f xác định trên A , µ ( A) = 0 và µ là độ đo đủ thì f đo được trên A
d) Hàm f ; g đo được và hữu hạn trên A thì các hàm sau cũng đo được:

kf (k ∈ ℝ )
f +g
f2

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 6


Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

fg
f
( g ( x) ≠ 0 ∀x ∈ A)
g
f +; f −
Ví dụ:
a) f ( x) = c với c là hằng số là hàm đo được.
b) X = ℝ cùng với σ − đại số Borel, hàm f được xác định:

f :X →ℝ
x ֏x
là hàm đo được.
1.1.7 Khái niệm hầu khắp nơi
Một tính chất được gọi là hầu khắp nơi trong A nếu nó thỏa tại mọi điểm thuộc A
trừ trên tập con của A có độ đo bằng 0 .
Ví dụ:
a) f = g hầu khắp nơi trên A có nghĩa là µ { x ∈ A : f ( x) ≠ g ( x)} = 0 .

{

}


b) { f n ( x )} hội tụ hầu khắp nơi về f ( x) có nghĩa là µ x ∈ A : f n ( x) → f ( x) = 0 .
1.1.8 Hàm đơn giản
Hàm f : A → ℝ là hàm đơn giản nếu f đo được trên A và tập các giá trị của f là
tập con hữu hạn của ℝ .

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 7

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

1 khi x ∈ [ 0;1]
Ví dụ: f ( x) = 
là một hàm đơn giản.
0
khi
x
∈
ℝ
\
0;1
[
]

1.1.9 Đinh lý

a) Nếu f là hàm đo được không âm trên A thì tồn tại dãy đơn điệu tăng { f n } các
hàm đơn giản sao cho:

lim f n ( x) = f ( x)

n→+∞

b) Một hàm f : A → ℝ là đo được nếu và chỉ nếu f là giới hạn (theo điểm) của một
dãy các hàm đơn giản.
1.1.10 Hội tụ theo độ đo
Dãy { f n }n∈ℕ và f là các hàm đo được trên A . Dãy { f n }n∈ℕ gọi là hội tụ theo độ đo

µ về hàm f trên A nếu:
∀ε > 0; lim µ { x ∈ A : f n ( x) − f ( x) ≥ ε } = 0
n →+∞

µ

Ký hiệu f n → f .
1.1.11 Định lý
Nếu

{ f n }n∈ℕ

là dãy hàm đo được hội tụ hầu khắp nơi về f trên A , µ là độ đo đủ
µ

và µ ( A) < +∞ thì f n → f trên A .

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh


trang 8

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

1.1.12 Định lý (Egoroff )
Nếu µ là độ đo hữu hạn , ε > 0

{ f n }n∈ℕ

hội tụ hầu khắp nơi về f trên A thì tồn tại

một tập đo được E sao cho µ ( E ) < ε và { f n }n∈ℕ hội tụ đều về f trên E c .
1.2 Bổ túc lý thuyết tích phân Lebesgue
Trong mục này, ( X , F , µ ) là không gian độ đo với F là σ − đại số, các tập và hàm
đều là đo được.
1.2.1 Khả tích
Hàm f gọi là khả tích nếu

∫ fd µ

là hữu hạn.

A


1.2.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Lebesgue
a) Tính đơn điệu:
Nếu f ; g khả tích trên A và f ≤ g thì

∫ fd µ ≤ ∫ gd µ .
A

A

b) Tính hội tụ đơn điệu: (định lý hội tụ đơn điệu)
Nếu 0 ≤ f n ↑ f trên A thì lim

n →+∞

∫ f d µ = ∫ fd µ .
n

A

A

c) Tính tuyến tính:

∫ ( f + g ) d µ = ∫ fd µ + ∫ gd µ
A

A

∫ ( cf ) d µ = c ∫ fd µ
A


SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

A

(c ∈ ℝ )

A

trang 9

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

d) Tính cộng tính:

∫

Nếu A ∩ B = ∅ thì

fd µ = ∫ fd µ + ∫ fd µ (vế trái hoặc vế phải có nghĩa).

A∪ B

A


B

1.2.3 Bổ đề Fatou
Nếu { f n }n∈ℕ là dãy các hàm đo được không âm trên A thì:

∫ lim
A

n→+∞

f n d µ ≤ lim

n →+∞

∫ f dµ
n

A

1.2.4 Định lý hội tụ bị chặn của Lebesgue
Giả sử

{ f n }n∈ℕ

là dãy các hàm đo được sao cho f n → f hầu khắp nơi trên A . Nếu

tồn tại một hàm g khả tích Lebesgue và f n ≤ g với mọi n và x ∈ A thì

lim


n →+∞

∫ f d µ = ∫ fd µ
n

A

A

1.3 Bổ túc giải tích hàm
1.3.1 Định nghĩa chuẩn
Một hàm số p : X → ℝ xác định trên không gian tuyến tính X được gọi là một
chuẩn nếu nó thỏa mãn các tính chất:
a) p( x) = 0 ⇒ x = 0.
b) p (λ x) = λ p( x)
c) p ( x + y ) ≤ p ( x) + p ( y )

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

∀x ∈ X ; ∀k ∈ K .
∀x; y ∈ X

trang 10

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp


Khi đó X cùng với chuẩn p được gọi là không gian tuyến tính định chuẩn (hay gọi
tắt là không gian định chuẩn).
Ký hiệu ( X , p) , ngoài ra chuẩn p còn được ký hiệu là

.

tức là p ( x) = x thì

không gian định chuẩn được ký hiệu là ( X , . ) .
Trường vô hướng K có thể là thức hoặc phức khi đó ta gọi không gian định chuẩn
tương ứng là không gian định chuẩn thực hoặc phức.
Tính chất:
a) 0 = 0 .
b) x ≥ 0 ∀x ∈ X .
c)

n

n

i =1

i =1

∑ λi xi ≤ ∑ λi xi

d) x − y ≤ x − y
Ví dụ:
a) Trong không gian ℝ n , x = ( x1 ; x2 ;...; xn ) ∈ ℝ n hàm p được xác định như sau:


p : ℝn → ℝ
x = ( x1 ; x2 ;...; xn ) ֏

n

∑x

2
i

i =1

là một chuẩn.

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 11

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

b) x là một chuẩn trong ℝ . Với x = ( x1 ; x2 ) ∈ ℝ 2 hàm hàm p được xác định như
sau:

p : ℝ2 → ℝ

x = ( x1; x2 ) ֏ x1 + x2
là một chuẩn.
1.3.2 Hội tụ theo chuẩn
Một dãy { xn }n∈ℕ gồm các phần tử trong X , được gọi là hôi tụ theo chuẩn đến phần
tử x0 ∈ X nếu:

lim xn − x0 = 0

n→+∞

ký hiệu là lim xn = x0 .
n →+∞

1.3.3 Không gian Banach
Không gian tuyến tính định chuẩn ( X , .

)

được gọi là không gian Banach nếu X

với mêtric p ( x, y ) = x − y là không gian mêtric đầy đủ.
Ví dụ:
a) Không gian ℝ n với chuẩn x =

n

∑x

2
i


là không gian Banach.

i =1

b) Không gian Lp ( X , F , µ) với p ≥ 1 là không gian Banach với chuẩn được định
nghĩa trong chương 3 (xem định lý 3.2.2).

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 12

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

1.3.4 Định lý
a) Trong không gian Banach một chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
b) Nếu trong không gian định chuẩn ( X , .
thì ( X , .

) , mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ

) là một không gian Banach.

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh


trang 13

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

CHƯƠNG 2

KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH l p VỚI p ∈ ( 0; +∞ )

2.1 Không gian l p với p ∈ (0 ; + ∞ )
Hàm f nhận giá trị trên tập phức mở rộng là hàm có dạng f = f1 + if 2 trong đó f1 ,
f 2 là các hàm nhận giá trị trên tập số thực mở rộng. Khi đó f1 được gọi là phần thực

của f (ký hiệu là ℜf ) và f 2 là phần ảo của f (ký hiệu là ℑf ).
Trong luận văn nếu không có giải thích gì thêm thì nói đến hàm f thì mặc định f
nhận giá trị trên ℂ .
2.1.1 Định nghĩa
Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) , f xác định trên tập D ⊂ F .
a) Ta gọi f là đo được trên nếu ℜf , ℑf là đo được trên D .
b) f là nửa khả tích (khả tích) trên D nếu ℜf ; ℑf là nửa khả tích (khả tích) trên
D.
Khi f là nửa khả tích (khả tích trên D ) tức là ∫ ℜf dµ và ∫ ℑf dµ là tồn tại trên R
D

(hoặc R ). Khi đó ta đặt


∫ f dµ = ∫ ℜf dµ + i ∫ ℑf dµ
D

D

D

.

D

Ví dụ: X = ℝ , cùng với σ − đại số Borel thì

ℜf = x
a) f ( x) = x + 2ix là hàm đo được vì 
là các hàm đo được.
 ℑf = 2 x
ℜf = x
b) f ( x) = x + 2ix là hàm khả tích trên [ 0;1] , nửa khả tích trên [ 0; +∞ ) vì 
 ℑf = 2 x
là các hàm khả tích trên [ 0;1] , nửa khả tích trên [ 0; +∞ ) .
Nhận xét:
a) Nếu f là khả tích trên D thì f ( x ) ∈ ℂ hầu khắp nơi trên D .
b) f là khả tích trên D khi và chỉ khi f là khả tích trên D .

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 14

Lớp: Sư phạm toán học K37



Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

Chứng minh:
a) Ta có f là khả tích trên D nên ∫ ℜf dµ , ∫ ℑf dµ ∈ R vì vậy ℜf , ℑf ∈ R hầu khắp
D

D

nơi tức f ( x ) ∈ ℂ hầu khắp nơi trên D .

(ℜf )2 + (ℑf )2 vì vậy

b) Ta có f =

Lấy tích phân trên D ta có

∫ ℜf

ℜf , ℑf ≤ f ≤ ℜf + ℑf .

dµ , ∫ ℑf dµ ≤ ∫ f dµ ≤ ∫ ℜf dµ + ∫ ℑf dµ .

D

D


D

D

D

Do đó: f là khả tích trên D
⇔ ∫ ℜf dµ , ∫ ℑf dµ < +∞ (định nghĩa)
D

⇔

D

∫ (ℜf )

+

dµ , ∫ (ℜf ) dµ , ∫ (ℑf ) dµ , ∫ (ℑf ) dµ < +∞
−

D

⇔

+

D

−


D

D

∫ (ℜf ) + (ℜf ) dµ , ∫ (ℑf ) + (ℑf )
+

−

D

+

−

dµ < +∞

D

⇔ ∫ ℜf dµ , ∫ ℑf dµ < +∞
D

D

⇔ ∫ f dµ < +∞
D

⇔ f là µ − khả tích trên D .


2.1.2 Định nghĩa
Cho hàm f xác định trên tập D ⊂ F trong không gian độ đo ( X , F , µ ) . Với
p ∈ (0 ;+∞) ta nói f là khả tích cấp p trên D nếu

∫f

p

dµ < +∞ .

D

Nhận xét:
p

a) Nếu f khả tích cấp p trên D thì f < +∞ hầu khắp nơi trên D do đó f ( x ) ∈ ℂ
hầu khắp nơi trên D .
b) f là khả tích cấp p trên D nếu và chỉ nếu ℜf , ℑf là khả tích cấp p trên D .

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 15

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp


Chứng minh:
a) Do f khả tích cấp p trên D nên

∫

f

p

d µ < +∞ ⇒ f

p

≤ f

p

< +∞ hầu khắp nơi

D

trên D .

⇒

( ℜf ) + ( ℑf )
2

2


< +∞ hầu khắp nơi trên D .

ℜf < +∞
hầu khắp nơi trên D .
⇒
ℑf < +∞
Vì vậy f ( x ) ∈ ℂ hầu khắp nơi trên D .
p

b) Ta có ℜf , ℑf ≤ f ≤ ℜf + ℑf ⇒ ℜf , ℑf
Vì vậy: ∫ f

p

d µ < +∞ ⇔ ∫ ℜf

D

p

p

{

≤ 2 p ℜf

p

+ ℑf


p

}

d µ , ∫ ℑf d µ < +∞
p

D

D

2.1.3 Định nghĩa
Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) . Với p ∈ (0 ;+∞) , hàm f xác định trên X đặt


f p =  ∫ f
 X

1

p
p
dµ ∈ [0; +∞]


Ta gọi l p ( X , F , µ ) là tập hợp các hàm f trong không gian độ đo X thỏa f

p

< +∞ .


Chú ý: Trong không gian độ đo ( X , F , µ ) hai hàm f , g thỏa f , g < +∞ trên những
tập có độ đo bằng không thì hàm f + g , 0 f có thể không được xác định. Khi đó ta đặt
chúng đồng nhất với 0 trên tập này.
2.1.4 Định lý
Với không gian độ đo ( X , F , µ ) , p ∈ (0 ;+∞) thì l p ( X , F , µ ) được định nghĩa như
trên là một không gian tuyến tính trên ℂ .
Chứng minh

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 16

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp

 f + g ∈ l p ( X , F , µ )
p
l
(
X
,
F
,
µ
)

c
∈ℂ
Với f , g ∈
bất kỳ và với mỗi
ta cần chứng minh 
.
cf ∈ l p ( X , F , µ )

Thật vậy :
 f < +∞
vì vậy f , g < +∞ hầu khắp nơi trên X
 g < +∞

Do f , g ∈ l p ( X , F , µ ) nên 
p

⇒ f + g ≤ 2p
được:

∫
X

f +g

p

{f

p


+g


≤ 2 p ∫ f
X

p

p

} < +∞

hầu khắp nơi trên X . Lấy tích phân hai vế ta

p
+ ∫ g  < +∞
X


Vì vậy f + g ∈ l p ( X , F , µ ) .
Ta cũng có cf = c f hầu khắp nơi trên X , lấy tích phân hai vế ta có:

∫ cf
X

= c ∫ f < +∞ .
X

Do đó cf ∈ l p ( X , F , µ ) .
Vậy l p ( X , F , µ ) là một không gian tuyến tính trên ℂ .

Chú ý: Ta thấy rằng .

p

không phải là một chuẩn trong không gian l p ( X , F , µ ) vì

khi f = 0 ta chỉ có thể kết luận f = 0 hầu khắp nơi trên X không thỏa điều kiện của
chuẩn.
2.2 Không gian tuyến tính l p với p ∈ [1; + ∞)
Trong 2.1 ta đã biết l p ( X , F , µ ) với p ∈ (0 ;+∞) là không gian tuyến tính, trong phần
này ta sẽ tìm hiểu một số tính chất quan trọng của l p ( X , F , µ ) với p ∈ [1; + ∞) .
2.2.1 Định nghĩa
Hai số thực p , q ∈ (1 + ∞ ) được gọi là liên hợp của nhau nếu

1 1
+ = 1 , đặc biệt cặp
p q

p = +∞ , q = 0 cũng được gọi là liên hợp của nhau.

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 17

Lớp: Sư phạm toán học K37


Không gian Lp

Luận văn tốt nghiệp


2.2.2 Bổ đề

a p bq
Cho hai số thực p , q ∈ (1 + ∞ ) là liên hợp của nhau thì ab ≤
+
với a; b ≥ 0 .
p q
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a p = b q .
Chứng minh
Thật vậy:
a = 0

Với 
bất đẳng thức là hiển nhiên.
b = 0

a > 0
t p t −q
Với 
, xét hàm số f (t ) = +
với t > 0 , dễ dàng thấy hàm số đạt GTNN tại
p
q
>
0
b

1


t = 1 khi đó f (t ) =
p
q

−1

−1

t p t −q
+
≥ f (1) = 1 . Đặc biệt với t = a q b p ta được
p q

q
p

−1

a p bq
a b
a b
+ ≥ ab
+
≥1⇔
p
q
p q
1
q


−1
p

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b = 1 ⇔ a p = b q .
Nhận xét: Từ cách chứng minh trên ta được một BĐT với các số phức:

∀α ; β ∈ ℂ thì αβ ≤

α
p

p

+

thức xảy ra khi và chỉ khi α

q

β
q
p

trong đó hai số thực p; q là liên hợp của nhau. Đẳng
q

= β .

2.2.3 Định lý (Bất đẳng thức Holder)
Cho không gian độ đo ( X , F , µ ) , f , g là các hàm đo được trên X và f , g < +∞

hầu khắp nơi thì :
a) Với hai số thực tùy ý p, q ∈ (1;+∞ ) là liên hợp của nhau thì fg 1 ≤ f
tích f

p

g

q

p

g q . (với

là tồn tại)

SVTH: Nguyễn Tuấn Anh

trang 18

Lớp: Sư phạm toán học K37