TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT
F7G

GIÁO TRÌNH

NHẬP MÔN HÀM PHỨC

TẠ LÊ LI - 2004


Nhập môn hàm phức
Tạ Lê Lợi

Mục lục
Chương I. Số phức - Hàm phức

1.1 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Đònh nghóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.3 Biểu diễn số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.4 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.5 Căn bậc n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.6 Biểu diễn cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Dãy hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.3 Các tập cơ bản trong C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.4 Các đònh lý cơ bản: Cantor, Heine-Borel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Hàm phức - Tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.1 Đònh nghóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Hàm phức xem như phép biến đổi trên Ra2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3.3 Giới hạn hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.5 Các đònh lý cơ bản của hàm liên tục: Cauchy, Cantor, Weiersrtass. . . . . . 9
1.3.6 Đònh lý cơ bản của đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Chương II. Chuỗi lũy thừa - Hàm giải tích

2.1 Chuỗi lũy thừa hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Chuỗi lũy thừa hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Đại số C[[Z]] các chuỗi hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Phép chia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Đạo hàm hình thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Thay biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Chuỗi ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.7 Quan hệ đồng dư modulo Z N và ký hiệu O(Z N ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.8 Hàm sinh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Dãy hàm - Sự hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Chuỗi lũy thừa hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Đònh lý Abel. Bán kính hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Tổng, tích chuỗi lũy thừa hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11
11
11
11
12
13

14
15
16
17
17
17
18
19
19
21


2.3.3 Thay biến trong chuỗi lũy thừa hội tụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.4 Nghòch đảo của chuỗi lũy thừa hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.5 Đạo hàm chuỗi lũy thừa hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.6 Chuỗi ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4 Một số hàm sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 Hàm lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.3 Hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.4 Các hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.5 Logarithm phức - Nhánh đơn trò của hàm logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4.6 Hàm lũy thừa tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.5 Hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.1 Đònh nghóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5.2 Chuỗi lũy thừa hội tụ là hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.5.3 Không điểm của hàm giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.4 Nguyên lý thác triển giải tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.5 Cực điểm - Hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Chương III. Hàm chỉnh hình - Tích phân Cauchy

3.0 Ánh xạ tuyến tính trên R2 và trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.0.1 Biểu diễn số phức bởi ma trận thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Ánh xạ tuyến tính bảo giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1 Tính khả vi phức - Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Điều kiện Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Công thức tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.5 Tính bảo giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Lưới tọa độ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Đường cong trong C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Tính chất của tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Nguyên hàm - Công thức Newton-Leibniz- Đònh lý Morera . . . . . . . . . . .
3.3 Đònh lý Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Đònh lý Cauchy cho miền đơn liên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Đònh lý Cauchy cho miền có biên đònh hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.3 Công thức tích phân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Khai triển Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Công thức tích phân cho đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.5 Sự đồng nhất của 2 khái niệm giải tích và chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Các tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Bất đẳng thức Cauchy. Đònh lý Louville. Đònh lý cơ bản của đại số . .
3.4.2 Đònh lý gía trò trung bình. Nguyên lý maxima. Bổ đề Schwarz . . . . . . . .
3.4.3 Đònh lý duy nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

31
31
32
32
32
33
34
34
35
35
35
37
37
38
40
40
43
44
45
46
46
47
47
47
48


3.4.4 Đònh lý ánh xạ mơ û . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4.5 Đònh lý Weierstrass về hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49


Chương IV. Kỳ dò - Thặng dư

4.1 Chuỗi Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Chuỗi Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Khai triển Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Điểm kỳ dò cô lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Đinh nghóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Phân loại kỳ dò cô lập theo chuỗi Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Kỳ dò tại vô cùng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Đònh nghóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Đònh lý cơ bản của thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Tính thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Thặng dư logarithm - Nguyên lý argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Thặng dư logarithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Đònh lý cơ bản của thặng dư logarithm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Nguyên lý argument . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4 Đònh lý Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Ứng dụng thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2π
R(cos t, sin t)dt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Tích phân dạng
0

4.5.2 Tích phân dạng

+∞

−∞
+∞


f (x)dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50
50
50
51
52
52
54
55
55
56
57
58
58
58
59
59
60
60
61

f (x)eix dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5.3 Tích phân dạng
−∞
4.5.4 Tính tổng chuỗi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Tài liệu tham khảo

[1] Ahlfors L., Complex Analysis , 2 ed., McGraw Hill, NewYork 1966.
[2] Cartan H., Théorie Élémentaire des Fonctions Analytiques d’une ou Plusieurs Variables Complexes , Hermann, Paris 1961.
[3] Lang S.., Complex Analysis, Springer-Verlag,, 1990.
[4] Sabat B.V., Nhập môn giải tích phức , NXB. ĐH& THCN, Hà nội 1974.
[5] Spiegel M.R., Theory and Problems of Complex Variables , McGraw Hill, NewYork
1981.
[6] Volkovuski L.I. & al., Bài tập lý thuyết hàm biến phức , NXB. ĐH& THCN, Hà nội

1979.


I. Số phức - Hàm phức
1. SỐ PHỨC

Trên trường số thực, khi xét phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 trường hợp
b2 − 4ac < 0 phương trình vô nghiệm vì ta không thể lấy căn bậc hai số âm. Vào thế
kỷ XVI các nhà toán học đã biết cách giải phương trình trong trường hợp này bằng
cách “làm đầy” tập các số thực bởi căn bậc hai số âm. Đã có nhiều tranh cãi xảy
ra, một số nhà toán học phủ nhận sự tồn tại căn số âm, một số nhà toán học khác
lại sử dụng chúng cùng với số thực với những lập luận không chặt chẽ. Mãi đến
thế kỷ XIX, nhà toán học Na uy Wessel đưa ra cách biểu diễn hình học số phức, rồi
Hamilton đưa ra cách biểu diễn đại số, làm cơ sở cho việc tiên đề hệ thống số này.
Việc đưa vào hệ thống số phức đã đóng góp nhiều trong việc phát triển toán học và
khoa học tự nhiên.
Ta sẽ xây dựng tập các số phức C như là mở rộng tập số thực R sao cho mọi
phương trình bậc hai, chẳng hạn x2 + 1 = 0, có nghiệm; đồng thời đònh nghóa các
phép toán cộng, trừ, nhân, chia sao cho C là một trường số.

1.1 Đònh nghóa. Ký hiệu i, gọi là cơ số ảo, để chỉ nghiệm phương trình x2 + 1 = 0,


i.e.

i2 = −1. Tập số phức là tập có dạng:
C = {z = a + ib : a, b ∈ R}.
z = a + ib gọi là số phức, a = Rez gọi là phần thực còn b = Imz
z1 , z2 ∈ C, z1 = z2 nếuu1 Rez1 = Rez2 , Imz1 = Imz2 .
xem R là tập con của C khi đồng nhất R = {z ∈ C : Imz = 0}.

gọi là phần ảo.

Ta
Từ “số ảo” sinh ra từ việc người ta không hiểu chúng khi mới phát hiện ra số phức.
Thực ra số phức rất “thực” như số thực vậy.
Ví dụ.
√
√
a) Số phức z = −6 + i 2 có phần thực ø Rez = −6, phần ảo Imz = 2.
1
3
b) Để giải phương trình z 2 + z + 1 = 0, ta biến đổi z 2 + z + 1 = (z + )2 + . Vậy

phương trình tương đương
√
−1 ± i 3
.
z=
2

3
1

(z + )2 = − .
2
4

2

4

Một cách hình thức, ta suy ra nghiệm

Sau đây là đònh nghóa các phép toán vừa thực hiện.

1.2 Các phép toán. Về mặt đại số
nghóa như sau:

Phép cộng.
1

C

là trường số với các phép toán được đònh

(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d)

Trong giáo trình này:

nếuu

= nếu và chỉ nếu.



1

I.1 Số phức

Từ đây có phép trừ

(a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d)

Phép nhân. Với chú ý là i2 = −1 phép nhân được đònh nghóa

(a + ib)(c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc)
a + ib
, với c + id = 0 + i0, được
Còn phép chia
c + id
giải phương trình a + ib = (c + id)(x + iy).

Hay là

Vậy

đònh nghóa một cách tự nhiên khi

cx − dy = a
dx + cy = b

ac + bd
bc − ad
a + ib

= 2
+i 2
2
c + id
c +d
c + d2

(c + id = 0 = 0 + i0).

Tính chất. Với các phép toán trên C là trường số.
Nhắc lại trường số có nghóa là:
Phép cộng và nhân vừa đònh nghóa ở trên có tính giao hoán, kết hợp và phân phối.
Phép cộng có phần tử không là 0 = 0 + i0, phần tử đối của z = a + ib là −z = −a − ib.
Phép nhân có phần tử đơn vò là 1 = 1 + i0, nghòch đảo của z = a + ib = 0 là
a
1
b
= 2
−i 2
2
z
a +b
a + b2

Phép liên hợp.
Tính chất.

gọi là số phức liên hợp của z = a + ib.
z = z , z1 + z2 = z¯1 + z¯2 , z1 z2 = z¯1 z¯2 .


z = a − ib

Ví dụ.
a) Nếu z = a + ib, thì z z¯ = a2 + b2 . Từ đó có thể chia 2 số phức bằng cách nhân số
liên hiệp, chẳng hạn

(2 − 5i)(3 − 4i)
6 − 23i + 20i2
−14 − 23i
2 − 5i
=
=
=
2
2
2
3 + 4i
(3 + 4i)(3 − 4i)
3 −4 i
25
b) Từ đònh nghóa suy ra: z¯ + z = 2Rez, z¯ − z = 2iImz , và z ∈ R ⇔ z¯ = z .
c) Nếu α là nghiệm của đa thức với hệ số thực P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n , thì α¯
cũng là nghiệm. Thực vậy, vì P (α) = 0 nên a 0 + a1 α + · · · + an αn = 0. Lấy liên
hợp ta có a¯0 + a¯1 α¯ + · · · + a¯n α¯ n = 0. Với chú ý là a¯k = ak , ta suy ra P (α¯ ) = 0.

Modul số phức. |z| =
Tính chất. |z|2 = z z¯,

√


gọi là modul của số phức z = a + ib.
|Rez| ≤ |z|, |Imz| ≤ |z|.
|z1 z2 | = |z1 ||z2 |,
|z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (bất đẳng thức tam giác) .
Chứng minh: Các bất đẳng thức ở hàng đầu là hiển nhiên. Ta chứng minh các kết
luận ở các hàng sau.
Trớc hết, ta có |z1 z2 |2 = z1 z2 z1 z2 = z1 z2 z¯1 z¯2 = z1 z¯1 z2 z¯2 = |z1|2 |z2 |2 .
Suy ra |z1 z2 | = |z1 ||z2 |.
Để chứng minh bất đẳng thức tam giác, dựa vào đònh nghóa và các tính chất nêu ở
a2 + b2


2

I.1 Số phức

phần trên ta có
|z1 + z2 |2 = (z1 + z2 )(z1 + z2 ) = (z1 + z2 )(z¯1 + z¯2 )
= z1 z¯1 + z2 z¯2 + 2Rez1 z¯2

Dùng bất đẳng thức |Rez1 z¯2 | ≤ |z1 z¯2 | = |z1 ||z2|, thay vào
Suy ra |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 |.
z

z

|z1 +z2 |2 ≤ (|z1 |+|z2 |)2 .

Ví dụ. Nếu z2 = 0, thì từ 1 z2 = z1 ta có 1 |z2| = |z1 |. Vậy
z2

z2
Qui nạp ta có |z1 + z2 + · · · + zn | ≤ |z1| + |z2 | + · · · + |zn |.

|z1 |
z1
.
=
z2
|z2 |

1.3 Biểu diễn số phức.
y

✻

b

✟
✯
✟✟
✟
r✟
i
✟✟
✟
✻
✟✟ ϕ
✟✟

a


O

Dạng đại số.

z

✲

x

z = a + ib, a, b ∈ R, i2 = −1.

Dạng hình học.

z = (a, b), a, b ∈ R.

Trong mặt phẳng đa vào hệ tọa trục Descartes với 1 = (1, 0), i = (0, 1) là 2 vector cơ
sở. Khi đó mỗi số phức z = a + ib được biểu diễn bởi vector (a, b), còn C được xem
là toàn bộ mặt phẳng, gọi là mặt phẳng phức. Trong phép biểu diễn này phép cộng
số phức được biểu thò bởi phép cộng vector hình học.

Dạng lượng giác.

là biểu diễn số

z = r(cos ϕ + i sin ϕ),
phức z = a + ib trong tọa độ

cực (r, ϕ), trong đó ta có các quan hệ:

√
a = r cos ϕ
r = |z| = a2 + b2 , là modul của z
và
b = r sin ϕ
ϕ = Arg z, gọi là argument của z
ϕ là góc đònh hướng tạo bởi 1 = (1, 0) và z trong mặt phẳng phức. Vậy nếu z = 0,
b
a
thì cos ϕ = √ 2 2 và sin ϕ = √ 2 2 . Ta thấy ϕ có vô số giá trò sai khác nhau
a +b
a +b
2kπ, k ∈ Z. Nếu qui ước lấy giá trò −π < ϕ ≤ π , thì giá trò duy nhất đó gọi là giá trò
chính và ký hiệu là argz . Vậy có thể viết
Argz = argz + 2kπ, k ∈ Z.
√

Ví dụ. z = 3 − i có modul |z| =
suy từ Rez > 0 và tg ϕ = √−13 . Vậy

√
( 3)2 + (−1)2 = 2, còn argument
√
3 − i = 2(cos(− π3 ) + i sin(− π3 )).

argz = − π3


3


I.1 Số phức

Dạng Euler.

z = reiϕ .

Trong giải tích thực ta biết biểu diễn chuỗi ex = 1 + x + x2!2
cách hình thức x = iϕ, và sắp xếp các từ, ta có
2

3

4

+

x3
3!

+ ···.

Thay một

5

eiϕ = 1 + iϕ − ϕ2! − iϕ3! + ϕ4! − iϕ5! + · · ·
2
4
3
5

ϕ2n
ϕ2n
+ · · · ) + i(ϕ − ϕ3! + ϕ5! − · · · (−1)n+1 (2n+1)!
+ ···)
= (1 − ϕ2! + ϕ4! + · · · (−1)n (2n)!
= cos ϕ + i sin ϕ
(do khai triển Taylor của hàm cos và sin ).

Từ đó có biểu diễn Euler cho số phức z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Việc chứng minh tính hợp lý của biến đổi trên sẽ được trình bày ở chương sau.
Euler đã tìm ra hệ thức quan hệ tuyệt đẹp giữa các số 1, 0, e, π và i: e iπ + 1 = 0.
Mỗi cách biểu diễn số phức có thuận tiện riêng. Sau đây là một số ứng dụng.

1.4 Tính chất.

và

|z1 z2 | = |z1 ||z2 |

Suy ra công thức de Moivre

Arg(z1 z2 ) = Argz1 + Argz2

(r(cos ϕ + i sin ϕ))n = rn (cos nϕ + i sin nϕ), n ∈ N

Chứng minh: Biểu diễn z1 = r1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ), z2 = r2 (cos ϕ2 + i sin ϕ2 ).

Ta có

z1 z2 = r1 r2 (cos ϕ1 cos ϕ2 − sin ϕ1 sin ϕ2 ) + i(sin ϕ1 cos ϕ2 + cos ϕ1 sin ϕ2 )

= r1 r2 (cos(ϕ1 + ϕ2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ2 ))

Suy ra

|z1 z2 | = r1 r2 = |z1 ||z2 |,

và Arg(z1 z2 ) = ϕ1 + ϕ2 + 2kπ = Argz1 + Argz2 .

Nhận xét. Về mặt hình học phép nhân số phức r(cos ϕ + i sin ϕ) với số phức
là phép co dãn vector z tỉ số r và quay góc ϕ. (xem hình vẽ)
r(cos ϕ + i sin ϕ)z

✻

✂
✂
✂

O

1.5 Căn bậc

n

✂
✂
✂

s


sz
✟
✯
✟
✂
✂ ✟✟✟
✂✟
✲

ϕ

của số phức. Đònh nghóa căn bậc

n (n ∈ N )

= z.
số phức w thoả
Để xác đònh w, biểu diễn z = reiϕ = rei(ϕ+2kπ) và w = ρeiθ .
Từ công thức de Moivre ρn einθ = rei(ϕ+2kπ).
wn

z

của số phức

z

là



4

I.1 Số phức

Suy ra


 ρ =
 θ

√
n
r
(căn bậc n
ϕ + 2kπ
, k∈Z
n

=

theo nghóa thực)

Vậy phương trình có đúng n nghiệm phân biệt với mỗi z = 0:
wk =

√
n

ϕ


2π

rei( n +k n ) =

√
n

r(cos(

2π
ϕ
2π
ϕ
+ k ) + i sin( + k )),
n
n
n
n

k = 0, · · · , n − 1.

Nhận xét. Ta thấy mỗi số phức z = 0 có đúng n căn bậc n khác nhau. Về mặt hình
học chú
ng là các đỉnh của một đa giác đều n cạnh, nội tiếp đường tròn tâm 0 bán
√
n
kính r.
w3 s

ws2


sw1

s

s w0
s

s
s

w n = 1,

Ví dụ.
a) Căn bậc n của đơn vò là n số phức:
ω k = cos

với n = 8
1, ω, · · · , ω n−1 ,

với

2kπ
2π
2kπ
+ i sin
= ei n , k = 0, · · · , n − 1.
n
n


√

√

b) Để tìm các gía trò của 3 1 + i, ta biểu diễn 1 + i = 2(cos π4 + i sin π4 ).
√
1
π
2kπ
Suy ra 3 1 + i = 2 6 (cos( 12π + 2kπ
3 ) + i sin( 12 + 3 )), k ∈ Z.
Vậy có 3 giá trò1 phân biệt là:
π
π
) + i sin( 12
))
k = 0, w0 = 2 6 (cos( 12
1
3π
3π
k = 1, w1 = 2 6 (cos( 4 ) + i sin( 4 ))
1
17π
k = 2, w2 = 2 6 (cos( 17π
12 ) + i sin( 12 ))

1.6 Biểu diễn cầu. Trong nhiều bài toán để thuận tiện người ta đưa vào khái niệm

điểm ở vô cùng. Khi đó ta xét đến mặt phẳng phức mở rộng : C = C ∪ {∞}, với ∞
gọi là điểm vô cùng (là một điểm lý tưởng không thuộc C).

C được mô tả bởi mặt cầu Riemann, qua phép chiếu nổi như sau:


5

I.2 Sự hội tụ trong C

P
t

✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁
✁ C

✁
✁
✁
✁
z
✁
t ✁
✁
✁

M

❝

Trong R3 với hệ tọa độ (x, y, u), ta đồng nhất C với mặt phẳng {u = 0}.
Mặt cầu S : x2 + y2 + u2 = 1, được gọi là mặt cầu Riemann . Gọi P = (0, 0, 1) là
điểm cực bắc.
Xét phép chiếu nổi: S \ {P } M → z ∈ C = {u = 0}, với z là điểm nằm trên tia
x + iy
.
P M . Biểu thức cụ thể: M = (x, y, u) → z =
1−u
Phép chiếu nổi từ P xác đònh một đồng phôi (i.e. song ánh liên tục hai chiều) từ
S \ {P } lên C. Nếu cho tương ứng P với ∞, ta có thể mô tả C như là mặt cầu S.
Nhận xét. Tương tự, nếu thực hiện phép chiếu nổi từ điểm cực nam P = (0, 0, −1)
x − iy
. Khi đó zz = 1. Như vậy
lên mặt phẳng {u = 0}, ta có M (x, y, u) → z =
khi xét tại lân cận ∞, dùng biến đổi

1
z = ,
z

1+u

ta đa về xét tại lân cận 0.

2. SỰ HỘI TỤ TRONG C

Ngoài cấu trúc đại số trên C còn có cấu trúc hình học. Khái niệm xuất phát là
khoảng cách, nó đa đến khái niệm hội tụ và vì vậy có thể “làm” giải tích trên C.

Cũng cần lưu ý rằng nếu xem C như R 2 , thì mọi kết qủa nêu ở phần này đều không
có gì đặc biệt so với trường hợp thực.

2.1 Khoảng cách. Khoảng cách giữa z1, z2 ∈ C, đònh nghóa:
d(z1 , z2 ) = |z1 − z2 |

Từ tính chất của modul suy ra 2 tính chất cơ bản của khoảng cách.
Tính chất. d(z1, z2) ≥ 0 và d(z1, z2) ≤ d(z1, z3) + d(z2, z3).

2.2 Dãy hội tụ. Một dãy số phức là ánh xạ z : N −→ C,

Thường ta ký hiệu (zn )n∈N, hay liệt kê: z1 , z2 , z3 , · · · .
Dãy (zn ) gọi là hội tụ về z0 ∈ C, nếuu

n → z(n) = z n

∀ > 0, ∃N > 0 : n ≥ N ⇒ d(zn , z0 ) = |zn − z0 | <

Khi đó, ký hiệu n→∞
lim zn = z0 hay zn → z0 (khi n → ∞).


6

I.2 Sự hội tụ trong C

Từ việc xem C như là R2 , đònh nghóa trên thực chất không khác đònh nghóa hội
tụ trong R2 , và vì vậy ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề.


(1) zn → z0 khi và chỉ khi Rezn → Rez0 và Imzn → Imz0 .
(2) Dãy (zn ) hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy Cauchy, i.e.
∀ > 0, ∃N > 0 : n, m ≥ N ⇒ |zn − zm | <

.

Bài tập: Tương tự như dãy số thực, hãy phát biểu và chứng minh các tính chất
hội tụ của tổng, hiệu, tích, thương các dãy số phức.
Ví dụ. 2
a) Cho z ∈ C. Ta muốn xét sự hội tụ của dãy (z n ) = z, z 2 , z 3 , · · · .
lim z n = 0.
Với |z| < 1 thì |z n | = |z|n → 0, vậy n→∞
Với |z| > 1 thì |z n | = |z|n → ∞, vậy n→∞
lim z n = ∞.
Với |z| = 1 thì n→∞
lim z n = 1 nếu z = 1, và lim z n không tồn tại nếu z = 1.
n→∞
Thực vậy, gỉa sử phản chứng tồn tại z = 1 mà n→∞
lim z n = z0 . Khi đó |z0 | = |z n | = 1,
nên z0 = 0. Mặt khác, do z n+1 − z n = z n (z − 1), nên nên khi n → ∞, ta có
0 = z0 (z − 1). Vậy z = 1, trái gỉa thiết.
b) Từ công thức (1 − z)(1 + z + z 2 + · · · + z n ) = 1 − z n+1 , ví dụ trên suy ra:
∞
k=0

1
1 − z n+1
=
,

n→∞ 1 − z
1−z

z k = lim (1 + z + z 2 + · · · + z n ) = lim
n→∞

|z| < 1.

c) n→∞
lim (5n + 6i) = ? .
lim zn = ∞, mà đònh nghóa khái
Bài tập: Ví dụ a) và c) ta có giới hạn vô cùng , n→∞
niệm này một cách chính xác chắc không khó đối với người đọc (nhớ là C chỉ có một
điểm vô cùng ∞, không có ±∞ như R).

2.3 Một số tập cơ bản. Trong C một số lớp tập có vai trò quan trọng, hay được
đề cập đến thường xuyên. Các khái niệm này ta đã quen biết khi xét R 2 , tuy nhiên
để thuận tiện, ít ra về mặt thuật ngữ và ký hiệu, các đònh nghóa được liệt kê sau đây.
-lân cận. Tập D(z0, ) = {z ∈ C : |z − z0 | < } gọi là - lân cận của z0 , hay đóa mở
tâm z0 bán kính .
-lân cận thủng. Tập {z ∈ C : 0 < |z − z0| < } gọi là - lân cận thủng của z0 .
Điểm trong. z0 ∈ C gọi là điểm trong của tập X ⊂ C nếuu tồn tại một -lân cận
của z0 hoàn toàn chứa trong X .
Điểm giới hạn. z0 ∈ C gọi là điểm giới hạn của tập X ⊂ C nếuu mọi -lân cận
thủng của z0 đều chứa các điểm của X .
Điểm biên. z0 ∈ C gọi là điểm biên của tập X nếuu mọi -lân cận của z0 đều chứa
các điểm của X và các điểm không thuộc X .
Tập mở. Tập con của C gọi là mở nếuu mọi điểm của nó đều là điểm trong. Ký
2
Một số vấn đề trong lý thuyết đồ họa liên quan đến dãy số phức, cụ thể là Hình học Fractal. Có

thể xem: H.Q.Deitgen & P.H. Richter, The Beauty of Fractals , Spriger-Verlag, Berlin-Heidelberg 1986.


7

I.3 Hàm phức - Tính liên tục
◦

hiệu X hay intX thường được dùng để chỉ phần trong của tập X , i.e. tập mọi điểm
trong của X .
Tập đóng. Tập con của C gọi là đóng nếuu nó chứa mọi diểm giới hạn của nó.
Thường dùng ký hiệu X hay clX để chỉ bao đóng của tập X , i.e. tập X∪ tập mọi
điểm giới hạn của X .
Biên. Biên của tập X , ký hiệu ∂X hay bdX , là tập mọi điểm biên của X .
Tập compact. compact = đóng + giới nội.
Đònh nghóa trên về tập compact cho phép xác đònh một cách dễ dàng một tập có compact hay không. Tập compact còn có đònh nghóa tương đương (Đònh lý Heine-Borel
2.4), như vậy có thể xem tính compact như tính hữu hạn, cho phép chuyển các tính
chất, các kết qủa từ đòa phương lên toàn cục. Chẳng hạn, tính liên tục đều trong đònh
lý Cantor 3.5.
Tập liên thông. Tập liên thông là tập chỉ có một mảnh. Đònh nghóa một cách chính
xác thì một tập C ⊂ C gọi là liên thông nếuu nó không thể bò tách bởi các tập mở,
i.e. không tồn tại 2 tập mở U, V ⊂ C sao cho: C ∩ U = ∅ = C ∩ V , C ∩ U ∩ V = ∅
và C ⊂ U ∩ V .
Bài tập: Chứng minh khẳng đònh sau, thường dùng để lập luận mọi điểm của một tập
liên thông thỏa tính chất nào đó:
Cho C liên thông và X ⊂ C . Nếu X vừa đóng vừa mở trong C , thì X = C .

Miền. Miền = tập mở + liên thông.

Bài tập: Chứng minh tiêu chuẩn sau trực quan dùng để nhận biết tập D là miền:

Cho D ⊂ C là tập mở. Khi đó D là miền khi và chỉ khi mọi cặp điểm a, b ∈ D đều
tồn tại đường gấp khúc trong D nối a, b.

Ví dụ. Tập S gọi là hình sao nếuu tồn tại z0 ∈ S sao cho với mọi z ∈ S đoạn thẳng
nối z, z0 : [z, z0] = {z0 + t(z − z0 ) : 0 ≤ t ≤ 1} hoàn toàn chứa trong S . Dễ thấy mọi
tập hình sao là liên thông. Chẳng hạn, đóa, hình chữ nhật, tam giác là các tập liên
thông.

2.4 Các đònh lý. Các đònh lý cơ bản sau được chứng minh trong giáo trình giải
tích thực:

Đònh lý (Cantor). Cho
lồng nhau. Khi đó giao

F 1 ⊃ F2 ⊃ · · · ⊃ Fn ⊃ · · ·
∩k∈N Fk = ∅.

là một dãy các tập compact

Đònh lý (Heine-Borel) K là tập compact khi và chỉ khi mọi phủ mở phủ K đều tồn tại
phủ con hữu hạn, i.e. với mọi họ (Uk )k∈I gồm các tập mở Uk sao cho K ⊂ ∪k∈I Uk ,
tồn tại hữu hạn chỉ số k1 , · · · , kn ∈ I , sao cho K ⊂ Uk1 ∪ · · · ∪ Ukn .
3. HÀM PHỨC - TÍNH LIÊN TỤC

3.1 Đònh nghóa. Một ánh xạ

f : D −→ C, D ⊂ C,

được gọi là một hàm phức.



8

I.3 Hàm phức - Tính liên tục

gọi là miền xác đònh, còn f (D) gọi là miền ảnh. 3
Thường ta viết w = f (z), z ∈ D, với qui ước z = x + iy là biến, còn w = u + iv là
ảnh.
D

Chú ý:

a) Như trong trường hợp thực, khi cho w = f (z) bởi biểu thức giải tích ta xem miền
xác đònh là miền trong C sao cho biểu thức f (z) có nghóa (phức). Chẳng hạn, hàm
1
có miền xác đònh là C \ {±i}.
f (z) =
1 + z2
b) Từ hàm đơn diệp trong lý thuyết hàm phức dùng để chỉ hàm đơn ánh, (điều này do
az + b
lòch sử để lại). Chẳng hạn, hàm f (z) =
(ad − bc = 0), là đơn diệp trên miền
z ∈ C, cz + d = 0.

cz + d

c) Trong√lý thuyết hàm phức còn gặp thuật ngữ hàm đa trò, chẳng hạn biểu thức
f (z) = n z xác đònh n giá trò ứng với mỗi z = 0. Ta sẽ dùng khái niệm hàm thông
thường (hàm đơn trò), còn hiện tượng đa trò có những cách khắc phục để đưa về xét
hàm đơn trò sẽ được đề cập sau.


3.2 Hàm phức xem như phép biến đổi trên R2 . Đối với hàm thực việc nghiên cứu

đồ thò có vai trò đặc biệt quan trọng vì tính trực quan. Đồ thò hàm phức là tập con
trong không gian 4 chiều, thật khó hình dung. Để mô tả hàm phức một cách hình học
có một phương pháp khá trực quan là xem hàm đó như là phép biến đổi từ R 2 vào
R2 .
Cho hàm w = f (z), z ∈ D. Nếu z = x + iy, w = u + iv, thì f (x + iy) =
u(x, y) + iv(x, y). Như vậy hàm f đồng nhất với cp hàm thực 2 biến thực (x, y) →

(u(x, y), v(x, y))
Ta nói: z chạy trong
w = (u, v).

mặt phẳng z = (x, y), còn w = f (z) chạy trong mặt phẳng ảnh

Để xét tính chất hàm f thường ta “quét” miền D bởi họ đường cong trong mặt phẳng
z và xem họ đó biến đổi thế nào qua f trong mặt phẳng w.
Ví dụ. Xét hàm w = z 2 = x2 + y2 + 2xyi. Ta có hàm xác đònh trên toàn bộ C
và u = x2 − y2 , v = 2xy.
Cách mô tả 1: Ảnh của họ đường thẳng x = x0 là họ Parabol v2 = 4x20 (x20 − u), ảnh
của họ y = y0 là họ Parabol v2 = 4y02 (y02 + u). (xem hình)
Cách mô tả 2: Trong mặt phẳng z đưa vào tọa độ cực (r, ϕ); trong mặt phẳng w có
tọa độ cực (ρ, θ). Khi đó z = reiϕ , w = ρeiθ = r2 ei2ϕ.
Vậy ảnh của tia ϕ = ϕ0 là tia θ = 2ϕ0 , ảnh của đường tròn r = r0 là đường tròn
ρ = r02 .
Về mặt hình học hàm w = z 2 được mô tả nh việc mở gấp đôi các góc trong mặt
phẳng.

3


Theo thói quen, người ta thường nói “hàm f (z)”, dù rằng không chính xác.


9

I.3 Hàm phức - Tính liên tục
y ✻

v ✻

f (z) = z 2
✲

✲

✲

x

u

3.3 Giới hạn hàm. Cho hàm w = f (z), z ∈ D và z0 ∈ D.

lim f (z) = w0 ,
được gọi là có giới hạn w0 ∈ C khi z tiến về z0 , và ký hiệu z→z
0
nếuu

f


∀ > 0, ∃δ > 0 : z ∈ D, 0 < |z − z0 | < δ ⇒ |f (z) − w0 | < .

Về mặt hình học: f (z) thuộc vào đóa tâm w0 bán kính khi z nằm trong đóa thủng
tâm z0 bán kính δ .
Về mặt hình thức: đònh nghóa trên hoàn toàn giống đònh nghóa hội tụ trong trường hợp
hàm thực. Do vậy các kết qủa sau đây là tự nhiên mà chứng minh chúng chỉ là việc
phiên dòch.

Mệnh đề.
(1)

lim f (z) = w0

z→z0

khi và chỉ khi z→z
lim Ref (z) = Rew0 , lim Imf (z) = Imw0 .
z→z
0

0

(2) Nếu tồn tại z→z
lim f (z) = wf và lim g(z) = wg , thì các hàm f ± g , f g ,
z→z0
0

|f |, arg f là có giới hạn
wf

, |wf |, arg wf .
wf wg ,
wg

3.4 Hàm liên tục.
lim f (z) = f (z0 ).

khi z tiến về z0 và các giới hạn đó lần lượct

Hàm

w = f (z), z ∈ D,

gọi là liên tục tại

f
(wg = 0),
g
là wf ± wg ,

z0 ∈ D

nếuu

z→z0

Từ đònh nghóa và nhận xét ở phần trên, các tính chất: tổng, hiệu, tích, thương, modul,
argument, hợp,... các hàm liên tục được dễ dàng phát biểu và chứng minh.

3.5 Các đònh lý về hàm liên tục.


Sau đây là các đònh lý cơ bản của hàm liên
tục, chúng được chứng minh ở giáo trình giải tích thực.

Đònh lý(Cauchy). Hàm f liên tục trên tập liên thông D thì ảnh f (D) là liên thông.
Đònh lý(Weierstrass). Hàm f liên tục trên tập compact K thì ảnh f (K) là tập compact.
Đặc biệt, tồn tại z1 , z2 ∈ K sao cho f (z1 ) = max |f (z)| và f (z2 ) = min |f (z)|.
z∈K

z∈K


10

I.3 Hàm phức - Tính liên tục

Đònh lý(Cantor) Hàm liên tục trên tập compact thì liên tục đều.
Khái niệm liên tục đều hoàn toàn như trường hợp thực: hàm
gọi là liên tục đều trên D nếuu

w = f (z), z ∈ D

∀ > 0, ∃δ > 0 : ∀z, z ∈ D, |z − z | < δ =⇒ |f (z) − f (z )| < .

Để kết thúc chương này, ta nêu một chứng minh (có thể xem là sơ cấp nhất) về
tính đóng đại số của trường số phức.

3.6 Đònh lý cơ bản của đại số.

Mọi đa thức hệ số phức, khác hằng đều có nghiệm (phức).

Mọi đa thức P (z) bậc n trên C, đều có thể phân tích thành thừa số bậc nhất:
P (z) = A(z − z1 ) · · · (z − zn ),

với A, z1 , · · · , zn ∈ C

Chứng minh: Cho P (z) là đa thức bậc n trên C. Xét hàm
f : C → R, f (z) = |P (z)|

Vì f liên tục và lim|z|→∞ f (z) = +∞, nên tồn tại z0 : f (z0 ) = inf f .
Gỉa sử phản chứng là P vô nghiệm. Khi đó f (z0 ) = 0. Chia đa thức ta có
P (z) = a0 + ak (z − z0 )k + (z − z0 )k+1 Q(z),

Gọi hk = −

a0
,
ak

với

>0

bé, i.e.

h

với

a0 = P (z0 ) = 0, ak = 0


là một căn bậc k của −

a0
.
ak

a0
Q(z0 + h))|
ak√
< |a0 | − |a0 | + O( k ) < |a0 |

Khi đó

f (z0 + h) = |P (z0 + h)| ≤ |a0 − a0 | + |h

Điều này mâu thuẫn với đònh nghóa của z0 .

khi

đủ bé .


II. Chuỗi lũy thừa - Hàm giải tích
1. CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC

1.1 Đònh nghóa. Chuỗi lũy thừa hình thức của một biến

hạn

∞


Z

là tổng hình thức vô

ak Z k = a0 + a1 Z + a2 Z 2 + · · · ,

k=0

gọi là hệ số thứ k của chuỗi, Z là biến, thỏa: Z p Z q = Z p+q .
Hai chuỗi lũy thừa gọi là bằng nhau nếuu các hệ số tương ứng của chúng bằng nhau.
Như vậy cho một chuỗi lũy thừa hình thức tương đương cho dãy:

ak ∈ C

(a0 , a1 , · · · , ak , · · · )

Ký hiệu C[[Z]] là tập mọi chuỗi lũy thừa hình thức của một biến Z .
∞
Cấp của chuỗi S(Z) = ak Z k là số: ω(S) = inf{k : ak = 0}, ω(0) = +∞.
Khi đó

S(Z) = aω Z ω +

k=0

các số hạng lũy thừa > ω.

Ví dụ. Một đa thức được xem là chuỗi với đồng nhất sau:
a0 + a1 Z + · · · + an Z n = a0 + a1 Z + · · · + an Z n + 0Z n+1 + 0Z n+2 + · · ·


1.2 Đại số các chuỗi hình thức. Trên C[[Z]] đònh nghóa 2 phép toán
phép cộng:
phép nhân:

∞

(

k=0
∞

(

ak Z k ) + (
ak Z k )(

k=0

∞

∞

bk Z k ) =

k=0

bk Z k ) =

k=0


∞

∞

(ak + bk )Z k .

k=0

ck Z k

k=0

, với cn = a0 bn + · · · + an b0 .

Khi đó (C[[Z]], +, ·) là một đại số với đơn vò là 1 = 1 + 0Z + 0Z 2 + · · · .
Hơn nữa, nó là miền nguyên (i.e. vành thỏa: S = 0, T = 0 ⇒ ST
ω(ST ) = ω(S) + ω(T ).

1.3 Phép chia. Cho S(Z) = (

∞
k=0

ak Z k )

và T (Z) = (

Bài toán: Khi nào tồn tại chuỗi Q(Z) =
đó, ta ký hiệu Q(Z) =


S(Z)
,
T (Z)

∞

ck Z
k=0

k

∞
k=0

= 0)

do

bk Z k ).

, sao cho S(Z) = T (Z)Q(Z). Khi

và gọi là chuỗi thương của S(Z) và T (Z).

Mệnh đề. Gỉa sử S(0) = a0 = 0. Điều kiện cần và đủ để tồn tại

Q(Z) ∈ C[[Z]]

sao



12

II.1. Chuỗi lũy thừa hình thức.
cho

S(Z)
= Q(Z),
T (Z)
∞
k=0
∞

ak Z k
bk Z k

là hệ số T (0) = b0 = 0. Khi đó
∞

=

ck Z k ,

với c0 =

k=0

a0
1

, cn = (an − bn c0 − · · · − b1 cn−1 )
b0
b0

k=0

Chứng minh: Sự tồn tại Q(Z) sao cho S(Z) = T (Z)Q(Z), suy ra a0 = b0 c0 . Theo gỉa

thiết a0 = 0, vậy b0 = 0.
Ngược lại, giả sử a0 = 0, b0 = 0. Ta cần xác đònh các hệ số ck sao cho
∞

ak Z k = (

k=0

∞

∞

bk Z k )(

k=0

ck Z k )

k=0

Theo phép nhân, đồng nhất hệ số, ta có hệ phương trình với ẩn c 0 , c1 , · · · :
an = b0 cn + b1 cn−1 + · · · + bn c0 n = 0, 1, 2, · · ·


Vì a0 = 0, hệ có duy nhất nghiệm:

c0 =

a0
1
, cn = (an − bn c0 − · · · − b1 cn−1 ).
b0
b0
S(Z)
∈ C[[Z]] khi và chỉ
a 0 = 0, thì
T (Z)

Bài tập: Chứng minh, nếu bỏ gỉa thiết
ω(S) = ω(T ). (HƯỚNG DẪN. Xem nhận xét sau các ví dụ dới đây).
Ví dụ.
a) Cho đa thức T (Z) = 1 − Z . Để tìm thương
đề trên hay nhận xét sau.

Xét chuỗi hình học

1
,
T (Z)

Q(Z) = 1 + Z + Z 2 + · · · =

∞

k=0

khi

có thể dùng công thức ở mệnh
Zk

.

ZQ(Z) = Z + Z 2 + · · · . Vậy (1 − Z)Q(Z) = 1.
∞
1
= 1 + Z + Z2 + · · · =
Zk
1−Z
k=0

Ta có
Nói cách khác

Ví dụ này cũng cho thấy nghòch đảo một đa thức không là một đa thức.
b) Phương pháp ở ví dụ trên có thể sử dụng để tìm nghòch đảo chuỗi lũy thừa
∞
bk Z k , với b0 = 0, nh sau.
T (Z) =
k=0

Viết T (Z) = b0 (1 − Φ(Z)), trong đó Φ(Z) = c1 Z + c2 Z 2 + · · · , i.e.
1
1

1
=
= (1 + Φ(Z) + Φ(Z)2 + · · · ).
Suy ra
T (Z)

c) Cho S(Z) =
trong đó sn =

b0 (1
∞

k=0
a0 +

− Φ(Z))

ak Z k .

Khi đó

· · · + an .

Φ(0) = 0.

b0
S(Z)
= a0 + (a0 + a1 )Z + · · · + sn Z n + · · · ,
1−Z



13

II.1. Chuỗi lũy thừa hình thức.

Nhận xét. Cho S(Z), T (Z) ∈ C[[Z]], T (Z) = 0. Khi đó có biểu diễn chuỗi lũy

thừa hình thức với hữu hạn số hạng lũy thừa âm:

c−m c−m+1
c−1
S(Z)
= m + m−1 + · · · +
+ c0 + c1 Z + c2 Z 2 + · · ·
T (Z)
Z
Z
Z

Thật vậy, gọi p và q là cấp của S và T . Khi đó
S(Z) = Z p (ap +ap+1 Z+· · · ) = Z p S1 (Z) và T (Z) = Z q (bq +bq+1 Z+· · · ) = Z q T1 (Z)
Do T1 (0) = bq = 0, nên

1
= U (Z) ∈ C[[Z]].
T1 (Z)

Vậy có thể biểu diễn

Z p S1 (Z)

S1 (Z)U (Z)
S(Z)
= q
=
T (Z)
Z T1 (Z)
Zm

(m = q − p).

Từ đó suy ra biểu diễn nêu trên.

1.4 Đạo hàm hình thức. Cho
được ký hiệu bởi S (Z) hay

∞

S(Z) =

dS
,
dZ

k=0

ak Z k .

Đạo hàm của

S(Z),


là chuỗi

và được đònh nghóa
∞

S (Z) =

kak Z k−1 .

k=1

Dùng phương pháp đồng nhất hệ số ta có các công thức tính đạo hàm quen biết:
∀S, T ∈ C[[Z]], và ∀α, β ∈ C,
(αS + βT ) = αS + βT , (ST ) = S T + ST ,

Đạo hàm cấp n được đònh nghóa qui nạp:

Ta có S (n) (Z) = n!an + số hạng bậc
Suy ra công thức Taylor hình thức:
S(Z) =

1.5 Thay biến. Cho S(Z) =

∞
k=0

S
T


và

=

S T − ST
(T (0) = 0) .
T2

S (n) (Z) = (S (n−1) (Z)) , n ∈ N.
≥ 1.

Vậy

S (n) (0) = n!an .

∞

S (k) (0) k
Z
k!
k=0

ak Z k , T (Z) =

Thay Z bởi T (Z) vào S , gọi là chuỗi hợp

∞
k=0

S ◦ T,


S ◦ T (Z) = S(T (Z)) =

bl Z l , b0 = T (0) = 0.

đònh nghóa bởi

∞

ak (T (Z))k .

k=0

Nhận xét. Việc thay biến như trên cho ta một chuỗi lũy thừa hình thức, i.e. đònh nghóa

là hợp cách. Thật vậy, gọi cn là hệ số của Z n trong
nhân, ta có:
cn =

n
k=1

ak (

p1 +···+pk =n

∞

k=0


ak (T (Z))k .

bp1 · · · bpk )

Khi đó theo phép


14

II.1. Chuỗi lũy thừa hình thức.

Viết một cách ngắn gọn:
cn = hệ số của Z n trong a0 + a1 T (Z) + · · · + an T (Z)n
= a1 bn + Pn (a2 , · · · , an , b1 , · · · , bn−1 )
(Pn là đa thức )

Vậy

cn

Ví dụ.
1
a)

chỉ phụ thuộc vào n hệ số đầu của S và T .

1 − cZ

= 1 + cZ + c2 Z 2 + c3 Z 3 · · · .


b) Cho S(Z) =

∞
k=0

ak Z k .

Ta có thể tách chuỗi có mũ chẵn và lẻ:

1
(S(Z) + S(−Z)) = a0 + a2 Z 2 + a4 z 4 + · · ·
2
1
(S(Z) − S(−Z)) = a1 Z + a3 Z 3 + a5 Z 5 + · · ·
2

Tổng quát, dùng căn của đơn vò có thể tách chuỗi có số mũ mod m: gọi ω = e 2πi/m,
ta có
1
ω −jr S(ω j Z) =
m 1≤jk( mod

ak Z k (0 ≤ r < m).

m)=r

Chẳng hạn, m = 3, r = 1,ta có ω = cos 1200 + i sin 1200 , và
1
a1 Z + a4 Z 4 + a7 Z 7 + · · · = (S(Z) + ω −1 S(ωZ) + ω −2 S(ω 2 Z)).

3

1.6 Chuỗi ngược. Đặt I(Z) = Z . Ta có S ◦ I = I ◦ S = S , với mọi S ∈ C[[Z]],
i.e. I là phần tử đơn vò của phép hợp thành.
Bài toán: Khi nào một chuỗi S có chuỗi ngược đối với phép hợp thành.
Mệnh đề. Để tồn tại chuỗi lũy thừa hình thức T sao cho T (0) = 0 và S ◦ T = I , điều

kiện cần và đủ là S(0) = 0 và S (0) = 0.
Khi đó S ◦ T = T ◦ S = I và T gọi là chuỗi ngược của S .
Chứng minh: Cho S(Z) =

Nếu

∞
k=0

∞

ak Z k , T (Z) =

S ◦ T (Z) = Z , so sánh hệ
a1 = 0.
Ngược lại, giả sử a0 = 0, a1 = 0.

k=0

số ta có: a0

bk Z k , b0 = 0.

= 0, a1 b1 = 1,

i.e.

S(0) = 0, S (0) =

Ta tìm T sao cho S ◦ T (Z) = Z .
Từ nhận xét ở 1.4, ta cần xác đònh b1 , b2 , · · · từ hệ phương trình
a1 b1 = 1
a1 bn + Pn (a2 , · · · , an , b1 , · · · , bn−1 ) = 0, n > 1.
1

1

Suy ra b1 = , bn = Pn (a2 , · · · , an , b1 , · · · , bn−1 ).
a1
a1
Từ T (0) = 0, T (0) = 0, áp dụng chứng minh vừa rồi cho S := T , ta có S1 sao cho


15

II.1. Chuỗi lũy thừa hình thức.
S1 (0) = 0, T ◦ S1 = I .
T ◦ S = I.

Suy ra

S1 = I ◦ S1 = (S ◦ T ) ◦ S1 = S ◦ (T ◦ S1 ) = S ,

i.e.

Nhận xét. Vì T (S(Z)) = Z và S(T (W )) = W , có thể nói các biến đổi hình thức

và Z = T (W ), là ngược đảo của nhau. Mệnh đề trên còn gọi là Đònh
lý hàm ngược hình thức.

W = S(Z)

1.7 Quan hệ đồng dư modulo

ZN

và ký hiệu

O(Z N ). Trong tính toán với chuỗi
N ∈ N nào đó, và xử lý như đa thức.

lũy thừa thường ta “chặt cụt” ở một độ dài
∞
∞
k
ak Z và T (Z) =
Hai chuỗi S(Z) =
k=0

bk Z k

k=0

ak = bk , với k = 0, 1, · · · , N − 1.
Khi đó ký hiệu S(Z) = T (Z) mod Z N hay

gọi là đồng dư modulo

ZN

nếuu

S(Z) = T (Z) + O(Z N ).

Nhận xét. Với mọi n ∈ N, tồn tại duy nhất đa thức bậc ≤ n,
Sn (Z) =

1 k
S (0)Z k ,
k!
k≤n

sao cho

S(Z) = Sn (Z) + O(Z n+1 )

Các phép toán thực hiện ở các phần trước có thể đúc kết như sau.

Mệnh đề. Nếu S(Z) = Sn (Z) + O(Z n+1) và T (Z) = Tn (Z) + O(Z n+1), thì
(1)
(2)
(3)

S(Z) + T (Z) = Sn (Z) + Tn (Z) + O(Z n+1 )
S(Z)T (Z)
= Sn (Z)Tn (Z) + O(Z n+1 )
S(T (Z))
= Sn (Tn (Z)) + O(Z n+1 )

Ví dụ.
a) Cho chuỗi cos Z = 1 −

Để xác đònh

1
cos Z

1 2
1
1
Z + Z 4 + · · · + (−1)k
Z 2k + · · · .
2!
4!
(2k)!

đến bậc 4, ta tiến hành như sau.

1
1 2
1 4
1 − ( Z − Z + O(Z 6 ))
2!

4!
1
1
1
1
= 1 + ( Z 2 − Z 4 + O(Z 6 )) + ( Z 2 − Z 4 + O(Z 6 ))2 + O(Z 6 )
2!
4!
2!
4!
1
1
1
= 1 + Z 2 − Z 4 + ( Z 2 )2 + O(Z 6 )
2!
4!
2!
1
1
1
= 1 + Z 2 + (− + )Z 4 + O(Z 6 ).
2
24 4
Z2
1
Z
b) Cho chuỗi exp(Z) = 1 + + + · · · + Z k + · · · .
1!
2!
k!

Để xác đònh chuỗi hợp exp(Zcos Z) đến bậc 3, ta tiến hành như sau.
1
1
1
1
exp(Zcos Z) = 1 + (Z − Z 3 + O(Z 5 )) + (Z − Z 3 + O(Z 5 ))2 + (Z + O(Z 3 ))3 + O(Z 4 )
2!
2!
2!
3!
1 2
1 3
1 3
4
= 1 + (Z − Z ) + Z + Z + O(Z )
2!
2!
3!
1 3
1
1 2
= 1 + Z + Z + (− + )Z + O(Z 4 )
2!
2 3!
1
cos Z

=

16

II.2 Hội tụ đều

1.8 Hàm sinh. Theo một thuật ngữ khác chuỗi
G(Z) =

∞

ak Z k ,

k=0

còn được gọi là hàm sinh của dãy số (an )n∈N = a0 , a1 , a2 , · · ·
Như vậy hàm sinh G(Z) là đại lượng duy nhất xác đònh toàn bộ thông tin của tất cả
các số hạng của dãy (an ).1
Ví dụ.
a) Chuỗi Z m G(Z) =

k≥m

ak−m Z k , là hàm sinh của dãy: (ak−m ) = 0, · · · , 0, a0 , a1 , · · · .

b) Chuỗi Z −m (G(Z) − a0 − a1 Z − · · · − am−1 Z m−1 ) =

∞
k=0

ak+m Z k ,

là hàm sinh của

dãy: (ak+m ) = am , am+1 , · · ·
c) Dãy Fibonacci đònh nghóa: a0 = 0, a1 = 1, và an = an−1 + an−2 (n ≥ 2).
Ta có thể xác đònh biểu thức hiện cho các số hạng an nhờ hàm sinh nh sau.
Gọi G(Z) là hàm sinh của dãy (an ). Khi đó ZG(Z), Z 2 G(Z) là hàm sinh của
(an−1 ), (an−2 ) tương ứng. Từ an − an−1 − an−2 = 0, ta có
(1 − Z − Z 2 )G(Z) = Z.
1
1
1
Z
),
−
=√ (
2
ˆ
1−Z −Z
5 1 − φZ
1 − φZ
1
φˆ = là 2 nghiệm phương trình Z 2 − Z − 1 = 0.
φ

Suy ra G(Z) =

trong đó φ và
Từ ví dụ 1.3 a) ta có

1

ˆ + φˆ2 Z 2 + · · · ) .
G(Z) = √ (1 + φZ + φ2 Z 2 + · · · ) − (1 + φZ
5
1

Suy ra an = √ (φn − φˆn ).
5
Tổng quát, nếu dãy (an ) cho bởi công thức đệ qui tuyến tính:
an = c1 an−1 + · · · + cm an−m , n ≥ m,

với các hệ số cj ∈ C.

Khi đó (1 − c1 Z − · · · − cmZ m )G(Z) là đa thức. Dùng phương pháp tương tự như ví
dụ trên (tìm nghiệm đa thức, phân tích thành thừa số hữu tỉ, khai triển chuỗi ngược,
... ) có thể xác đònh biểu thức hiện của a n .
1
G(Z) là hàm sinh
d) Nếu G(Z) là hàm sinh của dãy (an ), thì theo ví dụ 1.3 a)
1−Z
của dãy tổng sn = a0 + · · · + an .
1
Lý thuyết hàm sinh có nhiều áp dụng trong phân tích thuật toán. Có thể tham khảo: Donald E.
Knuth, The Art of Computer Programming, Vol.1, Addison-Wesley, 1973.


17

II.2 Hội tụ đều

2. HỘI TỤ ĐỀU

2.1 Chuỗi số. Chuỗi số phức là một tổng hình thức các số phức zk
∞

zk = z0 + z1 + · · · + zn + · · · .

k=0

Xét tổng riêng thứ n

Sn =

n
k=0

zk , n ∈ N,

của chuỗi. Nếu dãy (Sn ) hội tụ về S ∈ C,

thì ta nói chuỗi đã cho hội tụ về S và ký hiệu

S=

∞

zk .
k=0

Các kết qủa sau được chứng minh như trường hợp chuỗi số thực.

Mệnh đề∞
.
(1) Nếu

zk
k=0
∞

(2) Chuỗi

hội tụ, thì zk → 0 khi k → +∞.

zk
k=0

hội tụ khi và chỉ khi nó thoả điều kiện Cauchy:

∀ > 0, ∃N : n > N ⇒ |zn + · · · + zn+p | < , (p = 0, 1, · · · )

Các dấu hiệu hội tụ. Chuỗi
Hội tụ tuyệt đối:
So sánh:
D’Alembert:
Cauchy:

∞

|zk |

k=0

∞

zk

hội tụ nếu một thoả một trong các dấu hiệu sau:

k=0

hội tu .

|zk | ≤ ak ,

khi k đủ lớn, và

∞

ak
k=0

|zk+1 |
< 1.
|zk |
k→∞
lim sup k |zk | < 1.

hội tụ.

lim sup
k→∞

2.2 Dãy hàm. Cho dãy hàm fn : D → C, n ∈ N.

Miền hội tụ của dãy là tập D = {z ∈ D : dãy số (fn (z))n∈N hội tụ }. Khi đó ta có
hàm f (z) = n→∞
lim fn (z), z ∈ D , và (fn ) gọi là hội tụ điểm hay hội tụ đơn giản về f
trên D .
Ví dụ. Dãy hàm fn (z) = |z|n, n ∈ N, có miền hội tụ D = {z ∈ C : |z| ≤ 1}. Trên D
dãy hội tụ (điểm) về hàm
f (z) =

0
1

nếu |z| < 1
nếu |z| = 1

Trong ví dụ này fn liên tục, nhưng hàm giới hạn f không liên tục.
Khái niệm hội tụ đều sau đây bảo đảm một số tính chất giải tích của dãy hàm được


18

II.2 Hội tụ đều

bảo toàn khi qua giới hạn.
Dãy hàm (fn )n∈N được gọi là hội tụ đều về f trên D, nếuu
∀ > 0, ∃N : n > N ⇒ sup |fn (z) − f (z)| < .
z∈D

Viết một các khác

sup |fn (z) − f (z)| → 0,

z∈D

khi n → ∞.

Mệnh đề. Nếu dãy hàm

(fn ) hội tụ đều về hàm f trên D và mỗi fn là liên tục
trên D, thì f liên tục trên D.
Nói cách khác z→z
lim lim fn (z) = lim lim fn (z), z0 ∈ D, i.e. có thể hoán vò các phép
n→∞ z→z0
0 n→∞
lấy giới hạn.

Chứng minh: Cho z0 ∈ D. Với mọi > 0, do tính hội tụ đều ta có
∃n0 : |fn0 (z) − f (z)| < /3, ∀z ∈ D.

Mặt khác, do tính liên tục của fn0 , ta có
∃δ > 0 : |z − z0 | < δ ⇒ |fn0 (z) − fn0 (z0 )| < /3.

Suy ra ∀

> 0, ∃δ > 0 :

khi |z − z0 | < δ , ta có

|f (z) − f (z0 )| ≤ |f (z) − fn0 (z)| + |fn0 (z) − fn0 (z0 )| + |fn0 (z0 ) − f (z0 )| <

.

Vậy f liên tục tại z0 .

2.3 Chuỗi hàm. Tổng hình thức

∞

fk
k=0

, trong đó mỗi

fk

là hàm phức xác đònh

trên miền D ⊂ C, gọi là một chuỗi hàm trên D.
n
Đặt Sn (z) = fk (z), z ∈ D, gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi hàm. Các khái niệm
k=0

miền hội tụ, hội tụ và hội tụ đều của chuỗi hàm

Tiêu chuẩn Cauchy. Chuỗi hàm

fk

fk

đồng nhất với các khái niệm

k=0

tương ứng của dãy tổng riêng (Sn ).
Từ các kết quả cuả dãy hàm hội tụ ta có:
∞

∞

hội tụ đều trên D nếu và chỉ nếu

k=0
n+p

∀ > 0, ∃N : n > N ⇒ sup |

z∈D k=n

fk (z)| <

Weierstrass’ M-test. Nếu |fk (z)| ≤ ak , ∀z ∈ D và
tụ đều trên D.

, (p = 1, 2, · · · ).

∞

ak
k=0

hội tụ, thì chuỗi

∞

fk
k=0

hội


19

II.3 Chuỗi lũy thừa hội tụ

Mệnh đề. Nếu chuỗi hàm

∞

fk

hội tụ đều trên D về hàm S và mỗi fk là liên

k=0

tục trên D, thì S liên tục trên D.
∞

Nói cách khác z→z
lim

0

.

trong dấu

∞

fk (z) =

k=0

k=0

lim fk (z), z0 ∈ D,

i.e. có thể chuyển dấu lim vào

z→z0

3. CHUỖI LŨY THỪA HỘI TỤ

Cho S(Z) =
S(z),

∞
k=0

ak Z k ∈ C[[Z]].

Khi thay ký hiệu Z bởi gía trò z ∈ C ta có chuỗi số

nó là một gía trò phức khi chuỗi

∞

ak z k

k=0

hội tụ. Phần này sẽ nghiên cứu sự

hội tụ của chuỗi lũy thừa và mối quan hệ giữa các phép toán hình thức với các phép
toán trên hàm.

3.1 Đònh lý Abel. Với mọi chuỗi lũy thừa S(Z) =
R ≤ +∞, sao cho nếu R > 0 thì:
S(z) hội tụ khi |z| < R, và S(z)
S(z) hội tụ đều trên đóa |z| ≤ r,

(1)
(2)

∞

ak Z k ,

tồn tại R = R(S), 0 ≤

k=0

phân kỳ khi |z| > R.
với mọi r < R.

Trên hình tròn |z| = R đònh lý không có khẳng đònh gì.
gọi là bán kính hội tụ của chuỗi S và tính bởi công thức Hadamard:

R = R(S)

1
= lim sup
R
k→∞

k

|ak |

Chứng minh: Với |z| < R, tồn tại ρ : |z| < ρ < R. Theo đònh nghóa lim sup, tồn tại
k0

sao cho:

1

1
, ∀k > k0 . Suy ra |ak z k | <

ρ
Do đó S(z) hội tụ.

|ak | k <

|z|
ρ

k

. Vậy

∞

k=0

|ak z k |

hội tụ theo

dấu hiệu so sánh.
r k
. Theo M-test S(z) hội
Xét trên đóa |z| ≤ r < R. Với ρ : r < ρ < R, |ak z k | <
ρ
tụ đều trên đóa đã cho.
1
1
Nếu |z| > R, chọn ρ : R < ρ < |z|. Khi đó tồn tại vô số chỉ số k: |a k | k > . Vậy
|ak z k | >

|z|
ρ

k

với vô số chỉ số k. Suy ra

Nhận xét. Cho S(Z) =

∞
k=0

ak Z k .

∞
k=0

ρ

ak z k

phân kỳ theo 2.2 (1).

Khi đó

R(S) > 0 ⇔ ∃C, r > 0 : |ak | ≤

C
, ∀k ∈ N

rk

Nhận xét. Trong nhiều trường hợp có thể dùng công thức D’Alembert để tính bán kính


20

II.3 Chuỗi lũy thừa hội tụ

hội tụ:

|ak |
k→∞ |ak+1 |

R = lim

nếu giới hạn trên tồn tại. Điều này suy từ kết qủa sau
|ak+1 |
= q ⇒ lim
k→∞ |ak |
k→∞
lim

k

|ak | = q

Chứng minh: Theo gỉa thiết, ∀ > 0, ∃N : k > N ⇒ q − <

Suy ra

(q − )p <

|aN +1 ||aN +2 | · · · |aN +p |
< (q + )p
|aN ||aN +1 | · · · |aN +p−1 |
p

1

|ak+1 |
|ak |

p = 1, 2, · · ·
p

1

Suy ra |aN | N +p (q − ) N +p < N +p |aN +p | < |aN | N +p (q + ) N +p p = 1, 2, · · ·
Khi p → ∞, q − ≤ lim inf k |ak | ≤ lim sup k |ak | ≤ q + .
k→∞
k→∞
Từ đó suy ra kết qủa.
√
Bài tập: Chứng minh chiều ⇐ của phát biểu trên không đúng. Hãy xét a k = qk± k .
Ví dụ.
a) Chuỗi

b) Chuỗi

∞

k!z k

k=0
∞

zk
k!
k=0

có bán kính hội tụ là 0, do k! ≥ 3k k e−k .

có bán kính hội tụ là ∞.

1 k ∞ 1 k
z ,
z
2
k
k
k=0
k=1
k=1
tròn |z| = 1 khác nhau.

c) Các chuỗi

∞

zk ,

∞

đều có bán kính hội tụ là 1, nhng tính hội tụ

trên đường
∞
Chuỗi z k phân kỳ khi |z| = 1, theo điều kiện cần.
Chuỗi
Chuỗi

k=0
∞

1 k
z
k2
k=1
∞

1 k
z
k
k=1

hội tụ khi |z| = 1, theo tiêu chuẩn so sánh.
phân kỳ khi z

= 1,

nhưng hội tụ tại mọi điểm khác trên đường tròn

đơn vò. Thật vậy, với z = eiϕ (ϕ = 2kπ), chuỗi có dạng

∞

1 kiϕ
e .
k
k=1

Ta dùng phương

pháp tổng từng phần của Abel để chứng minh chuỗi hội tu.
n
n
1 kiϕ
e
và An = ekiϕ . Khi đó
Đặt Sn =
k=1

Sn − Sm =

Mặt khác

k

k=0

n−1
1
1
1
1
1
(Ak − Ak−1 ) = −
Am +
)Ak + An
( −
k
m+1
k k+1
n
k=m+1
k=m

An =

n

ϕ sin((n + 1)ϕ/2)
e(n+1)iϕ − 1
= eni 2
.
iϕ
e −1
sin(ϕ/2)

Vậy

|An | ≤

1
.
| sin(ϕ/2)|