C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
1. ĐẠO HÀM HÀM SỐ MỘT BIẾN
Định nghĩa: Cho y = f(x) xác định trong (a,b), x0  (a,b).
Đạo hàm của f tại x0 được định nghĩa và ký hiệu:
f (x )  f ( x 0 )
f ' ( x 0 )  lim
x  x0
x  x0
Gọi x = x – x0: Số gia của x tại x0
y = f(x0 + x) – f(x0): Số gia của y tại x0

y
y '  lim
x  0  x

dy df
,
dx dx
87


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm một phía:

f (x 0 )
- Đạo hàm bên phải:
 lim
x  0   x
f (x 0 )

- Đạo hàm bên trái: f ' ( x 0 )  lim

x 0  x

f ' (x 0 )

Định lý: f’(x0) tồn tại <=> f’(x0+) = f’(x0-)
Định lý: Nếu f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0.
Ví dụ: Xét đạo hàm và tính liên tục của f = |x| tại x0 = 0
88


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm trên khoảng, đoạn:
- f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm trong khoảng đó,
- f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại
mọi điểm trong khoảng (a,b), có đạo hàm phải tại a và
đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx
Ý nghĩa của đạo hàm:
• Hệ số góc của tiếp tuyến tại x0
• Đường cong liên tục
• Sự biến động của y khi x tăng lên 1 đơn vị
89


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
• (u + v)’ = u’ + v’
• (u.v)’ = u’v + v’u
'

u
u' v  v' u


•   
(v  0) => (ku)’ = ku’ (k hằng số)
v
v2
Ví dụ, tìm đạo hàm: y = x2 + sinx, y = x2sinx
Đạo hàm của hàm số hợp:
Cho u = u(x) có đạo hàm tại x0, hàm y = f(u) có đạo hàm
tại u thì hàm hợp f(u) có đạo hàm tại x0 và y’x = y’u.u’x
Ví dụ, Tìm đạo hàm y = sin2x
90


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm của hàm số ngược:
Cho y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số
ngược
1
1 '
-1
x = f (y) thì: (f )y  '
fx
Ví dụ, tìm đạo hàm của y = arcsinx

91



C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
(c)’ = 0
Đạo hàm
 )’ = x-1
(x
các hàm số
sơ cấp cơ (ax)’ = axlna
bản:
(ex)’ = ex
(sinx)’ = cosx
(cosx)’ = -sinx
1
( tgx )' 
cos 2 x

(cot gx )'  

1
sin 2 x

Ví dụ, tính đạo hàm y = u(x)v(x)

1
(log a x )' 
x ln a
1
(ln x )' 
x
1
(arcsin x )' 

1  x2
1
(arccos x )'  
1 x2
1
( arctgx )' 
1  x2
1
( arc cot gx )'  
1  x2
92


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là
đạo hàm cấp 1. Đạo hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi
là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)

d2 y
dx

2

d2 f

,

dx 2


Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo
hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x), y(n)(x).

dny
n

dx

,

dnf
dxn
93


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Ví dụ: Tìm đạo hàm cấp n:
1. y = ex
2. y = ax
3. y = lnx
4. y = x
Một vài công thức:


y  sin x  y
 sin( x  n )
2

(n)
y  cos x  y

 cos( x  n )
2
(n)

94


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó
ta có:
(u + v)(n) = u(n) + v(n)
n

(uv )(n )   Cknu(n  k ) .v (k ) trong đó u(0) = u, v(0) = v
k 0

95


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. VI PHÂN
Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại x 0
nếu tồn tại A sao cho f = A.x + 0(x).
Biểu thức df = A.x được gọi là vi phân của f tại x0.
Định lý: f(x) khả vi tại x0  f có đạo hàm và f’(x0) = A.
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv
d(u.v) = vdu + udv


 u  vdu  udv
d  
v
v2

96


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Công thức tính xấp xỉ: Nếu f(x) khả vi tại x và khi |x|
gần 0 ta có: f(x+x) – f(x)  f’(x)x
hay f(x+x)  f(x) + f’(x)x
Ví dụ: Tính gần đúng (15,8)1/4
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký
hiệu dny = y(n)dxn được gọi là vi phân cấp n của hàm
số f.

97


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi
trong (a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho
f’(c) = 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả
vi trong (a,b) thì tồn tại c  (a,b) sao cho

f (b )  f (a )
 f ' (c )

ba
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của
định lý Lagrange trong trường hợp f(b) = f(a).
98


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi
trong khoảng (a,b) và g’(x) ≠ 0, x  (a,b) thì tồn tại c 
(a,b) sao cho

f (b)  f (a ) f ' (c )

g(b)  g(a) g' (c)
Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt
của định lý Cauchy trong trường hợp g(x) = x.

99


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong
lân cận D của x0 thì x  D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa
x và x0 sao cho:
f ' (x 0 )
f " ( x0 )
f (x )  f (x 0 ) 
(x  x0 ) 
(x  x 0 )2  ...
1!

2!
(n 1)
f (n) ( x0 )
f
(c )
n
... 
(x  x 0 ) 
(x  x0 )n 1
n!
(n  1)!

Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrange

f (n1) (c )
n 1
Rn (x ) 
(x  x 0 )
(n  1)!
100


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
• Đa thức Taylor:

f (k ) ( x 0 )
k
Pn( x )  
(x  x0 )
k!

k 0
n

Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức
Maclaurin

f ' (0)
f " ( 0) 2
f (n) (0) n f (n 1) (c ) n1
f ( x )  f ( 0) 
x
x  ... 
x 
x
1!
2!
n!
(n  1)!

101


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x
 (a,b)
f (x )
f ' (x )
lim
 lim

L
lim f ( x )  lim g( x )  0
x  a g( x )
x  a g' ( x )
x a
x a
Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:

lim f ( x )  lim g( x )  0
x 

x 

lim f ( x )  lim g( x )  

x a

x a

lim f ( x )  lim g( x )  

x 

x

• Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
102


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

1. Dạng 0/0, /
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)

lim
x 0


 arctgx
lim 2
1
x
x

tgx  x
lim
x  0 x  sin x

x  sin x
x3

Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)

ln x
lim
x  0  cot gx

lim
x  

ln x

x

n

lim

x

n

x   e x

103


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
2. Dạng 0.,  - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /.
Ví dụ:
1
5
2
lim (
 tgx )
lim x ln x
lim ( 4  x ) tg(  x / 4 )
x   / 2 cos x
x 0
x 2
3. Dạng vô định: 00, 1 ,  0:
Ta xét limfg = elimg.lnf (f > 0)

Ví dụ:

lim x
x 0

x2

lim
x1

2
x 1 x

lim

x 0

1
(cot gx )ln x

104


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
CỰC TRỊ
Định nghĩa: Hàm số f được gọi là đạt cực đại (cực tiểu)
tại x0 nếu tồn tại một lân cận của x0 sao cho f(x)  f(x0)
(f(x)  f(x0)).
Chiều biến thiên của hàm số:
Định lý: Cho f khả vi trong (a,b):

1. Nếu f’(x) > 0 với mọi x  (a,b) thì f tăng.
2. Nếu f’(x) < 0 với mọi x  (a,b) thì f giảm.

105


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện cần của cực trị:
Định lý Fermat: Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm x0 và
có đạo hàm tại điểm đó thì f’(x0) = 0.
Ví dụ: Xét đạo hàm tại x = 0: y = x3

,

y = |x|

Định nghĩa: Các điểm thoả một trong các điều kiện sau
thì được gọi chung là điểm tới hạn của f:
a) Không tồn tại f’(x)
b) f’(x) = 0
Định nghĩa: Các điểm thoả điều kiện sau f’(x) = 0 được
gọi là điểm dừng của f.
106


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Điều kiện đủ của cực trị:
Định lý 1: Giả sử f khả vi trong (a,b) chứa điểm x0
a) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) đổi dấu từ dương
sang âm thì f(x) đạt cực đại tại x 0.

b) Nếu x vượt qua x 0 mà f’(x) đổi dấu từ âm sang
dương thì f(x) đạt cực tiểu tại x0.
c) Nếu x vượt qua x0 mà f’(x) không đổi dấu thì f(x)
không đạt cực trị tại x 0.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số:

3

y  (x  1). x

2

107


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Quy tắc 1 tìm cực trị:
1.Tìm miền xác định
2. Tính f’(x). Tìm f’(x)=0 và không tồn tại f’(x).
3. Lập bảng biến thiên.
4. Suy ra điểm cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số:
3

y  (x  1). x 2

108


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN

Định lý 2: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên tục ở lân
cận điểm x0 và f’(x) = 0.
a) Nếu f”(x0) > 0 thì f(x) đạt cực tiểu.
b) Nếu f”(x0) < 0 thì f(x) đạt cực đại.
Quy tắc 2 tìm cực trị: Giả sử f(x) có đạo hàm cấp 2 liên
tục ở lân cận điểm x0 và f’(x) = 0.
1. Tìm miền xác định
2. Tính f’(x). Tìm nghiệm f’(x)=0, xi.
3. Tính f’’(x) và f’’(xi)
4. Dựa vào dấu của f’’(xi) suy ra cực trị.
Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y = x – ln(1+x)

109


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT:
Cho f(x) xác định trên D:
• M được gọi là giá trị lớn nhất của y=f(x) trên tập D
nếu f(x) ≤ M với mọi xD và tồn tại x0D sao cho f(x0) =
M.
• M được gọi là giá trị nhỏ nhất của y=f(x) trên tập D
nếu f(x) ≥ m với mọi xD và tồn tại x0D sao cho f(x0) =
m.

110


C4. ĐẠO HÀM – VI PHÂN
Giá trị lớn nhất, bé nhất của hàm số trên [a,b]:

1. Tính f tại các điểm tới hạn trong [a,b] và f(a), f(b)
2. fmax (fmin) là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) trong các giá
trị tìm được.
Ví dụ: tìm fmax ,fmin của f(x) = x3 – 3x 2 +1 trên [-1, 1]

111