Chương IV. Các phép biến hình
Các phép biến đổi hình học cơ sở bao gồm:
- tịnh tiến /dời hình (translation)
- quay (rotation)
- tỷ lệ /vị tự / (scaling)
Ví dụ:
- một báo cáo viên muốn thu nhỏ các biểu đồ trong báo cáo
- một kiến trúc sư muốn nhìn tòa nhà ở những góc nhìn khác nhau
- nhà thiết kế muốn quan sát, tách rời và chỉnh sửa từng chi tiết của mẫu thiết kế
- ...
Có hai quan điểm về phép biến đổi hình học, có liên quan với nhau và đều có những lợi thế
riêng:
- Biến đổi đối tượng (object transformation): tọa độ của từng điểm trên đối tượng được
biến đổi theo công thức của phép biến hình, tạo ra ảnh của đổi tượng qua phép biến
hình đó.
- Biến đổi hệ tọa độ (coordinate transformation): tạo ra một hệ tọa độ mới, sau đó tất
cả các điểm của đối tượng sẽ được chuyển về hệ tọa độ đó.
Phép biến hình affin
Ánh xạ
T: R2 Æ R2
P(x,y) ÆQ(x*,y*)
⎧ x* = f ( x, y )
trong đó: ⎨
⎩ y* = g ( x, y )
và f() và g() là hai hàm tuyến tính thì được gọi là phép biến hình Affin (affine). Ta chỉ khảo
sát các phép biến hình loại này. Phép biến hình affin có những tính chất sau:
- Bảo toàn đường thẳng: ảnh của đường thẳng qua phép biến hình affine là đường
thẳng.
- Bảo toàn tính song song của các đường thẳng: ảnh của các đường thẳng song song
qua phép biến hình affine cũng là các đường thẳng song song.
- Bảo toàn tỷ lệ về khoảng cách: giả sử C là điểm chia đoạn AB theo tỷ lệ x và

A’,B’,C’ lần lượt là ảnh của A,B,C qua một phép biến hình affin. Khi đó C’ cũng
chia đoạn A’B’ theo tỷ lệ x.

4.1. Các phép biến hình phẳng
4.1.1 Các phép biến hình trong hệ tọa độ Decac
Phép tịnh tiến
Ảnh của phép tịnh tiến theo vector (a,b) của điểm P(x,y) là điểm Q(x*,y*)
⎧ x* = x + a
⎨
⎩ y* = y + b
Vector tịnh tiến (a,b) còn gọi là “vector độ dời”. Chúng ta có thể áp dụng quy tắc trên cho
mọi điểm của đối tượng để dịch chuyển nó. Đơn giản hơn, để tịnh tiến một đa giác chỉ cần


1


tịnh tiến các đỉnh của nó rồi vẽ lại đa giác mới. Tương tự, đối với đường tròn, ellip ta tịnh
tiến tâm của chúng tới vị trí mới rồi vẽ lại.

Phép tịnh tiến trong mặt phẳng
Phép tỷ lệ
Làm thay đổi kích thước của đối tượng.

⎧ x* = tx.x
⎨
⎩ y* = ty. y
trong đó ty, tx là hệ số co dãn theo trục tung và trục hoành. Khi tx,ty nhỏ hơn 1, phép biến
đổi sẽ thu nhỏ đối tượng. Khi tx,ty lớn hơn 1, phép biến đổi sẽ phóng to đối tượng. Khi
tx=ty: ta gọi đó là phép đồng dạng (uniform scaling), nó bảo toàn tỷ lệ về kích thước của vật

thể.

6
5
4

tx=ty=3

3
tx=3; ty=1

2
1
1

2

3 4 5 6
Phép tỷ lệ



2


Phép quay
Phép quay làm thay đổi hướng của đối tượng. Để xác định phép quay, ta cần biết tâm quay
và góc quay. Phép quay điểm P(x,y) quanh gốc tọa độ một góc α tạo thành điểm ảnh
Q(x*,y*) có công thức như sau:


⎧ x* = x. cos α − y. sin α
⎨
⎩ y* = x. sin α + y. cos α

1800

Phép quay quanh một điểm
4.1.2 Ma trận của phép biến hình.
Nếu ta biểu diễn điểm P,Q dưới dạng vector dòng (x,y) (x*,y*) như trên thì ma trận của các
phép biến hình như sau:
Phép tịnh tiến:
(x*,y*) = (x,y) + (a,b)
Q = P + T trong đó T = (a,b)
Phép tỷ lệ:

(x*, y *) = (x, y )⎛⎜⎜

tx 0 ⎞
⎟⎟
⎝ 0 ty ⎠

⎛ tx 0 ⎞
⎟⎟ là ma trận của phép đồng dạng
Q = P×S trong đó S = ⎜⎜
⎝ 0 ty ⎠
Phép quay quanh gốc tọa độ:
cos α sin α ⎞
⎟⎟
(x*, y *) = (x, y )⎛⎜⎜
⎝ − sin α cos α ⎠




3


⎛ cos α sin α ⎞
⎟⎟ là ma trận của phép quay
hay Q=P×R trong đó R = ⎜⎜
⎝ − sin α cos α ⎠
Tuy nhiên, cách biểu diễn trên sẽ gặp khó khăn khi kết hợp các phép biến đổi lại với
nhau vì biểu diễn của phép tịnh tiến (cộng ma trận) khác với hai phép biến hình còn lại
(nhân ma trận). Chẳng hạn, khi thiết kế một động cơ, ta muốn tháo riêng một chi tiết ra
ngoài (tịnh tiến), xoay 1 góc (quay) rồi lắp vào chỗ cũ (tịnh tiến). Khi đó ta phải thực hiện 3
phép tính trên ma trận (+ × + ). Người ta đã tìm ra cách biểu diễn trong hệ tọa độ thuần nhất,
nhờ đó rút gọn chuỗi biến đổi trên về chỉ một phép tính.

4.1.3 Hệ tọa độ thuần nhất (homogeneous coordinates)
Tọa độ thuần nhất (đôi khi còn gọi là “đồng nhất”) của điểm (x,y) trên mặt phẳng được biểu
diễn bằng bộ ba (xh,yh,h) liên hệ với tọa độ (x,y) bởi công thức

x=

xh
,
h

y=

yh

h

Nếu một điểm có tọa độ thuần nhất là (x,y,z) trong không gian Decac thì nó cũng có tọa độ
thuần nhất là (x.h,y.h,z.h) trong đó h là số thực khác không bất kỳ. Ngược lại điểm (x,y,z)
trong hệ tọa độ thuần nhất sẽ có tương ứng với điểm (x/z,y/z) trong hệ tọa độ Decac. Tọa độ
thuần nhất của một điểm trong không gian 3 chiều hay nhiều chiều cũng được xác định theo
cách tương tự. Để đơn giản hóa, người ta thường chọn h=1, lúc này điểm P(x,y) sẽ được
biểu diễn dưới dạng tọa độ thuần nhất là (x,y,1)
4.1.4 Ma trận của các phép biến hình trong hệ tọa độ thuần nhất
Phép tịnh tiến:

⎛ 1 0 0⎞
⎜
⎟
(x*, y*,1) = (x, y,1) × ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜ a b 1⎟
⎝
⎠
⎛ 1 0 0⎞
⎟
⎜
Hay Q = P × T trong đó T là ma trận của phép tịnh tiến T = ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜ a b 1⎟
⎠
⎝
Phép tỷ lệ:

⎛ tx 0 0 ⎞
⎜
⎟

(x*, y*,1) = (x, y,1) × ⎜ 0 ty 0 ⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
⎛ tx 0 0 ⎞
⎜
⎟
Hay Q = P × S trong đó S là ma trận của phép tỷ lệ S = ⎜ 0 ty 0 ⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
Phép quay quanh gốc tọa độ:



4


⎛ cos α
⎜
(x*, y*,1) = (x, y,1) × ⎜ − sin α
⎜ 0
⎝

sin α

0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠


cos α
0

⎛ cos α
⎜
Hay Q = P × R trong đó R là ma trận của phép quay R = ⎜ − sin α
⎜ 0
⎝

sin α
cos α
0

0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠

4.1.5 Kết hợp các phép biến hình
Bất kỳ phép biến hình nào cũng được kết hợp từ phép tịnh tiến, tỷ lệ và quay.
Khi áp dụng liên tiếp các phép biến hình trên đối tượng, ta phải thực hiện nhiều phép nhân
với các ma trận tương ứng. Thay vào đó, ta sẽ chuẩn bị sẵn ma trận tích và sử dụng như ma
trận của phép biến hình tổng thể.
Kết hợp các phép tịnh tiến

Ta thực hiện phép tịnh tiến T1 với vector tịnh tiến (a,b) lên điểm P(x,y) và thu được ảnh Q’,
sau đó thực hiện tiếp phép tịnh tiến T2(c,d) đối với Q’ và thu được Q(x*,y*)
1 ( a ,b )
2 ( c ,d )

P ( x, y ) ⎯T⎯
⎯→ Q ' ( x' , y ' ) ⎯T⎯
⎯→ Q ( x*, y*)

Kết hợp của 2 hay nhiều phép tịnh tiến cho kết quả là phép tịnh tiến có ma trận là tổng các
ma trận hành phần:

T1 (a, b).T2 (c, d ) = T (a + c, b + d )
0
⎛ 1 0 0⎞ ⎛1 0 0⎞ ⎛ 1
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
1
⎜ 0 1 0⎟ × ⎜ 0 1 0⎟ = ⎜ 0
⎜ a b 1⎟ ⎜ c d 1⎟ ⎜ a + c b + d
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝

0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠

Kết hợp các phép tỷ lệ
Tương tự như phép tịnh tiến, kết hợp của nhiều phép tỷ lệ là một phép tỷ lệ. Giả sử ta kết
hợp hai phép tỷ lệ sau: S = S1. S2 Ma trận kết hợp sẽ là

⎛ tx1 0

⎜
⎜ 0 ty1
⎜0 0
⎝

0 ⎞ ⎛ tx 2
⎟ ⎜
0⎟ × ⎜ 0
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

0
ty1
0

0 ⎞ ⎛ tx1tx 2
⎟ ⎜
0⎟ = ⎜ 0
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0

0
ty1ty 2
0

0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠

Kết hợp các phép quay




5


Tương tự như phép tịnh tiến, kết hợp của nhiều phép quay quanh gốc tọa độ cũng là một
phép quay quanh gốc tọa độ. Giả sử phép quay R1có góc quay là α1, phép quay R2 có góc
quay α2, ma trận kết hợp của hai phép quay R1. R2 là
⎛ cos α 1 sin α 1 0 ⎞ ⎛ cos α 2 sin α 2 0 ⎞ ⎛ cos(α 1 + α 2 ) sin (α 1 + α 2 ) 0 ⎞
⎟
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎜
⎜ − sin α 1 cos α 1 0 ⎟ × ⎜ − sin α 2 cos α 2 0 ⎟ = ⎜ − sin (α 1 + α 2 ) cos(α 1 + α 2 ) 0 ⎟
⎜ 0
0
1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0
0
1 ⎟⎠ ⎜⎝
0
0
1 ⎟⎠
⎝
Phép quay với tâm quay bất kỳ
Phép quay quanh tâm quay A(x,y) góc quay α có thể phân tích thành các phép biến hình cơ
sở sau:
- Tịnh tiến theo vector (-x,-y) để đưa tâm quay về gốc tọa độ
- Quay quanh gốc tọa độ một góc α
- Tịnh tiến theo vector (x,y) để đưa đối tượng về chỗ cũ


0 0 ⎞ ⎛ cos α sin α 0 ⎞ ⎛ 1 0 0 ⎞
⎛ 1
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
1 0 ⎟ × ⎜ − sin α cos α 0 ⎟ × ⎜ 0 1 0 ⎟ =
⎜ 0
⎜ − x − y 1⎟ ⎜ 0
0
1 ⎟⎠ ⎜⎝ x y 1 ⎟⎠
⎝
⎠ ⎝
cos α
sin α
0⎞
⎛
⎜
⎟
=⎜
− sin α
cos α
0⎟
⎜ x(1 − cos α ) + y. sin α − sin α .x + (1 − cos α ) y 1 ⎟
⎝
⎠
Phép đối xứng
Phép đối xứng trục có thể xem là phép quay 1800 quanh trục đối xứng. Phép đối xứng qua
trục hoành và trục tung có ma trận lần lượt là
⎛1 0 0⎞

⎛ −1 0 0⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
M Ox = ⎜ 0 − 1 0 ⎟ , M Oy = ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜0 0 1⎟
⎜ 0 0 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Phép biến dạng
Là phép biến hình làm thay đổi tỷ lệ về kích thước, nói cách khác là làm méo mó đối tượng.
Hai phép biến dạng là:
- Phép biến dạng theo trục hoành làm thay đổi hoành độ còn tung độ giữ nguyên
- Phép biến dạng theo trục tung làm thay đổi tung độ còn hoành độ giữ nguyên

M Ox



⎛1 t 0⎞
⎛1 0 0⎞
⎟
⎟
⎜
⎜
= ⎜ t 1 0 ⎟ , M Oy = ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜0 0 1⎟

⎜0 0 1⎟
⎠
⎠
⎝
⎝

6


(1,3)

(3,3)

(1,1) (3,1)

(10,3)

(4,1)

(12,3)

(6,1)

Phép biến dạng theo trục Ox, hệ số biến dạng t =3
Phép biến đổi ngược
Một ví dụ cho phép biến đổi ngược chính là thao tác Undo mà các phần mềm vẽ thiết kế
luôn có. Giả sử phép biến hình M có ma trận như sau:

⎛a
⎜

M = ⎜c
⎜e
⎝

b
d
f

0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠

giả thiết ad-bc ≠ 0. Khi đó phép biến đổi ngược của M, ký hiệu là M-1, được biểu diễn như
sau:

M

−1

−b
⎛ d
1 ⎜
=
a
⎜ −c
ad − bc ⎜
⎝ cf − de be − af

Gọi S (tx,ty) là phép đồng dạng, S-1 được biểu diễn như sau:


⎛1
⎜
⎜ tx
S −1 (tx, ty ) = ⎜ 0
⎜
⎜0
⎜
⎝

0
1
ty
0

0⎞
⎟
0⎟
1 ⎟⎠

⎞
0⎟
⎟
0⎟
⎟
1⎟
⎟
⎠

Phép quay quanh gốc tọa độ R(α) có biến đổi ngược như sau:


⎛ cos α
⎜
R −1 (α ) = ⎜ sin α
⎜ 0
⎝

− sin α
cos α
0

0⎞
⎟
0 ⎟ = R(−α )
1 ⎟⎠

4.2. Các phép biến hình trong không gian 3 chiều
Hoàn toàn tương tự như trong mặt phẳng, ta cũng sử dụng các ma trận trong hệ tọa độ thuần
nhất để biểu diễn các phép biến hình: tịnh tiến, quay và đồng dạng.
Phép tịnh tiến
Ma trận của phép tịnh tiến T(a,b,c) là



7


⎛1
⎜
⎜0

T (a, b, c) = ⎜
0
⎜
⎜a
⎝

0 0 0⎞
⎟
1 0 0⎟
0 1 0⎟
⎟
b c 1 ⎟⎠

Phép tỷ lệ
Ma trận của phép tỷ lệ S(a,b,c) là

⎛ a 0 0 0⎞
⎜
⎟
⎜ 0 b 0 0⎟
S (a, b, c) = ⎜
0 0 c 0⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 0 1⎟
⎝
⎠
trong đó a,b,c là hệ số tỷ lệ tương ứng theo các trục tọa độ Ox,Oy,Oz

y


y

x

x
z

z
Phép tỷ lệ

Phép tịnh tiến

Phép quay
Nếu trong mặt phẳng ta có phép quay quanh một tâm quay thì trong không gian 3 chiều ta
có phép quay quanh một trục. Ký hiệu ma trận của các phép quay quanh 3 trục Ox, Oy, Oz
lần lượt là R(x,α), R(y,α), R(z,α) với α là góc quay. Ta có



8


⎛ cos α sin α 0 0 ⎞
⎟
⎜
⎜ − sin α cos α 0 0 ⎟
R( z, α ) = ⎜
0
0

1 0⎟
⎟
⎜
⎜ 0
0
0 1 ⎟⎠
⎝
⎛ cos α 0 − sin α
⎜
1
0
⎜ 0
R( y, α ) = ⎜
sin α 0 cos α
⎜
⎜ 0
0
0
⎝

0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1 ⎟⎠

y

0

⎛1
⎜
⎜ 0 cos α
R ( x, α ) = ⎜
0 − sin α
⎜
⎜0
0
⎝

0
sin α
cos α
0

0⎞
⎟
0⎟
0⎟
⎟
1 ⎟⎠

y

x

z

x


z
Phép quay quanh trục Oy

Phép quay quanh trục Ox

y

x
z
Phép quay quanh trục Oz

Chú ý: vẫn như trước, góc quay α có giá trị đại số. Chiều quay dương được xác định theo
quy tắc như sau:


9


- Quay quanh trục Ox: chiều quay dương là chiều quay từ trục y đến trục z
- Quay quanh trục Oy: chiều quay dương là chiều quay từ trục z đến trục x
- Quay quanh trục Oz: chiều quay dương là chiều quay từ trục x đến trục y
Nói cách khác, nếu đặt mắt nhìn thẳng vào trục tọa độ đi tới thì chiều quay dương là ngược
chiều kim đồng hồ. Hoặc có thể dùng quy tắc bàn tay phải: ngón cái chỉ chiều đi tới (vector
pháp tuyến), bốn ngón khum lại chỉ chiều quay dương.

y
y

+


&

x

+

z
Xác định chiều quay dương



x
z

10