BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÙI MINH LỘC

NGHIÊN CỨU CÁC PHẢN ỨNG
TRAO ĐỔI ĐIỆN TÍCH (p,n) VÀ (3He,t)
KÍCH THÍCH TRẠNG THÁI TƯƠNG
TỰ ĐỒNG KHỐI TRONG HẠT NHÂN
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

Thành phố Hồ Chí Minh - Năm 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

BÙI MINH LỘC

NGHIÊN CỨU CÁC PHẢN ỨNG
TRAO ĐỔI ĐIỆN TÍCH (p,n) VÀ
(3He,t) KÍCH THÍCH TRẠNG THÁI
TƯƠNG TỰ ĐỒNG KHỐI TRONG
HẠT NHÂN
Chuyên ngành: Vật lý nguyên tử hạt nhân và năng lượng cao
Mã số: 60.44.05
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

GS. TS. ĐÀO TIẾN KHOA

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

1


LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tơi bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến GS. TS. Đào Tiến Khoa,
người thầy dìu dắt tôi đi trên con đường nghiên cứu khoa học. Tôi cũng cảm
ơn các anh chị và các bạn tại Viện Khoa học và Kỹ thuật Hạt nhân đã giúp
đỡ, động viên tơi rất nhiều trong q trình học tập tại viện.
Tôi chân thành cảm ơn các thầy cô đã giảng dạy chương trình cao học
khóa 20 chun ngành Vật lý nguyên tử, hạt nhân và NLC cùng các thầy cô
trong khoa Vật lý, trường đại học Sư phạm Tp. HCM. Cảm ơn các bạn học
viên cao học khóa 20.
Cuối cùng là sự biết ơn sâu sắc nhất của tôi dành cho Bố Mẹ và các Em.

Tp. Hồ Chí Minh, 10/10/2011

2


Mục lục
Chương 1.

Cơ sở lý thuyết .............................................................................. 12

1.1. Tán xạ của hạt có spin, hệ phương trình liên kênh .................................. 12
1.1.1. Tán xạ của hạt có spin ....................................................................... 12

1.1.2. Hệ phương trình liên kênh ............................................................... 15

1.2. Mẫu quang học hạt nhân ........................................................................... 18

1.2.1. Mẫu hiện tượng luận ............................................................................. 19
1.2.2. Mẫu folding ........................................................................................... 21
Chương 2.

Phản ứng trao đổi điện tích và sự phụ thuộc spin đồng vị của

tương tác NN hiệu dụng ........................................................................................... 27
2.1. Phản ứng trao đổi điện tích, thế Lane và cộng moment spin đồng vị ...... 27
2.2. Tương tác NN hiệu dụng CDM3Yn và M3Y-Pn ..................................... 31

2.2.1. CDM3Yn ........................................................................................... 33
2.2.2. M3Y-Pn ............................................................................................. 37

Chương 3.

Kết quả và thảo luận ..................................................................... 43

3.1. Tán xạ đàn hồi (p,p), (3He,3He) ................................................................ 43
3.2. Phản ứng trao đổi điện tích (p,p), (3He,t) ................................................. 46
3.2.1. Phản ứng (p,n) ................................................................................... 46
3.2.2. Phản ứng (3He,t) ................................................................................ 53

3


Các từ viết tắt

CC: liên kênh
EOS: phương trình trạng thái
HF: Hartree-Fock
IAS: trạng thái tươngtự đồng khối
IS: đồng vị vô hướng
IV: đồng vị vector
JLM: kết quả tính tốn theo Jeukenne, Lejeune và Mahaux
MQH: mẫu quang học
NN: nucleon-nucleon
TQH: thế quang học
WS: Woods-Saxon

4


Danh sách hình vẽ

5


6


Danh sách bảng

7


Mở đầu
Nghiên cứu cấu trúc hạt nhân và phản ứng hạt nhân là hai hướng gắn kết chặt

chẽ với nhau trong vật lý hạt nhân hiện đại. Phản ứng hạt nhân, đặc biệt là phản
ứng trực tiếp (direct reaction), là công cụ hữu hiệu để đo những hiệu ứng cấu trúc
hạt nhân. Ngược lại tương tác hạt nhân và động học của phản ứng chỉ có thể được
hiểu trên cơ sở các kiến thức cấu trúc liên quan. Trong các dạng phản ứng hạt nhân
trực tiếp, thí nghiệm tán xạ hạt nhân đã và đang được dùng rất hiệu quả để nghiên
cứu cấu trúc hạt nhân. Thông số quan trọng nhất trong các nghiên cứu tán xạ hạt
nhân là thế tương tác mạnh giữa hai hạt nhân tán xạ và tiết diện tán xạ chỉ có thể
được mơ tả chuẩn xác khi ta có một lựa chọn hợp lý cho thế tương tác này. Do đó,
việc nghiên cứu tính tốn vi mô thế tán xạ hạt nhân xuất phát từ các bậc tự do
nucleon luôn là một trong những hướng nghiên cứu truyền thống của vật lý hạt
nhân cơ bản, giúp chúng ta xác định chuẩn xác được những thông số vật lý quan
trọng của tương tác nucleon-nucleon (NN) trong môi trường chất hạt nhân, cũng
như cấu trúc của các hạt nhân tham gia phản ứng.
Khác với tương tác điện từ giữa các hạt mang điện mà có thể được xây dựng từ
những nguyên lý cơ bản của điện động lực học lượng tử, bản chất vật lý của tương
tác mạnh giữa các nucleon là một đối tượng nghiên cứu phức tạp. Mặc dù tương tác
giữa hai nucleon tự do tại năng lượng cao đã được mô tả và giải thích khá chuẩn
xác từ những nguyên lý cơ bản của sắc động lực học lượng tử dựa trên cấu trúc
quark của nucleon, tương tác NN xảy ra trong một phản ứng tán xạ hạt nhân hoàn
toàn khác với tương tác NN tự do. Đây là tương tác giữa hai nucleon nằm trong
trong môi trường chất hạt nhân mật độ khác nhau và chỉ có thể được tính gần đúng
theo các phương pháp lý thuyết lượng tử nhiều hạt. Do đó thế tương tác NN dùng
trong các tính tốn nghiên cứu mô phỏng phản ứng và cấu trúc hạt nhân thường
được xây dựng theo các mẫu vật lý gần đúng khác nhau và được biết đến như tương
tác NN hiệu dụng.
Hoàn toàn tương tự như tương tác NN tự do, thế tương tác NN hiệu dụng cũng
phải đảm bảo thỏa mãn các bất biến đối xứng cơ bản của vật lý \cite{Khoa} và
8



thành phần xuyên tâm của tương tác NN thường được biểu diễn dưới dạng hàm phụ
thuộc khoảng cách r giữa hai nucleon như sau

Các số hạng trong công thức (\ref{vcen}) lần lượt là thành phần vô hướng, thành
phần phụ thuộc spin, thành phần phụ thuộc spin đồng vị và thành phần phụ thuộc
đồng thời spin và spin đồng vị. Ngoài thành phần xuyên tâm (\ref{vcen}), tương
tác NN còn bao gồm cả tương tác spin-quỹ đạo và tương tác tensor không xuyên
tâm \cite{Khoa}. Cho đến nay, các phiên bản tương tác NN hiệu dụng có thể phân
chia làm hai nhóm. Trong nhóm thứ nhất tương tác NN hiệu dụng được xây dựng
hoàn toàn bằng một phương pháp hiện tượng luận (như tương tác Skyrme), khơng
có liên kết logic nào với tương tác NN tự do. Những tương tác NN hiệu dụng thuộc
nhóm thứ hai thường được xây dựng trên cơ sở một \textit{G}-ma trận, nghiệm của
phương trình Bethe-Goldstone cho tương tác NN trong hệ đa nucleon. Sau đó
những hiệu ứng tương tác NN bậc cao hơn mà chưa được tính đến trong \textit{G}ma trận được xét đến gần đúng qua việc đưa vào tương tác \textit{G}-ma trận một
hàm phụ thuộc vào mật độ hạt nhân, với các thông số được chỉnh chuẩn theo các
tính chất bão hịa của chất hạt nhân.
Hai quá trình cơ bản của một phản ứng tán xạ hạt nhân là tán xạ đàn hồi và tán
xạ phi đàn hồi. Trong quá trình tán xạ đàn hồi, các trạng thái vật lý (thường là trạng
thái cơ bản) của 2 hạt nhân va chạm không thay đổi và một phương trình tán xạ
lượng tử (phương trình Schroedinger cho hàm sóng tán xạ) thường được dùng để
tính tốn tiết diện tán xạ. Phép gần đúng một kênh tán xạ đàn hồi như vậy còn được
biết đến như mẫu quang học (MQH) hạt nhân và thế tán xạ hạt nhân còn được gọi
là thế quang học (TQH). Phương pháp phổ biến nhất để phân tích các số liệu tiết
diện tán xạ đàn hồi trong MQH là dùng một TQH hiện tượng luận dưới dạng hàm
Woods-Saxon (WS) với các tham số được chỉnh để có mơ tả tiết diện thực nghiệm
tốt nhất bởi nghiệm của phương trình Schroedinger \cite{Satchler83}. Tuy nhiên,
với một TQH hiện tượng luận như vậy, ta không thấy được mối liên hệ giữa cấu
trúc vật lý của các hạt nhân va chạm với số liệu tán xạ thực nghiệm. Để nghiên cứu
những hiệu ứng cấu trúc hạt nhân trong phản ứng tán xạ, mẫu folding thường hay
9



được dùng để tính tốn vi mơ thế tán xạ hạt nhân. Đây là một mẫu tính tốn TQH
vi mơ với các thông số vật lý đầu vào cho các tính tốn là hàm sóng hai hạt nhân va
chạm và một phiên bản tương tác NN hiệu dụng cho tương tác giữa các nucleon
của hạt bắn đến và hạt nhân bia \cite{Khoa02}.
Tán xạ phi đàn hồi có thể xảy ra trong nhiều kênh khác nhau, đưa tới các trạng
thái kích thích khác nhau của hạt nhân bia. Do đó, việc tính tốn tiết diện tán xạ phi
đàn hồi khơng thể dựa trên một phương trình tán xạ lượng tử như MQH mà phải
dựa vào một cặp phương trình tán xạ như trong phép gần đúng sóng méo Born
(DWBA) hoặc một hệ phương trình liên kết các kênh tán xạ khác nhau mà được gọi
ngắn là các phương trình liên kênh (CC). Như đã thảo luận, đại lượng vật lý quan
trọng nhất trong các phương pháp trên là thế tán xạ hạt nhân tương ứng với các
kênh tán xạ khác nhau. Để gắn kết các mẫu cấu trúc hạt nhân với các số liệu tán xạ
thực nghiệm người ta thường xây dựng thế tán xạ hạt nhân cho các kênh tán xạ
khác nhau, sử dụng hàm sóng tương ứng của hạt nhân kích thích và tương tác NN
hiệu dụng giữa nucleon của hạt bắn đến và nucleon trong hạt nhân bia. Đối tượng
nghiên cứu cụ thể của luận văn này là tán xạ đàn hồi của proton và $^3$He cùng
với các phản ứng trao đổi điện tích $(p,n)$ và ($^3$He,$t$) kích thích trạng thái
tương tự đồng khối (IAS) của hạt nhân bia. Tương tự như tương tác NN
(\ref{vcen}), thế tương tác giữa hạt proton (hay $^3$He) và hạt nhân bia cũng có
một thành phần phụ thuộc vào spin đồng vị. Trong khn khổ MQH mở rộng, phản
ứng trao đổi điện tích $(p,n)$ hay ($^3$He,$t$) kích thích trạng thái IAS có thể
được xét như quá trình tán xạ proton hay $^3$He kèm theo sự đảo hướng của spin
đồng vị (isospin flip: $p\to n;\ ^3$He$\to t$), và thế chuyển dịch hạt nhân (form
factor) của các phản ứng trao đổi điện tích này sẽ được xác định hoàn toàn bởi
thành phần phụ thuộc spin đồng vị của TQH tương ứng \cite{Khoa07}.
Đối với TQH proton-hạt nhân, phương pháp thường được dùng để xác định
thành phần phụ thuộc spin đồng vị của TQH là nghiên cứu tán xạ đàn hồi đồng thời
của proton và neutron trên cùng một hạt nhân bia, tại cùng một năng lượng. Tuy

thành phần phụ thuộc spin đồng vị của TQH cũng có thể được xác định từ nghiên
cứu phản ứng trao đổi điện tích kích thích trạng thái IAS nhưng rất ít nghiên cứu đã
10


được triển khai theo hướng này (đặc biệt khi TQH được tính tốn vi mơ theo mẫu
folding). Trong luận văn này, chúng tôi tiếp tục sử dụng phương pháp vi mơ đưa ra
trong cơng trình \cite{Khoa07} để nghiên cứu chi tiết các phản ứng trao đổi điện
tích $(p,n)$ và ($^3$He,$t$) đo với các hạt nhân bia khác nhau và từ đó có kết luận
về thành phần phụ thuộc spin đồng vị của TQH cho tán xạ đàn hồi $(p,p)$ và
($^3$He,$^3$He).
Đặc biệt chúng tôi đã sử dụng một số phiên bản khác nhau của tương tác NN
hiệu dụng để tìm hiểu về hiệu ứng gây bởi sự phụ thuộc khác nhau vào spin đồng vị
trong các tương tác này trong mô tả tiết diện các phản ứng $(p,n)$ và ($^3$He,$t$).
Những nghiên cứu thế này sẽ góp phần xây dựng được một phiên bản tương tác NN
hiệu dụng thích hợp nhất cho nghiên cứu chất hạt nhân phi đối xứng trong các tính
tốn nhiều hạt, dạng Hartree-Fock (HF), để xây dựng được phương trình trạng thái
(EOS) của chất hạt nhân. EOS là thơng số đầu vào quan trọng nhất trong các tính
tốn của vật lý thiên văn mô phỏng các sao neutron được hình thành sau các vụ nổ
supernova.
Kể cả phần mở đầu, luận văn này gồm năm phần. Các mẫu lý thuyết cùng chi
tiết các cơng thức liên quan được trình bày trong chương 1; chương 2 giới thiệu các
phiên bản CDM3Yn và M3Y-Pn của tương tác NN hiệu dụng, được sử dụng trong
các tính tốn tiết diện phản ứng trao đổi điện tích; chương 3 trình bày các kết quả
tính tốn tiết diện phản ứng trao đổi điện tích $(p,n)$ và ($^3$He,$t$) và thảo luận.
Tóm tắt ngắn gọn về những kết quả thu được và triển vọng nghiên cứu trong tương
lai được trình bày trong phần kết luận.

11



Chương 1.

Cơ sở lý thuyết

1.1. Tán xạ của hạt có spin, hệ phương trình liên kênh
1.1.1. Tán xạ của hạt có spin
Trong phản ứng $(p,n)$ và ($^3$He,$t$), các hạt \textit{p} và $^3$He có spin
bằng $\frac{1}{2}$. Do vậy phần đầu tiên sẽ trình bày các cơng thức tán xạ cho hạt
có spin. Cụ thể xét chùm hạt tới có spin \textit{s}, khơng phân cực, tán xạ lên hạt
nhân bia có spin bằng không (như $^{48}\rm Ca, ^{90} Zr, ^{120} Sn$ và
$^{208}\rm Pb$).
Như đã biết, hàm sóng tới cho hạt khơng có spin là hàm sóng phẳng

Khi hạt có spin $s$, hàm sóng tới là

với $\chi^{\nu_0}_s$ là hàm spinor, $\nu_0$ là hình chiếu spin trên trục \textit{z}
của chùm hạt tới. Nghiệm của bài tốn tán xạ đối với hạt có spin là

trong đó

là hàm sóng tán xạ, $\nu$ là hình chiếu spin trên trục \textit{z} của chùm hạt tán
xạ, dấu (+) ký hiệu cho sóng đi ra khỏi tâm tán xạ. Ở khoảng cách đủ xa tâm tán xạ,
dạng tiệm cận của $\psi_{\bm k_0\nu _0}^{sc}(\bm r)$ là

12


trong đó $f_{\nu \nu_0}$ là biên độ tán xạ từ trạng thái có spin (s, $\nu_0$) đến
trạng thái có spin (s, $\nu$). Tiết diện tán xạ ứng với trạng thái cuối có hình chiếu

spin trên trục \textit{z} nhận giá trị $\nu$ là

Nếu trường hợp thí nghiệm khơng quan tâm đến hình chiếu spin của chùm hạt
tán xạ thì

Sự phân bố của tiết diện tán xạ theo $\nu$ được quyết định bởi sự phụ thuộc spin
của tương tác. Trường hợp tương tác không phụ thuộc spin như tương tác điện từ,
tiết diện tán xạ của hạt có spin hồn tồn giống với tiết diện tán xạ của hạt khơng có
spin.
Thế $V$ của tương tác hạt nhân-hạt nhân thường được viết dưới dạng tổng của
thành phần xuyên tâm, $V_{c}$ và thành phần tương tác spin-quỹ đạo, $V_{LS}$

Sự phụ thuộc spin của tương tác hạt nhân-hạt nhân tổng quát rất phức tạp vì nó
xuất hiện khơng chỉ trong thành phần tương tác spin-quỹ đạo $V_{LS}(r)$
(\ref{vovls}) mà còn trong cả thành phần xuyên tâm $V_{c}(r)$ (\ref{vcen}).
Trong khai triển sóng riêng phần cho hạt khơng có spin, hệ cơ sở là một bộ đủ các
hàm $\psi_{Elm}(r)=Y_{lm}(\bm \hat r)u_l(k,r)/r$, là hàm riêng của các toán tử
$H, \bm {L}^2$ và $L_z$. Đối với hạt có spin, tốn tử $L_z$ khơng cịn phù hợp
vì khơng giao hốn với \textit{H} có chứa thành phần thế spin-quỹ đạo. Hơn nữa
với sự phụ thuộc spin phức tạp trong thế tương tác hạt nhân $V_{c}(r)$, các tốn tử
$\bm{L}^2$ và $\bm{S}^2$ cũng có thể khơng cịn giao hốn với tốn tử
\textit{H}. Tuy nhiên, đối với các bia như $^{48}\rm Ca, ^{90} Zr, ^{120}Sn$ và
$^{208}\rm Pb$ có spin bằng khơng thì $V_{c}$ trong các trường hợp này không

13


phụ thuộc spin. Do đó hệ cơ sở được chọn là các hàm riêng đồng thời của các toán
tử $\{H,\bm L^2,\bm S^2,\bm J^2,J_z\}$,


trong đó

và $u_l^J(k,r)$ là nghiệm của phương trình bán kính

cịn $\langle lms\nu|JM \rangle$ là các hệ số Clebsch-Gordan. Như vậy có thể thấy
trong trường hợp hạt có spin, \textit{phương trình bán kính phụ thuộc vào số lượng
tử động lượng góc tồn phần, J}. Tại khoảng cách đủ xa tâm tán xạ, hàm bán kính
$u_l^J(k,r)$ có dạng

Như vậy, kết quả là \textit{độ dịch pha (phase shifts) trong trường hợp này phụ
thuộc vào số lượng tử J}.
Đến đây, hàm sóng tán xạ được khai triển theo hệ các hàm đủ $\psi_{ElJM}$

trong đó $A_{lJM}$ là các hệ số khai triển.
Khi $r \rightarrow \infty$, hàm sóng tán xạ trên được biểu diễn dưới dạng tương
tự trường hợp khơng có spin

14


với

Để tính biên độ tán xạ ta cần đưa phương trình (\ref{psisc}) về dạng (\ref{x+x-})
với các bước tương tự trường hợp hạt khơng có spin.
Trên thực tế, phương trình bán kính được giải bằng phương pháp số cho từng giá
trị của $l=0,1,...,l_{max}$. Giá trị $l_{max}$ phải thỏa điều kiện $l_{max}\gg
kR$, với \textit{R} khoảng tương tác của thế, để đảm bảo tính hội tụ. Vì phương
trình bán kính phụ thuộc \textit{J} nên mỗi phương trình trên được giải $2s+1$ lần,
mỗi lần cho một giá trị của \textit{J}. Như vậy cách giải cho trường hợp có spin
tương tự cho trường hợp khơng có spin ứng với cùng một khoảng tương tác, trừ

việc số lần giải phương trình bán kính được nhân lên với $2s+1$.
1.1.2. Hệ phương trình liên kênh
Trong tán xạ các hạt có cấu trúc, nếu thế tương tác \textit{V} khơng làm thay đổi
cấu trúc bên trong của các hạt hay tán xạ đàn hồi thì hàm sóng mơ tả chuyển động
tương đối của hệ thỏa phương trình Schroedinger tương tự trường hợp các hạt
không cấu trúc chỉ khác ở chỗ biến số $\bm{r}$ được thay bằng khoảng cách
$\bm{R}$ giữa khối tâm của hai hạt nhân. Thực tế $V(R)$ có thể kích thích các
trạng thái khác nhau của hạt nhân hay dẫn đến sự sắp xếp lại thành phần giữa các
hạt. Khi đó xuất hiện nhiều trạng thái sau phản ứng với xác xuất xác định, mỗi
trạng thái của hệ $(A' + a')$ sau tán xạ như vậy là một kênh của phản ứng, kí hiệu
là $\alpha$. Đầu tiên ta sẽ xây dựng lại phương trình Schroedinger cho trường hợp
này.
Tốn tử Hamilton tổng cộng thu được bằng cách cộng thêm năng lượng chuyển
động tương đối và thế tương tác $V_{\alpha}$ giữa hai hạt nhân vào các Hamilton
$H_a, H_A$

15


Sau đó ta có hàm sóng mơ tả trạng thái nội tại của $a, \psi _a$ và của $A, \psi
_A$ là nghiệm của các phương trình Schroedinger

với $\varepsilon_a$ và $\varepsilon_A$ là năng lượng riêng của \textit{a} và
\textit{A}. Hàm sóng tồn phần $\Psi_\alpha$ của kênh $\alpha$ bây giờ là

trong đó $\chi_{a'A'}$ là hàm sóng mơ tả chuyển động tương đối của hai hạt.
Phương trình Schroedinger cần giải có dạng

Thay tốn tử \textit{H} từ (\ref{Htongcong}), hàm sóng $\Psi_\alpha$ từ
(\ref{totalwf}) vào phương trình (\ref{SE1}) và sử dụng (\ref{interw}) ta được

phương trình

Nhân hai vế của phương trình (\ref{SEto}) với $\psi^*_a\psi^*_A$, lấy tích
phân theo các biến nội độc lập của \textit{a} và \textit{A} và sử dụng tính trực
chuẩn của các hàm sóng nội ta có

với

và
16


trong đó $(E - \varepsilon _a - \varepsilon _A )$ là động năng của chuyển động
tương đối, $k_{aA}$ là số sóng tương ứng và $U_{aA,a'A'} (r_\alpha)$ là yếu tố
ma trận của thế tương tác $V_\alpha$

Vì tích phân trên được lấy theo các biến số nội $x_a$ và $x_A$ nên yếu tố ma
trận của thế tương tác chỉ là hàm của $r_\alpha$.
Ta thấy trong phương trình (\ref{CC}) các yếu tố ma trận chéo được đặt bên vế
trái, còn các yếu tố ma trận không chéo được đặt bên vế phải. Đối với tán xạ đàn
hồi, vì khơng xuất hiện các trạng thái kích thích $a', A'$ nên vế phải của (\ref{CC})
bằng khơng, ta thu được phương trình Schroedinger quen thuộc. Khi vế phải khác
khơng, phương trình (\ref{CC}) miêu tả cả tán xạ khơng đàn hồi và những ảnh
hưởng của nó đến tán xạ đàn hồi. Một điểm lưu ý khác là vế trái của phương trình
(\ref{CC}) khơng chỉ là trạng thái cơ bản của cặp $a, A$ mà cịn có thể là các trạng
thái kích thích, $a', A'$. Khi đó hàm sóng $\chi _{a'A'} (r_\alpha)$ mơ tả chuyển
động tương đối của hai hạt nhân kích thích. Nếu biết tất cả các yếu tố ma trận
$U_{aA,a'A'} (r_\alpha)$ thì chúng ta có thể giải các phương trình liên kết
(\ref{CC}) và thu được thơng tin đầy đủ của phản ứng. Do đó (\ref{CC}) được gọi
là \textit{hệ phương trình CC}. Tuy nhiên, hệ phương trình CC là một tập hợp vơ

hạn các phương trình nên trên thực tế người ta chỉ giải với một số ít các kênh quan
trọng và các kênh cịn lại có thể được bỏ qua hoặc miêu tả chúng bằng TQH phức.
Hệ phương trình CC có thể được giải bằng một chương trình máy tính như
chương trình ECIS97 (Equations Coupl\'ees en It\'erations S\'equentielles -1997)
của GS. Raynal. Chương trình ECIS đầu tiên (ECIS68-1968) được phát triển từ
chương trình INCH của Bock và Hill, trải qua nhiều phiên bản đến nay ECIS97
được dùng vào nhiều mục đích trong đó có giải phương trình CC, DWBA của bài
toán tán xạ hạt nhân hay bài toán MQH hạt nhân.

17


1.2. Mẫu quang học hạt nhân
Một lý thuyết quang trọng trong nghiên cứu phản ứng hạt nhân là MQH hạt
nhân. Mẫu này tập trung vào việc xây dựng trường thế giúp thu được các đặc trưng
của tương tác hạt nhân-hạt nhân.
Từ việc đối chiếu sự tương tự trong kết quả tán xạ neutron lên hạt nhân bia với
tán xạ của sóng ánh sáng lên quả cầu trong suốt, TQH đầu tiên được xây dựng cho
tán xạ của neutron-hạt nhân và sau đó được phát triển cho các hạt tới khác như
proton, alpha rồi đến các ion nặng. Do đó tương tác giữa hai hạt nhân theo MQH
được xây dựng tương tự các hiện tượng quen thuộc trong quang học sóng. Môi
trường trong hạt nhân bia làm một phần của hàm sóng của hạt tới bị nhiễu xạ và
một phần khác bị khúc xạ. Hiện tượng này được đặc trưng bằng một hàm phức,
trong đó phần thực và phần ảo lần lượt là phần nhiễu xạ và phần khúc xạ của sóng
tới.
Thay cho việc giải hệ phương trình CC (\ref{CC}), trong MQH xét gần đúng
đóng góp của các kênh khơng đàn hồi lên hàm sóng tán xạ đàn hồi qua sự hấp thụ
sóng tán xạ bởi thành phần ảo của thế tán xạ. Như vậy thế thực $V(R)$ trong
phương trình Schroedinger được thay bằng thế phức $U(R)$


Phần thực $V(R)$ đặc trưng cho kênh tán xạ đàn hồi (sóng tới bị phản xạ). Phần
ảo $W(R)$ được thêm vào để tính đến các kênh khác (sóng tới bị hấp thụ một phần
trước khi ra khỏi mơi trường). Do đó $W(R)$ đặc trưng cho phần sóng bị hấp thụ
do các va chạm khơng phải đàn hồi. Phương trình Schroedinger trong trường hợp
này là

và phương trình liên tục là

18


trong đó $\chi(\bm R)$ là hàm sóng mơ tả chuyển động tương đối của hạt tới và hạt
nhân bia. Lấy tích phân phương trình liên tục theo $ \bm R $, ta có

với $N_a$ là số hạt bị hấp thụ khỏi kênh đàn hồi. Tiết diện hấp thụ, $\sigma_a$ hay
còn gọi tiết diện phản ứng $\sigma_r$ sẽ bằng tỷ số giữa $N_a$ và mật độ dòng tới

Trên thực tế, người ta hay dùng hàm sóng tán xạ ở xa tâm tán xạ thay cho hàm sóng
$\psi$

Tiết diện tán xạ tồn phần $\sigma$ sẽ bằng tổng của tiết diện tán xạ đàn hồi
$\sigma_{el}$ và tiết diện hấp thụ $\sigma_{a}$
1.2.1. Mẫu hiện tượng luận
Phương pháp đầu tiên, đơn giản nhất để xây dựng TQH là phương pháp hiện
tượng luận. TQH tổng quát thường được sử dụng có dạng

với $V_0$ và $W_0$ lần lượt là độ sâu của thế thực và thế ảo, các hàm số $f(R)$
và $g(R)$ phụ thuộc khoảng cách \textit{R} giữa hai khối tâm của hai hạt nhân, mơ
tả hình dạng của các thế.
Các số liệu thực nghiệm cho thấy những nucleon nằm sâu trong hạt nhân chỉ

tương tác với các nucleon lân cận nên phần thực $V_0f(R)$ thay đổi rất ít trong
lịng hạt nhân nhưng giảm nhanh theo hàm mũ khi ra biên. Để mô tả sự biến đổi
như vậy của phần thế thực, hàm $f(R)$ thường có dạng hàm Woods-Saxon

19


với tham số $R_0$ là bề rộng của thế, có thể được xem là bán kính hạt nhân và
tham số $a$ là độ nhòe của thế trên bề mặt hạt nhân.
Hàm $g(R)$ của phần ảo phụ thuộc vào năng lượng của hạt tới. Tại năng lượng
dưới 10 MeV, sự hấp thụ chỉ xảy ra trên bề mặt. Khi đó $g(R)$ có dạng đạo hàm
của hàm Woods-Saxon tại bề mặt hạt nhân

Tại năng lượng lớn, phần ảo có hai số hạng, một là số hạng thể tích $W_v$ có
dạng hàm Woods-Saxon và một số hạng bề mặt $W_s$ có dạng tương tự trường
hợp năng lượng thấp.
Ngoài ra, tương tự thế spin-quỹ đạo trong mẫu lớp hạt nhân, thế spin-quỹ đạo
$V_{LS}(R)$ được thêm vào thế tương tác của hai hạt nhân để tính đến tương tác
giữa spin $\bm S$ và moment quỹ đạo $\bm L$

Nếu các hạt mang điện, ta phải cần thêm vào thế Coulomb $V_C(R)$, mô tả thế
tương tác giữa điện tích điểm, điện tích bằng điện tích của hạt nhân tới $Z_1$ và
quả cầu tích điện đều, điện tích bằng điện tích của hạt nhân bia $Z_2$, bán kính
$R_C$ bằng tổng bán kính của hạt tới và bia

Tổng hợp tất cả các thành phần trên, TQH $U(r)$ là

20



Khi sử dụng các số liệu của tán xạ đàn hồi ta có thể tìm được cơng thức tổng
qt dùng xác định các tham số trong TQH. Các tham số này là hàm theo khối
lượng, điện tích và năng lượng của hạt tới. Nhiều bộ tham số TQH áp dụng cho dải
năng lượng rộng (từ 1 keV đến 200 MeV) với nhiều bia khác nhau ($24 < A <
209$) đã được xây dựng rất thành công như TQH CH89 của Varner và đồng nghiệp
\cite{Varner91} hay TQH KD của Koning và Delaroche \cite{Kon03}. Mặc dù
tham số hóa từ thế Woods-Saxon bán thực nghiệm nhưng phương pháp này rất hữu
ích để tiên đoán TQH nucleon-hạt nhân khi mà số liệu tán xạ đàn hồi khơng có
hoặc khơng thể đo được như trường hợp của các hạt nhân không bền hay các hạt
nhân nằm trên đường biên (drip line). Tuy nhiên điểm hạn chế của mẫu này là
không phải một tán xạ hạt nhân-hạt nhân tổng quát nào cũng có một bộ tham số
TQH như trên. Thông thường, các tham số TQH chỉ đúng cho một phạm vi rất hẹp.
Với các trường hợp khác thì các tham số TQH được đưa vào để phù hợp với số liệu
tán xạ đàn hồi thực nghiệm cho từng trường hợp riêng lẻ như trường hợp của TQH
cho tán xạ ($^3$He,$^3$He) \cite{Pang09} được sử dụng cho việc nghiên cứu
phản ứng ($^3$He,$t$).
Bên cạnh mẫu hiện tượng luận, TQH cịn được xây dựng một cách vi mơ từ các
bậc tự do của nucleon như mẫu folding.
1.2.2. Mẫu folding
Một mẫu vi mô cho TQH phải được xây dựng từ tương tác NN. Đến nay chưa có
một mẫu vi mơ hồn chỉnh cho hệ phức tạp như hệ hai hạt nhân tương tác với nhau.
Tuy nhiên một phương pháp gần đúng đã được Feshbach xây dựng. Như đã đề cập,
thay cho việc giải hệ phương trình CC (\ref{CC}), tốn tử chiếu Feshbach
\cite{Feshbach} cho ta một thế $ U $ hiệu dụng tương đương để tìm hàm sóng
$\chi(\bm R)$ từ phương trình (\ref{SE})

với $\alpha = mn$ kí hiệu cho cặp trạng thái của hạt nhân tới và hạt nhân bia.
Trong biểu thức (\ref{Feshbach}), $V_{00}$ là số hạng bậc nhất của tương tác
21



giữa hai hạt nhân, số hạng thứ hai lấy tổng theo tất cả trạng thái có $\alpha \neq 0$
hay $mn \neq 00 $. Biểu thức (\ref{Feshbach}) được viết gọn lại là

Số hạng $V_F$ có thể xây dựng từ mẫu folding

kí hiệu ngoặc đơn là lấy tích phân theo các biến số nội.
Mẫu folding đã được sử dụng trong các tính toán thế tương tác nucleon-hạt nhân
(mẫu folding đơn) và tương tác hạt nhân-hạt nhân (mẫu folding kép) trong nhiều
năm qua \cite{Khoa00}. Trong mẫu này, thế tương tác \textit{V} được xây dựng từ
tổng các tương tác NN hiệu dụng $v_{ij}$ giữa nucleon thứ \textit{i} trong hạt tới
và nucleon thứ \textit{j} trong hạt nhân bia

Khi tính đến sự trao đổi giữa nucleon \textit{i} và \textit{j}, hàm sóng cần được
phản đối xứng hóa, việc này tương đương với việc thay $v_{ij}$ bằng tổng của của
hai thành phần

trong đó

là thành phần trực tiếp (direct part) và

là thành phần trao đổi (exchange part), với $P^x_{ij}$, $P^\sigma_{ij}$,
$P^\tau_{ij}$ lần lượt là các toán tử trao đổi tọa độ, spin và spin đồng vị của cặp
nucleon. Tương tác NN hiệu dụng khơng những phụ thuộc vào đặc tính của cặp
nucleon tham gia tương tác mà còn phụ thuộc mật độ hạt nhân chung quanh chúng.
22


Do đó $v^{\rm{D(EX)}}$ là các hàm phức tạp, phụ thuộc nhiều biến số nên sẽ
được trình bày chi tiết hơn trong chương \ref{ch:2}, trong phần này để đơn giản ta

vẫn dùng kí hiệu $v^{\rm{D(EX)}}$.
Yếu tố ma trận trong (\ref{yeutomatranV}) được viết lại dưới dạng tổng của số
hạng trực tiếp và số hạng trao đổi

trong đó $\bm{R}$ và $\bm{R'}$ lần lượt là khoảng cách giữa hai khối tâm của hai
hạt nhân \textit{a}, \textit{A} và \textit{a'}, \textit{A'}. Sử dụng hàm mật độ không
gian đơn hạt (one-body spatial density), số hạng trực tiếp là

trong đó $\rho_{aa'}(\bm{r}_a)$, $\rho_{AA'}(\bm{r}_A)$ lần lượt là mật độ
khơng gian của hạt tới và hạt nhân bia. Đối với số hạng trao đổi, khác với số hạng
trực tiếp, số hạng này chứa thành phần phi định xứ. Tuy nhiên ta có thể dùng phép
xấp xỉ định xứ và thu được số hạng trao đổi dưới dạng

với $\bm{s}=\bm{r}_A-\bm{r}_a+\bm{R}$ (hình \ref{folding}) và $\bm{K(R)}$
là động lượng chuyển động tương đối

$\mu_\alpha$ là khối lượng rút gọn của kênh $\alpha$ và $M_\alpha =
\frac{aA}{a+A}$. Đối với tán xạ đàn hồi, vì các hạt nhân sau tán xạ khơng bị kích
thích nên ta có

23


Tuy nhiên biểu thức (\ref{VEX}) vẫn còn phức tạp do chứa các ma trận mật độ
phi định xứ, $\rho(\bm{r,r+s})$. Thực tế đã chỉ ra các tính tốn folding chỉ thực
hiện được với các ma trận mật độ hạt nhân định xứ $\rho(\bm{r})$ có được từ một
mẫu cấu trúc hạt nhân tin cậy hoặc từ số liệu tán xạ electron. Do đó cần sử dụng
xấp xỉ định xứ cho các ma trận mật độ phi định xứ

trong đó


và $k_F$ là động lượng Fermi định xứ. Xấp xỉ định xứ (\ref{localapp}) được gọi là
gần đúng Campi-Bouyssy mà trong các tính tốn folding gần đây \cite{Khoa01}
đạt độ chính xác đến 1\%. Sử dụng xấp xỉ trên và thực hiện phép đổi biến
($\bm{r_a,r_A}$) thành ($\bm{r,s}$) theo công thức $\bm{r}_a=\bm{r}\frac{\bm{s}}{2}$ và $\bm{r}_A=\bm{r} - \bm{R} + \frac{\bm{s}}{2}$
($d^3r_ad^3r_A=d^3rd^3s$), thành phần trao đổi lúc này là

24