BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


Hồ Thị Anh Tú

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
WEDDERBURN – ARTIN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


Hồ Thị Anh Tú

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ
WEDDERBURN – ARTIN
Chuyên ngành: Đại Số Và Lí Thuyết Số
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS.BÙI TƯỜNG TRÍ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


2

LỜI CÁM ƠN


Trước tiên qua luận văn này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và lời
chúc sức khỏe tốt đẹp nhất đến các thầy: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS.TS
MỴ VINH QUANG, TS TRẦN HUYÊN, PGS.TS BÙI XUÂN HẢI và các thầy
cô đã trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức cho tôi cùng các bạn học viên
cao học khóa 20.
Đặc biệt là thành kính gửi lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS BÙI
TƯỜNG TRÍ đã tận tình chỉ bảo tôi trong quá trình thực hiện luận văn này.
Qua đây tôi cũng xin chân thành cám ơn đến tất cả các bạn học viên cao
học khóa 20 đã gắn bó với tôi trong quá trình học tập tại trường và quý thầy cô
khoa Toán và phòng Sau Đại Học đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập,
nghiên cứu.
Và cuối cùng xin cám ơn gia đình tôi cùng những người bạn đã hỗ trợ,
động viên tôi để hoàn thành luận văn này.

TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2011
Tác giả luận văn

Hồ Thị Anh Tú


3


MỤC LỤC
MỤC LỤC ...................................................................................................................3
LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................................5
CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ .............................................................................7
1.1

MÔĐUN ........................................................................................................7

1.2

RADICAL CỦA MỘT VÀNH ...................................................................10

1.3

RADICAL CỦA ĐẠI SỐ VÀ VÀNH NỬA ĐƠN. ....................................13

1.4

VÀNH ARTIN ............................................................................................19

1.5

VÀNH ARTIN NỬA ĐƠN .........................................................................24

1.6

ĐỊNH LÝ DÀY ĐẶC ..................................................................................30

CHƯƠNG II: ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN ..............................................36
2.1


Định lý 2.1: (Định lý Wedderburn – Artin) .................................................36

2.2

Định lý 2.2: ..................................................................................................40

2.3

Định lý 2.3: ..................................................................................................40

2.4

Định lý 2.4 ...................................................................................................40

CHƯƠNG III: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN
...................................................................................................................................41
3.1 ĐỊNH LÝ BURNSIDE, TÍNH HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG CỦA NHÓM
MA TRẬN: ...........................................................................................................41
Định lý 3.1.1 ......................................................................................................41
Định lý 3.1.2:.....................................................................................................43
Định lý 3.1.3 ......................................................................................................44
Định lý 3.1.4:.....................................................................................................44
Định nghĩa: ........................................................................................................46
Bổ đề 3.1.1: .......................................................................................................47
Bổ đề 3.1.2: .......................................................................................................48
Bổ đề 3.1.3: .......................................................................................................48
Bổ đề 3.1.4: .......................................................................................................49
Định lý 3.1.5 (BURNSIDE) ..............................................................................50
3.2


MÔ TẢ VÀ XÂY DỰNG NHÓM BRAUER:............................................52

Định nghĩa: ........................................................................................................52
Bổ đề 3.2.1: .......................................................................................................52


4

Định lý 3.2.1:.....................................................................................................54
Định lý 3.2.2:.....................................................................................................56
Hệ quả: ..............................................................................................................56
Định lý 3.2.3:.....................................................................................................56
Định nghĩa (quan hệ tương đương): ..................................................................59
Bổ đề 3.2.2: .......................................................................................................59
Nhóm Brauer: ....................................................................................................60
Mô tả nhóm Brauer trong một số trường hợp cụ thể của trường F .......................61
3.3

LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM:............................................................65

Định nghĩa: ........................................................................................................65
Định nghĩa: ........................................................................................................66
Định lý: 3.3.1: ...................................................................................................68
Định lý 3.3.2:.....................................................................................................69
Định lý 3.3.3:.....................................................................................................70
Bổ đề 3.3.1: .......................................................................................................71
Định nghĩa: ........................................................................................................73
Định lý 3.3.4:.....................................................................................................73
KẾT LUẬN ...............................................................................................................76

TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................................77


5

LỜI MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lý thuyết vành hiện đại bắt đầu khi J.H.M Wedderburn chứng minh định lý
phân lớp cho đại số nửa đơn hữu hạn chiều. Hai mươi năm sau đó E.Noether và
E.Artin đưa ra Điều kiện dây chuyền tăng và Điều kiện dây chuyền giảm thay thế
cho số chiều hữu hạn, ngoài ra Artin còn chứng minh sự tương tự của định lý
Wedderburn cho vành nửa đơn tổng quát. Định lý Wedderburn – Artin từ đó trở
thành nền tảng của lý thuyết vành không giao hoán và có nhiều ứng dụng sâu sắc.
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Luận văn đặt mục tiêu trình bày lại các dạng khác nhau của định lý
Wedderburn – Artin và các khả năng ứng dụng khá đa dạng của nó trong lý thuyết
vành không giao hoán như định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương của nhóm ma
trận, mô tả nhóm Brauer, và trong lý thuyết biểu diễn nhóm.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
− Định lý Wedderburn – Artin
− Các ứng dụng của định lý Wedderburn – Artin trong:
•

Định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương của nhóm ma
trận.

•

Mô tả và xây dựng nhóm Brauer


•

Lý thuyết biểu diễn nhóm

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp tổng hợp


6

5. DỰ KIẾN NỘI DUNG LUẬN VĂN
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
Các khái niệm và kết quả được sử dụng
Chương 2: ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN
Trình bày định lý Wedderburn – Artin và các dạng khác nhau
của định lý.
Chương 3: CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN
1. Định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương của nhóm ma trận
2.Ứng dụng trong mô tả và xây dựng nhóm Brauer
3.Ứng dụng trong lý thuyết biểu diễn nhóm


7

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1

MÔĐUN

Định nghĩa

M được gọi là R – môđun trung thành nếu với r ∈ R mà Mr = (0) thì r = 0.
{r ∈ R : Mr =
(0)}
Cho M là một R – môđun. Ký hiệu A( M ) =

Bổ đề 1.1.1
A(M) là iđêan hai phía của R. Hơn nữa, M là R A( M ) - môđun trung thành.
Cho M là một R – môđun. Với mỗi r ∈ R , ta được một tự đồng cấu nhóm
cộng
Tr : M → M , Tr (m)= mr , ∀m ∈ M

Ký hiệu E(M) là tập tất cả các tự đồng cấu nhóm cộng M. Trên E(M) ta trang
bị hai phép toán cộng và nhân như sau:
Phép cộng: ∀ϕ, ψ ∈ E ( M ), (ϕ + ψ)(m) = ϕ(m) + ψ(m), ∀m ∈ M
Phép nhân: ∀ϕ, ψ ∈ E ( M ), (ϕ.ψ )(m) =ϕ(ψ (m)), ∀m ∈ M
Khi đó, (E(M), +, .) là một vành.
Xét ánh xạ φ : R → E ( M ), φ(r )= Tr , ∀r ∈ R . Rõ ràng φ là một đồng cấu vành.
Kiểm tra trực tiếp ta được Ker φ = A( M ) . Do đó, theo định lý Noether ta
được R A( M ) ≅ Imφ
Bổ đề 1.1.2.
R

A( M )

đẳng cấu với vành con của vành E(M).

Định nghĩa.
Cho M là một R – môđun. Ta định nghĩa commuting của vành R là
C ( M ) = {ϕ ∈ E ( M ) : Tr ϕ = ϕTr , ∀r ∈ R}


Định nghĩa: M được gọi là R – môđun bất khả quy nếu nó thỏa hai tính chất


8

1) MR ≠ (0)
2) M chỉ có hai môđun con là (0) và M
Định lý 1.1.1. (bổ đề Schur)
Nếu M là một R – môđun bất khả quy thì C(M) là một vành chia
Chứng minh. Do C(M) là vành con của vành E(M) nên ta chỉ còn phải chứng minh
mọi phần tử khác không trong C(M) đều khả nghịch. Tuy nhiên, nếu 0 ≠ ϕ∈ C ( M )
mà có ϕ−1 ∈ E ( M ) thì từ ϕTr = Tr ϕ ⇒ ϕTr ϕ−1 = Tr ϕϕ−1 ⇒ Tr ϕ−1 = ϕ−1Tr ⇒ ϕ−1 ∈ C ( M ) .
Do đó, ta chỉ cần chứng minh mọi phần tử khác không trong C(M) đều khả nghịch
trong E(M).
Với mọi 0 ≠ ϕ∈ C ( M ) , ta có ϕ( M ) ≠ (0) , mà M là môđun trung thành nên
ϕ( M ) =
M . Tức ϕ toàn cấu. Mặt khác, nếu Kerϕ ≠ (0) thì cũng do M là môđun

trung thành nên Ker ϕ = M , suy ra ϕ =0 (MT). Do đó, Kerϕ =(0) hay ϕ là đơn cấu.
Vậy ϕ là đẳng cấu. Suy ra ϕ có đồng cấu ngược ϕ−1 ∈ E ( M ) . Đây là điều ta cần
chứng minh.
Định nghĩa.
Một iđêan phải ρ của vành R được gọi là chính quy nếu tồn tại r ∈ R sao cho
x − rx ∈ρ, ∀x ∈ R .

Bổ đề 1.1.3.
Nếu M là một R– môđun bất khả quy thì M đẳng cấu (như một môđun) với R–
môđun thương R ρ , trong đó ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy nào đó của R.
Ngược lại, nếu ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy của R thì R ρ là R – môđun
bất khả quy.

Chứng minh. Vì M là R – môđun bất khả quy nên MR ≠ (0) .
{u ∈ M : uR =
(0)}
Ký hiệu: S =


9

Dễ thấy S là môđun con của M. Do MR ≠ (0) nên S ≠ M , mà M là môđun bất
khả quy nên S = (0). Điều này có nghĩa là ∃m ∈ M \{0}: mR ≠ (0) . Nhưng mR cũng
là môđun con của môđun trung thành M nên mR = M .
) mr ∀r ∈ R . Ta có ϕ( R) = mR = M nên ϕ
Xét R- đồng cấu ϕ : R → M , ϕ(r=
ρ Ker ϕ . Ta còn phải chứng minh
là toàn cấu. Theo định lý Noether, M ≅ R ρ , với =
=
ρ Ker ϕ là iđêan tối đại và chính quy.
ρ Ker ϕ là iđêan tối đại của R: giả sử ρ′ là iđêan phải của R thỏa
+) =

ρ ⊂ ρ′ . Khi
≠

đó, ρ′ ρ ≠ (0) . Mặt khác, M ≅ R ρ nên R ρ là môđun chính quy, do đo,
ρ′= R ⇒ =
ρ′ R .
ρ
ρ

Tức ρ là iđêan phải tối đại của R.

ρ Ker ϕ chính quy: vì mR = M nên ta suy ra
+) =
∃r ∈ R : mr = m ⇒ mrx = mx ⇔ m( x − rx) = 0, ∀x ∈ R
⇔ x − rx ∈ Ker ϕ = ρ, ∀x ∈ R .
ρ Ker ϕ là iđêan chính quy.
Tức =

Ngược lại, giả sử ρ là một iđêan phải tối đại, chính quy của R, ta sẽ chứng
minh R ρ là R– môđun bất khả quy.
+) R ρ=
.R R ≠ (0)
ρ
+) Giả sử ρ′ ρ là một môđun khác không của R ρ . Khi đó, ρ ⊂ ρ′ .
≠
Nhưng ρ là iđêan phải tối đại của R nên ρ′ =R , tức ρ′ ρ = R ρ .
Vậy R ρ là R – môđun bất khả quy.


10

1.2

RADICAL CỦA MỘT VÀNH

Định nghĩa.
Radical của vành R, ký hiệu J(R), là tập hợp các phần tử của R linh hóa mọi R –
môđun bất khả quy. Nếu không tồn tại R– môđun bất khả quy thì J(R) = R.
Radical định nghĩa như trên thường được gọi là radical Jacobson.
Từ định nghĩa ta suy ra J ( R) =  A( M ) , với M chạy khắp tập các R – môđun
bất khả quy. Mặt khác, A(M) là iđêan hai phía nên J(R) là iđêan hai phía. Tuy

nhiên, để cho tiện ta hiểu J(R) định nghĩa như trên là iđêan phải.
Định nghĩa
Cho ρ là một iđêan phải của R. Ta định nghĩa (ρ : R)= {x ∈ R : Rx ⊂ ρ} .
) (ρ : R)
Định lý 1.2.1: J ( R=

với ρ chạy khắp tập các iđêan phải, tối đại, chính quy của R và (ρ : R) là iđêan
hai phía của R lớn nhất nằm trong ρ .
Chứng minh. Ta có J ( R) =  A( M ) . Với mỗi R – môđun bất khả quy M, theo bổ
M _ bkq

đề 1.1.3, tồn tại một iđêan phải, tối đại, chính quy ρ sao cho M = R ρ . Ta chỉ cần
chứng minh A( M ) = (ρ : R) .
+) A( M ) ⊂ (ρ : R) : ∀x ∈ A( M ) , ta có
Mx = 0 ⇒ (r + ρ) x =ρ, ∀r ∈ R ⇒ rx ∈ρ, ∀r ∈ R ⇒ Rx ⊂ ρ ⇒ x ∈ (ρ : R)
⇒ A( M ) ⊂ (ρ : R)

+) (ρ : R) ⊂ A( M ) : ∀x ∈ (ρ : R) , ta có
Rx ⊂ ρ ⇒ Mx = 0 ⇒ x ∈ A( M ) ⇒ (ρ : R) ⊂ A( M )
( R)
Như vậy J=

 (ρ : R )

. Ta chỉ còn phải chứng minh (ρ : R) là iđêan hai

ρ _ idean phai , td , cq

phía của R lớn nhất nằm trong ρ .
+)


(ρ : R) là iđêan hai phía của R: Vì A( M ) = (ρ : R) nên (ρ : R) là iđêan

hai phía của R.


11

+) (ρ : R) ⊂ ρ : ∀x ∈ (ρ : R) ⇒ Rx ⊂ ρ . Mặt khác, ρ chính quy nên có
r ∈ R : y − ry ∈ρ, ∀y ∈ R . Do đó, x − rx ∈ ρ , mà Rx ⊂ ρ nên rx ∈ ρ suy ra x ∈ρ . Tức
(ρ : R) ⊂ ρ .

+) (ρ : R) là lớn nhất: giả sử có iđêan hai phía ρ′ của R mà ρ′ ⊂ ρ . Khi đó,
∀x ∈ρ′ , ta có Rx ⊂ ρ′ ⊂ ρ ⇒ x ∈ (ρ : R) ⇒ ρ′ ⊂ ρ

Bổ đề 1.2.1.
Nếu ρ là iđêan phải chính quy của R thì ρ có thể nhúng vào một iđêan phải, tối
đại, chính quy của R.



J (M )
Định lý 1.2.2.=

ρ

ρ _ idean phai ,td , cq

Chứng minh.
J ( R) ⊂


+)



=
J ( R)
ρ . Theo định lý 1.2.1,

 ( ρ : R ) và

ρ _ idean phai ,td , cq

ρ _ idean phai ,td , cq

(ρ : R) ⊂ ρ nên
J ( M ) ⊂ ∩ρ .

+)



ρ ⊂ J (=
R) : đặt τ

ρ _ idean phai ,td , cq



ρ và chọn x ∈ τ .


ρ _ idean phai ,td , cq

Ký hiệu S ={xy + y : y ∈ R} . Ta khẳng định S = R. Thật vậy, nếu S ≠ R thì S
là một iđêan phải của R. Hơn nữa, chọn r =− x ∈ R , ta có y − ry =y + xy ∈ S , ∀y ∈ R ,
tức S là iđêan phải chính quy của vành R. Theo bổ đề 1.2.1, S có thể nhúng được
vào một iđêan phải, tối đại, chính quy P của R. Khi đó, ∀y ∈ R ta có
 xy + y ∈ S ⊂ P
⇒ y⊂P⇒R⊂P

 x ∈ τ ⊂ S ⊂ P ⇒ x ∈ P ⇒ xy ∈ P

Điều này không thể xảy ra vì P là iđêan tối đại. Vì thế ta được S = R, cụ thể
R ={xy + y : y ∈ R}

Đặc biệt, x ∈ R ⇒ − x ∈ R ⇒ ∃w ∈ R : − x= xw + w ⇔ x + w + xw= 0 .
Nếu τ ⊂/ J ( R) thì có một R – môđun bất khả quy M mà M τ ≠ 0 suy ra
∃m ∈ M : mτ ≠ 0 (*)


12

Rõ ràng mτ là một R – môđun con của môđun bất khả quy M nên mτ =M .
Do đó, tồn tại t ∈ τ sao cho mt = −m . Vì t ∈ τ nên bằng cách lập luận như trên,
∃s ∈ R, t + s + ts =0 .
m(t + s + ts ) =
mt + ms + mts =
−m + ms − ms =
−m
Ta có: 0 =


⇒ m = 0 ⇒ mτ = 0 (MT (*))
⇒ τ ⊂ J ( R)

Vậy ta được J ( M ) =

∩

ρ _ idean phai ,td , cq

ρ

Định nghĩa.
Một phần tử r ∈ R được gọi là tựa chính quy phải nếu tồn tại r ′ ∈ R sao cho
r + r ′ + rr ′ =
0 , r ′ được gọi là một tựa nghịch đảo phải của r.

Một iđêan phải của R được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó
đều tựa chính quy phải.
Nhận xét.
1) J(R) là iđêan phải tựa chính quy phải của R
2) Nếu ρ là iđêan phải tựa chính quy phải của R thì ρ ⊂ J ( R)
Chứng minh.
1) Từ phép chứng minh định lý 1.2.2 ta thấy ∀x ∈ J ( R), ∃y ∈ R : x + y + xy =0 .
Hay J(R) là iđêan phải tựa chính quy phải của R.
2) Giả sử ρ ⊂/ J ( R) thì tồn tại một R – môđun bất khả quy M sao cho M ρ ≠ 0
. Khi đó, ∃m ∈ M : mρ ≠ 0 . Nhưng mρ là môđun con của môđun bất khả quy M nên
mρ =M , suy ra ∃x ∈ρ sao cho mx = −m . Vì ρ là iđêan phải tựa chính quy phải và
x ∈ρ nên ∃y ∈ R : x + y + xy =0 . Ta có


0 =m( x + y + xy ) =mx + my + mxy =−m + my − my =−m
⇒ m = 0 ⇒ mρ = 0 (MT với mρ ≠ 0 )

Vậy ta được ρ ⊂/ J ( R) .
Từ nhận xét trên ta có định lý


13

Định lý 1.2.3
J(R) là iđêan phải tựa chính quy phải của R chứa mọi iđêan phải tựa chính quy
phải của R, nghĩa là, J(R) là iđêan phải tựa chính quy phải lớn nhất của R.
Định nghĩa.
a) Ta nói phần tử a ∈ R là lũy linh nếu ∃m ∈ * để a m = 0
b) Ta nói một iđêan phải (trái, hai phía) là nil-idean nếu mọi phần tử của nó
đều lũy linh.
c) Ta nói một iđêan phải (trái, hai phía) ρ là lũy linh nếu ∃m ∈ * sao cho
a1a2 ..am= 0, ∀a1 , a2 ,.., am ∈ ρ

Với hai iđêan I, J ta định nghĩa
=
IJ

{∑

hh

ab : a ∈ I , b ∈ J

}


Bằng quy nạp ta định nghĩa =
I n I n −1 I , ∀n ∈ * . Từ đó ta suy ra, iđêan phải I
là lũy linh nếu tồn tại số nguyên dương m sao cho I m = 0 .
Nilpotent ⇒ Nil-; Nil- ⇒
/ Nilpotent
Bổ đề 1.2.2.
Mọi nil-idean phải hoặc trái của R đều nằm trong J(R)
Chứng minh. Giả sử I là nil-idean phải của R. Khi đó, ∀a ∈ I , ∃m ∈ * : a m =0 .
Ký hiệu: b =−a + a 2 − a 3 +  + (−1) m −1 a m −1 ∈ R
Ta được a + b + ab = 0. Suy ra I là iđêan phải tựa chính quy phải, do đó,
I ⊂ J ( R) .

1.3

RADICAL CỦA ĐẠI SỐ VÀ VÀNH NỬA ĐƠN.

Định nghĩa.
A được gọi là một đại số trên trường F nếu
1) A là một vành
2) A là không gian vectơ trên F
3) k(ab) = (ka)b = a(kb), ∀k ∈ F , ∀a, b ∈ A


14

Các khái niệm đại số con, iđêan, đồng cấu, .. của đại số được định nghĩa
tương tự như của vành. Chẳng hạn, B là đại số con của đại số A trên trường F nếu B
vừa là vành con, vừa là không gian véctơ con của A. Radical của đại số A là giao
của tất cả các iđêan phải, tối đại, chính quy của đại số A. Một câu hỏi đặt ra là:

radical của đại số A có khác gì so với radical của vành A không? Câu trả lời là hai
radical này trùng nhau vì ta có thể dễ dàng chứng minh được rằng: nếu ρ là một
iđêan phải, tối đại, chính quy của vành A thì ρ cũng là không gian véctơ con của
không gian véctơ A trên trường F. Do đó, theo định lý 1.2.2, ta được
J A lg ebra ( A) = J ring ( A)

(

)

Định lý 1.3.1. J R J ( R) = 0
Định nghĩa.
Vành R được gọi là vành nửa đơn nếu J(R) = 0
Theo định lý 1.3.1, R J ( R) là vành nửa đơn.
Định lý 1.3.2.
Nếu A là một iđêan của vành R thì J ( A)= A ∩ J ( R)
Chứng minh. Với mọi a ∈ A ∩ J ( R) ta có a ∈ A và a ∈ J ( R) . Vì a ∈ J ( R) nên a là
tựa chính quy phải trong R, tức ∃a′ ∈ R : a + a′ + aa′ =0 ⇔ a′ =−a − aa′ , mà a ∈ A  R
nên a′ ∈ A , tức a là tựa chính quy phải trong A suy ra a ∈ J ( A) . Vậy
A ∩ J ( R) ⊂ J ( A) .

Ngược lại, gọi ρ là một iđêan phải, tối đại, chính quy của R. Nếu A ⊂ ρ thì
ta có
J ( R ) ∩ A =( ∩ρ ) ∩ A =A ⊃ J ( A)

Nếu A ⊂/ ρ , đặt ρ A = ρ ∩ A . Vì ρ là iđêan tối đại và A ⊂/ ρ nên R= A + ρ . Ta
có
R = ( A + ρ) ≅ A
= A
A∩ρ

ρ
ρ
ρA


15

Lại do, ρ là một iđêan phải, tối đại, chính quy của R nên R ρ là môđun bất
khả quy, do đó, A ρ là môđun bất khả quy suy ra ρ A là iđêan phải, tối đại, của A.
A
Vì ρ là iđêan chính quy nên ∃b ∈ R, x − bx ∈ρ, ∀x ∈ R . Vì b ∈ R= A + ρ nên
∃a ∈ A, r ∈ρ sao cho b= a + r . Ta có
x − bx= x − (a + r ) x= x − ax − rx ∈ρ 
 ⇒ x − ax ∈ρ, ∀x ∈ R
r ∈ρ ⇒ rx ∈ρ 
⇒ x − ax ∈ ρ A , ∀x ∈ A

Suy ra ρ A là iđêan chính quy, tức ρ A là iđêan phải, tối đại, chính quy của A
suy ra J ( A) ⊂ ρ A .
Như vậy, ta đã chứng minh được J ( A) ⊂ ρ A với mọi iđêan phải, tối đại, chính
quy ρ . Do đó, J ( A) ⊂ ρ A = ( A  ρ) = (ρ)  A = J ( R)  A ⇔ J ( A) ⊂ J ( R)  A .
Vậy J ( A) = A  J ( R) .
Hệ quả.
Nếu R là vành nửa đơn thì mọi iđêan của nó cũng là vành nửa đơn.
Chứng minh. Giả sử A là một iđêan của vành R. Theo định lý 1.2.5 ta có
J ( A) = A ∩ J ( R) = A ∩ 0 = 0

Vậy A cũng là vành nửa đơn.
Chú ý. Định lý 1.3.2 sẽ không còn đúng nếu A chỉ là iđêan một phía. Chẳng hạn,
xét R là vành các ma trận vuông cấp 2 trên trường số thực. Vì R là vành có đơn vị

1 0 
E =
 nên J ( R) ≠ R . Ta khẳng định R không có iđêan hai phía thật sự không
 0 1

tầm thường. Thật vậy, giả sử A là một iđean hai phía của R và A ≠ 0 . Xét các ma
trận
1 0 
0 1 
0 0
0 0
=
E11 =
 , E12 =
 , E21 =
 , E22 

0 0
0 0
1 0 
0 1 


16

a b

0≠α 
Vì A ≠ 0 nên tồn tại =
 ∈ A . Giả sử a ≠ 0 , vì A là iđêan hai phía

c d 
1

0
 a 0
 a 0
= E11 ∈ A ⇒ E21 E11 E12 = E22 ∈ A
của R nên E11αE11 = 
∈ A ⇒ 
 a
0 0
 0 0   0 0 


⇒ E = E11 + E22 ∈ A ⇒ A = R

Khi đó, do J(R) là một iđêan hai phía của R mà J ( R) ≠ R nên J(R) = 0.
 α β 

 : α, β ∈  
 0 0 


Xét tập
hợp ρ 
=

Kiểm tra trực tiếp ta được ρ là iđêan phải của R. Ký hiệu
 0 β 


=
ρ1 
 : β ∈ 
 0 0 

0 β

2

Dễ thấy ρ1 là iđêan phải khác 0 của ρ và vì 
 = 0 nên ρ1 là nil-idean
0 0
phải của ρ , do đó, ρ1 ⊂ J (ρ) ⇒ J (ρ) ≠ 0 . Và khi đó, J (ρ) ≠ 0 = ρ ∩ J ( R) .
Cho R là một vành, ta ký hiệu Rm là vành các ma trận bậc m trên R. Ta có
đinh lý
Định lý 1.3.3. J ( Rn ) = J ( R) n
Chứng minh. Xét M là một R– môđun phải bất khả quy tùy ý.
=
Ký hiệu M ( n ) {(m1 , m2 ,.., mn ) : mi ∈ M }

Dễ kiểm tra được M ( n ) là một Rm - môđun phải. Hơn nữa, M ( n ) là một Rm môđun bất khả quy. Thật vậy, vì M là R – môđun bất khả quy nên MR ≠ 0 , do đó,
∃m ∈ M , ∃r ∈ R, mr ≠ 0 . Khi đó ta chọn được


17

r

(n)  0
(m, m,.., m) ∈ M ,



0

0 0 

r0 
∈ Rm thỏa
 

0 r 

 r 0 0 


0 r0 

(m, m,.., m
=
)
(mr , mr ,.., mr ) ≠ 0
   


 0 0 r 

Suy ra M ( n ) Rn ≠ 0 .
Gọi A là một môđun con của M ( n ) , A ≠ 0 ta sẽ chứng minh A = M ( n ) . Vì
A ≠ 0 nên có
=

(0, 0,.., 0) / (m1 , m2 ,.., mn ) ∈ A

Giả sử mk ≠ 0 . Do M là môđun bất khả quy, mk R là môđun con khác 0 của M
đó, ∀x ( x1 , x2 ,.., xn ) ∈=
nên mk R = M . Khi
=
M ( n ) , ∀i 1, n luôn tồn tại ri ∈ R thỏa
mk ri = xi , do đó,

0


=
x (m1 , m2 ,.., 0)  r1


0


0 0 

  
r2  rn  ∈ A

  
0 0 

⇒ M (n) ⊂ A ⇒ M (n) =
A


Vậy M ( n ) là một Rn - môđun bất khả quy.
+) J ( Rn ) ⊂ J ( R) n : ∀(aij ) ∈ J ( Rn ) vì M ( n ) là một Rn - môđun bất khả quy nên
∀m ∈ M , ∀i =1, n , ta có
i

(0, 0,.., m, 0,.., 0)( aij ) =
(0, 0,.., 0) ⇔ ( mai1 , mai 2 ,.., main ) =
(0, 0,.., 0)

⇔ maij = 0, ∀j = 1, n
⇒ Maij =0, ∀i, j =1, n ⇒ aij ∈ J ( R)


18

⇒ (aij ) ∈ J ( R) n ⇒ J ( Rn ) ⊂ J ( R) n (1)

+) J ( R) n ⊂ J ( Rn ) : xét tập hợp
 a11 a12  a1n 




 0 0  0 

=
ρ1 
: aij ∈ J ( R) 
  



 0 0  0 




Dễ thấy ρ1 là iđêan phải của Rn . Ta sẽ chứng minh ρ1 ∈ J ( Rn ) bằng cách chỉ
ra rằng mọi phần tử của ρ1 đều tựa chính quy phải. Thật vậy, với mọi phần tử
 a11

0
=
X 


0

a12  a1n 

0 0 
∈ρ1
  

0 0 

Vì a11 ∈ J ( R) nên a11 tựa chính quy phải suy ra ∃a11′ ∈ R sao cho
′ + a11a11
′ =
a11 + a11
0 . Ta chọn


′
 a11

0
Y =


0

0 0 

0 0 
  

0 0 

Thế thì,
 0 a12  a1n 


0 0 0 

W = X + Y + XY =
⇒W2 = 0

  


 0 0 0 


Do đó, W là phần tử lũy linh và vì thế W tựa chính quy phải, suy ra Z ∈ Rn

0
sao cho W + Z + WZ =
⇒ X + (Y + Z + YZ ) + X (Y + Z + YZ ) = ( X + Y + XY ) + Z + ( X + Y + XY ) Z
= W + Z + WZ = 0

Tức X tựa chính quy phải suy ra ρ1 là iđêan tựa chính quy phải của Rn suy
ra ρ1 ⊂ J ( Rn ) .


19

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được
 0



=
ρi  ai1


 0


0 0 




 


ai 2  ain  : aij ∈ J=
( R)  ⊂ J ( Rn ), ∀i 1, n



 

0  0 


Vì J ( Rn ) là iđêan của Rn nên ρ1 + ρ2 +  + ρn ⊂ J ( Rn ) , suy ra J ( R) n ⊂ J ( Rn ) .
(2)
Từ (1), (2) suy ra J ( R) n = J ( Rn )

1.4

VÀNH ARTIN

Định nghĩa.
Một vành được gọi là vành Artin phải nếu mọi tập khác rỗng các iđêan phải của nó
đều có phần tử tối tiểu.
Chú ý. R là vành Artin nếu và chỉ nếu mọi dây chuyền giảm các iđêan phải
ρ1 ⊃ ρ2 ⊃  ⊃ ρn ⊃ 

đều dừng. Tức là, ∃N ∈ * , ρn =ρ N , ∀n ≥ N .
Sau đây ta nêu một vài ví dụ về vành Artin
1) Mọi vành chia là vành Artin

2) Vành ma trận vuông cấp n trên một vành chia là vành Artin. Tổng
quát hơn, nếu R là vành Artin thì vành ma trận Rn cũng là vành Artin.
3) Tổng trực tiếp hữu hạn của các vành Artin là Artin
Định lý 1.4.1. Nếu R là vành Artin thì J(R) là idean lũy linh
Chứng minh. Đặt J = J ( R) . Xét dây chuyền giảm các iđêan phải
J ⊃ J2 ⊃ J3 ⊃ ⊃ Jn ⊃

Vì R là vành Artin, ∃n ∈  : J n = J n +1 =  = J 2 n =  . Ta sẽ chứng minh J n = 0
. Ta đặt
I=
{x ∈ R : xJ n =
0}


20

Kiểm tra trực tiếp ta được I là iđêan hai phía của R. Có hai khả năng có thể xảy ra
như sau:
n
1
n

= J 2=
J n +=
0
0
0 . Khi đó, J =
J 2n =
Một là, J n ⊂ I thế thì J n J n =⇔
n

Hai là, J n ⊂/ I , ta có vành thương =
R R ≠ 0 . Giả sử rằng J ≠ 0 .
I

Vì J là iđêan của vành R nên J n ={r + I : r ∈ J n } cũng là iđêan của R, hơn
nữa, J n ⊂/ I nên suy ra J n ≠ 0 .
Với
x ∈ R, xJ n = 0 ⇔ xJ n ⊂ I ⇒ xJ n J n = 0 ⇔ xJ 2 n = 0 ⇔ xJ n = 0 ⇒ x ∈ I ⇒ x = 0 . Như vậy,

nếu xJ n = 0 ⇔ x = 0 (*)
Vì J n ≠ 0 nên Γ = {ρ ≠ 0 : ρ  R ∧ ρ ⊆ J n } ≠ ∅ . Mà R là vành Artin nên R
cũng là vành Artin, do đó, Γ có phần tử tối tiểu 0 ≠ ρ ⊆ J n . Do ρ là phần tử tối
tiểu của Γ nên nó là R - môđun bất khả quy, thêm nữa, J n ⊆ J ( R) nên
(*)

ρ J n = 0 ⇒ ρ = 0 (MT). Mâu thuẫn này cho ta J = 0 .
n

Vậy J(R) là iđêan lũy linh.
Hệ quả.
Nếu R là vành Artin thì mọi nil-idean (phải, trái, hai phía) của R đều là lũy linh.
Chứng minh. Giả sử A là một nil-idean của R . Khi đó, A ⊆ J ( R) . Mặt khác, theo
định lý 1.3.1, J(R) là iđêan lũy linh nên A là iđêan lũy linh.
Định nghĩa.
Phần tử e ≠ 0 được gọi là lũy đẳng nếu e 2 = e .
Bổ đề 1.4.1
Cho vành R không có iđêan lũy linh khác (0). Giả sử ρ ≠ 0 là một iđêan phải tối tiểu
của R. Khi đó, tồn taị phần tử lũy đẳng e trong R sao cho ρ =eR .
Chứng minh. Vì R không có iđêan lũy linh nên ρ2 ≠ 0 , do đó, ∃x ∈ρ \{0}, xρ ≠ 0 .
Mặt khác, xρ là iđêan phải của R nằm trong iđêan tối tiểu ρ nên xρ = ρ . Khi đó,



21

∃e ∈ρ, xe= x ⇒ xe 2 = xe ⇔ x(e 2 − e)= 0 .

Đặt ρo= {a ∈ ρ : xa= 0} . Dễ thấy ρo là iđêan phải của R nằm trong ρ . Thêm
nữa, xρ ≠ 0 nên ρo ≠ ρ . Do đó, từ tính tối tiểu của ρ suy ra ρo =0 . Ta có
x(e 2 − e) =0 ⇒ e 2 − e ∈ρo ⇒ e 2 − e =0 ⇔ e 2 =e

Tức e là phần tử lũy đẳng trong R.
Cuối cùng ta còn phải chứng minh ρ =eR . Ta có xe= x ≠ 0 nên e ≠ 0 . Khi
đó,
0 ≠ e = e 2 ∈ eR ⇒ eR ≠ 0

e ∈ ρ ⇒ eR ⊆ ρ
⇒ ρ =eR .
eR  R

ρ  R
 min

Bổ đề 1.4.2
Cho R là một vành và a ∈ R sao cho a 2 − a lũy linh. Khi đó, hoặc a là lũy linh hoặc
tồn tại một đa thức q(x) với hệ số nguyên sao cho e = aq(a) là phần tử lũy đẳng
khác không.
Định lý 1.4.2
Nếu R là vành Artin và ρ ≠ 0 là một iđêan phải không lũy linh của R thì ρ có chứa
một phần tử lũy đẳng khác không.
Chứng minh. Vì ρ không lũy linh nên theo định lý 1.4.1 ρ không nằm trong J(R).

Ký hiệu
R=R

J ( R)

Theo định lý 1.3.1, J ( R) = 0 mà mọi nil-idean của R đều nằm trong J ( R)
nên suy ra R không có iđêan lũy linh khác không. Vì ρ ⊄ J ( R) nên ρ ≠ 0 suy ra
Γ = {ρo ≠ 0 : ρo  R ∧ ρo ⊆ ρ} ≠ ∅
right


22

Khi đó, do R là vành Artin nên tập Γ có phần tử tối tiểu 0 ≠ ρo ⊆ ρ . Theo bổ
2

đề 1.3.1, trong ρo có phần tử lũy đẳng e ≠ 0 . Khi đó e − e = 0 ⇒ e2 − e ∈ J ( R)
Suy ra e 2 − e là phần tử lũy linh trong R.
Định lý 1.4.3
Cho R là một vành bất kỳ và e là phần tử lũy đẳng của R. Khi đó J (eRe) = eJ ( R)e
Chứng minh. Giả sử M là một R– môđun bất khả quy. Khi đó Me = 0 hoặc Me là
eRe– môđun bất khả quy. Thật vậy, giả sử Me ≠ 0 , ta chứng minh Me là eRe –
môđun bất khả quy.
Vì Me ≠ 0 nên xét Ne ≠ 0 là một eRe – môđun con bất kỳ của Me. Do Ne ≠ 0
nên ∃m ∈ N , me ≠ 0 . Ta có (me)(eRe) = meRe ; vì M là R – môđun bất khả quy và
me ≠ 0 nên meR = M ; suy ra meRe = Me ⇒ Ne = Me(do meRe ⊆ Ne) . Rõ ràng
( Ne)(eRe
=
) NR ≠ 0 . Tức Me là eRe – môđun phải bất khả quy. Suy ra
(=

Me) J (eRe) M
=
(eJ (eRe)) 0 ; vì e là đơn vị của eRe nên suy ra eJ (eRe) = J (eRe)

suy ra MJ (eRe) = 0
Tóm lại, Me ≠ 0 thì MJ (eRe) = 0 ; còn Me = 0 thì rõ ràng
=
MJ (eRe) M=
(eJ (eRe)) (=
Me) J (eRe) 0

Tức J (eRe) linh hóa mọi R – môđun bất khả quy nên
J (eRe) ⊂ J ( R) ⇒ eJ (eRe)e ⊂ eJ ( R)e ⇔ J (eRe) ⊂ eJ ( R )e (1)

Ngược lại, ∀a ∈ eJ ( R)e ⇒ a ∈ J ( R) suy ra a tựa chính quy phải, suy ra ∃a′ ∈ R
0.
sao cho a + a′ + aa′ =

Vì a ∈ eJ ( R)e ⇒ a= ebe ⇒ eae= e 2be 2 = ebe= a , do đó,
a + a′ + aa′ =⇒
0 eae + ea′e + eaa′e =⇔
0 eae + ea′e + eaa′e =
0
⇔ a + ea′e + e(eae)a′e = 0 ⇔ a + ea′e + e 2 aea′e = 0 ⇔ a + ea′e + (eae)(ea′e) = 0

⇔ a + ea′e + a(ea′e) =
0


23


Suy ra ea′e là tựa nghịch đảo phải của a, mà tựa nghịch đảo là duy nhất nên
=
a′ ea′e ∈ eRe .

Như vậy ta đã chứng minh được mọi phần tử trong eJ ( R)e đều tựa chính quy
trong eRe. Hơn nữa, eJ ( R)e là một iđêan của eRe nên eJ ( R)e ⊆ J (eRe) (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra J (eRe) = eJ ( R)e
Định lý 1.4.4.
Cho R là vành không có iđêan lũy linh khác không và giả sử rằng e ≠ 0 là phần tử
lũy đẳng trong R. Khi đó, eR là iđêan phải tối tiểu của R khi và chỉ khi eRe là vành
chia.
Chứng minh. giả sử ρ =eR là iđêan phải tối tiểu của vành R. Ta chứng minh eRe là
vành chia. Tức chứng minh mọi phần tử khác không trong eRe đều khả nghịch.
2
Với mọi eae ∈ eRe , ta có (eae
=
)e eae
=
eae . Suy ra e là đơn vị của eRe.

Với mọi eae ∈ eRe \{0} , ta có

0 ≠ eaeR ⊂ eR
⇒ eaeR =
eR
eR  R

 min


⇒ ∃y ∈ R, eaey = ee = e ⇒ eaeye = e ⇔ (eae)(eye) = e

Suy ra eye là nghịch đảo của eae. Tức eRe là vành chia.
Ngược lại, giả sử eRe là vành chia. Ta chứng minh ρ =eR là iđêan phải tối
tiểu cuả R. Giả sử ρo là một iđêan phải của R thỏa 0 ≠ ρo ⊂ ρ . Vì ρo ≠ 0 nên
) ea ∈ρo . Khi đó,
∃a ∈ ρo , a ≠ 0 . Mặt khác, a ∈ρo ⊂ ρ nên a= eb ⇒ a= e 2b= e(eb=

0 ≠ ae = eae ∈ eRe , mà eRe là vành chia nên
∃exe ∈ (eRe) \{0}, (ae)(exe) =e ⇔ a (exe) =e 
⇒ e a (exe) ∈ρo
=
a ∈ρo 
⇒ρ
= eR ⊆ ρo 
 ⇒ ρo = ρ
ρo ⊆ ρ 

Vậy ρ =eR là iđêan tối tiểu của vành chia eRe.


24

Hệ quả.
Cho R không có iđêan lũy linh khác không và e ≠ 0 là một phần tử lũy đẳng trong
R. Khi đó, eR là iđêan tối tiểu của vành R nếu và chỉ nếu Re là iđêan tối tiểu của
vành R.
Chứng minh. Rõ ràng định lý 1.4.4 vẫn đúng trong trường hợp iđêan trái. Do đó,
Re là iđêan trái tối tiểu của vành eRe khi và chỉ khi eRe là vành chia. Điều này
tương đương với eR là iđêan phải tối tiểu của vành eRe.


1.5

VÀNH ARTIN NỬA ĐƠN

Cho F là một trường, G là một nhóm hữu hạn cấp o(G ) . Ký hiệu F(G) là tập
hợp các tổng hình thức F (G=
) {∑ α i gi : α i ∈ F , gi ∈ G}
Trên F(G) ta trang bị hai phép toán cộng và nhân như sau:
+) Phép cộng: ∀x =

∑ α g , y = ∑ α′ g

+) Phép nhân: ∀x =

∑ α g , y = ∑ α′ g

i

i

i

i

i

i

i


i

, ta có x +=
y

∑ (α

i

+ α′i ) gi

thì tích xy là phép nhân hai đa thức.

Với hai phép toán vừa định nghĩa, F(G) là một vành.
Định lý 1.5.1.
Cho G là nhóm hữu hạn cấp o(G ) , F là trường đặc số 0 hoặc đặc số p mà p /| o(G ) .
Khi đó, F(G) là nửa đơn.
Chứng minh:
Nếu a ∈ F ( G ) ta định nghĩa ánh xạ
Ta : F ( G ) → F ( G )
x

 xa = xTa

Ta trở thành một phép biến đổi tuyến tính không gian vecto của đại số F(G).

Xét ánh xạ

ψ : F ( G ) → Hom ( F ( G ) , F ( G ) )

a

 aψ = Ta