BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_________________

Nguyễn Thị Phượng Linh

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
_________________

Nguyễn Thị Phượng Linh

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN
Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Chuyên ngành

: Lý luận và phương pháp dạy học môn Toán

Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đề tài “Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích
phân ở trung học phổ thông” do tôi thực hiện. Số liệu của đề tài là trung thực và
chưa được công bố ở các nghiên cứu khác. Tôi xin chịu trách nhiệm về nghiên
cứu của mình.
Người cam đoan

Nguyễn Thị Phượng Linh

1


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin trân trọng dành những dòng đầu tiên này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến
TS. Trần Lương Công Khanh, người đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận
văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cô: PGS. TS. Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS. Lê
Văn Tiến, TS. Trần Lương Công Khanh, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư
Hương, TS. Nguyễn Thị Nga đã tận tình giảng dạy những kiến thức bổ ích về Didactic Toán
trong toàn khóa học.

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ và Sau Đại Học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện học tập tốt nhất
cho chúng tôi.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Long An, Ban Giám Hiệu
trường THPT Cần Giuộc - Long An, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi
có thể hoàn thành tốt khóa học.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn lớp didactic Toán khóa 22 đã giúp đỡ tôi
trong thời gian học tập.
Cuối cùng, tôi xin dành lời cảm ơn vô vàn đến các thành viên trong gia đình tôi đã
quan tâm, chăm sóc và động viên tôi trong suốt quá trình học tập, đặc biệt là người Mẹ kính
yêu của tôi, Người đã luôn dành những điều tốt đẹp nhất cho tôi.
Nguyễn Thị Phượng Linh

2


MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 1
LỜI CẢM ƠN .............................................................................................................. 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ......................................................................... 5
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 6
1. Lý do chọn đề tài ............................................................................................................ 6
2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu ....................................................................................... 7
3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu .................................................... 8
4. Tổ chức của luận văn ..................................................................................................... 8

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH TÍCH
PHÂN ............................................................................................................................ 9
1.1. Đạo hàm hàm số hợp - một điều kiện sinh thái của PPĐBS ................................... 9
1.1.1. Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm hàm số hợp ......................................9

1.1.2 Vấn đề nhận diện dạng của một hàm số cần lấy đạo hàm, tích phân : ..................18
1.2. Vấn đề đặt ẩn phụ cho PPĐBS trong phép tính tích phân ................................... 23
1.2.1. Hiện trạng dạy và học PPĐBS trong phép tính tích phân ....................................23
1.2.2. Các dạng hàm số hợp được sử dụng và cách đặt ẩn số phụ tương ứng trong
PPĐBS của phép tính tích phân. ....................................................................................24

CHƯƠNG 2: THỰC NGHIỆM ............................................................................... 30
2.1. Giới thiệu thực nghiệm ............................................................................................. 30
2.2. Bài toán thực nghiệm ................................................................................................ 30
2.3. Phân tích a priori ...................................................................................................... 31
2.3.1. Mục tiêu thực nghiệm: .........................................................................................31
2.3.2. Bài toán 1 ..............................................................................................................31
2.3.3. Bài toán 2 ..............................................................................................................33
2.4. Phân tích a posteriori................................................................................................ 34
2.4.1. Phiếu khảo sát 1 ....................................................................................................34
2.4.2. Phiếu khảo sát 2 ....................................................................................................34
2.5. Kết luận ...................................................................................................................... 35

KẾT LUẬN ................................................................................................................ 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 37
PHỤ LỤC ................................................................................................................... 38
3


4


DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
SGK


:

Sách giáo khoa

SGKHH

:

Sách giáo khoa hiện hành

SGV

:

Sách giáo viên

SBT

:

Sách bài tập

ĐS & GT

:

Đại số & Giải tích

GT


:

Giải tích

PPĐBS

:

Phương pháp đổi biến số

GV

:

Giáo viên

HS

:

Học sinh

BNC

:

Ban nâng cao

BCB


:

Ban cơ bản

tr.

:

trang

5


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Tích phân là một khái niệm cơ bản, rất quan trọng của GT. Trong chương trình Toán
Trung học phổ thông, tích phân xuất hiện ở học kì II của lớp 12 và là một nội dung quan
trọng. SGK GT 12 hiện hành dành hẳn một chương để nói về nguyên hàm, tích phân và ứng
dụng của nó, cuối chương còn có một bài kiểm tra 45 phút. Tích phân cũng xuất hiện nhiều
trong các kì thi học kì, cao đẳng và đại học.
Để phục vụ cho bài toán tính tích phân, SGK GT 12 hiện hành đã giới thiệu 2
phương pháp cơ bản để tính tích phân, đó là PPĐBS và phương pháp tích phân từng phần.
Với PPĐBS, SGK giới thiệu hai cách đổi biến số sau:
u (b )

b

1.

∫ f [u ( x)]u '( x)dx = ∫


f (u )du ,với u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm

u(a)

a

số y = f(u) liên tục sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định trên K; a và b là 2 số thuộc
K. (SGK GT 12 (BNC) –tr. 158)
β

2. Giả sử ta cần tính

∫α f ( x)dx . Đặt x=x(t), (t ∈ K) và a, b ∈ K thõa mãn
β

β = x(b) thì khi đó

α = x(a),

b

∫α f ( x)dx = ∫ f [ x(t )]x '(t )dt

(SGK GT 12 (BNC) –tr. 159)

a

Như vậy, việc tính tích phân bằng PPĐBS đòi hỏi các kiến thức về hàm số hợp, đạo
hàm của hàm số hợp và cách đặt ẩn số phụ u=u(x) hay x=x(t) phù hợp cho từng bài toán.

Để minh họa cho các cách đặt ẩn số phụ, SGK đưa vào một số ví dụ sau:
2

x
∫ xe dx
2

Ví dụ 1: Tính

1

Giải: xe

x2

1 2
= e x d ( x 2 ) . Đặt u=x2 ta có u(1)=1, u(2)=4. Do đó
2
2

4

eu
1 4
xe
=
dx
=
du
(e − e )

∫1
∫1 2
2
x2

3

H1: Tính

∫

2 x + 3dx bằng cách đặt u=2x+3

1

6


1

Ví dụ 2: Tính

∫

1 − x 2 dx

0

Giải: đặt x=sint. Ta có dx=d(sint)=costdt, 0=sin0 và 1=sin


π
2

π
1

Vậy

∫
0

 π
1 − x dx =∫ 1 − sin 2 t .cos tdt . Vì t ∈ 0;  nên 1 − sin 2 t =
cos t.
2


0
2

2

π
1

Do đó

∫
0


1
2

H2: Tính

π

1
2

1
1
sin2t
π
1 − x 2 dx =∫ cos 2 tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt = (t +
) = .
20
2
2 0 4
0
2

∫
0

dx
1− x

2


2

bằng cách đặt x=sint. (SGK GT 12 (BNC) –tr. 159)

Hai ví dụ và hai hoạt động H1; H2 minh họa cụ thể cho hai PPĐBS mà SGK đã nêu.
Các ví dụ mà SGK sử dụng minh họa đều rất đơn giản. Vậy khi vào giải một bài toán tích
phân cụ thể không đơn giản như các ví dụ thì làm thế nào HS nhận ra được các biến số mới
phù hợp cho PPĐBS? Mặt khác, nguyên hàm là một bài toán ngược không đơn giản của bài
toán đạo hàm, vậy PPĐBS có liên hệ gì với đạo hàm của hàm hợp? Chính vì vậy chúng tôi
chọn đề tài: “Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích phân ở Trung học phổ thông”

2. Phạm vi lý thuyết tham chiếu
Để tìm hiểu rõ hơn vấn đề đặt ra, chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của
Didactic Toán với việc sử dụng thuyết nhân học didactic và lý thuyết tình huống. Ở luận văn
này chúng tôi quan tâm đến hai điều kiện sinh thái của PPĐBS trong phép tính tích phân là
đạo hàm hàm hợp và vấn đề đặt ẩn phụ. Trong phạm vi của lý thuyết tham chiếu, chúng tôi
phát biểu lại các câu hỏi nghiên cứu như sau :
1. Đạo hàm hàm hợp được xây dựng như thế nào trong chương trình trung học
phổ thông? Nhằm mục đích gì? Mối liên hệ của nó với PPĐBS trong phép tính tích phân ra
sao?
2. Trong SGKHH thì PPĐBS được thực hiện với những dạng hàm số hợp nào,
không được thực hiện với những dạng hàm số hợp nào? Với những dạng hàm số hợp mà
SGK đã sử dụng cho PPĐBS trong phép tính tích phân thì cách đặt ẩn phụ tương ứng ra
sao?
7


3. Mục đích nghiên cứu và phương pháp nghiên cứu
Mục đích của luận văn là đi tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi trên. Để đạt được điều
này, chúng tôi đề ra phương pháp nghiên cứu như sau :

Để trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu, chúng tôi chọn phân tích SGK toán lớp 11, 12
hiện hành (BNC) và tham khảo thêm một số luận văn nghiên cứu về tích phân. Nội dung trả
lời được chúng tôi trình bày trong chương I : “Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích
phân”
Từ kết quả phân tích ở chương I giúp chúng tôi hình thành nên giả thuyết nghiên cứu,
tiến hành phân tích và thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết đó. Vấn đề này được chúng tôi
trình bày trong chương II: Thực nghiệm

4. Tổ chức của luận văn
Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận và phần nội dung như sau:
I. Phần mở đầu: bao gồm các phần: lý do chọn đề tài, khung lý thuyết tham chiếu, phương
pháp nghiên cứu và tổ chức luận văn.
II. Nội dung:
Chương 1: Phương pháp đổi biến số trong phép tính tích phân
1.1. Đạo hàm hàm số hợp - một điều kiện sinh thái của PPĐBS
1.2. Vấn đề đặt ẩn phụ cho PPĐBS trong phép tính tích phân
Chương 2: Thực nghiệm
III. Phần kết luận: trình bày các kết quả đạt được của luận văn.

8


CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH
TÍCH PHÂN
1.1. Đạo hàm hàm số hợp - một điều kiện sinh thái của PPĐBS
1.1.1. Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm hàm số hợp
1.1.1.1. Đạo hàm hàm số hợp trong SGKHH
1.1.1.1.1. Tóm tắt một số kết quả từ luận văn thạc sĩ Nghiên cứu sinh thái của
phép tính tích phân trong giảng dạy Toán ở trung học phổ thông của Phạm Lương Quý
(2007)

Tham khảo luận văn thạc sĩ Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng
dạy Toán ở trung học phổ thông của Phạm Lương Quý (2007), chúng tôi rút ra một số kết
quả sau:
 Thời điểm và mục đích đưa khái niệm hàm số hợp vào chương trình toán trung học
phổ thông:
- Các thời kỳ trước:
+ Hàm số hợp được trình bày trong chương Hàm số ở lớp 11 (chương trình 19751990), trong chương Bổ sung về hàm số và giới hạn ở lớp 12 (chương trình 1990-2000) và
trong chương Đạo hàm ở lớp 12 (chương trình 2000-2006).
+ Khái niệm hàm số hợp phục vụ cho việc tính đạo hàm hàm số hợp và công thức đổi
biến số.
- Trong chương trình hiện hành: khái niệm hàm số hợp được trình bày trong chương
Đạo hàm ở lớp 11, ngay sau phần Các quy tắc tính đạo hàm để chuẩn bị kiến thức tính đạo
hàm của hàm số hợp.
 Các nhận xét về hai khái niệm hàm số hợp trong SGK và SGV
SGK ĐS & GT 11 (BNC) tr. 201 đưa vào khái niệm hàm số hợp như sau:
Cho hai hàm số y = f(u) và u = u(x). Thay thế biến u trong biểu thức f(u) bởi biểu thức u(x), ta được
biểu thức f[u(x)] với biến x. Khi đó, hàm số y = g(x) với g(x) = f[u(x)] được gọi là hàm số hợp của hai
hàm số f và u ; hàm số u gọi là hàm số trung gian.

SGV ĐS & GT 11 (BNC) tr. 236 nêu khái niệm hàm số hợp như sau:

9


Cho hàm số u: D →  và f: Df →  sao cho u(D) ⊂ Df. Khi đó hàm số g: D →  xác định bởi g(x)
= f[u(x)] gọi là hàm số hợp của hàm số f và hàm số u, kí hiệu là g = f  u. Như vậy ta có g(x) = ( ( f  u ) (x) =
f[u(x)].

-


SGV nêu khái niệm hàm số hợp như là tích của hai ánh xạ và xác định rằng định

nghĩa này rất khó hiểu đối với HS.
-

SGKHH dùng “khái niệm hàm số hợp” để trình bày một “định nghĩa” hàm số hợp

đơn giản hơn. Hàm số hợp được định nghĩa không dùng đến ánh xạ như các chương trình
trước mà được xem như là hàm số của biến trung gian thay vì được xem là hàm của hàm.
Hàm số hợp không phải là trọng tâm của chương Đạo hàm mà là một công cụ để giải thích
và nghiên cứu các hàm số có dạng: y = un, y =
-

u , y = logau...

Trong phần bài tập, không xuất hiện các dạng bài tập: tìm hàm số hợp của 2 hàm số

cho trước, tìm tập xác định của hàm số hợp, phân tích hàm h cho trước thành hợp của hai
hàm số f và g, không có bài tập liên quan trực tiếp đến hàm số hợp so với chương trình trước
1990. Phần lý thuyết chỉ trình bày hàm hợp của hai hàm số, phần bài tập lại yêu cầu tính đạo
hàm của hàm hợp của 3 hàm số, hay hàm hợp của 4 hàm số.
-

Ký hiệu g  f không được đưa vào mà khi nói hàm hợp của hai hàm số y = f(u) và u

= g(x), ta chỉ thực hiện một phép thay chữ hình thức y = f(g(x)). Hàm số u = g(x) chỉ được
xem được là hàm số trung gian, thậm chí là một biến.
 Hàm số hợp trong phép tính đạo hàm
-


Công thức đạo hàm hàm số hợp được SGK trình bày dưới dạng y’x = y’u. u’x. Sau đó,

SGK áp dụng công thức này để tính đạo hàm của các hàm y = un, y =

u , y = 1/u, y = sinu,

y = cosu, y = tanu, y = cotu trong đó u là hàm số có đạo hàm theo biến x. Đạo hàm của các
hàm uα, eu, logau được khảo sát sau khi học xong hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm số lôgarit.
Trong thực hành tính đạo hàm hàm hợp, biến trung gian không phải lúc nào cũng xuất hiện
tường minh.
-

Việc tính đạo hàm hàm hợp chỉ được thực hiện một cách hình thức công thức y’x =

y’u. u’x , trong đó u được xem là một biến trung gian. Điều này làm cho hàm số hợp được
xem như là hàm số của biến trung gian thay vì được xem là hàm của hàm. Hàm số hợp được
đưa vào với mong muốn cung cấp yếu tố công nghệ của phép tính đạo hàm hàm hợp, phép
đổi biến trong tích phân xác định. Tuy nhiên, trong thực hành, yếu tố công nghệ này nhanh
chóng biến thành một phép thay chữ hình thức. HS tính đạo hàm hàm hợp bằng cách thực
10


hiện phép thay chữ hình thức và thực hiện phép đổi biến u = ϕ(x) nhờ các kiểu bài tập được
dạy.
- Trên thực tế, việc tính đạo hàm hàm hợp được thực hiện như một phép thay chữ hình
thức mà không cần sự can thiệp của hàm hợp. Điều này một mặt cho phép tính đạo hàm một
cách máy móc và nhanh chóng, mặt khác làm lu mờ ý nghĩa của hàm hợp và làm cách chọn
biến mới u = u(x) trong tích phân xác định trở nên khó giải thích vì trong thể chế hiện hành,
không tồn tại việc đọc ngược kết quả đạo hàm để tính nguyên hàm, ngay cả khi có mặt hay
vắng mặt ostensif ∫ do vấn đề phân tích một hàm số hợp thành các hàm số cấu thành để giải

bài tập là nằm ngoài mối quan hệ thể chế.
1.1.1.1.2. Đạo hàm hàm số hợp trong quá trình thực tế dạy học
Trong quá trình dạy học phép tính đạo hàm hàm số hợp, HS có tự nhận ra được các
biến trung gian cần thiết không? GV làm thế nào để giải thích về các biến trung gian đó?
Ví dụ sau được chúng tôi ghi nhận qua một tiết dự giờ: bài tập 33e tr. 212, SGK ĐS &
GT 11 (BNC).
Ví dụ. Tính đạo hàm của hàm số y = cos 2

π
4

− 2x

Trước khi yêu cầu HS lên bảng giải bài tập, GV đã gợi ý cho HS kỹ thuật giải thông qua
một hệ thống câu hỏi được chúng tôi ghi lại trong biên bản dự giờ như sau:
[35]. GV: Cô mời Huy. Bài này em sẽ tính đạo hàm bằng cách nào?
[36]. HS: Dạ, un.
[37]. GV: vậy u là gì và n là bao nhiêu?
[38]. HS: dạ. n = 2, u = cos

π
4

− 2x

[39]. GV: Các em phân biệt bài này với bài số 3 (là bài tập: y = cos

2 x + 1 ). Cả 2 bài đều là các

hàm số lượng giác, nhưng bài này là un, bài 3 là cosu. Khác chỗ nào? (Chỉ vào bài 3) Bài

này mũ là mấy? Là mũ 1 nên các em phân biệt cho cô: gặp lượng giác mà mũ 1 thì mình
xem cái góc đó là x, mình tính luôn. Gặp lượng giác mà không phải bậc 1 mà bậc 2 trở lên
thì nó là công thức un. Rồi, bây giờ lên làm giùm cô nhé!
HS (lên bảng thực hiện bài giải)

Hàm số trên là một hàm số hợp, nhưng hàm số trên là hợp của các hàm số trung gian nào?
HS có nhận ra được các hàm số trung gian đó hay không? Để làm điều đó, GV trước khi cho
HS giải bài tập, đã chú ý cho HS đến việc nhận dạng đạo hàm của bài toán là un bằng một số
câu hỏi gợi ý như: bài này em sẽ tính đạo hàm bằng cách nào?hay u là gì và n là bao nhiêu? Từ đó áp
11


dụng công thức tính đạo hàm để tìm đạo hàm của hàm số đã cho. Bên cạnh đó, GV cũng
chú ý phân biệt cho HS sự khác biệt với các dạng hàm số khác như: các em phân biệt bài này

2 x + 1 )… Sự phân biệt này có thể giúp HS nhận ra các dạng

với bài số 3 (là bài tập: y = cos

hàm số hợp cần lấy đạo hàm, các biến trung gian cần thiết và chúng trở thành yếu tố công
nghệ - lý thuyết cho quá trình này trong bối cảnh vắng bóng sự can thiệp của hàm hợp.
Bảng 1.1. Trích biên bảng dự giờ của GV
Lời giải của HS

Trình bày của GV

(đã được GV nhận xét-bổ sung)

(khi thực hiện chỉnh sửa bài làm của HS)


π

y’ = [ cos 2
= 2cos

4

[42]. GV: dạng un, đạo hàm (un)’ = n.un-1.u’, n là 2,

− 2 x ]’





π
− 2 x . cos
− 2 x 
4



π
4

vậy u2=2u2-1.u’. với u’ =  cos

'




(dạng un ;(un)’ = n.un-1.u’)


− 2 x 
4


π

,

[42]. GV: đến dây ta có thể sử dụng tiếp công thức
gì? Các em nhận xét: hàm số lượng giác có bậc
mấy?...

 π

= −2cos − 2 x .sin − 2 x . − 2 x 
4
4
4



π

π

,


[44]. GV: được lượng giác bậc 1 rồi thì hãy nhận
xét về góc? Ta có thể sử dụng công thức gì?

(dạng cosu, (cosu)’ = -sinu.u’)

[46]. GV: (cosu)’...vậy (cosu)’ bằng gì? À, trừ...u

π

− 2x 

  4
π

−2cos
− 2 x . sin
− 2 x  .
4
4
π

 2
− 2x
4
,

=

π


(dạng

u , ( u )’ =

u'
)
2 u

đạo hàm nhân...sinu?
[47]. GV: căn của gì đây? (Gv chỉ vào

π
4

− 2x

)

[49]. GV: có nghĩa là áp dụng công thức gì?
[51]. GV: ( u )’ bằng gì?
[53]. GV: rồi, ( u )’ =

u'
2 u

[53]. GV: (ghi công thức) 2sina cosa = sin 2a


π

−2
− 2 x . sin
− 2 x  .
4
4

 2 π − 2x
4

π

= −2cos



π



4

= sin  2


1
− 2 x 
 π − 2x
4

(2sina cosa = sin 2a)


Bài giải trên đây là của HS, GV thực hiện chỉnh sửa, bổ sung. Trong quá trình chỉnh sửa
bài giải của HS, mỗi khi gặp các dạng đạo hàm mới xuất hiện như : un, cosu,
12

u GV đều


gợi ý để nhắc lại các dạng đó cho HS qua một số câu hỏi: được lượng giác bậc 1 rồi thì hãy nhận
xét về góc? Ta có thể sử dụng công thức gì? hay căn của gì đây? có nghĩa là áp dụng công thức gì? Sau

khi HS nhận ra được các dạng đạo hàm, GV ghi các dạng đạo hàm đó bên cạnh, còn các
công thức đạo hàm tương ứng (un)’= n.un-1.u’; (cosu)’ = -sinu.u’, ( u )’ =

u'
2 u

thì chỉ nhắc

bằng ngôn ngữ nói. Việc nhắc lại này làm cho HS thói quen lấy các công thức đó để làm căn
cứ xác định dạng của hàm số hợp cần tính đạo hàm.
Trong ví dụ này, hàm số y = cos 2
g(x) =

π
4

− 2 x có dạng y = i  (h  ( g  f )) với f(x) =

π

4

− 2x ,

2

x , h(x) = cosx, i(x) = x nên là hàm hợp của 4 hàm số. Tuy nhiên, khi tiến hành giúp

HS nhận ra dạng đạo hàm cần tính, GV không chỉ ra đây là hàm hợp của 4 hàm số, mà chỉ
chú ý HS đến những dạng công thức tính đạo hàm được học trong SGK của các hàm : un;
cosu; u . Ở đây, các biến trung gian u của hàm số hợp này không xuất hiện tường minh. Vì
vậy khi giảng giải ở mỗi bước, GV đều phải chỉ ra dạng đạo hàm là gì, từ đó HS xác định ra
các biến u, thực hiện việc tính đạo hàm bằng cách thay các biến u đã được xác định vào các
công thức tính đạo hàm.
Qua quá trình khi GV thực hiện chỉnh sửa bài làm của HS, chúng tôi nhận thấy: nội dung
các câu hỏi nhận xét về đặc điểm các hàm số lượng giác cần lấy đạo hàm được lập lại giống
nhau nhu: hàm số lượng giác có bậc mấy ; nhận xét về góc?hay căn của gì đây?... Điều đó
nói lên rằng: trong thực hành, để nhận dạng hàm số hợp cần lấy đạo hàm, HS không dùng
đến định nghĩa mà thay vào đó là các hướng dẫn mang tính công nghệ lý thuyết được GV
cung cấp trong thực hành giảng dạy. Các biến trung gian u không xuất hiện tường minh nên
các dạng hàm số hợp như cosu, u , un được GV ghi bên cạnh ở những chổ cần lấy đạo hàm
của dạng đó sau khi đã gợi ý cho HS nhận ra được dạng của các hàm số hợp.
1.1.1.1.3. Kết luận
Như vậy, đạo hàm hàm số hợp trong SGKHH được trình bày đơn giản với công thức y’x
= y’u. u’x. Việc tính đạo hàm hàm số hợp được thực hiện như một phép thay chữ hình thức
mà không cần sự can thiệp của hàm hợp. Trong thực hành, HS không dùng đến định nghĩa
hàm số hợp mà sử dụng các hướng dẫn mang tính công nghệ - lý thuyết được GV cung cấp
để xác định dạng hàm số hợp cần lấy đạo hàm, các biến trung gian cần thiết.

13



1.1.1.2 Đạo hàm hàm số hợp trong PPĐBS phép tính tích phân
PPĐBS được trình bày ở lớp 12 trong chương Tích phân (chương trình 1992); trong
chương Nguyên hàm và tích phân (chương trình 2000) và trong chương Nguyên hàm, tích
phân và ứng dụng (chương trình 2008) nhằm phục vụ cho việc tìm nguyên hàm, tính tích
phân.
Sách GT 12 (BNC) trình bày cơ sở của PPĐBS là công thức sau:
u (b )

b

∫ f (u ( x)u '( x)dx = ∫
a

f (u )du

(1)

u(a)

Trong đó hàm u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f(u) liên tục sao cho hàm hợp
f[u(x)] xác định trên K ; a và b là hai số thuộc K.

Trên cơ sở đó, SGK GT 12 (BNC) đưa ra hai cách đổi biến số trong tích phân xác định như
sau:
• Cách 1: SGK GT 12 (BNC) tr. 158
b

Giả sử ta cần tính


∫ g ( x)dx . Nếu ta viết được g(x) dưới dạng f[u(x)]u’(x), thì theo công thức
a

(1) ta có:
u (b )

b

∫ g ( x)dx = ∫
a

f (u )du

u(a)

• Cách 2: SGK GT 12 (BNC) tr. 159
β

Giả sử ta cần tính

∫α f ( x)dx . Đặt x = x(t) (t ∈ K) và a, b ∈ K thõa mãn α = x(a), β = x(b) thì

theo công thức (1) ta có:
β

∫

α


b

f ( x)dx = ∫ f [ x(t )]x '(t )dt
a

Theo kết quả nghiên cứu trên thì đạo hàm của hàm số hợp được đưa vào chương trình
nhằm mục đích cung cấp yếu tố công nghệ cho phép đổi biến trong tích phân xác định. Tuy
nhiên, sự liên hệ giữa đạo hàm hàm hợp và công thức đổi biến số chưa thực sự được làm rõ,
đạo hàm hàm hợp chỉ được sử dụng để chứng minh công thức đổi biến số trong PPĐBS tìm
nguyên hàm.
Định lý 1: SGK GT 12 (BNC) tr. 142

14


Định lí 1: cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho
f[u(x)] xác định trên K. khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là

)du
∫ f (u=

F (u ) + C

thì

'( x)dx
∫ f [u ( x)]u=

F [u ( x)] + C


(1)

Chứng minh: theo quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp, ta có

( F [u ( =
x)] + C ) ' F '[u (=
x)]u '( x) f [u ( x)]u '( x) .
Trong thực hành, SGK hướng HS đến việc biến đổi du = du(x) = u’(x)dx và sau đó tìm
nguyên hàm theo biến u . Khi đó, công thức (1) được viết lại như sau:

f [u ( x)]du ( x) ∫ f (u )du
[u ( x)]u '( x)dx ∫=
∫ f=
= F (u ) + C= F [u ( x)] + C

(2)

Ví dụ 1: SGK GT 12 (BNC) tr. 142
Ví dụ 1: Tìm

∫ (2 x + 1) dx
4

Giải: ta có (2x+1)4dx =

1
1
(2x+1)4(2x+1)’dx = (2x+1)4d(2x+1).
2
2


Đặt u = u(x) = 2x+1. Áp dụng công thức (2), ta có

1

1

dx ∫ (2 x + 1) d (2 x +=
du
1) ∫ u =
∫ (2 x + 1) =
2
2
4

=

4

4

1 4
u du
2∫

1 1 5
1
C
. u +=
(2 x + 1)5 + C

2 5
10

Trong ví dụ trên, SGK đã chọn cách đặt ẩn phụ u = u(x) = 2x+1. Tuy nhiên, trước khi
đặt ẩn phụ, SGK đã thực hiện bước biến đổi (2x+1)4dx =

1
1
(2x+1)4(2x+1)’dx =
2
2

(2x+1)4d(2x+1) nhằm mục đích làm rõ hơn việc đưa f[u(x)].u’(x)dx về f(u)du. Qua bước
biến đổi thì biến mới u(x), hàm số f[u(x)] và du(x) xuất hiện rõ hơn: u(x) = 2x+1; f[u(x)] =

1
(2x+1)4; du(x) = d(2x+1). Khi đó, việc xác định ẩn số mới u = u(x) = 2x+1 được rõ ràng
2
hơn.
Việc biến đổi (2x+1)4dx =

1
(2x+1)4(2x+1)’dx nhằm minh họa cho cách 1 của
2

PPĐBS mà SGK đã giới thiệu trước đó (biến đổi g(x) dưới dạng f[u(x)]u’(x)) với g(x) = (2x+1)4;
f[u(x)]u’(x) =

1
(2x+1)4(2x+1)’. Tuy nhiên, SGK không sử dụng đạo hàm của hàm số hợp

2

để chỉ ra cho HS thấy được f[u(x)], từ đó tiếp tục xác định nguyên hàm mà thực hiện việc
15


đặt biến mới u = 2x+1 và lấy nguyên hàm theo biến u. Điều này có thể dẫn đến việc HS chỉ
nhận ra dạng nguyên hàm khi ở biến u với du mà không phải từ kiến thức về hàm hợp hay
đạo hàm của hàm số hợp, tức dạng g(x) = f[u(x)]u’(x).
SGV không giải thích hay hướng dẫn gì thêm từ ví dụ trên. Các hoạt động H1, H2
trong SGK về PPĐBS tìm nguyên hàm chỉ được SGV hướng dẫn sơ lược đặt biến số mới u
là gì, sau đó thay vào biểu thức ở đề bài và nêu kết quả của bài toán. Như vậy SGV cũng
hướng HS đến việc đưa bài toán về biến u, tìm nguyên hàm trên biến u mà không sử dụng
hàm hợp hay đạo hàm hàm số hợp để xác định biến mới và tìm nguyên hàm hàm số. Mặc dù
việc quan sát các hàm số hợp, đạo hàm hàm số hợp giúp HS phát hiện ra biến số phụ u(x) là
gì hay tìm được nguyên hàm nhanh chóng, chính xác hơn nhưng đã không được SGK chú ý
khai thác. Vậy có phải chăng GV và HS xem việc đổi biến số qua biến u là cách giải tối ưu
cho bài toán tìm nguyên hàm bằng PPĐBS?
Ở các ví dụ mà SGK đưa vào để minh họa cho PPĐBS thì cách đổi biến được cụ thể
hóa rõ ràng theo các bước: đặt ẩn phụ u = u(x) (hay x = x(t)), tính du = u’xdx (hay dx =
x’tdt); đổi cận; thế vào và tính tích phân.
Ví dụ 2: SGK GT 12( (BNC)) tr. 159:
1

Ví dụ 2: Tính

∫

1 − x 2 dx


0

Giải: đặt x = sint. Ta có dx = d(sint) = costdt, 0 = sin0 và 1 = sin

π
2

π
1

Vậy

∫
0

Vì

2

1 − x dx =∫ 1 − sin 2 t .cos tdt .
2

0

 π
t ∈ 0;  nên 1 − sin 2 t =
cos t.
 2

Do đó

π
1

∫
0

π

π

12
1
sin2t 2 π
2
2
1 − x dx =∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt = (t +
) = .
2
2
2
4
0
0
0
2

16


1


Việc tính tích phân

∫

1 − x 2 dx được thực hiện theo đầy đủ các bước như: đặt ẩn

0

phụ x = sint, tính dx = costdt; đổi cận: 0 = sin0 và 1 = sin

π
2

; thế vào và tính tích phân.

1 − x 2 dx thì việc lấy nguyên hàm trực tiếp

Trong ví dụ này, nếu giữ nguyên biểu thức

không thực hiện được vì hàm số trên không nằm trong các hàm có thể lấy nguyên hàm trực
tiếp. Chính vì vậy việc giải bài toán này cần đến ẩn số phụ để có thể chuyển một hàm không
thể lấy nguyên hàm trực tiếp về hàm có thể lấy nguyên hàm trực tiếp được. Việc hàm số

1 − x 2 không thể lấy nguyên hàm trực tiếp cũng có nghiã là hàm số đó không là đạo hàm
của hàm số hợp nào nên nếu chọn đổi biến theo cách 1 thì bài toán rất có khả năng đi vào
ngõ cụt mà việc không nhìn ra được

1 − x 2 không là đạo hàm của hàm số hợp nào là


nguyên nhân chính. Khi SGK thực hiện đổi biến theo cách 2 đã chọn ẩn số phụ x = sint, với

 π
t ∈ 0;  mà không có sự giải thích nào. Với cách chọn biến này, ta có:
 2
1
1 − x 2 dx =1 − sin 2 t cos tdt =
cos 2 tdt = (1 + cos 2t ) dt
2
Hàm số

1
(1 + cos 2t ) là hàm số có thể lấy nguyên hàm trực tiếp nên biểu thức dưới dấu
2

tích phân có thể tìm được nguyên hàm, nhờ vậy tích phân đã cho có thể tính được. Việc
không giải thích về cách chọn biến x = sint cho ví dụ trên dẫn đến việc HS gặp dạng toán
như vậy sẽ đặt ẩn như thế, hoàn toàn không có sự phân biệt để chọn lựa cách đổi biến phù
hợp.
Mặt khác, từ kết quả ghi nhận được ở trên là trong thể chế hiện hành không tồn tại
việc đọc ngược kết quả đạo hàm để tính nguyên hàm. Những điều này làm cho đạo hàm của
hàm số hợp và PPĐBS tồn tại riêng rẽ, không có sự liên kết chặt chẽ. Khi tính tích phân
bằng PPĐBS, HS chỉ chú ý đến việc tìm các biến số trung gian u = u(x) nào phù hợp và
thực hiện việc biến đổi du = du(x) = u’(x)dx để được một tích phân theo biến mới đơn giản
hơn mà không chú ý đến f[u(x)].u’(x) chính là đạo hàm của hàm số hợp F[u(x)]. Nếu HS
nhìn thấy được điều này thì việc chọn biến số trung gian u = u(x) để tính tích phân có thể
được giải thích rõ ràng và hợp lý hơn.
17



Như vậy, trong thể chế hiện hành, giữa PPĐBS và đạo hàm hàm số hợp không có sự
liên kết chặt chẽ. Mặc dù việc sử dụng hàm số hợp, đạo hàm hàm số hợp vào trong PPĐBS
không những giúp xác định biến số phụ u(x) thuận lợi hơn mà còn giúp HS lựa chọn được
cách giải đúng cho bài toán đổi biến số để tìm nguyên hàm, tính tích phân. Tuy nhiên,
những lợi ích này đã không được SGK khai thác triệt để. Chính điều này gây ra sự lúng túng
cho HS khi chọn biến số trung gian u = u(x) hay x = x(t) trong PPĐBS để tính tích phân.
1.1.2 Vấn đề nhận diện dạng của một hàm số cần lấy đạo hàm, tích phân :
1.1.2.1 Nhận diện dạng của một hàm số hợp cần lấy đạo hàm:
Như trên chúng tôi đã phân tích, mặc dù việc sử dụng hàm số hợp, đạo hàm hàm số
hợp vào trong PPĐBS mang lại các lợi ích thiết thực, tuy nhiên, để thực hiện được quá trình
đó còn phụ thuộc vào việc nhìn ra được dạng của các hàm số hợp cần sử dụng. Quá trình
này được trang bị cho HS như thế nào?
1.1.2.1.1. Nhận diện dạng đạo hàm của hàm số hợp trong SGKHH:
Khái niệm hàm số hợp được giới thiệu ở lớp 11 để phục vụ cho việc tính đạo hàm
của hàm số hợp qua công thức g’(x) = f’[u(x)].u’(x) (định lý 4 tr. 201 SGK ĐS & GT 11
(BNC) (2007)). Việc thực hành tính đạo hàm của hàm số hợp chỉ được thực hiện với một số
các hàm đã được nêu như: y = u ( x) ,y = un(x); và các hàm số lượng giác như y =
sin[u(x)]; y = cos[u(x)]; y = tan[u(x)]; y = cot[u(x)]. Về sau, ở lớp 12, việc tính đạo hàm
hàm số hợp được bổ sung các hàm y = au(x); y = logau(x); y = uα(x). Các hàm này đều được
SGK nêu cụ thể công thức tính đạo hàm, công thức tính đạo hàm của hàm số hợp qua các
định lý hay một số hệ quả của định lý.
Khi thực hành lấy đạo hàm của một hàm số hợp thì trước tiên phải nhìn ra được dạng
của hàm số hợp bằng cách dựa vào định nghĩa hàm số hợp để xác định rõ các hàm số trung
gian, từ đó có thể xác định dạng của hàm số hợp và sau đó mới tiến hành lấy đạo hàm. SGK
giới thiệu định nghĩa hàm số hợp là hợp của 2 hàm số y = f(u) và u = u(x), công thức tính
đạo hàm của hàm số hợp y’x = y’u.u’x, nhưng phần bài tập lại sử dụng hàm hợp của 3 hay 4
hàm số. Cụ thể như SGK ĐS & GT 11 (BNC) (2007) có:
Bài tập 29c(tr. 211): y = cos

2 x + 1 có dạng y = h  ( g  f ) với f(x) = 2x+1, g(x) =


x , h(x) = cosx là hàm hợp của 3 hàm số; hay bài tập 33e(tr. 212): y = cos2
18

π
4

− 2 x có


dạng y = i  (h  ( g  f )) với f(x) =

π
4

− 2 x ; g(x) =

x ; h(x) = cosx; i(x) = x2 là hàm hợp của

4 hàm số.
Hay như SBT ĐS & GT 11 (BNC) có bài tập 5.20i tr. 182: y = sin2(cos3x) có dạng y
= i  (h  ( g  f )) với f(x) = 3x, g(x) = cosx, h(x) = sinx, i(x) = x2] là hàm hợp của 4 hàm số.
Mặc dù mong muốn của SGK là muốn HS vận dụng thành thạo công thức y’x = y’u.u’x,
nhưng điều đó lại gây khó khăn cho HS khi tiến hành xác định dạng của hàm số hợp cần
tính đạo hàm.
Bên cạnh đó, định nghĩa hàm số hợp là công cụ duy nhất để HS xác định dạng của
hàm số hợp thì lại được trình bày như là một sự thay thế biến u vào f(u). Việc làm rõ các
biến u(x) thay thế đó để có thể xác định dạng của hàm số hợp là rất quan trọng khi thực hiện
lấy đạo hàm của hàm số hợp nhưng lại không được đề cập đến. Tuy việc xác định hàm số đó
có là hàm số hợp hay không, dạng hàm số hợp là gì cần phải dựa vào phần định nghĩa hàm

số hợp nhưng khi đi vào các bài tập, quá trình này không dựa vào định nghĩa nữa mà chỉ
dựa vào các hệ quả suy ra từ định lý 4 về công thức tính đạo hàm hàm hợp với các dạng
hàm cụ thể như: y = u ( x) ;y = un(x); y = sin[u(x)]; y = cos[u(x)]; y = tan[u(x)]; y = cot[u(x)]
(ở lớp 11); y = au(x); y = logau(x); y = uα(x) (ở lớp 12) mặc dù các công thức này chỉ được sử
dụng khi đã xác định được dạng của hàm số cần lấy đạo hàm.
Với những bài tập tính đạo hàm của hàm số hợp, SGK chỉ cung cấp các công cụ cần
thiết cho việc tính đạo hàm của hàm số hợp mà không chú ý đến việc xác định dạng của
hàm số hợp đó. Công cụ lý thuyết mà SGK sử dụng xác định hàm hợp là định nghĩa hàm
hợp. Tuy nhiên, định nghĩa này cũng chỉ nói đến hàm hợp một cách hình thức như là sự thay
thế các biến, mà không nói đến bản chất là tích các ánh xạ, lại không làm rõ việc xác định
các hàm số trung gian.
1.1.2.1.2. Nhận diện dạng đạo hàm của hàm số hợp trong quá trình dạy học:
Ví dụ sau được chúng tôi ghi nhận qua một tiết dự giờ của giáo viên
Bài tập y = cos

2 x + 1 , (bài tập 29c tr. 211, SGK ĐS & GT 11 (BNC) (2007))

Để giúp HS nhận ra dạng đạo hàm của hàm số hợp cần tính, GV đầu tiên đã phải yêu
cầu HS nhắc lại một số các công thức tính đạo hàm. Sau đó tiến hành đối thoại với HS nhằm
gợi ý cho HS tìm ra được dạng đạo hàm cần tính.
[17]. GV: bài này có thể sử dụng công thức nào để tính đạo hàm của hàm số?

19


[18]. Cả lớp: …
[19]. GV: lưu ý cho Cô thứ 1 là các em phải để ý đến bậc của hàm số lượng giác, ở đây là bậc mấy?
[20]. Cả lớp: dạ, bậc 1.
[21]. GV: còn góc này có phải là x không?
[22]. Cả lớp: thưa cô, không

[23]. GV: vậy hàm số này là cosu. Mời một em lên bảng nhé!
=
y ' (cos 2 x + 1) '

− > cos u

= − sin 2 x + 1( 2 x + 1) '
(2 x + 1) '
= − sin 2 x + 1
2 2x + 1
2
=
− sin 2 x + 1
2 2x + 1
1
=
− sin 2 x + 1
2x + 1

(

)

(

)

(

)


− > (cos u ) ' = − sin u.u '
−>

( u )' =

u'
2 u

Bài giải trên do HS thực hiện và được GV chỉnh sửa, bổ sung. Các dòng chữ ghi bên
cạnh như cosu; (cosu)’ = -sinu.u’;

( u ) ' = 2u 'u

là của GV nhắc lại cho HS bằng ngôn ngữ

nói. Ta có thể thấy, việc xác định dạng của một hàm số hợp không dựa vào định nghĩa về
hàm số hợp mà SGK đã nêu mà chủ yếu dựa vào các công thức đạo hàm đã được SGK cung
cấp. GV thực hiện hướng dẫn HS xác định dạng đạo hàm cần tính, HS không quan tâm đến
việc xác định các hàm số trung gian của hàm số hợp đang xét là gì.
Thực tế dạy học cho thấy quá trình xác định các dạng hàm số hợp tồn tại các quy tắc
ngầm ẩn giữa GV và HS như sau:
-

GV, HS không dựa vào định nghĩa hàm số hợp để xác định dạng hàm số hợp cần tính
đạo hàm mà đều dựa vào các công thức tính đạo hàm để từ đó có thể xác định dạng
của hàm số hợp cần tính đạo hàm.

-


HS bắt buộc phải thuộc các công thức tính đạo hàm mà SGK đã nêu, không quan tâm
đến việc xác định hàm số hợp cần tính đạo hàm là hợp của các hàm số nào, GV có
nhiệm vụ chỉ ra dạng của hàm số hợp cần tính đạo hàm đó.
1.1.2.1.3. Kết luận
Qua đó, chúng tôi nhận thấy các công cụ lý thuyết sử dụng thực hiện bài toán tính

đạo hàm của hàm số hợp được SGK cung cấp đầy đủ. Khi đã xác định được dạng của các
hàm số cần tính đạo hàm, cho dù các hàm số hợp này là hợp của nhiều hơn 2 hàm số, HS
vẫn thực hiện được việc tính đạo hàm. Trong khi đó, các công cụ lý thuyết cho việc nhận
20


dạng một hàm số hợp là không đầy đủ, HS chỉ có duy nhất định nghĩa hàm số hợp theo cách
hình thức như là sự thay thế các biến làm cơ sở cho việc xác định dạng của hàm số hợp. Tuy
nhiên, trong thực hành, việc xác định dạng của hàm số hợp lại nhờ vào các công thức tính
đạo hàm được SGK cung cấp.
1.1.2.2 Nhận diện dạng của một bài toán tính tích phân bằng PPĐBS:
Khi đứng trước một bài toán tính tích phân bằng PPĐBS, việc đầu tiên là HS phải
nhận diện ra dạng của bài toán, đó là với bài toán này thì sẽ chọn cách đặt ẩn số phụ như thế
nào, từ đó sẽ chọn biến thay đổi cho phù hợp. Như đã nêu ở trên, SGK GT 12 (BNC) đã
trình bày cơ sở của PPĐBS khi tính tích phân và 2 cách đổi biến số tùy theo cách chọn biến
u = u(x) hay x = x(t). Đó có thể được xem là các công cụ lý thuyết cần thiết cho bài toán tính
tích phân bằng PPĐBS. Tuy nhiên, vấn đề khi nào thì sử dụng cách đổi biến số nào thì vẫn
chưa được SGK đề cập đến. SGK chỉ nêu ra các ví dụ làm mẫu cho các cách đổi biến số.
Các bài tập trong SGK chủ yếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng f[u(x)]u’(x)dx, khi đó
thực hiện cách đổi biến số bằng cách đặt u = u(x). SGV phần gợi ý trả lời câu hỏi và bài tập
cũng chỉ nêu ra biến u là gì và cho kết quả, hoàn toàn không chỉ ra việc nhận diện dạng của
một bài toán tính tích phân bằng PPĐBS. Cả SGK và SGV đều thực hiện việc đặt biến mới
u và tìm nguyên hàm theo biến mới u đó
Đối với loại đổi biến số x = x(t), ngoài ví dụ 2 tr. 159 Sách GT 12 (BNC) đã nêu ở

trên, SGK còn có một ví dụ khác trong bài Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và
thế tích vật thể là ví dụ 5 tr. 163 SGK 12 (BNC), ngoài ra không thấy xuất hiện trong các
bài tập khác. Tuy chỉ có 2 ví dụ trong SGK sử dụng nhưng loại đổi biến số này vẫn là một
nội dung quan trọng đối với HS. Với loại đổi biến số này, SGK GT 12 minh họa hai cách
đặt biến số mới tương ứng với các trường hợp sau:
Trường hợp 1: biểu thức dưới dấu tp có chứa
Phương pháp: đặt x = asint, −

π
2

≤t ≤

a2 − x2

π
2

(hoặc x = acost, 0 ≤ t ≤ π )

Trường hợp 2: biểu thức dưới dấu tích phân có chứa (x2 + a2) trong căn bậc 2 hoặc ở
mẫu số (hoặc tam thức bậc 2 vô nghiệm)

π π

Phương pháp: đặt x = atant, t ∈ (− ; )
2 2
Cả hai trường hợp này đều xuất hiện trong SGK GT 12, trường hợp 1 cho sách
(BNC) và trường hợp 2 cho sách (BCB). Như trong ví dụ 2 ở SGK GT 12 (BNC) tr.159:
21



1

Tính

∫

1 − x 2 dx ở trên đã nêu, hàm số dưới dấu tích phân có dạng

a 2 − x 2 , như vậy chỉ

0

cần đặt x = sint (a=1), thì bài toán giải quyết được. Hay như ví dụ 5 SGK GT 12 (BCB)
1

tr.108: Tính

1

∫1+ x

2

dx ,hàm số dưới dấu tích phân có chứa biểu thức dạng (a + x2) ở mẫu số

0

nên biến mới sẽ là x = tant (a=1). SGK không chỉ ra việc hàm số dưới dấu tích phân có dạng

f[u(x)]u’(x)dx hay không hay tại sao bài toán này phải giải bằng PPĐBS và tại sao bài toán
này cần phải đặt biến số mới như vậy.
Do trong thể chế hiện hành không tồn tại việc đọc ngược kết quả đạo hàm để lấy
nguyên hàm nên để có thể tìm nguyên hàm của hàm số thì quá trình thực hiện đổi biến số
phải nhờ vào biến u mới. Mặt khác, quá trình nhận diện dạng của một hàm số hợp để lấy
đạo hàm lại chỉ nhờ vào các công thức tính đạo hàm được SGK cung cấp mà không phải
dựa vào định nghĩa hàm số hợp để xác định các hàm số trung gian nên việc xác định các
biến số u mới cần thiết gặp khó khăn. Khi minh họa các ví dụ cho các cách đổi biến số,
SGK cũng chỉ chủ yếu cho HS thấy được việc đặt biến u là gì, không có sự giải thích tại sao
với hàm số này lại chọn biến u như vậy, không sử dụng đạo hàm hàm số hợp để giúp HS
nhận dạng hàm số dưới dấu tích phân mà chọn cách đổi biến cho phù hợp.
Các công thức nguyên hàm được giới thiệu trong SGK chỉ giúp HS tìm ra nguyên
hàm của các hàm số khi cần thiết, không giúp HS nhận diện được dạng của hàm số cần lấy
nguyên hàm. Tuy nhiên, cũng sẽ giống như việc tính đạo hàm của hàm số hợp, trong thực
hành thì các công thức này lại đóng một vai trò quan trọng trong quá trình tìm kiếm biến u
phù hợp cho bài toán.
Do không được chuẩn bị trước về việc nhận diện dạng của các hàm số cần lấy
nguyên hàm cũng như cách chọn biến u cho phù hợp nên để giải quyết các dạng bài tập
được đưa vào, trong quá trình dạy và học, giữa GV và HS tồn tại một số quy tắc ngầm ẩn:
- GV chỉ ra các dạng bài tập đổi biến số và các cách đặt ẩn tương ứng, HS ghi nhớ
các cách đặt ẩn tương ứng đó.
- GV có nhiệm vụ cho HS các công thức nguyên hàm bổ sung với biến u, du như:
− cos u + C ; ∫ e du =
e + C ; ∫u
∫ sin udu =
u

u

α


du =+
uα +1 C .... HS có nhiệm vụ học thuộc các

công thức tính nguyên hàm đó, dùng nó để xác định dạng của một bài toán tính tích
phân bằng PPĐBS.
22


Như vậy, công cụ lý thuyết mà SGK sử dụng để nhận dạng bài toán đổi biến số tích
phân chính là đạo hàm hàm số hợp. Tuy nhiên, đạo hàm hàm số hợp chỉ được dùng để
chứng minh công thức đổi biến số trong PPĐBS tích phân, không được sử dụng để giúp học
sinh nhận diện dạng bài toán đổi biến số tích phân. HS chỉ được cung cấp các cơ sở lý
thuyết về PPĐBS, các cách đổi biến số. Các công cụ lý thuyết về việc nhận diện dạng của
một bài toán tính tích phân bằng PPĐBS chưa được khai thác hiệu quả. Trong thực hành,
HS chỉ nhớ đến các công thức nguyên hàm của các hàm số, các bước để thực hiện việc đổi
biến số là: tìm biến số phụ u, tính du, thay vào đề bài và tìm nguyên hàm từ biến u; các cách
đặt biến mới u tương ứng với các dạng hàm số đã cho.

1.2. Vấn đề đặt ẩn phụ cho PPĐBS trong phép tính tích phân
1.2.1. Hiện trạng dạy và học PPĐBS trong phép tính tích phân
Tích phân là một nội dung trọng tâm trong chương trình, SGK Toán hiện hành. Tích
phân xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi tốt nghiệp THPT, kì thi tuyển sinh vào
Đại học. Chính vì vậy, việc dạy và học nội dung này cũng hết sức quan trọng. Tuy nhiên, từ
các kết quả phân tích được nêu ra ở trên như: việc tính đạo hàm của hàm số hợp chỉ được
thực hiện như một phép thay chữ hình thức, hay trong thể chế hiện hành, không tồn tại việc
đọc ngược kết quả đạo hàm để tính nguyên hàm làm cho cách chọn biến mới u = u(x) (hay x
= x(t)) trong tích phân xác định trở nên khó giải thích. Chính vì điều này nên khi dạy tích
phân bằng PPĐBS, GV phải đưa vào một số các quy tắc đặt ẩn số mới để giảm sự mơ hồ
cho HS trong việc chọn biến số mới. Ngoài ra, PPĐBS và đạo hàm của hàm số hợp được

SGK trình bày như hai phần kiến thức riêng rẽ mà không có sự liên kết chặt chẽ với nhau.
Thêm vào đó, chính do thiếu đi sự can thiệp của hàm hợp nên vấn đề nhận diện dạng của
hàm số hợp khi lấy đạo hàm cũng như việc nhận diện dạng bài toán đổi biến số khi tính tích
phân đã không được cung cấp đầy đủ các yếu tố công nghệ-lý thuyết, HS chỉ nhận diện
dạng bài toán một cách hình thức, máy móc nhờ vào một số quy tắc được GV cung cấp và
chúng trở thành các yếu tố công nghệ - lý thuyết lý giải cho việc nhận diện này. Những điều
trên đã ít nhiều ảnh hưởng đến quá trình dạy-học nội dung PPĐBS trong phép tính tích phân
của GV-HS.
Theo Trần Lương Công Khanh (2006), La notion d’intégrale dans l’enseignement des
mathématiques au lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam, thèse de
23