BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Phi Long

MỞ RỘNG T* VÀ KHÔNG GIAN
CÁC ĐẠO HÀM PHẢN XỨNG CỦA MỘT SỐ
ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG 6 CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Phi Long
MỞ RỘNG T* VÀ KHÔNG GIAN
CÁC ĐẠO HÀM PHẢN XỨNG CỦA MỘT SỐ
ĐẠI SỐ LIE TOÀN PHƯƠNG 6 CHIỀU
Chuyên ngành: Hình học và Tôpô
Mã số: 60 46 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC :
PGS.TS. LÊ ANH VŨ

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân tôi
dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Anh Vũ và TS Dương Minh Thành.
Những kết quả trong luận văn này mà không được trích dẫn là những kết quả
tôi đã nghiên cứu được.
Nguyễn Phi Long.


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Mục lục
Danh mục các ký hiệu
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
Chương 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN ................... 5
1.1. Đại số Lie ............................................................................................... 5
1.2. Đại số Lie toàn phương .......................................................................... 9
Chương 2. TÍCH NỬA TRỰC TIẾP CỦA MỘT ĐẠI SỐ LIE BỞI BIỂU
DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP ................................................................................... 12
2.1. Các định nghĩa. ..................................................................................... 12
2.2. Các ví dụ. .............................................................................................. 14
Chương 3. MỞ RỘNG T* CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC 3 CHIỀU
......................................................................................................................... 18
3.1. Định nghĩa 3.1. ..................................................................................... 18
3.2 Mở rộng T* của các đại số Lie giải được 3 chiều. ............................... 21
3.3. Không gian các đạo hàm phản xứng của các đại số Lie toàn phương
giải được 5 và 6 chiều bất khả phân. ........................................................... 24
KẾT LUẬN .................................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 40



DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Aut (V): nhóm các tự đẳng cấu trên không gian vectơ V.
Aut g : nhóm các tự đẳng cấu tuyến tính trên g.
 : trường số phức.

C k (g,V ) : không gian các ánh xạ k tuyến tính phản xứng từ
End(V) : không gian các đồng cấu trên không gian vectơ V.
g * : không gian đối ngẫu của đại số Lie g

.

GL(n,R): nhóm tuyến tính tổng quát cấp n hệ số thực.
Lie( g ) : đại số Lie của nhóm Lie g .
Span{X,Y} : không gian sinh bởi X,Y.
Tθ* (g) : mở rộng T* của g bởi θ .

g × g × ... × g vào V


1

MỞ ĐẦU
Các không gian véctơ trong luận văn này được xét chủ yếu trên trường số
phức  và hữu hạn chiều.
Như chúng ta đã biết, dạng Killing là một công cụ hữu ích trong việc
nghiên cứu các đại số Lie nửa đơn nhờ tính chất đối xứng, bất biến và không
suy biến của nó, chẳng hạn như trong chứng minh của Định lý KostantMorosov trong Lý thuyết Lie. Nhắc lại rằng Định lý Kostant- Morosov là định
lý đóng vai trò trung tâm trong bài toán phân loại các quỹ đạo phụ hợp của

các đại số Lie cổ điển o(m) và sp(2n) (xem tài liệu [4], [9] để biết thêm chi
tiết). Một câu hỏi đặt ra ở đây rằng liệu có tồn tại những đại số Lie mà trên đó
có một dạng song tuyến tính đối xứng, bất biến và không suy biến không? Ta
gọi các đại số Lie đó là các đại số Lie toàn phương. Tất nhiên theo Tiêu
chuẩn Cartan ta chỉ xét câu hỏi này cho lớp các đại số Lie giải được và câu trả
lời là có, một ví dụ cho chúng là đại số Lie kim cương g = span {Z , P, Q, X } với
tích Lie được xác định: [ X , P] = P , [ X , Q] = −Q và [ P, Q] = Z , dạng song tuyến
( X , Z ) B=
( P, Q) 1 , các trường hợp khác bằng 0.
tính đối xứng được cho bởi B=

Đây là một đại số Lie giải được bốn chiều đã được nghiên cứu khá nhiều
trong Lý thuyết Lie. Chúng ta sẽ thấy trong luận văn thực chất đại số Lie kim
cương là một mở rộng T* của đại số Lie giải được không giao hoán 2 chiều.
Một ví dụ khác cũng khá quen thuộc trong Lý thuyết các đại số Lie như sau:
cho g là một đại số Lie và g* là không gian đối ngẫu của g . Biểu diễn đối
phụ hợp ad * : g → End ( g* ) được định nghĩa bởi
ad * ( X )( f )(Y ) = − f

([ X , Y ]) với mọi

hoặc tương đương: ad * ( X )( f ) = − f  ad ( X ) .

X , Y ∈ g và f ∈ g* .


2

Ta xét tích nửa trực tiếp h = g ⊕ g* bởi ánh xạ ad * như sau:


[ X , Y ]h = [ X , Y ]g , [ X , f ] = ad * ( X )( f ) ,

[ f , g] = 0

hoặc tương đương: [ X + f , Y +=
g ] [ X , Y ]g + f  ad (Y ) − g  ad ( X )
Khi đó h trở thành một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến tính bất
biến được định nghĩa bởi :
B ( X + f , Y + g ) = f (Y ) + g ( X ) với mọi X , Y ∈ g và f , g ∈ g *.

Lưu ý rằng, có những đại số Lie không có tính chất như thế, ví dụ đại số
Lie giải được 2 chiều g = span{X, Y} với [X,Y] = Y , đại số Lie Hersenberg 3
chiều hoặc kiểu tổng quát 2n+1 chiều, hoặc đại số Lie filiform.
Câu hỏi liên quan đến sự tồn tại của các đại số Lie toàn phương đã được
đặt ra từ lâu nhưng gần đây mới được quan tâm nghiên cứu khi xuất hiện
nhiều công cụ dành cho chúng (xem [3], [9], [11],[13] ) trong đó mở rộng T*
là một công cụ khá hữu dụng để làm việc trên các trường hợp giải được. Bản
thân khái niệm đại số Lie toàn phương và công cụ mở rộng T* hoàn toàn có
thể tổng quát lên cho trường hợp các siêu đại số Lie toàn phương [2] hoặc áp
dụng cho nhiều đại số không kết hợp khác [3].
Trong luận văn này chúng tôi sẽ tiếp cận các đại số Lie toàn phương theo
hướng quen thuộc, đó là tiếp cận theo hướng thấp chiều. Vì mở rộng T* đối
với trường hợp 1 chiều và 2 chiều khá tầm thường nên chúng tôi sẽ bắt đầu từ
trường hợp 3 chiều. Cách tiếp cận này có lợi điểm ở chỗ có thể xem xét nhiều
khái niệm khá phức tạp của lớp các đại số Lie toàn phương trên những ví dụ
cụ thể ở chiều thấp và sau đó tổng quát trở lại các khái niệm đó. Điều này sẽ
giúp cho việc nghiên cứu các đại số Lie toàn phương dễ dàng hơn. Một lợi
điểm khác là thông qua việc phân loại hoặc nghiên cứu các tính chất đáng chú



3

ý trên các đại số Lie toàn phương thấp chiều, chúng ta sẽ đưa ra được nhiều ví
dụ cho lớp các đại số Lie toàn phương để từ đó hi vọng sẽ tìm thấy những đối
tượng hoặc công cụ nghiên cứu mới. Vì những lý do trên cho nên bài toán
phân loại ở các chiều thấp rồi sau đó tăng dần số chiều luôn được giải quyết
song song với bài toán nghiên cứu các tính chất tổng quát trong nghiên cứu
các đại số hữu hạn chiều. Ví dụ các đại số Lie toàn phương giải được đến 4
chiều đã được phân loại trong [14], trường hợp 5 chiều đã được xét trong [6],
phân loại các đại số Lie toàn phương lũy linh đến 7 chiều có thể được tìm
thấy trong [7] .
Vì các đạo hàm phản xứng đóng một vai trò quan trọng trong nghiên cứu
các đại số Lie toàn phương, cụ thể là trong phương pháp mở rộng kép. Do đó
trong luận văn này chúng tôi sẽ tính toán một cách cụ thể không gian các đạo
hàm phản xứng của các đại số Lie giải được 6 chiều thu được từ mở rộng T*
của các đại số Lie giải được 3 chiều. Từ những tính toán này, chúng tôi hi
vọng sẽ thu được toàn bộ những mở rộng kép của những đại số Lie toàn
phương này.
Nội dung chính của luận văn được chia thành ba chương. Chương 1 chủ
yếu dành để nhắc lại một số khái niệm và những kết quả cần thiết liên quan
đến các đại số Lie toàn phương. Ở đây chúng tôi sẽ trình bày thêm kết quả
phân loại đến đẳng cấu đẳng cự các đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều
đã được thực hiện trong [10]. Phân loại này dựa theo phương pháp mở rộng
kép (xem [9] và [11]) khác với mở rộng T* được đề cập trong luận văn.
Chương 2 dành cho việc liệt kê trường hợp đặc biệt của mở rộng T*, đó là
tích nửa trực tiếp của một đại số Lie giải được 3 chiều bởi biểu diễn đối phụ
hợp. Chương 3 sẽ giới thiệu khái niệm mở rộng T* được đưa ra đầu tiên trong
[3]. Bằng cách tính toán cụ thể các 2-đối chu trình cyclic, chúng tôi đã liệt kê
toàn bộ các mở rộng T* của các đại số toàn phương giải được 3 chiều. Từ kết



4

quả này chúng tôi nhận được phân loại các đại số Lie toàn phương giải được 6
chiều như trong Chương 1. Tiếp theo của chương là những tính toán chi tiết
để thu được một mô tả cụ thể không gian các đạo hàm phản xứng của các đại
số toàn phương giải được 6 chiều bất khả phân. Phần cuối của luận văn dành
để bình luận các kết quả và đề xuất một vài bài toán mở.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê
Anh Vũ và TS Dương Minh Thành. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
2 thầy Lê Anh Vũ và Dương Minh Thành. Xin chân thành cám ơn các thầy
trong Tổ Hình học, Khoa Toán – Tin Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ Chí
Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm
việc hiệu quả trong quá trình học cao học. Chân thành cảm ơn Ban giám hiệu,
Phòng Khoa học Công nghệ và Sau đại học Trường Đại học Sư Phạm Tp. Hồ
Chí Minh, Ban giám hiệu trường THPT Vĩnh Kim cùng toàn thể quý đồng
nghiệp, bạn bè, gia đình đã động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả hoàn
thành luận văn này.


5

Chương 1. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN
Chương này chủ yếu nhắc lại một số khái niệm và những kết quả cần
thiết liên quan đến các đại số Lie toàn phương như: định nghĩa đại số Lie, đại
số Lie con, ideal, đại số Lie toàn phương …đồng thời trình bày thêm kết quả
phân loại đến đẳng cấu đẳng cự các đại số Lie toàn phương dựa theo phương
pháp mở rộng kép.
1.1. Đại số Lie
Định nghĩa 1.1.1

Một không gian véctơ g trên trường  được gọi là một đại số Lie trên
trường  nếu trên g đã cho một phép nhân [.,.] (được gọi là móc Lie),

[.,.] : g × g → g
( x, y )  [ x, y ]
sao cho các tiên đề sau được thỏa mãn:
(i) Song tuyến tính:

[λ1 x1 + λ2 x2 , y ] = λ1 [ x1 , y ] + λ2 [ x2 , y ]
[ x, λ1 y1 + λ2 y2 =]

λ1 [ x, y1 ] + λ2 [ x, y2 ]

∀λ1 , λ2 ∈ , x1 , x2 , y1 , y2 , x, y ∈ g

(ii) Phản xứng: [ x, x ] = 0, ∀x ∈ g
(iii) Thỏa mãn đồng nhất thức Jacobi:
[[ x, y ], z ] + [[ y, z ], x] + [[ z , x], y ] =
0 , ∀x, y, z ∈ g

Số chiều của đại số Lie g chính là số chiều của không gian véctơ g .
Cho g là một không gian hữu hạn chiều trên trường  . Giả sử số chiều


6

của g là n. Cấu trúc đại số Lie trên g có thể được cho bởi móc Lie của từng
cặp véctơ thuộc cơ sở {e1 , e2 ,..., en } đã chọn trước trên g như sau:
ei , e j 
=


n

∑c e ,
k =1

k
ij k

1≤ i < j ≤ n.

Các hệ số cijk , 1≤ i < j ≤ n được gọi là các hằng số cấu trúc của đại số Lie g
trong cơ sở được chọn.
Ví dụ 1.1.2.
a. Không gian  n với móc Lie [ x, y ] ≡ 0 (tầm thường) hiển nhiên là
một đại số Lie. Đại số Lie mà móc Lie tầm thường, được gọi là đại số Lie
giao hoán.
b. Không gian  3 với tích có hướng thông thường là một đại số Lie
thực 3 chiều.
c. Cho A là một đại số kết hợp trên trường  . Với mọi cặp ( x, y ) ∈ A ,
ta định nghĩa [ x, y=] xy − yx , khi đó A trở thành một đại số Lie. Nói riêng, đại
số Lie Mat(n,  ) các ma trận vuông cấp n trên  là một đại số Lie với móc
Lie [ A, B ] = AB − BA, ∀A, B ∈ Mat ( n,  ) , và được kí hiệu là gl(n,  ) .
d. Đặc biệt, xét đại số các toán tử tuyến tính End(V) trên  -không gian
véctơ V . Khi đó, End (V ) trở thành đại số Lie với móc Lie được xác định như
sau: [ A=
, B ] A  B − B  A , ∀A, B ∈ End (V ) . Đại số Lie này được gọi là đại số
Lie tuyến tính tổng quát và được kí hiệu là gl(V) .



7

Định nghĩa 1.1.3. Đại số Lie con, ideal, ideal dẫn xuất [ g , g ] và ideal tâm.
(i) Không gian con h của đại số Lie g được gọi là đại số Lie con của g ,
nếu [ x, y ] ∈h với mọi x, y ∈h .
(ii) Không gian con i của đại số Lie g được gọi là ideal của g nếu

[ x, y ] ∈ i

với mọi x ∈ g và y ∈ i.

(iii)
=
[ g, g] {[ x, y ] | x, y ∈ g} gọi là ideal dẫn xuất của g .
Ví dụ 1.1.4.
(i) Xét đại số Lie gl(n,  ), kí hiệu
n


0
sl ( n,  ) =

( aij ) ∈ gl ( n,  ) / ∑ aii =
A =
i =1



là không gian các ma trận vuông cấp n có vết bằng không (trong đó vết của
ma trận vuông là tổng của các phần tử trên đường chéo chính) trong gl(n,  ).

b ( n,  )=


{ A= ( a ) ∈ gl ( n,  ) / a =
ij

ij

}

0,1 ≤ j < i ≤ n

là không gian các ma trận tam giác trên trong gl(n,  ).
n ( n,  )=

{ A= ( a ) ∈ gl ( n,  ) / a =
ij

ij

}

0,1 ≤ j ≤ i ≤ n

là không gian các ma trận tam giác trên chặt chẽ trong gl(n,  ).
Khi đó sl(n,  ), b(n,  ) và n(n,  ) đều là các đại số Lie con của gl(n,  ).
Đặc biệt, sl(n,  ) là một ideal của gl(n,  ) và n(n,  ) là một ideal của b(n,  ).
(ii) Đại số Lie các toán tử vi phân Der ( A ) là đại số Lie con của gl( A ).



8

(iii) Kí hiệu Z ( g ) là tập hợp tất cả các phần tử giao hoán với g , tức là
Z ( g) =

{ x ∈ g / [ x, y ] =

0, ∀y ∈ g} (được gọi là tâm của đại số Lie g ). Rõ ràng

Z ( g ) là một ideal của g .

Định nghĩa 1.1.5:
Cho g 1 , g 2 là hai  -đại số Lie. Đồng cấu đại số Lie là ánh xạ  -tuyến
tính ϕ : g1 → g2 sao cho ϕ bảo toàn móc Lie, tức là:
ϕ ( [ x, y ] ) =
ϕ ( x ) , ϕ ( y ) 

( ∀x, y ∈ g1 )

Nếu ϕ là đẳng cấu tuyến tính thì đồng cấu đại số Lie ϕ được gọi là
đẳng cấu đại số Lie.
Định nghĩa 1.1.6 Biểu diễn phụ hợp và biểu diễn đối phụ hợp
Cho G là nhóm Lie tùy ý và g = Lie(G) là đại số Lie của G. Ký hiệu g*
là không gian đối ngẫu của đại số Lie(G). Với mỗi g ∈ G ta có tự đẳng cấu:
A( g ) : G → G được xác định như sau:
−1
A=
( g ) ( x ) : g .x.g , ∀x ∈ G .

Tự đẳng cấu trên cảm sinh ánh xạ sau:

A( g )
=
*

( L .R ) : g → g
g

g −1

X  A( g ) ( X ) :=
*

d
 g .exp ( tX ) g −1  |t =0
dt

được gọi là ánh xạ tiếp xúc của A( g ) .
Tác động
Ad : G → Aut ( g )
g  Ad (=
g ) : A=
(g)
*

( L .R )
g

g −1 *



9

được gọi là biểu diễn phụ hợp của G trong g .
Tác động (được cảm sinh bởi biểu diễn phụ hợp Ad của G trong g ).
K : G → Aut ( g* )
g  K ( g ) := K ( g )

sao cho
=
K( g ) F , X :

F , Ad ( g −1 ) X ;

( F ∈ g , X ∈ g)
*

được gọi là biểu diễn đối phụ hợp hay K-biểu diễn của G trong g* .
Ở đây F , X , F ∈ g* , X ∈ g là chỉ giá trị của dạng tuyến tính F ∈ g*
tại trường véctơ (bất biến trái) X ∈ g .
1.2. Đại số Lie toàn phương
Định nghĩa 1.2.1. Cho một đại số Lie phức hữu hạn chiều g . Một dạng song
tuyến tính B : g × g →  được gọi là:
(i)

đối xứng nếu B( X , Y ) = B(Y , X )

(ii)

không suy biến nếu B( X , Y ) = 0 , ∀Y ∈ g thì X = 0 ,


(iii)

bất biến (hay còn gọi là kết hợp) nếu B ([ X , Y ] , Z ) = B ( X , [Y , Z ]) với

với mọi X , Y ∈ g ,

mọi X , Y , Z ∈ g .
Một đại số Lie trên đó tồn tại một dạng song tuyến tính, đối xứng, không
suy biến và bất biến được gọi là một đại số Lie toàn phương.
Cho ( g, B ) là một đại số Lie toàn phương và V là một không gian vector
con

của

g.

Ta

kí

hiệu

thành

phần

trực

V ⊥ = { X ∈ g | B( X , Y ) = 0, ∀Y ∈ V } . Khi đó ta có đẳng thức:


giao

của

V

bởi


10

dim(V ) + dim(V ⊥ ) =
dim(g).

Một phần tử X trong g được gọi là tự đẳng hướng nếu B( X , X ) = 0 . Một
không gian con V của g được gọi là tự đẳng hướng hoàn toàn nếu B( X , Y ) = 0
với mọi X , Y ∈ V . Trong trường hợp này, hiển nhiên ta có V ⊂ V ⊥ .
Từ tính chất bất biến và không suy biến của dạng song tuyến tính xác
định trên g , ta dễ dàng chứng minh được [ g, g] = Z (g)⊥ . Do đó Z (g) tự đẳng
hướng hoàn toàn khi và chỉ khi Z (g) ⊂ [ g, g] . Một kết quả trong [12] nói rằng
nghiên cứu các đại số Lie toàn phương có thể quy về nghiên cứu các đại số
Lie toàn phương có tâm tự đẳng hướng hoàn toàn (sai khác một ideal tâm
không suy biến). Bên cạnh đó, nghiên cứu các đại số Lie toàn phương cũng có
thể quy về nghiên cứu các đại số Lie toàn phương bất khả phân bởi phân tích
trong mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2.2 [3]
Cho ( g, B ) là một đại số Lie toàn phương và I là một ideal của g . Khi
đó I ⊥ cũng là một ideal của g . Hơn nữa, nếu thu hẹp của B trên I × I không
suy biến thì thu hẹp của B trên I ⊥ × I ⊥ cũng không suy biến,  I , I ⊥  = {0} và
I ∩I⊥ =

{0} .

Nếu thu hẹp của của B trên I × I không suy biến thì ta gọi I là một ideal
không suy biến của g . Trong trường hợp này g= I ⊕ I ⊥ . Khi đó, để thích hợp
⊥

ta sử dụng kí hiệu g= I ⊕ I ⊥ .
Định nghĩa 1.2.3. Ta nói đại số Lie toàn phương g bất khả phân nếu có
⊥

g= g1 ⊕ g2 thì g1 hoặc g2 = {0} .

Định nghĩa 1.2.4. Cho ( g, B ) và ( g ', B ') là hai đại số Lie toàn phương. Ta nói


11

( g, B ) và ( g ', B ') đẳng cấu đẳng cự nếu tồn tại một đẳng cấu đại số Lie
A : g → g ' thỏa mãn
B ' ( A( X ), A(Y ) ) = B( X , Y ) , ∀X , Y ∈ g .

Trong trường hợp này ta cũng nói A là một đẳng cấu đẳng cự. Như vậy,
A là một đẳng cấu đẳng cự nếu và chỉ nếu A vừa là đẳng cấu vừa là đẳng cự.

Cuối cùng trong phần này chúng tôi nhắc lại kết quả phân loại các đại số
Lie toàn giải được 6 chiều bằng phương pháp mở rộng kép được đưa ra trong
[11] như sau:
Mệnh đề 1.2.5. Cho ( g, B ) là đại số Lie toàn phương giải được 6 chiều. Giả
sử g bất khả phân và g = span {Z1 , Z 2 , Z3 , X 1 , X 2 , X 3 } , ở đây dạng song tuyến tính
đối xứng B được xác định bởi B( X i , Z j ) = δ ij , 1 ≤ i, j ≤ 3 , các trường hợp còn lại

bằng 0. Khi đó g đẳng cấu với một trong các đại số Lie sau đây:
(i)

g6,1 : [ X 1 , X 2 ] = Z 3 , [ X 2 , X 3 ] = Z1 và [ X 3 , X 1 ] = Z 2 .

(ii)

g6,2 (λ ) :

[ X 3 , Z1 ] = Z1 , [ X 3 , Z 2 ] = λ Z 2 , [ X 3 , X 1 ] =

− X1 ,

[ X3, X 2 ] =

−λ X 2

[ Z1 , X 1 ] = Z3 và [ Z 2 , X 2 ] = λ Z3 với λ ≠ 0 . Trong trường hợp này,
g6,2 (λ1 ) và g6,2 (λ2 ) đẳng cấu nếu và chỉ nếu λ1 = ±λ2 hoặc λ1 = λ2 −1 .

(iii)

g6,3 :

[ X 3 , Z1 ] = Z1 , [ X 3 , Z 2=]

Z1 + Z 2 ,

Z1 , X 1 ] [ Z=
Z 2 , X1 ] Z3 .

và [=
[=
2, X2 ]

− X1 − X 2 , [ X 3 , X 2 ] =
[ X 3 , X1 ] =

−X2


12

Chương 2. TÍCH NỬA TRỰC TIẾP CỦA MỘT ĐẠI SỐ
LIE BỞI BIỂU DIỄN ĐỐI PHỤ HỢP
2.1. Các định nghĩa.
Cho g là một đại số Lie, V là một không gian véctor và ϕ : g × g → V là
một ánh xạ song tuyến tính. Trên không gian véctor g= g ⊕ V ta định nghĩa
phép toán
v] [ X , Y ] + ϕ ( X , Y ) ,
[ X + u, Y +=

∀X , Y ∈ g , u , v ∈ V .

Mệnh đề 2.1.1 Không gian véctor g là một đại số Lie nếu và chỉ nếu ϕ là
ánh xạ phản xứng và thỏa mãn điều kiện
ϕ ([ X , Y ] , Z ) + ϕ ([Y , Z ] , X ) + ϕ ([ Z , X ] , Y ) = 0, ∀X , Y , Z ∈ g .

Trong trường hợp này V sẽ chứa trong tâm của g nên người ta gọi g là
mở rộng tâm của g bởi V (theo ánh xạ ϕ ).
Chứng minh :

v]
Ta chỉ cần kiểm tra móc [ X + u, Y +=
[ X , Y ] + ϕ ( X , Y ) ∀X , Y ∈ g ,
u , v ∈ V là móc Lie trên g .

Thật vậy:
v]
( i )                [ X + u, Y +=
[ X ,Y ]

+ ϕ ( X ,Y )

= − [Y , X ] − ϕ (Y , X )
= − ([Y , X ] + ϕ (Y , X ))
= − [Y + v, X + u ] .
(ii) Đồng nhất thức Jacobi:


13

[ X + u,[ Y + v, Z + w  ]

+ [ Y + v,  Z + w, X + u  ] + [ Z + w,  X + u , Y + v]] =

[ X + u,[ Y , Z ] + ϕ (Y , Z ) ]+[ Y + v, [ Z , X ] + ϕ ( Z , X )] + [ Z + w,[ X , Y ] + ϕ ( X , Y )] =
[ X ,[ Y , Z ]] + ϕ ( X , [Y , Z ]) + [Y ,[ Z , X ]] + ϕ (Y , [ Z , X ]) + [ Z ,[ X , Y ]] + ϕ ( Z , [ X , Y ]) =
[ X , [Y , Z ] + [Y [ Z , X ]+[ Z , [ X , Y ]] + ϕ ( X , [Y , Z ]) + ϕ (Y , [ Z , X ]) + ϕ ( Z , [ X , Y ]) =
0. 
Vậy g cùng với móc Lie được định nghĩa như trên tạo thành 1 đại số Lie.
Cho g là một đại số Lie, V là một không gian vector và π : g → End (V )

là một ánh xạ tuyến tính. Trên không gian véctor g= g ⊕ V ta định nghĩa phép
toán
v ] [ X , Y ] + π ( X )v − π (Y )u ,
[ X + u, Y +=

∀X , Y ∈ g , u , v ∈ V .

Mệnh đề 2.1.2. Không gian véctor g là một đại số Lie nếu và chỉ nếu π thỏa
mãn điều kiện
π ([ X , Y ]) = π ( X ) , π (Y )  , ∀X , Y ∈ g .

Chứng minh. Tính chất phản xứng của phép toán được định nghĩa như trên là
hiển nhiên. Lấy X , Y , Z ∈ g và u, v, w ∈ V , ta có:
[ X + u , Y + v ] , Z + w
 [ X , Y ] + π ( X )v − π (Y )u, Z + w
=
=[ X , Y ] , Z  + π ([ X , Y ]) w − π ( Z )  π ( X )v + π ( Z )  π (Y )u.

Phép toán thỏa mãn Đồng nhất thức Jacobi nếu và chỉ nếu:
0
π ([ X , Y ]) w + π ([Y , Z ])u + π ([ Z , X ])v − [π ( X ), π (Y )]w − [π (Y ), π ( Z )]u − [π ( Z ), π ( X )]v =

0 . Vì điều này đúng
Cho u = v = 0 ta được π ([ X , Y ]) w − [π ( X ), π (Y )] w =

với mọi w nên π ([ X , Y ]) = [π ( X ), π (Y )] . 


14


Nói một cách khác, không gian véctor g là một đại số Lie nếu và chỉ nếu
π là một biểu diễn của g trong V . Trong trường hợp này ta nói g là tích nửa

trực tiếp của g với V bởi biểu diễn π .
Bây giờ ta xét trường hợp cụ thể π = ad * là biểu diễn đối phụ hợp của g
trong g* , khi đó ad * : g → End ( g* ) , ad * ( X )( f ) = − f  ad ( X ) , ∀X ∈ g , f ∈ g* . Tích
nửa trực tiếp g= g ⊕ g* của g với g* bởi biểu diễn đối phụ hợp có tích Lie
được xác định như sau:

[ X + f , Y + g=] [ X , Y ] + ad * ( X )( g ) − ad * (Y )( f ) , ∀X , Y ∈ g ,
Điều này tương đương với

[ f , g ]g = 0 với mọi

[ X , Y ]g = [ X , Y ]g , [ X , f ]g =

f , g ∈ g* .
− f  ad ( X )

và

X , Y ∈ g , f , g ∈ g* .

2.2. Các ví dụ.
Ví dụ 2.2.1. Xét đại số Lie giải được 2 chiều g = span { X , Y } với tích Lie

[ X , Y ] = Y . Khi đó biểu diễn đối phụ hợp

( )


ad * : g → End g* được xác định như

sau:

( )

( )

( )

( )

ad * ( X ) X * = 0 , ad * ( X ) Y * = −Y * , ad * (Y ) X * = 0 và ad * (Y ) Y * = X * .

Do đó tích Lie trên tích nửa trực tiếp g= g ⊕ g* của g với g* bởi ad * được
cho bởi :

[ X ,Y ] = Y ,

 X , Y *  = −Y * và Y , Y *  = X * .

Đây chính là đại số Lie kim cương giải được 4 chiều.
Ví dụ 2.2.2. Cho g là một đại số Lie giải được 3 chiều. Như ta đã biết, phân
loại của các đại số Lie giải được 3 chiều được cho như sau:
(i)

g3,1 : [ X , Y ] = Z ,


15


(ii)

g3,2 : [ X , Y ] = Y , [ X , Z ]= Y + Z

(iii)

g3,3 : [ X , Y ] = Y , [ X , Z ] = µ Z với µ ≤ 1 .

Khi đó biểu diễn đối phụ hợp ad * : g → End (g* ) được xác định như sau :
(i)

ad * ( Z ) X * = 0 ,

( )

ad * ( Z ) Y * = 0 ,

( )

ad * ( Z ) Z * = 0 .

( )

ad * ( Z ) X * = 0 ,

( )

ad * ( Z ) Y * = X * ,


( )

ad * ( Z ) Z * = X * .

( )

ad * ( Z ) X * = 0 ,

( )

ad * ( Z ) Y * = 0 ,

( )

ad * ( Z ) Z * = µ X * .

ad * (Y ) X * = 0 ,

( )

ad * (Y ) Y * = 0 ,

ad * ( X ) Z * = −Y * ,

( )

ad * (Y ) Z * =X * ,

( )


ad * (Y ) X * = 0 ,

ad * ( X ) Y * = 0 ,

(ii)

( )

( )

ad * ( X ) X * = 0 ,

ad * ( X ) X * = 0 ,

( )

( )

( )

( )

( )
( )

ad * ( X ) Y * = − Y * − Z * , ad * (Y ) Y * = X * ,

(iii)

ad * ( X ) Z * = − Z * ,


( )

ad * (Y ) Z * = 0 ,

( )

ad * (Y ) X * = 0 ,

( )

ad * (Y ) Y * = X * ,

( )

ad * (Y ) Z * = 0 ,

ad * ( X ) X * = 0 ,
ad * ( X ) Y * = −Y * ,
ad * ( X ) Z * = − µ Z * ,

( )

( )
( )

( )

Do đó ta xác định được tích nửa trực tiếp g= g ⊕ g* của g với g* bởi biểu
diễn đối phụ hợp ad * cho từng trường hợp trên như sau.

(i)

g3,1 :

[ X , Y ] = Z thì

{

g3,1 = span X , Y , Z , X * , Y * , Z *

}

có tích Lie được

xác định bởi [ X , Y ] = Z ,  X , Z *  = −Y * và Y , Z *  = X * . Đây chính
là đại số Lie g6,1 trong Mệnh đề 1.2.5 cũng như được bắt gặp
nhiều trong những phân loại các đại số Lie lũy linh thấp chiều.
(ii)

g3,2 :

[ X , Y ] = Y , [ X , Z ]=

{

Y + Z thì g3,2 = span X , Y , Z , X * , Y * , Z *

}

có


−Y * − Z * ,
tích Lie được cho bởi [ X , Y ] = Y , [ X , Z ]= Y + Z ,  X , Y *  =


16

 X , Z *  = − Z * , =
Y , Y *  =
Z , Y *  =
Z , Z *  X * . Đây là đại số g6,3

trong Mệnh đề 1.2.5.

{

g3,3 : [ X , Y ] = Y , [ X , Z ] = µ Z , µ ≤ 1 thì g3,3 = span X , Y , Z , X * , Y * , Z *

(iii)

}

có tích Lie được cho bởi [ X , Y ] = Y , [ X , Z ] = µ Z ,  X , Y *  = −Y * ,
 X , Z *  = − µ Z * , Y , Y *  = X * và  Z , Z *  = µ X * .

Đây là đại số g6,2 ( µ ) trong Mệnh đề 1.2.5.
Một tính chất quen thuộc đáng chú ý của tích nửa trực tiếp g= g ⊕ g* bởi
biểu diễn đối phụ hợp như sau.
Mệnh đề 2.3. Cho g= g ⊕ g* là tích nửa trực tiếp của g với g* bởi biểu diễn
đối phụ hợp. Khi đó g là một đại số Lie toàn phương với dạng song tuyến

tính B được xác định bởi:
B( X + f , Y + g )= f (Y ) + g ( X ) , ∀X , Y ∈ g , f , g ∈ g* .

Chứng minh :
Ta kiểm tra dạng song tuyến tính B thỏa mãn 3 tính chất: đối xứng, không suy
biến, bất biến: ∀X , Y , Z ∈ g, f , g , h ∈ g* .
i) Đối xứng: B ( X + f , Y + g ) = f (Y ) + g ( X )
=

g ( X ) + f (Y )

= B (Y + g , X + f ) .

(ii) Không suy biến: ∀Y ∈ g, ∀g ∈ g* .
B ( X + f , Y 
+ g)=
0

⇔ f (Y ) + g ( X ) =
0
⇔ g ( X )= f ( −Y ) (∀Y ∈ g, ∀g ∈ g* ) .


17

Giả sử X ≠ 0 . Ta chọn g sao cho g ( X ) ≠ 0 đồng thời chọn Y = 0 , suy ra f (−Y ) =
0.
Điều này vô lý nên ta suy ra X = 0 .
Lập luận tương tự ta được f = 0 .
Vậy X + f =

0.
(iii) Bất biến:
B ([ X , Y ] + ad * ( X )( g ) − ad * (Y )( f ) , Z + h )

B ([ X + f , Y + g ], Z +=
h)

=( ad * ( X )( g ) − ad * (Y )( f ) ) ( Z ) + h ([ X , Y ])
=
− g  ad ( X )( Z ) + f  ad (Y )( Z ) + h ([ X , Y ])
=
− g ([ X , Z ]) + f

([Y , Z ])

+ h ([ X , Y ]) (1) .

Tương tự:
B ( X + f ,[ Y + g , Z + h]) = B ([Y + g , Z + h ] , X + f )
=
− h ([Y , X ]) + g ([ Z , X ]) + f
=
− g ([ X , Z ]) + f

([Y , Z ])

([Y , Z ])

+ h ([ X , Y ]) ( 2 ) .


(1) và ( 2 ) suy ra:
B ([ X + f , Y + g ], Z + h ) =

B ( X + f , [Y + g , Z + h]) hay B bất biến. 


18

Chương 3. MỞ RỘNG T* CỦA CÁC ĐẠI SỐ LIE
GIẢI ĐƯỢC 3 CHIỀU
Tiếp theo đây, ta xét trường hợp tổng quát hơn những gì ta đã làm ở
Chương 2
3.1. Định nghĩa 3.1.
Cho g là một đại số Lie, V là một không gian véctơ và ρ : g → End (V ) là
một biểu diễn của g trong V , tức là
ρ ([ X , Y ]) = [ ρ ( X ), ρ (Y ) ] , ∀X , Y ∈ g .

Nói một cách khác, ρ là một đồng cấu đại số Lie từ g vào đại số End (V )
chứa các đồng cấu trên V. Trong trường hợp này, V được gọi là một g module. Với mỗi số nguyên k ≥ 0 , kí hiệu C k (g,V ) là không gian các ánh xạ
k -tuyến tính phản xứng từ g × g × ... × g vào V nếu k ≥ 1 và C 0 (g,V ) = V . Đặt
∞

C (g, V ) = ∑ C k (g, V )
k =0

và định nghĩa toán tử đối bờ δ : C (g,V ) → C (g,V ) như sau
δ f ( X 0 ,..., X=
k)

∑ (−1) ρ ( X ) ( f ( X

k

i

i =0

k

i

(

0

,..., 
X i ,..., X k )

)

X i ,..., 
X j ,..., X k
+ ∑ (−1)i + j f  X j , X j  , X 0 ,..., 
i< j

)

với mọi f ∈ C k (g,V ) , X 0 ,..., X k ∈ g .
Ta có thể kiểm tra δ thỏa mãn tính chất δ 2 = 0 . Ta nói rằng f ∈ C k (g,V )
là một k -đối chu trình nếu δ f = 0 và f là một k -đối bờ nếu có g ∈ C k −1 (g,V )
sao cho f = δ g .

Ví dụ 3.1.1. Giả sử θ ∈ C 2 (g,V ) là một 2-đối chu trình. Khi đó θ : g × g → g* là


19

một ánh xạ song tuyến tính phản xứng, đồng thời với X 0 , X 1 , X 2 ∈ g :
δθ ( X 0 , X 1 , X 2 ) = ρ ( X 0 ) (θ ( X 1 , X 2 ) ) + ρ ( X 1 ) (θ ( X 2 , X 0 ) ) + ρ ( X 2 ) (θ ( X 0 , X 1 ) )
− θ ([ X 0 , X 1 ] , X 2 ) − θ ([ X 1 , X 2 ] , X 0 ) − θ ([ X 2 , X 0 ] , X 1 ) =
0.

Nếu V = g* là không gian đối ngẫu của g và ρ = ad * là biểu diễn đối phụ
hợp của g trong g* thì khi đó ta có
θ ( X 0 , X 1 )  ad ( X 2 ) + θ ( X 1 , X 2 )  ad ( X 0 ) + θ ( X 2 , X 0 )  ad ( X 1 ) + θ ([ X 0 , X 1 ] , X 2 )
0.
+ θ ([ X 1 , X 2 ] , X 0 ) + θ ([ X 2 , X 0 ] , X 1 ) =

Chú ý rằng không gian đối ngẫu g* của g là một g -module tương ứng
với biểu diễn đối phụ hợp ad * . Xét ánh xạ song tuyến tính θ : g × g → g* và
định nghĩa trên không gian vectơ Tθ* (g)= g ⊕ g* phép toán như sau:

[ X + f , Y + g=] [ X , Y ] + ad * ( X )( g ) − ad * (Y )( f ) + θ ( X , Y )
với mọi X , Y ∈ g , f , g ∈ g* . Khi đó ta có mệnh đề sau [3].
Mệnh đề 3.1.2.
Tθ* (g) là một đại số Lie nếu và chỉ nếu θ là một 2-đối chu trình.

Chứng minh:
Thật vậy ∀X , Y , Z ∈ g, f , g , h ∈ g* ta có:

[X


+ f , Y + g=
]

[ X ,Y ]

+ ad * ( X )( g ) − ad * (Y )( f ) + θ ( X , Y )

 
[Y + g , X + f=
]

[Y , X ]

+ ad * (Y )( f ) − ad * ( X )( g ) + θ (Y , X )

Do đó [ X + f , Y + g ] =
− [Y + g , X + f ] .
Hay θ ( X , Y ) = −θ (Y , X ) .
Mặt khác áp dụng:
ad * ( X )( f ) =

Ta có:

− f  ad g ( X )


20

[ X + f , Y + g ] , Z + h=



[[ X , Y ] + f  ad g (Y ) − g  ad g ( X ) + θ ( X , Y ) , Z + h]

[ X , Y ] , Z  + f  ad g (Y )  ad g ( Z ) − g  ad g ( X )  ad g ( Z ) + θ  ( X , Y )  ad g ( Z )
=
−h  ad g ([ X , Y ]) + θ ([ X , Y ] , Z ) .

Tương tự:
+ f 
[Y + g , Z + h ] , X=

[Y , Z ] , X  + g  ad g ( Z )  ad g ( X ) − h  ad g (Y )  ad g ( X ) +

θ (Y , Z )  ad g ( X ) − f  ad g ([Y , Z ]) + θ ([Y , Z ] , X )

và
Y + g 
[ Z + h, X + f ] , =

[ Z , X ] , Y  + h  ad g ( X )  ad g (Y ) − f  ad g ( Z )  ad g (Y ) +

θ ( Z , X )  ad g (Y ) − g  ad g ([ Z , X ]) + θ ([ Z , X ] , Y )

Do [ X , Y ] , Z  + [Y , Z ] , X  + [ Z , X ] , Y  =
0 và
=
ad g ([ X , Y ])

ad g ( X )  ad g (Y ) − ad g (Y )  ad g ( X ) nên


0
[ X + f , Y + g ] , Z + h  + [Y + g , Z + h ] , X + f  + [ Z + h, X + f ] , Y + g  =

Suy ra      θ  ( X , Y )  ad g ( Z ) + θ ([ X , Y ] , Z ) + θ (Y , Z )  ad g ( X ) + θ ([Y , Z ] , X ) +
0.
θ ( Z , X )  ad g (Y ) + θ ([ Z , X ] , Y ) =

Vậy θ là một 2 đối chu trình. 

Trong trường hợp này Tθ* (g) được gọi là mở rộng T* của g bởi θ .
Mệnh đề 3.1.3: nếu θ thỏa mãn tính chất θ ( X , Y ) Z = θ (Y , Z ) X , với mọi
X , Y , Z ∈ g ( điều kiện cyclic) thì Tθ* (g) trở thành một đại số Lie toàn phương

với dạng song tuyến tính B được xác định như sau:
B( X + f , Y + g )= f (Y ) + g ( X ) , ∀X , Y ∈ g , f , g ∈ g* .

Chứng minh :