Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong quá trình học tập và quá trình lĩnh hội phần kiến thức về bài tập
nói chung và bài tập Cơ lượng tử nói riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trò
quan trọng Nó giúp ta củng cố, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn về phần lý
thuyết đã học.
Việc giải bài toán trong cơ học lượng tử, đều quy về việc giải phương
trình schodinger để tìm năng lượng và hàm sóng. Trong điều kiện lý tưởng thì
ta hoàn toàn có thể giải được dễ dàng. Nhưng trong thực tế, việc giải phương
trình này gặp nhiều khó khăn và phức tạp. Do vậy, ta phải sử dụng phương
pháp gần đúng để phương trình schodinger được giải một cách dễ dàng và
chính xác hơn.
Với kiến thức đã học được về vật lý nói cũng như phương pháp dạy học
trong những năm học Đại học tôi muốn xây dựng một bài giảng để làm tư liệu
trong hành trang của mình sau khi ra trường. Do vậy, tôi lựa chọn đề tài:
“Thiết kế bài giảng sử dụng phương pháp gần đúng để giải các bài toán
trong cơ học lượng tử” làm đề tài khóa luận của mình.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp gần đúng: Lý thuyết nhiễu loạn và phương pháp
biến phân để giải các bài toán trong cơ học lượng tử.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu phương pháp gần đúng lý thuyết nhiễu loạn, phương pháp
biến phân.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp toán trong vật lý lý thuyết
- Sử dụng phương pháp giải tích toán học.

SVTH: Lê Văn Thắng

-1-

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN
1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Đặt vấn đề
Trong hệ lượng tử trạng thái của chúng được mô tả bởi nghiệm của
phương trình schodinger:
ˆ   


(1.1)

ˆ là toán tử Hamiltơn và  là năng lượng của hệ. Trong trường
Với 

hợp đơn giản phương trình (1.1) có thể cho nghiệm chính xác. Đối với hệ
phức tạp thì nói chung phương trình (1.1) không cho nghiệm chính xác. Bởi
vậy ta phải sử dụng phương pháp gần đúng để giải phương trình cho hàm
ˆ.
riêng và giá trị riêng của toán tử 


Dựa vào các nghiệm chính xác của hệ đã lý tưởng hóa ta hiệu chỉnh các
nghiệm đó để được nghiệm gần đúng cho hệ thực.
Cách hiệu chỉnh như thế, dưới điều kiện được đặt ra gọi là lý thuyết
nhiễu loạn.
Điều kiện hạn chế của bài toán. Đầu tiên xét các bài toán có phổ gián
đoạn:
ˆ   

l
l

 l  1,2,3...

(1.2)

ˆ có dạng:
Giả sử toán tử 
ˆ 
ˆ  Vˆ

0

(1.3)

ˆ là toán tử Hamiltơn đã lý tưởng hóa và Vˆ là toán tử nhiễu loạn.
Với 
0

Giả sử Vˆ là nhỏ, ta đặt


Vˆ  Wˆ

(1.4)

Trong đó  là một thông số nhỏ không thứ nguyên.

SVTH: Lê Văn Thắng

-2-

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Giả sử biết các nghiệm El0 và  l (l  1,2,3...) của phương trình cho
ˆ :
hàm riêng và trị riêng của toán tử 
0
Hˆ 0 l  El0 l

(l  1,2,3...)

(1.5)

Với các điều kiện trên thì việc giải phương trình (1.1) ta quy về việc giải
phương trình sau để tìm El và  l :

( Hˆ 0  Wˆ ) l  El l

(1.6)

Như vậy chúng ta sẽ hiệu chỉnh cho El0 và  l (l  1,2,3...) để sau khi
hiệu chỉnh, các giá trị hiệu chỉnh sẽ nghiệm đúng (1.1) và (1.2) hay (1.6)
1.2. Nhiễu loạn khi không suy biến
1.2.1. Xét các trạng thái của hệ lí tưởng không có suy biến, nghĩa là với
mỗi giá trị El0 thì chỉ có một hàm riêng  l , mặt khác xét xem mức El0 thay
đổi như thế nào khi có nhiễu loạn. Ta giả sử sau khi hiệu chỉnh cho El0 và  l
ta được năng lượng và hàm sóng thỏa mãn (1.6)
Lấy hệ hàm riêng  l  , (l  1,2,3...) ta khai triển:

 l   Cnn

(2.1)

n

Để tìm  l ta khai triển Cn

( n  1, 2,3,...)

Thay (2.1) vào (1.6), nhân hai vế với  m* vào vế trái, rồi lấy tích phân các
biến không gian :

( El  En0 )Cm    CnW mn
Với Wmn    m* W n dq

(2.2)

(2.3)

a) Khi   0 ứng với trường hợp không nhiễu:
Hˆ  Hˆ 0 ;  n  l0  l

SVTH: Lê Văn Thắng

-3-

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Từ (2.3) ta có:

Trường ĐHSP Hà Nội 2

( El  Em0 )Cm  0 ; ( m  1,2,3...)

Nghiệm của ( 2.4) là: El  Em0 và Cm  Cm0   ml

(2.4)

(2.5)

Nếu m  l  Cm  0; m  l   ml  1
  l  l   Cnn
n


b) Với   0,  nhỏ, các giá trị El sẽ dịch khỏi El0 , các Cm sẽ lệch khỏi giá
trị Cm0 . Ta hy vọng độ lệch này sẽ nhỏ. Muốn vậy ta khai triển Cm và El theo
chuỗi lũy thừa của  :
Cm  Cm0  Cm1   2Cm2  ...
El  El0   El1   2 El2  ...

(2.6)

Thay (2.6) và0 (2.2):



0
l

 0m  1l   2l2  ... Cm0  Cm2  ... 

=  w mn  Cn0  Cn1  Cn2  ...

 m = 1, 2, 3,...

(2.7)

n

So sánh các hệ số của lũy thừa  ở hai vế (2.7). Trước hết với hệ số của  0 :

( El0  Em0 )Cm  0

(2.8)


Cm0  0 khi m  l , Cl0  1 ( m  l ) .

Vậy ta có: Cm0   ml .
Thay Cm0   ml ; Cn0   nl vào (2.7) ta có:
( El0  Em0   El1   2 El2  ...)( ml  Cm1  ...)   Wmn ( nl  Cn1  ...)
n

(m, l  1,2,3,...)

Giả sử m  l :

(2.9)

1l  Wll
l2  1l Cl1  WlnCn1

SVTH: Lê Văn Thắng

-4-

(2.10)

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


Từ (2.10) ta hiệu chỉnh bậc một của năng lượng:

 El1  Wll  Vll

(2.11)

Giả sử m  l :
( El0  Em0 )Cm1  Wml
( El0  Em0 )(Cm2  El1Cm1 )  WmnCn1

(2.12)

n

Trong gần đúng cấp 1, năng lượng của hệ được biểu diễn bằng công thức:
El  El0   El1  El0  Vll

(2.13)

Từ (2.12) sử dụng (2.11) ta suy ra:

Cm1 

Wml
0
l

0
m


E E



Vml
E  Em0

(2.14)

0
l

Trong phép gần đúng cấp 1 của hàm sóng:

 l   Cm m   Cl0  Cl1 l   (Cm0  Cm1 )m
m

m l

Vml
m
0
0
m  l El  Em

 l  Cl1l  

(2.15)

Trong đó Cm1 xác định từ điều kiện chuẩn hóa của  l xét từ điều kiện (2.6) và

bỏ qua các đại lượng tỉ lệ với  2 :
2

2

1
1
  l dq  1  Cl  1  Cl  1

(2.16)

→ phép gần đúng cấp 1:
 l  l  
n l

Vml
E  En0

(2.17)

0
l

Từ (2.10) và (2.14) với Cl1  0  năng lượng trong phép gần đúng cấp 2:
2

V
El  E  Vll   0 ln 0
n  l El  En
0

l

SVTH: Lê Văn Thắng

-5-

(2.18)

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.2.2. Phương pháp trên chỉ đúng trong trường hợp nếu chuỗi gần đúng hội tụ.
Điều kiện cho điều đó là mỗi số hạng sau phải nhỏ hơn số hạng trước. Như
vậy:
El0  En0 với bất kỳ n  l .

Vln

(2.19)

(2.19) chính là điều kiện có thể áp dụng được lý thuyết nhiễu loạn.
Như vậy, để có thể ứng dụng được lý thuyết nhiễu loạn thì mức năng
lượng l không được suy biến. Tuy nhiên, nếu một phần trong các trạng thái
m  l có năng lượng 0n thoả mãn (2.19) bị suy biến thì tính đúng đắn của

(2.16) vẫn không bị phá huỷ.

Trường hợp khi một phần các trạng thái m  l thuộc phổ liên tục thì các
công thức trên vẫn có thể áp dụng khi đó ta thay tổng bằng tích phân.
 Vlm 2

Vvl
l    Vll    o

dv
 0  0 
0
m l    
m
l
v
 l

0
l

Vml
V
m   0 vl 0 v dv
0
m l   
l   v
m

 l  l  

0

l

Trong đó  là chỉ số các trạng thái có phổ liên tục và là tập giá trị của
các đại lượng đủ để xác định các trạng thái của phổ liên tục suy biến.
1.3. Nhiễu loạn khi có suy biến.
Giả sử mức El0 suy biến bội s. Khi đó để làm hàm gần đúng cấp không,
ta có thể lấy tổ hợp tuyến tính:
s

 l   aklk

(3.1)

k 1

Thay (3.1) vào phương trình (1.7) nhân vào hai vế kết quả nhận được với lk
(k=1, 2, 3,...) rồi lấy tích phân theo các biến không gian, ta được hệ phương
s

trình tuyến tínhthuần nhất :



mk

 El mk ak  0

(3.2)

k 1


SVTH: Lê Văn Thắng

-6-

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Hệ phương trình này có nghiệm khác 0 với điều kiện:
11  E1

12

.....

...1s

 21

 22  E2 ....

... 2 s

...
 s1


....
 s2

........
 ss  Es

.....

0

(3.3)

Khai triển định thức (3.3) ta thu được phương trình bậc s đối với giá trị
chưa biết El . Phương trình này được gọi là phương trình thế kỷ có s nghiệm.
Nếu s nghiệm của (3.3) khác nhau thì mức El0 suy biến bội s của bài toán
không nhiễu sẽ tách ra làm s mức khác nhau và ứng với mỗi mức này sẽ có
một hàm:

 lk   am l
m

k

(3.4)

m

Trong đó các am được xác định từ (3.2) khi thay lk vào l (k =1, 2,
k


3...,s)
Trường hợp này, ta nói nhiễu loạn Vˆ khử hoàn toàn suy biến. Chúng ta có
thể trực giao các hàm sóng tương ứng với các nghiệm bội của (3.3) bằng
ˆ
phương pháp Gram – Smit. Ta có thể chéo hoá ma trận (  mk ) của toán tử 

dựa vào (3.4), nghĩa là :
ˆ 0  Vˆ )l dq  0
 mk  Vmk   l* (
m

k

(3.5)

Từ (3.5) cho phép ta bỏ đi các số hạng có mẫu nhỏ trong các phép gần
đúng tiếp theo.
1.4. Nhiễu loạn phụ thuộc thời gian
Thông thường nhiễu loạn tác dụng lên hệ lượng tử có đặc tính không
ˆ . Khi đó là hàm tường minh
dừng , nghĩa là phụ thuộc thời gian. Toán tử w

của thời gian Wˆ (t ' ) . Ta giả thuyết đã biết hàm sóng ở trạng thái dừng của hệ
không nhiễu là:

SVTH: Lê Văn Thắng

-7-

Lớp K32B- Khoa Vật Lý



Khoá luận tốt nghiệp

0 

n

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 0

 x, t     x  e

1
nt


n

Hàm sóng này thoả mãn phương trình không nhiễu loạn
0

i

 n

 x, t   ˆ   0
0


t

n

 x, t 

(4.1)

Xét trường hợp phổ gián đoạn. Khi có nhiễu loạn nhỏ miêu tả bằng toán tử
Wˆ (t ) . tác dụng lên hệ thì hàm sóng của hệ nhiễu loạn thoả mãn phương trình:

i


ˆ 0  Wˆ 
 
t





(4.2)

Phân tích nghiệm của phương trình (4.2) theo hàm riêng của bài toán
không nhiễu loạn

  x, t    Ck  t  k 0  x, t 

(4.3)


Với Ck  t  là hàm của thời gian. Thay (4.3) vào (4.2) ta có:
 dCk 0
 k0  x, t  
ˆ 0  Wˆ  k 0  x, t  (4.4)
i  
 k  x, t   Ck
   Ck 
t
 dt






Nhân phương trình (4.4) từ bên trái với  m0   x, t  và tích phân theo toàn
bộ không gian, chú ý đến (1.1) và tính trực giao của hàm sóng  k0  x, t  ta
có:
i

dCm
 Wnk eiW t Ck
dt

(4.5)

nk

trong đó các phần tử trận ma của toán tử nhiễu loạn là:

Wmk   m 0  x Wˆ  k 0  x  dx

mk 

1
 m  


k

(4.6)



Giả sử khi t  0 hệ số ở trạng thái không nhiễu loạn nào đó. Khi đó:
Ck 0  S kn

SVTH: Lê Văn Thắng

-8-

(4.7)

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


Bắt đầu từ thời điểm t  0 hệ chịu sự tác động của nhiễu loạn nhỏ và giả
sử rằng hàm sóng  n 0 của trạng thái ban đầu thay đổi ít theo thời gian và ở
thời điểm t  0 cá hệ số Cn  t  có thể khai triển dưới dạng chuỗi nhiễu loạn
sau:
Ck  t   Ck 0  t   Ck1  t   Ck 2   t   ....

(4.8)

Trong đó: Ck 0  t   Ck 0  Snk
Thay thế (4.8) vào (4.5) ta được phương trình đối với Ck  t  gần đúng bậc
một:
i.

dCm1
0
  w mk eimk t Ck   w mn eimnt
dt

(4.9)

Nghiệm của phương trình (4.9) có dạng:
i t
Ck  t     dt Wmn ei
o
1

mn t

'


(4.10)

Do đó trong gần đúng bậc nhất ta có:
Cm  t   Skn 

i t

Wmn ei t dt 

0
mn

(4.11)

Lưu ý nghiệm này chỉ có thể dùng được nếu
Cm1  t 

1

Tương tự, ta có thể tìm được số hiệu chính bậc hai hay bậc cao hơn. Chẳng
hạn ta dễ tìm được Cm 2  :
i t
Cm  t      Wmn ei t Ck1 dt 
 k 0
 2

mk

(1.2)


Nếu nhiễu loạn là đủ nhỏ thì ta có thể giới hạn ở một số ít các số hạng. Thành
thử hàm sóng ở một thời điểm bất kì t  0 về nguyên tắc có thể tính được độ
chính xác mong muốn.

SVTH: Lê Văn Thắng

-9-

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

1.5. Kết luận
Ta thấy rằng việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn trong các bài toán trong
cơ học lượng tử là rất hữu ích. Tuy nhiên, không phải các bài toán nào trong
cơ học lượng tử ta cũng có thể áp dụng lý thuyết nhiễu loạn.
Điều kiện để áp dụng lý thuyết nhiễu loạn là hệ có:
ˆ 
ˆ  Wˆ

0
ˆ   E 0 phải giải được một cách chính xác, và Wˆ
Trong đó phương trình 
0 n
n
ˆ .
là rất nhỏ so với toán tử năng lượng 

0

Sau đây ta xét một số bài toán trong cơ học lượng tử vận dụng lý thuyết nhiễu
loạn.
2. Bài tập vận dụng
2.1. Bài tập 1 Hạt chuyển động trong trường xuyên tâm có các mức năng
lượng Enl0 . Giả sử, đặt một từ trường yếu dọc theo trục OZ. Hãy tìm năng
lượng và hàm sóng của hạt trong phép gần đúng bậc nhất ( không tính đến
spin của hạt ).
Giải
Khi thiết lập từ trường, toán tử Hamiltơn có dạng:

ˆ 
ˆ  ie   
ˆ  Vˆ (bỏ qua số hạng tỉ lệ với 2 )

0
0



ie 
Coi số hạng Vˆ 
 là toán tử nhiễu loạn.



Vì từ trường là yếu nên Vˆ nhỏ nên ta có thể áp dụng lý thuyết nhiễu
loạn để xác định năng lượng và hàm sóng của hạt.
Ta có gần đúng bậc nhất:

+ Năng lượng của hạt:

Enl  Enl0  Enl1 ( Enl0 là năng lượng của hạt trong

trường đối xứng cầu).

SVTH: Lê Văn Thắng

- 10 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

+ Hàm sóng của hạt:
0
 nlm   nlm
  nlm

1
m
0
Với  nlm
 Rnl (r )l  cos  eim
r
Hiệu chỉnh bậc nhất của năng lượng:


0* ˆ 0
0* ie
0
Enl1   nlm
V nlm dv   nlm
 nlm
dv





Vì    0,0,    rot  nên có thể chọn:

1
x    y ;
2

1
 y  x ;
2

Z  0


1
i  
Khi đó: i   LˆZ 
2
2 q


Suy ra:
0*
E nl1   nlm

e i   0
i  e 0
e  m
0
0*
0
 nlm dv   nlm
im
 nlm dv  
 nlm
 nlm
dv

 2 q
2
2

0*
0
Điều kiện chuẩn hóa:  nlm
 nlm
dv  1

Nên Enl1  


em
2

 Năng lượng gần đúng bậc nhất là:

Enl  Enl0  Enl1  Enl0 

em
2

0* ˆ 0
0*
Hiệu chỉnh về hàm sóng: Vmm   nlm
V nlm, dv   nlm



ie
0
im nlm
v
2

em 0* 0
em


dv



 mm  0

nlm nlm
2 
2

(do m  m )

SVTH: Lê Văn Thắng

- 11 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Do đó hiệu chỉnh bậc 1 của hàm sóng bằng 0:
0
 nlm   nlm

2.2. Bài tập 2
Trong gần đúng bậc nhất của lý thuyết nhiễu loạn. Tìm hiệu chỉnh cho
năng lượng của dao động tử phi điều hòa với thế năng có dạng:
3

 x
 x

1
V ( x )  m 2 x 2  1    2  
2
 x0 
 x0 

Trong đó x0 

4


, m,  , 1 , 2 là những hằng số.
m

Giải
Toán tử Hamiltơn của toán tử phi điều hòa có dạng:
3

 x
 x
2 d 2 1
2 2
ˆ
ˆ
ˆ

m

x





   0  V ( x) = 


 
1
2
2m dx 2 2
 x0 
 x0 

4

2
2
ˆ    d  1 m 2 x 2 là toán tử Hamiltơn của dao động
Trong đó: 
0
2m dx 2 2

tử điều hòa tuyến tính.
3

4

 x
 x
Vˆ ( x )  1    2   là toán tử nhiễu loạn.

 x0 
 x0 

Hiệu chỉnh bậc nhất cho năng lượng của dao động tử ở trạng thái cơ bản là:
4
  x 3
 x 
E   1    2    0dx
  x0 
 x0  
1
0

Với  0 

4

*
0

m  m2 x2
e


SVTH: Lê Văn Thắng

- 12 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý



Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

  x 3 
Do  1    0 dx có hàm dưới dấu tích phân là lẻ nên:
  x0  
*
0

  x 3 
 1  x0   0dx  0


*
0

1
0

Suy ra: E 

2

* 4
0

 x  0dx 


x04 

2

x04 

x

4

m  m x 2
e
dx


Áp dụng tích phân poisson:




4

xe



m 2
x
2


dx 



3!!

3



2
5
22  m 5 4
 m 




  
  

Do đó:
1
0

E 

2

m 3     

1

  2
4
  4 m  m 
  


 m 

2
x0 4

2

m 3      3
 
  4 m  m  4 2

3

 x
Nếu tính hiệu chỉnh bậc 2 cho năng lượng của số hạng nhiễu loạn 1   sẽ
 x0 

2

V
được: E   0 n  
n  0 E0  En

n 0
2
0

m
Trong đó:  n  4


Với   x

1
n

2 n!

  x 3 
*
 0 1  x0   ndx


E0  En
e



2

2
2


 n  

m


 x 
 dx 
d

m
m

1

Và En    n  
2


SVTH: Lê Văn Thắng

- 13 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Đa thức Hermite  n   thỏa mãn phương trình:

n    2n    2n n    0

(2.1)

d n  2
Với:  n     1 e
e
d n
n

Chú ý rằng:

 




dn
 n  1 n  2  2 n3  ...  2n
n 1
 2n  2  
 

n 1
d
1!


d 2 n
d  n 1

 2n
 2n.2  n  1  n2
2
d
d

Ta có:  2.1  2n.2  n  1  n2  2 2n n1  2n n  0

1
Hay  n1   n  1  n2   n
2
Thay: n  n  1 và n  n  2 ta có:
1
2

 n  n n1   n1
(2.2)

1
 n1   n  1  n   n2
2

Từ (2.2) ta thấy:
1




 
 


1

1

 2 n    n     n n1   n1    n    n1   n 2  n  n  1  n2
2
2
4


Tương tự:

 3 n  n  n  1 n  2   n3   

3n 2
3
1
 n1     n  1  n1     n3  
2
4
8

Vì n  0 và n   nên:
*
0

 

dx   0* n3dx  0


n 1

Theo điều kiện trực giao chuẩn hóa các hàm sóng:


0* 0
 m  n dx  m n

SVTH: Lê Văn Thắng


 2
e
  m   n   d
m 

- 14 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

0 khi m  n
  mn  
1 khi m  n


Do đó:
3

E02  
n 0

 
 1 
 x0 

2

2

 x
*


0
1
  x0   n
E0  En

2

2
*
 2

n

n

1
n

2



e


d








n 3
  0
   4 
+

 0 
m
n
 m 


2 n!
E0  En


6

2

*

 3  1    0  e  n1   d
   n
E0  En
n  0  2  2 n ! m
2



2
3
 1     
  
 
 x0   m  




    6

 1  3 3 
 x0  m   8

2

3

2
 2 *
0   0   e   0   dx
m

2







2

E0  E3
2

 2 *
 2
 0   0   e  0   d  

9 m



8
E0  E1




2
 1  3 1  1 9 

1
9
1

    3 3
  


8
x
m



4 8
0


1  7 

1  3 
2
2


SVTH: Lê Văn Thắng

- 15 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

3
2
m3 4
11

  12 2 3
8
m



12

Trường ĐHSP Hà Nội 2

m


Vậy hiệu chỉnh vào năng lượng ở trạng thái cơ bản của dao động tử điều
hòa (gần đúng cấp hai) là:
3
11

  E01  E02  2  12 2 3
4
8
m

2.3. Bài tập 3
Một hạt có khối lượng m chuyển động trong một giếng thế bề rộng a, có
thành cao vô hạn. Chịu tác động của một nhiễu loạn nhỏ u ( x)  u0 sin

2 x
.
a

Xác định hiệu chỉnh về năng lượng của các trạng thái dừng .

Giải
Khi không có nhiễu loạn, phương trình cho hàm riêng và trị riêng có dạng :
ˆ 0  0n


(3.1)

với Hˆ 0  Tˆ  U ( x)


Trong đó

:



U ( x )  0



x0
0 xa
xa

Sau khi biến đổi phương trình (3.1) tương đương với phương trình :

SVTH: Lê Văn Thắng

- 16 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

 ,,  x  

Trường ĐHSP Hà Nội 2

2m

  x  0
2

, 0xa

(3.2)

2m


(3.3)

  x    sin  kx + 

(3.4)

Đặt

k

Thì nghiệm (3.2) được viết dưới dạng :

Tại x  0 và x  a thế năng có bước nhảy vô hạn. Ta có :

  0    sin   0    0
  a    sin ka  0  ka  n
từ (3) suy ra :

n 


(k  0, n  1,2,...)

n 2 2  2
 0n
2
2ma

và

  x 

2
a

sin  na  x

2
tìm từ điều kiện :
a

Trong đó hệ số chuẩn hoá  

2

a

   x
n

dx  1


0

Khi có nhiễu loạn toán tử Hamiltơn dạng:
ˆ 
ˆ 0  Vˆ  x   ˆ  U  x   U 0  x  sin  x . Coi V  x  là toán tử nhiễu loạn.

a

Hiệu chỉnh bậc nhất về năng lượng:
1n   nU '  x  n dv
a


0

2 2
n x
2 x
n x
sin
U 0 sin
sin
dx
a a
a
a
a
a


2U
n x
2 x
 0  sin 2
sin
dx
a 0
a
a

SVTH: Lê Văn Thắng

- 17 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

a



U0 
2n x  2 x
1

co

s
dx

 sin
a 0 
a 
a
a



a

U0
2 x
U
2n x
2 x
sin
dx  0  cos
sin
dx

a 0
a
a 0
a
a
a


a
2  n  1 x 
 2  n  1 x
U0
2 x
U0
  cos

dx
sin

sin

2
a 0 2a 0 
a
a

a
2  n+1 x
2  n  1 x  
U0
U 0 
a
a

cos

cos
1  1  

 
2
2a  2  n  1
a
2  n  1
a
 0 

0

Nếu tính đến hiệu chỉnh bậc hai của năng lượng :
2
 n*  x  .V  x  . m  x  dx
Vnm

2
En   0

0
E

E
En0  Em0
mn n
mn
m
a

=


2u
n x
2 x
m x
0 a 0 sin a .sin a .sin a dx

m n

2

2

En0  Em0

Ta có:
sin

 n  m x  sin 2 x
n
2
m x 1   n  m  x
x.sin x.sin
 cos
 cos

a
a
a
2
a

a
a


1   n  m  2 x
 n  m  2  x  sin  n  m  2 x  sin  n  m  2 x 
 sin
 sin

4
a
a
a
a


Do vậy :
a

2n  

2U   n  m 2 x
 n  m 2x  n  m 2x  n  m 2x 
0 4a0 sin a sin a sin a sin a dx

mn

0n 0m

Vì m, n  N * * nên m  n  0


SVTH: Lê Văn Thắng

- 18 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý

2


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

TH1 : n  2  n  1 thì n  m  0 và n  m  2  0 khi m  3 khi đó:
a
U 2 0   4
6
2
x  sin
x  sin
   sin
4 0 
a
a
a
 2n  12 
10  30

 

x  dx 
 

2

U 04
.0
 2 42 2 2  0
1  3  
2m0 d 2

Năng lượng của hạt tính đến gần đúng bậc hai ở trạng thái cơ bản là:
n 2 2  2
1         
2m0 d 2
0
1

1
1

2
1

0
1

TH2: khi n  2 thì n  m  2  0 khi m  4 và n  m  2 khi đó :
a


U 02   4 
 8 
 4
sin 
 x  sin   x  sin 


4 0  a 
 a 
 a
 2n   22 
02  04

2

 
 x  dx
 

U 04
.0
 2 42 2 2  0
 2  4  
2m0 d 2

Năng lượng của hạt tính đến gần đúng bậc hai ở trạng thái cơ bản là:
n 2 2  2
1         
2m0d 2
0

1

1
1

2
1

0
1

TH 3: khi n  2 thì m  n  2  0 khi đó:
U 02
U 02
.0
.0
Do đó:  2n  0 4 0  0 4 0  0
 n   n  2  n   n 2

Năng lượng của hạt trong giếng thế ở trạng thái dừng n tính đến gần
đúng bậc 2 (n>2) là:
 n  0n   2n 

SVTH: Lê Văn Thắng

n 2 2  2
2m0 d 2

- 19 -


Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

CHƯƠNG II. PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN
Đây cũng là một phương pháp gần đúng được sử dụng để giải các bài
toán trong cơ học lượng tử. Cụ thể là các bài toán tìm năng lượng, trạng thái
cơ bản của dao động tử điều hòa. Sau đây ta cùng đi nghiên cứu việc sử dụng
phương pháp này trong các bài toán cơ học lượng tử.
1. Cơ sở lý thuyết
1.1. Phương pháp biến phân
Trong trường hợp giải gần đúng bài toán cơ học lượng tử bằng phương
pháp nhiễu loạn không thuận lợi, nghĩa là ta không có bài toán gần với bài
toán đã cho, giải được một cách chính xác làm gần đúng bậc không người ta
sử dụng một phương pháp khác là phương pháp biến phân.
Phương pháp biến phân xuất phát từ biểu thức của giá trị trung bình của
năng lượng:
ˆ  dx
E   *

(1.1)

Trong đó  là bất kỳ thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa
*

  dx  1


(1.2)

ˆ là toán tử Hamiltơn toàn phần của hệ. Phân tích  theo hàm
Trong đó 

riêng của toán tử Hamiltơn  n 0 

   an n0 ;

a

n

n

2

1

(1.3)

n



2

ˆ  dx   a E
E   *
n

n

(1.4)

n 0

Gọi E0 là năng lượng trạng thái cơ bản thì ta có bất đẳng thức sau:


2

E  E0  an  E0

(1.5)

n0

SVTH: Lê Văn Thắng

- 20 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Thành thử việc tính năng lượng của trạng thái cơ bản của hệ lượng tử,
ˆ  dx khi biến phân hàm sóng chuẩn

dẫn đến tính cực tiểu của tích phân  *

ˆ  dx
E0  min  *

hóa  . Do đó:

(1.6)

Nếu  * dx  1
Việc tính toán thực tế năng lượng của trạng thái cơ bản nhờ biểu thức
(1.6) dẫn đến việc chọn “hàm thử” chứa một số thông số chưa biết nào đó

 ,  ,... sau khi tính tích phân.

  x,  , ,... ˆ   x,  , ,... dx
*

Ta nhận được một hàm J  , ,... phụ thuộc vào các thông số này. Việc
xác định các giá trị cần tìm của các thông số dẫn đến tìm cực tiểu của
J  , ,... nghĩa là dẫn đến việc giải phương trình:

J J

 ...  0
 

Nếu chọn tốt hàm thử, ta có giá trị năng lượng:

E  J  0 , 0 ,...

Gần với giá trị thật  0 ngay cả khi thông số cần dùng tương đối ít. Hàm sóng
trạng thái cơ bản của hệ sẽ gần trùng với hàm  0  x,  0 , 0 ,... .
Phương pháp tính năng lượng trạng thái cơ bản nói trên gọi là phương pháp
Ritz hay phương pháp biến thiên trực tiếp. Việc chọn hàm thử dựa trên việc
phân tích định tính về tính đối xứng của bài toán và những cảm nhận vật lý.
Nếu ký hiệu  0 là hàm sóng của trạng thái cơ bản của hệ, thì việc tính
năng lượng của trạng thái kích thích thứ nhất E1 dẫn đến giải bài toán biến phân.
ˆ  dx
E1  min  1*
1

SVTH: Lê Văn Thắng

- 21 -

(1.7)

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Với điều kiện phụ:  1* 1dx  1;

*
1

 


0

(1.8)

dx  0

Việc tính mức kích thích thứ hai dẫn đến giải bài toán biến phân:
ˆ  dx
E2  min  2*

Với các điều kiện phụ:  2* 2 dx  1;

*
2

 

2

(1.9)

dx   2* 0 dx  0

(1.10)

Quá trình được tiếp tục với việc tính các mức kích thích cao hơn.

2. Bài tập vận dụng
2.1. Bài tập 1: Tính năng lượng trạng thái cơ bản của dao động tử điều hòa

tuyến tính. Biết toán tử Hamiltơn có dạng:
2
2
2
ˆ   d  m x 2

2m dx 2
2

(2.1)

Giải
Ta chọn hàm thử dạng:
0 khi x  
x
  1 khi    x  

  x,     
 x  1 khi 0  x  
 
0
khi x  


(2.2)

Từ (2.1) và (2.2) ta có:




ˆ  dx 
J ( )   *



2
m 2


dx

x 2 2 dx


2 m 
2 




2

dx



SVTH: Lê Văn Thắng

- 22 -


Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Với  

Trường ĐHSP Hà Nội 2

d 2
dx 2

Tích phân dưới mẫu số xuất hiện do chuẩn hóa hàm sóng ta dễ dàng tính


2
 dx  3  ;
2

được .


2

 x 

2

dx 




1 3

15



  dx ta chú ý rằng:

Để tính



1



1
 khi x  0
   x,   
 1 khi x  0
 

Với    x,   



1




d
dx

Vậy:    x,   

1

   x      x  



0 khi x  0
Với   x   
1 khi x  0

Trong lý thuyết hàm biến phức, ta đã chứng minh:

 x     x 
Với   x  là hàm Đen ta Đirăc. Vậy:


Do đó:



2

2


   x,       x 

2

2

 dx     x,    x  dx      0,     





Cuối cùng:
J   

3 2
1
 m 2 2
2
2 m
20

Từ điều kiện cực tiểu của J   ta tính được.

SVTH: Lê Văn Thắng

- 23 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý



Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 0  4 30



 2,34
m
m

Và năng lượng của trạng thái cơ bản là:
E0  0,548

So với năng lượng trạng thái cơ bản tính chính xác là


, ta thấy sai số
2

dưới 10%. Vậy có thể dùng giá trị này trong phép gần đúng bậc nhất
2.2. Bài tập 2.
Sử dụng phương pháp biến phân.Tính năng lượng và các trạng kích
thích thứ nhất của nguyên tử Hiđrô.
Giải
Toán tử Hamiltơn có dạng:
2

2
ˆ   2  e

2m
r

(2.1)

Trong trường đối xứng xuyên tâm, mômen xung lượng có giá trị xác
định. Ở trạng thái cơ bản mômen xung lượng bằng 0. Do đó, hàm sóng chỉ
phụ thuộc vào r mà không phụ thuộc vào các góc. Khi r   hàm phải tiến
đến không, do đó hàm thử có thể viết dưới dạng:

   exp    r 

(2.2)

Từ điều kiện chuẩn hóa ta có:
2

2
  dr  1  A 

3
r

Sử dụng (2.1) và (2.2) ta tìm được

2 2
2

ˆ  dr   *     e  dr
J      *
0  2m r 




2  3 2   r 2   r 2

e  e r dr  4 2e2  e2  r rdr

m 0
0

SVTH: Lê Văn Thắng

- 24 -

(2.3)

Lớp K32B- Khoa Vật Lý


Khoá luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Tính tích phân thứ nhất ta có:



e

2



r

1
 

r dr     e   r  r 2 dr    4 
r

0

2 r 2

e

0

Tính tích phân thứ hai ta có:


e

2  r

rdr   2 


2

0

thay các giá trị này vào (2.3) ta được :
2  2
J   
 e2 
2m

(2.4)

Từ điều kiện cực tiểu của J    ta xác định được thông số biến thiên  0 

1
,
a

2
trong đó a  2 là đơn vị nguyên tử của chiều dài. Thay  0 vào (2.4) và
me

(2.2) ta được năng lượng là hàm sóng của trạng thái cơ bản:
e2
2a
1
 r
 1s 
exp   

 a
 a3
E1s  J   0   

Ta hãy tính năng lượng của trạng thái kích thích thứ nhất ta chọn hàm
thử dưới dạng hàm phụ thuộc vào hai thông số  và  :

 2s

  r

 B 1    e
a


(2.5)



Điều kiện trực giao:  2 s 1s dr  0
0

Suy ra:  

1
1    thế giá trị này vào (2.5) và từ điều kiện chuẩn hóa ta xác
3

định được:


SVTH: Lê Văn Thắng

- 25 -

Lớp K32B- Khoa Vật Lý