Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp
lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất của mình tới cô
giáo - TS. Nguyễn Thị Hà Loan người đã hướng dẫn tận tình và giúp em trong
quá trình hoàn thành đề tài.
Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ vật lý lý
thuyết đã tạo điều kiện và đóng góp ý kiến để em hoàn thành tốt khoá luận tốt
nghiệp.
Tuy nhiên do thời gian và khuôn khổ cho phép của đề tài còn hạn chế
nên chưa tìm hiểu được như ý muốn. Rất mong được sự đóng góp của các bạn
đọc quan tâm để đề tài được hoàn thiện hơn.
Qua quá trình làm khoá luận em đã hiểu thêm về phần vật lý hạt cơ bản
và nhìn nhận vấn đề này một cách sâu sắc hơn. Đây là cơ sở tốt cho em trong
quá trình công tác sau này.

Hà Nội, tháng 05 năm 2009
Sinh viên
Nguyễn Thị Lan Phương

Nguyễn Thị Lan Phương

1

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp
A.mở đầu

1. lý do chọn đề tài:

Như chúng ta đã biết các hạt quark cấu tạo nên hạt cơ bản, các hạt cơ bản
cấu tạo nên thế giới vật chất. Khi đi sâu vào nghiên cứu hạt cơ bản tức là một cách
gián tiếp ta đi tìm hiểu tự nhiên, vũ trụ. Vì vậy việc nghiên cứu hạt cơ bản là một
vấn đề luôn luôn đặt ra không chỉ cho các nhà vật lý mà cho tất cả những ai yêu
thích môn hạt cơ bản.
Những hạt cơ bản được phát hiện đầu tiên là: điện tử, proton, nơtrôn và
đến nay người ta đã phát hiện ra hơn 200 hạt kể cả các hạt cộng hưởng. Các
hạt cấu kết với nhau nhờ các loại tương tác tuy nhiên tuỳ từng quá trình cụ thể
mà các tương tác có vai trò khác nhau.
Trong tự nhiên có 4 loại tương tác:
1.Tương tác hấp dẫn: Là tương tác yếu nhất nhưng lại phổ biến nhất
gắn liền với "vạn vật" có khối lượng và bán kính tác dụng của tương tác này
không giới hạn. Do khối lượng của các hạt rất nhỏ nên lực tương tác hấp dẫn
cũng rất nhỏ. Vì vậy trong thế giới vi mô loại tương tác này có vai trò không
đáng kể có thể bỏ qua.
2.Tương tác điện từ: Có bán kính tác dụng không bị giới hạn. Trong
vật lý hạt, tương tác điện từ không chỉ thể hiện ở các phần tử mang điện mà
còn thể hiện ở các quá trình sinh, huỷ cặp.
3.Tương tác mạnh: Bán kính tác dụng vào cỡ kích thước hạt nhân
( 10 13 cm). Tương tác này chỉ có đối với các hạt nặng và trung bình (các
hadron).
4.Tương tác yếu: Là tương tác gắn với quá trình phân rã của các hạt
cơ bản hay quá trình phóng xạ của hạt nhân.
Thời gian xảy ra tương tác yếu chậm hơn thời gian xảy ra tương tác mạnh
(10 10 s/10 23 s) trong khi đó thời gian sảy ra tương tác điện từ và tương tác hấp

dẫn bằng vô cùng.

Nguyễn Thị Lan Phương

2

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

Khi nghiên cứu các loại tương tác này có rất nhiều các phương pháp
nghiên cứu khác nhau:
+ Tương tác mạnh: Có thể dùng lý thuyết nhóm đối xứng để nghiên cứu.
+ Tương tác yếu: Một trong các cách nghiên cứu tương tác ở vùng năng
lượng thấp là sử dụng lý thuyết tương tác yếu vạn năng V_A.
Trong luận văn này em tìm hiểu và sử dụng lý thuyết tương tác yếu vạn
năng V A để nghiên cứu về quá trình phân rã của hạt _meson.

2. mục đích nghiên cứu:

- Tìm hiểu quá trình phân rã lepton của hạt _meson.

3.nhiệm vụ nghiên cứu:

- Tính hằng số fermi G.
- Tính hằng số phân rã của _meson.


4. đối tượng nghiên cứu:

- Quá trình phân rã của _meson.

5. phương pháp nghiên cứu:

- Đọc, nghiên cứu tài liệu và tổng kết các vấn đề mang tính khoa học.

Nguyễn Thị Lan Phương

3

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp
B. NộI DUNG
Chương 1: Tương tác yếu

1.1. Tương tác yếu:

- Tương tác yếu là tương tác gắn liền với quá trình phóng xạ của hạt
nhân và quá trình phân rã của hạt cơ bản.
- Tương tác yếu xảy ra chậm hơn so với tương tác mạnh: thời gian xảy
ra tương tác yếu vào cỡ 10-8 - 10-10 (s).

~


- Con thoi chuyển tải tương tác yếu là e, phản nơtrino ( e ) hay e và

e .
- Tương tác yếu vi phạm định luật bảo toàn tính chẵn lẻ và tính bất biến
đối với phép liên hợp điện tích.

1.2. Phân loại tương tác yếu:

Như chúng ta đã biết vật lý hạt cơ bản ngày nay liên quan tới cấu trúc tột
cùng của vật chất và chi phối nhiều nguyên lý cơ bản của tự nhiên. Chính vì vậy
khi nghiên cứu hạt cơ bản chúng ta không thể không biết cách phân loại.
Dựa vào các tương tác hạt cơ bản được phân chia thành 2 loại:
- Các hạt hadron (hạt nặng và hạt trung bình) tuân theo tương tác mạnh
và các tương tác khác.
- Các hạt lepton (hạt nhẹ) không tuân theo tương tác mạnh chỉ tuân theo
tương tác yếu và tương tác điện từ (trừ proton có spin = 1, còn các hạt khác
spin bằng 1/2).
ở đây chúng ta xét trong thế giới các hạt cơ bản là xét các hạt trong thế
giới vi mô có kích thước 10-13cm trở xuống. Do tương tác hấp dẫn có cường độ
bé nên ở đây không xét đến.

Nguyễn Thị Lan Phương

4

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson


Khoá luận tốt nghiệp

Hằng số đặc trưng của tương tác yếu G =

105
. Trên thực tế nó được
m 2p

biểu hiện bằng thời gian sống của hạt. Dưới tác dụng của tương tác hạt sẽ bị
phân rã và nếu tương tác càng mạnh thì thời gian sống càng bé. Thời gian
sống của quá trình tương tác yếu cỡ 10-10(s)
* Các quá trình tương tác yếu được phân chia làm 2 loại chính:
1) Quá trình lepton thuần túy:
Là quá trình tương tác chỉ có lepton tham gia.

e
e e- + ~
VD: e- + ~
e +
- e- + ~
2) Quá trình có hadron tham gia:
Các quá trình này thường phức tạp vì có cả tương tác yếu và tương tác
mạnh tham gia.
VD:

e
n = p + e- + ~

* Có thể chia quá trình có hadron tham gia thành các loại sau:
a) Rã lepton: là quá trình phân rã mà sản phẩm của nó chỉ là lepton.

Ta có sơ đồ sau:
Meson các lepton
+ + +

VD: + e+ + e

e
- e- + ~


_ - + ~

K+ e+ + e

K+ + +

e
K- e- + ~


K- - + ~





b) Rã nửa lepton: là quá trình phân rã mà sản phẩm của nó là lepton và
hadron.
Ta có sơ đồ:
Hadron Hadron + Lepton


Nguyễn Thị Lan Phương

5

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

* Cụ thể:
+ Baryon Baryon + Lepton
VD:

0 + + e- + ~ e




e
0 + e- + ~

e
+ e- + ~

+ e+ + e

n + e- + ~ e

+ Baryon Baryon + Meson + Lepton

p + + + e- + ~ e

n + 0 + e- + ~ e

0 0 + K + - + ~



+ Meson Meson + Lepton
VD:



+ 0 + e+ + e

K+ 0 + e+ + e

e
- 0 + e- + ~

e
K- 0 + e- + ~

0 - + e+ + e

e
K0 + + e- + ~


e
0 + + e- + ~

K0 - + e+ + e

c) Rã không lepton: là quá trình phân rã mà sản phẩm không có mặt các
lepton.
Ta có sơ đồ:
Hadron Hadron
p

0 0

K+ ++-

n

-

K+ +00

p0

K0 +-

n-

VD: K+ +0

n+

Nguyễn Thị Lan Phương

6

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

Trong các quá trình xảy ra do tương tác yếu các định luật sau đây vẫn
được nghiệm đúng.
+ Định luật bảo toàn điện tích.
+ Định luật bảo toàn số baryon.
+ Định luật bảo toàn số lepton:
l= 1 đối với e-, e , -, .


.
e , +, ~
l = - 1 đối với e+, ~


Ngoài ra còn một số lượng tử không được bảo toàn, thí dụ như số lạ:
Gọi Si, Sf là số lạ ở trạng thái đầu và trạng thái cuối thì trong quá trình
trên sẽ có một số quá trình thay đổi số lạ:
S = Sf - Si
S = 0; 1; 2 (rất ít)
Tương tự với các hadron ta thấy có sự thay đổi điện tích:

Q = Qf Qi
Ta nhận thấy trong quá trình rã lepton và rã nửa lepton có sự tương tự
giữa sự thay đổi số lạ và sự thay đổi điện tích:
Nếu S = 0 Q = 1
Nếu S = 1 Q = S
Đối với quá trình rã không lepton (hadron Hadron khác) thì
S = 1.
Năm 1956 Lý Chính Đạo và Dương Chấn Ninh đã phát hiện về khả năng
Bất biến tính chẵn lẻ bị vi phạm trong tương tác yếu. Họ nhận xét rằng sự bất
biến của tương tác yếu bởi đối xứng gương là một giả thuyết ngầm không có cơ sở
của thực nghiệm và đề nghị một dây những thí nghiệm để kiểm chứng. Giả thiết về
sự vi phạm tính chẵn lẻ đã được một số thí nghiệm bởi bà Vũ Diễm Xương và một
số người khác kiểm tra. Cũng trong khoảng thời gian này Sudarshan, Marshak,
Feynman, Gellman, Sakurai đã nghiên cứu và mở rộng thuyết vectơ của Fermi về

Nguyễn Thị Lan Phương

7

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

sự phân rã và thuyết V-A ra đời năm 1958.
Trên cơ sở đó thuyết V A đã được áp dụng cho tất cả các quá trình
xảy ra trong tương tác yếu ở vùng năng lượng thấp.


1.3. Lý thuyết tương tác yếu vạn năng V-A :

Như trên chúng ta đã biết tương tác yếu gây nên sự phân rã của các hạt
cơ bản cũng như một số quá trình xảy ra khi va chạm giữa các hạt (quá trình
tán xạ). Nếu so với các quá trình xảy ra trong tương tác mạnh tiết diện tán xạ
hiệu dụng của các quá trình xảy ra gây nên bởi tương tác yếu nhỏ hơn rất
nhiều lần (khoảng 10-40cm2/10-27cm 2 ), tuy nhiên khoảng thời gian sống của
các quá trình rã lâu hơn (10 10 s/10 23 s) và vì vậy mà các quá trình gây nên bởi
tương tác yếu được gọi là quá trình chậm.
Mặc dù các hiện tượng thực nghiệm về tương tác yếu đã được phát hiện
rất sớm ví dụ như sự phân rã đã được phát hiện ra từ cuối thế kỷ XIX, nhưng
mãi đến năm 1934 Fermi mới xây dựng lý thuyết đầu tiên về tương tác yếu
xuất phát từ sự tương tự với điện động lực học lượng tử.
Nơtrino và phản nơtrino xuất hiện trong quá trình phân rã , không
chứa bên trong hạt nhân và được tạo ra trong chính quá trình phân rã . Điều
này tương tự với sự phát xạ proton không chứa trong nguyên tử mà xuất hiện
trong quá trình bức xạ. Trên cơ sở đó quá trình phân rã :

e
n p + e- + ~
Có thể được mô tả tương tự quá trình bức xạ trong điện động lực học
lượng tử. Quá trình bức xạ được mô tả nhờ dòng được sinh ra bởi các hạt tích
điện. Vì vậy một cách tự nhiên có thể mô tả sự phân rã , đồng thời các quá
trình yếu khác bằng cách đưa ra khái niệm dòng của các hạt.
Mặc dù lý thuyết của Fermi chưa được phù hợp, nhưng ý tưởng dùng
các dòng để xây dựng Hamiltonian tương tác để mô tả các quá trình xảy ra
trong tương tác yếu về sau đã được chứng tỏ là đúng đắn.

Nguyễn Thị Lan Phương


8

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

Thực nghiệm đã xác nhận rằng trong tương tác yếu các định luật bảo
toàn tính chẵn lẻ, tính bất biến đối với phép liên hợp điện tích là bị vi phạm.
Do đó cần phải thiết lập những dòng sao cho điều đó được thể hiện.
Từ các hàm sóng của các lepton và các nơtrino có thể xây dựng được 5
loại dòng:
- Dòng vô hướng

S



- Dòng giả vô hướng

P

5

- Dòng véc tơ

V




- Dòng giả véc tơ

A

5

- Dòng tenxơ

T



: ma trận đirăc

(, = 0,3 )

: ma trận đirăc, 5 = 0123
Với chúng ta có thể tạo nên 5 dạng tương tác bất biến tương đối tính và
bằng các tổ hợp tuyến tính chúng một cách thích hợp ta có những kiểu khác
nhau để mô tả các quá trình gây nên bởi tương tác yếu.
Tương ứng với 5 loại dòng trên có rất nhiều cách tổ hợp chúng lại. Bây
giờ ta sẽ xét một trong những cách tổ hợp đó.
Năm 1958 ba nhóm tác giả: Sudarshan và Marshak, Feynman và Gellman,
Sakurai độc lập với nhau đã đưa ra lý thuyết tương tác yếu vạn năng V A trong
lý thuyết này Hamiltonian của tương tác yếu có dạng:

Hw =


G
J ( x )J ( x )
2

(1)

G: Hằng số Fermi
x: Số trạng thái

J ( x ) : Các dòng tương tác yếu của nơtrino, e và các phản hạt tương
ứng của chúng.

Nguyễn Thị Lan Phương

9

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson
ở đây:

Khoá luận tốt nghiệp

J ( x ) J had (x) J lep (x)

(2)

Trong đó:


J lep ( x ) = J l V ( x ) - J l A ( x ) =



(1 5 ) l

l e, ,

J lep ( x ) = e (x) (1 5 ) ( ) (x) ( ) (x) (1 5 ) ( ) (x)
e





+ ( ) ( x ) (1 5 ) ( ) ( x )

(3)

Dạng cụ thể của dòng không biết được nhưng theo giả thiết V_A, ta có
thể viết:

J had ( x ) J hV ( x ) J hA ( x )

(4)

Tính vạn năng của lý thuyết này thể hiện ở chỗ tất cả các quá trình yếu
được mô tả bởi Hamiltonian với một hằng số duy nhất. Mà như đã biết từ các
dòng tương tác yếu J biết Hamiltonian hay Lagrăng tương tác tính ma
trận tán xạ tính biên độ tán xạ xác suất của hạt thời gian sống và các

yếu tố khác.
Như vậy ta sẽ biết được đầy đủ thông tin về hạt khi dùng lý thuyết
tương tác yếu V-A.
Bằng thực nghiệm người ta đã xác định lý thuyết tương tác yếu vạn
năng V-A hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm. ở vùng năng lượng thấp
600GeV trở xuống. Điều này được làm sáng tỏ khi sử dụng lý thuyết này để
nghiên cứu quá trình rã lepton của -meson sau:

Nguyễn Thị Lan Phương

10

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

Chương 2: Sự phân rã của -Meson

2.1. Sự phân rã lepton của _meson: ( l )

~
Xét quá trình rã : l l (l e, )

Có thể mô tả bằng sơ đồ sau:
p




l





Trong sơ đồ quark
k

~
l

q
S = 0



u

d

l
~
l

Q = 1

l
k, p, q xung lượng của , l-, ~

Đầu tiên để đơn giản ta xét quá trình chỉ có lepton và tính được dòng
lepton sau đó thay vào Hamiltonian ma trận tán xạ.


Từ dòng J lep ( x ) ở (3) suy ra:


J lep ( x )



(l )

( x ) (1 5 ) ( l ) ( x )

l e ,




= ( e ) ( x ) (1 5 ) ( e ) ( x ) + ( ) ( x ) (1 5 ) ( ) ( x ) (5)

Ma trận tán xạ:
S=T

e

i Lint ( x ) d 4 x










T: Thành phần viết các số hạng theo thời gian giảm dần.
L int : Lagrăng tương tác
Trường hợp trong L int (và H int cũng vậy) không có chứa số hạng đạo
hàm (không phụ thuộc vào động năng chỉ phụ thuộc vào cơ chế tương tác)
L int (x) = - H int (x)

Nguyễn Thị Lan Phương

(7)

11

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

Trong phép gần đúng cấp 1:

Sif = f S i
Sif f i i f H


int

( x )d 4 x i +

Sử dụng các tính chất sau:




i ( p p )
f F( x ) i = f eipx F(0)e ipx i = e f i f F(0) i

(8)

Và:

d

4

xe

i(pf pi )x

4

2 ( p f p i )

(9)


Ta được:




Si(1) f = f i i f eipxH int (0)d 4 xe ipx i
i ( p p ) x
f Hint (0) i d 4 x
= fi i e
f

i

= fi i(2) 4 (p f p i ) f H int (0) i
4
= fi i(2) (p f p i )

G
f J (0)J (0) i
2

G

4
f J (0) J (0) i
= fi i(2) (p f p i )
2




= fi i(2) 4 (p f p i )Tfi

2.2. Tính phần tử ma trận T fi :

ở đây:
Tfi

G
f J (0) J (0) i
2

(10)

Thông thường trạng thái đầu và cuối là khác nhau, do đó:
1)
4
Si(
f i ( 2) ( p f p i )Tfi

(10a)

J (0)J (0) J lep J lep J had J lep J lep J had J had J had

(10b)

Nguyễn Thị Lan Phương

12


K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

Để tính Tfi ta nhắc lại biểu thức khai triển của các toán tử trường Spinơ:
1
(A ) (x)
(2)3/ 2

(A) (x)

1
(2)3/ 2

d 3 p (r )
r E / M a (A ) (p)u (A(r )) (p)e ipx b(A (r)) (p)v rA p eipx (11)
p
(r)
r
d 3 p (r)
(r)
(p)u A p eipx
r E / M b(A) (p)v(A) (p)eipx a (A)

p

(11)


ở đây (A) là loại hạt, thí dụ A = e, , e , ,
(r) là chỉ số phân cực (spin).

a (( rA)) (p), a (A( r)) (p) là các toán tử hủy và sinh hoạt loại A, có xung lượng
p và độ phân cực r tương ứng.
(r)
b (( rA)) (p), b ( A ) (p) là các toán tử hủy và sinh phản hạt loại A,

Đối với các hạt có spin 1/2, r = 1,2.
(t)
u (l)
(p) : hàm sinh hạt có spin s, xung lượng p.

v(t)
( l ) (p) : hàm huỷ l có xung lượng q, spin t.

Các hệ thức phản giao hoán giữa các toán tử sinh, hủy:
( s )
( s )
(r )
(r)
{ a ( A ) (p), a ( A ) (p')} = { b ( A ) (p), b ( A ) (p')} = rs

Ep
M


(p p ')


(12)

Các hệ thức phản giao hoán khác bằng 0.

l (q) ta sẽ
Lấy yếu tố ma trận (10b) giữa 2 trạng thái - (k ) và l (p)~

thấy rằng chỉ có số hạng thứ 3 cho đóng góp khác không. Thật vậy, nếu yếu tố
ma trận của các số hạng thứ 1 và 4 giữa 2 trạng thái này bằng 0 là hiển nhiên,
còn trong số hạng thứ 2 dòng J+lep (0) chứa biểu thức dạng:

( ) (1 5 )( l ) .
l

Từ (11) ta thấy ( l ) (0) (hoặc ( l ) (0) ) chứa toán tử hủy l và sinh l+

l và sinh l ) cho nên khi tác dụng lên các trạng thái đầu
(chứa toán tử hủy ~
và cuối sẽ bị triệt tiêu.

Nguyễn Thị Lan Phương

13

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp


Do đó:
Tfi = =-

G ~
l ( p) l (q) ( l ) (0) (1 5 ) (0) J had (0) ( k )
2
l

G ~
l ( p) l (q) ( l ) (0) (1 5 ) (0) 0 0 J had (0) ( k )
2
l

Viết thành 2 yếu tố ma trận là 2 tích phân ta chỉ việc chia đoạn ra:
Với:

l ( p) ~
l (q) = (2 ) 3 0 a (( sl )) ( p)b (( t )l ) (q)

(12a)

Trạng thái cuối.
Ta có:

d 3p
1
G
(s)
(t)

3
0 a ( l ) ( p ) b ( ) (q ) E
Tfi = (2 )
s
p
(2) 3
2
M
l

b

(s )
(l)

(s )
(l)

( p) v ( p) a

( s )
(l)



(s)
(l)




(p)u (p) (1 5 )

l

E
t

d 3q
q

M

a

(t)
( l )

l

(q)u (( t ) ) (q) b (( t)) (q) v (( t ) ) (q) 0 0 J had (k )
l

l

l

d 3 pd 3 q
(s)
G
(s)

(t)
(s )
0 a ( l ) ( p) b ( ) (q ) E
b
(
p
)
v
( l ) ( p)
=(
l
)
Eq
s,t
p
2
M
M



l

l



(s)

l








(s )
(t)
(t)
(t)
(t)
+ a ( l ) (p)u ( l ) ( p) (1 5 ) a ( l ) (q)u ( l ) (q) b ( l ) (q) v ( l ) (q) 0

0 J had (k )
=-

b

(s)
(l)

G
2 Ep
(s)

1
Eq
M


l

3
3
0 a (( sl )) ( p)b (( t ) ) (q ) d pd q
l

M
(s )

s ,t

l



(p) v ( l ) (p) a (l()s ) (p)u ( l ) (p) (1 5 ) b (( t)) (q ) v (( t ) ) (q ) 0 0 J had (k )

Nguyễn Thị Lan Phương

l

14

l

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

G
2 Ep

Tfi = -

b

(s )
(l)

Khoá luận tốt nghiệp
1
Eq

M

3

M

l

3

d pd q

0 a (( sl )) ( p) b (( t ) ) (q )
l

l


(s )

(s )

( p ) v ( l ) (1 5 ) b ((t)) (q)v (t() ) (q) + a (l()s ) (p)u ( l ) (p) (1 5 )
l

l

b (( t)) (q) v(( t ) ) (q) 0 0 J had (k )
l

G
=2 Ep

l

1
Eq
M

l

(s )

(s )
3
3
(s)

(t)
d pd q 0 a ( l ) (p)b ( ) (q) a ( l) (p)u ( l) (p)
l

M

l

(1 5 ) b (( t)) (q) v (( t ) ) (q) 0 0 J had ( k )
l

=-

Tfi =-

l

G
(s)
d 3pd3q 0 u ( l ) (p) (1 5 ) v(( t ) ) (q) 0 0 J had (k )

2
l

G (s)
u ( l ) (p) (1 5 ) v (( t ) ) (q) 0 J had (k )
2

(12b)


l

Mà ta lại có:

0 J had (0) (k ) = 0 J V (0) (k ) - 0 J A (0) (k )
Do ( k ) là 1 giả vô hướng nên số hạng thứ nhất là 1 giả vectơ. Mặt
khác số hạng này chỉ phụ thuộc vào 1 vectơ k và do không thể tạo nên 1 giả
vectơ từ 1 vectơ cho nên số hạng đầu tiên này bằng 0.
Ta đặt:

0 J A (0) (k ) = i f k

(13)

Trong đó :

f : hằng số rã của _meson.
k : xung lượng của _meson trong không gian 4 chiều.
Lúc đó ta được:
Tfi =

G (s )
(t)
u ( l ) (p) (1 5 ) v ( l ) (q) (i f k )
2

Nguyễn Thị Lan Phương

15


(14)

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

Sử dụng tính bảo toàn xung lượng 4 chiều k = p + q
Và phương trình Dirac, lưu ý rằng m l = 0, từ (14) ta được ( tạm thời
không xét đến số spin ): (p m) u=0
(s )
(s )
(t)
(t)
u ( l ) (p) (1 5 ) v ( ) (q) k = u ( l ) (p) k (1 5 ) v ( ) (q)
l

l

(s)

(t)

= u ( l ) (p) (p q )(1 5 ) v ( l ) (q)
(s)

(s)


(t)
(t)
= u ( l ) ( p) p(1 5 ) v ( l ) (q ) + u ( l ) ( p) q (1 5 ) v ( l ) (q )
(s )

(t)

= m l u ( l ) ( p) (1 5 ) v ( l ) (q)
T fi =

(s )
G
(t)
if m l u ( l ) (p) (1 5 ) v ( l ) (q )
2

(15)

2.3. Tính biên độ phân rã:

Xác suất chuyển dời trong 1 đơn vị thời gian, trong 1 đơn vị thể tích là:
4 4
W fi = (2) ( p f p i ) Tfi

2

Biên độ rã:

1
= (2 ) (p f pi ) Tfi


4

4

2

m


l 1

(l)
dp f
(2) 3 f

(l)

(16)

: mật độ hạt ở trạng thái đầu.
( l)

f : mật độ hạt ở trạng thái cuối.
2

Tfi : lấy trung bình spin các trạng thái đầu và tổng theo các trạng thái cuối.
ở đây:
2


Tfi =

1
2
Tfi

2s 1 s ,t

(17)

2 : bozon

= E : Fermion


(18)

M

Nguyễn Thị Lan Phương

16

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp


Thay vì chuẩn hoá như (18) ta có thể chuẩn hoá sao cho mật độ hạt:
2
(2) 3 : bozon

E

: Femion
( 2) 3 M

Lúc đó biên độ phân rã:

(l)
m
1
d
p
2
= (2 ) 7 (p f pi ) ' Tfi ' f( l )

l1
f
4

ở đây :

2 : bozon

' = E : Fermion

M


Nhưng lúc đó (12a) được định nghĩa lại:

l (p)~
l (q ) = l 0 a (( sl )) (p)b (( t ) ) (q )
l

Và ở (12b)sẽ xuất hiện thêm thừa số

1
(2)3

Giá trị cuối cùng ở đây hơi khác 1 thừa số 2 sự khác nhau này bị
khử đi nếu chú ý cách định nghĩa lại trạng thái chân không nào

0 J 1 (0) (k ) =

if k
( 2)

3

2

còn nói chung không đổi.

Nếu trực tiếp thì ta sẽ thu được biểu thức với nhiều ma trận hơn và
khi lấy spur ta sẽ nhận được kết quả.
2
2(pk)(qk) - k 2 (pq) m m l E l

2
2(pk)(qk) = ( m E l m ) m E l

E =
l

m 2 m l2
2m

Nguyễn Thị Lan Phương

17

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

Ta có:

u ( r ) (p) =

1
(M p)u ( r ) (0)
2M(M E p )

v ( r ) (p) =


1
(M p) v ( r ) (0)
2M ( M E p )

1

0
u (1) (0)
0

0

0

1
u ( 2 ) ( 0) 0

0


0

0
v (1) (0) 1

0

0

0

( 2)

v (0)
0

1


(r)
(r)
(s)
u
(
p
)
u
(
p
)

u
(0)u ( s ) (0) rs

o
(r)
1 (r)
(s )
(r)
(r)
v

(
p
)
v
(
p
)

v
(0) v ( s ) (0) rs
u
(
0
)
u
(
0
)
=
r

2
E
( r )*

u (p)u ( s ) (p) p rs

M

Do spin của meson bằng 0,sử dụng các hệ thức:


u

(r)


(r)

( p) u ( p ) =

r

v

(r)


(r)

( p ) v ( p) =

r

1
(p M )
2M

(19)

1

( p M )
2M

(20)

Ta được:

Tfi

2

= T fi x Tif*

G2 2 2
f m
=
2 l


s ,t

(t)

(s )

u ( l ) (p) (1 5 ) v (( t )l ) (q ) v ( l ) (q ) (1 5 ) u (( sl )) (p)

1
G2
2

sp (p m l ) (1 5 ) ( q m ) (1 5 )
f m l2
=
4m l m
2
l

l

Nguyễn Thị Lan Phương

18

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

Một số quy tắc khi tính vết của 1 số ma trận:
+ Vết của 1 số lẻ các ma trận bằng 0 :
Sp( ..... ) = 0
ở đây ..... có (2n + 1) số hạng.
+ Vết của 1 số chẵn các ma trận :
Sp( n1 n 2 ..... n l ) = g n1n 2 Sp( n3 ..... nl ) - g n1n 3 Sp( n 2 n 4 ..... n l ) +.
l

+ (-1) g n1n l Sp( n1 ...... n l 1 )
+ Sp 5 = 0

ở đây ta định nghĩa: 5 = -i 0 1 2 3 =

i

4!

0123 = -1 = - 0123

=

1
Sp 5
4i

i

2
Sp


Sp 5
1
5
Sp 5
4!
Và

4i
4!


Khi đó hàm sóng (hàm trường) tương ứng sẽ được mô tả bằng phương
trình sau:

=

i
i
Sp 5 - 4! = - Sp 5
4
4!

= -

5 =

i
Sp 5
4

i

4!




Sp 5 =

i
Sp

4!

Nguyễn Thị Lan Phương

19

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson
Sp 5

Khoá luận tốt nghiệp



=

i ' ' ' '
g g g g Sp
4!

Sp = gSp.... gSp... gSp.... gSp...
g Sp... g Sp... g Sp...


Sp 5 = 4i

+ Sp 5 = 0
+ Sp = 4 ( g g g g g g )

Kết quả:
2

Tfi

2

G 2 f
m l2 8( pq )
=
8m l m v
l

2

2
2
= G f ml m

Ev

l

mlmv

l

Với E vl là năng lượng của nơtrinô trong hệ hạt đứng yên, E vl ở đây là
hằng số.





Trong hệ quy chiếu hạt _meson đứng yên k = 0, k o = m
o 0
(pq) = (k - q)q = kq = k q = m E vl

Xác suất phân rã ở đây được viết dưới dạng:
2

1 Tfi
d
d =
2s 1 2m
2

Tfi


Với : =
2m

ở đây: m


dp

4

Với:


= ( 2 )


dq

E
E
( 2 ) l ( 2 ) 3 v
ml
mv

Nguyễn Thị Lan Phương

3

(21)

( p q k )

l

l

20

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson


Khoá luận tốt nghiệp



1
dp dq
o
o
o
m
m

(
p

q

k
)

(
p
q k)

=

l
v
(2) 2

El E v

(22)

l

l

Khi lấy tích phân (22) lưu ý rằng E l , E vl không phải là hàm số mà là





hàm theo p và q . Do E l có thể biểu diễn qua E vl cho nên khi lấy tích phân


theo p cũng có thể coi nó là hằng số.
o
o
o
Và ta lại có: (p q k ) ( E l E vl m )

( p o , q o , k o tương ứng tỉ lệ với E l , E vl , m )


Lấy tích phân theo dp :

d
p

( p q k ) = 1


dq
( E l E v m )
=
( 2 ) 2 E l E v
mlm v

l

l

l

Từ (22) ta thấy tích phân có chứa hàm delta tham gia mà hàm số của
hàm delta là hàm của biến lấy tích phân:

f (x i )

dy

dxf (x )y( x ) =

trong đó x i là nghiệm của y(x) = 0.

i

dx x


i





~
Lấy tích phân trong hệ khối tâm của l và l , lúc đó p q và


E l p o m l2 p 2 m l2 q 2 m l2 m 2v E 2v m l2 E 2v
l

l

l


dq
( E l E v m )
Bởi vậy: =
( 2 ) 2 E l E v
mlm v

l

l

l


mlm v

q 2 dqd
( E l E v m )
=
( 2 ) 2 E l E v
l

l

l

=

mlm v


l

(m

Nguyễn Thị Lan Phương

Ev
2
l

l

Ev )


1

2

(E v m l2 E 2 m )dE v
l

l

l

l

21

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson
Lưu ý rằng:

Khoá luận tốt nghiệp


q En q



Đặt I =


Ev

l

( m l2 E v )

1

2

( E v m l2 E 2v m )dE v
l

l

l

l





m l2 E 2v

X = E vl +

Để tính I ta đặt :


l

E2l + m l2 = ( X - E v ) 2 = X 2 - 2X E v + E 2v
l

l

l

X 2 m l2
Ev =
2X
l

X 2 m l2
dX
dE v =
2X 2
l

Từ :
X = E vl +


2
l

m E

2

vl

m l2 E 2v

l

X 2 ml2
X 2 m l2
= X - E vl = X =
2X
2X

X 2 m l2 2X
X 2 m l2
( X m )
dX
I=
2X X 2 m l2
2X 2
X 2 m l2 X 2 m l2
(X m )dX
= 2
X m l2 2X 2

X 2 m l2
(X m )dX
=
2X 2

m 2 m l2

=
2m 2

1
0

(vì (X m ) =

khiX m
khiX m

)

Giá trị cực đại của E vl được tính từ:
k=p+q
mà

k 2 (p q) 2 = p 2 q 2 2 pq
pq = (k - q)q = kq - q 2

q 2 << pq = kq = m E l

Nguyễn Thị Lan Phương

22

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

2

Khoá luận tốt nghiệp
2

k p 2pq
2

2
Hay: m = m l 2m E l

m 2 m l2
E =
2m
l

E
m 2 m l2
I =
=
m
2m 2
l



Kết quả:

1 2 2 2 (m 2 m l2 ) 2
= G f ml

8
m 3
Lưu ý: Rã thành 2 hạt ~
Rã thành 3 hạt ~
(r)

(23)

1 1
(
2

1 tích phân cầu )

1
1
3 (

5

2 tích phân cầu )

(t)


( )
u(l) (k) (1 5 )v(s)
( e ) (q1 )u ( ) (q2 ) (1 5 )u() (p)

Tfi


2

(p m ) G 2
(k m e )
q1
q 2

(1 5 )
(1 5 )
=
2m
2
2m e
2m 2m
e

G2
1
=
32m e m m m




e

Với l = e, ta thu được biên độ rã của các quá trình tương ứng.
Ví dụ xét 2 quá trình phân rã sau:
e ~

e
~
e
Bây giờ ta đi lập tỉ số về biên độ rã của 2 quá trình này:
( e ~
e )
m e 2 m 2 m e2
(
) ( 2
) 1,29.10 4
=

~
2
( )
m
m m








Trong khi đó thực nghiệm đo được ( 1,21 0,07 ).10

Nguyễn Thị Lan Phương

23


4

K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

Điều này chứng tỏ rằng lý thuyết vạn năng V-A có thể mô tả rất tốt các
quá trình yếu.
Trên cơ sở trình bày trên chúng ta nhận thấy rằng lý thuyết tương tác
yếu vạn năng V-A là lý thuyết mô tả rất chính xác các quá trình xảy ra trong
tương tác yếu ở vùng năng lượng thấp.
Lý thuyết vạn năng V-A đã mô tả các quá trình xảy ra trong tương tác
yếu đều được mô tả bởi một dạng Hamiltonan tương tác và một hằng số G duy
nhất.
Còn khi áp dụng lý thuyết vạn năng V-A ở mức năng lượng cao trên
600GeV thì kết quả cho thấy một số quy luật bảo toàn bị phá vỡ ví dụ sự bảo
toàn xác suất bị phá vỡ.
Vấn đề bây giờ là tìm cách xác định G và f.

2.4. Xác định hằng số fermi và hằng số rã của

_meson:

Xác định G.
Chọn quá trình nào đó chỉ thuần tuý lepton (để khỏi dính dáng đến f).
Xét quá trình rã:


e
- e- + ~
Quá trình này được biểu diễn qua giản đồ sau:


e (k ) r


~
e (q1 )s

(p)

(q 2 ) t

Tương tự trước đây (10a) yếu tố ma trận của ma trận tán xạ S giữa 2
trạng thái đã cho:
1)
Si(
f

iG
( 2 ) 4 ( k q1 q 2 p ) e ( k ) ~
e ( q1 ) ( q 2 ) J ( 0) J ( 0) ( p )
2

Nguyễn Thị Lan Phương

24


K31B_ Sp vật lý


Phân rã _ meson

Khoá luận tốt nghiệp

Đặt:

e (q1 ) (q 2 ) J (0) J (0) (p)
Afi = e ( k ) ~

J (0)J (0) J lep (0)J lep (0) J lep (0)J had J had (0)J lep (0) J had (0)J had (0)
Do đây là quá trình thuần tuý lepton cho nên (dòng Jhad sẽ không cho
đóng góp) chỉ có số hạng Jlep(0) J lep (0) mới có yếu tố ma trận khác không.
Mặt khác do các trạng thái đầu và cuối đã được xác định cho nên đã
thấy rằng chỉ có thành phần sau cho đóng góp:

( e ) (0) (1 5 ) ( ) (0) ( ) (1 5 ) ( )
e

(1)



Với:

e ( k )~
e (q1 ) (q 2 ) (2)3 / 2 0 a (( er )) (k ) b (s ) (q 2 )a (t ) (q 2 )


(2)

- (p) = (2)3/2 a (( )u ) ( p ) 0

(3)

e



Yếu tố ma trận (1) giữa 2 trạng thái (2) và (3)
(r )

(t)

(s)

(u )
Afi = u (e) (k) (1 5 )v( e ) (q1 )v( ) (q 2 ) (1 5 )u ( ) (p)

Do có spin s =

Tfi

2

1
cho nên:
2


1
1
iG
2

Tfi
A fi


2s 1 r ,s ,t ,u
2s 1r ,s ,t ,u 2

1 G2
= .
2 2

u

(r)
(e)

2

(t )

)
( k ) (1 5 ) v (( s) ) (q1 ) v ( ) (q 2 ) (1 5 )u (u
( ) (p)
e


r ,s , t ,u

(u)

(s)

(r)
u ( ) (p) (1 5 )v(t)
( ) (q 2 ) v ( ) (q1 ) (1 5 ) u ( e ) ( k )
e

G2
=
4

v

(s )
( e )

(r )

(q1 ) (1 5 ) u (( er )) ( k ) u ( e ) ( k ) (1 5 ) v (( s) ) (q1 )
e

r ,s

v


(t)
( )

u

(q 2 ) (1 5 )u ((u )) (p).u ( ) (p) (1 5 )v ((t) ) (q 2 )

t ,u

Nguyễn Thị Lan Phương

25

K31B_ Sp vật lý