Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được Khoá luận tốt nghiệp này, ngoài sự nỗ lực nghiên
cứu của bản thân, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ tận tình của cô giáo
- Thạc sỹ Nguyễn Thị Phương Lan và của toàn thể các cán bộ, giảng viên
trong khoa Vật lý.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này của các thầy cô!
Ngày

tháng

năm 2009

Sinh viên

Phạm Thị Hải Anh

Phạm Thị Hải Anh

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

a. phần mở đầu

i. Lý do chọn đề tài

Cùng với sự phát triển của xã hội loài người , Vật lý học đã trải qua
nhiều giai đoạn phát triển và đạt được nhiều thành tựu đáng kể : Thế kỷ XVIII
cơ học cổ điển của Niutơn đã trở thành môn khoa học cơ bản , thế kỷ XIX lý
thuyết điện từ trường của Macxoen và Faraday ra đời có nhiều ứng dụng trong
đời sống và khoa học , thế kỷ XX là thế kỷ của Vật lý học hiện đại với khuynh
hướng thâm nhập sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất . Khi đó người ta nhận
thấy không còn có sự thống nhất giữa các quy luật xảy ra trong thế giới vi mô
với các quy luật đã tìm thấy trong thống kê cổ điển.
Vật lý thống kê kết hợp với nhiệt động lực học là một bộ phận của Vật
lý hiện đại , nó nghiên cứu các hệ gồm vô số các hoạt động bằng phương pháp
thống kê , trong đó có cả kim loại. Nói đến kim loại ta thấy nó có rất nhiều
đóng góp như : Đóng góp về nhiệt dung, đóng góp về dao động mạng và đặc
biệt là có sự đóng góp về khí Electron. Electron tuân theo các phân bố thống
kê khác nhau: Theo lý thuyết cổ điển, Electron tuân theo phân bố Gipxơ; theo
lý thuyết lượng tử , Electron lại tuân theo phân bố Fecmi Đirăc.
Khi nghiên cứu về khí Electron trong kim loại ta thu được một số tính
chất của kim loại như: Tính dẫn nhiệt, tính dẫn điện của kim loại, giải thích
được một loạt các hiện tượng quan sát được trong kim loại và đóng góp về
nhiệt dung của khí Electron.
Khí Electron trong kim loại là đề tài được rất nhiều người quan tâm, do
đó tôi chọn đề tài này nhằm tìm hiểu sâu hơn nữa về khí Electron và đóng góp
của nó về nhiệt dung theo lý thuyết cổ điển và lý thuyết lượng tử. Mặt khác,
tôi muốn tổng hợp kiến thức từ nhiều tài liệu khác nhằm tích luỹ kiến thức cho
bản thân và mong muốn đây là tài liệu bổ ích thêm cho các bạn sinh viên
khác.

Phạm Thị Hải Anh


1

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

ii. Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu những đóng góp về nhiệt dung của khí Electron trong kim
loại theo lý thuyết cổ điển và lý thuyết lượng tử.
iii. đối tượng nghiên cứu

1. Các phân bố thống kê
2. Khí Electron trong kim loại và đóng góp về nhiệt dung của nó.
IV. Nội dung nghiên cứu

1. Phần 1: Khí Electron cổ điển
1.1. Chương I: Hàm phân bố Gipxơ
1.1.1 Xây dựng phân bố chính tắc Gipxơ
1.1.2 ý nghĩa Vật lý của các thông số trong phân bố chính tắc Gipxơ
1.1.3 Định lý phân bố đều động năng theo các bậc tự do
1.2. Chương II: Lý thuyết cổ điển về khí Electron
1.2.1 Một số vấn đề về khí lý tưởng
1.2.2 Lý thuyết cổ điển về khí Electron
2. Phần 2: Khí Electron lượng tử
2.1. Chương III: Các phân bố thống kê lượng tử
2.1.1 Phân bố thống kê Bôzơ - Anhxtanh

2.1.2 Phân bố thống kê Fecmi - Đirac
2.1.3 Phân bố thống kê Macxoen - Bônzơman
2.1.4 So sánh 3 phân bố trên
2.2. Chương IV: áp dụng thống kê Fecmi - Đirac nghiên cứu về khí Electron
trong kim loại.
2.3. Chương V: Các tính chất từ của khí Electro
v. phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phân bố thống kê cổ điển, lượng tử và các phương pháp
giải tích toán học khác.

Phạm Thị Hải Anh

2

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

b. phần nội dung

phần 1
Khí Electron cổ điển

Chương I. Hàm phân bố gipxơ

I. Xây dựng phân bố chính tắc Gipxơ


Xét đối với hệ đẳng nhiệt (là hệ tương tác với hệ điều nhiệt và có một
nhiệt độ cho trước hoàn toàn xác định).
Ta xét hệ đẳng nhiệt tức là một hệ nằm cân bằng các hệ điều nhiệt. Giả
sử hệ đẳng nhiệt mà ta muốn khảo sát C1 và hệ điều nhiệt C2 có các số hạt
tương ứng là N1, N2; và được diễn tả bằng các biến số chính tắc X1, X2; đồng
thời N2 rất lớn so với N1.
Coi hai hệ đó là một hệ cô lập đoạn nhiệt. Vì vậy đối với hệ chung đó,
ta có phân bố vi chính tắc:
w X1, X 2

1
E H X 1 , X 2
E

H X1 , X 2 H X1 H X 2 U X1 , X 2

Và w X 1 X w X 1 , X 2 dX 2
2

Để tìm w X 1 trong trường hợp tổng quát, ta dựa vào 3 giả thiết sau:
* Một là: Coi H X 1 , H X 2 lớn hơn U12 X 1 , X 2 rất nhiều, nghĩa là:
U12 X 1 , X 2 0

* Hai là: Giả thiết N1 N 2 N thì tồn tại một giới hạn
E 3
cos t
N 2

Phạm Thị Hải Anh


3

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Coi rằng N1 N 2 thì

2

Khoa Vật lí

E 3

N2 2

là trung bình số học của năng lượng của hệ ứng với một bậc tự do

của hệ điều nhiệt.
* Ba là: Coi H1 E , có nghĩa là biểu thức mà ta tìm được cho w X 1 sẽ
chỉ đúng khi điều kiện trên được thoả mãn.
- Ta chia hệ C1 ra làm hai phần C1' và C1" tương ứng với các hàm phân
bố w X 1' và w X 1"



w X f H X
w X 1' f H1' X 1'

"
1

"
1

"
1

Năng lượng toàn phần của hệ đẳng nhiệt C1 là:
H1 X 1 H1' X 1' H1" X 1" U12'

Nếu các hệ số C1' và C1" đủ lớn thì ta có thể coi U12' H1' , H1"
Khi đó H1 X 1 H1' X 1' H1" X 1"
Do đó ta có thể coi hai hệ số đó là độc lập với nhau nên
f H1' H1" dX 1' dX 1" f H1' dX 1' . f H1" dX 1"
f H1' H1" f H1' . f H1"
ln f H1' H1" ln f H1' ln f H1"
d ln f H1' H1" d ln f H1' d ln f H1"
'

'

'

ln f H1' H1" dH1' dH1" ln f H1' dH1' ln f H1" dH1"







'

'

'

ln f H1' H1" ln f H1' ln f H1"

Bởi vì các đạo hàm của một hàm số với các đối số khác nhau chỉ có thể
bằng nhau khi chúng là hằng số. Do đó là một hằng số.
Đặt:

H H1' H1"

Phạm Thị Hải Anh

4

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

'

ln f H

ln f H H ln D
f H D.e H

Đặt:



1

D e

;



H



Ta có: f H exp

H
với , là hằng số


Do đó w X 1 exp

Ta không xét hệ C2 mà chỉ xét hệ C1 nên ta có thể viết đầy đủ
w X


, a H x, a





exp

1

Biểu thức (1) là biểu thức của hàm phân bố chính tắc.
Đối với hệ N hạt đồng nhất khi hoán vị các hạt cho nhau thì các điểm
biểu diễn pha của hệ sẽ thay đổi nhưng không dẫn đến một trạngthái vi mô
mới nào. Hệ có N hạt sẽ có N! phép hoán vị các hạt. Vì vậy xác suất trạng thái
của hệ giảm đi N! lần. Khi đó:
w X



, a H x, a
1
exp

N!




2


ii. ý nghĩa vật lý của các thông số trong phân bố chính
tắc Gipxơ.

là môđun của phân bố chính tắc, có tất cả các tính chất căn bản của
nhiệt độ tuyệt đối:
Khi cho tiếp xúc nhiệt các hệ có môđun giống nhau và trước
đó đã ở trạng thái cân bằng nhiệt thì sau khi tiép xúc trạng thái cân bằng này
vẫn được duy trì.
Khi cho tiếp xúc nhiệt các hệ có mođun khác nhau và ở trạng
thái cân bằng thì bắt đầu có sự chuyển năng lượng từ hệ nọ sang hệ kia và hệ
mới tạo thành không còn ở trạng thái cân bằng

Phạm Thị Hải Anh

5

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

-

Khoa Vật lí

Môđun luôn luôn dương

Do đó ta có thể coi là đại lượng tương tự của nhiệt độ tuyệt đối và vì
vậy được gọi là nhiệt độ thống kê.
kT

, a H x, a
dX 1



w X dX exp

X

X

Năng lượng tự do được xác định từ điều kiện chuẩn hoá của hàm phân
bố:

ln

X

Z , a

H x, a
dX ln Z , a



exp

H x, a
dX gọi là tích phân trạng thái




exp

X

-X gọi là tập hợp các biến số chính tắc (biến số pha)

iii. định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do

Khi nghiên cứu các tính chất của các hệ thực, thay cho việc áp dụng
trực tiếp phân bố chính tắc, người ta thường vận dụng định lý về sự phân bố
đều động năng theo các bậc tự do mà ta xét sau đây:
áp dụng phân bố chính tắc Gipxơ ta có thể tính động năng trung bình
ứng với một bậc tự do của hệ. Kết quả là: năng lượng đó là như nhau đối với
tất cả các bậc tự do và bằng

kT
2

Khi khảo sát động năng trung bình của một phân tử khí, do phân tử khí
có ba bậc tự do nên ta có:
Ed m

v2 3
kT
kT 3.
2 2
2


3

Đây chính là trường hợp đặc biệt của định lý về sự phân bố đều động
năng theo các bậc tự do.
Do tính chất quan trọng của định lý này, chúng ta nêu ra một cách
chứng minh nó tổng quát. Hàm Hamitol của bất kỳ một hệ nào có f bậc tự do
có thể biểu thị qua hàm Lagrăngiơ dưới dạng sau đây:

Phạm Thị Hải Anh

6

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

f

H p, q Ed p U q q k . pk L( p, q )
k 1
f

q k . pk Ed U q
k 1

Từ đó ta rút ra:


2 Ed q k pk

Thay q k bằng biểu thức q k
Ta định nghĩa đại lượng:

f
H
H
, ta được: 2 Ed pk .
qk
pk
k 1

4

pk H
như là động năng tương ứng với bậc tự
.
2 pk

do thứ k
Dựa vào phân bố chính tắc ta tìm được trị trung bình của tích pk .

H
pk



pk .


H
H
H
..... pk .
.exp
dq1....dq f
pk
pk




..... pk .



H
.exp
dq1....dq f
pk


( Đây là tích phân 2f lớp )
Đầu tiên, ta lấy tích phân từng phần theo pk
pk .

H

H
..... pk .exp


pk


(2 f 1) lop



H
exp
dpk .dq1 ....dpk 1.dpk 1....dp f



Khi thay các giới hạn pk hàm Hamitol trở thành bằng vô cực (vì
H
bằng không và chỉ còn lại biểu


khi đó động năng bằng vô cực) và exp
thức sau đây:
pk .

H
H
..... exp
dq .......dq f
pk
1
(2 f ) lop


theo điều kiện chuẩn hoá hàm phân bố chính tắc.
Như vậy, động năng trung bình ứng với bậc tự do là bằng:

Phạm Thị Hải Anh

7

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Ek

Khoa Vật lí

Pk H kT
.

2 Pk 2
2

5

Đó là nội dung của định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự
do.
Như vậy, định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do là
đúng với bất kỳ hệ nào tuân theo thống kê cổ điển.
Ta cần phải nói thêm rằng đối với một bậc tự do của dao động, năng

lượng toàn phần không phải là bằng

kT
mà bằng kT. Thực vậy đối với các dao
2

động nhỏ điều hoà thì:
Động năng trung bình: Ed
Thế năng trung bình: U

P 2 m.w2 .q02

.cos 2 ( wt 0 )
zm
2

m.w2 .q02
.sin 2 ( wt 0 )
2
1
2

Vì sin 2 ( wt 0 ) cos 2 ( wt 0 ) ,
Do đó :

Ed U

m.w2 .q02
4


Vậy với các dao động nhỏ điều hoà động năng trung bình bằng thế năng
trung bình. Và năng lượng toàn phần của dao động bằng tổng của động năng
trung bình và thế năng trung bình:
H Ed U

m.w2 .q02
2 Ed
2

Vì vậy năng lượng trung bình tương ứng với một bậc tự do của dao
động điều hoà là bằng kT. Đối với dao động phi điều hoà năng lượng toàn
phần sẽ khác đi, mặc dù động năng trung bình cũng vẫn bằng

kT
2

Đối với một hệ có f bậc tự do, động năng trung bình toàn phần là bằng
:

E U f .

kT
2

Phạm Thị Hải Anh

8

Lớp K31A



Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

Bằng cách chứng minh hoàn toàn tương tự như ở trên dựa vào sự kiện là
khi qk hàm Hamitol trở thành bằng vô cực (bởi vì thế năng tăng nhanh
đến vô cực tại các thành của bình chứa đựng hệ) ta có được:
qk .

H

qk

6

Hệ thức (6) được coi là định lý Virian, bởi vì đại lượng:
1
H
1
qk .
qk . Ak

2 k
qk
2 k

Đã được Claudiuyt gọi là Virian. Do đó, theo (6), trung bình của Virian
ứng với một bậc tự do là bằng


kT
, nghĩa là:
2

1

qk . Ak
2
2

Định lý Virian cũng được dùng để nghiên cứu tính chất của một hệ số
cụ thể.
Kết luận:
Như vậy, chúng ta đã chứng minh được phân bố chính tắc Gipxơ, từ
phân bố này ta sẽ thiết lập được phương trình cơ bản của nhiệt động lực học.
Không những vậy ta còn tìm được đại lượng tương tự thống kê của các hàm
nhiệt quan trọng là entrôpi, nội năng và năng lượng tự do của hệ. Một trong
những ứng dụng vô cùng quan trọng của phân bố Gipxơ là: áp dụng phân bố
Gipxơ để nghiên cứu khí Electron trong kim loại theo lý thuyết cổ điển.

Phạm Thị Hải Anh

9

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí


Chương ii. Lý thuyết cổ điển về khí electron

I. Một số vấn đề về khí lý tưởng

1. Khí lý tưởng
- Khí lý tưởng là một hệ thống kê đơn giản nhất. Những đặc điểm cơ
bản nhất của khí lý tưởng là:
+ Trong một thể tích vĩ mô của khí lý tưởng có chứa một số rất lớn phân
tử
+ Kích thước phân tử rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng, do đó
trong phân tử phần lớn phép tính toán ta có thể bỏ qua kích thước của phân tử
và coi phân tử như chất điểm.
+ Các phân tử chuyển động hỗn độn không ngừng, chúng luôn luôn va
chạm với nhau và với thành bình đựng khí.
+ Lực tương tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện trong khi va chạm. Vì
vậy giữa hai va chạm liên tiếp mỗi phân tử chuyển động tự do nghĩa là chuyển
động thẳng đều. Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy
ra theo quy luật va chạm đàn hồi.
- Ta xét khí lý tưởng ở trạng thái cân bằng nhiệt nghĩa là coi nhiệt độ và
áp suất ở mọi chỗ trong chất khí đều bằng nhau và không đổi. Do đó trong
chất khí không xuất hiện những dòng khí gây ra bởi đối lưu hoặc chênh lệch
áp suất.
- Khi khảo sát sự cân bằng nhiệt, người ta đưa vào giả thuyết về sự hỗn
độn sơ cấp (giả thiết này do Bônzơman đưa ra đầu tiên), theo giả thiết này ở
trạng thái cân bằng nhiệt sự chuyển động của các phân tử khí không có hướng
nào ưu tiên và đã đạt đến mức hỗn độn lý tưởng. Thực vậy các va chạm tương
hỗ thường xuyên giữa các phân tử khí có vận tốc khác nhau về phương và độ
lớn cũng như các va chạm giữa các phân tử khí với các phân tử của thành bình
mà ở đó các điều kiện gặp nhau cũng là ngẫu nhiên tất cả các va chạm đó

đưa đến kết quả là hướng chuyển động và vận tốc của phân tử là ngẫu nhiên.
Sự hỗn độn sơ cấp không phải chỉ tồn tại trong chất khí mà tồn tại trong mọi

Phạm Thị Hải Anh

10

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

hệ vật lý thống kê khác. Vì vậy sự hỗn độn sơ cấp không những là tư tưởng
chủ đạo của sự phát triển thuyết động học chất khí từ trước đến nay mà còn là
một luận đề cơ bản của vật lý thống kê.

2. Phân bố vận tốc của các phân tử trong chất khí ở trạng thái cân
bằng nhiệt
ở trạng thái cân bằng nhiệt, do sự va chạm giữa các phân tử với nhau và
với thành bình nên có tồn tại một sự phân bố vận tốc phân tử không phụ thuộc
vào thời gian. Sau đây ta sẽ lần lượt xét sự phân bố về hướng và sự phân bố về
độ lớn của vận tốc phân tử.
2.1. Phân bố về hướng của vận tốc phân tử
Theo giả thiết về sự hỗn độn sơ cấp, thì trong trạng thái cân bằng nhiệt
của chất khí tất cả các hướng vận tốc của các phân tử khí là có xác suất như
nhau, nghĩa là không có hướng nào ưu tiên hơn trong chuyển động của các
phân tử, bởi vì nếu có sự ưu tiên về hướng thì đã xảy ra chuyển động dòng (vĩ
mô) do chênh lệch về áp suất hoặc nhiệt độ. Như vậy, trong trạng thái cân

bằng nhiệt của chất khí, hướng vận tốc của các phân tử tuân theo một định luật
phân bố đơn giản: Tất cả các hướng chuyển động đều có thể gặp thấy một
cách phổ biến như nhau ở các phân tử. Tính đồng xác suất của tất cả các
hướng chuyển động của các phân tử cho phép ta có thể thay chuyển động thực
của các phân tử bằng chuyển động trung bình.
2.2. Phân bố về độ lớn của vận tốc phân tử
Phân bố này do Macxoen tìm ra lần đầu năm 1867, vì vậy nó còn mang
tên là phân bố vận tốc Macxoen.
Do tính đẳng hướng của chuyển động phân tử, ta có thể tìm, hoặc là sự
phân bố của hình chiếu vận tốc của các phân tử theo một phương nào đó, hoặc
là sự phân bố của các phân tử theo môđun vận tốc. Thực tế thì hai phân bố đó

Phạm Thị Hải Anh

11

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

có liên hệ với nhau. Độ lớn tuyệt đối (môđun) của vận tốc phân tử cũng như
hình chiếu của vận tốc lên một trục tuỳ ý có thể có các trị số liên tục từ không
cho đến vô cực. Điều đó có nghĩa là ta sẽ thu được một hàm phân bố vận tốc
liên tục f. Bởi vì ta khảo sát trạng thái cân bằng của chất khí, cho nên hàm
phân bố sẽ không phụ thuộc vào thời gian.
a. Để thu được hàm phân bố đó, ta chuyển sang không gian của đại
lượng ngẫu nhiên tức là không gian vận tốc của một phân tử.

Trên ba trục độc lập x, y, z đặt các hình chiếu vx, vy, vz của vận tốc phân
tử. Trong không gian đó mỗi vectơ vận tốc ngẫu nhiên nào đó của phân tử sẽ
tương ứng với một điểm trùng với đầu mút Vectơ đó, các hình chiếu khả hữu
của vận tốc phân tử sẽ được biểu diễn trên các trục x, y, z từ đến .
(Hình vẽ)
Xác suất để phân tử có hình chiếu vận tốc trên trục Ox trong khoảng từ
vx đến vx+dvx sẽ là hàm của vx , ngoài ra nó tỷ lệ với độ lớn của khoảng dvx.
Thực vậy, số phân tử chất khí có những thành phần vận tốc vx khác nhau là
khác nhau. Mặt khác, xác suất đó lại tỷ lệ với chiều rộng của khoảng dvx , vì
nếu khoảng dvx càng lớn thì khả năng để phân tử có thành phần vận tốc vx nằm
trong khoảng đó càng lớn, nghĩa là xác suất càng lớn.
Vậy xác suất để phân tử có hình chiếu vận tốc trên trục Ox trong
khoảng từ vx đến vx+dvx là bằng:
dW (vx ) f vx2 .dvx

7

Sở dĩ hàm phân bố f phụ thuộc vào vx2 , vì khi chiều của trục Ox biến đổi
thành chiều ngược lại, xác suất của hình chiếu vận tốc không thay đổi.
Tương tự ta viết được xác suất sao cho phân tử có các hình chiếu của
vận tốc lên trục O y từ vy đến vy+dvy và lên trục Oz từ vz đến vz+dvz:
dW (v y ) f v y2 .dv y
dW (vz ) f vz2 .dvz

Bởi vì không có hướng nào ưu tiên hơn, cho nên các hàm
f vx2 , f v y2 , f vz2 có dạng như nhau và có thừa số hằng số xác định bởi điều

Phạm Thị Hải Anh

12


Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

kiện chuẩn hoá như nhau. Macxoen coi rằng: Các hình chiếu của vận tốc của
phân tử là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập. Do đó xác suất để phân tử khí có
đồng thời ba hình chiếu vận tốc vx, vy, vz được xác định bởi tích của ba xác
suất, nghĩa là:
dW (vx , v y , vz ) f vx2 . f v y2 . f vz2 .dvx .dv y .dvz

8

Đẳng thức (8) xác định xác suất sao cho đầu mút của Vectơ vận tốc của
phân tử nằm trong thể tích hình hộp nguyên tố dvxdvydvz của không gian vận
tốc (xem hình 1). Do đó ta có thể viết (8) dưới dạng khác:
dW (vx , v y , vz ) f vx , v y , vz .dvx .dv y .dvz

Do tính đồng xác suất của các hướng chuyển động, nên hàm phân bố
f vx , v y , vz không phụ thuộc vào hướng, mà chỉ phụ thuộc vào khoảng cách

của hình hộp nguyên tố đối với gốc toạ độ. Nói một cách khác hàm phân bố
đó phải là hàm của môđun vận tốc, nghĩa là:
dW (vx , v y , vz ) f vx2 v y2 vz2 .dvx .dv y .dvz

9


So sánh (8) và (9), ta được phương trình:
f vx2 . f v y2 . f vz2 f vx2 v y2 vz2

10

Từ phương trình đó, ta tìm được dạng của hàm phân bố vận tốc f v 2
2

f vx2 A1/ 3 .e vx

v 2y

f v y2 A1/ 3 .e

2

f vz2 A1/ 3 .e vz



vx2 v 2y vz2

f vx2 v y2 vz2 A.e



Với trị số bất kỳ của thông số . Bằng cách giả thiết rằng hình chiếu
của vận tốc, như vx chẳng hạn, có thể có các trị số từ đến , chúng ta viết
điều kiện chuẩn hoá như sau:






2

f vx2 dvx A1/ 3 e vx dvx 1



Phạm Thị Hải Anh



13

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

Tích phân đó chỉ hội tụ khi số mũ là âm. Vì vậy nếu coi thông số chưa
xác định là dương ( 0 ), ta viết hàm phân bố dưới dạng:
2

f vx2 A1/3 .e vx

và f v 2 A.e v


2

11

Hằng số A1/3 được xác định từ điều kiện chuẩn hoá
A1/ 3

1

e

vx2








dvx




Do đó: A


3/ 2


Thay cho hình chiếu lên trục O x, ta có thể xét hình chiếu vận tốc của
phân tử lên một phương l bất kỳ. Khi đó sự phân bố của hình chiếu vl của vận
tốc một phương l tuỳ ý sẽ có dạng:
f vl2

.v
.e


2
l

12

Đây chính là phân bố vận tốc Macxoen. Hàm này xác định xác suất sao
cho phân tử có hình chiếu vận tốc vl lên phương l nào đó trong khoảng từ vl
đến vl+dvl.
b. Tuy nhiên, để phân tích chuyển động của phân tử trong chất khí, ta
có thể xét xác suất để phân tử có một môđun vận tốc nào đó không phụ thuộc
vào phương chuyển động. Để tìm phân bố theo môđun của vận tốc, ta chuyển
sang toạ độ cầu trong không gian vận tốc và viết lại đẳng thức (9) như sau:
2

dW r , , A.e v .r 2 .dr.sin .d .d

Xét trong không gian vận tốc nên thay r v
2

dW v, , A.e v .v 2 .dv.sin .d .d


Bởi vì chuyển động của các phân tử là đẳng hướng, nên bằng cách lấy
tích phân theo góc ta có thể tìm được hàm phân bố theo môđun vận tốc v:
2
2

2

dW v A.e v v 2 dv sin .d .d 4 Ae v v 2 dv

13

0 0

Phạm Thị Hải Anh

14

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

Đó chính là xác suất để phân tử khí có môđun vận tốc v trong khoảng từ
v đến v+dv không phụ thuộc vào phương chuyển động. Hàm phân bố vận tốc
của phân tử theo môđun v sẽ có dạng:
f v 4 Ae v


Và

2

3 2 v
ve


f v 4

14
2

15

Phân bố này cũng được gọi là phân bố Macxoen.
c. Trong thực tế người ta chú ý tới không phải là sự phân bố một phân tử
theo vận tốc, mà chú ý tới số phân tử có vận tốc v đã cho trong khoảng dv
hoặc là có hình chiếu vận tốc vl trong khoảng dvl. Do đó nếu trong hệ có N
phân tử thì số hạt có hình chiếu vận tốc vl trong khoảng từ vl đến vl+dvl hay là
có môđun từ v đến v+dv sẽ được xác định theo công thức:
dn v NdW v

Trong đó : dW v là xác suất tương ứng đối với một hạt. Ta cũng có thể
viết:
dn v n v dv

với n(v) là hàm phân bố số hạt. Từ (12) và (15) ta tìm được:
Đối với hình chiếu của vận tốc:
dn vl N


v
e dvl

2
l

16

Và đối với môđun của vận tốc:
dn v N .4

3 2 v
.v .e .dvl

2
l

17

Một cách tương ứng hàm phân bố số hạt sẽ được chuẩn hoá không phải
bằng đơn vị mà bằng số hạt toàn phần N. Giữa f(v) và n(v) có mối quan hệ sau
đây:
f v

dn v n v

Ndv
N


Phạm Thị Hải Anh

15

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

3. mối liên hệ giữa thông số của phân bố vận tốc
Macxoen với nhiệt độ tuyệt đối.

ở trên ta đã tìm được phân bố vận tốc Macxoen với thông số chưa xác
định , và phân bố này là đúng với các chất khí khác nhau trong các điều
kiện khác nhau. Tuy nhiên, khi nhiệt độ của chất khí thay đổi thì vận tốc
chuyển động hỗn độn của các phân tử cũng thay đổi. Khi nhiệt độ tăng lên,
vận tốc của các phân tử cũng tăng lên, do đó, trong sự phân bố theo vận tốc, số
phân tử có vận tốc lớn phải tăng lên. Một sự biến đổi như vậy trong sự phân bố
vận tốc của các phân tử chỉ có thể xảy ra khi thông số phụ thuộc vào nhiệt
độ.
Như vậy, từ những lập luận tổng quát nhất của thuyết động học chất
khí, ta thấy rằng thông số phải phụ thuộc vào nhiệt độ tuyệt đối.Nhiệt độ
tuyệt đối - đó là một thông số nhiệt động. Để cho thông số đó có ý nghĩa
thống kê ta cần phải so sánh các thông số thống kê với các thông số nhiệt
động của hệ. Muốn vậy ta hãy biểu thị áp suất do khí lý tưởng tác dụng lên
một thành đứng yên theo thông số của phân bố Macxoen và so sánh nó với
áp suất chất khí tính từ phương trình trạng thái.
Các va chạm thường xuyên nối tiếp nhau của các phân tử khí vào thành

sẽ tạo nên, một cách trung bình, một áp lực không đổi. Để xác định được lực
đó ta cần phải: Một là tính lực do một phân tử tác động lên thành do va chạm;
Hai là lấy trung bình của lực do tất cả các phân tử va chạm vào thành trong
một đơn vị thời gian.
Giả sử thành bình đặt vuông góc với trục Oz. Khi một phân tử va chạm
đàn hồi vào thành bình thì động lượng của phân tử sẽ biến đổi từ mvz -mvz,
còn các thành phần mvy và mvx thì vẫn giữ như cũ không thay đổi
(Hình vẽ)
Vì vậy khi va chạm vào thành bình, độ biến thiên động lượng của phân
tử là bằng 2mvz, độ biến thiên này gây nên bởi xung của lực do thành bình tác
động lên phân tử, do đó xung của lực tác dụng lên thành bình bằng 2mvz

Phạm Thị Hải Anh

16

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

Tổng các xung của các lực do các phân tử tác dụng lên thành bình trong
một đơn vị thời gian chính là áp lực tác dụng lên thành và lực ứng với một đơn
vị diện tích chính là áp suất P lên thành. áp suất P đó có thể xem như tổng
các áp suất dp(vz) do các phân tử có hình chiếu vận tốc vz khác nhau tác dụng
lên thành.
Để tính áp suất dp(vz) ta hãy tìm số phân tử dn(vz) có hình chiếu vận tốc
từ vz đến vz+dvz tới va chạm với một đơn vị diện tích của thành bình trong một

đơn vị thời gian.
Giả sử trong 1cm3 chất khí có chứa n0 phân tử. Khi đó số phân tử trong
1cm3 có hình chiếu vận tốc vz trong khoảng từ vz đến vz+dvz được xác định
bằng công thức:
dn vl N

v
.e .dvl

2
l

Ta có:
dn0 vz n0

v
.e .dvz

2
z

16

Trong một đơn vị thời gian, số phân tử có vận tốc vz va chạm lên một
đơn vị diện tích của thành bình chính là số phân tử nằm trong thể tích hình trụ
có đáy bằng 1cm2 và có độ cao bằng vz, nghĩa là:
(hình vẽ)
dn(vz ) vz .dn0 (vz ) vz .n0 .

v

e dvz

2
z

17

Tất cả các phân tử đó tác dụng lên thành bình một áp suất
dp (vz ) 2mvz .dn(vz )

(18)

Để tính áp suất toàn phần P, ta cần phải lấy tích phân
P dp 2mvz dn(vz )

ở đây, ta chỉ xét các phân tử va chạm với thành có vz biến thiên từ 0 đến

, theo tích phân Poatxong ta có:

Phạm Thị Hải Anh

17

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học




P 2mvz2 .n0
0

Khoa Vật lí

v
e dvz

2
z

2 v
mn0
vz e dvz

0
2
2
z

2mn0

19

Ta so sánh áp suất đó với áp suất của khí lý tưởng tính theo phương
trình Clapayron Menđêlêep viết cho 1mol khí:
P

RT
V


Trong đó n0

N0
N
V 0
V
n0

và

R=k.N

Với: N0: Là số Avôgađrô
V: Là thể tích của hệ
k: Là hằng số bônzơman
R: Là hằng số phố biến của chất khí
Cuối cùng ta thu được:

mn0 kN 0T

kTn0
2
V

Từ đó suy ra: Thông số của phân bố Macxoen liên hệ với nhiệt độ
tuyệt đối theo công thức:


m

2kT

20

Thay trị số của thông số vào, ta có thể viết phân bố Macxoen như sau:
mv 2

l
m
f v
.e 2 kT
2 kT
2
l

(21)
3

Và

2

mv
m 2 2 kT
f v 4
.
v
.
e


2kT

(22)

Ngoài sự phân bố các phân tử theo vận tốc, ta còn thường gặp sự phân




bố theo xung lượng P mv và theo động năng E

mv 2
của các phân tử. Ta có
2

thể tìm được các phân bố đó bằng cách biến đổi phân bố vận tốc Macxoen một


cách tương ứng. Bằng cách đưa vào xung lượng P với các hình chiếu

Phạm Thị Hải Anh

18

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí


Px mvx , Py mv y và Pz mvz , ta có thể viết lại các phân bố Macxoen dưới

dạng:
P2

x
1
dW Px
.e 2 mkT dpx
2 kTm

P2


1
dW P 4
.P 2 .e 2 mkT dp
3
(2 kTm)

Và

Từ đó, các hàm phân bố của hình chiếu và của môđun của xung lượng
sẽ có dạng tương ứng:
P2

l
1
f Pl

.e 2 mkT
2 mkT
2

23
P2


1
Và f P 4
.P 2 e 2 mkT
3
(2mkT )

Ta đưa vào động năng: Ed
Ta có: dW ( Ed ) 4

Và do đó: f ( Ed )

24

mv 2
và
2

dEd mvdv

E
d
2 Ed

kT
.
e
dEd f ( Ed )dEd
(2 kT )3

2 Ed .e



Ed
kT

25

. (kT )3

4. các vận tốc đặc trưng của phân bố macxoen

ở trên ta đã tìm được hàm phân bố của các phân tử khí lý tưởng theo
vận tốc. Tuy nhiên, bản thân định luật phân bố tự nó chưa cho ta các quan
niệm cụ thể về các vận tốc chuyển động của các hạt phân tử. Để so sánh được
chuyển động của các phân tử khí trong các điều kiện khác nhau người ta xét
một số vận tốc đặc trưng.
Từ đồ thị của phân bố Macxoen:
(Hình vẽ)
Ta thấy: Số phân tử dn(v) ứng với cùng một khoảng vận tốc dv sẽ thay
đổi tuỳ thuộc vào độ lớn của chính vận tốc v. Thí dụ, trên cùng một khoảng

Phạm Thị Hải Anh


19

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

vận tốc, số phân tử có vận tốc lớn gần bằng không cũng như số phân tử có vận
tốc rất lớn đều là nhỏ. Nhưng cũng trên khoảng đó sẽ có rất nhiều phân tử có
những vận tốc trung gian nào đó. Số phân tử dn(v) lớn nhất là số phân tử có
vận tốc tương ứng với cực đại của đường cong f(v). Ta có thể hình dung như
sau: tưởng tượng có một bình chứa các phân tử khí, chúng ta lấy ngẫu nhiên
các phân tử từ bình ra và xác định môđun vận tốc của chúng, khi đó ta sẽ thấy
rằng ta sẽ lấy được nhiều nhất những phân tử có vận tốc gần với cực đại của
đường cong phân bố. Vì vậy mà vận tốc tương ứng cực đại của đường cong
phân bố được gọi là vận tốc cái nhiên nhất (hay vận tốc có xác suất lớn nhất).
Vận tốc đó được xác định từ điều kiện:
df v
dv

và có trị số bằng

0

vc

2kT

m

26

Người ta biểu thị phân bố vận tốc Macxoen dưới dạng rút gọn bằng
cách đưa vào biến số mới: c
dn(c)

v
, khi đó ta có:
vc

4N



2

.c 2 .e c .dc

27

Và dưới dạng đó, phân bố Macxoen được viết như nhau cho bất kỳ chất
khí nào và ở bất kỳ nhiệt độ nào.
Ngoài vận tốc cái nhiên nhất, người ta còn thường xét tới vận tốc trung
bình và vận tốc toàn phương trung bình (vận tốc quân phương) của các phân
tử.
Ta có (dựa vào công thức tích phân Poatxong): đối với trị số trung bình
của môđun vận tốc:



v v. f (v).dv
0

8kT
m

28

Đối với trị trung bình của các hình chiếu vận tốc lên một phương l bất
kỳ:

Phạm Thị Hải Anh

20

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí



vl vl . f (vl2 ).dvl 0

29

Thực vậy, vì tất cả các phân tử đều chuyển động và có một trị số tuyệt

đối nào đó của vận tốc (tức là một đại lượng luôn luôn dương) cho nên sẽ có
một môđun trung bình nào đó v của chuyển động hỗn độn đó. Còn các hình
chiếu vận tốc thì lại có dấu nhất định. Do chuyển động hỗn độn nên số phân tử
chuyển động theo hai chiều ngược nhau sẽ như nhau. Vì vậy mà hình chiếu
trung bình của vận tốc chuyển động hỗn độn lên một phương tuỳ ý vl là bằng
không (có thể nói rằng trị trung bình của luỹ thừa lẻ của hình chiếu vận tốc là
bằng không)
Đôi khi người ta cũng chú ý tới vận tốc chuyển động trung bình của


các phân tử theo một chiều Ol đã cho. Các hình chiếu vận tốc của các hạt
chuyển động theo chiều đã cho sẽ luôn luôn dương, vì vậy:


vl 2
0

mv 2

l
m
2kT
.e 2 kT vl .dvl
2 kT
m

30

Như vậy, vận tốc trung bình theo một chiều đã cho vl nhỏ hơn môđun
vận tốc trung bình v hai lần.

Ngoài ra, đối với vận tốc toàn phương trung bình ta có:


v 2 v 2 . f (v).dv
0

3kT
m



Và

vl2

2
l

2
l

v . f (v


).dvl

31

kT
m


32

Đại lượng đầu v 2 xác định trị toàn phương trung bình của môđun vận
tốc, còn đại lượng thứ hai vl2 là trị toàn phương trung bình của hình chiếu vận
tốc
Ta có: vx2 v y2 vz2

kT v 2

m
3

33

Và vận tốc quân phương là bằng:

v2

3kT
m

34

Giữa các vận tốc đặc trưng của phân bố Macxoen có hệ thức sau:

Phạm Thị Hải Anh

21


Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

vc : v : v 2 1:1,13 :1, 22

Khoa Vật lí

35

Các trị số vận tốc đó được biểu diễn trên đồ thị:
(hình vẽ)

5. Phân bố quãng đường tự do của các phân tử khí

Trong khi chuyển động trong chất khí, một phân tử bất kỳ luôn luôn va
chạm với các phân tử khác. Quãng đường tự do của phân tử là quãng đường
mà phân tử đi được giữa hai va chạm liên tiếp với các phân tử khác. ở trạng
thái cân bằng nhiệt, trong chất khí có tồn tại một sự phân bố nào đó của các
quãng đường tự do. Ta sẽ tìm sự phân bố đó.
Trước hết, ta tìm xác suất để phân tử đi được quãng đường x mà chưa bị
va chạm. Quãng đường x này khác với những quãng đường tự do , bởi vì
phân tử có thể đi hết quãng đường x rồi mới bị va chạm, nhưng cũng có thể
còn tiếp xúc đi nữa mà chưa bị va chạm. Trong khi đó, theo định nghĩa, sau
khi đi hết quãng đường tự do phân tử sẽ va chạm với phân tử khác. Hơn nữa
quãng đường tự do được tính từ chỗ va chạm lần trước đến chỗ va chạm tiếp
sau, còn quãng đường x nói trên có gốc tuỳ ý không nhất thiết phải tính từ chỗ
va chạm lần trước.
Ký hiệu: P(x) là xác suất để phân tử đi hết quãng đường x mà chưa bị va

chạm.
P(x + dx) là xác suất để phân tử đi hết quãng đường x + dx mà chưa bị
va chạm. Việc phân tử đi hết quãng đường x + dx mà chưa bị va chạm được
coi như là một biến cố phức tạp gồm hai biến cố độc lập: Phân tử đi hết quãng
đường x mà chưa bị va chạm và phân tử đi hết quãng đường dx cũng chưa bị
va chạm. Gọi Pdx là xác suất để phân tử đi quãng đường dx chưa bị va chạm,
ta có:
P(x + dx) = P(x).P(dx)

(36)

Ta có thể viết P(dx) dưới dạng khác. Ta ký hiệu Q(dx) là xác suất để
phân tử đi quãng đường dx hết sức nhỏ và bị va chạm, ta coi Q(dx) tỷ lệ thuận
với dx, nghĩa là:

Phạm Thị Hải Anh

22

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

Q(dx) =a.dx

(37)


Trong đó: a là hệ số tỷ lệ. Ta có:
P(dx) = 1 - Q(dx) = 1 - a.dx
Và

P(x + dx) = P(x).(1 - a.dx)

(38)

Phân tích P(x + dx) thành chuỗi theo dx và vì dx hết sức nhỏ nên trong
chuỗi thu được ta chỉ giữ lại số hạng chứa bậc một của dx:
P( x dx) P ( x)

dP( x)
.dx
dx

Hay: P( x )(1 adx) P( x)
Từ đó:

dP ( x)
.dx
dx

dP( x)
adx
P( x)

(39)

Lấy tích phân ta tìm được:

P(x) = Aexp(-ax)

(40)

Để xác định hằng số A, ta chú ý rằng xác suất P(0) để trên quãng đường
x = 0 phân tử không bị va chạm với các phân tử khác là một biến cố chắc
chắn, tức là: p(0) = 1. Do đó A = 1
(41)
Cuối cùng ta thu được:
P(x) = exp(-ax)

(42)

Bây giờ ta xác định hằng số a. Gọi dW(x) là xác suất để phân tử đó đi
hết quãng đường x mà chưa bị va chạm nhưng sau đó phân tử đi quãng đường
dx thì bị va chạm, ta có:
dW(x) = P(x)Q(dx) = P(x).ad(x)
=a.epx(-ax).dx
Xét về ý nghĩa thì trong trường hợp này quãng đường x chính là quãng
đường tự do, nghĩa là x , do đó:
dW ( ) a.exp(a )d

43

Từ công thức (43) ta suy ra hàm phân bố của quãng đường tự do:
f a.exp( a )

Phạm Thị Hải Anh

44


23

Lớp K31A


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Khoa Vật lí

Đồ thị của hàm phân bố f
(Hình vẽ)
Từ (43) ta tìm được quãng đường tự do trung bình :




a.exp(a )d a .exp( a )d
0

a

0

1

1
a

45




Thay (43) vào (44) ta được:

.exp d


1

f .exp



dW

1

46
47

Từ đó suy ra rằng, xác suất để phân tử có quãng đường tự do bằng
quãng đường tự do trung bình hoặc lớn hơn là bằng:




1

1

dW ( ) .exp d e 0,3679

Như vậy, số phân tử có chiếm 36,79% tổng số phân tử khí, còn
63,28% số phân tử khí còn lại . Cũng tính toán tương tự ta tìm thấy số
phân tử có 10 chiếm 0,0045% nghĩa là: Số phân tử có lớn hơn rất nhiều
so với là rất ít so với tổng số phân tử khí.
Như vậy, phân bố của quãng đường tự do về căn bản khác với phân bố
vận tốc Macxoen. Định luật phân bố của quãng đường tự do đã được thực
nghiệm xác nhận.

II. lý thuyết cổ điển về khí Electron

Năm 1905, Đrutđơ đã nêu lên lý thuyết electron cổ điển, theo lý thuyết
đó, các electron dẫn trong kim loại được xem như là chất khí electron lý
tưởng. Các electron tự do tham gia vào trong chuyển động nhiệt hỗn độn, va
chạm với các ion của mạng tinh thể và trao đổi năng lượng với chúng.

Phạm Thị Hải Anh

24

Lớp K31A