Lực ma sát

Phần 1. Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Vật lí học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu những
quy luật tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên, nghiên cứu tính chất và
cấu trúc của vật chất, những định luật của sự vận động của vật chất.
Cơ học là phần đầu tiên của vật lí đại cương. Nó nghiên cứu sự dịch
chuyển của các vật, sự biến dạng của chúng và những tương tác diễn ra giữa
các vật đang dịch chuyển hoặc biến dạng. Mà một trong những nguyên nhân
gây ra các hiện tượng trên là do vật chịu tác dụng của các lực cơ học.
Lực cơ học là một mảng lớn, có nội dung vô cùng quan trọng trong vật
lí học. Nó bao gồm nhiều loại lực khác nhau đó là lực hấp dẫn, lực đàn hồi,
lực ma sát. Trong đó lực ma sát là một khái niệm rộng lớn và phức tạp. Nó bao
trùm lên mọi chuyển động trong thực tế mà con người luôn tiếp xúc với nó ở
mọi nơi, mọi lúc. Nhưng việc nắm vững nội dung, bản chất của lực ma sát
không phải là đơn giản. Vì sự xuất hiện của lực ma sát rất phức tạp. Trong mỗi
trường hợp sự thể hiện của nó là không như nhau. Ngoài ra các bài tập cơ học
xét trong trường hợp không lý tưởng đều có liên quan đến lực ma sát. Trong
quá trình giải các bài tập này cần hiểu rõ được vai trò và tác dụng của lực ma
sát ra sao? Phương, chiều, độ lớn của lực ma sát thế nào?
Từ những lí do trên em chọn đề tài Lực ma sát làm đề tài khóa luận
tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về lực ma sát. Từ đó đưa ra một số dạng bài tập có liên quan
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu lực ma sát, đi sâu nghiên cứu từng loại lực ma sát. Nắm chắc
từng loại lực ma sát và đặc trưng của nó .
- Đưa ra một số dạng bài tập có liên quan đến trường hợp xuất hiện lực

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

1


Lực ma sát

ma sát.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Lực ma sát.
- Một số bài tập liên quan đến lực ma sát.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc, tra cứu tài liệu.
- Phân loại, sắp xếp, giải một số bài tập.
- Thảo luận, đánh giá kết quả.

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

2


Lực ma sát

PHầN 2. NộI DUNG
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
1. Giới thiệu về lực ma sát
Trong tự nhiên, hàng ngày diễn ra vô vàn các hiện tượng: mưa rơi, gió
thổi, hoa nở. Các hiện tượng đó đều tuân theo các quy luật khách quan nhất
định. Con người càng hiểu rõ các quy luật đó, càng có khả năng làm chủ thiên
nhiên, điều khiển thiên nhiên một cách có lợi cho mình.
Khoa học có mục đích tìm hiểu quy luật của thiên nhiên, phát hiện

những nguyên nhân gây ra hiện tượng đó. Tìm cách vận dụng những hiện
tượng ấy một cách có ích cho con người, phòng ngừa những tác hại của chúng
có thể gây ra.
Ma sát cũng là một hiện tượng của khoa học. Nói đến ma sát là nói đến
một loại lực đã được phát hiện, nghiên cứu từ thời sơ khai của cuộc sống con
người, nhưng nó vẫn còn khá bí ẩn. Nhờ có khoa học hiện đại thì tấm màn bí
ẩn về ma sát dần dần được mở ra.
Người ta thấy rằng ma sát sinh nhiệt. Những người nguyên thủy cũng
biết điều đó khi họ lấy lửa bằng cách áp dụng tính chất ma sát.
Năm 1798, Rơnpho người Anh đã làm thí nghiệm khoan ống kim loại
trong nước và nhiệt sinh ra do ma sát đã làm sôi nước. Trong thế kỷ 19 và đầu
thế kỷ 20, một số nhà bác học Anh cho rằng hiệu ứng dính giữa các vật trượt
kéo theo hao phí năng lượng có thể là nguyên nhân của lực ma sát.
Năm 1920, nhà bác học người Anh là Gacdi đã thấy một hiện tượng thú
vị trong khi nghiên cứu tính chất bôi trơn. Một số chất hữu cơ có cấu trúc
phân tử bất đối xứng và các phân tử có thể cắm vững chắc vào kim loại nhờ
một bề mặt có độ dính đặc biệt nhỏ. Dùng chất hữu cơ đó thì các vật liệu kim
loại có thể trượt lên nhau với ma sát rất nhỏ.
Năm 1969, một nhà khoa học Liên Xô lại phát hiện ra hiện tượng ma
sát siêu nhỏ: Chiếu một chùm hạt ( chẳng hạn) vào một trong hai mặt trượt

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

3


Lực ma sát

thì hệ số ma sát giảm đi hàng trăm lần, chỉ còn khoảng 0,001 chùm hạt bức xạ
chỉ cần chiếu sâu vài chục Ăngxtrôn. Như vậy là hiệu ứng ma sát có liên quan

đến bản chất lớp ngoài cực mỏng, cỡ vài lần đường kính nguyên tử liên quan
đến liên kết giữa các nguyên tử.
Những kết quả thu được mới chỉ hé mở của lực ma sát thôi. Ngày nay
người ta dùng đến cả kính hiển vi hiện đại, máy phân tích dùng tia X, máy
nhiễu xạ elechtrôn để nghiên cứu các bề mặt ma sát. Tuy nhiên các phương
pháp đó và các phương pháp tinh vi hơn cần phải cải tiến rất nhiều mới đáp
ứng được yêu cầu. Chắc chắn rằng để hiểu rõ bản chất của lực ma sát người ta
sẽ sử dụng thành tựu hiện đại nhất của kỹ thuật thực nghiệm vật lí.
Ta không thể tránh được lực ma sát trong đời sống hàng ngày. Nếu chỉ
có nó tác dụng thì nó làm cho mọi bánh xe ngừng lăn và mọi bánh xe đứng
lại. Trong một ô tô khoảng 20% xăng được dùng để chống ma sát ở động cơ
và hệ thống hướng dẫn động. Mặt khác, nếu hoàn toàn không có ma sát thì ta
không thể đi bộ hay xe đạp được, ta không cầm nổi cái bút và nếu cầm được
thì không thể viết được. Chiếc đinh ốc và ốc vít cũng thành vô dụng, vải dệt
thì rơi lả tả nút buộc thì tuột ra.
Lực ma sát có ở mọi nơi và luôn tồn tại xung quanh chúng ta. Vậy hiểu
thế nào là lực ma sát?
Từ những điều kiện nói trên và qua quá trình nghiên cứu về ma sát. Các
nhà khoa học đã đưa ra một khái niệm về lực ma sát như sau: Khi một vật rắn
chuyển động, ở mặt tiếp xúc giữa nó và vật khác, giữa nó và môi trường lỏng
hoặc giữa nó và chất khí bao quanh xuất hiện những lực ngăn cản chuyển
động gọi là lực ma sát.
Các hiện tượng ma sát có sự phân loại, chính vì vậy có sự phân loại lực
ma sát. Hơn thế nữa từng loại lực ma sát có quy luật riêng của mình nhưng
trong mọi trường hơp thì lực ma sát đều chứa những đặc trưng cơ bản:
+ Phụ thuộc vào áp lực ở chỗ tiếp xúc

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

4



Lực ma sát

+ Phụ thuộc vào vật liệu tiếp xúc
+ Làm cản trở chuyển động
Lực ma sát được chia làm 2 loại: Lực ma sát ướt và Lực ma sát khô
2. Lực ma sát khô
2.1. Ma sát nghỉ
Trong trường hợp lực ma sát khô xuất hiện không chỉ một mặt này trượt
trên mặt kia mà cũng cả khi định gây ra sự trượt như thế.Trong trường hợp lực
ma sát xuất hiện khi định gây ra sự trượt của mặt này trên mặt kia gọi là lực
ma sát nghỉ.
Ví dụ: Xét hai vật 1 và 2 tiếp xúc


F ms

1

nhau.Trong đó vật 2 cố định (Hình 1),
ta thử dịch chuyển vật 1 bằng cách tác
dụng lên nó một ngoại lực F.


F
F'ms

2
Hình 1


Khi đó người ta phát hiện rằng đối với mỗi cặp vật cụ thể và mỗi giá trị
của áp lực pháp tuyến có một giá trị cực tiểu xác định Fo của lực F làm cho
vật dịch chuyển được.
Với các giá trị của F (0 ; Fo) vật vẫn đứng yên, theo định luật II
Niutơn điều này có thể xảy ra trong trường hợp F cân bằng với một lực bằng
nó về độ lớn nhưng ngược chiều, lực này là lực ma sát nghỉ. Nó có giá trị bằng
ngoại lực F (với F < Fo). Fo là giá trị lớn nhất của lực ma sát nghỉ.
Thực nghiệm chứng tỏ giá trị Fo tỉ lệ với áp lực vuông góc lên mặt tiếp
xúc giữa hai vật
Fo o .N

Trong đó: N là áp lực vuông góc

o là hệ số tỉ lệ không có thứ nguyên gọi là hệ số ma sát
nghỉ, nó phụ thuộc vào bản chất, trạng thái của các mặt tiếp xúc và đặc biệt
vào độ nhám của chúng.

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

5


Lực ma sát

Lực ma sát nghỉ có vai trò rất lớn trong đời sống hàng ngày, không có
ma sát nghỉ thì ta không cầm nắm bằng tay được. Nhờ có ma sát nghỉ mà dây
cuaroa chuyền được chuyển động lăn, quay của các bánh xe trong máy móc.
Có điều là ta không ngờ tới trong nhiều trường hợp lực ma sát nghỉ lại đóng
vai trò là lực phát động làm cho vật chuyển động.

2.2. Ma sát trượt
Lực ma sát trượt là lực xuất hiện ở mặt tiếp xúc giữa hai vật khi vật này
trượt trên vật kia và luôn luôn hướng ngược hướng với vận tốc chuyển động
tương đối của vật này đối với vật kia.
Vẫn xét ví dụ trên. Nếu F F0 thì vật bắt đầu trượt, đồng thời gia tốc
của vật được xác định bằng hợp lực của ngoại lực F và lực ma sát trượt Fms , có
độ lớn phụ thuộc vào vận tốc trượt. Đặc trưng của sự phụ thuộc này được xác
định bằng bản chất và trạng thái của các bề mặt trượt.
Dạng phụ thuộc của lực

Fms

ma sát vào vận tốc thường gặp

v

nhất được trình bày trên hình 2.
Đồ thị bao gồm cả trường
hợp nghỉ và trường hợp trượt.
Lực ma sát nghỉ có giá trị
từ 0 F0 và được biểu diễn

-F0
Hình 2

trên đồ thị bằng đoạn thẳng
đứng.
Khi F > F0 vật bắt đầu trượt . Với sự tăng vận tốc, lực ma sát trượt lúc
đầu giảm đi một ít sau đó lại bắt đầu tăng. Với sự gia công các mặt tiếp xúc
với nhau, lực ma sát trượt trên thực tế có thể không phụ thuộc vào vận tốc và

phần cong của đồ thị trên trở thành đoạn thẳng nằm ngang bắt đầu từ F0. Về
độ lớn lực ma sát trượt không phụ thuộc vào diện tích tiếp xúc mà tỉ lệ gần
đúng với độ lớn của áp lực pháp tuyến ép các mặt trượt với nhau.

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

6


Lực ma sát

Fms=k.N
Trong đó: N là áp lực vuông góc
k là hệ số ma sát trượt, hệ số này ngoài việc phụ thuộc vào bản
chất, trạng thái mặt trượt, độ nhám mặt tiếp xúc, nó còn là hàm của vận tốc.
Lực ma sát trượt có mặt phổ biến trong tự nhiên. Ví dụ ta đẩy một vật
nặng trên sàn nhà sẽ xuất hiện một lực ma sát trượt ngược hướng chuyển động
của vật. Sự xuất hiện lực ma sát trượt sẽ làm cho việc đẩy vật trở nên khó khăn
hơn. Do vậy, ta cần phải giảm ma sát giữa vật và sàn bằng cách làm sàn và
măt tiếp xúc của vật thật nhẵn, bôi trơn mặt tiếp xúc hay đặt vật trên những
con lăn.
2.3. Ma sát lăn
Trong thực tế ta thường gặp chuyển động lăn của một vật trên một vật
khác. Dưới đây ta sẽ khảo sát mômen cản xuất hiện trong chuyển động lăn của
vật rắn. Đầu tiên ta tìm hiểu sự cản trong chuyển động lăn.
Trong chuyển động lăn của một vật rắn, chẳng hạn một bánh xe lăn trên
đường, có thể có ma sát trượt (nếu lăn có trượt) và lực ma sát nghỉ tác dụng tại
mỗi thời điểm ngăn sự trượt của điểm tiếp xúc của bánh xe với mặt đường,
biến điểm này thành tâm quay tức thời, tạo nên sự lăn không trượt.
Lực ma sát lăn xuất hiện trong chuyển động lăn của vật. Khác với lực

ma sát nghỉ thì lực ma sát trượt và lực ma sát lăn bao giờ cũng làm tiêu hao
năng lượng (chúng thực hiện cản). Nói cách khác sự có mặt của chúng bao giờ
cũng làm cho điểm tiếp xúc nóng lên (biến đổi cơ năng thành nhiệt năng).
Sau đây ta chỉ khảo sát sự cản của các vật lăn không trượt. Để hiểu cơ
chế tác dụng của lực ma sát lăn, ta xét ví dụ sau:
Giả sử có một hình trụ đồng chất khối lượng m, bán kính tiết diện r lăn
không trượt trên mặt phẳng nằm ngang. Nếu không có một mômen lực phát
động liên tục tác dụng lên nó thì hình trụ lăn chậm dần đến khi dừng lại. Điều
đó chứng tỏ đã có một mômen cản xuất hiện trong khi vật lăn. Nguồn gốc của

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

7


Lực ma sát

mômen cản này rất phức tạp, nó liên quan đến sự biến dạng của vật ở chỗ tiếp
xúc.
Trong sự lăn của hình trụ trên mặt phẳng thì hình trụ và mặt phẳng bị
biến dạng và thường là biến dạng không đàn hồi. Để đơn giản ta giả thiết hình
trụ tuyệt đối rắn, chỉ có mặt phẳng bị biến dạng mà thôi.

R

N

o

o


F

R
Ftl

fL

B

C

B



a

b

Hình 3
Hình 3a thể hiện biến dạng của mặt phẳng khi hình trụ đứng yên. Thấy
tổng các phản lực thành phần tác dụng lên hình trụ đi qua tâm O của hình trụ.


Trong trường hợp này phản lực toàn phần R cân bằng với trọng lực Ftl tác


dụng vào hình trụ: Ftl mg


R Ftl 0
Tác dụng lên hình trụ một lực nào đó để nó chuyển động. Lúc này sự
phân bố của các phản lực thành phần không còn đối xứng qua BO nữa (hình
3b), vì các phần tử mặt phẳng đã bị biến dạng chưa kịp trở về vị trí cũ khi hình

trụ vừa mới dời chỗ. Kết quả là phản lực R không còn đi qua tâm O mà có
phương đi qua phía trên tâm O và có điểm C ở phía trước điểm B theo phương
chuyển động của hình trụ.

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

8


Lực ma sát

Vì vậy, nếu phân tích R thành 2 thành phần thì có thể coi như thành


phần thẳng đứng N của nó có trị số bằng trọng lực Ftl , thành phần này tạo ra

mômen cản chuyển động lăn của hình trụ, còn thành phần nằm cản trở chuyển
động tịnh tiến của hình trụ, được gọi là ma sát lăn.


Để tìm biểu thức của ma sát lăn, ta giả sử như sau: Có một lực F tác

dụng lên hình trụ theo phương nằm ngang và đi qua trục O của nó sao cho
hình trụ lăn đều. Hình trụ lăn đều khi mômen các loại lực đối với trục của nó
bằng 0.



Trục F đi qua trục nên có mômen bằng

0. Nên phản lực R do mặt phẳng đặt lên hình

R

N

O

trụ cũng phải có phương đi qua trục.
Trong trường hợp này, đặt lên hình trụ có các


lực: Lực tác dụng F , trọng lực Ftl , phản lực


R.
Phản lực R phân tích thành hai thành phần:

R = N + fL

Trong đó: N là thành phần thẳng đứng

f L là thành phần nằm ngang

fL


F
BC

Ftl

Hình 4


Vì hình trụ lăn đều và khoảng cách rất nhỏ, nên ta có thể coi N cân



bằng với trọng lực Ftl , và f L cân bằng với F .

Nghĩa là: Ftl = N = R.cos và F = fL = R .sin
fL= Ftl. tg





mặt khác tg = . Do đó: F =fL = Ftl.
r
r
fL.r = Ftl. (**)

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

9



Lực ma sát

Nghĩa là mômen của lực ma sát lăn có trị số bằng Ftl. . Biểu thức (**)
cho thấy có thứ nguyên độ dài và được gọi là hệ số ma sát lăn.
Thí nghiệm cho biết đối với kim loại và gỗ rắn có thể coi như không
phụ thuộc vào vận tốc lăn và mặt phẳng ví dụ: Gỗ (trụ gỗ lăn trên gỗ: 0,05
0,15), trụ thép non lăn trên thép non 0,005 0,01.

Đối với vật tiếp xúc không đủ rắn, ví dụ như xe thồ lăn trên mặt đất,
bánh xe ô tô lăn trên mặt đường nhựa thì phụ thuộc bán kính và vận tốc lăn
của bánh xe.
Thực tế cho biết số


r

trong biểu thức fL


r

Ftl nhỏ hơn rất nhiều so

với hệ số ma sát trượt của lực ma sát trượt ( F k. Ftl ). Do đó lực ma sát lăn bé
hơn lực ma sát trượt rất nhiều. Trong kĩ thuật để giảm tác dụng có hại của lực
ma sát người ta thay cho tác dụng của ma sát trượt bằng tác dụng của lực ma
sát lăn.
2.4. Các tính chất của lưc ma sát khô
Thực nghiệm chứng tỏ rằng khi một vật ép vào bề mặt nào đó (vật và

mặt đều khô và không được bôi trơn) và có một lực F làm trượt vật trên mặt
này, thì lực ma sát được sinh ra.
Lực ma sát khô có ba tính chất:
Tính chất 1: Nếu vật không chuyển động thì lực ma sát tĩnh fs và
thành phần song song với bề mặt của lực F bằng nhau về độ lớn nhưng ngược
chiều.
Tính chất 2: Độ lớn của fs có giá trị cực đại fs max xác định bởi:
fs max = s N
trong đó : s là hệ số ma sát tĩnh và N là độ lớn áp lực pháp tuyến.
Nếu độ lớn của thành phần song song với mặt của F vượt quá Fsmax thì vật bắt
đầu trượt trên mặt.

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

10


Lực ma sát

Tính chất 3: Nếu vật bắt đầu trượt trên mặt thì độ lớn của lực ma sát
giảm nhanh xuống giá trị fk được xác định bởi:
fk k .N

Trong đó: k là hệ số ma sát động.
3. Lực ma sát ướt
3.1. Khái niệm
Lực ma sát ướt là lực ma sát xuất hiện giữa các lớp chất lưu khi có sự
dịch chuyển với nhau hoặc các vật rắn chuyển động trong môi trường chất
lỏng, khí xung quanh.
3.2. Nguyên nhân xuất hiện

Do hai nguyên nhân:
Nguyên nhân 1: Do lực nhớt (lực nội ma sát) xuất hiện khi có sự dịch
chuyển tương đối giữa lớp này với lớp khác, hay với thành bình. Đối với chất
lỏng thì lực nhớt xuất hiện chủ yếu do lực hút giữa các phân tử.
Nguyên nhân 2: Do có sự khuyếch tán giữa các lớp tiếp xúc.
3.3. Vật rắn chuyển động trong chất lỏng, khí
Khi có sự chuyển động tương đối của vật đối với chất lưu thì xuất hiện
lực cản làm cản trở chuyên động của vật. Lực cản này chẳng những phụ thuộc
vào vận tốc tương đối mà còn phụ thuộc vào kích thước, hình dạng, trạng thái
diện tích mặt ngoài của vật.
Người ta phân biệt hai loại lực cản: Lực cản ma sát và lực cản do áp
suất.
a. Lực cản ma sát
Trường hợp vận tốc tương đối bé thì chất lưu chảy thành lớp. Tương tác
với một vật hình cầu bán kính R , các lớp uốn quanh vật một cách đối xứng
(hình 5).

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

11


Lực ma sát

Hình 5
áp dụng định luật Becnuli để tìm phân bố áp suất quanh vật ta sẽ thấy
áp suất toàn phần tác dụng lên vật bằng không.
Lực cản xuất hiện ở đây là lực cản ma sát, do lực nhớt của chất lưu tác
dụng lên vật .
Biểu thức của lực ma sát có dạng: Fms k Rv0

Trong đó: k là hệ số tỉ lệ, phụ thuộc vào hình dạng của vật, thực nghiệm
tính toán chính xác cho biết đối với một vật hình cầu thì k 6
suy ra Fms 6 Rv0 (công thức Stôc)
b. Lực cản do áp suất
Thực nghiệm cho biết khi vận tốc tăng đến giá trị ứng với số Râynôn tới
hạn thì sự đối xứng của các đường dòng bị phá vỡ. Phía sau vật hình thành các
xoáy lần lượt tách ra xa vật, tạo thành những dãy xoáy (hình 6)
B
P0

vA

A

C

B

Hình 6
Vận tốc các đường dòng B và B là như nhau, do đó ta có áp suất cân

bằng nhau ( pB pB ' 0 ).

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

12


Lực ma sát


Vận tốc ở A là bé nhất, do đó áp suất ở đây là rất lớn pA > p0; Vận tốc ở
C, phía sau của vật do có cuộn xoáy nên rất lớn và vì vậy pC < p0. Tổng áp
lực tác dụng lên các vật khác không và có hướng từ A C , nghĩa là cản trở
chuyển động của vật. Lực này gọi là lực cản áp suất.

1
Biểu thức của lực cản áp suất : Fas CS v 2
2
Trong đó: S là tiết diện ngang của vật,
C là hệ số tỉ lệ, phụ thuộc vào hình dạng của vật
Ví dụ dạng đĩa C = 1,32, dạng cầu C = 0,24, dạng giọt nước C = 0,04.

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

13


Lực ma sát

Chương 2. Một số dạng bài tập có liên quan đến các
trường hợp xuất hiện của lực ma sát

Để giải các bài tập cơ học thì ta phải xác định được lực tác dụng lên vật.
Mà phần lớn các bài tập xét trong trường hợp không lí tưởng đều có liên quan
đến lực ma sát. Lực ma sát là một khái niệm khó, chính vì vậy trong quá trình
giải các bài toán cơ học việc xác định được lưc ma sát xem như là phức tạp
hơn cả. Khi giải bài toán này ta cần xác định được lực ma sát tác dụng vào vật
đó là lực ma sát gì? Phương, chiều, độ lớn của lực ma sát ra sao? Ngoài ra với
các bài toán cân bằng vật rắn có liên quan đến lực ma sát thì xác định điều
kiện đối với lực ma sát như thế nào?

1. Bài tập về lực ma sát nghỉ
Bài 1:
Một mặt nón tròn xoay với góc nghiêng và có thể quay quanh một
trục thẳng đứng. Một vật có khối lượng m đặt trên mặt nón, cách trục quay
khoảng R. Mặt nón quay đều quanh trục với vận tốc góc là . Tính giá trị nhỏ
nhất của hệ số ma sát giữa vật và măt nón để vật đứng yên trên mặt nón.
Giải:
Lực tác dụng lên vật m khi nó đứng yên:

+ Trọng lực P P1 P2
y
với: P1= P cos
P2= P sin

+ Lực ma sát Fm s


F qt





x

o

Fms

P2




P1

P

+ Khi mặt nón quay, xuất hiện thêm
lực quán tính ly tâm hướng ngang có độ lớn:
Fqt = m 2 R.
Điều kiện cân bằng của vật m khi nón quay:

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

14


Lực ma sát

Fm s N P Fq t 0

(1)

Chiếu (1) lên các trục tọa độ như hình vẽ. Ta được:
+ Trục Ox: N + F qtsin - Psin = 0

(2)

+ Trục Oy: Fms - Fqtcos - Pcos = 0


(3)

Để vật đứng yên trên mặt nón thì lực ma sát tác dụng lên vật là lực ma
sát nghỉ Fms N

(4)

Từ (2), (3) và (4) ta có:
Fqtcos + P sin (Pcos - Fqt sin )
Fqt cos P sin

R 2 cos g sin


P cos Fqt sin g cos R 2 sin

Giá trị nhỏ nhất của để vật m đứng yên khi mặt nón quay là:
R 2 cos g sin
min =
g cos R 2 sin

Bài 2:
Một quả cầu khối lượng m1 được đặt trên dốc nghiêng góc đủ nhỏ,
bên trên quả cầu có đặt một vật nặng có khối lượng m2. Hãy xác định giá trị
nhỏ nhất của hệ số ma sát giữa vật và quả cầu để có thể tìm được vị trí đặt vật
sao cho hệ cân bằng.
Giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.
x


Fms

y

N

0 P2

P1 P2'

O

A



Chọn điểm A là trục quay tức thời của quả cầu

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

15


Lực ma sát

Mômen lực có chiều dương hướng từ trong ra ngoài và vuông góc với
mặt phẳng hình vẽ.

Các lực tác dụng lên quả cầu P1 , P '2 ( P2' = P2)


Trong đó: P1 làm quả cầu lăn ngược chiều kim đồng hồ

P '2 làm quả cầu lăn cùng chiều kim đồng hồ.

Để vật nằm cân bằng trên quả cầu:

F m s P2 N 0

(1)

Để quả cầu năm cân bằng trên mặt phẳng nghiêng

MF 0

(2)

A

Chiếu (1) lên phương:
+ Trục Ox: Fms - P2 sin = 0 Fms =P2 sin
+ Trục Oy: N - P2 cos = 0 N = P2 cos
Để m nằm cân bằng thì lực ma sát phải là lực ma sát nghỉ. Ta có:
Fms N



sin
cos

(3)


Chiếu (2) lên chiều dương đã chọn, ta có:
P1Rsin - P2R(sin - sin ) = 0
sin =

P1 P2
m m2
sin = 1
sin
P2
m2

(4)

Thay (4) vào (3) ta được:



sin
1 sin 2



Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

m1 m2
sin
m2
m m2


1 1
sin
m2


2



m1 m2 sin
2
m22 m1 m2 sin 2

16


Lực ma sát

2

Để có nghiệm thì m22 m1 m2 sin 2 > 0
sin <

m2
m1 m2

nếu đủ nhỏ để sin <

m2
thì khi

m1 m2

m1 m2 sin
2
m22 m1 m2 sin 2

ta sẽ tìm được một vị trí đặt vật trên quả cầu để hệ cân bằng.
Bài 3:
Hệ số ma sát giữa bánh xe phát động của ô tô và mặt đường phải có
giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu để ô tô có khối lượng m = 2 tấn chở M = 4 tấn
m2
hàng có thể chuyển động với gia tốc a = 0,2
. Xét bài toán trong hai trường
s

hợp:
a. Tất cả các bánh xe đều là bánh phát động
b. Chỉ có các bánh sau là bánh phát động và coi khối tâm của xe ô tô
nằm ở giữa khoảng cách hai trục, khối tâm của hàng nằm ở phía trên trục sau.
Giải:
Khi động cơ khởi động thì động cơ sẽ truyền cho bánh xe phát động của
ô tô một ngẫu lực. Ngẫu lực này chỉ có thể làm quay bánh xe chứ không gây
được chuyển động tịnh tiến của xe. Lúc này lực ma sát nghỉ xuất hiện sẽ tạo ra
mômen cản trở chuyển động lăn của bánh xe. Nó gây ra gia tốc chuyển động
tịnh tiến cho bánh xe và đẩy bánh xe chuyển động về phía trước. Xe chuyển
động với gia tốc a.
Chọn chiều dương trùng chiều chuyển động.
a. Tất cả các bánh xe đều là bánh phát động

Các lực tác dụng lên xe: N , P , F kéo



=
F kéo F msn

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

17


Lực ma sát

Từ phương trình định luật II Niutơn ta có


N P + F msn = M m a

(1)

Chiếu (1) lên phương chuyển động
Fmsn = M m a
Mặt khác: Fmsn N (M m )a
Suy ra ( M m)a M m g


a
0,02
g

min 0,02


b. Chỉ có các bánh sau là bánh phát động
m

Khi đó: Fmsn = M g
2

m

M g M m a
2




M m a 6.0,2
.
0,24
m
g
5.10
M
2

Suy ra min 0,24 .
Bài 4:
Một cơ hệ gồm con lăn bán kính R, khối lượng M đặt trên bàn nằm
ngang và vật khối lượng m, nối với nhau bởi sợi dây vòng qua một ròng rọc cố
định gắn ở mép bàn. Cơ hệ bắt đầu chuyển động từ nghỉ. Xác định gia tốc a
của trục con lăn và lực căng T của sợi dây. Biết con lăn lăn không trượt và bỏ

qua ma sát lăn của nó trên mặt bàn. Khối lượng của ròng rọc không đáng kể.
Giải:


Vật m chịu tác dụng bởi trọng lực P1 , lực căng T1 .

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

18


Lực ma sát

Con lăn M chịu tác dụng bởi: P2 , N , T2 .

x

O

N

y

M

T2

O
Fms


T1


P2

m
P1


Lực căng T2 có xu hướng làm vật, chuyển động tịnh tiến về phía bên

phải. Điểm A có xu hướng trượt về phía bên phải, do đó xuất hiện lực ma sát
có chiều như hình vẽ.
Lực ma sát dính có tác dụng tạo ra mômen quay làm vật M quay quanh
trục của nó.
Chọn trục Oxy như hình vẽ.
áp dụng định luật II Niutơn cho:


+ Vật m: P1 T1 ma1


+ Vật M: T2 Fm s N P2 Ma2
Phương trình động lực học của chuyển động quay:


M F I

(1)
(2)


(3)

O

Với I

1
MR 2
2

Khi vật lăn không trượt:

a2
R

Do dây không giãn và bỏ qua khối lượng của ròng rọc, ta có:

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

19


Lực ma sát

T1=T2=T
a1 a2 a

Chiếu phương trình (1), (2) và (3) lên các phương đã chọn. Ta được
+ Trục Ox : T- Fms=Ma


(4)

+ Trục Oy : P1- T=ma

(5)

N2=P2
và Fms.R= I I

a
R

(6)

Từ (4) và (5), ta có: Fms=P1- (m+M)a.
Thay vào (6) ta được:
P1 - (m+M)a =

1
a 1
MR 2 2 Ma
2
R
2

3

mg a M m
2



a

2m
g
3M 2m

Suy ra T = mg

2m 2
3Mm
g
g
3M 2m
3M 2 m

2. Bài tập về lực ma sát trượt
Bài 1:
một tấm ván khối lượng M có thể chuyển động không ma sát trên một
mặt phẳng nhẵn nằm ngang. Trên mặt phẳng tấm ván người ta đặt một vật nhỏ
khối lượng m, hệ số ma sát giữa vật và tấm ván là .
a. Hỏi giá trị nhỏ nhất Fmin của lực F theo phương ngang cần đặt vào vật m
để nó bắt đầu trượt trên tấm ván là bằng bao nhiêu?
b. Vật sẽ có vận tốc bằng bao nhiêu khi nó bắt đầu trượt khỏi tấm ván
trong trường hợp có lực F = 2 Fmin tác dụng lên nó.
Biết chiều dài tấm ván là l.

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý


20


Lực ma sát

Giải:
N1

Chọn trục Ox như hình vẽ
Xét hệ qui chiếu quán tính gắn

Fms

m

F N
2
Fms M

với mặt phẳng nhẵn.

Dưới tác dụng của lực kéo F

O

P1
N 2'

x


P2
vật m chuyển động theo phương


của F và trượt trên M, làm xuất hiện lực ma sát trượt F ms

a. Tính Fmin
'

Theo định luật III Niutơn, sẽ xuất hiện lực F ms có chiều ngược với F ms

và có cùng độ lớn. Lực này cho M chuyển động về phía trước:
Fms Fms' mg

Gia tốc lớn nhất mà M có thể đạt tới được là a2 max
Theo định luật III Niutơn ta có:
M a2 max = Fms' = mg
a2 max =

mg
M

muốn vật m trượt trên vật M thì m phải có gia tốc a1 a2m a x
Theo định luật II Niutơn ta có:
F Fms ma1
a1

F Fms
a2 max
m




F Fms mg

m
M



M m
F mg mg
F mg

M
m
M

Fmin mg

M m
M

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

21


Lực ma sát


b. Vận tốc của m
Khi F 2 Fmin 2 mg
2 mg.

M m
M

M m mg

thì a1

M
m

2 mg

M m g g 2 mg
M

M

Xét hệ quy chiếu gắn với vật M, vật m chuyển động nhanh dần đều với
M m .
gia tốc: a a1 a2 max g
M
Gọi t là thời gian từ lúc m bắt đầu trượt trên M tới khi m rời khỏi M.
1
Ta có: l at 2
2
2l

2lM
Suy ra t

a
g M m
vận tốc của m so với M khi nó rời khỏi M
v1 at g

M m
M

2l g M m
2 Ml

g M m
M

Vận tốc của M so với sàn khi m bắt đầu rời khỏi M
v2 a2t

2lm 2 g
M M m

Vận tốc của m so với sàn khi m bắt đầu rời khỏi M

v v1 v2
Do v1 và v2 cùng phương, cùng chiều, nên ta có:
2l g M 2 m
v v1 v2
M M m


2

Bài 2:
Một hình trụ đặc đồng nhất, khối lượng M, bán kính R đặt trên mặt bàn
nằm ngang. Một sợi dây quấn quanh hình trụ và vòng ngang qua một ròng rọc

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

22


Lực ma sát

cố định, đầu kia của ròng rọc treo một vật nặng khối lượng m. Bỏ qua khối
lượng của ròng rọc và của sợi dây. Tìm gia tốc của khối tâm hình trụ trong
trường hợp lăn có trượt. Biết hình trụ có chuyển động song phẳng.
Giải:
Chọn trục Oxy như hình vẽ.
O

N

T2

A
M

x


o
B

y

T1

m

Fms

P1



Vật m chịu tác dụng của trọng lực P1 và lực căng T1



Vật M chịu tác dụng của trọng lực P2 , phản lực N , lực căng T2 .

Lực căng T2 tạo ra mômen có tác dụng làm quay hình trụ quanh trục O

theo chiều kim đồng hồ. Khi đó điểm tiếp xúc B có xu hướng trượt về bên trái,
xuất hiện lực ma sát tác dụng vào hình trụ, có điểm đặt tại B, chiều chống lại
xu hướng trượt của B.
áp dụng định luật II Niutơn ta có:


+ Đối với vật m: P1 T1 ma1



+ Đối với vật M: P2 N T2 F ms Ma0




M P2 M N M T2 M Fms I

(1)
(2)
(3)

chiếu (1), (2) và (3) lên phương đã chọn, ta có
+ Trên trục Ox: T2 +Fms = Ma0

(4)

+ Trên trục Oy: P2 - N = 0

(5)

P1 - T1 = ma1

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

(6)

23



Lực ma sát

RT2 - RFms = I

(7)

Do M lăn có trượt nên lực ma sát có giá trị: Fms = N
Do dây không giãn và bỏ qua khối lượng ròng rọc. Nên
T1 = T2 = T

a1 a0 R

a1 a0
R

Thay vào (4), (5), (6) và (7) ta có:
T Mg Ma0

(8)

mg T ma1

(9)

R T Mg I

(10)

Từ (8), (9) và (10) ta tìm được: a0


m M m g
3M m

Vậy gia tốc khối tâm trong trường hợp này là: a0

m M m g
3M m

3. Bài tập về lực ma sát lăn
Bài 1:
Trên mặt phẳng nằm ngang có bánh xe đồng chất tâm O bán kính R,

chịu tác dụng của lực kéo Q nghiêng góc với mặt phẳng nằm ngang và
hướng xuống dưới, đặt tại điểm A trên đường thẳng đứng qua O. Biết OA = a,
hệ số ma sát trượt f, hệ số ma sát lăn là k, tìm góc nghiêng để hệ cân bằng.
Giải:

O

Các lực tác dụng lên bánh xe:



Trọng lực P , lực kéo Q , phản lực N .

Mômen lực ma sát lăn M và lực ma

sát trượt Fm s .


y
A

x



o
Q

Chọn hệ quy chiếu Oxy như hình vẽ.
C

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

24


Lực ma sát

Để bánh xe cân bằng thì:

P Q N Fms 0

M F 0

C

(1)
(2)


Chiếu (1) và (2) lên các phương đã chọn ta có:
Qcos - Fms =0

(3)

Qsin + P - N = 0

(4)

Qcos (R +a) - Mmsl = 0

(5)

với: Fms fN
Mmsl kN

(6)
(7)

Từ (4) suy ra N = Qsin +P. Thay vào (3) và (5), kết hợp với (6) và (7)
ta được:
Mmsl Q cos R a k Q sin P

Fms Q cos f Q sin P
kP

Q R a cos k sin



fP
Q

cos f sin



fP
kP
Q min
;

cos f sin R a cos k sin

Bài 2:
Thanh đồng chất AB = 2l, trọng lượng P, bề dầy không đáng kể, nằm
ngang và tựa vào đĩa tròn O tại đúng trọng tâm I của thanh. Đĩa O đồng chất,
trọng lương P1, bán kính R, nằm trên mặt nền ngang. Biết hệ số ma sát trượt f
và hệ số ma sát lăn k giữa đĩa với thanh và với mặt nền. Tìm hai thành phần
nằm ngang Q1 và thẳng đứng Q2 của lực cần đặt tại điểm A để hệ ở trạng thái

Vũ Thị Thùy Trang K29C Lý

25