TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ HUYỀN

TOÁN TỬ NĂNG LƢỢNG TRONG BIỂU DIỄN SỐ HẠT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2012

1


LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS.TSKH Đào Vọng Đức, ngƣời
đã tận tình hƣớng dẫn em trong suốt quá trình hoàn thành khóa luận này.
Đồng thời, em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn của mình các thầy giáo, cô
giáo trong khoa Vật lý-Trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2 cùng các bạn sinh
viên đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ em trong quá trình nghiên cứu, hoàn
thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2012.
Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền

2


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận: “Toán
tử năng lượng trong biểu diễn số hạt” là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dƣới
sự hƣớng dẫn tận tình của GS.TSKH Đào Vọng Đức.
Các số liệu đƣợc đƣa ra là hoàn toàn trung thực và không trùng lặp với
các đề tài khác.
Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu trong đề tài
của mình.
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Huyền

3


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
NỘI DUNG
Chƣơng 1. Dao động tử điều hòa
1.1. Phƣơng trình Newton cho chuyển động của hạt trong cơ học cổ
điển
1.2. Phƣơng trình Schrodinger cho chuyển động của hạt trong cơ học
lƣợng tử
1.2.1. Phƣơng trình Schrodinger
1.2.2. Hàm sóng
1.2.3. Năng lƣợng
KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Chƣơng 2. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa
2.1. Đồ thị biểu diễn năng lƣợng của hạt theo lý thuyết cổ điển
2.2. Đồ thị biểu diễn năng lƣợng của hạt theo lý thuyết lƣợng tử

KẾT LUẬN CHƢƠNG 2
Chƣơng 3. Toán tử năng lƣợng trong biểu diễn số hạt
3.1. Các toán tử tọa độ và xung lƣợng chính tắc mới
3.2. Các vector riêng và trị riêng của toán tử Hamilton
3.3. Biểu diễn số hạt của toán tử năng lƣợng
3.4. Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa
KẾT LUẬN CHƢƠNG 3
KẾT LUẬN
TÀI LIÊU THAM KHẢO

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu
những qui luật từ đơn giản đến tổng quát của các hiện tƣợng tự nhiên. Vật lý
học nghiên cứu tính chất, cấu trúc của vật chất và những định luật của sự vận
động của vật chất.
Cơ học là một bộ phận của vật lý học. Nó nghiên cứu sự dịch chuyển
của các vật, sự biến dạng của chúng và những tƣơng tác đang diễn ra giữa các
vật đang dịch chuyển hoặc biến dạng. Một trong những đại lƣợng dùng để mô
tả trạng thái của vật, mô tả chuyển động của hệ vật chính là năng lƣợng. Năng
lƣợng ứng với hình thức chuyển động cơ học gọi là cơ năng. Định luật bảo
toàn năng lƣợng là một định luật cơ bản của thiên nhiên.
Trong mỗi giai đoạn phát triển của vật lý học, đại lƣợng năng lƣợng mô
tả chuyển động của hạt đƣợc nhìn nhận ở những khía cạnh khác nhau. Càng
về sau này thì năng lƣợng mô tả chuyển động của hạt càng đƣợc nhìn nhận
hoàn chỉnh và đúng với thực nghiệm hơn. Trong cơ học cổ điển, nó là đại
lƣợng động lực năng lƣợng. Đến cơ học lƣợng tử, các đại lƣợng động lực

đƣợc thay thế bằng các toán tử và năng lƣợng mô tả chuyển động của hạt
tƣơng ứng bằng toán tử năng lƣợng.
Khi nghiên cứu toán tử năng lƣợng trong biểu diễn số hạt, ta có thể tìm
đƣợc phổ năng lƣợng của các hệ dao động bằng phƣơng pháp đại số. Chính vì
vậy nên tôi đã chọn đề tài “Toán tử năng lượng trong biểu diễn số hạt”.
2. Đối tƣợng nghiên cứu
Nghiên cứu toán tử năng lƣợng trong biểu diễn số hạt.
3. Mục đích nghiên cứu

5


Viết đƣợc toán tử năng lƣợng của các hệ dao động qua các toán tử sinh
hủy dao động.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đƣa ra đƣợc dạng của toán tử năng lƣợng của các hệ dao động trong
biểu diễn số hạt.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp toán cho vật lý, phƣơng pháp toán tử, giải phƣơng trình
hàm riêng và trị riêng của toán tử.

6


NỘI DUNG
CHƢƠNG 1. DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
Xét một hạt có khối lƣợng m chuyển động một chiều theo trục Ox
dƣới tác dụng của lực đàn hồi F  Kx (trong đó K là hệ số đàn hồi).
1.1. Phƣơng trình Newton cho chuyển động của hạt trong cơ học cổ điển
Theo cơ học cổ điển, hạt sẽ dao động điều hòa xung quanh vị trí cân

bằng x  0 . Áp dụng định luật II Newton ta có:

F  mx
d 2x
  Kx  m 2 ,
dt
d 2x K
 2  x  0.
dt
m
Trong đó,

(1.1)

K
K
là một số dƣơng, ta đặt:  2  .
m
m

Nghiệm của phƣơng trình có dạng:

x  Asin t  B cos t  a sin t   .
Động năng của hạt là:

p2 1 2 1 2 2 2
T
 mx  ma  cos t    .
2m 2
2

Thế năng của hạt là:
F   gradV  
x

dV
,
dx

x

1
1
 V ( x)    Fdx   Kxdx  Kx 2  ma 2 2 sin 2 t   .
2
2
0
0

Khi đó, năng lƣợng toàn phần của hạt đƣợc biểu diễn qua tọa độ x và
xung lƣợng p theo biểu thức:

7


p2
E  T  V ( x) 
 V ( x)
2m
1
1

E  ma 2 2 cos 2 t     ma 2 2 sin 2 t   
2
2
Vì sin 2 t     cos 2 t     1 và K  m 2 nên ta có:

1
E  Ka 2 .
2
Năng lƣợng của hạt có thể có những giá trị liên tục tỷ lệ thuận với a .
Nhƣ vậy, hạt thực hiện dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng
của nó: x  a sin t    với pha  , tần số góc  

a

K
và biên độ dao động
m

2E
.
m 2

1.2. Phƣơng trình Schrodinger cho chuyển động của hạt trong cơ học
lƣợng tử
1.2.1. Phương trình Schrodinger
Trong cơ học lƣợng tử ta gọi hệ đang xét là dao động tử điều hòa. Khi
chuyển từ cơ học cổ điển sang cơ học lƣợng tử, các hệ thức liên hệ giữa các
toán tử giống nhƣ các hệ thức liên hệ giữa các đại lƣợng vật lý tƣơng ứng
trong cơ học cổ điển thì toán tử năng lƣợng toàn phần (hay toán tử Hamilton)
cũng tuân theo một biểu thức tƣơng tự đƣợc thay thế bằng các toán tử tƣơng

ứng:
Toán tử Hamilton :

pˆ 2 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
H  T  V ( x) 
 V ( x).
2m
Trong đó, toán tử thế năng của hạt có dạng:

1
1
Vˆ  x   V  xˆ   Kxˆ 2  Kx 2 .
2
2

8


Toán tử động năng của hạt có dạng:
2

pˆ 2
1 
d 
2 d 2
.
Tˆ 



i





2m 2m 
dx 
2m dx 2
Khi đó, toán tử Hamilton của hạt có dạng:

2 d 2 1 2
Hˆ  Tˆ  Vˆ  x   
 Kx .
2m dx 2 2
Trạng thái lƣợng tử của hạt với năng lƣợng E không phụ thuộc t đƣợc
diễn tả bằng hàm sóng   x  thỏa mãn phƣơng trình Schrodinger:

Hˆ   x   E  x  .
 2 d 2 1 2 
 
 Kx   x   E  x  .
2
2
m
dx
2



d 2  x  2m 
1


 2  E  Kx 2   x   0
2
dx
 
2


(1.2)

1.2.2. Hàm sóng
Để tìm hàm sóng của dao động tử điều hòa ta giải phƣơng trình
Schrodinger (1.2)

K
nên K  m 2 .
m

Từ vật lý cổ điển ta có  
Phƣơng trình (1.2) trở thành:

d 2  x  2m 
1

 2  E  m 2 x 2   x   0
2

dx
 
2


(1.3)

2E
m
,



(1.4)

14

 mK 
Đặt   

  



m 2E

K 

Và dùng biến không thứ nguyên:    x  x


m


Ta có:

  x       ,

9

(1.5)


   x        x 

m
     ,


 m
 m
   x   
      
     .



x
Từ (1.4), (1.5) suy ra E 

 

2

, x 


.
m

Thay vào phƣơng trình (1.3) ta đƣợc:
m 2m      2 
    
 2 

     0 .

  2
2 

Nhân hai vế với


và đặt         ta thu đƣợc phƣơng trình:
m

        2     0

(1.6)

Hàm sóng    phải hữu hạn tại   0 và hữu hạn ở lân cận điểm  .
Bây giờ ta tìm dáng điệu của hàm    ở lân cận điểm  .

Khi  đủ lớn có thể bỏ qua số hạng    trong vế trái của phƣơng
trình (1.6), ta đƣợc:

      2    0

(1.7)





Nghiệm của phƣơng trình (1.7) là     exp   2 2 .
Những nghiệm chấp nhận đƣợc về mặt vật lí là hàm sóng    phải
hữu hạn ở điểm    , do đó ta tìm nghiệm chính xác của phƣơng trình dƣới
dạng

    v   exp 2 2
Thay (1.8) vào (1.7) ta đƣợc:

     v   exp 2 2  v     exp 2 2 .

10

(1.8)


     v    2 v    v     2 v   exp 2 2 .
Phƣơng trình cho hàm v   có dạng

v    2 v      1 v    0.


(1.9)

Ta tìm nghiệm của (1.9) dƣới dạng chuỗi lũy thừa:



k 0




v     kak  k 1    k  1 ak 1 k

k 0
k 0




v      k  1 kak 1 k 1    k  2  k  1 ak 2 k 
k 0
k 0



v     ak  k

(1.10)


Thay (1.10) vào (1.9):


 k  2 k  1 a

k 2

k 0

  2k  1    ak  k  0

(1.11)

Từ (1.11) suy ra hệ thức truy toán sau:

ak 2 

2k  1  
a
 k  2 k  1 k

(1.12)

Theo tính chất nghiệm của phƣơng trình Schrodinger trong bài toán
m 2 x 2  2
một chiều, thế năng V 
là hàm chẵn của tọa độ, bởi vậy hàm

2
2


   trong phƣơng trình (1.8) phải là hàm chẵn (hoặc lẻ) của  . Phù hợp với
điều ấy, chuỗi lũy thừa (1.10) phải là chuỗi lũy thừa bậc chẵn (hoặc lẻ) của  ,





bởi vì hàm exp  2 2 là hàm chẵn của  .
Do đó, từ (1.12) suy ra, nếu a0  0 thì a1  0 hoặc a1  0 thì a0  0 .
Trƣớc hết xét chuỗi chẵn (1.12). Muốn thế trong (1.12) thay thế

k  2  k  1 ta đƣợc:
a2 k 

4k  (3   )
a2( k 1) .
2k  2k  1

11


Khi k đủ lớn:

4k  (3   ) 1

2k  2k  1 k
Từ đây suy ra
a2 k 
 a2 k 


1
a2( k 1)
k

1 1
a2( k 2)
k k 1

1 1
1
1
1
... a0  a0 .
k k 1 k  2 1
k!

 a2 k 




1
Ta có: v     ak   a0   2 k  a0 exp  2 .
k 0
k 0 k !
k

Khi đó chuỗi chẵn (1.10) có dáng điệu giống hàm a0 exp 2 . Tƣơng tự
xét chuỗi lẻ (1.12). Muốn thế trong (1.12) thay thế k  2k  1 ta đƣợc:


a2 k 1 

4k  1   
a2 k 1.
2k  2k  1

Khi k đủ lớn:

4k  1    1
1
  a2 k 1  a1.
2k  2k  1 k
k!




1
Ta có: v     ak   a1   2 k  a1 exp  2 .
k 0
k 0 k !
k

Chuỗi lẻ (1.12) có dáng điệu giống hàm a1 exp  2 .
Lúc đó, ở lân cận điểm    hàm sóng    cho bởi (1.8) có dạng:
exp 2 2 (a0  0)  

    v   exp  2  
2

 exp  2 (a1  0)  
2

Để hàm sóng    xác định theo công thức (1.8) hữu hạn khi

   bắt buộc chuỗi lũy thừa v   phải trở thành đa thức, nghĩa là chuỗi

12


(1.8) phải bị ngắt ở một bậc kmax  n nào đó. Nghĩa là a0 (hoặc a1 ),…, ak ,…,
ak max  an  0 , còn an2 , an4 ,...  0.

Từ (1.12) suy ra an2  0    2n  1.
Khi thay   1  2n vào (1.9) thì phƣơng trình (1.9) trở thành:

v    2 v    2nv    0.

(1.13)

Mặt khác, từ toán học ta lại biết đa thức Hermite bậc n H n   thỏa mãn
phƣơng trình:

H n    2 H n    2nH n    0.

(1.14)

So sánh hai phƣơng trình trên ta rút ra:

v    vn    Nn H n  .

Nghiệm của phƣơng trình (1.6) có kể đến (1.8) và (1.14) là:

  x   n  x   N n H n   x  e 

2 2

x 2

.

Hệ số chuẩn hóa N n đƣợc tìm từ điều kiện chuẩn hóa hàm  n  x  :


  n  x  dx  1 
2

Nn





2 



H n2   e d  1.
2




Đa thức Hermite có dạng tƣờng minh

H n     1 e
n

H n     2  
n

2

n
2
 

n

d  2
n!
k
n2 k
e


1


 2  .

n

d
k ! n  2k !
k 0
n  n  1
n  n  1 n  2  n  3
n2
n4
 2  
 2   ...
1!
2!

n
n
Trong đó, kí hiệu   là phần nguyên không vƣợt quá .
2
2


Đặt H 





H  e
2
n

 2


d 







13

H n *    H n    e  d  ,
2




d n  2
 H   1  H n   n e d  .
d

n



d n  2
Đặt I   H n   n e d  .
d



Để tính tích phân I , ta sử dụng hệ thức của đa thức Hermite:

dH n  
 2nH n1  .
d
Thật vậy, ta có:

dH n  
2n  n  1 n  2 
n 1
n 3
 2n  2  
 2 
d
1!


2n  n  1 n  2  n  3 n  4 
n 5
 2   ....
2!

Mà:

H n1     2 

n 1




 n  1 n  2  2 n3
 

1!
 n  1 n  2  n  3 n  4  2 n5  ....

 
2!



dH n  
 2nH n1  . (đpcm)
d

u  H n  

Đặt 
 d n1  2 
d n  2
dv

e
d


d
 n1 e 

n

d

 d



dH n  

 2nH n1  
du 
d


,
n 1
2
d
v 
e 
n

1

d

14


d n1  2
Khi đó I  H n   n1 e

d







d n1  2
 2n  H n1   n1 e d
d




d n1  2
 I  0  2n  H n1   n1 e d  ,
d


u  H n1  
du  2  n  1 H n2  


,
Đặt 
d n1  2  
d n  2  2
dv


e
d

v

e


d  n1
d  n2



2
d n2
 I  2n  H n1   n2 e
d






 2  n  1  H n2




d n  2  2 
e d  ,

d n2




d n  2  2
 I   1 2 n  n  1  H n2 n2 e d  ,
d

2

2

Tính tích phân từng phần n lần ta đƣợc:


I   1 2 n!  e d  ,
n

2

n



Sử dụng tích phân Poisson


I 2n  a  


 ax
2n
 e x dx 
2

 2n  1!! 
a 2 n1

2n



.

Với n  0, a  1,  1!!  1, ta có:



 e d   ,
2



Khi đó, H   1 I   1  1 2n n!   2n n!  .
n

n




n

 m 
Ta tính đƣợc N n  n


2 n!     

14

1
2n n!

.

Vậy hàm sóng của dao động tử điều hòa là:

 m 
 n  x  

  

14

 m 2   m 
exp 
x  Hn  x
.
 
 2  

2n n!
1

15


Một số đa thức Hermite đầu tiên:

H 0  x   1, H1  x   2 x, H 2  x   2  2 x 2  1 , H 3  x   4 x  2 x 2  3 ,...
Các hàm sóng chuẩn hóa tƣơng ứng là

 0  x 

 
e


2 2

x 2

,

1  x 

2 3

 2  x 



2 2 x 2  1 e 

2 



xe 

2 2

x 2

,
2 2

x 2

3
 3  x 
2 2 x 2  3 xe 

3 

2 2

,

x 2

,....


1.2.3. Năng lượng
Do chuỗi lũy thừa v   trở thành đa thức bậc n nên:
an2  0    2n  1 và theo hệ thức  

2E
, năng lƣợng E của dao


động tử điều hòa chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn

1

E  En    n   , n  0,1, 2,...
2

Năng lƣợng thấp nhất của dao động tử điều hòa ứng với n  0 :

1
E0    0, gọi là năng lƣợng không. Sự tồn tại một năng lƣợng hữu hạn
2
thấp nhất E0 chỉ có thể lý giải đƣợc trên cơ sở của lý thuyết lƣợng tử.
Thật vậy, gọi các độ bất định của năng lƣợng, xung lƣợng và tọa độ lần
lƣợt là E , p và x . Sự tồn tại của E0  0 gắn liền với hệ thức bất định
giữa tọa độ và xung lƣợng của hạt: px   2, vì

p 2 K x 2
p 2 K x 2
K
1

E 

2

px  .
2m
2
2m 2
m
2

16


Có thể quy ƣớc chọn gốc tính năng lƣợng trùng với năng lƣợng không
E0 . Khi đó dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lƣợng là bội của năng

lƣợng  :
En  n.

Đó chính là giả thuyết Planck: năng lƣợng của một dao động tử điều
hòa bằng một bội nguyên của lƣợng tử năng lƣợng  .

17


KẾT LUẬN CHƢƠNG 1
Trong chƣơng 1, ta đã viết đƣợc phƣơng trình Newton cho chuyển
động của hạt trong cơ học cổ điển, phƣơng trình Schrodinger cho chuyển
động của hạt trong cơ học lƣợng tử, tìm đƣợc hàm sóng và năng lƣợng của

dao động tử điều hòa. Qua đó ta thấy năng lƣợng của dao động tử điều hòa
trong cơ học lƣợng tử chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn, giá trị nhỏ nhất

1
là E0   còn trong cơ học cổ điển thì năng lƣợng của hạt có giá trị liên
2
tục, giá trị nhỏ nhất là E  0 .

18


CHƢƠNG 2. PHỔ NĂNG LƢỢNG CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
2.1. Đồ thị biểu diễn năng lƣợng của hạt theo lý thuyết cổ điển
Theo lý thuyết cổ điển, hạt thực hiện dao động điều hòa xung quanh vị
trí cân bằng của nó: x  a sin t   .
Vận tốc của hạt nhƣ một hàm của tọa độ là:

dx
x2
v
 acos t     a 1  2 .
dt
a
Gọi   2  là chu kỳ dao động, xác suất dW (CD )  x  mà hạt vĩ mô
nằm trong khoảng từ x đến x  dx với dx  vdt bằng:

dW (CD )  x  dx 

dt






1

dx

2 a

1

2

.

x
a2

Hình 2.1: a) Đƣờng parabol biểu diễn thế năng của hạt tính theo đơn vị

 , còn các đƣờng nằm ngang là năng lƣợng toàn phần En , cũng tính theo
đơn vị  ; b) Xác suất tìm thấy hạt với năng lƣợng E2 tại vị trí  x theo lý



thuyết cổ điển W 

CD 


 và lý thuyết lƣợng tử W    .
LT

2

19


Để hiểu rõ hơn về sự khác biệt giữa dao động tử điều hòa và dao động
cổ điển. Trên hình 2.1a ta vẽ đại lƣợng V  (tức là thế năng tính theo đơn
vị  ) phụ thuộc  x . Cùng trên hình này vẽ thêm các đại lƣợng

En    n  1 2 (tức là các mức năng lƣợng cũng tính theo đơn vị  );
chúng là các đƣờng nằm ngang.
Xét một mức năng lƣợng nào đó, giả sử mức E2 với n  2 . Theo cơ
học cổ điển, hạt có năng lƣợng E2 chỉ có thể chuyển động trong phạm vi AB
mà thôi. Thật vậy, nếu hạt nằm ngoài đoạn AB thì thế năng V của hạt sẽ lớn
hơn năng lƣợng toàn phần E  E2 , do đó động năng của hạt T  E  V sẽ nhỏ
hơn không, điều này là vô lý.
2.2. Đồ thị biểu diễn năng lượng của hạt theo lý thuyết lượng tử
Theo lý thuyết lƣợng tử, xác suất dWn( LT )  x  mà hạt vi mô với năng
lƣợng En có thể đƣợc tìm thấy trong khoảng từ x đến x  dx bằng:
dWn( LT )  x  dx   n  x  dx.
2

Trong cơ học lƣợng tử, hạt không đƣợc hình dung nhƣ một chất điểm
chuyển động trên một quỹ đạo, mà là một bó sóng định xứ trong một miền
của không gian tại một thời điểm và bó sóng thay đổi theo thời gian. Tại một
thời điểm, ta chỉ có thể nói về xác suất để tìm thấy hạt trong một phần tử thể
tích của không gian, hay nói cách khác là xác suất để tọa độ của hạt có giá trị

nằm trong một khoảng nào đó. Năng lƣợng cũng vậy, ta chỉ có thể nói về xác
suất tìm thấy hạt vi mô ở một mức năng lƣợng nằm trong một khoảng nào đó
chứ không thể nói về giá trị xác định của năng lƣợng tại một thời điểm nhƣ
trong cơ học cổ điển.
Khác với cơ học cổ điển, trong cơ học lƣợng tử vẫn có xác suất tìm
thấy hạt vi mô với năng lƣợng E  E2 ở ngoài vùng AB nhƣ thấy rõ trên hình
2.1b. Điều này không hề mâu thuẫn gì với hệ thức cổ điển E  V  T , vì trong

20


thế giới vi mô, động năng và thế năng không thể đo đƣợc chính xác một cách
đồng thời. Từ hình 2.1b còn thấy rằng xác suất W2( LT ) bị triệt tiêu tại hai điểm
C và D. Một cách tổng quát, do tính chất của các hàm sóng của dao động tử
điều hòa, số điểm mà tại đó không thể tìm thấy hạt với năng lƣợng En chính
bằng n (xem hình 2.2)

Hình 2.2: Xác suất tìm thấy hạt có năng lƣợng En nhƣ là hàm của  x
cho trƣờng hợp a) n  1, b) n  5 và c) n  8, tính theo lý thuyết cổ điển

W    và lý thuyết lƣợng tử W    .
CD

LT

n

21



KẾT LUẬN CHƢƠNG 2
Trong chƣơng 2, ta đã biểu diễn đƣợc năng lƣợng của hạt theo lý thuyết
cổ điển và biểu diễn đƣợc năng lƣợng của hạt theo lý thuyết lƣợng tử. Dựa
vào đồ thị ta có thể hiểu rõ hơn sự khác biệt giữa dao động tử điều hòa theo lý
thuyết cổ điển và theo lý thuyết lƣợng tử. Trong cơ học lƣợng tử ta chỉ có thể
nói về xác suất tìm thấy hạt vi mô ở một mức năng lƣợng nằm trong một
khoảng nào đó chứ không thể nói về giá trị xác định của năng lƣợng tại một
thời điểm nhƣ trong cơ học cổ điển. Mặt khác, theo cơ học cổ điển hạt đƣợc
hình dung nhƣ một chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo và phổ năng
lƣợng là liên tục. Trong cơ học lƣợng tử, do tính chất của các hàm sóng của
dao động tử điều hòa, số điểm mà tại đó không thể tìm thấy hạt với năng
lƣợng En chính bằng n nên phổ năng lƣợng là gián đoạn.

22


CHƢƠNG 3. TOÁN TỬ NĂNG LƢỢNG TRONG BIỂU DIỄN SỐ HẠT
3.1. Các toán tử tọa độ và xung lƣợng chính tắc mới
Phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm đƣợc bằng
phƣơng pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của
Hamiltonian

2 d 2 1 2
ˆ
H 
 Kx .
2m dx 2 2

(3.1)


Để thuận tiện khi viết các công thức, thay cho các toán tử tọa độ x và
xung lƣợng i d dx ta dùng các toán tử tọa độ và xung lƣợng chính tắc mới:
x  qˆ  mx,

i

d
 d
 pˆ  i
.
dx
m dx

Khi đó, hệ thức giao hoán giữa pˆ và qˆ vẫn là  pˆ , qˆ   i.
Thật vậy ta có:
ˆ ˆ  qp
ˆˆ  i
 pˆ , qˆ   pq

 d
m dx

  pˆ , qˆ   i

Mà



 d 


mx  mx  i
,
dx
m





d
d
x  ix ,
dx
dx

d
d 
d
d
d 

 x    x   1  x   x  1  x ,
dx
dx 
dx
dx
 dx 


Suy ra


 pˆ , qˆ   i 1  x


d 
d
  ix  i. (đpcm)
dx 
dx

Biểu diễn qua toán tử pˆ và qˆ , Hamiltonian có dạng:

1
Hˆ   pˆ 2   2 qˆ 2  .
2
Ta lại đặt:

23

(3.2)


pˆ 



aˆ  aˆ   , qˆ  i
aˆ  aˆ  



2
2

Thay vào (3.2) ta có:

1
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  .
Hˆ   aa
2

(3.3)

Các toán tử aˆ và aˆ  xuất hiện ở trên có thể biểu diễn ngƣợc lại qua
pˆ và qˆ nhƣ sau:

aˆ 

1
 pˆ  i qˆ  ,
2 

aˆ  

1
 pˆ  i qˆ .
2 

Dễ dàng chứng minh đƣợc rằng các toán tử trên thỏa mãn hệ thức giao
hoán:


aˆ, aˆ    1

(3.4)

Thật vậy, ta có:

aˆ, aˆ    aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ.
1
1
 aˆ , aˆ   
 pˆ  iqˆ  pˆ  iqˆ  
 pˆ  iqˆ  pˆ  iqˆ 
2
2


1
 pˆ 2  i pq
ˆ ˆ  i qp
ˆ ˆ   2qˆ 2  pˆ 2  i pq
ˆ ˆ  i qp
ˆ ˆ   2qˆ 2  ,
2

1
1
 aˆ , aˆ   
ˆ ˆ  qp
ˆ ˆ   

 2i  pq
 2i  i     1. (đpcm)
2
2 

Từ
Và

1
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  .
Hˆ   aa
2

aˆ, aˆ    aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  1  aa
ˆ ˆ   1  aˆ  aˆ,

Do đó Hamilton (3.1) trở thành

1
Hˆ  1  aˆ  aˆ  aˆ  aˆ  
2

24


1

Hˆ   aˆ  aˆ   .
2



(3.5)

3.2. Các vector riêng và trị riêng của toán tử Hamilton
Việc nghiên cứu phổ năng lƣợng của dao động tử điều hòa quy về bài
toán tìm các vectơ riêng và trị riêng của Hamiltonian (3.5), trong đó các toán
tử aˆ và aˆ  thỏa mãn hệ thức giao hoán (3.4). Để làm điều đó ta định nghĩa
một toán tử mới nhƣ sau:
Nˆ  aˆ  aˆ

(3.6)

Và có hệ thức giao hoán giữa toán tử này với các toán tử aˆ và aˆ  :





ˆ ˆ  aˆ Nˆ  1 ,
 Nˆ , aˆ   aˆ hay Na





(3.7)




ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  1 .
 Nˆ , aˆ    aˆ  hay Na



(3.8)

Thật vậy, theo định nghĩa (3.6) và sử dụng hệ thức giao hoán (3.4), ta
có:

ˆ ˆ  aN
 Nˆ , aˆ   Na
ˆ ˆ  aˆ  aa
ˆ ˆ  aa
ˆ ˆ  aˆ    aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ ,


chính là hệ thức (3.7), và

ˆ ˆ   aˆ  Nˆ  aˆ  aa
 Nˆ , aˆ    Na
ˆ ˆ   aˆ  aˆ  aˆ  aˆ   aa
ˆ ˆ   aˆ  aˆ   aˆ  ,


chính là hệ thức (3.8).
Ký hiệu n là vector riêng của toán tử Nˆ ứng với trị riêng n

Nˆ n  n n .


(3.9)

Từ phƣơng trình (3.9) ta suy ra ngay

n Nˆ n
n aˆ  aˆ n
n

 0,
nn
nn
Vì

n n    n  r  dr  0
2

Và

25

(3.10)