TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

NGUYỄN THỊ HUYỀN

TÌM HIỂU VỀ HIỆU ỨNG AHARONOV – BOHM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. NGUYỄN HUY THẢO

HÀ NỘI – 2012

1


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................... 5
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................................. 6
3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .......................................................................... 6
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................................ 6
5. Phương pháp nghiên cứu ....................................................................................... 6
6. Cấu trúc khóa luận ................................................................................................. 6
PHẦN NỘI DUNG
Chương 1: Hệ phương trình Maxwell và đối xứng chuẩn ........................................ 8
1.1 Hệ phương trình Maxwell ................................................................................... 8
1.2 Đối xứng chuẩn ................................................................................................... 10
Chương 2: Điện tích của hạt trong từ trường của ống dây solenoid ........................ 11

2.1 Phương trình Schrodinger trong điện từ trường .................................................. 11
2.2 Thế vector của từ trường ống dây solenoid ......................................................... 11
2.3 Hàm sóng trong thế vector .................................................................................. 12
2.4 Hiệu ứng Aharonov – Bohm ............................................................................... 13
2.5 Hiệu ứng Aharonov – Bohm từ .......................................................................... 16
2.6 Hiệu ứng Aharonov – Bohm điện ....................................................................... 18
2.7 Hiệu ứng Aharonov – Bohm và siêu dẫn ............................................................ 20
Chương 3: Bằng chứng thực nghiệm và thực hành sử dụng hiệu ứng Aharonov –
Bohm ......................................................................................................................... 23
3.1 Thí nghiệm với từ trường của ống dây solenoid ................................................. 23
3.2 Thí nghiệm với từ trường của ống dây toroid ..................................................... 26
3.3 Thực hành sử dụng hiệu ứng Aharonov – Bohm ................................................ 28
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO

2


Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Th.S Nguyễn Huy
Thảo người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình làm luận văn
này.
Đồng thời em cũng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lýtrường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 cùng các bạn đã tạo điều kiện thuận lợi
cho em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012.
Sinh viên
Nguyễn Thị Huyền.

3



Lời cam đoan
Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của thầy giáo Th.S Nguyễn Huy Thảo.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận, em có tham khảo
một số tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Tìm hiểu về hiệu ứng
Aharonov - Bohm” là trung thực và không trùng lặp với kết quả của các đề
tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện
khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã
được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012.
Sinh viên
Nguyễn Thị Huyền.

4


PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong cơ học cổ điển, chuyển động của các hạt được mô tả bởi tác dụng của




các lực. Định luật thứ hai Newton F  ma cho biết các hạt sẽ di chuyển qua không


gian như thế nào dưới tác dụng của lực F , nói chung, lực Lorentz mô tả sự tương

tác giữa các hạt tích điện, điện trường và từ trường.
Điện trường và từ trường được mô tả bởi hệ phương trình Maxwell. Để mô
tả hiện tượng điện từ có thể được đơn giản hóa bằng cách giới thiệu các thế điện


từ: thế vô hướng  và thế vector A . Để viết điện trường và từ trường dưới dạng
các thế là một hữu ích bởi vì chúng chỉ cần bốn thành phần (một thành phần vô
hướng và ba thành phần vector) để mô tả trường điện từ, mà đầy đủ bao gồm sáu




thành phần (ba thành phần cho từng thế vector E và B ). Cho đến thế kỉ XX nó
được nhiều người cho rằng những thế đó chỉ là xây dựng thuần túy toán học để
đơn giản hóa tính toán mà chúng không bao hàm ý nghĩa vật lý.
Với sự phát triển của cơ học lượng tử vào đầu những năm của thế kỉ XX,
quan điểm này đã được đặt dưới câu hỏi, bởi vì phương trình Schrodinger phương trình cơ bản của cơ học lượng tử, không bao hàm các trường nhưng bao
hàm các thế. Vì vậy, các câu hỏi phát sinh, mô tả các hiện tượng điện từ cơ bản
nhiều hơn, thông qua các điện trường và từ trường hoặc thông qua thế vô hướng
và thế vector. Năm 1959, Yakir Aharonov và David Bohm , đề xuất một thử
nghiệm để giải quyết vấn đề này. Trọng tâm của thử nghiệm là hiệu ứng mà trong
đó hàm sóng thu được một số pha bổ sung khi đi xa trong không gian không có
điện từ trường mà chỉ có các thế

. Điều này được gọi là hiệu ứng Aharonov-

Bohm.
Để mở rộng hiểu biết về vấn đề trên tôi chọn đề tài : “Tì m hiểu về hiệu ứng
Aharonov – Bohm” là đề tài cho khóa luận tốt nghiệp của mì nh.


5


Hy vọng rằng đề tài sẽ góp thêm hiểu biết cho các bạn yêu thích vật lí lượng
tử.

2. Mục đích nghiên cứu
Sử dụng các phương trình cơ bản trong cơ học lượng tử như phương trình
Schrodinger, hệ phương trình Maxwell và lực Lorentz để nghiên cứu hạt điện
tích đi xa trong không gian ngay cả khi không có điện từ trường mà vật lí cổ
điển không thể giải thích được. Từ đó tìm hiểu về các hiệu ứng Aharonov Bohm: hiệu ứng Aharonov - Bohm từ, hiệu ứng Aharonov - Bohm điện,…
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
Các hiệu ứng Aharonov - Bohm và các bằng chứng thực nghiệm.
Đầu tiên khóa luận sẽ đề cập sâu hơn về thế điện từ và tính chất quan trọng
của đối xứng chuẩn bằng cách kiểm tra một số tí nh chất của hàm sóng của
một hạt điện tí ch trong điện từ trường, qua đó cho thấy làm thế nào để dẫn đến
hiệu ứng Aharonov-Bohm. Tiếp theo, một số bằng chứng thực nghiệm của
hiệu ứng cũng được tì m hiểu và thảo luận.

4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích trên cần nghiên cứu những vấn đề sau:
- Tìm hiểu hệ phương trình Maxwell và phương trình Schrodinger trong
điện từ trường.
- Tìm hiểu về các hiệu ứng Aharonov – Bohm.
- Tìm hiểu về bằng chứng thực nghiệm của hiệu ứng Aharonov - Bohm.

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
-

Đọc, dịch tài liệu và tra cứu.


- Phương pháp vật lý lý thuyết và vật lý toán.

6. Cấu trúc khoá luận tốt nghiệp
Gồm 3 chương:
Chương 1: Hệ phương trình Maxwell và đối xứng chuẩn
6


Chương 2: Điện tích của hạt trong từ trường của ống dây solenoid
Chương 3: Bằng chứng thực nghiệm của hiệu ứng Aharonov - Bohm.

7


PHẦN II: NỘI DUNG
Chƣơng I: Hệ phƣơng trì nh Maxwell và đối xƣ́ng chuẩn
1.1 Hệ phƣơng trì nh Maxwell
Năm 1861, nhà vật lý Scotland và Maxwell đã đề xuất một hệ phương trình
vi phân là cơ sở của điện động lực học cổ điển
 
.E 
o

.B  0


B
 E  
t




E
  B   o j   o o
t

(1.1)
(1.2)
(1.3)

(1.4)

Đó gọi là hệ phương trì nh Maxwell . Hệ phương trì nh này mô tả động lực
học của trường điện từ và cùng với lực Lorentz đối với hạt điện tích






F  e( E  v  B) ,

(1.5)




trong đó , B và E là các vector cường độ điện từ trường ,  và j là điện tích và
mật độ dòng điện của nguồn sinh ra điện từ trường.



Phương trì nh liên tục mà  và j tuân theo có dạng:
  
 . j  0
t

Hệ phương trì nh cho biết mối quan hệ giữa điện trường



E , từ trường B và



nguồn, mật độ dòng điện j và mật độ điện tí ch . Nếu nhì n vào phương trì nh
Maxwell thứ hai (phương trì nh 1.2), sẽ thấy rằng từ trường luôn luôn không đổi .
Điều này có n ghĩa là khi sử dụng định lý Helmholz , có thể viết từ trường dưới
dạng
8




B   A .

(1.6)

Bởi vì “div” của trường vector với đường sức khép kí n


luôn bằng không ,


điều này rõ ràng thỏa mãn phương trì nh (1.2). A được gọi là thế vector . Cũng có
thể làm điều tương tự với phương trì nh Maxwell thứ ba (phương trì nh 1.3), nếu
viết điện trường dưới dạng



A
E   
t

(1.7)

Và sử dụng phương trình (1.6) cho từ trường , chúng luôn thỏa mãn phương
trình (1.3).


Như vậy, có thể thấý rằng các thế  và A là những hàm của không gian và


thời gian. Nhưng cần lưu ý , B và E là những đại lượng đo được , có ý nghĩa vật


lý trực tiếp, còn các thế  và A là những đại lượng không thể đo được , chỉ có ý
nghĩa vật lý gián tiếp.




Sử dụng hai phương trì nh (1.6), (1.7), với cường độ B và E xác định thì các


thế vô hướng  và các thế vector A không được xác đị nh duy nhất . Để xác đị nh
mối liên hệ giữa thế và nguồn của điện từ trường , tất cả các hiệ n tượng điện từ
được mô tả trong biểu thức của thế. Thật vậy, ta có thể thay thế
 
A  A   ,
(1.8)


,
(1.9)
t 

với  là một hàm tùy ý thì B và E xác định bởi các biểu thức (1.6), (1.7) vẫn

   

không thay đổi giá trị . Vì  là một hàm tùy ý do đó đòi hỏi phải có thêm một
điều kiện phụ nào đó cho các thế
chọn dưới dạng:

 và

  
. A 
0
t



A . Thông thường điều kiện này được

(1.10)

9


và gọi là điều kiện Lorentz.
Để nghiên cứu chuyển động của các hạt mang điện trong trường điện từ , cần
thực hiện các phép thay thế xung lượng

  
p  p  eA

(1.11)

Đối với Hamilton cổ điển của một hạt tự do
 2

H0 

p
2m

(1.12)

và thêm vào thế năng e . Do đó ta sẽ có biểu thức của hàm Hamilton của một
electron trong trường điện từ:


1   2
 p  eA  e . (1.13)
H

2m 

1.2 Đối xứng chuẩn
Thế điện từ có một thuộc tí nh quan trọng khác. Nếu nhì n vào phương trì nh
(1.6) và (1.7) một lần nữa ta sẽ thấy rằng các thế luôn có một dạng đạo hàm.


Điều này có nghĩ a là nếu biến đổi thế  và A trong các cách sau:




A  A   ,

(1.14)


.
t

(1.15)

   





Thế   và A tương ứng giống như thế điện trường  và thế từ trường A . Điều
này có thể thấy khi sử dụng

tính chất xf=0 và sự giao hoán đạ o hàm của

không gian và thời gian.
Phép biến đổi được viết ở trên đ ược gọi là “ phép biến đổi chuẩn” và hàm 
gọi là “hàm chuẩn” . Bởi vì các phương trì nh Maxwell có thể được thỏa mãn với
các thế khác nhau ta nói rằng các phương trình là bất biến chuẩn.
Bất biến chuẩn của các phương trình Maxwel l là lý do chính giải thích tại sao
các thế luôn được coi là xây dựng thuần túy toán học mà không có bất kỳ ý nghĩa
vật lý nào. Quan điểm đó được thay đổi cùng với sự phát triển của cơ học lượng
tử trong thế kỉ XX và đặc biệt khi hiệu ứng Aharonov – Bohm được đưa vào.

10


Chƣơng 2: Điện tí ch của hạt trong tƣ̀ trƣờng của ống dây
Solenoid
2.1 Phƣơng trì nh Schrodinger trong điện tƣ̀ trƣờng
Trong cơ học cổ điển , để mô tả chuyển động của một hạt , hoặc sử dụng lực
Lorentz trong đó có các trường, hoặc là bằng cách sử dụng dạng chính tắc và hàm
Hamilton được biểu thị dưới dạng các thế. Nhưng nếu muốn mô tả động năng của
hạt trong cơ học lượng tử thì cần phải sử dụng dạng chí nh tắc bởi phương trì nh
Schrodinger rõ ràng đã chứa hàm Hamilton.
Đối với một hạt điện tích trong điện từ trường, hàm Hamilton có dạng:


1    2

( p  eA(r ))  e (r )  V (r ) .
(2.1)
2m

Nếu viết xung lượng dưới dạng : p  i và đặt hàm Hamilton trong phương

H

trình Schrodinger, được
  2

 

 1
(
i



eA
(r ))  e (r )  V (r )    i
,
 2m
t



(2.2)

trong đó mô tả động năng của các hạt điện tí ch trong điện từ trường.


2.2 Thế vector của tƣ̀ trƣờng ống dây solenoid
Xét một hạt điện tích trong vù ng lân cận của một ống dây solenoid dài mang


từ trường B . Nếu ống dây solenoid là rất dài , trường bên trong là đề u và trường
bên ngoài bằng không và sử dụng hệ trục tọa độ trụ vớ i trục z ở giữa ống dây
solenoid và hướng theo từ trường.


Để giải phương trì nh Schrodinger, trước tiên phải xác đị nh được thế A và  .


Vì ống dây solenoid không có điện tí ch, điện trường E    0 nên chọn   0 ,
thỏa mãn phương trình trước.

11




Thế vector A bên ngoài ống dây s olenoid phải thỏa mãn hai điều kiện . Thứ




nhất, B   A  0 , đó chỉ đơn giản là định nghĩa của thế vector. Thứ hai , phải
thỏa mãn hệ quả của đị nh lý Stokes
 
 


 

 A.dr   ( A).d S   B.d S   m
c
s
s

(2.3)

Nếu tí ch phân được lấy theo đường cong C là đường cong xung quanh ống dây
solenoid và  m là tổng số từ thông chạy qua ống dây s olenoid thì thông thường
người ta chọn thế vector là


A

m ˆ
,
2 r

(2.4)

ˆ là vector đơn vị.
trong đó r là khoảng cách từ trục z và 

Thế vector được đưa ra ở phương trì nh (2.4) thỏa mãn cả hai điều kiện.


Có thể thấy rằng , mặc dù từ trường B được giớ i hạn trong ống dây s olenoid



nhưng thế vector A bên ngoài ống dây không phải bằng không.
Nếu sử dụng riêng hàm chuẩn  ( phương trì nh 1.8), chúng ta có thể đặt nó
bằng không hầu như ở khắp mọi nơi bên ngoài ống dây solenoid , nhưng vẫn phải
thỏa mãn các điều kiện ở phương trình (2.3).

2.3 Hàm sóng trong thế vector
Để mô tả hàm sóng của một hạt điện tí ch thì cần phải giải phương trì nh
Schrodinger (2.2). Trong trường hợp này nó có thể được đơn giản hóa bằng cách
viết hàm sóng dưới dạng:


ig (r )  
 (r , t )  e
 (r , t ) ,

(2.5)

trong đó



e r  
g (r )   A(r ).d r 
0


(2.6)


Điểm bắt đầu của phép lấy tí ch phân là 0 được lựa chọn tùy ý , đó là kết quả
của phép biến đổi tự do trong điện từ trường. Tại điểm này , điều quan trọng để
12








thế A không xoáy (từ trường B bằng 0) thì g (r ) phụ thuộc vào đường lấy tích

r
phân trong phương trì nh (2.6) vì nó không phải là một hàm của .
Trong dạng của ’, gradient của  là



ig (r )
ig
(
r
)
  e
(ig (r ))  e
() .

(2.7)


Bởi vì


e 
g (r )  ( ) A ,



(i  eA)  ieig ( r )

(2.8)


 2
2 ig ( r ) 2
(i  eA)    e  

(2.9)

Và hơn nữa

Đưa vào phương trì nh (2.2) và bỏ thừa số

e


ig ( r )

, phương trì nh sẽ trở thành


2 2


    V    i
.
2m
t
Có thể nhận thấy rằng hàm sóng

(2.10)

’ là kết quả của cách giải phương trình



Schrodinger trong sự vắng mặt của thế vector A .
Vì vậy nếu có thể giả i phương trì nh (2.10), cách giải trong sự có mặt của
trường vector cũng giống như hàm sóng, được nhân với thừa số

e


ig ( r )

.

2.4 Hiệu ƣ́ng Aharonov – Bohm
Trong lý thuyết cổ điển, lực Lorentz có dạng:





F  e( E  v  B) .

Lực Lorentz chỉ khác không ở những vùng mà E và B khác không

. Tuy

nhiên cơ học lượng tử lại chỉ ra rằng : hiệu ứng vật lý xảy ra ở cả những vùng mà
cả E và B đều bằng 0. Hiệu ứng Aharonov – Bohm sẽ minh họa điều này.

13


Do đặc tí nh sóng của electron nên nó không bị bắt khi đi qua khe hở và tạo
ra cách giao thoa.

Hình 2.1: Thí nghiệm hai khe với electron.
Nếu bước sóng của electron là , sự chuyển pha giữa bước sóng của hai khe
là

  2
Nếu

a
(2.11)


x
L


x  L , khi đó a  d


Cực đại xảy ra ở

x 2 d
L

, x
L 
2 d

  2 n

(2.12)

và cực tiểu tại (2n  1)

Như vậy công thức trên cho ta biết cách giao thoa.
Aharonov và Bohm (1959) đưa ra ý tưởng : đưa một solenoid vào giữa hai
khe
Do vậy, sẽ có đường sức từ bên trong solenoid, nhưng ở ngoài thì không.
Nếu solenoid đủ nhỏ, khi đó electron sẽ chuyển động trong vùng không có
từ trường.
14


Trong hệ quy chiếu trụ, A chỉ có thành phần 
Bên trong


Ar  Az  0

A 
Bên ngoài

Br
2

Ar  Az  0
BR 2
A 
2r

trong đó R là bán kí nh của solenoid.


Vì B   A , ta có trong hệ tọa độ trụ
1   (rA ) Ar 
Bz  

r  r
 

(2.13)

Và tương tự cho Br và B
Do vậy,
Bên trong Br  B  0


Bz  B
Bên ngoài B=0

(2.14)

Như vậy trường ở trong solenoid.
Hàm sóng của electron trong trường tự do

i
   exp( p.r )   exp(ig )


(2.15)

Hiệu ứng của trường điện từ làm thay đổi xung lượng p bằng

p  p  eA

(2.16)

Trong đó e là điện tí ch của trường  (electron)
Như vậy pha g của hàm sóng thay đổi theo

gg

e
A.r


(2.17)


15


Sự thay đổi pha trên toàn quỹ đạo là

g 

e
A.dr


(2.18)

Trong trường hợp 2 quỹ đạo là

g1  

e
e
A.dr , g 2    A.dr

 c1
 c2

(2.19)

Và sự thay đổi pha  là
  g1  g 2 



e
e
e
e
e
A
.
dr


 AdS 
BdS  B  dS   (2.20)




 c2 c1
 c2 c1
 c2 c1
 c2 c1


Trong đó  là từ thông qua solenoid.
Sự giao thoa làm dị ch chuyển theo

x 

L e


2 d 

Như vậy sự tồn tại của solenoid làm dị ch chuyển pha

(2.21)
, ngay cả khi electron

chuyển động qua vùng không gian không có từ trường.

2.5 Hiệu ƣ́ng Aharonov – Bohm tƣ̀
Bây giờ xét một thí nghiệm tưởng tượng.
Lấy một chùm electron , chia thành hai tia và gửi mỗi chùm tia điện từ qua ống
dây solenoid về hai phía khác nhau của nó (hình 2.1).

16


Hình2. 2: Sơ đồ hì nh ảnh của hiệu ứng Aharonov – Bohm từ.
Vì vậy có thể hy vọng rằng chùm tia điện tử sẽ giao thoa khi chúng gặp nhau
ở phía bên kia của ống dây solenoid.
Để mô tả sự giao thoa, có thể viết chùm dưới dạng sóng

1  Aeikx1 , 2  Aeikx2

(2.22)

trong đó k là vector sóng của chùm tia điện tử và x1 , x2 là độ dài mỗi tia.
Nếu ống dây soleno id không chứa từ trường , thế vector bên ngoài sol enoid
được đặt bằng không thì pha dị ch chuyển


giữa  1 ,  2 và sự giao thoa sẽ chỉ

phụ thuộc vào pha giao thoa

 o  k ( x2  x1 )

(2.23)

Nhưng khi thay đổi từ trường trên, thế vector


A là một dạng của phương trình

(2.4), vì vậy các hàm sóng  1 và  2 sẽ có được các yếu tố như thể hiện trong
phương trì nh (2.5). Do đó biểu thức về pha giao thoa sẽ thay đổi:   g1  g2 .

17


Để tí nh toán sự khác biệt   g1  g2 cần phải sử dụng phương trì nh (2.6) và
viết
  g1  g 2 

    e    e
e    
m


A
(

r
).
d
r

A(r ).d r   
A(r ).d r  



  c1

c2
  c

(2.24)

C1 và C 2 thay cho các đường đi của mỗi tia khi đi qua ống dây solenoid.

Khi những chùm tia hình thành một đườn g cong kí n quanh ống dây solenoid
thì tổng số pha khác nhau giữa các tia sẽ tỉ lệ với thông lượng từ thông bên trong
solenoid. Vì vậy nếu thay đổi từ trường trong ống dây solenoid thì phải thay đổi
pha khác nhau giữa các tia và hình ảnh giao thoa sẽ thay đổi . Điều này được gọi
là hiệu ứng Aharonov – Bohm.
Tiếp theo, một lần nữa ta sẽ chỉ ra được rằng k hi các chùm tia điện tử đi qua
ống dây solenoid , chúng không bao giờ đi qua vùng không gian với t

ừ trường

khác không, do đó, trong điện động lực học cổ điển chúng ta mong chờ không có

sự tương tác giữa điện trường và từ trường.
Tuy nhiên, cũng nhận thấy rằng nếu mô tả các hạt trong cơ học lượng tử

, từ

trường trong khu vực b ị cô lập từ việc tạo ra các hạt mà hiệu ứng đo được trên
chuyển động của chúng . Vì vậy phải kết luận rằng , hoặc là sự tương tác giữa
trường và hạt là không đị nh xứ , hoặc các thế được mô tả thực chất vật l ý hơn so
với các trường.

 
Nếu thay đổi thế vector để A  A   và thực hiện phép lấy tích phân trong
phương trì nh (2.24), sẽ dễ dàng nhận thấy sự chênh lệch pha  không thay đổi.

2.6 Hiệu ứng Aharonov – Bohm điện
Khi đề c ập đến hiệu ứng Aharonov – Bohm luôn luôn phải đề cập đến hiệu
ứng được mô tả ở phần trước nhưng trong thực tế có hai loại hiệu ứng

. Trong

hiệu ứng từ mô tả ở trên , hàm sóng có các pha khác nhau do các thế vector, trong
đó mô tả từ tr ường. Trong bài viết của mình, Aharonov và Bohm cũng mô tả thí

18


nghiệm tương tự trên , khi các hạt đi qua khu vực nơi mà điện trường


E bằng


không nhưng thế vô hướng lại không bằng không.
Trong thực tế, hiện tượng này của hiệu ứng dễ dàng để giải thích hơn.
Như đã biết, hàm sóng với năng lượng E tăng lên theo thời gian

i Et
(r, t )  (r, t  0)e  .




(2.25)

Sự tăng lên tương tự như trong phương trì nh (2.5) nếu chú ng ta đặt E  e và
viết
t  t

e
g    dt
 t  0

(2.26)

Dễ dàng nhận thấy rằng phương trì nh (2.6), (2.26) có dạng tương tự. Ở phương
trình (2.6) tích phân thế vector theo khoảng cách và ở phương trình (2.26) tích
phân thế vô hướng theo thời gian, đó là kết quả trực tiếp của học thuyết tương đối

 
A


(
, A)
đặc biệt, nơi thế vector và thế vô hướng ở dạng vật lý như nhau 
c
Trong hiệu ứng Aharonov – Bohm điện, chùm tia điện tử đi qua vùng không
gian có vô hướng khác nhau để có được sự khác nhau giữa các pha.
Hiệu ứng Aharonov – Bohm điện có thể được thực hiện trong một dạng như
hình 2.2

19


Hình 2.3: Sơ đồ hì nh ảnh của hiệu ứng Aharonov – Bohm điện.
Mỗi chùm tia truyền qua ống hình trụ khác nhau tại thế 1 hoặc  2 . Điều quan
trọng là ống dây đủ dài để trường bên trong bằng không và thế là không đổi.
Nếu thế của ống trụ là khác nhau, chùm tia có được sự thay đổi pha:

 

et
 ,


(2.27)

trong đó  là thế khác nhau giữa các ống trụ và t là thời gian điện tử cần

để

xuyên qua ống trụ. Kết quả của thí nghiệm sẽ có được tương tự như trong hiệu

ứng Aharonov – Bohm từ , một sự dị ch chuyển bên lề sẽ xuất hiện một mô hì nh
giao thoa
Vấn đề chí nh của thí nghiệm này là sẽ rất khó để thực hiệ n và kết quả khó
giải thích hơn bởi không thể đạt được trạng thái mà các điện tử không đi qua điện
trường, điều đó chắc chắn có mặt tại đầu và cuối của hình trụ . Trong trường hợp
của hiệu ứng từ , trường thực sự có th ể được định xứ , vì vậy mà thường sử dụng
dạng của thí nghiệm đó để đo hiệu ứng.

2.7 Hiệu ƣ́ng Aharonov – Bohm và siêu dẫn
Ngoài điện trở suất bằng không, chất siêu dẫn còn có một đặc tí nh quan trọng
khác. Một trong số đó là hiệu ứng Meissner , điều đó có nghĩ a là từ trường không
thể thâm nhập vào siêu dẫn.
20


Nếu từ trường đủ mạnh, một số dạng của các chất siêu dẫn có hì nh thức đặc
biệt, được gọi là dòng thông lượng, cho phép trường có thể thâm nhập thông qua
siêu dẫn nhưng chỉ t rong hì nh thức của dòng mỏng . Thuộc tí nh thú vị của các
dòng này là thông lượng từ thông của mỗi dòng được lượng tử hóa theo các đơn
vị của  m 

h
, trong đó
2eo

eo là điện tích của electron

. Hiện tượng này có thể

được giải thí ch bằng cách sử dụng các dạng được trì nh bày ở phần trước đó vào

phần này.
Hàm sóng của electron  trong siêu dẫn được xá c đị nh trong một mặt phẳng
nơi được thâm nhập bởi một dòng thông lượng . Từ trường được đặt trong dòng
thông lượng và bằng không trong phần còn lại của chất siêu dẫn

, điều này đã

được mô tả ở mục 2.1. Nếu chúng ta di chuyể n dọc theo một đường xung quanh
dòng thông lượng với điểm bắt đầu và kết thúc tương tự như trên, ta sẽ thấy rằng



ig
giá trị của hàm sóng được thay đổi từ  ro đến e  ro . Nếu muốn hàm sóng

 

 có một giá trị , thì

 

eig  1 .

Nếu chúng ta sử dụng phương trì nh (2.6) để tính pha khác nhau g , chúng ta sẽ
có điều kiện:
e m
 2 m ,


m 


(2.28)

h
m,
e

(2.29)

với m là số nguyên.
Có thể nhận được kết quả chính xác khi đặt

e  2eo , nghĩa là các hạt trong

siêu dẫn có điện t ích lớn hơn hai lần so với electron . Nó có thể được giải thích
bằng các cặp Cooper , trong đó gồm có hai electron. Sự lượng tử hóa của thông

21


lượng trong siêu dẫn là điều quan trọng để giải thí ch phù hợp với kết quả của thí
nghiệm khi khảo sát hiệu ứng Aharonov – Bohm ở nhiệt độ thấp.

22


Chƣơng 3: Bằng chƣ́ng thƣ̣c nghiệm và thƣ̣c hành sƣ̉ dụng
hiệu ƣ́ng Aharonov – Bohm
Hiệu ứng Aharonov – Bohm lần đầu tiên được mô tả vào n ăm 1959 trong
một bài báo được viết bởi Yakir


Aharonov và David Bohm và nhận được rất

nhiều những phản hồi khác nhau . Nhiều nhà vật lý tuyên bố rằng hiệu ứng trong
thực tế không thể đo được và rằng đó như là hiện tượng chỉ có cấu trúc thuần túy
toán học, do đó việc thử nghiệm là điều cần thiết.
Trong thực tế , khi phát triển ý tưởng của hiệu ứng , Aharonov và Bohm
được Robert G .Chambers tư vấn thí nghiệm vật l ý, cuối cùng, họ đã mô tả được
thí nghiệm, cũng có nghĩa là họ đã được chứng minh lý thuyết của mì nh.
Chỉ một năm sau đó , vào năm 1960, Chambers thực hiện các đề xuất thử
nghiệm và ch ứng minh rằng hiệu ứng tồn tại. Trong năm tiếp theo , hiệu ứng đã
được xác nhận nhiều hơn nữa với các thí nghiệm chính xác hơn, do đó ngày nay
chỉ một số ít vẫn nghi ngờ sự tồn tại của nó.
Trong phần này chúng ta sẽ mô tả thí nghiệm của Chambers và nhận xét kết
quả của ông . Chúng ta sẽ xét một thí nghiệm tiên tiến từ năm

1986, được thực

hiện trong mặt cầu hì nh học, bằng cách sử dụng nam châm hì nh xuyến siêu dẫn.

3.1 Thí nghiệm với từ trƣờng của ống dây solenoid
Hình học được sử dụng trong thí nghiệm

, được thực hiện bởi Robet

G.Chambers năm 1960, là một thực tiễn giống hệt hình học mô tả trong phần 2.
Vấn đề đầu tiên trong mô tả thí nghiệm là làm thế nào để chia chùm tia điện tử ra
với khoảng cách vừa đủ. Khoảng cách của các chùm tia điện tử được xác đị nh bởi
kích thước của các nguồn điện tử . Nếu nguồn là vô cùng nhỏ , khoảng cách của
các tia có thể được tùy ý , nhưng trong thí nghiệm thực tế , khoảng cách được giới

hạn bởi kích thước của nguồn . Đối với th í nghiệm thành công thì khoảng cách

23


các tia đủ để đưa nam châm vào giữa chúng. Hình của thí nghiệm được thể hiện
trên hì nh 3.1.
Chùm tia của các điện tử được sử dụng trong thí nghiệm này, được quan sát
bởi kí nh hiển vi điện tử . Bước sóng điện tử nhỏ hơn 1nm, nghĩa là nhỏ hơn nhiều
so với kí ch thước của ống dây solenoid

, do đó nhiễu xạ có thể được bỏ qua

.

Chùm tia được chia thà nh hai bởi một lưỡng lăng kí nh điện tử ( e và f tr ên hì nh)
và giao thoa trên màn quan sát O. Lưỡng lăng kí nh gồm thanh thạch anh được
phủ nhôm f và hai tấm kim loại được nối đất e. Góc hiệu ứng của lưỡng lăng kí nh
có thể đượ c thay đổi bằng cách áp dụng thế năng dương trên thanh f.Trong tí nh
toán tại mục 2, giả định rằng ống dây solenoid dài vô tận để từ trường bên ngoài
bằng không giống nhau . Trong tì nh huống thực tế điều này không thể đạt được ,
do đó Chambers đã thực hiện hai thí nghiệm để phân biệt các hiệu ứng của từ
trường, từ hiệu ứng Aharonov – Bohm.

Hình 3.1: Sơ đồ mạch của Meter, được sử dụng bởi Chambers.
Trong thí nghiệm đ ầu tiên, các electron di chuyển thông qua từ trường , kéo
dài ở khu vực a’ (hình 3.1). Như biểu diễn trong hì nh 3.2, trường mở rộng ở khu
vực a’, vân trên hì nh ảnh giao thoa không thay đổi , nó chỉ là đổi chỗ toàn bộ trên
màn mà có thể giải thích bởi lực Lorentz.


24


Hình 3.2: Giao thoa do

a) chỉ một lưỡng lăng kính

b) từ trường trong khu

vực a’.
Trong thí nghiệm thứ hai, từ trường được đị nh xứ trong khu vực a ở hì nh 3.1,
đó là trạng thái mà chúng ta hy vọng ở hiệu ứng Aharonov – Bohm. Thay vì ống
dây solenoid khó để làm quá nhỏ, sợi tinh thể sắt, với chiều rộng 1m và dài
0,5mm được sử dụng. Từ thông trong sợi tinh thể giảm dọc theo chiều dài của nó
có độ dốc khoảng (hc/e)/1m, nghĩa là trong trường hợp hiệu ứng Aharonov

–

Bohm, mô hì nh giao thoa sẽ thay đổi trong khoảng mỗi vân một m. Sợi tinh thể
được đặt ở vị trí trong tối của thanh f , vì vậy không có electron nào vượ t qua nó .
Kết quả của thí nghiệm này được biểu diễn trên hì nh 3.3.
Từ đó sẽ thấy rằng trong thực tế vân dịch chuyển theo hướng thẳng đứng , đó
là bằng chứng thực nghiệm của hiệu ứng Aharonov – Bohm.
Mặc dù kết quả thí nghiệm của Chambers đã xác nhận dự đoán của Aharonov và
Bohm, nhưng một số vẫn còn lập luận rằng
trường.

25

hiệu ứng không phải do


điện từ