Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

A - Phần mở đầu
i. Lý DO CHọN Đề TàI.
Tính chất cơ bản của vật lý học là tính thực nghiệm. Nhưng muốn
trình bày những định luật, định lượng của vật lý học một cách chính xác ta
phải dùng phương pháp toán học. Phương pháp toán học đã được áp dụng từ
lâu trong vật lý và hiệu lực nghiên cứu của nó đã làm phát sinh ra một
ngành mới về vật lý là Vật lý lý thuyết.
Vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháp toán học. Nó tìm
ra được những quy luật tổng quát nhất, phản ánh được bản chất vật lý của
nhiều loại hiện tượng xét một cách tổng hợp. Một trong những bộ môn quan
trọng của Vật lý lý thuyết là Điện động lực học. Nó nghiên cứu những quy
luật tổng quát nhất của điện từ trường và các hạt tích điện.
Điện động lực học vi mô nghiên cứu về các hiện tượng điện từ, có
xét đến cấu trúc phân tử, nguyên tử của môi trường và tính gián đoạn của
các điện tích. Điện động lực học vi mô có thể giải thích được cơ cấu và hiểu
được bản chất của nhiều hiện tượng điện từ như: thuận từ, nghịch từ, siêu
dẫn... mà điện động lực học vĩ mô chưa giải thích được hay chỉ có thể mô tả
được về mặt hình thức. Để có thể nghiên cứu được sâu hơn về những lý
thuyết đó tôi đã chọn đề tài: Điện động lực học vi mô và bản chất điện
từ của môi trường để có thể giải thích được cơ cấu và hiểu được bản chất
của một số hiện tượng điện từ.
2. mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu về phương pháp cho phép giải thích được cơ cấu và hiểu
được bản chất của nhiều hiện tượng điện từ.

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
1

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

3. đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất của điện từ trường và các
hạt tích điện trong phạm vi của điện động lực học.
4. phương pháp nghiên cứu.
- phương pháp toán học.
- phương pháp nghiên cứu tài liệu.
5. ý nghĩa khoa học của đề tài.
Đề tài: Điện động lực học vi mô và bản chất điện từ của môi
trường có thể giải thích được cơ cấu và hiểu được bản chất của nhiều hiện
tượng điện từ mà Điện động lực học vĩ mô chưa giải thích được hay chỉ có
thể mô tả được về mặt hình thức.

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
2

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí


B - phần nội dung
Chương 1. TƯƠNG TáC GIữA CáC ĐIệN TíCH Và
ĐIệN Từ TRƯờNG
1.1 Các phương trình cơ bản của điện động lực học vi mô
Điện động lực học vi mô coi môi trường vật chất là gồm các hạt tích
điện đặt trong chân không. Điện từ trường trong môi trường vật chất cũng
vẫn chỉ là điện từ trường trong chân không, nhưng đã bị trường của các hạt
tích điện đó làm biến đổi. Sự có mặt của môi trường vật chất có thể coi như
là sự đưa thêm vào chân không một số điện tích bổ sung và dòng điện bổ
sung nào đó. Những điện tích bổ sung và dòng điện bổ sung này xuất hiện
trong những điều kiện cụ thể nhất định. ảnh hưởng của môi trường vật chất
đối với điện từ trường chính là ảnh hưởng của các điện tích và dòng điện đó,
và phụ thuộc sự phân bố cụ thể của các điện tích và dòng điện đó.
Theo điện động lực học vi mô, mọi hiện tượng điện từ trong môi
trường vật chất, cũng như mọi tính chất điện từ của môi trường vật chất đều
có thể được giải thích bằng tác dụng của các điện tích và dòng điện bổ sung
nói trên. Như vậy suy đến cùng, điện động lực học vi mô chỉ xét đến điện từ
trường trong chân không, và chỉ cần dùng đến hằng số điện môi 0 và độ từ
thẩm 0 của chân không.
Do êlectrôn trong các nguyên tử chuyển động rất nhanh, mật độ
điện tích và mật độ dòng điện vi mô trong môi trường vật chất biến thiên rất
nhanh theo thời gian và từ điểm này sang điểm khác. Nên điện từ trường
trong điện động lực học vi mô cũng là điện từ trường biến thiên rất nhanh

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
3

SVTH: Đỗ Thị Thắm



Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

theo toạ độ và thời gian. Ta ký hiệu các vectơ điện trường và từ trường là:

E , D, H , B.
Giữa các vectơ đó có các hệ thức:





D 0 E và B 0 H


Nếu gọi mật độ điện tích là , vận tốc của nó là v , thì mật độ dòng

điện là: j v

Những phương trình cơ bản của điện động lực học vi mô được gọi là
những phương trình Macxuen Lorenxơ.


B
rot E
t

(1.1)




D
rot H v
t

divD

(1.2)
(1.3)


divB 0

(1.4)

Mật độ lực tác dụng lên điện tích:



f {E [vB]}

1
w ( E D H B)
2

Mật độ dòng năng lượng của điện từ trường: P [ E H ]

Mật độ năng lượng của điện từ trường:


(1.5)
(1.6)
(1.7)

Các phương trình Macxuen Lorenxơ dùng cho chân không và môi
trường vật chất đều đúng. Đối với môi trường vật chất phải xét thêm cả đến
các điện tích và dòng điện trong môi trường ( kể cả điện tích và dòng điện
trong các nguyên tử), do đó trong các phương trình trên những lượng và

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
4

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí


v sẽ có những giá trị và dạng biểu diễn cụ thể tuỳ theo từng trường hợp cụ

thể.
1.2 Chuyển động của điện tích tự do trong điện từ trường

Xét điện tích e chuyển động với vận tốc v trong điện từ trường,

lực Lorenxơ do điện từ trường tác dụng lên nó có giá trị bằng:



F e{E [vB ]}

(2.1)

Do đó phương trình chuyển động của điện tích là:

d
( mv) e{E [vB]}
dt

(2.2)

Chúng ta chỉ xét trường hợp điện tích chuyển động với vận tốc
v<< c, do đó khối lượng của nó coi là không đổi, và (2.2) viết được thành:


dv
(2.2a)
m
e{E [vB]}
dt

1.2.1. Chuyển động của điện tích trong tĩnh điện trường.
Xét điện tích e chuyển động trong tĩnh điện trường:


E grad const .
Phương trình chuyển động của điện tích là:



dv
m
eE e.grad
dt



dr
dv
dr
Nhân hai vế với v
ta được: m v e.grad .
dt
dt
dt
hay

d mv 2
d
e


dt 2
dt

suy ra

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
5


mv 2
e const
2

(2.3)

(2.4)

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

Phương trình trên diễn tả định luật bảo toàn năng lượng đối với
chuyển động của hạt. Số hạng thứ nhất là động năng của hạt, số hạng thứ
hai là thế năng tương tác giữa hạt và điện trường.
Nếu hạt lúc ban đầu ở trạng thái đứng yên ( v0 0 ), và sau đó đi qua
mv 2
eU
2

được thế hiệu U , dựa vào (2.4) ta viết được:

suy ra

v

2

eU
m

(2.5)

Đối với êlectrôn, nếu U = 1 vôn, ta tính ra được v 600km / s .


Xét một điện tích e chuyển động trong tĩnh điện trường đều E .

Chọn trục Oy theo phương của E và giả sử tại thời điểm t=0, điện tích nằm

tại gốc toạ độ O và có vận tốc ban đầu v0 nằm trong mặt
phẳng xOy (hình 1).
Chiếu phương trình chuyển động (2.3) xuống các
trục x và y:

mx 0

(2.6)

my eE

(2.7)

Lấy tích phân hai lần đối với hàm thời gian được:
Hình 1
x v0 x .t
y


eE 2
t voy t
2m

Khử t khỏi hai phương trình trên ta rút ra phương trình quỹ đạo:
y

eE
x 2 (tg ) x
2
2m(v0 cos )

(2.8)



Với là góc giữa vận tốc ban đầu v0 và trục x.

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
6

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

Như vậy, quỹ đạo của hạt là một đường parabol. Nếu điện tích là dương



vận tốc ban đầu là v0 cùng chiều với E , quỹ đạo là nhánh (p) của parabol.


Nếu vận tốc ban đầu là v0 ngược chiều với E , quỹ đạo là nhánh (p). Nếu


v0 trùng phương với E , hạt sẽ chuyển động thẳng nhanh dần đều hoặc
chậm dần đều.

1.2.2. Chuyển động của điện tích trong từ trường không đổi.
Phương trình chuyển động của điện tích là:


Nhân hai vế với v

(2.9)



dv
m v e[vB]v
dt

được:



Hay:




dv
m
e[vB]
dt

d mv 2
(
)0
dt 2

mv 2
const v 2 const
2

(2.10)

Như vậy, từ trường không làm thay đổi động năng của hạt và giá
trị tuyệt đối của vận tốc của hạt. Nó không sinh công vì từ lực luôn vuông
góc với phương chuyển động của hạt.

Xét một điện tích e chuyển động trong từ trường đều không đổi B

và chọn trục 0z theo phương của B .

Chiếu phương trình chuyển động (2.9) xuống các trục toạ độ, ta viết
được:



x

eB
y
m


y

(2.11)

eB
x
m

(2.12)

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
7

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

z0

(2.13)


Phương trình (2.13) chứng tỏ từ trường không làm ảnh hưởng gì đến
chuyển động của hạt theo phương 0z (phương của trường). Theo phương
này, hạt chuyển động theo quán tính, như khi không có trường. Lấy tích
z z0 v z t

phân (2.13) hai lần theo thời gian ta có:

(2.13a)

Trong đó vz là vận tốc của hạt theo phương z, tức là thành phần vận
tốc theo phương của trường.
Đặt
được:

eB
0 , nhân (2.12) với số ảo i và cộng từng vế với (2.11) ta
m


x iy i0 ( x iy ) Hay:

Do đó:

d
( x iy ) i0 ( x iy )
dt

x iy a.e i t


(2.14)
(2.15)

0

Trong đó a là một hằng số phức.
Đặt a v0e i ( v0 là một hằng số thực).
Ta có:

x iy v0e i ( t ) v0{cos(0t ) i sin(0t )}
0

Tách phần thực và phần ảo: x v0 cos(0t )
y v0 sin(0t )

(2.16)
(2.17)

v0 x 2 y 2 vx2 v y2

Từ (2.16) và (2.17) ta rút ra:

Vậy v0 mà ta đã chọn ở trên chính là vận tốc của hạt trên mặt xoy,
tức là thành phần vận tốc vuông góc với phương của trường.
Lấy tích phân (2.16) và (2.17) được: x x0

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
8

v0


0

sin(0t )

(2.18)

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí
y y0

v0

0

cos(0t )

(2.19)

Như vậy, chuyển động của hạt theo các phương x và y là chuyển
động điều hoà với tần số góc bằng 0

eB
và pha ban đầu bằng . Khử t
m


khỏi (2.18) và (2.19) ta rút ra phương trình quỹ đạo của hạt trên mặt x0y:
2

v02

2

( x x0 ) ( y y0 )

2
0



R2

(2.20)

Quỹ đạo đó là một đường tròn. Tần số góc 0 được gọi là tần số
xyclôtrôn, nó chỉ phụ thuộc tỷ số
kính quỹ đạo bằng R

v0

0



e
không phụ thuộc vận tốc của hạt. Bán

m

v0 m
e
, nó phụ thuộc tỷ số
và vận tốc v0 của
eB
m

hạt.
Từ công thức đó ta rút ra:

mv02
eBv0
R

(2.21)

Tức là bán kính R phải có độ lớn sao cho lực Lorenxơ (vế phải) cân
bằng với lực ly tâm (vế trái) tác dụng lên hạt.
Như vậy, nếu vận tốc của hạt không có thành phần song song với
từ trường (vz 0) , nó chỉ chuyển động vòng tròn trên một
mặt phẳng vuông góc với trường. Nếu vận tốc có thành
phần song song với trường ( vz 0 ), ngoài chuyển động
tròn nói trên, hạt còn tịnh tiến theo phương của trường với
vận tốc không đổi vz const . Quỹ đạo của hạt là một
Hình 2

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
9


SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

đường xoắn, xoắn trên một mặt trụ bán kính R

v0 m
và trục song song với
eB

phương của trường như hình 2.
1.3 Chuyển động của êlectrôn trong nguyên tử đặt vào từ trường ngoài
1.3.1 ảnh hưởng của từ trường ngoài lên dao động và bức xạ
của nguyên tử.
Xét một nguyên tử gồm hạt nhân và một êlectrôn có khối lượng
bằng m (thí dụ nguyên tử hyđrô hoặc nguyên tử kiểu hyđrô). Trong thuyết
cổ điển, nguyên tử bức xạ được coi như một dao động tử điều hoà: điện tích
âm dao động xung quanh điện tích dương đặt ở gốc toạ độ, tương tự như
dao động của một lò xo đàn hồi.

Gọi r là bán kính vectơ của êlectrôn, ta viết được phương trình dao
động của nó:



r r0 cos 0t r0ei t


(3.1)

0

Với 0 là tần số dao động của êlectrôn , và cũng là tần số bức xạ.
Có thể coi như êlectrôn dao động dưới tác dụng của một lực đàn




hồi Fd :
F d mr m02 r


Do đó phương trình chuyển động của êlectrôn là: mr m02 r (3.2)

(ở đây ta không cần xét đến lực hãm, vì nó không làm ảnh hưởng
đến tần số bức xạ).

Đặt nguyên tử vào từ trường ngoài đều và không đổi B , và chọn


trục 0z theo phương của B . Bây giờ, ngoài lực đàn hồi Fd còn có lực



Fm e0 [ r B ]
Lorenxơ Fm tác dụng lên êlectrôn :
(3.3)


Trong đó e0 là điện tích của êlectrôn , có giá trị âm ( e0 0 ).

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
10

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

Phương trình chuyển động (3.2) trở thành:




mr m02 r e0 [r B]


e

r 02 r 0 [r B] 0
m

Hay:

(3.4)
e0 B

y 0
m
eB

y 02 y 0 x 0
m
2

z 0 z 0

x 02 x

Chiếu (3.4) xuống các trục toạ độ:

Đặt L

e0 B
(3.5) ta được:
2m

x 02 x 2L y 0

(3.6)


y 02 y 2L x 0

(3.7)



z 02 z 0

(3.8)

Nghiệm của (3.8) là z z0ei t , giống như phép chiếu của (3.1)
0

xuống trục 0z.
Như vậy, từ trường ngoài không ảnh hưởng gì đến dao động của
êlectrôn theo phương của trục 0z tức theo một phương song song với trường
ngoài, nguyên tử vẫn bức xạ với tần số 0 như khi chưa có trường ngoài.
Chúng ta tìm nghiệm của (3.6) và (3.7) dưới dạng:
x x0eit và

y y0eit

Thế các nghiệm đó vào (3.6)và (3.7), ta rút ra:



2
0

2 x0 2iL x0 0

2iL y0 2 0 2 y0 0

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
11


SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

Muốn cho cặp phương trình đó có x0 0; y0 0 thì định thức của nó
phải bằng 0. Tức là:
(02 2 ) 2 (2L ) 2 0

Hay: 02 2 2L
Tức là:

(3.9)

L 0 L2

(3.10)

Tần số của êlectrôn trong nguyên tử có độ lớn của tần số ánh sáng,

0 1015 s 1 . Đối với các từ trường đạt được trong khoa học và kỹ thuật, ta
luôn luôn có L

e0 B
2m

0 .


L 0

Do đó (3.10) có thể viết thành:

Vì tần số phải là số dương, ta chọn:

0 L

Do đó, nghiệm của (3.6) và (3.7) là:

Lấy phần thực:

(3.11)

x x 0 exp i (0 L )t
y y0 exp i (0 L )t

x x 0 cos(0 L )t
y y0 cos(0 L )t

So sánh với (3.1), ta thấy rằng theo những phương vuông góc với từ trường
ngoài, nguyên tử bức xạ theo tần số: 1 0 L

(3.12)

2 0 L

(3.13)

Khoảng cách giữa hai vạch bức xạ bằng: 2L


GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
12

e0 B
.
2m

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

Hiện tượng trên gọi là hiệu ứng Ziman và tần số L

e0 B
gọi là
m

tần số Lacmo. Khoảng cách giữa hai vạch bức xạ cho phép xác định tỉ số
e0
của êlectrôn.
m

1.3.2 Chuyển động tiến động của êlectrôn
Xét chuyển động của êlectrôn trong nguyên tử. Để đơn giản, ta cũng
xét một nguyên tử gồm hạt nhân đặt ở gốc tọa độ và một êlectrôn quay


quanh hạt nhân với vận tốc dài bằng v


Mômen xung của êlectrôn là: L m[ rv]
(3.14)
Vì êlectrôn chuyển động theo quỹ đạo khép kín, nên mômen từ của
I 1
nó bằng: M [ rd r ] [ rv] dV
2
2


ở đây, ta có Id r jdV v dV , và mật độ điện tích có giá trị âm.
Trong nguyên tử chỉ có một êlectrôn, nên không có dòng điện chạy
liên tục. Vì vậy, cường độ dòng điện I là một lượng đã lấy trung bình theo

thời gian. Do đó, và [ rv] cũng là những lượng đã trung bình hóa. Chúng
không phụ thuộc tọa độ, ta coi chúng như những hằng số và đưa chúng ra
1
e
ngoài dấu tích phân: M [rv] dV 0 [rv]
(3.15)
2
2
So sánh (3.14) và (3.15) ta rút ra:


e
M 0 L
2m


(3.16)

Vậy mômen từ và mômen xung của êlectrôn là hai vectơ cùng giá
và ngược chiều.

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
13

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

Nếu nguyên tử có nhiều êlectrôn, mỗi êlectrôn đều có mômen từ và


mômen xung bằng M i và Li , thì mômen từ và mômen xung của toàn bộ


M Mi
1
nguyên tử là:

L Li
1



e
Ta vẫn có: M 0 L
2m

Bây giờ ta đặt nguyên tử vào từ trường ngoài B , và chọn 0z trùng

phương với B như hình 3. Thế năng tương tác giữa nguyên tử và từ trường

là:
trong đó M và B
W M B MB cos

là những hằng số.
Ta viết được giá trị của mômen lực tác dụng lên
nguyên tử :
N

Và:

W
MB sin


N [ M B]

(3.17)
Hình 3
(3.18)



Vì nguyên tử còn có mômen xung L , nên nó sẽ chuyển động tiến

động, giống như một con quay hồi phục.
Phương trình chuyển động của con quay hồi phục là:
Đối chiếu với (3.18) , (3.16), (3.5) ta có:



d L
e0
e0 B
[M B]
[ LB] [
L] [ L L]
dt
2m
2m

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
14


d L
N
dt

(3.19)

SVTH: Đỗ Thị Thắm



Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí


Trong đó L là một vectơ cùng phương và cùng chiều với từ trường

eB
B và có giá trị tuyệt đối bằng tần số Lacmo L 0 .
2m

Biết rằng phương trình chuyển động của một vật rắn quay quanh

một trục cố định với vận tốc góc bằng là:

d r
(3.20)
[ r ]
dt

So sánh (3.19) với (3.20) ta thấy rằng vectơ L quay quanh phương
của từ trường với vận tốc góc bằng tần số Lacmo. Điều đó có nghĩa là quỹ
đạo cũ của êlectrôn (khi chưa có từ trường ngoài) quay quanh trục 0z với
vận tốc góc bằng L .
Như vậy, khi đặt nguyên tử vào từ trường ngoài, mỗi êlectrôn của
nó sẽ tham gia đồng thời vào hai chuyển động: chuyển động quanh hạt
nhân ( tức là quanh gốc 0) với vận tốc góc là 0 và chuyển động quanh
phương của từ trường (tức là quanh trục 0z) với vận tốc góc bằng L .
Chuyển động của êlectrôn như vậy gọi là sự tiến động Lacmo. Tất cả các

êlectrôn đều tiến động với cùng một vận tốc góc L và theo cùng một
chiều.
Sự tiến động Lacmo của các êlectrôn chính là nguyên nhân gây ra hiệu
ứng Ziman đã khảo sát ở trên.
1.4 Hàm lagrangiơ của hạt chuyển động trong điện từ trường
Hàm Lagrangiơ của hạt chuyển động tự do với vận tốc v<1
L mv 2
2

(4.1)

Xung lượng của hạt và lực tác dụng lên nó cũng được xác định bằng:

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
15

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí
L

p mv
v

(4.2)

L
F
r

(4.3)

Do đó phương trình Lagrangiơ:

d L L

dt v r

(4.4)

Đối với một hạt tích điện chuyển động trong điện từ trường, hàm
Lagrangiơ của nó được bổ sung thêm những số hạng biểu diễn tương tác
giữa hạt và điện từ trường, và có dạng:

1
L mv 2 e e Av
2

(4.5)


Trong đó e là điện tích của hạt, và A là thế vô hướng và thế vectơ

của trường.
Nếu phương trình Lagrangiơ (4.4) chứa hàm Lagrangiơ (4.5), nó
tương đương với phương trình chuyển động của hạt trong điện từ trường.

Thực vậy, ta tính xung lượng suy rộng của hạt:

L
mv e A p e A
v

(4.7)


Trong đó p là xung lượng thông thường của hạt.

Tính lực suy rộng tác dụng lên hạt:

L
e.grad e.grad ( Av)
r

(4.8)

Đưa (4.7) và (4.8) vào phương trình Lagrangiơ (4.4) được:

d
( p e A) e.grad e.grad ( Av)
dt

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
16

SVTH: Đỗ Thị Thắm

Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí


Vì v không phải là hàm của toạ độ, nên



grad ( Av) [vrot A] (v) A

Do đó phương trình trên trở thành:




dp
dA
e
e.grad e(v) A e[vrot A]
dt
dt


Vì thế vectơ A là hàm của toạ độ r và thời gian t nên:

d A A r A

( . )A
(v) A
dt
t
t r
t



dp
A
e(
grad ) e[vrot A]
Do đó (4.9) trở thành:
dt
t


dp
Hay:
e{E [vB]}
dt

(4.9)

Đó chính là phương trình chuyển động của hạt trong điện từ trường
mà ta đã rút được từ phương trình Lagrangiơ .

Chương 2: ĐIệN MÔI Và Từ MÔI
2.1 Sự phân cực của điện môi trong điện trường
Mỗi phân tử điện môi là một hệ trung hoà về điện. Chúng ta biết rằng
một hệ như vậy có thể coi gần đúng như một lưỡng cực điện, có mômen


(1.1)
lưỡng cực xác định theo:
p r 'dV
Ta có thể phân loại các điện môi thành hai nhóm: nhóm thứ nhất
gồm các điện môi mà các phân tử không có mômen lưỡng cực (phân tử
không cực) khi chưa có điện trường ngoài, thí dụ như CO2 , H 2 ...; nhóm thứ
hai gồm các điện môi mà các phân tử đã có momen lưỡng cực xác định

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
17

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

ngay khi chưa có điện trường ngoài ( phân tử có cực) thí dụ như H2O,
SO2 , HCl...

Xét một thể tích nhỏ vĩ mô V , tức là khá nhỏ để có thể coi các đại

lượng vĩ mô ( E , H , , T ,... ) trong thể tích đó là không đổi, nhưng khá lớn để

chứa một số lớn phân tử.

1
Vectơ phân cực của thể tích V bằng: P
V


pi

(1.2)

i


Trong đó pi là mômen lưỡng cực của phân tử thứ i.


Đối với các điện môi nhóm thứ nhất, vì pi =0 nên P =0. Đối với các

điện môi nhóm thứ hai, mỗi phân tử đều có pi 0 , nhưng các mômen này

xếp đặt hỗn độn theo mọi phương, nên đối với một số khá lớn phân tử thì

P =0. Do đó khi chưa có điện trường ngoài, cả hai loại điện môi đều chưa bị
phân cực.
Khi đặt điện môi vào điện trường ngoài, trong điện môi có hiện

tượng phân cực, thể hiện bằng vectơ phân cực P . Cơ cấu của sự xuất hiện

vectơ phân cực P tùy thuộc tính chất của điện môi.

2.1.1 Sự phân cực của các điện môi có phân tử không cực.
Các điện tích trong phân tử là điện tích liên kết, chúng không thể di
chuyển tự do trong điện môi được. Khi ta đặt điện môi vào một điện trường
ngoài, các điện tích trong mỗi phân tử bị dịch chuyển đi một ít, phân tử bị

biến dạng và trong từng phân tử xuất hiện một mômen lưỡng cực p . Các
điện tích dương bị dịch chuyển theo phương của điện trường, các điện tích

âm bị dịch chuyển ngược lại, do đó mômen lưỡng cực p bao giờ cũng cùng

phương, cùng chiều với E .

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
18

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

Đối với các điện môi có mật độ vật chất rất nhỏ (thí dụ của các chất
khí loãng), sự phân cực của điện môi là yếu, ta có thể coi rằng điện trường

tác dụng lên mỗi phân tử đúng bằng điện trường vĩ mô E . Mômen lưỡng



cực p có thể coi gần đúng là tỉ lệ với E , với E không lớn lắm thì:

p 0 0 E

(1.3)

trong đó hằng số 0 gọi là độ phân cực của phân tử. Do đó nếu N là


số phân tử trong đơn vị thể tích, ta có: P N 0 0 E
(1.4)
Ta gọi N 0 trong đó là độ cảm điện môi, tức là độ phân cực
của điện môi, và

' 1 N 0

(1.5)

Độ phân cực của phân tử 0 do các tính chất nội tại của phân tử xác
định, nó không phụ thuộc các đại lượng vĩ mô như mật độ vật chất, áp suất,
nhiệt độ, vv... Do đó hằng số điện môi trong trường hợp này là hàm bậc
nhất của mật độ vật chất, nó không phụ thuộc tường minh vào nhiệt độ.
Đối với các điện môi có mật độ vật chất khá lớn (thí dụ: các chất
khí đặc, các chất lỏng), hiện tượng xảy ra cũng tương tự như trên, nhưng

điện trường tác dụng lên phân tử không phải là trường vĩ mô E . Trường vĩ

mô E là trường trung bình của tất cả các điện tích trong điện môi. Nhưng
khi ta coi một phân tử như một lưỡng cực, và xét trường tác dụng lên nó, ta
phải xét trường của tất cả các phân tử khác, trừ phân tử đang xét.

Gọi Et là trường tác dụng lên phân tử ta xét. Chúng ta tưởng tượng

một hình cầu vĩ mô nhỏ có tâm O tại phân tử ta xét. Trường tác dụng Et là

tổng của hai trường: trường E1 của tất cả các điện tích ở phía ngoài cầu O và

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
19

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí


trường E2 của các điện tích ở trong cầu O, trừ các điện tích của phân tử

Et = E1 + E2
đang xét, khi đó:
(1.6)

Nếu ta chỉ xét những điện môi có cấu trúc phân tử đối xứng, hoặc

các chất khí mà các phân tử xếp đặt hoàn toàn hỗn độn, thì E2 =0.

Chúng ta sẽ tính E1 bằng phương pháp vĩ mô gần đúng như sau: vì

E1 là trường của tất cả các điện tích ở ngoài quả cầu tác dụng vào tâm quả

cầu, ta có thể không cần xét đến cấu trúc phân tử của điện môi, mà coi điện
môi như một môi trường liên tục. Điện trường vĩ mô trung bình trong môi


trường là E , và vectơ phân cực trung bình của môi trường là P . Nếu trong
môi trường đó ta khoét bỏ đi quả cầu O, thì điện trường của phần còn lại sẽ


đúng bằng E1 . Gọi Ec là điện trường trong quả cầu O đã phân cực (chú ý

rằng Ec là trường của tất cả các điện tích trong quả cầu O đã phân cực, và


E1 E Ec
nó khác với E2 ). Ta có:
(1.7)

Chúng ta tính Ec . Khi quả cầu chưa bị phân cực, các điện tích trong

nó được xếp đặt một cách hỗn độn hoặc đối xứng. Khi quả cầu bị phân cực,

các điện tích dương của nó bị dịch chuyển một khoảng bằng l và các điện

tích âm bị dịch chuyển một khoảng l . Ta có
thể coi như quả cầu O cũ đã tách thành hai
quả cầu khác: cầu O1 mang điện tích âm và
cầu O2 mang điện tích dương. Tâm của hai

cầu này cách nhau 2l
Điện trường tại O là sự chồng chập

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
20

Hình4

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

của hai trường: trường của cầu âm O1 và trường của cầu dương O2 . Chúng ta
dùng định lý Ôstrôgratski Gauxơ để tính trường của cầu dương. Vẽ một
mặt cầu tâm O2 và đi qua O. Vì lý do đối xứng cầu nên ta có:
4 l 2 E

1 4 3
1
l .Ne Hay: E
lNe
0 3
3 0

Trong đó e là điện tích dương của một phân tử và N là số phân tử
trong đơn vị thể tích.

1
Nếu xét cả phương và chiều vì E ngược chiều với l ta có: E
lNe
3 0

1
Tương tự, điện trường của cầu âm tại điểm O cũng bằng: E
lNe
3 0

Do đó:



1
Ec E E
N 2le
3 0

(1.8)



Vì 2le là mômen lưỡng cực của một phân tử, nên N. 2le = P là vectơ


P
phân cực của điện môi, ta có:

(1.9)
Ec
3 0

Như vậy, trường tác dụng lên phân tử đặt tại O là: Et E1 E E c

hay

1
Et E
P
3 0



thay Et cho E trong (1.3) ta có:

(1.10)


p 0 0 Et



P
p 0 0 E 0
3

Do đó vectơ phân cực của điện môi bằng:

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
21





P
P N p N 0 0 E N 0
3

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

hay P

Ta rút ra:



Khoa Vật Lí

N 0
E
N 0 0
1
3

(1.11)

N 0
3 N 0

N 0 3 N 0
1
3

' 1

(1.12)

3 N 0
3 N 0

(1.13)

2.1.2. Sự phân cực của các điện môi có phân tử có cực.
Khi chưa có điện trường ngoài, mỗi phân tử của điện môi đã có

mômen lưỡng cực bằng p0 . Tác dụng của trường ngoài một mặt là làm biến

dạng phân tử và biến đổi mômen lưỡng cực p0 , tương tự như đối với các

phân tử không cực, mặt khác là bắt lưỡng cực p0 phải quay và đổi phương.
Thông thường tác dụng thứ nhất rất yếu so với tác dụng thứ hai, nên ta
không cần xét đến.

Lưỡng cực p0 , đặt trong điện trường E có thế năng bằng

U p0 E . Trường ngoài bắt lưỡng cực phải xoay lại cho cùng phương và

cùng chiều với nó, sao cho thế năng U là cực tiểu. Nhưng chuyển động
nhiệt nhiễu của các phân tử lại có xu hướng phá sự định hướng của lưỡng
cực. Do đó cuối cùng thành lập được sự cân bằng động học và nếu ta chiếu

p0 xuống phương của trường, vết chiếu sẽ có giá trị trung gian bằng


p0 cos , với 0< p0 cos < p0 , trong đó là góc giữa p0 và E . ở đây ta chỉ
xét trường hợp các khí loãng, và có thể coi rằng trường tác dụng lên lưỡng

cực đúng bằng trường vĩ mô trung bình E , và thế năng của lưỡng cực bằng:
U p0 E cos

(1.14)

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
22

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

- Khi chưa có trường ngoài, các lưỡng cực p0 xếp đặt hỗn độn theo

mọi phương, không phường nào ưu tiên hơn
phương nào.
- Khi có từ trường ngoài, ta tìm quy luật

phân bố các lưỡng cực p0 theo góc .
Gọi N là số lưỡng cực trong đơn vị thể
tích. Từ một điểm O bất kỳ trong một thể tích
bất kì bằng đơn vị, ta vẽ một hình cầu bán kính

R. Cũng từ O ta vẽ các vectơ p0 song song với

Hình 5

tất cả các lưỡng cực trong đơn vị thể tích đang xét (trên hình 5 có vẽ một


vectơ p0 như vậy). Chon trục 0z trùng phương với E , góc chính là góc
giữa lưỡng cực với trường ngoài.
Ta hãy tìm số lưỡng cực dN tạo với điện trường những góc trong

khoảng từ tới +d . Các vectơ p0 như vậy sẽ xuyên qua cầu O trong
phạm vi một đới cầu nằm giữa hai vĩ tuyến và +d , số lượng dN các

vectơ p0 đó tỷ lệ với điện tích của đới cầu.
Diện tích đó bằng :

2 R sin .Rd 2 R 2 sin d

Do đó ta có:
dN= c sin d

(1.15)

với c là một hằng số tỉ lệ mà ta phải xác đinh.

Tổng số các vectơ p0 trong đơn vị thể tích là:


N dN ' c sin d

(1.16)

0

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
23

SVTH: Đỗ Thị Thắm


Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí

Theo định lý Boltzmann trong vật lý thống kê, ta biết rằng trong
điều kiện cân bằng nhiệt động học khi đặt điện môi vào tĩnh điện trường (là

một trường bảo toàn) quy luật phân bố các lưỡng cực p0 khác với quy luật

phân bố khi chưa có trường ngoài bởi một thừa số bằng eU kT trong đó U là
thế năng của lưỡng cực trong trường ngoài, k là hằng số Boltzmann
( k 1,38.1023 J/độ), T là nhiệt độ tuyệt đối .
U p0 E cos .

ở đây
pE
Ta đặt: a 0
kT

(1.17)

Do đó:

dN e U kT dN '

(1.18)
dN cea cos sin d

Trong đó dN là số lượng các lưỡng cực p0 tạo với điện trường những

góc trong khoảng từ đến +d .
ở các nhiệt độ bình thường và đối với mọi giá trị của điện trường
thường dùng trong khoa học và kỹ thuật, ta luôn luôn có p0 E kT và
a<<1. Do đó, có thể khai triển:
Ta viết được (1.18) thành:

ea cos =1+a cos +
dN c(1 a cos )sin d

Vì N dN c(1 a cos )sin d 2c Nên: c
0

N
2

N
(1 a cos )sin d
(1.19)
2


Ta biết rằng vectơ phân cực P song song với điện trường E . Vậy

dN

giá trị của nó phải bằng tổng các vết chiếu của tất cả N mômen lưỡng cực
xuống phương của điện trường. Tổng các vết chiếu của dN mômen lưỡng
cực xét trên là:

p0 cos dN

Do đó giá trị của vectơ phân cực bằng:

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
24

SVTH: Đỗ Thị Thắm

Khoá luận tốt nghiệp

Khoa Vật Lí


P p0 cos dN

p0 N
Np0 a
cos

(1

a
cos

)sin

d


2 0
3

Thay a bằng giá trị của nó theo (1.17), ta có:

P

Np02
E
3kT

(1.20)

(1.21)

Để hiểu ý nghĩa của (1.21), ta viết nó lại dưới dạng tích của hai thừa
số:

P

Ep0
Np0
3kT

Thừa số thứ hai N p0 có thể được gọi là độ phân cực bão hoà của

điện môi. Nó là giá trị cực đại mà vectơ phân cực P có thể có được, khi

mọi lưỡng cực p0 đều đã xoay theo chiều của điện trường. Thừa số thứ nhất

Ep0 a
xác định mức độ định hướng của các lưỡng cực p0 . Nếu nhiệt độ
3kT 3

T càng lớn hoặc điện trường E càng nhỏ thì mức độ định hướng càng yếu và

vectơ phân cực P càng nhỏ. Trong trường hợp E rất lớn hoặc T rất nhỏ,

điều kiện a<<1 không được thoả mãn và công thức (1.21) không còn đúng
nữa. Khi đó P không còn tăng theo tỉ lệ thuận với E nữa. Nó dần tới một giá
trị cực đại Pmax Np0 ứng với trường hợp khi mọi lưỡng cực đã xoay theo
chiều của điện trường, và sau đó dù có tăng E thì P cũng không tăng nữa.
Np 2
Công thức (1.21) có thể viết dưới dạng vectơ: P 0 E
3kT
Np02
Ta rút ra:
3 0kT

(1.22) Và:

Np02
' 1
3 0 kT

(1.21a)

(1.23)

Hằng số điện môi trong trường hợp này phụ thuộc tường minh vào
nhiệt độ.

GVHD: TS. Lưu Thị Kim Thanh
25

SVTH: Đỗ Thị Thắm