Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

LI CM N
Nghiờn cu khoa hc l mt ch hp dn nhiu ngi quan tõm, c
bit l vi sinh viờn nm cui. Vỡ thụng qua quỏ trỡnh tự nghiờn cu, chỳng
tôi cú th hiểu rõ hơn về bộ môn, nâng cao được nhận thức về bức tranh vật lý
và bước đầu tập nghiên cứu khoa học m rng v nõng cao tm nhỡn, tm hiu
bit ca mỡnh.
Trong sut quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh khoỏ lun ny, tụi ó
nhn c s ch bo, góp ý, hng dn v giỳp ht sc tn tỡnh ca thy
giỏo - tin s Trn Thỏi Hoa. Bờn cnh ú tụi cng ó nhn c s gúp ý
chõn thnh ca cỏc thy cụ giỏo trong khoa vt lý núi chung v cỏc thy cụ
giỏo trong t vt lý lý thuyt núi riờng. Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti
cỏc thy cụ giỏo ó giỳp tụi bc u lm quen vi vic nghiờn cu khoa
hc, chc chn iu ú s rt b ớch cho tụi trờn con ng hc tp v cụng
tỏc sau ny.

Xuân Ho, tháng 6 nm 2009
Người thực hiện:

NguyễnTh Nga

1


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

LI CAM OAN

Khoỏ lun ny l kt qu lao động ca bn thõn tôi trong quỏ trỡnh hc
tp v nghiờn cu. Bờn cnh ú tôi c s quan tõm to iu kin ca thy
giỏo, cụ giỏo trong khoa vt lý c bit l s hng dn ca thy giỏo - tin s
Trn Thỏi Hoa.
Trong khi nghiờn cu hon thnh bn khoỏ lun ny tụi cú tham kho
mt s ti liu ó ghi trong phn ti liu tham kho.
Vỡ vy, tôi xin khng nh kt qu ca ti: Dao ng t iu ho.
Cỏc bi toỏn v dao ng t iu ho khụng cú s trựng lp vi kt qu ca
ti khỏc.
Sinh viờn thc hiờn:

Nguyn Th Nga

2


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

Mục lục
Nội dung

Trang

Lời cảm ơn

1


Lời cam đoan

2

Phần mở đầu

4

Phần nội dung

6

+ Lý thuyết cơ bản về dao động tử điều hoà

6

+ Bài toán cơ bản của dao động tử điều hoà

14

+ Bài tập tham khảo

34

Kết luận

36

Tài liệu tham khảo


37

3


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

PHN M U
I. Lý do chn ti

Vt lý c in l mt mụn khoa hc xõy dng trờn vic ỳc kt cỏc kt
qu thc nghim, khi nghiờn cu cỏc hin tng vt lý xy ra i vi h cỏc
nguyờn t; tc l nghiờn cu cỏc tớnh cht, s tng tỏc v dch chuyn ca
cỏc h v mụ trong khụng gian.
C hc lng t l mt trong nhng phn c bn ca vt lý lý thuyt. Nú
l môn khoa học giỳp con ngi tỡm hiu v chinh phc th gii vi mụ.
Da trờn tớnh cht lng tớnh súng ht ca vt cht cỏc nh vt lý nh:
Schrodinger, Dirac, Heisenberg, ó nghiờn cu v gii thớch tớnh cht, hin
tng xy ra trong khụng gian các hạt có kích thước nhỏ cỡ nguyên tử

10

13



10 6 cm . i tng ch yu ca c hc lng t l cỏc nguyờn t,


phõn t v cỏc ht c bn. Cụng c toỏn hc ca c hc lng t phn ln l
cỏc toỏn t tỏc ng trong khụng gian Hilbert. S ra i ca thuyt lng t
ó lm thay i t duy con ngi v cỏc hin tng v quỏ trỡnh vt lý trong
th gii cỏc ht c bn v nguyờn t, phõn t.
Có rt nhiu vn c bn cần nghiờn cu trong cơ học lượng tử. Mt
trong s vn có tính chất kinh điển là bài toán dao động tử điều hoà.
giải quyết vấn đề tìm năng lượng và trạng thái của dao động tử điều hoà, ta
cần giải phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hoà với thế năng điều
hoà. Bài toán này có một số tính chất cần quan tâm. Chính vì vậy đề tài của
tôi có tên là: Dao ng t iu ho. Cỏc bi toỏn v dao ng t iu ho.
Đề tài này sẽ liên quan đến các vấn đề như thế về dao động tử điều hoà.
II. Mc ớch nghiờn cu
Giải bài toán v dao ng t iu ho.

4


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

Trên cơ sở ấy rốn c k nng gii phng trỡnh Schrodinger, bit kt hp
cỏc công c toỏn hc vo gii cỏc bi toỏn.
III. Nhim v nghiờn cu
Gii thiu, lp phng trỡnh Schrodinger cho dao dng t iu hoà.
Dựa vào các đòi hỏi của hàm sóng và đòi hỏi của phương trình
Schrodinger để giải bài toán về dao động tử điều hoà
Gii thiu mt s dng bi toỏn c bn v dao ng t iu ho và cỏch
gii

IV. Đối tượng nghiên cứu
Dao động tử điều hoà và các hệ điều hoà trong cơ học lượng tử.
V. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu.
Đọc tài liệu.
Sử dụng phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và vật lý toán.

5


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

PHN NI DUNG
I. Lý thuyt c bn v dao ng t iu ho
I.1. Cỏc kin thc c bn
I.1.1. Phng trỡnh Schrodinger tổng quỏt
Trong quá trình giải bài tập cơ học lượng tử phi tương đối tính cần giải
phương trình Schrodinger. Tuỳ thuộc điều kiện từng bài toán khác nhau mà
nghiệm phương trình Schrodinger có dạng khác nhau. Như vậy khi nghiên cứu
chuyển động của hạt hoặc hệ hạt trong trường thế nào đó ta sẽ biết được năng
lượng E và hàm sóng tương ứng ở những trạng thái khác nhau. Khi xác
định được năng lượng và hàm sóng của hạt ở trạng thái nào đó ta có thể tính
toán được các yếu tố ứng với phép đo đại lượng F nào đó của hệ lượng tử như
mật độ xác suất, xác suất, trị trung bình,
, có năng lượng
Đối với hạt chuyển động trong trường lực tổng quát W

biến đổi theo thời gian thì phương trình Schrodinger tổng quát có dạng:

2 2



W
i x , y, z, t Hx, y, z, t trong đó H
2m
t

Nghiệm của phương trình Schrodinger tổng quát là:


x, y, z, t n x, y, z e

i
Ent


trong đó En là năng lượng

n 0

và n x , y, z là hàm sóng chỉ phụ thuộc không gian của hạt ở trạng thái lượng
tử n.
i vi ht có khối lượng m chuyn ng trong trường thế Ux , y, z
phng trỡnh Schrodinger cú dng:

2 x, y, z

2m

E Ux, y, z x, y, z 0


(1)

Phng trỡnh Schrodinger ny là phương trình Schrodinger dừng khụng
ph thuc vo thi gian m ch ph thuc khụng gian.

6


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

I.1.2. Dao ng t iu ho
Chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động của hạt trong trường thế U(x)
Trong khụng gian này ht chuyn ng thc hin nhng dao ng bộ quanh v
trớ cõn bng x0=0 của nó vì vậy ta có thể khai triển thế năng này dưới dạng:
U
1 2U 2
1 nU n
U x U 0
x
x ...
x ...
x
2 x 2
n! x n


(2)

Do dao ng bộ quanh v trớ cõn bng nờn cỏc s hng ứng vi
x n , n 3 ta cú th b qua và do thế năng điều hoà nên

U
0 . Khi đó ta chỉ
x

ly 2 s hng u tiên ta sẽ có:
U x U0

1 2U 2
x
2 x 2

(3)

V người ta gi một ht thc hin nhng dao ng iu ho nh vy
l dao ng t iu hũa.
I.2. Thit lp phng trỡnh Schrodinger ca dao ng t iu ho.
Gi s xột một ht cú khi lng m, chuyn ng theo trục ox quanh v
trớ cõn bng di tỏc dng ca lc n hi
Fx kx


dU
x2
U Fx dx kxdx k C
M: F gradU Fx

dx
2

1
1
Chn U 0, x 0 nờn C 0 U kx 2 m2 x 2
2
2

(vi

k
: l tn s gúc ca dao ng). Nhìn vào phương trình (3) ta thấy
m

1
hạt chuyển động trong trường thế U m2 x 2 đang xét trên là dao động tử
2

điều hoà.
7


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

T phng trỡnh Schrodinger cho ht chuyn ng 1 chiu
'' x


2m
E U x x 0
2

Ta cú phng trỡnh Schrodinger cho dao ng t iu ho
2m
m2 x 2
' ' x 2 E
x 0

2
m 2 2
2 2


x n x E n n x
2
2
2m x


Ta dựng ch s n kớ hiu th t ca mc nng lng (n l s nguyờn
dng hoc bng khụng).

n x : l nghim ng vi mc nng lng E n
I.3. Gii phng trỡnh ca dao ng t iu ho
Trong c hc c in người ta thấy rằng phổ nng lng ca dao ng
t iu hũa cú th nhn cỏc giỏ tr liờn tc. Vy kt lun ny trong c hc
lng t cú cũn ỳng khụng ta s i kim nghim iu ú bng cỏch i gii
phng trỡnh Schrodinger của dao động tử điều hoà:

2m
m2 x 2
''n x 2 E
n x 0

2

(4)

x : L

Phương trình (4) là phương trình vi phân có thứ nguyên với: m : M
: j.s


Đt cỏc bin s khụng th nguyờn cú dng: x
trong đó , là các biến không thứ nguyên
8

1

, E
2
m


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...


Ta có:
x



m


x x



2 m 2

x 2
2

m ''
2m 2
Thay vào (4)
n 2

n 0

2
2



m ''

m
n
2 n 0




''n 2 n 0

(5)

(5) là phương trình vi phân không thứ nguyên. Phương trình này có một
kì dị ở . Ta phải khử điểm kì dị này tức là tỡm dỏng iu n lõn cn
im . Khi rt ln thỡ 2 ta cú th b qua s hng n
trong v trỏi (5) ta được:
' 'n 2 n 0

(6)

2
Nghim ca (6) l: exp .
2

nghiệm cú ý ngha vt lý tc l khi thỡ hu hn nờn ta
2
chn nghim y exp
2

(7)


2
2
y exp y exp
2
2
'

'

2
2
2
2
'' y'' exp 2y' exp 2 y exp y exp
2
2
2
2

Thay vào (6) ta cú phng trỡnh cho hm y l:
9


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

y '' 2y ' 1 y 0

(8)


Phng trỡnh (5) cú nghim di dng chui nh sau:


k
y

a

a


...

a


...

a k k

0
1
k

k 0



k 1

k 1
y ' a1 2a 2 ... ka k ... a k k
k 1



k 2
y
''

2a

6a


...

k
k

1
a


...



k 1 ka k k2



2
3
k
k 2


(9)

Thay (9) vo (10) ta cú:




k 1 ka
k

k 2

k 2



2 ka k

k 1

k 1

1


a k k 0

k 0




k



k 2 k 1 a k 2 2 ka k 1 a k k 0
k 0

k

k 0

k 0

k 2 k 1 a k 2 2ka k 1 a k k 0

Mun cho phng trình luôn tho món thỡ cỏc h s bờn cnh các lu
tha k u phi trit tiờu tc l:

k 2 k 1 a k2 2ka k 1 a k 0
a k 2

2k 1

a
k 2 k 1 k

(10)

(10) l cụng thc truy toỏn tớnh cỏc h s a
Do th nng U

2 2
l hm chn ca to nờn hm l hm
2

chn (hoặc hm l) ca chuỗi lu tha (9) phi l chui lu tha bc
2
chẵn (hoc l) ca . Vỡ hm exp l hm chn ca nờn t (10)
2

10


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

nu a 0 o thỡ a1 0 hoc a1 0 thỡ a 0 0

Trc ht xột chui chn (9) vy trong (10) thay k bi 2 k 1 ta cú:
a 2k

khi k ln thỡ


4k 3
a
2k 2k 1 2 k 1

4k (3 ) 1
~
2k 2k 1 k

T õy suy ra:
a 2k ~

Tng t:

1
a
k 2 k 1

a 2 k 1 ~

1
a
k 1 2 k 2

a 2 k 2 ~

1
a
k 2 2 k 3



a 2k ~

Cuối cùng:

1
a0
k!

Thnh th chui (9) cú dỏng iu ging hm a 0 exp2 tức:


1
y a k k ~ a 0 2k ~ a 0 exp 2
k 0
k 0 k!

Tng t xột chui (9) l chui l khi ú trong (10) thay k bi 2k 1
ta cú:
a 2k 1

2 2k 1 1
a
2k 1 1 2k 1 2 2k 1

a 2k 1

4k 1
a
2k 1 2k 2k1


11


NguyÔn ThÞ Nga K31B - lý

Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. C¸c bµi to¸n ...

Khi k đủ lớn thì:
a 2k 1 ~

1
a 2k 1
k

Tương tự:
a 2k 1 

2  2k  3  1  
4k
1
a 2k 3 ~
a 2k 3 ~
a 2k 3
k 1
 2k  3  1 2k  3  2 
 2k  1 2  k  1

a 2 k 3 


22k  5  1  
4k
1
a 2 k 5 ~
a 2 k 5 ~
a 2 k 5
2k  5  12k  5  2
2k  32k  2
k2

…
Cuèi cïng: a 2k 1 ~

1
a1
k!

Vậy chuỗi lẻ (9) có dáng điệu giống hàm a1 exp  2 tức:




1
y   a k  ~ a 0  2k ~ a 0 exp 2
k 0
k 0 k!
k

Lúc đó, ở lân cận điểm    hàm sóng cho bởi (7) có dạng:
2


exp

khi a 0  0

2
2
   
    y exp   ~ 

 2 
2
 exp  
khi a 1  0

2

Điều kiện     triệt tiêu bắt buộc y phải trở thành đa thức, nghĩa là
chuỗi (9) phải ngắt ở k max  n nào đó.
Nghĩa là a o (hoặc a1 ) ,...,a k ,...,a k max  a n  0, còn a n  2 ,a n 4 ,...  0.
Từ (10) suy ra a n  2  0 và:   2n  1   n 

12

2E n



Nguyễn Thị Nga K31B - lý


Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

T õy rỳt ra biu thc ca nng lng:
1

E n n
2


n 0,1,2,...

(11)

Nh vy năng lng ca dao ng t b lng t hoỏ, nú ph thuc vo
s lng t n n 0,1,2,... . Trng thỏi ng vi n 0 c gi l trng thỏi
c bn ca dao ng t lng t. Khi thay 1 2n vo (8), phng trỡnh (8)
tr thnh:
(12)

y '' 2y ' 2ny 0

(12) gi l phng trỡnh vi phõn Hermite, nghim ca phng trỡnh ny l a
thc Hermite bc n :
n

H n 1 e

2

d n 2

e
d n

(13)

Sau õy l mt s a thc Hermite u tiờn:
H o 1;H1 2;H 2 42 2;H 3 83 12.

Nghim ca (5) cú k n (7) v (13) l:
2
A n exp H n
2

(14)

Nu i t bin v bin x thỡ hm súng ca dao ng t iu ho l
hm:
1

m 4 1
m 2 m
x
exp
x Hn x



2n n!
2


(15)

Hm ny chn l cựng vi n , cũn h s chun hoỏ tỡm t iu kin:







2

x dx 1

13


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

II. Cỏc bi toỏn c bn v dao ng t iu ho
II.1. Bi tp 1:
Hm súng ca dao dng t iu ho mt chiu cú dng:
n Ane



2


2

H n (1), trong ú

m
x, H n l a thc Hermite


bc n .
Hóy chun hoỏ hm súng n ?
Li gii:
Ta cú biu thc ca a thc Hermite l:
n

H n 2

n n 1
n n 1 n 2 n 3
n 2
n 4
2
2 ...
1!
2!

Hay vit di dng vi phõn: H n 1 e
n

2


d n
e
d n

2

T diu kin chun hoỏ hm súng ta cú:







2

n x dx 1

A 2n

2 *
e H n H n d 1
m

A 2n

2 2
e H n d 1
m


An


4

m 1
I

(2)

2

Trong ú: I e H 2n d


1

n







Hn

dn
d n


d
2

d n 1 2
1 H n d n 1 e

d

n



14


NguyÔn ThÞ Nga K31B - lý

Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. C¸c bµi to¸n ...

d

u  H n   
du  d H n    d



 d n 1 2   
n 1
dv  d  dn 1 e   v  d e 2


 

dn 1


§ặt:

 I  Hn 
   1

d n 1 2
e
d n 1

n










  1

n








2
d
d n 1
H n    n 1 e d
d
d

d
d n 1 2
H n    n 1 e d.
d
d

Tích phân từng phần tích phân trên n lần ta được:
n

I   1  1

n








e

 2

dn
H n    d
d n

(3)

Từ biểu thức Hermite ta có:
d
n n  1n  2  n 2 n 3
H n    n.2 n . n 1 
2  
d
1!
n n  1n  2n  3n  4 n 4 n 5

2   ...
2!

d2
n n  1n  2n  3 n 2 n 4
H n    n n  12 n  n 2 
2  
2
d
1!

n n  1n  2n  3n  4n  5 n  4 n 6

2   ...
2!

Cuèi cïng:
dn
H n    n n  1n  2...1.2 n  2 n .n!
n
d


 2n  1!!



n

Áp dụng tích phân Poisson: I 2n  a    x 2n e  ax dx 
Ta có:







2

e  d  


15

2


a

2n 1


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

Thay cỏc kt qu trờn vo (3) ta c:
n

I 1 1

n

.2n.n! 2n.n!

Vy hm súng n ó c chun hoỏ l:
n

4

2

m 1
exp H n
2n n!
2

Nu i t bin v bin x thỡ hm súng ca dao ng t iu ho
mt chiu l :
n x

4

m 1
m 2 m
exp
x Hn x

2n n!

2

II.2. Bi tp 2:
Tính giỏ tr trung bỡnh ca phộp o cỏc i lng x , x 2 tng ng vi

2

cỏc tỏn t nhõn x , x v cỏc i lng p , p 2 tng ng vi cỏc toỏn t
p i

2
2

2
, p
trong trng thỏi:
x 2
x

1

m 4
m 2
x
x .
exp

2

Li gii
Trc ht ta phi xột xem x ó c chun hoỏ hay cha ?
Xột:

m
x x dx


s dng tớch phõn:

*








2

e x dx

1

2

mx 2
exp dx





* x x dx 1 hm súng ó c chun hoỏ do vy khi tớnh tr
trung bỡnh ca cỏc i lng vt lý ta cn ỏp dng cụng thc:

16


NguyÔn ThÞ Nga K31B - lý

Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. C¸c bµi to¸n ...
F   * x Fˆx dx


Và sử dụng tích phân poisson:








2

x 2n e  ax dx 

 2n  1!!
2

n


a

2n 1

x?
1

 m  2
 m 2 
x 
x exp 

x  dx.


  
 



Vì hàm dưới dấu tích phân là hàm lẻ do vậy ta có: x  0.


p?
1

 m  2 ˆ
 m 2 
p 
pexp 
x  dx


  
 



1

 
 m  2 

 m 2 
 
i  exp 
x  dx



x 
   
 



Vì hàm dưới dấu tích phân là đạo hàm bậc nhất của một hàm chẵn do
vậy p  0
 x2  ?
1

 m  2 2 
x  
 xe

  
2



m 2
x



dx



2

Theo tích phân poisson: I 2n   x 2n e  2ax dx 


 x2 


.
2m

 p2  ?




p 2    * x  p 2 x dx


17

 2n  1!!
2

n



a

2n 1


NguyÔn ThÞ Nga K31B - lý

Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. C¸c bµi to¸n ...



d2 
  *  x    2 2   x  dx

dx 


 2 d 2  m2  x 2  m
    x   
e
dx
4
2

dx

 



*

d 2  m2  x 2 m  m2  x 2  m 2 
Ta có: 2 e

e
x  1

dx

 


 p2  





m
 m 2 
  2  *  x  
x  1   x  dx


 




 m 2 
 m   * x 1 
x x dx




 m 2 
 m1 
x 






m
2

 p2 

m
2

II.3. Bài tập 3:
Tìm hàm sóng và năng lượng của dao động tử điều hoà 3 chiều trong
mét trường thế 3 chiều (các chiều độc lập nhau)
3

U  x1 , x 2 , x 3   

i 1

mi2 2
xi
2

( x i  x, y,z )

Tìm bội suy biến của các mức năng lượng trong trường hợp
1  2  3   ?

Lời giải:
m1x 2 m2 y 2 m3z 2
Ta có: U  x1 , x 2 , x 3   U  x, y,z  


2
2
2

18


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

vi 1 , 2 , 3 l nhng hng s
Phng trỡnh Schrodinger cho dao dng t iu ho 3 chiu cú dng:
2 2


2
2 m 2 2
H x, y,z


1 x 22 y 2 32 z 2 x, y,z
2
2
2
y
z 2
2m x

E x, y, z

Đt:
x, y,z x y z v E const E1 E 2 E 3

Suy ra phng trỡnh Schrodinger trong trng hp ny cú dng:
2 2

2
2 m 2 2
2 2
2 2





x


y


z



x y z
2

1
2
3
y 2 z 2 2
2m x

E x y z

Chia c 2 v cho x y z ta c:
2
2


1 2 x 1
1 2 y 1
2 2
2 2



m

x

x



m

y

y








1
2
2
x 2m x 2
2

y

2m

y
2








2

1 2 z 1
2 2


m

z

z



E const E1 E 2 E 3
3
z 2m z 2
2



T õy suy ra:
2
2 x 1

m12 x 2 x E1 x
2
2m x
2

(1)

2
2 y 1

m22 y 2 y E 2 y
2
2m y
2

(2)

2
2 z 1

m32 z 2 z E3 z
2
2m z
2


(3)

(1), (2), (3) là các phương trình dao động tử điều hoà một chiều

19


NguyÔn ThÞ Nga K31B - lý
Với cách đặt:  x  x

Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. C¸c bµi to¸n ...

m1
,


x 

2E1
1

 x 2 
Thì (1) có nghiệm là:    x   A n1 exp 
 H n1   x 
 2 

1

E n1  1  n1  

2


Tương tự ta đặt:

y  y

2E
m2
, y  2
2 


z  z

2E
m3
, z  3
3


n1  0,1,2,...

Thì (2), (3) có nghiệm là:
2
1
  y 

   y   A n1 exp 
 H n 2   y  , E n 2  2  n 2  

2

 2 

( n 2  0,1,2,... )

 z 2 
1

  z   A n3 exp 
 H n3  z  , E n3  3  n 3  
2

 2 

( n 3  0,1,2,... )

Với các hệ số chuẩn hoá:
A n1 

1
1
1
; A n2  n2
; A n3  n 3
2 n1 !
2 n2 !
2 n3 !
n1



  x   4



   y   4


  z   4



 m1 
m1
1
 m1 2 
exp

x
H
x



n
 2 n1 n1 !
 
 2
 1
m2


m2


 m2 
1
 m2 2 
exp

y
H



n y
2n2 n 2 !
 
 2
 2
 m3 
1
 m3 2 
exp

z
H



n z

2 n3 n 3 !
 
 2  3 

1
1
1



Còn: E  E1  E 2  E 3  1  n1    2  n 2    3  n 3  
2
2
2




20


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

1n1 2 n 2 3n 3

1 2 3
2


V n1n 2n 3 x, y,z n1 x n 2 y n 3 z ;

( n 0,1,2,... )

Khi 1 2 3 ta cú:
3
3


E n1n 2n3 E n1 E n 2 E n3 n1 n 2 n 3 n E n
2
2



vi n n1 n 2 n 3
ng vi 1 giỏ tr n s cú g n hm súng n1n 2n3 x, y,z phõn bit bi h
b n1 , n 2 . n 3 khỏc nhau. C nh n1 , n cho n 2 thay i t 0 n n n1 khi
ú n 3 s thay i t

n n1 0 .

Cỏc giỏ tr cú th cú ca n 2 l

0,1,2,3..., n n1 v tt c cú n n1 1 giỏ tr. S giỏ tr ca n 2 cú th ng

vi mi giỏ tr khỏc nhau ca n1 t giỏ tr n1 0 n giỏ tr n1 n cho ta bi
suy bin g n .
n


g n n n1 1 n 1 n n 1 ... 1

n 2 n 1

n1 0

2

Mc khụng suy bin ng vi n 0
II.4. Bài 4: Chuyển động của dao động tử điều hoà một chiều được mô tả bởi
hàm sóng:
m 2 m
n x A n exp
x Hn
x
2

Trong đó:
m
An



1

4

1
2n n!


m 2
m 2
n
m
x d

x
n

Hn
x 1 e
e
n
dx


21

x 0,


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

a, Tính xác suất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của dao động tử nằm ở
trạng thái được mô tả bởi số lượng tử n = 0.
b, Tính xác suất để đo được giá trị p x của xung lượng của dao động tử
nằm ở trạng thái có số lượng tử n = 0
Lời giải:

a, Hàm sóng của dao động tử điều hoà ở trạng thái có số lượng tử n = 0
là:
1

m 4
m 2
0 x
x
exp

2

Xác suất tìm thấy giá trị x của toạ độ của dao động tử nằm ở trạng thái
này là:




1

m 2
m
W 0 x dx
exp
dx

0
0



2

m
m 2
exp
x dx

0



2

Sử dụng tích phân poisson: e ax dx
0

W

1
2 a

m 1 1

2 m 2

b, Khai triển 0 x theo hệ hàm riêng của p x cho bởi:
p x

1
i


exp p x x
2




Ta có 0 x c px p x dp x


cpx *p x 0 x dx
0

22


Nguyễn Thị Nga K31B - lý



Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

1

m 4
m 2 1
i


x

exp p x x dx
exp

2 2


0
m
3 3
4
m
3 3
4

1
4

m 2 i

exp
0 2 x p x x dx

1

4

2


ip x m

p 2x
exp x m 2 exp 2m dx



1

2

m

p 2x
ip x
ip x
m 4
3 3 exp
exp
x
d x

m
m
4
2m 0
2


Sử dụng tích phân poisson:

2


ax
e dx
0

1
2 a

1


p 2x 1 2
m 4
cp x 3 3 exp

4
2m 2 m

1
1
p 2x
4
exp

2 m
2m

Vậy xác suất đo được giá trị p x của xung lượng của dao động tử điều
hoà ở trạng thái có số lượng tử n = 0 là:
W p c px


2

p 2x
1
1

exp

4 m
m

II.5. Bài 5: Tìm năng lượng và hàm sóng của dao động tử một chiều dưới tác

dụng của điện trường không đổi đặt dọc theo phương dao động ox.
Lời giải
Giả sử hạt có khối lượng là m. Điện tích của hạt là e. Do đó thế năng
của lực tĩnh điện là:
U d x Fdx e dx e x

23


Nguyễn Thị Nga K31B - lý

Dao động tử điều hoà. Các bài toán ...

Vậy thế năng của dao động tử dưới tác dụng của điện trường không đổi
dọc theo phương dao động ox là:
1

U x m2 x 2 e x
2

Phương trình Schrodinger của dao động tử một chiều có dạng sau:
2 d2 1

2 2

m

x

e

x

x E x
2
2m
dx
2



Đặt X x

e
m2

khi đó:


(1)

d2
d2

dx 2 dX 2

Ta có phương trình (1) trở thành
2 d 2
2 e 2
1
2
mX
x E x

2
2
2m
dX
2
2m




e2 2
2 d 2
1
2

x

mX x E
2

2
2m2
2m dX




Đặt:

'

E E

e2 2
2m2

2 d 2

1

m2 X 2 x E ' x
2
2
2m dX



(2)

m
thỡ từ (2) ta thu được hàm sóng của dao động tử


một chiều dưới tác dụng của điện trường không đổi là:

Nếu đặt

X

1
n A n exp 2 H n
2

và năng lượng của dao động tử tìm được từ (2) là:

24


NguyÔn ThÞ Nga K31B - lý

Dao ®éng tö ®iÒu hoµ. C¸c bµi to¸n ...

1

E 'n    n  
2


2 2
1 e 

 E n    n   
2  2m2


Trong ®ã A n lµ hÖ sè chuÈn ho¸.
n

II.6. Bài 6: Chứng minh các đa thức Hermite: H n      1 e

2

d n 2
e thoả
d n

mãn các hệ thức sau:
1,

dH n
 2nH n 1   
d

1
2, H n     nH n 1     H n 1   
2
Lời giải:

1, Có:
n

n  n  1
n  n  1 n  2  n  3
n 2
n 4
 2  
 2   ...
1!
2!



H n      2  



H n 1      2 



n  n  1 n  2  n 2 n 3 n  n  1 n  2  n  3 n  4  n 4 n 5
dH n
 2n.n. n 1 
2  
2   ...
d
1!
2!


n 1



 n  1 n  2 
1!

 2 

n 3



 n  1 n  2  n  3 n  4 
2!

 2 

n 5

n 1

 n  1 n  2  2 n 3   n  1 n  2  n  3 n  4  2 n 5  ...
 2n  2  
 
 

1!
2!



 2nH n 1   

25

 ...