Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Việc nghiên cứu về pha vật chất và sự chuyển pha xuất hiện từ những
năm 50 của thế kỷ trước. Từ đó tới nay các hiện tượng chuyển pha luôn là vấn
đề có tính thời sự của vật lý cả về mặt lý thuyết và thực nghiệm, nó bao trùm
toàn bộ các lĩnh vực của vật lý từ hạt nhân cơ bản cho đến vật lý thiên văn.
Trên thế giới lĩnh vực nghiên cứu chuyển pha đã thu được những kết quả
to lớn sau các công trình của Wilson. Hiện nay một số phương pháp chủ đạo đã
được phát triển để giải bài toán chuyển pha như phương pháp tái chuẩn hoá,
phương pháp trường trung bình và phương pháp nghịch đảo. Tuy nhiên mỗi
phương pháp đều có những hạn chế nhất định khi tiếp cận bài toán cụ thể và chỉ
áp dụng cho chuyển pha loại 2. Trong những năm gần đây lý thuyết các chuyển
pha lượng tử đã trở thành một lĩnh vực phát triển rất mạnh.
Nghiên cứu chuyển pha Chiral trong lý thuyết trường và hạt cơ bản là
một trong những vấn đề chưa có lời giải cuối cùng, các công trình về nghiên
cứu chuyển pha confining - deconfinning đã cố gắng tìm lời giải cho việc hình
thành vũ trụ. Chuyển pha lỏng - khí trong hạt nhân đã được nghiên cứu từ nhiều
mô hình khác nhau và gần đây vẫn còn thu hút được sự quan tâm của nhiều tác
giả. Tuy nhiên trong những công trình này vẫn chỉ nghiên cứu các chuyển pha
nhiệt chưa đề cập đến chuyển pha lượng tử của các đối tượng. Những nghiên
cứu chuyển pha trong vật lý các chất đông đặc tỏ ra hết sức phong phú, ở đây
người ta áp dụng khá hiệu quả cả ba phương pháp nêu trên khi nghiên cứu
chuyển pha nhiệt. Đáng quan tâm hơn cả là một số nghiên cứu về mối tương
quan giữa chuyển pha nhiệt và chuyển pha lượng tử trong thời gian gần đây.
Chuyển pha trong các vật liệu từ và đặc biệt là vật liệu phản sắt có ý
nghĩa thực tế rất lớn. Do từ tính yếu nên thường được dùng làm các chất bổ trợ,
ví dụ lớp ngăn cách Cr trong các màng đa lớp Fe / Cr có hiệu ứng từ điện trở

khổng lồ. Ứng dụng lớn nhất của phản sắt từ là trong các màng vin spin ( valse
– spin) từ điện trở khổng lồ trong các đầu đọc ổ đĩa cứng. Khi khối phản sắt từ
Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
1


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

bị nung nóng ở nhiệt độ T  TC( AF), khi đó xảy ra hiện tượng chuyển pha phản
sắt từ , TC(AF) được gọi là nhiệt độ chuyển pha phản sắt từ là nhiệt độ mà tại đó
trật tự phản sắt từ bị phá vỡ và vật liệu sẽ chuyển sang tính chất thuận từ. Biết
được TC(AF) ta có thể chọn được khoảng nhiệt độ làm việc thích hợp đối với
các linh kiện điện và điện tử có sử dụng lõi phản sắt từ.
Như trên đã nói để nghiên cứu chuyển pha có nhiều phương pháp và hiện
nay phép biến đổi Legendre được xem là một công cụ hữu hiệu để giải bài toán
này. Nhưng chúng ta có thể gặp những trường hợp mà ở đó các công thức của
biến đổi Legendre không tồn tại, khi đó phương pháp nghịch đảo là một trong
số các phương pháp giải quyết khó khăn này.
Vì lý do trên mà tôi chọn đề tài “ Chuyển pha phản sắt từ trong mô hình
Hubbard liên kết mạnh bằng phương pháp nghịch đảo”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu chuyển pha phản sắt từ trong mô hình Hubbard liên kết mạnh
bằng phương pháp nghịch đảo.
3. Đối tượng nghiên cứu
Chất phản sắt từ trong mô hình Hubbard liên kết mạnh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu chuyển pha phản sắt từ trong mô hình Hubbard liên kết mạnh
để xác định nhiệt độ chuyển pha TC ( AF), xét sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển
pha phản sắt từ vào thừa số hopping t và thế tương tác Coulomb U.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Đọc tài liệu liên quan
- Giải bài toán tìm m, m, TC (AF) trong mô hình Hubbard liên kết
mạnh bằng phương pháp nghịch đảo.
- Tính số bằng phần mềm Mathematica.
- So sánh và rút ra kết luận.

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
2


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

CHƯƠNG 1. LÝ THUYẾT CHUNG VỀ CHUYỂN PHA
1.1 PHA VÀ SỰ CHUYỂN PHA
1.1.1. Pha
Trạng thái (cân bằng) của một vật đồng chất được xác định bằng hai đại
lượng nhiệt động cho trước nào đó, chẳng hạn như thể tích V và năng lượng E.
Tuy nhiên, ta không có một cơ sở nào để khẳng định khi cho trước một cặp bất
kỳ những giá trị của V và E thì chính trạng thái đồng chất của vật sẽ tương ứng
với một trạng thái cân bằng nhiệt. Mà có thể trong trạng thái cân bằng nhiệt với
E và V đã cho một vật không đồng chất mà tách ra thành hai phần đồng chất
tiếp giáp nhau và ở những trạng thái khác nhau.

Những trạng thái của vật chất có thể đồng thời tồn tại nằm cân bằng với
nhau và tiếp nhau gọi là những pha khác nhau của vật chất.
1.2.1. Sự chuyển pha
Trước hết ta viết điều kiện để hai pha cân bằng với nhau

T1 = T2

T1 = T2

P1 = P2

P1 = P2

1   2

1( P ,T )  2( P ,T )

(1.1)

Trong đó Ti, Pi, i ( i = 1, 2) lần lượt là nhiệt độ, áp suất, thế hoá học của
pha thứ i.
Nếu đặt áp suất và nhiệt độ trên các trục toạ độ thì những điểm ở đó có sự
cân bằng pha sẽ nằm trên một đường cong nào đó (đường cong cân bằng pha)
khi đó những điểm nằm hai bên đường cong sẽ là những trạng thái đồng chất
của vật. Khi trạng thái của vật biến đổi dọc theo một đường cắt đường cong cân
bằng pha ta sẽ gặp sự phân lớp các pha và sau đó vật sẽ chuyển sang một pha
khác. Đó là sự chuyển pha. Trên hình 1 là đồ thị minh hoạ đường cong cân bằng
pha và sự chuyển pha giữa hai pha 1, 2.
Nông Thị Hương


K32c -Vật Lý
3


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

P

1
2

0

T
Hình 1. Đồ thị pha

1.2 CÁC LOẠI CHUYỂN PHA
Nghiên cứu chuyển pha có từ khi có nhiệt động lực học nhưng lý thuyết
đầu tiên là của Gibbs. Năm 1933 Erhenfist định nghĩa chuyển pha: Chuyển pha
là bậc n nếu các thế nhiệt động là liên tục ở nhiệt độ chuyển pha TC và đạo hàm
hạng n của nó theo nhiệt độ liên tục tại điểm này còn đạo hàm n + 1 gián đoạn.
Thực tế chi có chuyển pha bậc 1 và bậc 2.
Năm 1937 Landao đưa ra phân loại khác. Chuyển pha thường gắn với sự
thay đổi tính chất đối xứng của hệ biến đổi. Như vậy chuyển pha gắn với tính
chất đối xứng và Landao đưa ra tham số trật tự. Tham số trật tự phải đặc trưng
cho hệ vật lý, khi pha đối xứng chuyển từ pha đối xứng này sang pha đối xứng
khác thì tham số trật tự có giá trị khác.
1.1.2. Chuyển pha loại 1

Sự chuyển pha từ pha này sang pha khác có kèm theo sự giải phóng hay
hấp thụ một lượng nhiệt nào đó gọi là chuyển pha loại 1. Lượng nhiệt đó được
gọi là ẩn nhiệt chuyển pha hay nhiệt chuyển pha. Theo các điều kiện cân bằng
thì chuyển pha loại 1 xảy ra ở nhiệt độ và áp suất không đổi. Do đó ta tính được
nhiệt chuyển pha q ứng với một phần tử là:

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
4


Khóa luận tốt nghiệp
q=

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

2  1 hoặc q = T. ( S2 – S1).

(1.2)

Trong đó q là nhiệt chuyển pha

1 , 2 là các hàm nhiệt của 2 pha tính cho một phân tử.
S1, S2 là entrôpi của 2 pha ứng với một phần tử.
q>0 chuyển từ pha thứ nhất sang pha thứ hai nhiệt bị hấp thụ.
q<0 chuyển từ pha thứ nhất sang pha thứ hai nhiệt được giải phóng.
1.2.2. Chuyển pha loại 2
Đây là sự chuyển pha có liên quan đến sự thay đổi đối xứng, sự chuyển
một dạng biến thể kết tinh này sang dạng khác thực hiện một cách liên tục mà

không có sự thay đổi nhảy bậc của các trạng thái vật gọi là sự chuyển pha loại 2.
Cùng với những trường hợp mà trong đó sự thay đổi đối xứng của vật thực hiện
bằng cách di chuyển các nguyên tử, sự thay đổi đối xứng khi có chuyển pha loại
hai còn liên quan tới sự thay đổi trật tự của tinh thể. Và ta đi đến kết luận như
sau: Nếu khi nhiệt độ tăng mà tham số  dần đến 0 một cách liên tục không
nhảy bậc ta sẽ có chuyển pha loại 2.
Từ những khái niệm về chuyển pha loại 2 ở trên ta thấy rằng:
Với ý nghĩa là trạng thái của vật thay đổi một cách liên tục sự chuyển pha
loại 2 là quá trình chuyển liên tục. Đối xứng tại điểm chuyển pha sẽ thay đổi
nhảy bậc và tại từng điểm có thể chỉ rõ vật thuộc pha nào nhưng tại điểm
chuyển pha loại 2 thì trạng thái của hai pha trùng nhau.
Do trạng thái của 2 pha tại điểm chuyển pha loại 2 trùng nhau nên đối
xứng của vật tại chính điểm chuyển pha trong mọi trường hợp phải chứa các
yếu tố đối xứng của cả hai pha.
Từ điều kiện không có nhảy bậc trạng thái tại điểm pha loại 2 dẫn đến kết
quả: Các hàm trạng thái nhiệt động của vật (S, E, V…) vẫn giữ liên tục khi đi
qua điểm chuyển pha nên chuyển pha loại 2 không kèm theo việc toả nhiệt hay

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
5


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

hấp thụ nhiệt. Nhưng đạo hàm của các đại lượng nhiệt động đó (c, a, b) sẽ thay
đổi nhảy bậc tại điểm chuyển pha loại 2.

1.3. Pha phản sắt từ trong vật rắn
1.3.1. Sơ lược về tính chất từ của vật rắn


Khi đặt vật rắn vào trong một từ trường ngoài có cường độ H ( hoặc cảm


ứng từ B  0 H với 0  4  107 H / m ), trong vật sẽ xuất hiện một mômen


từ. Ta nói vật bị từ hoá. Mômen từ trung bình M trong một đơn vị thể tích của
vật được gọi là độ từ hoá hoặc từ độ. Tỷ số giữa độ từ hoá và cường độ từ
trường được gọi là độ cảm từ hay hệ số từ hoá


M
M
    0 
H
B
Các chất có độ cảm từ âm (   0 ) được gọi là chất nghịch từ. Thông
thường ở các chất nghịch từ, độ lớn của  chỉ vào cỡ 10-5 hoặc nhỏ hơn và
không phụ thuộc vào cường độ trường ngoài cũng như nhiệt độ.
Các chất có độ cảm từ dương (   0 ) được gọi là chất thuận từ. Ở các
chất thuận từ  cũng rất nhỏ, vào cỡ 10-3  10-5, nhưng khác với các chất
nghịch từ,  của chất thuận từ phụ thuộc vào nhiệt độ, Curie là người đầu tiên
nghiên cứu sự phụ thuộc này đã chỉ ra rằng
 

C .

T

Trong đó T là nhiệt độ tuyệt đối, C là hằng số phụ thuộc bản chất của chất
thuận từ và được gọi là hằng số Curie.
Các chất có độ cảm ứng từ dương và có giá trị rất lớn so với độ cảm từ
của các chất thuận từ được gọi là chất sắt từ. Khi đốt nóng chất sắt từ, tính chất
từ của chúng giảm đi. Đối với mỗi chất sắt từ có một nhiệt độ mà tại đó tính sắt
từ của chúng biến mất. Nhiệt độ đó gọi là điểm Curie của chất sắt từ. Ở những
nhiệt độ cao hơn nhiệt độ Curie, chất sắt từ biến thành chất thuận từ.

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
6


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Ngoài ra còn có chất phản sắt từ, chất feri từ (ferit), đối với các chất này
sự phụ thuộc của 1  vào nhiệt độ T không phải là tuyến tính, mà có các điểm
đặc biệt.
Các tính chất từ của vật rắn về cơ bản được quyết định bởi mômen spin
của các electron ở các lớp vỏ chứa đầy mônen từ các electron ở lớp ngoài s.
Tương tác trao đổi giữa các electron ở các lớp vỏ chứa đầy có thể làm cho các
spin định hướng song song với nhau, nhưng trong một số chất tương tác trao đổi
lại làm cho các spin định hướng đối song với nhau, các chất đó gọi là các chất
phản sắt từ.
Cả chất thuận từ và chất phản sắt từ đều là 2 pha của vật rắn mà có có sự

chuyển pha lẫn nhau.

I

II

B
A

Hình 1. Cấu trúc từ của vật liệu phản sắt từ, gồm 2 phân mạng spin đối
song và bằng nhau.

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
7


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

1.3.2. Chất thuận từ
Các chất thuận từ là các chất có độ cảm từ  dương, nghĩa là hướng của
mômen từ song song với từ trường ngoài. Hiện tượng thuận từ thường tìm thấy
ở những chất sau đây:
Các nguyên tử, phân tử hoặc các sai hỏng mạng có số lẻ electron, do đó
spin tổng cộng của hệ sẽ khác không. Thí dụ: Các nguyên tử của nhóm I, III, V
và VII trong bảng tuần hoàn, oxit nitơ dạng khí ( NO), các gốc tự do hữu cơ như
C ( C6H5)3, tâm F trong các halogenua kiềm.

Các nguyên tử hoặc ion tự do với lớp vỏ electron bên trong chưa đầy như
các nguyên tố chuyển tiếp, các ion đẳng electron với các nguyên tố chuyển tiếp,
các kim loại đất hiếm. Nhiều ion loại này thể hiện tính thuận từ ngay cả khi
tham gia vào các liên kết trong vật rắn.
Một số hợp chất với số chẵn electron như: Phân tử oxy, các gốc kép hữu cơ.
Các kim loại: Các electron trong kim loại được coi như các phân tử khí tự
do. Chúng có xu hướng tạo cặp, nhưng luôn luôn tồn tại một số electron không
tạo cặp, do đó có thể gây ra hiện tượng thuận từ.
1.3.2.1. Lý thuyết cổ điển Langevin về hiện tượng thuận từ
Langevin (1905) giả thiết rằng ngay cả khi không có từ trường ngoài, các


nguyên tử của chất thuận từ đã có mômen từ khác không  dưới dạng các
lưỡng cực từ không đổi và tương tác giữa chúng không đáng kể. Trong từ


trường ngoài có vectơ cảm ứng từ B được đặt dọc theo trục Oz, năng lượng


tương tác giữa mômen từ  với từ trường B là:
 
U =   .B    B cos    z B ,
ở đây  z là hình chiếu của mômen trên trục Oz.
mômen từ tổng của vật là tổng các hình chiếu của mômen từ của tất cả các
nguyên tử trên phương từ trường.
Nếu gọi giá trị trung bình của hính chiếu của mômen từ nguyên tử trên
phương từ trường là:
Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý

8


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
<  2> =   cos 

Và N là số nguyên tử trong một đơn vị thể tích, thì độ từ hoá trung bình M sẽ là:
M = N   cos  ,
Với

< cos > =

e

(*)

U / k BT

cos d 

U / k T
 e B d

.

Tích phân được lấy theo toàn bộ góc khối

< cos > =






0

2 sin cos eB cos /kBT d





0

B cos / kBT

2 sin e

.

d

Sau khi đổi biến số tích phân:
S  cos và x   B / k BT , ta tính được:

< cos > =

e x  e x 1
1

  cthx   L( x ) .
x
x
e e
x
x

(**)

Trong đó L(x) được gọi là hàm Langevin.
Thay (**) vào (*) ta được độ từ hoá bằng:
M  N  L( x) .

Trong điều kiện x<<1, nghĩa là khi  B  k BT (từ trường nhỏ, nhiệt độ cao), ta
có gần đúng cthx 

1 x
 nên:
x 3

L( x) 

x B
.

3 3k BT

Khi đó độ từ hoá bằng
N  2B C
M

 B.
3k BT T

Hằng số C được gọi là hằng số Curie
N2
C
.
3k B

Độ cảm từ
Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
9


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2



0C
T

.

(***)

Biểu thức (***) được gọi là định luật Curie và được áp dụng trong điều kiện


 B  k BT . Theo định luật Curie 1  tỷ lệ thuận với T.
1.3.2.2. Lý thuyết lượng tử về hiện tượng thuận từ
Lý thuyết cổ điển Langevin không thể giải thích thoả đáng hiện tượng từ
gây ra bởi chuyển động của các điện tích. Đó là do lý thuyết cổ điển không tính
đến sự lượng từ hoá. Theo lý thuyết cổ điển, mômen từ có thể định hướng bất
kỳ trong tử hoá. Theo lý thuyết cổ điển, mômen từ có thể định hướng bất kỳ
trong từ trường. Trái lại, lý thuyết lượng tử cho rằng mômen từ chỉ có thể có
một số định hướng nhất định trong từ trường ngoài.


Trong từ trường ngoài có véctơ cảm ứng từ B được đặt dọc theo trục Oz,
thế năng của mômen từ là:

U    j B    jz B   gm j  B B ,
Với  jz là hình chiếu của mômen từ trên trục oz, g là thừa số Lande:
g 1

j ( j  1)  s ( s  1)  l (l  1)
.
2 j ( j  1)

Vì m j  0, 1, 2,...,  j , do đó có 2 j  1 cách định hướng mômen từ trong
từ trường. Xác suất của mỗi cách định hướng nêu trên được xác định bởi thừa số
Boltzmanm exp(-U/kBT). Giá trị trung bình của hình chiếu của mômen từ
nguyên tử trên phương từ trường được xác định bởi biểu thức sau:
j

<  jz > =


j



jz

e

 u / k BT

m j  j

j



j

e

 m g e

 u / kBT

j

Đặt Z 

e


m j g  B B / k BT

m j  j

m j  j

j

e

m j  j

m j g  B B / k BT

B

.
m j g  B B / k BT

m j  j

j
Z
m g B/k T
  m j g  B e j B B , do đó:
, thì k BT
B m j  j

Nông Thị Hương


K32c -Vật Lý
10


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

<  jz > = k BT
Đặt  

1 Z

 k BT
(ln Z ) .
Z B
B

g B B
, ta được:
k BT
j

Z

m j

e

 e j  e ( j 1)  e ( j 2)  ...  e ( j 2)  e j


m j  j

 e j (1  e  e2  ...  e2 j )  e  j

e (2 j 1)1 e ( j 1)  e j

.
e  1
e  1

Chia cả tử và mẫu cho e / 2 , ta được:

Z

e

2 j 1

2

e


2

e e

2 j 1


2





sh


2 j 1

2
.
sh

2



2

Thay vào   jz  ta được:
<  jz > = k BT

 (ln z )
  (ln z )
 k BT
B
B 


2 j 1
2 j 1
= g B 
cth 

2
 2

nhân cả tử số và mẫu số với j và đặt x =  j 



1 n
cth   .
2 2

g  B jB
, ta nhận được:
kBT

 2 j  1  2 j  1  1
 x  
<  jz > = g  B j 
cth 
x   cth    .
 2 j
 2j  2j
 2 j  

Nếu M là số nguyên tử trong một đơn vị thể tích, thì độ từ hoá trung bình

M là:
M  N   jz  Ng  B jB j ( x ).
B j ( x) là hàm Brillouin được định nghĩa như sau:

B j ( x) 

 x 
2 j 1  2 j 1  1
cth 
x   cth   .
 2j  2j
2j
2j


Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
11


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Khi x << 1 (từ trường nhỏ, nhiệt độ cao), ta có gần đúng cth  1  x
x
3
nên:
B j ( x) 


j 1
x.
3j

Ng 2  2 B j ( j  1)
N  2 hd
C
M
B
B  B.
3k BT
3k BT
T

Trong đó hd  g  B j ( j  1) được gọi là mômen từ nguyên tử hiệu dụng.
C

Ng 2  B 2 j ( j  1) N  2 hd
là hằng số Curie.

3k B
3k B

Độ cảm từ



 0C
T


.

Biểu thức này chính là định luật Curie, tương tự như kết quả nhận được
từ lý thuyết cổ điển Langevin.
1.3.3. Chất phản sắt từ
Tương tác trao đổi giữa các electron ở các lớp vỏ chưa đầy của các
nguyên tử có tác dụng làm cho mômen từ spin của các electron định hướng đối
song với nhau, tạo thành độ từ hoá tự phát ngay cả khi không có từ trường
ngoài. Tác dụng của tương tác trao đổi này được coi tương đương như tác dụng
của một từ trường nội tại gọi là trường phân tử Weiss. Trong lý thuyết của

mình, Weiss giả thiết vectơ cảm ứng từ của trường phân tử Weiss BW tỉ lệ với

độ từ hoá M


BW  0 M ,
Trong đó  là hằng số trường phân tử.


Như vậy, khi đặt chất phản sắt từ vào trong từ trường ngoài B thì từ
trường tổng cộng tác dụng lên mômen từ spin của nguyên tử phản sắt từ là
 
B  BW . Ta hãy xét lý thuyết lượng tử vì lý thuyết này cho kết quả đúng cả ở
nhiệt độ cao lẫn ở nhiệt độ thấp.
Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
12



Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Người ta có thể cho rằng cấu trúc của chất phản sắt từ gồm 2 phân mạng
sắt từ có sự sắp xếp các ion giống nhau, lồng vào nhau một cách đối xứng gọi là
phân mạng I và II ( hình 1). Mômen từ của ion trên hai phân mạng có độ lớn
như nhau, nhưng ngược chiều nhau.

Các mômen từ M II của các ion thuộc phân mạng II ở lân cận nút A gây
ra tại A một trường hiệu dụng.


BWI  o  M II .
Tương tự, các mômen từ của các ion thuộc phân mạng I ở lân cận nút B
sẽ gây ra tại B một trường hiệu dụng


BWII  o  M I .
Vậy độ từ hoá của hai phân mạng I và II là:
M 1  N1 g  B jB j ( x1 ) với x1 

g B j
( B  o M  ) ,
k BT

M   N  g  B jB j ( x ) với x 


Trong đó N I  N  

gB j
(B  o M I ) .
k BT

N
( N là số ion trong một đơn vị thể tích)
2

Khi ở nhiệt độ cao, từ trường yếu ( xI < < 1, xII < < 1)
N j ( j  1) g 2  B2
MI 
( B  o  M  ) .
2
3kBT
M 

N j ( j  1) g 2  B2
( B  o M I ) .
2
3k BT

Nj ( j  1) g 2  B2
Gọi C 
, ta có:
6k B

T M 1  C ( B  o  M  )
T M   C ( B  o  M I )

Suy ra

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
13


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2
M  M I M  

C
B,
T  C o 

C
B,
T 

hoặc

M

với

  C o  ,

Độ cảm từ  đối với chất phản sắt từ là:




 oC
.
T 

Tuy nhiên, kết quả thực nghiệm cho thấy chỉ ở những nhiệt độ T > TC
(AF) với TC ( AF) /   1 ,  mới phụ thuộc vào nhiệt độ như biểu thức trên TC
(AF) được gọi là nhiệt độ chuyển pha của chất phản sắt từ, ở nhiệt độ T thấp
hơn nhiệt độ TC ( AF), các spin định hướng đối song. Độ cảm từ  đạt giá trị
cực đại tại T = TC ( AF).
x



0 TN = Tc (AF)

T

Hình 2. Sự phụ thuộc nhiệt độ của độ cảm từ 

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
14


Khóa luận tốt nghiệp


Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

CHƯƠNG 2: CHUYỂN PHA PHẢN SẮT TỪ TRONG MÔ HÌNH
HUBBARAD LIÊN KẾT MẠNH
2.1. PHƯƠNG PHÁP NGHỊCH ĐẢO

2.1.1. Phương pháp nghịch đảo
Chúng ta xét những trường hợp mà tính đối xứng của Hamiltonian không
còn tồn tại ở một số vùng của nhiệt độ, áp suất, mật độ hoặc vài thông số khác
như cường độ liên kết chứa trong Hamiltonian.
Nghiên cứu sự chuyển giữa các pha đối xứng khác nhau là một trong
những quan tâm chính của bài toán hệ nhiều hạt. Trong đó vai trò của năng
lượng tự do hoặc thế năng hiệu dụng ở nhiệt độ không được xác định qua phép
biến đổi Legrendre được xem là công cụ cơ bản để nghiên cứu về các đặc trưng
của phá vỡ đối xứng.
Tuy nhiên chúng ta biết rằng các quy tắc giản đồ của phép biến đổi
Legrendre chỉ dùng cho một số dạng toán tử đặc biệt. Tính không cục bộ của
bốn toán tử trường, với trường hợp ở đó trường bổ trợ được đưa vào bởi biến
đổi Hubberd- Stratonovich. Nhưng chúng ta có thể gặp những trường hợp mà ở
đó các công thức biến đổi Legrendre không tồn tại, phương pháp nghịch đảo là
một trong số các phương pháp nhằm giải quyết những khó khăn đó. Phương
pháp nghịch đảo được đưa ra gần đây bởi một số tác giả và một số hệ điển hình
về phương pháp phá vỡ tính đối xứng.
2.1.2. Nguyên tắc cơ bản của phương pháp nghịch đảo
Xét một hệ spin và khảo sát sự chuyển pha phản sắt từ để xem vai trò của
biến đổi Legrendre. Chọn tham số trật tự là m.
Hamiltonian của hệ không có từ trường ngoài là:
H SS   g  Si S j

(1.3)


i, j

ở đây Si là toán tử spin của điểm i và g là một hằng số dương.
Chúng ta sẽ định nghĩa năng lượng tự do Gibbs G  H , g  là:

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
15


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2





G  H , g     11n Tr exp     H SS  H SH   .

(1.4)

Với T=  1 là nhiệt độ của hệ ( xét trong hệ đơn vị tự nhiên hằng số Boltzman
kB được chọn bằng 1).
H SH  H  Si được đưa vào thể hiện sự tác động lẫn nhau của Hamiltonian với
i



từ trường ngoài H , nó được gắn bằng 0 ở cuối phép tính. Số hạng này phá vỡ

tính đối xứng quay và nó được gọi là số hạng nguồn.
Sự từ hoá ngẫu nhiên được đặc trưng bởi phần còn lại, phần không bị triệt
tiêu của từ trường khi H = 0. Theo cách này H được xem như là một nguồn bất
kì. Từ ( 1.4) ta thấy độ từ hoá được xác định bởi công thức:
m

G  H , g 
.
H

(1.5)

Tuy nhiên nếu chúng ta tính G  H , g  bằng chuỗi nhiễu loạn của g thì (
1.5) sẽ chọn m triệt tiêu với tất cả các bậc nhiễu loạn. Do đó người ta đưa vào
năng lượng tự do Helmholtz được định nghĩa như là phép biến đổi Legrendre
của G  H , g 
F  m, g   G  H  m, g  , g   mH  m, g  .

(1.6)

Với H  m, g  thu được bằng cách nghịch đảo (1.5)
Từ đó ta tìm được năng lượng tự do Helmholtz. Năng lượng này có thể tìm
được bằng các lời giải không tầm thường của hệ nghịch đảo.
H 

F  m, g 
.
m


(1.7)

Với H = 0 việc triệt tiêu H không có ý nghĩa gì nhưng nó là điều kiện tự
hợp để xác định m. Ở đây ta thấy có sự khác với công thức ( 1.5).
Giả sử ta có một phép tính nhiễu loạn của F  m, g  theo luỹ thừa của g
xem m như là một đơn vị trong g . Khi cho H = 0 có thể tìm thấy m không bị
triệt tiêu, nếu tồn tại tất cả các bậc hữu hạn trong biểu thức của F  m, g  . Điểm
Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
16


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

cơ bản ở đây có sự biến đổi từ (H, g) sang (m, g) bằng phép biến đổi ngược
(1.5). Bằng quá trình này các số lượng vô hạn của biểu thức chuỗi của G  H , g 
đã được bao gồm trong mỗi số hạng của biểu thức hệ số của F  m, g  . Thông
thường lời giải không tầm thường bậc nhất đối với (1.7) với H = 0 phù hợp với
kết quả của phương pháp trường trung bình.
Vậy phương pháp nghịch đảo là sự tổng quát hoá của phép biến đổi
Legrendre theo nghĩa chỉ tính đến những bước cơ bản sau:
Bổ sung số hạng nguồn để phá vỡ tính đối xứng của hàm Hamiltonian và
tính theo thuyết nhiễu loạn ở một số thông số.
Thông số trật tự coi như một hàm số của trường ngoài phá vỡ tính đối
xứng. Nghịch đảo hàm số này ta thu được hệ thức biểu diễn trường phá vỡ đối
xứng như một hàm của thông số trật tự.

Cuối cùng tìm lời giải cho phương trình hệ thức bằng 0


F  m, g 
0
m

(1.8)

2.1. 3. Công thức nghịch đảo
Xét trường hợp tĩnh, chúng ta khảo sát toán tử Hamiltonian H của hệ


chứa một vài thông số g. Giả thiết H được tách ra thành hai phần : Phần tự do
và phần tương tác
H  H0 gH 1 ,

(1.9)

Trong đó g là hằng số liên kết.
Để nghiên cứu đặc trưng của pha phá vỡ đối xứng thì các thông số trật tự
phải được xác định. Nếu giá trị trung bình của một bài toán tử kí hiệu là  được
chọn làm tham số trật tự, nó bị triệt tiêu bởi bậc của g. Để phá vỡ tính đối xứng


của H ta bổ sung thêm số hạng là tham số liên kết từ trường ngoài. Số hạng
nguồn phải cho ra nhưng khác 0 trong chuỗi nhiễu loạn của  = <  > và triệt

Nông Thị Hương


K32c -Vật Lý
17


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

tiêu khi j = 0. Bây giờ tham số trật tự  có thể được tính theo lý thuyết nhiễu
loạn và biểu diễn chuỗi sau:


  f  J    g n fn  J  .

(1.10)

n 0

Biểu thức này gọi là chuỗi cơ sở. Dựa vào ( 2.8) và coi  như là một đại
lượng độc lập của g bằng phép nghịch đảo của hàm số   f  J  ta thu chuỗi


J  h      g n hn   .

nghịch đảo:

(1.11)

n 0


Thế (1.11) và (1.10) và khai triển vế phải theo chuỗi luỹ thừa của g sau
đó đồng nhất thức ta được:

  f  h   





=

 l

n
g
f

n   g h1   
n0
 l 0






= f 0  h0     g f 0'  h0    h1     f1  h0     ... (1.12)
Nếu chúng ta khảo sát  như là một đơn vị thứ tự thì h1    có thể được
biểu diễn dưới dạng những số hạng của hàm fn:
h0     f 0 1    ,


(1.13)

 f  j 
h1       1
,

f
'
j


 0
 j h0  

(1.14)

1

2
 2 f 0 '' j  h 1     f1 ' j  h1     f 2  j  
h2      
.

f
'
j


0




 j h0  

(1.15)

Và cứ như vậy, ở đây f 0 1 là hàm nghịch đảo f 0 . Hệ phương trình biểu
diễn từ (1.12) đến (1.15) đó là tất cả những yêu cầu đặt ra trong phương pháp
nghịch đảo.
Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
18


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Đến đây người ta chỉ có thể tìm được một giá trị hữu hạn của g cho j= 0
trong biểu thức (1.10) tương ứng với j ta cho j= 0 thì ta thu được lời giải không
tầm thường  khác 0 với một số phép tính hữu hạn. Đây là điểm cơ bản nhất
của phương pháp này.
2.2. Mô hình Hubbard liên kết mạnh
Mô tả một hệ từ thì mô hình Hubbard là mô hình thích hợp nhất. Trong
mô hình này chỉ có một số trạng thái trong mỗi đơn vị thể tích cho đóng góp

đáng kể vào trạng thái cơ bản của hệ. Nếu gọi P là xung lượng của hàm sóng
Bloch  p , tương ứng với chỉ số vùng  thì ta có thể xây dựng hàm sóng

Wannier

1
 (ri ) 
N




pB . Z

e

 
i p r p ,


(ri ).

(2.1)


Trong đó ri là véc tơ vị trí của nút mạng thứ i, ký hiệu (B.Z) dưới dấu

tổng ám chỉ việc lấy tổng thực h iện trong vùng Brillouin. Giả thiết rằng chỉ có
một (hoặc một vài) vùng cho đóng góp đáng kể nên có thể bỏ qua chỉ số  . Khi
đó yếu tố ma trận của tương tác Coulomb có dạng:
 

 


U ij ,i ' j '   d 3 r1d 3 r2  j * (r2 )V ( r1  r2 ) j ' (r2 ).

(2.2)

Trong đó V là thừa số tương tác Coulomb.
Do V giảm rất nhanh khi khoảng cách tăng nên số hạng lớn nhất của
tương tác Coulomb là Uii, ii= U. Lấy các hàm sóng Wannier làm hệ cơ sở thì
trong hình thức luận lượng tử hoá lần hai, Hamiltonian của mô hình Hubbard có
dạng:







1
H     (c   (ri )tij c (rj )tij c (ri )) 
U ij , j ' j 'c   (ri )c  (rj )c (rj ' )c (ri ' )

2 i , j ,i ', j ', ,
ri , r j ,  ,

(2.3)

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
19



Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2




Trong đó c  ( r ) và c ( r ) là toán tử sinh và huỷ electron ở nút mạng r

hay chính xác hơn là ở ô cơ sở r . Các toán tử này thoả mãn các hệ thức phản

giao hoán:


c (r ), c  (r ')   , ' r ,r ' .

(2.4)


(
r
')  0 .
'

(2.5)




c
(
r
 ), c






Mô hình Hubbard là phép gần đúng của Hamiltonian (2.3), ở đó dịch
chuyển hopping của các electron chỉ giới hạn ở các nút mạng liền kề, tức là:

t, nếu i và j là hai nút mạng liền kề
ti j =

(2.6)
0, cho các trường hợp khác .

Đồng thời thừa số đặc trưng cho tương tác Coulomb được lấy

U ij ,i ' j '  U  ij i ' j ' ii ' .

(2.7)

Từ (2.3), (2.7) ta có thể viết





H  t  c  (r )c ( r ')  U 
n
(
r
)
n
(
r
).



 
r , r ' , 

(2.8)

r

Hamiltonian (2.8) được gọi là Hamiltonian mô hình Hubbard.
Gọi N là số electron của hệ, nếu tính đến ảnh hưởng của hệ hoá học  thì
Hamiltonian này bị dịch đi một lượng:



 N  
c
r
c
r

,




 

r

Và khi đó nó được viết lại:

 
 
 

H t c r c r U
n r n r 
c r c r .
 
 



r,r

 

 

r


r

    (2.9)

,

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
20


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

2.3. Chuyển pha trong mô hình Hubbard liên kết mạnh


Để đơn giản các kí hiệu, trong phần này các véc tơ r và r ' được thay

bằng các chỉ số gián đoạn i, j. Trong mô hình Hubbard, hệ phản sắt từ khi đặt
trong từ trường ngoài được mô tả bằng Hamiltonian
H  t

 c

i, j ,



i

c j   Uni ni  H i  ni  ni     ni  ni  .

(2.10)

i

Trong đó c  i , c j là toán tử sinh và huỷ electron có spin  ở nút mạng thứ i, Hi
là từ trường ngoài ở nút thứ i, nó thoả mãn:
HA, nếu i  A.
Hi =
HB, nếu i  B.
Trong đó A và B thuộc hai mạng con xen kẽ nhau để tạo nên hệ phản sắt

từ. So với (2.9) thì trong (2.10) ta đã thay các kí hiệu ri bằng chỉ số nút mạng i,
kí hiệu < i,j > ám chỉ việc lấy tổng được thực hiện theo thứ tự i và j liền kề. Số
hạng Hi ( ni  ni ) xuất hiện do tương tác của hệ với từ trường ngoài.
Để thuận tiện ta viết (2.10) dưới dạng sau:
H = H0 + H1,
Trong đó H0 và H1 lần lượt là số hạng thứ nhất và thứ hai trong (2.10). Ta cũng
giả sử mạng có N0 nút và mỗi nút có z nút liền kề.
Trong gần đúng bậc 0 của t, hàm phân bố có dạng:
Z  e W  Tre  H 0 ,

Trong đó   1

( kB .T )


, với kB là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ của hệ. Với

hàm phân bố này ta thu được các tính chất của một hệ thuận từ.
Bây giờ ta khảo sát ở bậc hai của lý thuyết nhiễu loạn theo H1. Hàm phân
bố có dạng:

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
21


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Z  e  W  Tre W 




 A, B

1  e  ( H  )  e  (  H   )  e  (U 2  ) 

N0

2

N0

N0 2
t  1  e   ( H  )  e   (  H   )  e   (U 2  )  2
2   A, B

z





d  d '  e








 A, B 1 0

  ( H    )  (  ')( H  H )

0

e

  (U  2  ) (  ')(( H  H ) U )

e


  ((  H  H )  2  ) (  ')(( H  H ) U )

e

  (U  H   2  ) (  ')( H  H )

.


Trong đó H  là từ trường ở nút mạng  .
Nếu chúng ta đưa và các biến số không thứ nguyên



W
,    ,U  U , T   t , H   H ,    , X  e  ,
N0

(2.12)

Thì mật độ năng lượng tự do có dạng:

   
2
1
log  e U X 2  1  4 X e U X 2  1 cosh H cosh H  2 X 2 (cosh 2 H  cosh H ) 


2










U 1  eU  e2 H  X 2 U 1 eU  e2 H X 2
X ( X e  1)cosh H sinh  H




1
1
2

H
1

2
U

H
1

2
U

H

.
 zt
2
eU X 2  1  4 X eU X 2  1 cosh  H cosh H  2 X 2 cosh 2H  cosh 2 H



2 U















(2.13)
Trong (2.13) ta đã sử dụng các định nghĩa

H


H A HB
H H B
, H  A
, H   H ,  H  H .
2
2

(2.14)

Lấy giới hạn của (2.13) kho  H  0 và cho H= 0 ta thu được biểu thức
cho hệ số bán lấp đầy

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
22


Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2


1  X 2 e U
v  n 1  
 1  2 U

X e  2X 1

X e


5 U

 zt

2



4

1  e   4 X e
 2 X  1

 2X  2X  X U

X e

2 U

1

U

4 U

3

 4X


2

(2.15)

.

Ta hãy khảo sát đến bậc 1 U và bỏ qua thừa số eU , đồng thời thay X   vào
(2.15) ta thu được phương trình cho  như sau:
1

2
2
2 2    4U 
1

v
 zt
.
3
2  1
 2  1

(2.16)

Từ (2.13) ta định nghĩa của  ở trên ta có thể viết biểu thức cho mật độ
năng lượng tự do như sau:
1
  log 1  4 cosh  H cosh H  2 2 cosh 2 H  cosh 2 H     n  1 log eU  2 
2






 cosh H sinh  H



1

 2U  2 cosh 2 H

H

 zt 2

1  4 cosh  H  2 2 (cosh 2 H  cosh 2 H )









 0 H , H  2t 2 0 H , H .

(2.17)
Để áp dụng phương pháp nghịch đảo ta lấy

J1   H , J 2   H ,1  m,2  m.

(2.18)

Trong đó tham số trật tự sắt từ m và phản sắt từ m được xác định nghĩa
như sau:
m

MA  MB


,
N0
H 0

(2.19)

M  MB

m  A

.
N0
 H

Với MA và MB là mômen từ gây ra bởi mạng A và B.
Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
23



Khóa luận tốt nghiệp

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

Sử dụng phép biến đổi Lengendre ta có thể viết mật độ năng lượng tự do
Helmholtz như sau:

    Hm   H
  ( H 0 (m, m),  H 0 ( m, m)  H 0 (m, m)m  (m, m)m),

(2.20)
Trong đó H 0 (m, m) và  H 0 (m, m) thoả mãn các phương trình:
m   0


 1

2 sinh H 0 cosh  H 0  2 2 sinh 2 H 0





4 cosh H 0 cosh  H 0  2 cosh 2 H 0  cosh 2 H 0  2  1

m  



( H 0 (m, m),  H 0 ( m, m)) H 0

1

H

0

(m, m),  H 0 ( m, m)



,

(2.21)

H0

(2.22)

2 cosh H 0 sinh  H 0  2 2 sinh 2 H 0





4 cosh H 0 cosh  H 0  2 cosh 2 H 0  cosh 2 H 0  2  1

.


1

Trong các công thức trên kí hiệu  0 ..... H 0 ám chỉ phép lấy đạo hàm tương
ứng với biến

H0.

Để thuận tiện ta thực hiện phép đổi biến

 m, m   H 0   m, m  ,  H 0  m, m     ,  

(2.23)

Vì   0 khi m = 0 và   0 khi m  0 . Từ (2.20) và (2.23) ta thấy mật độ
năng lượng tự do Helmholtz được viết dưới dạng

    ,    0

1

1

 ,      0  ,     .

(2.24)

ở đó ta đã định nghĩa

  ,     0  ,    zt 2  1  ,   .


(2.25)

Từ (2.21), (2.22) và (2.23) ta thu được độ từ hoá sắt từ và độ từ hoá phản sắt
từ:

Nông Thị Hương

K32c -Vật Lý
24


Khóa luận tốt nghiệp
m

Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2

2 sinh  cosh   2 2 sinh 2
,
4 cosh  cosh   2  cosh 2  cosh 2   2  1

m 

2 cosh  sinh   2 2 sinh 2
.
4 cosh  cosh   2  cosh 2  cosh 2   2  1

(2.26)

(2.27)


Độ cảm sắt từ và độ cảm từ phản sắt từ được định nghĩa



1
F

1  2 

B m 2

m  m  0

1 2
 
B  m2
1
A

mm0

,

(2.28)

.

(2.29)

Từ (2.24), (2.25), (2.28) và (2.29) ta thu được biểu thức cho các độ cảm từ


1 2 

2
1
1

2

1

2


U
 

t
 F1 
1

z
2
,
 2 
2
1

2







(2.30)

1

2 
1

10


24
U



2

 .
1
1

2

 
 A1 

1

z
t
2

 2 
6 1  2 





(2.31)

Các phương trình  F1  0 và  A1  0 cho phép ta xác định nhiệt đọ
chuyển pha TC của hệ. Bằng cách định nghĩa:

C  1 / (k BTC ), tC  C t ,U C  CU

(2.32)

Ta thấy nhiệt độ chuyển pha sắt từ và nhiệt độ chuyển pha phản sắt từ thoả mãn
các phương trình:
1

1  2  8U C  2

1  zt
,

2
2 1  2 
2
C

(2.33)

1

1  zt

2
C

1  10  24U C    2 
6 1  2 

2

Nông Thị Hương

.

(2.34)

K32c -Vật Lý
25