Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

Lời cảm ơn !
Là một sinh viên năm cuối, đang chuẩn bị ra trường. Em cũng như bao
sinh viên khác rất vinh dự được làm luận văn tốt nghiệp. Với tình cảm đặc biệt
em xin chân thành cảm ơn cô giáo: T.S: Lưu Thị Kim Thanh đã rất tận tình
giúp đỡ em để em có thể hoàn thành tốt khoá luận của mình.
Em cũng xin cảm ơn sự giúp đỡ ủng hộ của các thầy, cô giáo trong
khoa và sự góp ý của các bạn sinh viên trong nhóm đã tạo điều kiện thuận lợi
để em thực hiện tốt đề tài này.
Đây cũng là lần đầu tiên nghiên cứu một đề tài khoa học. Hơn nữa do
sự hiểu biết còn có hạn chế nên trong quá trình thực hiện đề tài không tránh
khỏi những sai sót. Em mong được sự đóng góp của các thầy cô và các bạn để
luận văn của em được hoàn chỉnh hơn nữa.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 6 tháng 5 năm 2007
Tác giả
Hoàng Thị Thịnh

Khoá luận tốt nghiệp

1


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

Mục lục

Trang

Đề mục
Lời cảm ơn

1

Mục lục.

2

Mở đầu..

3

Chương1.Những tiên đề của thuyết tương đối Einstein

7

1.1.Các phép biến đổi Galilée...

7

1.1.1.Phép biến đổi Galilée các toạ độ...

7

1.1.2.Phép biến đổi Galiée các vận tốc..

7


1.1.3.Phép biến đổi Galiée các gia tốc...

8

1.2.Các tiên đề Einstein

8

1.2.1.Tiên đề 1

8

1.2.2.Tiên đề 2

8

1.3.Bài tập ứng dụng.

8

Chương2.Động học tương đối tính...

11

2.1.Phép biến đổi Lorentz.

11

2.1.1.Điều kiện của các công biến đổi ..


11

2.1.2.Thành lập công thức..

11

2.1.3.ý nghĩa các công thức biến đổi Lorentz

13

2.2.Sự rút ngắn chiều dài trong hệ chuyển động...

14

2.3.Sự chậm lại của thời gian trong hệ chuyển động

15

2.4.Định lí cộng vận tốc Einstein.

15

2.5.Hệ toạ độ 4 chiều, hình học 4 chiều Mincopski..

17

2.5.1.Toạ độ 4 chiều ..

17


2.5.2.Vận tốc 4 chiều.

19

2.5.3.Gia tốc 4 chiều .

19

2.6.Bài tập ứng dụng.

20

Khoá luận tốt nghiệp

2


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

Chương 3 . Động lực học tương đối tính..

25

3.1.Khối lượng, xung lượng tương đối tính...

25


3.2.Xung lượng, năng lượng và xung lượng trong thuyết tương
đối.

26

3.4.Bài tập ứng dụng.

28

Chương 4 . Điện động lực học tương đối tính..

32

4.1.Tính bất biến của điện tích. Mật độ dòng4 chiều

32

4.2.Cách biểu diễn bất biến tương đối tính, các phương trình cơ
bản của điện từ trường..

34

4.3.Công thức biến đổi các vectơ điện trường và từ trường..

35

4.4.Bài tập ứng dụng.

37


Kết luận và kiến nghị....

40

Tài liệu tham khảo

41

Khoá luận tốt nghiệp

3


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

Mở đầu
1.Lí do chọn đề tài
Vật lý học vào cuối thế kỷ XIX đã phát triển tưởng trừng như trọn vẹn.
Vật lý học cổ điển dựa trên hai lí thuyết cơ bản là cơ học Newton và lí thuyết
điện từ Maxwell. Nhưng khi vật lý nghiên cứu những hiện tượng có liên quan
đến vận tốc ánh sáng thì cơ học cổ điển không thể giải thích được, hay dẫn
đến giải thích sai lầm.
Vào đầu thế kỷ XX sự ra đời của thuyết lượng tử và thuyết tương đối đã
tạo nên bước ngoặt lớn trong sự phát triển của vật lý học. Cả hai lí thuyết đó
đều do nhà vật lý học người Đức là Einstein xây dựng nên. Nhưng khi nhắc
đến Einstein người ta chỉ nhớ đến thuyết tương đối, tên tuổi của Einstein và
thuyết tương đối dường như có cùng một nghĩa. Lịch sử sự phát triển của Vật
lý học trong một trăm năm qua cho thấy sự đóng góp của Einstein trong các

lĩnh vực khác cũng vô cùng to lớn, đặc biệt là lý thuyết lượng tử ánh sáng.
Chúng ta đều biết MaxPlanck là nhà vật lý đầu tiên đã đưa ra giả thuyết về
lượng tử năng lượng. Nhưng trong một thời gian rất dài Planck chỉ coi giả
thuyết lượng tử là giả thuyết để làm việc trong việc giải quyết vấn đề phổ
năng lượng bức xạ của vật đen tuyệt đối. Chính Einstein là người đầu tiên
nhận thức hết được ý nghĩa sâu sắc của khái niệm lượng tử năng lượng và ông
được nhận giải thưởng Nobel năm 1921 chính là nhờ vào công trình này.
Ngày nay chúng ta có thể khẳng định Einstein là một trong những
người đầu tiên sáng lập ra thuyết lượng tử ánh sáng. Không những thế mà các
công trình của Einstein về vật lý thống kê mà đặc biệt là hai công trình về
chuyển động Brown có cống hiến quan trọng về Vật lý không kém các công
trình khác. Nhưng cả ba công trình của Einstein về ba lĩnh vực lớn của Vật lý :
Thuyết tương đối (lĩnh vực cơ học và điện động lực) hiệu ứng quang điện (lĩnh
vực Vật lý lượng tử) và chuyển động Brown ( lĩnh vực Vật lý thống kê) lại

Khoá luận tốt nghiệp

4


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

xuất hiện trong cùng một năm, trong đó thuyết tương đối đã làm ông quá nổi
danh trong giới khoa học và trong các tầng lớp xã hội khác. Nên ngày nay khi
nhắc đến Einstein người ta nghĩ ngay đến thuyết tương đối. Trong đó thuyết
tương đối hẹp là một cuộc cách mạng trong nhận thức của con người về các
phạm trù cơ bản của thế giới tự nhiên là mối quan hệ giữa không gian, thời
gian, vật chất, vận động. Nó được xây dựng dựa trên hai nguyên lý mà

Einstein đã nêu ra dựa trên cơ sở các thành tựu thực nghiệm cũng như dựa trên
sự phát triển của Vật lý cổ điển. Còn thuyết tương đối rộng được xuất phát từ
lý thuyết tương đối hẹp và định luật cơ bản về sự cân bằng giữa khối lượng
quán tính và khối lượng hấp dẫn. Với ông, ông coi lí thuyết tương đối rộng là
có ý nghĩa hơn cả trong sự nghiệp sáng tạo của mình. Nếu như không có thiên
tài Einstein thì liệu có môn học nào có thể làm thay đổi quan niệm của của
con người về vũ trụ hay không?
Nhưng hiện tại ta chỉ nghiên cứu Thuyết tương đối hẹp, thuyết mà ngay
cả đến bây giờ không phải mọi người đều đã hiểu một cách thấu đáo và sâu
sắc mặc dù đã có rất nhiều sách viết về Thuyết tương đối. Bản thân tôi cũng là
một người muốn hiểu sâu sắc hơn về thuyết tương đối và một số ứng dụng của
Thuyết tương đối về lĩnh vực cơ học và điện động lực. Vì vậy tôi chọn đề tài
Bước đầu tìm hiểu về thuyết tương đối . Một lí thuyết đã làm thay đổi
hoàn toàn nhận thức của con người về không gian và thời gian.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu sắc hơn về thuyết tương đối.
3.Nhiệm vụ nghiên cứu
Khái quát tổng quan về thuyết tương đối trong lĩnh vực điện động lực và
giải quyết một số bài tập nhằm giúp bản thân hiểu rõ hơn về thuyết tương đối.
Giúp các bạn sinh viên khoá sau dễ dàng hơn trong môn học điện động
lực.
Các vấn đề cần nghiên cứu:

Khoá luận tốt nghiệp

5


Hoàng Thị Thịnh


Lớp K29B Vật Lý

Nghiên cứu về các tiên đề Einstein
Nghiên cứu về động học tương đối tính
Nghiên cứu về động lực học tương đối tính
Nghiên cứu về điện động lực học tương đối tính
4. Đối tượng nghiên cứu
Một số vấn đề cơ bản của Thuyết tương đối
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc và nghiên cứu tài liệu
Phân tích tổng hợp và đánh giá

Khoá luận tốt nghiệp

6


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

Chương 1 :Những tiên đề của thuyết tương đối Einstein

1.1.Các phép biến đổi Galilée
1.1.1.Phép biến đối Galiée các toạ độ
Xét hai hệ qui chiếu Kvà K. Trong đó hệ qui chiếu K chuyển động với
vận tốc v so với hệ qui chiếu K

z


Nghĩa là ta có phép biến đổi Galiée có dạng:

x ' x v .t

z

z

y' y

v

z' z
Hoặc

K

K

y

y

x x ' v .t
y y'
x, x '

z z'
1.1.2. Phép biến đổi Galilée các vận tốc


Giả sử chất điểm chuyển động có toạ độ trong hệ K là x,y,z và hệ K' là
x', y',z'


u
Gọi là vận tốc của nó trong hệ K ta có:

ux

dx
dt

uy

dy
dt

uz

Vận tốc trong hệ K là

dx '
dx

v
dt
dt
dy ' dy

dt

dt

Khoá luận tốt nghiệp

ux ' ux v

u y ' u y

7

dz
dt


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

dz '
dz

dt
dt

uz ' uz

1.1.3.Phép biến đổi Galiée các gia tốc
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian




du
du'

dt
dt

Gia tốc là đại lượng bất biến nên ta sẽ có các gia tốc thành phần sau

ax = a'x

;

ay = a'y

;

az = a'z

1.2. Các tiên đề Einstein
1.2.1.Tiên đề 1: Các định luật Vật lý là bất biến (có cùng dạng) đối với tất cả
các quan sát viên chuyển động theo quán tính.
Ta thấy rằng: Các định luật Newton về chuyển động là phù hợp với
nguyên lý tương đối, còn các phương trình Maxwell cũng như các phép biến
đổi Galilée lại mâu thuẫn với nguyên lý đó.
Do đó không thể tìm được sự khác nhau căn bản giữa các định luật của
động lực học và của điện từ học. Vì vậy Einstein đã đưa ra tiên đề thứ 2.
1.2.1.Tiên đề 2: Đối với mọi quan sát viên chuyển động theo quan tính , vận
tốc ánh sáng trong chân không bằng c =


1

0 o

= 3.108 m/s không phụ thuộc

vào chuyển động của nguồn sáng.
1.3. Bài tập ứng dụng
Bài 1. Một tàu hoả có vận tốc 60km/h đi ngang qua trước ga lúc 12h00.
20 giây sau , một chớp sáng loé trên đường ray cách ga 1km về phía tàu dang
chạy. Tìm các toạ độ của chớp sáng trong các hệ qui chiếu gắn với nha ga và
gắn với tàu hoả.
Bài làm

Khoá luận tốt nghiệp

8


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

Đối với cả 2 hệ qui chiếu , toạ độ thời gian đều có giá trị

t ' t 20.

1
1


h
3600 180

Trong hệ qui chiếu gắn với nhà ga x = 1km. Theo phép biến đổi Galilée
ta có toạ độ trong hệ qui chiếu gắn với tàu hoả là:

x ' x v .t 1 6 0 .

1
2
km
180
3

Bài 2. Một quan sát viên thứ 2 là O' chuyển động dọc theo trục x với
vận tốc là 2m/s trong hệ qui chiếu gắn với Trái đất, quan sát va chạm sau: một
khối lượng m1 = 3kg chuyển động với vận tốc u1 = 4km/s dọc trục x va chạm
với vật có khối lượng m2 có khối lượng u2 = - 3 m/s dọc trục x. Sau va chạm
m2 có u2* = 3 m/s. Tính động lượng của hệ trước và sau va chạm quan sát bởi
O'.
Bài làm
Do chất điểm chỉ chịu tác dụng của nội lực, còn ngoại lực cân bằng nên
ta coi hệ là hệ cô lập. Động lượng của hệ trước va chạm bằng động lượng của
hệ sau va chạm .

m 1 .u 1 m 2 .u 2 m 1 .u 1* m 2 .u 2*
3 .4 1 .( 3) 3 .u 1 1 .3
*

Hay ta tìm được : u 1 2 m / s

Lại có theo phép biến đổi Galilée ta có :

Khoá luận tốt nghiệp

9


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

u 1' u 1 v 4 2 2 m / s
u 2' u 2 v 3 2 5 m / s
u 1* ' u 1* v 2 2 0 m / s
u 2* ' u 2* v 3 2 1 m / s
Động lượng trước va chạm là :

Pt m 1 .u 1' m 2 .u 2' 3 .2 1 .( 5 ) 1 k g . m / s
Động lượng sau va chạm là:

Ps m 1 .u 1* ' m 2 .u 2* ' 3 .0 1 .1 1 k g . m / s
Như vậy đối với người quan sát O động lượng của hệ được bảo toàn.
Nhưng giá trị động lượng khác với quan sát bởi O

Khoá luận tốt nghiệp

10


Hoàng Thị Thịnh


Lớp K29B Vật Lý

Chương 2. Động học tương đối tính
2.1. Phép biến đổi Lorentz
2.1.1. Điều kiện của các công thức biến đổi.
- Chúng phải phù hợp với hai tiên đề Einstein.
- Vì hệ K và K là tương đương nhau, không hệ nào ưu tiên hơn hệ nào.
Nên các công thức biến đổi từ hệ K sang K và ngược lại từ K sang K đều có
cùng một dạng toán học. Nếu một công thức chứa v thì công thức ngược lại
phải chứa v.
- Nếu một biến cố có toạ độ hữu hạn trong một hệ thì nó cũng phải có
toạ độ hữu hạn trong hệ kia.
- Khi cho v = 0 hệ K trùng với hệ K thì các công thức biến đổi phải cho
kết quả là :

x ' x , y y ', z z ', t ' t

2.1.2.Thành lập công thức
Vì không gian là đồng nhất và đẳng hướng nên ta có:

y y ', z z '
Vì các toạ độ y và z biến đổi độc lập với x và t nên các toạ độ x, t cũng
biến đổi độc lập với y và z khi đó ta có thể viết x và t dưới dạng sau:

x ' A . x B .t
t ' D .t E . x
Chọn gốc O có toạ độ trong hệ K là
là x v .t . Thay các giá trị đố của


x ' 0 và trong hệ K

x và xvào ta được:

0 A vt B t B t A vt
h a y : x ' A ( x v .t )
Ta lại có: Mặt sóng là một mặt cầu có tâm tại O. Nên phương trình của
mặt sóng có dạng:

Khoá luận tốt nghiệp

11


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

x 2 y 2 z 2 c 2t 2 0
Trong hệ K mặt sóng cũng là một mặt cầu tâm O nên phương trình
của mặt sóng có dạng: x

,2

y , 2 z , 2 c 2t , 2 0

Khi đó ta có:

x 2 y 2 z 2 c 2t 2 x , 2 y , 2 z , 2 c 2t , 2


Thay

x ', y ', z ', t ' vào phương trình trên ta được:

x 2 y 2 z 2 c 2 t 2 ( Ax B .t ) 2 y 2 z 2 c 2 ( D .t E . x ) 2
A 2 ( x v .t ) 2 c 2 ( D .t E . x ) 2 x 2 c 2 t 2
( A 2 c 2 E 2 ) x 2 ( A 2 v 2 c 2 D 2 ) t 2 2.( A 2 .v c 2 D . E ) xt
x 2 c 2t 2
A 2 c 2 .E 2 1
2 2
2
2
2
A .v c D c
2
2
A .v c D . E 0
Giải hệ 3 phương trình ta được nghiệm sau:

A D

1

E

v2
1 2
c

v

1
c 2 1 v2
2
c

Ta chỉ lấy giá trị dương vì:

A D

1

E

v2
1 2
c

Khoá luận tốt nghiệp

12

v
c2

1
v2
1 2
c



Hoàng Thị Thịnh

Khi

Lớp K29B Vật Lý

v 0 x x ', y y ', z z ', t t '

Nhưng v 0 ta thu được x x ' ( trái với điều kiện 4)
Thế các gia trị A,D,E vào ta được

x'

x v .t
2

1

v
x
c2
v2
1 2
c

t
t'

v
c2


y' y

z' z

Hay:

x

x ' v .t '
v2
1 2
c

y y'

v
x'
c2
v2
1 2
c

t '
t

z z'

2.1.3.ý nghĩa các công thức biến đổi Lorentz
Các công thức biến đổi Lorentz khi


v c trong đó v là vận tốc của hệ

K tức là vận tốc của chất điểm chuyển động. Như vậy không có vật thể vật
chất nào chuyển động được với vận tốc bằng hoặc lớn hơn vận tốc ánh sáng
trong chân không. Vận tốc ánh sáng c là giới hạn của vật chất chuyển động.
Khi v

c thì các công thức biến đổi Lorentz trở thành công thức

biến đổi Galilée.
Như vậy thuyết tương đối Einstein là một thuyết có tính tổng quát hơn,
thừa nhận cơ học Newton là một trường hợp riêng ứng với các vận tốc nhỏ hơn
so với vận tốc ánh sáng.

Khoá luận tốt nghiệp

13


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

2.2. Sự rút ngắn chiều dài trong hệ chuyển động
Xét một thanh AB không biến dạng nằm yên trong hệ K chiều dài của
thanh là

l0 x 'B x ' A


Trong hệ K thanh AB chuyển động
với vận tốc là v. Ta xác định toạ độ

K

K

x B , x A của các đầu thanh tại cùng
một thời điểm

t A tB .

Như vậy ta sẽ có:

A

B

l xB xA

Theo phép biến đổi Lorentz:

xA '

Vì

v

x


x A v .t A

xB '

v2
1 2
c

x B v .t B
v2
1 2
c

t A t B ta có

x B ' x A '

xB xA

l l0

v2
1 2
c

v2
1 2
c

Đối với thể tích ta cũng có thể viết được như sau:


V V0

v2
1 2
c

Khoảng cách không gian là một lượng tương đối và phụ thuộc vào hệ
quy chiếu.
Coi thanh CD là đứng yên và AB chuyển

A

B

động với vận tốc là v do đó thanh AB bị co
lại, nếu coi AB đứng yên thì CD sẽ chuyển
động với vận tốc là -v khi đó CD bị co lại

Khoá luận tốt nghiệp

14

-v

C

D

v



Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

2.3. Sự chậm lại của thời gian trong hệ chuyển động
Xét một vật đứng yên trong hệ K và có toạ độ là x. Trên vật đó xảy ra
2 biến cố A và B vào những thời điểm

t 0 t B, t A,

trong hệ K là:

t 0 là khoảng thời gian riêng. Trong hệ K ta có :

Trong đó

tA

t A, , t B, khoảng thời gian giữa 2 biến cố

t A, v . x ,A

tB

2

v
1 2

c

t B, v . x B,
v2
1 2
c

Vì trong hệ K hai biến cố cùng xảy ra tại một vị trí nên khoảng thời
gian giữa hai biến cố đó trong hệ K là:

t tB tA

t B, t A,
v2
1 2
c

t0

t

v2
1 2
c

Khoảng thời gian riêng giữa hai biến cố nhỏ hơn khoảng thời gian

t đo trong hệ K. Hay nói cách khác thời gian trong hệ chuyển đông trôi
chậm hơn thời gian trong hệ đứng yên. Mọi quá trình trong hệ chuyển động
đều diễn ra chậm hơn các quá trình tương ứng trong hệ đứng yên.

2.4.Định lý cộng vận tốc Einstein
Xét một chất điểm chuyển động qua 1 điểm A bất kỳ trong không gian.
Trong hệ K ta có A( x,y,z) thời điểm đi qua điểm A là t. Các thành phần vận
tốc của chất điểm tại A là:

ux

dx
dt

uy

dy
dt

Trong hệ K toạ độ của điểm A (x,y,z)

Khoá luận tốt nghiệp

15

uz

dz
dt


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý


Thời điểm chất điểm đi qua A là t, các thành phần vận tốc của chất
điểm là:

u 'x

dx '
dt '

u 'y

dy '
dt '

u 'z

dz '
dt '

Từ công thức biến đổi Lorentz ta có:

dx

d x ' v .d t '
2

1

v
.d x '

c2
v2
1 2
c

d t '
dt

v
c2

dy dy '

dz dz '

Chia cả hai vế của phương trình cho

d t ta được:

v2
dy ' 1 2
dy
c

v
dt
d t ' 2 d x '
c

dx

d x ' v .d t '

v
dt
d t ' 2 d x '
c
v2
dz ' 1 2
dz
c

v
dt
d t ' 2 d x '
c
Hay ta có:

u x, v
ux
v .u x,
1
c2

Khoá luận tốt nghiệp

v2
u . 1 2
c

v .u x,

1
c2
,
y

uy

16


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

v2
u . 1 2
c
uz
v .u x,
1
c2
,
z

Đây chính là biểu thức của định lý công vận tốc Einstein.
Nếu chất điểm chuyển động dọc theo trục x ta có:

u, v
u
v .u ,

1 2
c
u ' c u c
Nhận xét khi u ' c & v c u c

Khi u ' c u c Vậy vận tốc ánh sáng là không đổi trong
mọi hệ và là giới hạn của vật chất chuyển động.

c
u
'

Vận tốc ánh sáng trong chất lỏng đứng yên là:
n
Nếu chọn trục x trùng với phương chuyển động ta sẽ có:

u

u, v

v .u ,
1 2
c

Khi v << c tức là:

u (

u


v
1
c

c
v
v ).(1
)
n
c .n

hay

u u ' v .(1

Khoá luận tốt nghiệp

1
)
n2
17

u, v

v .u ,
1 2
c
ta có công thức gần đúng:



Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

u u ' v .(1

1
)
n2

2.5. Hệ toạ độ 4 chiều. Hình học 4 chiều Mincopski
2.5.1. Toạ độ 4 chiều

y

Ta có mối liên hệ giữa các toạ độ là:

y

x ' x . c o s y s in

y

y ' y . c o s x s in

y

x

z' z


x

Khoảng cách trong không gian là:

O

x

x

l2 x2 y2 z2
Thời gian ảo

i .c .t ta có khoảng cách không gian là

s2 x2 y2 z2

2

Xét hệ toạ độ gồm 4 trục vuông góc với nhau từng đôi một cũng là một
sự lí tưởng hoá.
Đặt

x 1 x , x 2 y , x 3 z , x 4 i .c .t

Khi đó s

2


x 12 x 22 x 32 x 42

Ta dùng phép quay hệ toạ độ 4 chiều sao cho Ox1 và Ox4 quay trong
mặt phẳng
=>

x1 o x 4 một góc bằng .Còn o x 2 , o x 3 đứng yên.

x 1, x 1 . c o s x 4 s in
x 3, x 3

,

x 2, x 2

x 4, x 4 . c o s x 1 s in

Gọi O của hệ K trong đó x

x v .t , x x 1 , t

Khoá luận tốt nghiệp

,

,

0 và trong hệ K thì:

x4

i
x4
i .c
c

18


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

Ta đưa về dạng toạ độ 4 chiều như sau:

x 1,

v
x4
x4 i
,
,
,
c
; x 2 x2 ; x3 x3 ; x 4
2
v
1 2
1
c


x1 i

v
x1
c
v2
c2

2.5.2. Vận tốc 4 chiều
Vận tốc là tỉ số của vi phân bán kính với vi phân thời gian:



dr
u2
u
; d t0 d t. 1 2
dt
c
Trong đó u là vận tốc của chất điểm chuyển động.
Các thành phân vận tốc 4 chiều có dạng:

u1

u3

d x1
u2
dt 1 2
c

d x3
u2
dt 1 2
c





ux
u2
1 2
c
uz
u2
1 2
c

;u2

;u4

dx2
u2
dt 1 2
c
dx4
u2
dt 1 2
c






uy
u2
1 2
c
i .c
u2
1 2
c

2.5.3. Gia tốc 4 chiều
Gọi w là gia tốc 4 chiều ta có:

w

d u
d u
2u .
0
d t0
d t0

Như vậy véctơ vận tốc 4 chiều và gia tốc 4 chiều trực giao với nhau.

Khoá luận tốt nghiệp


19


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

2.6. Bài tập ứng dụng.
Bài 1. Các toạ độ của một chớp sáng do O đo được là :

x 1 0 0 k m , y 1 0 k m , z 1 k m . Thời điểm t 5 .1 0 4 s
Tính toạ độ không thời gian của biến cố đó đối với người quan sát ở O
chuyển động so với O với vận tốc 0,8c dọc theo trục x.
Bài làm
Theo phép biến đổi Lorentz thì.

x'

x v .t
2



1 0 0 ( 0 , 8 .3 .1 0 5 )(5 .1 0 4 )

v
1 (0, 8)
2
c
y ' y 1 0 k m ; z ' z 1k m


2

367 km

1

v
0 , 8 .1 0 0
4
x
5
.1
0

(
)
5
c2
3
.1
0

1 2 , 8 .1 0 4 k m
v2
1 (0, 8)2
1 2
c

t

t'

Bài 2. Một hạt chuyển động với vận tốc không đổi c/2 đối với O trong mặt
phẳng x ' y ' sao cho quỹ đạo của nó tạo với trục x ' một góc 600. Nên vận
tốc của O đối với O dọc theo trục x x ' là 0,6 c. Thiết lập phương trình
chuyển động của hạt xác định bởi O.
Bài làm
Ta có phương trình chuyển động của hạt xác định bởi O là:

x ' u x, .t ,

c
c
c o s 6 0 t , ; y ' u ,y .t , s in 6 0 .t ,
2
2

Theo phép biến đổi Lorentz ta có

Khoá luận tốt nghiệp

20


Hoàng Thị Thịnh

x'

Lớp K29B Vật Lý


x v .t
2

1

y y'

;t '

v
c2

x ( 0 , 6 .c ).t

v
x
c2
v2
1 2
c

t

c
0, 6
c o s 6 0 (t
x ) x 0 , 7 4 .c .t
2
c


c
t 0 , 6 .0 , 7 4 .t
s in 6 0
0 , 3 .c .t
2
2
1 (0, 6 )

Bài 3. Có hai tên lửa A,B chuyển động đối với mặt đất: một chuyển động sang
phải với vận tốc 0,8c và một chuyển động sang trái với vân tốc 0,6c. Tìm vận
tốc của A đối với B.
Bài làm
Chọn O, O và P tương ứng là tên lửa A, B, và trái đất ta được:

ux v
0 , 8 .c v
0 , 6 .c
v
v .u x
1

( 0 , 8 .c )
1
c2
c2
v 0 , 9 4 6 .c

u x,

Dấu ( - ) vì tên lửa B chuyển động ngược chiều tên lửa A.

Bài 4. Một hạt nhân phóng xạ chuyển động với vận tốc 0,5.c trong phòng thí
nghiệm. Hạt nhân bị phân rã và phát ra một e theo hướng vuông góc với
phương chuyển động của hạt nhân trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm, e này
có vận tốc là 0,9.c đối với hạt nhân. Tìm vận tốc của e trong hệ quy chiếu
phòng thí nghiệm.
Bài làm.
Chọn O, O và P lần lượt là người quan sat đứng yên trong phòng thí
nghiệm, hạt nhân phóng xạ, e được phát ra. Theo công thức biến dổi Lorentz.

Khoá luận tốt nghiệp

21


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

u x, v
0 0, 5c
ux

0, 5c
v .u x,
1 0
1
c2

v2
u . 1 2

0 , 9 c. 1 (0 , 5 ) 2
c


0, 779c
v .u x,
1
1
c2
,
y

uy

Vận tốc của e trong phòng thí nghiệm là:

u

u x2 u y2

(0, 5c )2 (0, 7 79 c ) 2 0, 92 6 c

Bài 5. Một hạt mêzon- chuyển động với vận tốc xấp xỉ bằng vận tốc ánh
sáng

v 0 , 9 9 9 9 9 9 9 9 .c . Trong khoảng thời gian 0 2,2.10-8 s,

nó di chuyển được khoảng 6,5 m và sau đó bị phân rã không con tồn tại dưới
dạng mêzon- nữa. Nhưng người ta quan sát thấy hạt mêzon- ở ngang mặt
biển và dưới hầm sâu; tức là cách nơi phát sinh mêzon- là 40 - 50 km. Tính

quãng đường mêzon- đi được.
Bài làm
Theo quan điểm của thuyết cổ điển ta có quãng đường mêzon- di chuyển
được là: d

v . 0 0,99999999.3.108.2,2.10-8 6,5 m. Nhưng theo giả

thiết người ta quan sát thấy mêzon- ở ngang mặt biển nghĩa là cách nơi
quan sát thấy mêzon- là 40-50 km. Nghĩa là theo thuyết cổ điển thì mêzon không bao giờ đến được mặt đất.

Theo thuyết tương đối, thời gian 0

2,2.10-8 s là thời gian riêng đo

trong hệ gắn với mêzon- . Do hệ gắn với mêzon- chuyển động với vận

Khoá luận tốt nghiệp

22


Hoàng Thị Thịnh

tốc

Lớp K29B Vật Lý

v 0 , 9 9 9 9 9 9 9 9 .c . So với hệ gắn với trái đất. Nên đối với hệ

gắn với trái đất thì thời gian sống trung bình của mêzon- là:


0



2

1

0



v
c2

1

( 0 , 9 9 9 9 9 9 9 9 .c )
c2

2

7 0 0 0 . 0

Trong khoảng thời gian đó mêzon- đi được quãng đường là:

l 0 v .

0,99999999.3.108.7000.2,2.10-8 46 km Đối với hệ


gắn với mêzon- thì khoảng cách từ mêzon- tới mắt đất là:

v2
l l0 . 1 2
c

( 0 , 9 9 9 9 9 9 9 9 .c ) 2
1
c2

0, 0065km 6, 5m
Như vậy theo quan điểm của thuyết tương đối ta có thể giải thích được việc
quan sát thấy mêzon- xuất hiện ở trên mặt biển và cả dưới hầm sâu.

Bài 6. Một chùm sao cách trái đất 4 năm ánh sáng. Một con tàu vũ trụ đi từ
trái đất đến chòm sao đó rồi quay trở về trái đất với vận tốc không đổi và
bằng v



0 , 9 9 9 9 .c .Trái đất phải đợi bao nhiêu lâu cho tới khi con

tàu quay trở về?
Con tàu phải dự trữ lương thực trong thời gian bao lâu?
Bài làm.
Đối với trái đất thì thời gian mà con tàu vũ trụ đi đến được chòm sao là:

t1


Khoá luận tốt nghiệp

s

v

4 .c

4nam
0 , 9 9 9 9 .c

23


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

Do con tàu vũ trụ quay trở về trái đất với cùng vận tốc nên thời gian
tổng cộng là:


t 2 t1 2 .4 8 n a m

.Đối với con tàu vũ trụ thì thời gian

riêng của chuyến du hành là:

v2


t 0 2 . t . 1 2 2 .4 . 1 0 , 9 9 9 9 0 , 0 8 n a m
c
Hay

t 0 2 9 , 2 n g a y 1th a n g
Như vậy khi con tàu vũ trụ đi từ trái đất đến chòm sao thì phải 8 năm sau
người ở trên trái đất mới gặp lại nó. Nhưng đối với con tàu vũ trụ thì thời gian
của chuyến du hành chỉ trong vòng 1 tháng có nghĩa là con tàu phải dự trữ
lương thực trong khoảng 1 tháng.

Khoá luận tốt nghiệp

24


Hoàng Thị Thịnh

Lớp K29B Vật Lý

Chương 3. Động lực học tương đối tính
3.1. Khối lượng, xung lượng tương đối tính.
Trong cơ học cổ điển khối lượng m của chất điểm là một lượng bất biến
và xung lượng của chất điểm được định nghĩa là:



P m .u

Phương trình động lực học chất điểm trong cơ học cổ điển là:





d p
d

(m u ) F
dt
dt

Phương trình trên là bất biến đối với phép biến đổi Galilée. Nó không là
bất biến tương đối tính không phù hợp với thuyết tương đối. Vì vậy ta cần phải
thay thế bằng một phương trình khác.


Ta xây dựng vectơ 4 chiều tương ứng với vectơ xung lượng P . Ta dựa

vào một vô hướng 4 chiều là m0 gọi là khối lượng bất biến của hạt. Ta có xung
lượng 4 chiều có dạng P

m 0 .u Các thành phần của xung lượng 4 chiều

là:

P1 m 0 .u 1

P3 m 0 .u 3

m 0 .u x
u2

1 2
c
m 0 .u z
u2
1 2
c

; P2 m 0 .u 2

; P4 m 0 .u 4

Xét các thành phần không gian của

m

m 0 .u y
u2
1 2
c
i . m 0 .c
u2
1 2
c

P ta đặt :

m0
v2
1 2
c


Khoá luận tốt nghiệp

Các thành phần

25

P1 , P2 , P3 là: