LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật lí trường
Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn tốt
nghiệp này. Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn thầy Th.S Hà Thanh Hùng
giảng viên khoa Vật lí, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình
nghiên cứu và hoàn thiện khoá luận.
Trong quá trình nghiên cứu đề tài không tránh khỏi những thiếu sót rất
mong được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn để đề tài được hoàn
chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xuân Hoà, tháng 5 năm 2012
Người thực hiện

Ngô Thị Loan


LỜI CAM ĐOAN

Đề tài: “Tái chuẩn hoá QED ở bậc một vòng” được thực hiện dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của Th.S Hà Thanh Hùng. Tôi xin cam đoan đây là kết
quả nghiên cứu của riêng tôi, kết quả này không trùng với kết quả của bất cứ
tác giả nào đã được công bố. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Xuân Hoà, tháng 5 năm 2012
Người thực hiện

Ngô Thị Loan


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN

LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................... .1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
4. Đối tượng nghiên cứu.................................................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ............................................................................... 2
NỘI DUNG....................................................................................................... 3
Chƣơng 1: Trƣờng spinor và trƣờng điện từ ............................................... 3
1.1. Trường spinor............................................................................................ 3
1.1.1. Phương trình Euler-Lagrange.................................................................. 3
1.1.2. Phương trình Kleir-Gordon ..................................................................... 3
1.1.3 Phương trình Dirac ................................................................................ 6
1.1.4 Độ xoắn của trường spinor .................................................................... 7
1.2. Trường điện từ ....................................................................................... 12
1.2.1. Phương trình Euler-Lagrange................................................................ 12
1.2.2. Phương trình Dirac ................................................................................ 13
1.2.3. Hàm truyền của phôtôn. Vector phân cực............................................. 14
1.2.4. Năng lượng E ........................................................................................ 20
1.3. Tương tác giữa trường spinor và trường điện từ .................................. 21
1.3.1 Tương tác không chứa đạo hàm ............................................................. 21
1.3.2 Tương tác chứa đạo hàm ........................................................................ 22


Chƣơng 2: Tái chuẩn hoá QED ở bậc một vòng
2.1. Tái chuẩn hoá hàm sóng và khối lượng của trường spinor ................. 25
2.2. Tái chuẩn hoá hàm sóng của photon ..................................................... 30
2.3. Tái chuẩn hoá hàm đỉnh......................................................................... 32
Chƣơng III: Kết luận và ứng dụng .............................................................. 34

Tán xạ e+ + e- = m+ + m- ................................................................................ 34
KẾT LUẬN .................................................................................................... 39
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 40


PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lí thuyết lượng tử cho tương tác giữa điện tử và proton (mở rộng lí
thuyết điện động lực ) đã rất thành công trong tính toán các quá trình tán xạ
lượng tử khác nhau trong gần đúng bậc thấp nhất của lí thuyết nhiễu loạn
nhưng khi áp dụng cho s-matrận trong gần đúng bậc cao đều đem lại kết
quả phân kì. Con đường để xử lí vấn đề phân kì này là việc tái chuẩn hóa.
Tái chuẩn hóa là việc nhét các phân kì vào các tham số ban đầu (tham số
trần) như hằng số tương tác, khối lượng, hàm sóng. Ta sẽ được hàm truyền
với cực tại khối lượng trần. Sau khi tính đến tương tác sẽ xuất hiện phân kì
của các vòng. Việc thay các đại lượng trần bằng các đại lượng sẽ cho ta
hàm truyền có cực tại khối lượng vật lí. Các đại lượng vật lí đo được sẽ
hữu hạn. Việc làm trên xuất phát từ nhu cầu so sánh các kết quả lí thuyết
với thực nghiệm ở độ chính xác cao hơn. Như vậy tái chuẩn hóa có vai trò
quan trọng để loại bỏ được phân kì khi tính đến bổ đính bậc cao. Đặc biệt
trong điện động lực học lượng tử spinor ở một vòng (QED) ta tái chuẩn
hóa lại (nhét phân kì vào các đại lượng trần) hàm sóng và khối lượng ta đã
thu được bổ đính hữu hạn cho năng lượng riêng của electron, còn đối với
hàm sóng của photon thì ta sẽ được bổ đính một vòng vào toán tử phân cực
chân không hữu hạn.Vì vậy em chọn đề tài “Tái chuẩn hóa QED ở bậc
một vòng” nhằm hiểu rõ hơn về việc nhét phân kì vào các đại lượng trần
như hàm sóng, khối lượng.

2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Tái chuẩn hóa lại các tham số ban đầu (tham số trần) để loại bỏ phân kì

khi tính các bổ đính bậc cao.

1


3. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đọc, tra cứu tài liệu
Phương pháp giải tích toán học
Các phương pháp khác của vật lí lí thuyết

4. ĐỐI TƢỢNG NGHIÊN CỨU
Hàm sóng, khối lượng, hàm đỉnh

5. CẤU TRÚC ĐỀ TÀI
Chương 1: Trường spinor và trường điện từ
Chương 2: Tái chuẩn hóa QED ở bậc một vòng
Chương 3: Ứng dụng và kết luận

2


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG I: TRƢỜNG SPINOR VÀ TRƢỜNG ĐIỆN TỪ
1.1. Trƣờng spinor
1.1.1 Phương trình Euler-Lagrange
Xét trường được mô tả bởi các hàm trường sau:

y 1 (x), y 2 (x),K , y n (x)
Hàm Lagrange hay mật độ Lagrange là hàm phụ thuộc vào các hàm
trường y i (x) và đạo hàm bậc nhất của nó.

Nếu coi y i (x) là các tọa độ suy rộng thì xung lượng suy rộng là:
∂µ( y i (x) ) =  i µx 
x

Hàm tác dụng A
A



4

Trong đó d x  dx o dx

4
 d xL(x)


Hàm tác dụng A bất biến đối với phép biến đổi Lorentz
A 

d

4

xL(x) 



Với D(x )
D(x )




d


x o
x o

x o
x1


x1
x o
x 2
x o
x 
3
x o


x1
x1
x 2
x1
x 
3
x1


4

x

D(x)
L(x)
D(x)

x o
x 2
x 1
x 2
x 2
x 2
x 
3
x 2

x o
x 3

x1
x 3
x 2
x 3
x 
3
x 3

 gọi là Jacobien của phép biến đổi x  x


Mặt khác đối với phép biến đổi Lorentz thuần nhất ta có:

3


x  x   x
Phép biến đổi không thuần nhất ta có:
x  x   x  a 

x
x

  


D( x)
D( x)

D( x)
 det   1  1
D( x)

Vậy
A   d 4 xL(x)  A  Tác dụng A bất biến đối với phép biến đổi Lorentz


Nguyên lí tác dụng tối thiểu

A   L(x)d 4 x  0



*Thiết lập phương trình E-L
Ta có
L(x)  L( (x),   i (x))
 L

L
L(x)   
 ((x) 
 (  i (x)) 
 (  i (x)


 i (x)


 : chỉ sự biến thiên của Lagrange do sự thay đổi của hàm trường gây nên ta
có thể đảo thứ tự  và   cho nhau được
 (   i (x))    ( i (x))
 L

L
L(x)   
 ((x)) 
  ( i (x) 
 (  i (x))
 i (x)





Thêm bớt:



L
i
 (  i (x))

vào vế phải ta được

 L
L
L(x)   
(i (x) 
( i (x))
 ( i (x))
 i (x)
 


L
L
i (x)   
i (x) 
 (  i (x))
 ( i (x))



4


 L

L
L
 
 
 i ( x)   
 ( i ( x)) 
 ( i ( x)
 i ( x)



L
L
 
i (x)    
i (x)

(


(x))

(



(x))


 i
 i


L

i (x)
 (  i (x))

Thay vào biểu thức

  Ld

4

x  0 được



 L

L
  d4x 
 
 i (x)

(x)


(


(x)


i

i




L
   d 4 x  
i (x)   0


  (  i (x)


Xét tích phân thứ hai
Theo định lí Ô-G ta có:

 
divAdv

Ads




Ta có


L
4
d
x


(x)



i


(


(x)



i



dn




L
i (x)
 (  i (x)

Giả thiết biến phân của hàm trường triêt tiêu tại mặt biên tổng của miền
lấy tích phân tức là :

dn




L
i (x))  0
 (  i (x))



L
L
   d4x 
 
i (x)  0
 (  i (x)) 
 i (x)




Vì miền lấy tích phân tùy ý nên :
L
L
 
0
i (x)
 (  i (x))

 Đây là phương trình Euler-Lagrange

5


1.1.2 Phng trỡnh Klein-Gordon
Lagrange ca trng vụ hng trung hũa t do l L

L((x)(x) )

1
1
(x) (x) m22(x)
2
2

(1)

Trong ú m l khi lng ca ht
Phng trỡnh Euler-Lagrange :
L


L

0

x ( )
L

1


g

( ) ( ) 2



1
1
1
1
g g
2
2
2
2

Thay (1) vo phng trỡnh Euler-Lagrange ta c :

( m2 )( x) 0


(2)

Trong ú:
2




2
g g

x 0

Phng trỡnh (2) c gi l phng trỡnh Klein-Gordon
1.1.3. Phng trỡnh Dirac
Lagrangian t do ca trng spinor vi khi lng m cú dng:

LD0 =

iộ
y (x)gmả my (x)- ả my (x )g my (x )ự
ờ
ỳ
ở
ỷ- my (x)y (x)
2

Trong ú y (x) y + (x)g 0 gi l liờn hp Dirac. Trong thc t, ngi
ta thng s dng Lagrangian t do sau

b

LD0 = iy a (x)(gm)a ả my b (x )- my a (x )y a (x ) = iy (x )g mả my (x )- my (x )y (x )
Trong ú ta ó lu ý n vic cỏc trng spinor cú ch s Dirac . Phng
trỡnh Dirac cú dng
ổ m ả
ử
ỗig
- mữ
ữ
m
ữy (x ) = 0
ỗ
ố
ứ
ảx

6


1.1.4. Độ xoắn của trường spinor.
Trường này mô tả chung cho các fermion (lepton e,μ và các quark …).
Gồm trường spinor không khối lượng, spinor Weyl và Majorana
1.1.4.1. Trường spinor không khối lượng
Trường spin

1
không có khối lượng (m=0) sẽ thỏa mãn phương trình
2


gm¶ my (x) = 0
Ta thấy

g 5y ( x )

(1)

cũng thỏa mãn phương trình chuyển động

gm¶ m[g5y (x)]= 0

(2)

y = yL+ yR

(3)

Ta có thể tách

Trong đó
1
(1- g 5 )y º PL y
2
1
= (1 + g 5 )y º PR y
2

yL =
yR


(4)

Các toán tử PL , R là toán tử chiếu vì thỏa mãn điều kiện sau đây

PL2 = PL , PR2 = PR , PL + PR = 1, PLPR = 0
Từ (1) và (2) ta có, y L và y

R

(5)

đều thỏa mãn phương trình chuyển

động

gm¶ my L (x) = 0;

gm¶ my R (x) = 0

(6)

Công thức (4) cho thấy các thành phần trái (L) và thành phần phải (R)
là nghiệm riêng của ma trận g 5 hay nói khác đi: (trái,phải) là nghiệm riêng
của ma trận g 5

g5y L = - y L ;

g 5y R = y R
7


(7)


Hm súng cho phn trỏi v phi cú dng
y L (x) =

y R (x) =

ũ

ộ ổ 1ử ổ 1ử ờa ỗ
uỗ
k, ữ
k, ữ
ữ
ữ
ữ
ữe
ỗ
ỗ
3
ố
ứ
ố
ờ
2
2ứ
(2p ) 2k 0 ở

ũ


ộổ
ự
ổ
ử - ikx
ổ 1ử
1ử
1ữ
+ ổ 1ử
ikx (8)
ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ờa ỗ
u
e
+
b
v
e
k,
k,
k,
k,
ữ
ữ
ữ

ữ
ỗ
ữ ỗ
ữ ố
ữ ỳ
ỗ
ỗ 2ứ
ố
ứ
ố 2ứ
ỳ
2ứ
2ữ
(2p )3 2k 0 ờ
ởố
ỷ

dk

ikx

ổ
ổ
1ử ỗ
1 ử ikx ự
+ b+ ỗ
v ỗk, - ữ
,
k, - ữ
ữ

ữ
ỗ
ữ
ữe ỳ
ố
ỳ
2ứ ố
2ứ
ỷ

dk

Trong trng hp ny, Lagrangian cú dng

LD0 = iy (x) gmả my (x)

(9)

Bt bin vi phộp bin i

y đ g5y

(10)

Hm súng cho phn trỏi v phi c minh ha bi hỡnh sau
k

s=

k


1
2

S= -

yL

1
2

yR

Hỡnh 1.1: Cỏc trng xon trỏi y L v xon phi y R
Do vy ta t iu kin ph

g 5y = y h qu y = y R hoc
g5y = - y h qu

y = yL

(11)

iu kin (11) ch ỳng khi khi lng bng m =0. Trong cỏc sỏch
chuyờn ngnh ngi ta gi spinor Dirac y ( x) l vector (-like) spinor, cũn
spinor

y L,R l chiral spinor.
Túm li: khi khi lng ca trng spinor m = 0, ta cú mt bt bin


mi gn vi bin i cú g 5 : y đ g 5y

8


1.1.4.2. Spinor Weyl v Majorana
Trong biu din (6) ca ma trn Dirac, cỏc toỏn t PL , R cú dng
PR =

1
1 ổI
(1 + g5 )= ỗỗỗ
2
2 ố- I

- Iử
ữ
ữ,
ữ
Iứ

PL =

1
1 ổI
(1- g 5 )= ỗỗỗ
2
2 ốI

Iử

ữ
ữ,
ữ
Iứ

(12)

Nh vy

yR

ổy 1 - y 3 ử
ổy 1 ử
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
y
y
y

1
ỗ
ỗ
2ữ
2
4
ữ
ỗ
ữ
ữ
= PR y = PR ỗ
=
=
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
y
y
+
y
2
3
1
3
ữ

ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗy 4 ứ
ỗ
ố
ố- y 2 + y 4 ứ

ổj 1 ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố- j 1 ứ

(13)


Trong ú
y1 =

y1- y 3 ử
1ổ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
2 ốy 2 - y 4 ứ

(14)

Tng t, ta cú biu thc cho spinor phõn cc trỏi
ổy 1 + y 3 ử
ổy 1 ữ
ử
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ

ỗ
ữ
ữ
y
y
+
y
1
ỗ
ỗ
2ữ
2
4ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
y L = PL y = PL ỗ ữ= ỗ
=
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
y
y
+
y
2
3ữ

1
3 ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
y
y
+
y
ố 4ứ
ố 2
4ứ

ổy 2 ữ
ử
ỗ
ữ
ỗ
ỗ

ữ
ốy 2 ữ
ứ

(15)

Trong ú
y2 =

ử
y1 + y 3 ữ
1ổ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
2ỗ
ốy 2 + y 4 ữ
ứ

(16)

Nh vy, phng trỡnh (1) tỏch ra thnh hai phng trỡnh gi l phng
trỡnh Weyl

(ả 0 + s ả )j 1 (x ) = 0
(ả 0 - s ả )j 2 (x) = 0

(17)


thit lp ý ngha vt lý, ta chuyn sang khụng gian xung lng

j a ( x) =

1
(2p )

ũ dp ộởe

f a+ ( x) + e- ipxf a- ( p)ự
ỷ,

ipx

3

2

9

a = 1,2

(18)


Khi đó phương trình Weyl (17) có dạng

(p 0 - s p)f 1± (p) = 0,
(p 0 + s p)f ±2 (p) = 0


p0 = p
(19)

Ta định nghĩa độ xoắn

l =

s .p
p

Từ (19) ta có: l = 1 cho f

(20)
1

hay j R , l = - 1 cho f

2

hay j L .

Thực nghiệm quan sát thấy neutrino có độ xoắn ngược chiều với xung lượng
l = - 1 . Vì vậy nó là hạt phân cực trái.

Ta biết rằng hạt và phản hạt có cùng khối lượng và điện tích trái dấu
được liên hệ với nhau qua toán tử liên hợp điện tích C, mà trong biểu diễn (6)
có dạng
æ0
C = g0g2 = ç
ç

ç
ès 2

ö
s 2÷
÷
÷
÷
0ø

(21)

Tác động của C như sau
C

y ® y c = Cy T = Cg 0 y * = - g 2y * ,
C

y ® y c = y T C,

y ac = Ca by b ,

y ca = (C- 1 )a b y b ,

(22)

Ngược lại, ta có mối liên hệ
y = Cy cT ,

y a = Ca b y cb ,


y = y cT C,

y a = (C- 1 )a b y cb

(23)

Đối với các spinor xoắn phải, trái, toán tử liên hợp điện tích C làm đổi
độ xoắn
C

y

c
c
= Cy T
L,R ® y L,R = PL,R y
R ,L ,

y

c
T
- 1
,
L,R ® y L,R = - y R ,L C

y

L,R


= Cy cT
R ,L ,

y

L,R

= C- 1y cR ,L ,

C

y

L,R a

y

c
L,R a

= Ca b y

a
y cL,R
= (C- 1 )a b y

b
R ,L


R ,Lb

,

= Ca b y cRb,L ,

y aL,R = (C- 1 )a b y cR ,Lb ,

10

(24)

,


Một số tính chất của ma trận C: trong biểu diễn của ma trận Dirac
C- 1g mC = - g mT ,
C = - CT = C- 1 = C+

(25)

Dòng vector có những tính chất đáng chú ý sau đây
c
A L g mBL = - Bc
R g mA R ,
c
Ac
L g mB L = - B R g mA R .

Bây giờ ta xét trường hợp đặc biệt khi fermion và phản fermion là

đồng nhất. Người ta gọi trường hợp này là spinor Majorana y M

y cM = y M
Nhớ lại rằng
c

y cL = (y R ) = PL y c = (y c )L = PL g 0Cy *

(26)

Bây giờ ta đưa vào định nghĩa sau: trường Majorana trái L (phải R)
c
c

L

º (y L + y cL ),

c

R

º (y R + y ),

c

c
R

c

L
c
R

= c

L,

= c

(27)

R,

c

ở đây y R º
c

(y L ) .Ta có mối liên hệ ngược lại
y L = PLc L ,

y cL = PR c L ,

y R = PR c R ,

y cR = PLc

R


(28)

Như vậy, ma trận
æy
ç
ç
c
g5 ç
ç
ç
ç
ç
èc

ö
÷
÷
÷
=
L÷
÷
÷
÷
÷
Rø

æy ¢ ÷
ö
ç
÷

ç
÷
ç
÷
c¢
ç
L ÷=
ç
÷
ç
÷
÷
ç
èc ¢
Rø

æ- y L + y R ö
÷
ç
÷
ç
c ÷
ç
÷
y
+
y
ç
÷
L

L
ç
÷
ç
÷
c
ç
÷
ç
è y - yR ø

(29)

Khối lượng của fermion viết theo các spinor phân cực có dạng như sau
1. Khối lượng Dirac mD (y L y R + y R y L ) : khối lượng này bảo toàn
số fermion.
2. Khối lượng dạng Majorana trái: mL (y cL y L + y L y cL ) và
3. Khối lượng dạng Majorana phải mR (y cR y R + y R y cR )
11


Ta nhn thy khi lng dng Majorana cú s fermion bng hai v nh
vy nú vi phm s bo ton s fermion.Trong ngụn ng gin khi lng
Majorana c mụ t bi gin hỡnh sau


yL

yL


mL

yL

mL

(a)

yL

(b)

Hỡnh1.2: Gin Feynman cho khi lng Majorana: (a) cho khi
lng Majorana trỏi, - (b) khi lng Majorana phi
1.2. Trng in t
1.2.1 Phng trỡnh Euler-Lagrange
i lng rt quan trng trong lý thuyt trng l Lagrangian (hay mt
Lagrangian)
L = L(j , ả mj

)

S l tỏc dng c nh ngha nh sau

S=

ũ d xL(j , ả )
4

(1)


j

V xột thay i ca tỏc dng S
S đ S + dS

Trong ú
dS =
=

ổả L
ảL
4 ỗ
d
x
ũ ỗỗốả j dj + ả (ả mj )d(ả mj
R

ộ
ổ ảL
4 ờả L
ỗ
d
x
ả
mỗ
ũ ờả j
ỗ
ốả (ả mj
R

ở

ự
ử
ữ
ỳdj +
ữ
)ứữữỳỷ

ử
ữ
ứ

)ữữữ

ổ ảL
ử
4
ữ
ỗ
dj
ữ
d
x
ả
ỗ
m
ũ
ữ
ả

j
ữ
ả
ỗ
(
)
m
ố
ứ
R

(2)

S hng th hai trong (2) trit tiờu do nh lý Stokes. T iu kin ti
thiu ca tỏc dng

dS
= 0
dj

Ta s cú phng trỡnh Euler-Lagrange cho trng j

12

a


ổ ảL
ảL
ỗ

ả
mỗ
ỗ
ỗ
ảj a
ốả (ả mj

a

ử
ữ
ữ= 0
ữ
)ữ
ứ

(3)

Lagrangian t do ca trng in t
Lbf0 0 = -

1 mn
A (x)Amn (x)
4

Trng vector khụng khi lng ch cú th l trng chun. Phng
trỡnh Euler-Lagrange cú dng :

ả mAmn (x)= ả m ộởả mAn (x)- ả n Am(x)ựỷ= 0
1.2.2 Phng trỡnh Dirac

Trong in ng lc hc spinor Lagrangian ca h gm

L = Le + Lg + Lint
Trong ú
LD0 = iy (x )g mả my (x )- my (x )y (x )
1
1 r
r
Fmn Fmn = (E 2 - B2 )
4
2
= ey (x )g my (x )Am(x )

Lg = Lint

in trng v t trng c nh ngha nh sau

Fi0 = Ei , Fij = - eijk Bk
Hay

r
r
r
r r r
E = - ẹ A0 - A, B = ẹ A
Tensor cng trng cú dng
ổ0 - E1 - E 2 - E 3 ử
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ữ
ỗ
1
3
2
ữ
ỗ
E
0
B
B
ữ
mn
ỗ
ữ
F =ỗ
ữ
2
3
1 ữ
ỗ
ữ
E
B
0
B
ỗ
ữ
ỗ

ữ
ỗ
ữ
3
2
1
ỗ
ữ
ỗ
ốE - B B 0 ứ

Dũng in t cú dng

13


jm = y (x)gmy (x)
Lấy đạo hàm theo trường điện từ Am , cho ta

¶
Fmn = - ejn
¶ xm

Do vậy

Ñ 2A0 = - ej0
Và

A0 (r, t )=


er (r, t )
ò 4p r - r, dr

Phương trình Dirac có dạng
gm(i¶ m + eAm)y (x)= my (x)
1.2.3 Hàm truyền của photon.Vectơ phân cực
Trong phần này ta thảo luận về vector phân cực. Với hạt vector có khối
lượng ta xét hai trường hợp: hạt đứng yên và chuyển động
1.2.3.1. Hạt đứng yên
Khi hạt đứng yên các thành phần không gian bằng không, vector xung
m
m
lượng có dạng k = (m,0,0,0) . Từ điều kiện trực giao k me (k, l ) = 0 ta

có
kmem(k, l ) = me0 (k, l ) = 0

(1)

Từ đây ta có thành phần thời gian của vector phân cực bằng không
e0 (k, l ) = 0

(2)

i
Còn các thành phần không gian không cố định e (k, l )

(i = 1,2,3).

Ta xác định thành phần không gian của vector phân cực thoả mãn điều kiện

r
e (k, l ).e(k, l ¢) = - dl l ¢

(3)

Trong đó l ,l ¢= 1, 2,3 .Trong hệ hạt đứng yên, ba trạng thái spin khả dĩ
của hạt vector với khối lượng m có thể được viết theo ba lời giải độc lập
tuyến tính của (1)
e( l ) = (0, e-

(l )

)

14

(4)


r

1,2,3

Coi e (k, l )
1

2

là ba vector đơn vị trực giao , độ lớn của nó lần lượt


3

là e , e , e .Thay vào điều kiện (3) ta có

e(1) = (0,1,0,0), e(2) = (0,0,1,0), e(3) = (0,0,0,1) (5)
Kết hợp (2) và (3) ta có dang bốn chiều của điều kiện trực giao
e(k, l )e* (k, l ¢) = - dl l ¢

(6)

Chú ý rằng: chỉ khi hạt khối lượng khác không, ta mới có thể làm việc
với hệ đứng yên.
1.2.3.2. Hạt chuyển động
Để cho cụ thể ta cho hạt chuyển động theo trục thứ ba OZ. Vector
phân cực thoả mãn điều kiện
k mem(k, l ) = 0
e(k, l ).e* (k, l ¢) = - dl l ¢

(7)

Chọn lời giải của hệ phương trình trên như sau: Hai vector đầu chuẩn,
trực giao nhau và trực giao với vector xung lượng k.Chọn thành phần thứ ba
theo hướng của k
r
k
e (k, ' ) = a
,
k

a> 0


e (k ,3)

є(k,1)
є(k,2)
Hình 1.3: Ba vector phân cực
Như vậy lời giải của hệ (7) là

15

(8)


r

(0, e (k,1)),
r
e(k, 2) = (0, e (k, 2))
e(k,1) =

æ k
k ö
÷
a
,a
e(k,3) = ç
÷
ç
ç
è k0

ø
k ÷

r

(9)

r

Trong đó e (k ,1) và e (k , 2) là hai vector trực giao với nhau và trực
giao với thành phần thứ ba. Với cách chọn này, thay vào điều kiện ở trên, ta
được
e(k,1)e* (k,1) = - 1
e(k,1)e* (k, 2) = 0
2

*

e(k,3)e (k,3) = a

2

k - a2 k
k 02
k

2
2

= - 1


(10)

Do vậy
k0
m

a =

Như vậy, vector phân cực ứng với l = 3 được gọi là phân cực dọc eL (k )
có dạng
æk k 0 k ÷
ö
m
ç
,
em
(k)
=
e
=
(
)
k,
'
÷
ç
L
ç
èm m k ÷

ø

(11)

Trong gần đúng năng lượng cao: k ? m
em
L (k ) =

æm ÷
ö
km
+ Oç
÷
ç
÷
ç
m
èk 0 ø

(12)

Cuối cùng ta có
m
L(

e

k )-

æk - k 0 k 0 - k k ÷

ö
km
= ç
;
,
÷
ç
÷
ç
÷
m
m
m k
è
ø

Gọi phần còn lại là D m (k ) , ta viết lại (12) như sau
em
L (k) =

km
+ D m(k)
m

(14)

Điều kiện trực giao dẫn đến

k.D (k) = - m


16

(15)

æm ÷
ö
Oç
÷
ç
çk 0 ÷
è
ø

(13)


Chỳ ý rng vector phõn cc vn chun hoỏ nh sau
eL (k).e*L (k) = - 1
3

ồ

1
k mk n
m2

em(k, l ).e*n (k, l ) = - g mn +

l =1


(16)

Vector phõn cc dc bin thiờn nh vector xung lng bn chiu. Khi
nng lng ca ht tin ti vụ hn nú cng tng theo.
Lagrangian t do ca trng in t

Lbf0 0 = -

1 mn
A (x)Amn (x)
4

(17)

Phng trỡnh Euler-Lagrange cú dng :

ả mAmn (x)= ả m ộởả mAn (x)- ả n Am(x)ựỷ= 0

(18)

Phng trỡnh trờn bt bin vi phộp bin i chun
Am(x) đ AÂ
m(x ) = A m(x )- ả ma (x )

ả mAm = 0

(19)

(20)


iu kin (20) v (18) cho ta

WAn (x)= 0,
Chn

a

Wa (x)= 0

(21)

sao cho mt thnh phn ca Am (x) bng khụng, c th l

A0 (x) = 0 . Khi ú iu kin Lorentz cú dng

ả mAm(x)= divA(x)= 0

(22)

thu c ý ngha vt lý ca iu kin (22) ta chuyn sang biu din
xung lng

Am(x)=

1
d 4kd(k 2 )eikx Am(k)
ũ
2p

(23)


Thay (23) vo (22) ta cú

k a Aa (k) k0 = 0 = (k.A (k)) k0 = 0 = 0
17

(24)


Phương trình (24) là điều kiện trực giao của trường điện từ. Tách thế
năng thành phần tần số dương và âm

Am(x)= Am+ (x)+ A-m (x)

(25)

*

m
Với (A±m (k)) = Am (k) . Ta đưa vào hệ qui chiếu gắn với xung lượng k
0 ±
2 ±
3 ±
A±m (k) = em
a 0 (k)+ e1ma1± (k)+ em
a 2 (k)+ em
a 3 (k)

(26)


r r

Trong đó e1 , e2 là vector phân cực không gian trực giao nhau và trực
r

giao với e3
e1m = (0,e1 ),

r
em2 = (0, e2 ),

(27)

(eie j ) = dij , (i, j = 1,2,3), ei0 = 0,

[e1e2 ]= e3 ,

[e2e3 ]= e1,

e3 =

k

(28)

k

[e3e1 ]= e2

(29)


e 0 là vector dạng thời gian em0 = dm0 .Ta có thể thấy
A+m (k)A- m(k)= gmn a +m (k)a -n (k)

(30)

Trong đó
k mA+m (k)= 0,

k mA-m (k)= 0

(31)

Sử dụng điều kiện Lorentz, ta có
±
(k) = k 0a ±0 (k)- k a ±3 (k)= 0
k mAm

(32)

Vì k = k 0 nên a +3 (k)= a +0 (k) và
a +3 (k)a-3 (k)- a +0 (k)a-0 (k)= 0

(33)

Như vậy, số photon dọc a +3 a-3 và số photon thời gian bằng nhau và ngược
dấu. Cuối cùng, vector năng xung lượng bốn chiều

Pm =


ò dkk

m

é- A +m (k )A- m(k )ù=
ú
ëê
û

å ò dkk a

m +
m(

-

k )a m (k )

(34)

m= 1,2

Chỉ còn đóng góp của hai thành phần trực giao và nhận giá trị xác định
dương.
18


i vi trng in t, ta khụng cú iu kin Lorent t ng m phi
a bng tay
Am(x) =


2

dk

ũ

(2p )3 2k 0

ồ

l =1

ộa (k, l )em(k, l )eở

ikx

+ a + (k, l )em(k, l )eikx ự
ỷ (35)

Bõy gi ta tớnh hm truyn ca trng chun khụng khi lng
Lem
0 = -

2
1 mn
1
A (x )A mn (x )ả mA m)
(
4

2x

(36)

thu c hm truyn Feynman ta vit li tỏc dng
Sem
0 [A ]=

ũd

4

ộ 1
ự
1
a
a
ả mA na - ả n Am
ả mAm
(ả mA na - ả n Ama )x ờả n A an )ỳ (37)
(
(
)
(
)
ờ
ỳ
2x
ở 4
ỷ


a 2
ả mA na ả mA na = - A anả mả mA na = - g mndab A m
ả A nb
a n m b
ả mA na ả n A ma = - A anả mả n A ma = - A m
ả ả A ndab
a n
a m n
ả mA m
ả A na = - A m
ả ả A nbdab

Do vy
ộ1 mn
1 a n m b
1 a m n b ự
a 2
b
4
ờ
g
d
A
ả
A
A
ả
ả
A

d
+
Amả ả A ndab ỳ
d
x
ab
m
n
m
n
ab
ũ ờở2
ỳ
2
2x
ỷ
1 a mn b
= ũ d 4 x Am
k ab A n
2

Sem
0 [A ]=

ộ mn W
mn
k
=
Trong ú ab ờg ờ
ở


ự
ổ 1ữ
ử
ỗỗ1- ữả mả n ỳdab
ỗố x ữ
ỳ
ứ
ỷ

T õy ta tớnh c hm truyn ca trng in t

D em
F (k ) =

i ộ
k k ự
ờgmn - (1- x) m2 n ỳ
k + ie ờở
k ỳ
ỷ
2

(38)

Khi xung lng k hm truyn ca trng vector cú khi lnh
khụng phi l trng chun bin thiờn khụng tt tin ti mt s O(1), trong
khi ú hm truyn ca trng chun vector cú khi lng v khụng cú khi
ổ ử


lng bin thiờn tt gim nhanh theo O ỗỗ 12 ữữữ.
ốk ứ
Cụng thc ly tng ca cỏc vector phõn cc

19


1. Đối với các trường chuẩn giao hoán (abelian) như là photon

å

e*m(k, l )en (k, l ) = - gmn

(39)

l = 1,2

2. Đối với các trường chuẩn (và không chuẩn) có khối lượng như
W± , Z, vv

æ
k k ö
e*m(k, l )en (k, l ) = çç- gmn + m 2n ÷
÷
÷
çè
m ø
l =1
3


å

(40)

1.2.4 Năng lượng E
Xét sóng phẳng của hạt tự do

y = ei

(k.r- wt )

(1)

Với k và w tương ứng là vector truyền và tần số góc. Trong hệ tự nhiên
h = c = 1, chúng là xung lượng và năng lượng. Hàm sóng trong (1) là nghiệm

của phương trình Klei-Gordon:
¶ 2y
¶ 2y
¶ 2y
¶ 2y
=
+
+
- m2y = (Ñ 2 - m2 )y
2
2
2
2
¶t

¶x
¶y
¶z

(2)

Mô tả hạt vô hướng (spin 0) tương đối tính. Để tiện theo dõi, ta viết lại
phương trình trên

(W+ m 2 )y = 0
Trong đó

¶ 2y
W=
- Ñ2
2
¶t

(3)
(4)

Thay (1) vào (2) ta có hệ thức

E 2 = p 2 + m2

(5)

Trong trường hợp phi tương đối tính p << m, ta có
p2
p2

E= m
+ 1= m+
m2
2m

20


1.3. Tƣơng tác giữa trƣờng spinor và trƣờng điện từ
Lagrangian của một hệ gồm hai phần: Lagrangian tự do chứa các số
hạng bậc hai theo toán tử trưòng, Lagrangian tương tác chứa các số hạng từ
bậc ba trở lên theo toán tử trường. Tuy nhiên điều kiện tái chuẩn hoá trong
không thời gian bốn chiều không cho phép các số hạng có bậc lớn hơn bậc
bốn theo toán tử trường. Trong phần này chúng ta làm quen với phương pháp
“bóc vỏ” giúp ta thu được phần đỉnh từ Lagrangian tương tác.
1.3.1 Tương tác không chứa đạo hàm
Để cụ thể ta xét trường hợp điện động lực học với Lagrangian tương tác
LQED
= ey (x) g my (x)A m(x)
int
= ey (x) h ( g n ) hl y l (x)A n (x)

(1)

Vì trong Lagrangian tương tác chứa ba toán tử trường, nên ta phải lấy
đạo hàm (bóc vỏ) ba lần theo các toán tử trường. Mỗi lần lấy đạo hàm ta sẽ có
thêm một tương ứng trong phần đỉnh. Cụ thể, để có đường fermion ra với chỉ
số α

´

α
Ta lấy đạo hàm
¶ LQED
l
int
= edah (g n )h y
a
¶y
l

= e (g n )a y

l

l

(x )A n (x )

(x )A n (x )

(2)

Lưu ý rằng, nên chọn chỉ số của hàm trường lấy đạo hàm khác với chỉ
số của hàm trường tương ứng trong Lagrangian, ví dụ như
thêm đường fermion vào với chỉ số b

b

a


21

(a ¹ h) . Để có