LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong
ban chủ nhiệm khoa Vật Lí – Trường ĐHSP Hà Nội 2. Đặc biệt là Th.S Hà
Thanh Hùng đã hướng dẫn, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
hoàn thành tốt khóa luận tốt nghiệp này.
Lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu đề tài khoa học nên cũng
không tránh khỏi những sai sót, hạn chế, kính mong được sự chỉ bảo, góp ý
của thầy cô giáo để khóa luận này được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Huế


LỜI CAM ĐOAN
Tên tôi là: Phạm Thị Huế
Sinh viên: Lớp K34 – D Lý – Trường ĐHSP Hà Nội 2
Với đề tài này tôi khẳng định là của riêng tôi, không trùng với bất cứ đề
tài nào. Trong đề tài này những vấn đề tôi đưa ra là bàn luận, nghiên cứu về
phương pháp chỉnh thứ nguyên và ứng dụng của chỉnh thứ nguyên trong vật
lý.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Phạm Thị Huế


MỤC LỤC
Trang

Lời cảm ơn
Lời cam đoan
Mục lục
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .............................................................................. 1
2. Mục đích nghiên cứu........................................................................ 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................ 2
5. Phương pháp nghiên cứu................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ............................................................................ 2
NỘI DUNG
Chương 1: Kỳ dị trong lý thuyết trường ........................................................... 3
1.1. Trong lý thuyết cổ điển ................................................................ 3
1.2. Trong lý thuyết hàm suy rộng ...................................................... 4
1.3. Phương pháp chỉnh Pauli – Villars .............................................. 5
1.4. Thứ nguyên chính tắc ................................................................. 11
Chương 2: Phương pháp chỉnh thứ nguyên .................................................... 13
2.1. Quy tắc Feynman ....................................................................... 13
2.2. Tham số hóa Feynman ............................................................... 15
2.3. Tính tích phân theo xung lượng ................................................. 17
2.4. Thác triển giải tích   0 .......................................................... 24
Chương 3: Ứng dụng của phương pháp chỉnh thứ nguyên ............................. 26
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 29
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 30
PHỤ LỤC ........................................................................................................ 31


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là một trong những môn khoa học nghiên cứu các quy luật

từ đơn giản đến tổng quát của tự nhiên. Vật lý học nghiên cứu cấu trúc của vật
chất thông qua hệ thống các định luật, định lý...
Như ta đã biết, vật lý bắt nguồn từ việc đo đạc các đại lượng vật lý
trong cuộc sống như: chiều dài, khối lượng, thời gian... rồi tính toán dựa trên
các đại lượng đó.
Khi làm ra các biểu thức, và muốn biết xem đó là tính toán về đại lượng
nào người ta thường nghĩ ngay đến thứ nguyên. Vậy dùng thứ nguyên để xây
dựng và đón nhận các công thức vật lý đó. Thứ nguyên là một phương pháp
mạnh được nhiều nhà vật lý hiện đại phát triển, có thể kể đến Einstein, Plank,
Fermi... Tuy nhiên sự ra đời của phương pháp thứ nguyên cũng song hành với
sự ra đời của phép đo vật lý nghĩa là từ thời Galileo và Newtơn cũng đã có và
phương pháp này cho ta kiểm nghiệm lại tính đúng đắn của kết quả vật lý
đồng thời tìm được mối liên hệ giữa các đại lượng tham số vật lý trong kết
quả đo mà không sử dụng bất kỳ một đại lượng vật lý nào.
Do tài liệu về khóa luận này là rất ít điều này đã gây khó khăn cho các
bạn sinh viên vì vậy tôi chọn đề tài: “Phƣơng pháp chỉnh thứ nguyên và
ứng dụng” để có thể tìm hiểu kỹ hơn về thứ nguyên của các đại lượng vật lý
và ứng dụng của thứ nguyên vào trong các bài tập.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là nghiên cứu về các tham số vật lý và cách tính
thứ nguyên chính tắc trong không gian d chiều.
Áp dụng thứ nguyên của các đại lượng vật lý để dẫn ta đến: “Phương
pháp chỉnh thứ nguyên”.

1


→ Các bước chính của phương pháp chỉnh thứ nguyên và ứng dụng nó
vào thực tế để tính toán các hằng số cơ bản.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu

- Phương pháp chỉnh thứ nguyên và ứng dụng.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về chỉnh thứ nguyên qua cách tính thứ nguyên chính tắc
trong không gian d chiều.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Đọc và tra cứu tài liệu.
- Phương pháp lý thuyết trường.
- Phương pháp lý thuyết hạt cơ bản.
- Các phương pháp khác và tài liệu dùng trong vật lý lý thuyết
6. Cấu trúc khóa luận
Chương 1: Kỳ dị trong lý thuyết trường.
1. 1. Trong lý thuyết cổ điển.
1.2. Trong lý thuyết hàm suy rộng.
1.3. Phương pháp chỉnh Pauli - Vallars.
1.4. Thứ nguyên chính tắc.
Chương 2: Phương pháp chỉnh thứ nguyên.
2.1. Quy tắc Feynman.
2.2. Tham số hóa Feynman.
2.3. Tính tích phân theo xung lượng
2.4. Thác triển giải tích ε→0
Chương 3: Ứng dụng của phương pháp chỉnh thứ nguyên.

2


Chƣơng 1. KỲ DỊ TRONG LÝ THUYẾT TRƢỜNG
1.1. Trong lý thuyết cổ điển
Khái niệm hạt điểm cũng dẫn đến những đại lượng phân kì như khối
lượng riêng  


m
... Hiện nay chúng ta chưa có công cụ toán học thích hợp
v

cho các hạt có kích thước và những cố gắng theo hướng này đều không mang
lại kết quả.
Vì vậy ta phải chấp nhận kỳ dị trong vật lý hạt cơ bản. Nhớ lại rằng
hàm truyền (nhân quả) được xác định qua T – tích của hai toán tử trường:

Dc ( x  y)  i  0 / T ( ( x) ( y)) / 0 
Khi xo  y o ta phải tiền định nghĩa T – tích. Sự không xác định của T –
tích khi “đồng thời gian” dẫn đến những kỳ dị trong hàm Green và hàm
truyền. Ta có mối quan hệ giữa D c với D và D :

Dc ( x)   ( xo ) D ( x)   ( xo ) D  ( x)
Quá trình sinh hạt vô hướng ở x và hủy hạt ở y được mô tả bởi hàm:
1
i

1* ( y )1 ( x)  0 |   ( y )  ( x) | 0  iD  ( y  x)  D  ( x  y )
Các hàm truyền của các trường Spinor, vector,... được biểu diễn qua
hàm truyền của trường vô hướng như sau:
c
S
( x)  (i   m) D c ( x)

Dnlc ( x)  ( g nl 

1 2
) D c ( x)

2
n
l
m x x

Hàm Green nhân quả D c thỏa mãn phương trình sau đây:

 Dc ( x)   ( x)
(i   m) S c ( x)   ( x)

3

(1.1.1)


1 2
( m ) D ( x)  ( g nl  2 n l ) ( x)
m x x
2

c
nl

(1.1.2)

Dạng tường minh của các hàm D ( x) như sau:
D  ( x) 

D  ( x) 


1
eikx (k 2  m 2 ) (k o )d 4k
3 
(i 2 )

i
(2 )

3

e

 (k 2  m 2 ) (k o )d 4k

 ikx

(1.1.3)

Lấy tích phân 2 vế (1.1.3):
1
2

1
i
im ln m |  |
D  ( x)   ( x o ) ( )  2  2

4
4  8
2

m2

 ( x0 ) ( x)  0( |  |  ln |  |)
16
2

D c ( x) 

1
1
m
im
m| |
 ( ) 

 ( )  2 ln
2
4
i 4  16
8
2
2

2

0( |  |  ln |  |)

Trong đó:

1

2

(1.1.4)

  x 2  ( x o ) 2  ( x) 2

Từ (1.1.4) ta thấy hàm Green D ( x) và hàm truyền đều phân kỳ trên
nón ánh sáng tại   x 2  0
Trong biểu thức của hàm Green ta thấy có hai loại phân kỳ:
+ Phân kỳ nguy hiểm kiểu  ( ) và

1


+ Phân kỳ nhẹ nhàng kiểu  ( )
1.2. Trong lý thuyết hàm suy rộng
Điều đáng chú ý nhất là các phép nhân phân kỳ “chồng chất” là không
được xác định.
Ví dụ: Ta biết x ( x) ; x ln( x) được xác định ra sao. Nhưng tích của hai
hàm phân kỳ tại không như  ( x ) và ln x là  ( x).ln x thì không được xác
4


định. Đây là trường hợp phân kỳ chồng chất, khi phân kỳ không chồng chất
như  ( x  3)ln x thì tích của chúng được xác định tốt.
Suy ra: Tích của các phân kỳ chồng chất là không được xác định. Muốn
xác định các tích này ta phải tiền xác định, nghĩa là ta phải đưa ra cách biểu
diễn chúng, hay nói cách khác là “chỉnh” chúng.
Trong lý thuyết trường, khi tính tích phân Feyman ta luôn làm việc với
tích của các hàm truyền với phân kỳ chồng chất trên nón ánh sáng (   0 ).

Do vậy ta phải có phép chỉnh.
*Nhận xét: Kỳ dị nguy hiểm

1
và  ( x ) luôn đi với hệ số không phụ


thuộc vào khối lượng, còn kỳ dị dạng ln  và  ( ) có hệ số tỉ lệ với m 2 .
1.3. Phƣơng pháp chỉnh Pauli – Villars
1.3.1. Phƣơng pháp chỉnh Pauli – Villars
Phương pháp chỉnh phải thỏa mãn điều điện: phần hữu hạn không phụ
thuộc vào giới hạn  , M  0 . Phương pháp cắt phải chọn sao cho bất biến
Lorentz bảo toàn và các vấn đề đối xứng khác.
+ Thay hàm truyền m( x) bằng hàm truyền đã chỉnh:
n

reg m( x)  m( x)   Ci mi ( x)

(1.3.5)

i 1

Trong đó các hệ số ci thỏa mãn các điều kiện sau:
n

1   ci  0

(1.3.6)

i 1


n

m   ci M i2  0
2

(1.3.7)

i 1

n

m2 n2   ci M i2 n2  0
i 1

5

(1.3.8)


Điều kiện (1.3.6) làm triệt tiêu các kỳ dị nguy hiểm. Các điều kiện còn
lại (1.3.7), (1.3.8) thì làm triệt tiêu các phân kỳ không nguy hiểm đi cùng khối
lượng m.
+ Trong kết quả cuối cùng cho M i  
Hàm reg m( x) liên tục khác với ∆m(x) chỉ ở vùng cực nhỏ quanh nón ánh
sáng. Khi M i   thì không còn sự khác nhau giữa reg m( x) và m( x) .
Nên chỉnh Pauli- Villars là làm tăng bậc xung lược ở mẫu số.
1.3.2. Một vài ví dụ
Ta tính tích phân phân kỳ sử dụng phương pháp chỉnh Pauli – Villars.
1.3.2.1.Ví dụ 1:

Ta xét lý thuyết vô hướng thực  4 với Lagrangian sau đây
1
m2 2 g 4
Ls     
  
2
2
4!

(1.3.9)

Bổ đính một vòng vào hàm truyền của trường vô hướng được mô tả bởi
giản đồ Feynman hình 1.1
k

p

p

Hình 1.1: Bổ đính một vòng vào hàm truyền trong lý thuyết  4
Biểu thức tương ứng là

1 d 4k
i
 ( p)  ig 2  (2 )4 (k 2  m2  i )

6

(1.3.10)



trong đó

1
là hệ số đối xứng của giản đồ. Ta thấy Σ phân kỳ bậc hai khi k→∞.
2

Nếu dùng phương pháp chỉnh Pauli – Villars ta phải dùng hai khối lượng phụ
để có hàm truyền tỉ lệ với

1
k6

1
1
a
a
1
 2
 2 1 2  2 2 2  6 (1.3.11)
2
2
k m
k  m k  M1 k  M 2
k
2

Điều kiện (1.3.11) cho ta tử ta tử số tỷ lệ với 0(1). Cụ thể

(k 2  M12 )(k 2  M 22 )  a1 (k 2  m2 )(k 2  M 22 )  a2 (k 2  m2 )(k 2  M12 )

= k 4  k 2 (M12  M 22 )  M12 M 22  a1[k 4  k 2 (m2  M 22 )  m2M 22 ] 
+ a2[k 4  k 2 (m2  M12 )  m2 M12 ]  0(1)

(1.3.12)

Từ đây ta có hai điều kiện:
+ Số hạng tỉ lệ với k 4 triệt tiêu

1  a1  a2 = 0

(1.3.13)

+ Số hạng tỉ lệ với k 2 triệt tiêu

(M12  M 22 )  a1 (m2  M 22 )  a2 (m2  M12 ) = 0

(1.3.14)

Từ hai điều kiện (1.3.13) và (1.3.14) trên ta thu được

a2 

M 12  m2
M 22  M 12

M 22  m2
a1  1  a2  2
M 1  M 22

(1.3.15)


Với a1 , a2 cho bởi (1.3.15) ta thấy hàm truyền đã chỉnh có dạng

1
M12 M 22  m2 (a1M 22  a2 M 12 )
 2
k 2  m2
(k  m2 )(k 2  M 12 )(k 2  M 22 )

(1.3.16)

Khi M1 và M 2 đều tiến tới Λ rất lớn ta có:

g d 4k
4
 ( p)  2  (2 )4 (k 2  m2 )(k 2  2 )2
7

(1.3.17)


Ta thấy biểu thức trong (1.3.17) hội tụ khi k → ∞. Tuy nhiên ta lại có
phân kỳ theo Λ. Ta tham số hóa Feynman mẫu số
1

1
xdx
 (3) 
2
ab

[ax  b(1  x)]3
0
Chọn a = k 2   2 , b = k 2  m 2 . Khi đó mẫu số có dạng:
MS = (k 2  2 ) x  (k 2  m2 )(1  x)
= k 2  m2  x(k 2  m2 )  x(k 2  2 )
= k 2  x (  2  m2 )  m 2
 k 2  2

(1.3.18)

trong đó

 2  x(  2  m2 )  m2

(1.3.19)

g
d 4k
4
(
p
)


(3)
xdx

0  (2 )4 (k 2  2 )3
2


(1.3.20)

Do vậy
1

Mà ta có:

d 4k
1
(1)3 i(1) 1
 (2 )4 (k 2  2 )3 = (4 )2 (3) (2 )
i
1
2
2(4 ) ( 2 )

(1.3.21)

i 4 g
xdx
 ( p)  32 2  [x(2  m2 )  m2 ]
0

(1.3.22)

=
Suy ra
1

Sử dụng công thức

xdx
1

 a  bx b2 [a  bx  a ln | a  bx | ]

8


1

xdx

1

 a  bx  b

2

(b  a ln

0

ab
)
a

(1.3.23)

Do vậy ta có (b =  2  m 2 , a = m 2 )


 2
i 4 g
1
2 
2
2


m

m
ln
32 2 ( 2  m2 )2 
m2 

 ( p) =

ig  2
2 
2
≈
  m ln 2 
32 2 
m 

(1.3.24)

Ta có phân kỳ bậc hai theo Λ.
1.3.2.2 Ví dụ 2:
Tiếp theo ta xét bổ dính một vòng vào hàm truyền của trường vô hướng

trong lý thuyết  3 với Lagrangian sau đây:
1
m2 2  3

L     
  
2
2
3!

(1.3.25)

được mô tả bởi giản đồ Feynman
Biểu thức tương ứng là:

3 ( p2 ) = (i )2
Trong đó

1 d 4k
i
i
(1.3.26)
2  (2 )4 (k 2  m2  i ) [( p  k )2  m2  i ]

1
là hệ số đối xứng của giản đồ. Đây là giản đồ phân kỳ logarit khi
2

k→∞, nên ta chỉ cần một khối lượng là đủ
1

1
c
1
 2
 2 1 2 4
2
2
k m
k m
k M
k
2

(1.3.27)

k
p

p
p+k

Hình 1.2: Bổ đính một vòng vào hàm truyền trong lý thuyết  3

9


Điều kiện (1.3.27) cho ta c1 = -1. Do vậy:

2


M 2  m2
3 ( p )   2 (k 2  m2 )(k 2  M 2 )[( p  k )2  m2 ] (1.3.28)
2

 (p )

Khai triển Taylor tại p 2 = 0 của

theo (1.3.26), hay nói khác đi là

2

3

thực hiện phép cắt tại p 2 = 0 có dạng

3 ( p2 ) =

 3 (0) +



( p )
2

(1.3.29)

3

Với





 ( p ) = p  ( p ) |
2

2

2

3

( p 2 0)

. p2

(1.3.30)

3

Để thấy



( p )
2

hữu hạn, ta chứng minh: mỗi lần lấy đạo hàm theo xung


3

lượng ngoài, biểu thức sẽ giảm đi một bậc phân kỳ. Thật vậy


 p 2

 2
 2 2 p
p p p p

(1.3.31)

Nhân hai vế của (1.3.31) với p ta có

p 


p 2 2 p 2 p
Lấy đạo hàm theo p 2 của

(1.3.32)

 ( p ) tương đương với việc lấy đạo hàm theo
2

3

hàm truyền chứa p trong nó.


p (1)2( p  k ) 

1
=
p 2 [( p  k ) 2  m 2 ] 2 p 2 [( p  k )2  m2 ]2
=


10

1
( p  k ). p
2
p [( p  k ) 2  m 2 ]2

1
k3

(1.3.33)


Biểu thức (1.3.33) cho ta thấy khi k→ ∞ tích phân đã giảm đi một bậc phân
kỳ. Như trên đã nói



 ( p ) phân kỳ logarit, vậy  ( p ) hữu hạn.
2

2


3

3

Khi M ≫m ta có:

 2 M 2 d 4k
1
3 (0)  2  (2 )4 (k 2  m2 )2 (k 2  M 2 )

(1.3.34)

Theo (1.3.24) ta có:


i 2 M 2
M2
M2
 3 (0) = 32 2 (M 2  m2 ) 1  (M 2  m2 ) ln m2 


i 2
M2
ln
  khi M →∞
≈
32 2 m 2

Ta thấy


(1.3.35)

 (0) phân kỳ logarit.
3

Qua các ví dụ trên ta thấy phương pháp chỉnh Pauli – Villars là thêm khối
lượng phụ trợ để tăng bậc của xung lượng lấy tích phân ở mẫu số. Ta chỉ cần
một số khối lượng phụ trợ sao cho tích phân ban đầu trở thành hữu hạn.
1.4. Thứ nguyên chính tắc
Trong phương pháp chỉnh thứ nguyên d 4 x  d d x thì ta cần các thứ
nguyên của các tham số vật lý. Cách tính thứ nguyên chính tắc trong không
gian d chiều như sau:
Ta biết rằng trong d chiều, để tác dụng S là một số thì Lagrangian có
thứ nguyên d theo xung lượng hoặc khối lượng 

1
. Mặt khác mỗi đạo hàm
x

làm tăng thứ nguyên lên một đơn vị. Do vậy:
+ Đối với trường vô hướng và vectơ:
d 1

d
 x 2   

1     1     d    

11


d
1
2

 m  1


Với A ta có:

d 1
  
d
 x 2  A  A

1   A   1   A   d
  A  

d
1
2

+ Đối với trường spinor:

d

d

xi 


1        d
→      

d 1

2 2

+ Đối với hằng số tương tác:

e A :

e  2    A   d
e  d  2    A  d  d  1 
 e  2 

d
2

trong không gian d  4  2 chiều

→  e  e

+ Đối với tương tác


4!

d
1
2


(1.4.36)

4

   4   d
Do đó:

   d  2d  4  4  d
Khi d  4  2 ta có    2e  2


Chú ý: Moment góc M 0lm   d x( x mT l 0  xlT m0 ) nên nó có thứ nguyên
chính tắc bằng 0.

12


Chƣơng 2. PHƢƠNG PHÁP CHỈNH THỨ NGUYÊN
2.1. Quy tắc Feynman
Từ không gian 4 chiều chuyển sang không thời gian d chiều nhỏ hơn
bốn: d  4  2 trong đó  > 0, hằng số tương tác g được thay bởi g    . Đối
g

với giản đồ G phân kỳ bậc G , ta có điều kiện cho  để tích phân đó hữu
hạn:

4  2 crit  G
→  crit  2 


G
2

(2.1.1)

Khi    crit tích phân phân kỳ trong không gian 4 chiều sẽ hữu hạn. Về
nguyên tắc ta phải

chuyển sang

không gian Euclidean, nghĩa là thay

p0  p4  ip0 . Sau khi tính toán sẽ quay trở lại không gian Minkowski. Trong
tính toán cụ thể ta có thể bỏ qua phép quay Wick. Trong d chiều, ma trận
Dirac tuân theo hệ thức sau:

g  g   d ,     d , Tr (I) = d

      (d  2)  ,        4 g  (4  d )   

(2.1.2)

         2      (4  d )     .
Ta thấy các ma trận Dirac vẫn thỏa mãn các hệ thức phản giao hoán
trước đây:






,    2g 

(2.1.3)

Trong không gian d chiều, ma trận  5 không phản giao hoán với các
ma trận   . Các hệ thức cơ bản gồm:

  (a  b 5 )   4(a  b 5 )  (d  4)(a  b 5 )
  5   (d  8) 5
13

(2.1.4)


    (a  b 5 )   2  (a  b 5 )  (d  4)  (a  b 5 ) (2.1.5)
Tr  ( f  a f  5 )   8(v2f  a 2f ) g  4(d  4)(v2f  a 2f ) g 

Tr 5  5   8  d
 Giản đồ phân cực chân không:
Bổ đính bậc hai, bổ đính bậc cao nhất vào hàm truyền của photon qua
giản đồ phân cực sau:
k+ q
q

q

  (q) =






Hình 2.1: Đóng góp bậc hai vào hàm truyền của photon
Từ giản đồ phân cực chân không, khi không kể đến đường ngoài, thì
tích phân Feynman có dạng sau:


d 4k Tr  ( k  q  m) ( k  m) 
(2.1.6)
 (q)  (ie) 
(2 ) 4 (k 2  m2  i ) (k  q)2  m2  i 


2

Tích phân (2.1.6) phân kỳ bậc hai khi k→∞. Cho nên ta không được
phép thực hiện các thao tác như đổi biến tích phân... Do đó, ta chuyển từ 4
chiều sang d chiều. Nên biểu thức (15) có dạng:


d d k Tr  ( k  q  m) ( k  m) 
 (q)  (ie ) 
(2 ) d
(k 2  m2 ) (k  q)2  m2 


 2

(2.1.7)


Trong (2.1.7) ta đưa vào tham số μ có thứ nguyên khối lượng với lũy
thừa   làm cho tích phân có thứ nguyên đúng. Ta có thể bỏ số hạng i trong
hàm truyền.
Thấy rằng, chỉnh thứ nguyên bảo toàn bất biến chuẩn, cụ thể là đồng
nhất thức Ward được thỏa mãn. Thật vậy:

14



d d k Tr  q ( k  q  m) ( k  m) 
(2.1.8)
q  (q)  e  
(2 )d
(k 2  m2 ) (k  q)2  m2 


2

2

Ta thực hiện một số thao tác sau:
q  ( k  q  m )  ( k  m)
a b  b a  2(a.b)

Khi đó tử số có dạng:

Tr ...  Tr ( k  m) q ( k  q  m)  




(2.1.9)



 Tr ( k  m) (k  q)2  m2     Tr (k 2  m2 )( k  q  m)  
= d (k  q)2  m2  k  d (k 2  m2 )(k  q )
Do vậy ta có:

d dk
q  (q)  e  d 
(2 ) d


2

2

 k
k  q 
 k 2  m2  (k  q) 2  m2  (2.1.10)



Với d < 2, tích phân trên hữu hạn nên thỏa mãn:

ddk
d dk
F
(

k
)

 (2 )d
 (2 )d F (k  q)
Vì vậy (2.1.10) cho:

q   (q)  0

Đây chính là đồng nhất Ward quen thuộc. Tử số của (2.1.7) bằng:
TS = Tr   ( k  q  m)  ( k  m) 
= 2dk  k  d (q  k  q k  )  d (m2  k 2  kq) g 

(2.1.11)

Trong quy tắc Feynman ta thấy thứ nguyên bảo toàn bất biến chuẩn, cụ
thể là trong đồng nhất Ward.
2.2. Tham số hóa Feynman
n

1

1

1

 (1   xi )

1
i 1

 (n)  dx1  dx2 ... dxn
a1a2a3...an
( ai xi )n
0
0
0

15

(2.2.12)


trong đó i=1,2,...n. Trường hợp n=2 ta có

1
(   )
x 1 (1  x)  1

dx
a b  ( )(  ) 1  ax  b(1  x)  
1

(2.2.13)

Khi α = β =1 ta có:
1

1
dx


ab 0  xa  (1  x)b2
Với mục đích tổng quát, giả sử rằng trong (2.1.7) khối lượng của hai
hàm truyền khác nhau và tương tác là m1 và m2 . Lúc này ta đặt:

a  (k  q)2  m22 , b  (k 2  m12 ) khi đó mẫu số của (2.1.7) có dạng:
MS = x(k 2  q 2  2kq  m22 )  (1  x)(k 2  m12 )
= (k  qx)2  D(q 2 , m12 , m22 )

(2.2.14)

Trong đó ta đưa vào định nghĩa:

D(s, m12 , m22 )  m12 (1  x)  m22 x  sx(1  x)

(2.2.15)

Kết hợp (2.1.11) với (2.2.14) ta có:

d d k 2dk  k  d (q  k   q k  )  d (m2  k 2  kq) g
(2.16)
 (q)  e   dx 
2
(2 )d
(k  xq)2  M 2 
0


2

2


1

trong đó:

M 2  D(q 2 , m2 , m2 )  m2  q 2 x(1  x)
Đặt p = k + qx, khi đó (2.1.7) trở thành:

  (q) =

1

dd p
1
e   dx 

d
2
2 2
(2

)


0
p M 
2

2






 2d  p p  x(q p  p p )  x 2q q  

d (q p  q p  2xp p ) 
d m2  p 2 x(1  x)  p.q(2 x  1)  g 

16


2.3. Tính tích phân theo xung lƣợng
Ta sẽ sử dụng kí hiệu sau:

I ( M )  

d

d p
1
 (1)
d
2
2
(2 ) ( p  M )

d
(  )
2 2


i
(4 )

(M )

d
2

d
(  )
2 (2.3.17)
( )

2.3.1. Tính tích phân trong không gian d chiều
Chúng ta làm việc trong không gian Minkowski d chiều, gồm một
chiều thời gian và (d  1) chiều không gian. Chúng ta quan tâm đến tích phân
dạng

I d (q)  

dd p
( p 2  2 pq  m2 )

trong đó: p  ( p0 , r )
Xét trong hệ tọa độ cực: ( ( p0 , r, ,1,2 ,...,d 3 ) ta có:

d d p = dp0r d 2drd sin1d1 sin 2 2d2 ...sin d 3 d 3dd 3
d 3


= dp0 r d 2 drd  sin k  k d k
k 1

trong đó:   p0  ,0  r  ,0    2 ,0  i  
Khi đó:






0

I d (q)  2

 dp0  r

d 2



1d 3 sin k  k d k
( p 2  2 pq  m2 )
0

dr 

Sử dụng công thức:

2


 (sin )

2 n 1

(cos ) 2 m1 d 

0

đặt m 

1
1
, lưu ý rằng ( )   thì:
2
2
k 1
)
k
2
0 (sin  ) d   k  2
(
)
2



(

17


1 (n)(m)
2  ( n  m)

(2.3.18)


Do đó:

( d 1)
2





2
r d 2 dr
I d (q ) 
 dp0 0 p 2  r 2  2 pq  m2 
d  1 
 0

(
)
2

Tích phân này bất biến đối với phép biến đổi Lorent nên ta sẽ tính nó
trong hệ qui chiếu q  (m,0) . Khi đó 2 p.q  2mp0
Thực hiện phép biến đổi biến số: p,  p  q

Dẫn tới p0'  q 2  p02  2mp0 .
Ta có:
( d 1)
2





2
r d 2 dr
'
I d (q) 
 dp0 0  p0'2  r 2  (q 2  m2 )   (2.3.19)
d  1 


(
)
2

Hàm beta Euler được định nghĩa như sau:


 ( x ) ( y )
B ( x, y ) 
 2 dtt 2 x1 (1  t 2 )  x y (đúng với Rex >0, Rey <0)
( x  y )
0
Đặt : x 


1 
1 
s
, y  
,t 
2
2
M

Ta có:
1 
1 

(
)

(


)
s
2
2
ds

0 (s 2  m2 ) 2(M 2 ) (1 )/2 ( )






(2.3.20)

Thay (2.3.20) vào (2.3.19) với β=d-2, M 2   p0'2  q2  m2 ta thu được:

I d (q) = (1)   ( d 1)/2

d 1
)
dp0'
2
 (q 2  m2  p0'2 ) ( d 1)/2
( )


( 

= (1)2 ( d 1)/2  ( d 1)/2

d 1

dp0'
2 
 '2 2 2  (d 1)/2
( )
  p0  ( q  m ) 




( 

18


Để tính tích phân này ta áp dụng (2.3.19) một lần nữa và thu được:
d
(  )
2
I d (q) = i
( )
d
2

1
 (q  m ) 
2

d
(  )
2
= (1) i
( )

2

d
2




d
2

1


(q 2  m2 )

( 2.3.21)

d
2

Do đó từ (2.3.18):
d

(


)
d p
2
 ( p 2  2 pq  m2 )  (1) ( )
d
2

d

1


(2.3.22)

d
2 2

 q  m 
2

Lấy đạo hàm 2 vế của (2.3.22) theo q  ta có:
d

(


)
2 p
d
d
2
(  )
  d p 2
= (1) i
2  1
( )
2
( p  2 pq  m )
d
2


d
2

2 q
d
2   2 1

 q  m 
2

Sử dụng công thức:  (  )  (   1) cho ∝ + 1 → ∝ ta thu được:
d
d p

p

1

( p 2  2 pq  m2 )

 (1)

d
2

d
(  )
2
i
( )

d
2

q


(q  m )
2

2

d
2

(2.3.23)

Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế (2.3.23) theo q  , ta có:

d

d

p

p p
2 

( p  2 pq  m )
2


 (1)

d
2

d
2

i
( )

1


(q  m )
2

2

d
2



d
1
d 

  q p (  )  g  (q 2  m2 )(  1  )  (2.3.24)
2 2

2 

Rút gọn ta có:

19


d

d

p

d
2

p
i
 (1)
2 
( p  2 pq  m )
( )
d
2

2

2

1



(q  m )
2

2

d
2



d
d
d 

  q 2(  )  (q 2  m2 )(  1  )  (2.3.25)
2
2
2 

2.3.2. Hàm Gamma.
Ta sẽ chứng minh rằng:

(  n   ) 
trong đó:  1 (n  1)  1 

(1)n  1




(
n

1)

0(

)
1

n!  

1
1
 ...   
2
n

(2.3.26)
(2.3.27)

và γ là hằng số Euler – Mascheroni
γ= lim(1 
n

1
1
 ...   ln n)
2

n

=0.5772157

(2.3.28)
(2.3.29)

Ta sẽ áp dụng công thức:
z( z )  ( z  1)

(2.3.30)

d ln ( z ) ' ( z )
 1( z) 

dz
( z )

(2.3.31)

1
z
 ze z  n1 (1  )e z / n
( z )
n

(2.3.32)

Ta có (2.3.31) là định nghĩa của  1 ; (2.3.32) là biểu diễn Weierstrass
của Γ (z), từ (2.3.32) ta có:


z z

 ln ( z )  ln z   z   ln(1  )  
r r
r 1 

d
1
 1 1 1
ln ( z )      
 
Suy ra:
dz
z
r
r 1 1  z r

=


1
1
1
   (
 )
z
r
r 1 z  r


20


Do đó từ (2.3.30) ta có:

1  1
1
 1 ( z )      ( 
)
z r 1 r r  z
Khi z = n và là số nguyên thì:
n 1

1
r 1 r

 1 (n)     ;  1 (1)  
Thực hiện khai triển Taylor   1
Γ ( 1+ε) = (1)   r ' (1)  0( 2 )
= 1  (1) 1 (1)  0( 2 )
= 1   0( 2 )
Áp dụng hằng số tương tác mạnh  s  SU ( N ) vào trong hàm Γ. Trong
nhóm SU (N) ta có:

dg 2
g 4 11
2
1



(
C

C

Crs )

adj
si
dt 2
8 2 3
3 i
6
trong đó Cadj  N , Csi , Crs là chỉ số Dykin ứng với biểu diễn chính quy là r,s:

Tr (TrATrB )  Cr AB , Cr s  drCs  dsCr
Một số định nghĩa thường gặp:

 (T

) (TRa )cd  (TR2 )bd  CR bd

a
R bc

a ,c

Với CR :

+N khi R=A biểu diễn chính qui.

N 2 1
+
khi R=F biểu diễn cơ sở.
2N

 (T

) (TRb )cd  TRaTRb   TR bd

a
R dc

crd

Với TR =

+ N khi R=A biểu diễn chính quy.
+

1
khi R=F biểu diễn cơ sở.
2

21


Trong QCD ta có:

dg 2
g 4 11

2 1 1

  2  N  (  ) Nq 
2
dt
8  3
3 2 2

trong đó N q là số quark, N=3

g3
2
Do vậy:  ( g )  
(11  Nq )
2
(4 )
3
Trong đó N q là số fermion vì:

g ' ( g , t )
g 3 11N 2

(
 N q ),
t
(4 )2 3
3
1 g '2 ( g , t )  g 4 11N 2

(

 N q ),
2
t
(4 )2 3
3
dg '2
2 11N 2


(
 N q )dt ,
g4
(4 )2 3
3
1
2 11N 2

(
 N q )t  c
'2
g
(4 ) 2 3
3

Do đó từ (2.3.31) ta có:
Γ (ε) =

1




(1   )

1
=    0( )


Tiếp tục áp dụng (2.3.32) ta có:
Γ (-1 +ε) =

1
( )
1 

1

= (1     2  ...)     0( ) 


1

=    1    0( )  .



22

(2.3.33)