Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn ThS.Nguyễn Huy Thảo
người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian thực hiện khóa
luận tốt nghiệp này.
Đồng thời em cũng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 cùng các bạn đã tạo điều kiện thuận lợi cho
em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tuy nhiên, đây lần đầu tiên em nghiên cứu một đề tài khoa học nên
không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong các thầy cô và các bạn đóng góp
ý kiến để đề tài của em được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm
2012
Sinh viên
Hà Thị Xuân

Lời cam đoan
1


Em xin cam đoan đề tài:
“Phân tích các đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  ”
1. Đây là đề tài do bản thân em nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của Th.S
Nguyễn Huy Thảo, khoa Vật lý - trường ĐHSP Hà Nội 2.
2. Đề tài này không sao chép từ bất kì một tài liệu có sẵn nào.
3. Kết quả nghiên cứu không trùng với tác giả nào khác.
Hà Nội, ngày 10 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Hà Thị Xuân

MỤC LỤC

Trang
Lời cảm ơn

2


Lời cam đoan

PHẦN I: MỞ ĐẦU ........................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ............................................................................................ 1
2. Phương pháp nghiên cứu................................................................................. 2
3. Đối tượng nghiên cứu...................................................................................... 2
4. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................. 2
5. Cấu trúc khóa luận .......................................................................................... 2

PHẦN II: NỘI DUNG ........................................................................3
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở ................................................................... 3
1.1 Nhóm đối xứng SU(2) ................................................................................... 3
1.2 Nhóm biến đổi SU(2) .................................................................................... 3
1.3 Các đa tuyến (Multiplets) .............................................................................. 4
1.4 Các phản đa tuyến (Antimultiplets) .............................................................. 5
1.5 Các đa tuyến SU(2) ....................................................................................... 6
1.6 Nhóm U(1) .................................................................................................... 9
1.7 Nhóm đối xứng SU(3) ................................................................................... 9
1.8 Nhóm đối xứng SU(N) .................................................................................. 14
1.9 Bảng Young................................................................................................... 17
1.9.1 Khai triển tích các biểu diễn thành tổng ................................................ 22
1.9.2 Bảng Young cho biểu diễn liên hợp (Conjugate representations) ......... 24
Chương 2. Phân tích các đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  ........... 26
2.1. Nhóm con SU  M   SU  N  U 1 của nhóm SU  M  N  ...................... 26

2.1.1 Định nghĩa ............................................................................................... 26
2.1.2 Biểu diễn bất khả quy của nhóm SU  M  N  ....................................... 26

3


2.2. Một số ví dụ cụ thể ....................................................................................... 26
2.2.1 Các đa tuyến của nhóm SU  3  SU  2 U 1Y  SU  5 trong mô
hình thống nhất lớn ............................................................................................. 27
2.2.2 Các đa tuyến của nhóm SU  3  SU  2 isospin U 1Y trong mô hình ba
quark .................................................................................................................... 31
2.2.3 Các đa tuyến của nhóm SU  3C  SU  3 L U 1 N  SU  6 trong
lý thuyết thống nhất lớn ...................................................................................... 41
2.2.4 Nhân các đa tuyến có tích U 1 X ......................................................... 43

PHẦN III: KẾT LUẬN ......................................................................45
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................46

PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết
vật lý. Dựa trên nền tảng là các mô hình vật lý, các nhà khoa học vật lý xây
dựng các thuyết vật lý.

4


Thuyết vật lý là sự biểu diễn tổng quát nhất của con người trong một lĩnh
vực, một phạm vi nhất định. Dựa trên mô hình vật lý tưởng tượng, các nhà vật
lý lý thuyết bằng phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học đã đề

ra một hệ thống các quy tắc, các định luật, các nguyên lý vật lý dùng làm cơ
sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tạo ra khả năng tìm
hiểu, khám phá tác động hiệu quả vào đời sống thực tiễn.
Các nhà khoa học đã nghiên cứu ngành khoa học vật lý hạt cơ bản nhằm
giải quyết câu hỏi: thế giới vật chất của chúng ta xây dựng từ những thành
phần cơ bản nào, những quy luật của chúng và được xuất phát ra sao? Thời
tiền cổ con người cho rằng: thế giới của chúng ta được xây dựng từ đất, nước,
không khí và lửa. Sau này những yếu tố đó được thay bằng phân tử, nguyên
tử… Ngày nay, chúng ta biết đến các hạt cơ bản gồm: các quark, các lepton
như e,  e ,  ,   ,  ,  … chúng là những thành phần cơ bản cấu tạo nên vật
chất của chúng ta.
Một trong những nội dung cơ sở của vật lý hạt cơ bản cần được tìm hiểu
là" Phân tích các đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  ". Chúng ta có
thể tìm được các đa tuyến của nhóm đối xứng SU (2) và nhóm đối xứng SU (3) ,
tuy nhiên đối với nhóm SU (M )  SU ( N )  SU (M  N ) việc tìm các đa tuyến
của chúng trở nên gặp khó khăn. Vì vậy, tôi lựa chọn đề tài " Phân tích các đa
tuyến SU ( M )  SU ( N )  SU ( M  N ) " với mục đích xây dựng và phân tích
được các đa tuyến SU ( M )  SU ( N )  SU ( M  N ) trong các mô hình, mà các
nhà bác học đã đưa ra như: mô hình thống nhất lớn, mô hình quark Gell-Mann
và để hiểu thêm các vấn đề liên quan đến lý thuyết trường và hạt cơ bản nói
riêng, và chuyên ngành vật lý lý thuyết nói chung.
2. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp của vật lý lý thuyết.
Phương pháp đọc và nghiên cứu tài liệu.
5


3. Đối tượng nghiên cứu
Các đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  .
4. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

Phân tích các đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  .
5. Cấu trúc khóa luận
Chương 1. Một số kiến thức cơ sở.
Chương 2. Phân tích các đa tuyến SU  M   SU  N   SU  M  N  .

PHẦN II: NỘI DUNG
Chương 1: Một số kiến thức cơ sở
1.1 Nhóm đối xứng SU(2)
Định nghĩa: tập hợp tất cả các ma trận 2x2, Unita, có định thức bằng 1
thỏa mãn các tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(2).
Tính chất của nhóm gồm:
6


+ Tính kín: a, b  G ⟹ a.b = c  G
+ Tính kết hợp: (a.b).c = a.(b.c)
+  phần tử đơn vị a.e = a  a  G
+  phần tử nghịch đảo

 aG

gg   I ,

det g = 1

Bất kì một phần tử nào của nhóm SU(2) đều có thể viết dưới dạng
g    e

i


 a

a
2

e

ia

a
2

a = 1, 2, 3

(1.1)

Ở đây chỉ số lặp lại được hiểu là lấy tổng theo chúng.
Trong đó ζa là ma trận Pauli thỏa mãn hệ thức giao hoán
c
 a  b 
,

i

,
abc
 2 2 
2




(1.2)

với ε123 = 1 và hoàn toàn phản đối xứng
Hằng số εabc gọi là hằng số cấu trúc của nhóm SU(2). Dạng tường minh của
ma trận Pauli như sau:
0

1  
1

1

0

i 

0

0

2  
i

1 0 

 0 1

3  


1.2 Nhóm biến đổi SU(2)

Các biến đổi SU(2) với tham số thực    có dạng:

U    e

i

 a I a
a

 eia I a

(1.3)

Trong đó Ia là ma trận 2x2, ωa là tham số thực cô cùng bé
Điều kiện để khai triển thành chuỗi Furiê.
Đặt ia I a  x và khai triển quanh một vị trí rất nhỏ và dừng lại ở số hạng bậc
nhất

U    I  ia I a  ...

U     eia Ia  I  ia I a  ...


Từ điều kiện Unita UU   I

7



  I  ia I a  ...  I  ia I a  ...  I  I  ia I a  ia I a  a2 I a I a  ...  I

Vì ωa (a = 1, 2, 3) là các vô cùng bé nên ta bỏ qua a so với ωa
2

Do đó: UU   I  ia  I a  I a   I  ia  I a  I a   0  I a  I a

(1.4)

Do vậy Ia là hermit
Tr ln A
=e

Ta có:

Tr ln e
= e

Nên

ia I a

Tr ln  I ia I a ...

e

Tria I a 

e


Vì ωa (a = 1, 2, 3) là các vô cùng bé nên
Từ điều kiện

= 1 ta có:

Tria I a 

e

 1  Tr ia I a   1  iaTr I a   0  Tr I a   0

(1.5)

2
Nhóm đối xứng SU(2) có m = 2 -1 = 3 tham số thực độc lập.

1.3 Các đa tuyến
Các định nghĩa đa tuyến và phản đa tuyến là chung cho tất cả các nhóm.
Nhóm SU(2) chỉ là một trường hợp cụ thể.
Định nghĩa đa tuyến:
Giả sử ta có p hạt nào đó, chúng tứng ứng với n toán tử trường ψi(x) (i =

1, p ). Giả sử rằng dưới tác động của nhóm biến đổi SU(2) nó biến đổi như
sau:
 i  x   i  x   U i  x U 1  ei t   x i
a a

(1.6)

Trong đó tham số biến đổi ω thực, ta (a = 1, 2, 3) là ma trận pxp thỏa mãn

điều kiện: ta  ta , ta , tb   i abc tc
Ta nói rằng p hạt này lập thành một đa tuyến( biểu diễn ) của nhóm đối xứng
SU(2).
Điều kiện để khai triển chuỗi Furiê: Đặt ia I a  x và khai triển quanh vị
trí rất nhỏ, dừng lại ở số hạng thứ nhất ta được:
U  I  ia I a  ...
8


U 1  I  ia I a  ...

Từ (1.6) ta có: Vế phải =  I  ia I a  ... i  x  I  ia I a  ...
=  i  x   ia i  x  I a  ia I a i  x   a2 I a i  x  I a  ...
=  i  x   ia [I a i  x   i  x  I a ]+... =  i  x   ia [I a , i  x  ]+...
Vế trái  ei t  i  x i   I  iata  ...  x i   i  x   iata i  x 
a a

Do đó:  i  x   ia  I a , i  x    ...   i  x   iata i  x   ...
  I a , i  x    ta i  x 

Trong đó Ia như toán tử spin đồng vị, ta là các ma trận pxp
 I a , i  x    (ta )ij j  x 

Lấy Hermite ta được:  I a , i  x      j  x  (ta )ij

(1.7)
(1.8)

Chú ý rằng để định vị các yếu tố ma trận chỉ số hàng được đánh ở dưới,
còn chỉ số cột được đánh ở trên.

1.4 Các phản đa tuyến
Giả sử p-tuyến của nhóm G được mô tả bởi một hàm  i  x  , i = 1, 2, …p.
Phản tuyến tương ứng ký hiệu là p là hàm kết hợp với  i  x  tạo thành một
bất biến. Do vậy phản đa tuyến biến đổi ngược lại với đa tuyến. Nếu đa tuyến
p ứng với hàm có chỉ số dưới  i thì phản đa tuyến p được mô tả bởi hàm có
i
i

i
chỉ số trên  (  i ) , và như vậy pp    i  constant .

Phản đa tuyến (dạng cột) được xác định là tổ hợp của các hàm mà cùng
với hàm của đa tuyến tương ứng tạo thành bất biến theo cách hoàn toàn phản
đối xứng.
1.5 Các đa tuyến SU(2)

9


Giả sử có p hạt mà hàm trường tương ứng  i ( i = 1, p ) biến đổi như sau
dưới tác dụng của nhóm biến đổi SU(2)
 i  x   i  x   U i  x U 1  ei t   x  i
a a

Trong đó ta (a = 1, 2, 3) là ma trận pxp thỏa mãn điều kiện:
ta  ta , ta , tb   i abc tc

Ta nói rằng p hạt này lập thành một đa tuyến (biểu diễn) của nhóm đối xứng
SU(2).
Từ U i  x U 1  ei t  i  x i

a a

eia Ia i  x  eia I a  eiata i  x 
i

 I  ia I a  ... i  x  I  ia I a  ...   I  iata  ...  x i
 i  x   ia  I a , i  x    ...   i  x   iata i  x   ...
j

 I a , i  x  
  (ta )i 

j

 x

Lấy Hermite ta được:  I a , i  x      j  x  (ta )ij
a. Chọn ta = 0 ⟹

= 1 thì  i  x   i  x    i  x  .

Như vậy ta có một hạt hay là một đơn tuyến. Rõ ràng rằng đơn tuyến
thỏa mãn tính chất thực. Đơn tuyến của nhóm bất biến dưới biến đổi của
nhóm đó và có ma trận biểu diễn bằng không.
b. Chọn ta =

a
2

trong đó ta là ma trận pxp, ζa là ma trận 2x2, số hạt bằng chỉ


số của nhóm do vậy có hai hạt  1 , 2  lập thành một biểu diễn cơ sở của nhóm
đối xứng SU(2) nếu hàm trường của nó biến đổi như sau:
 ia 2a

1

 i  x    i  x   U i  x U  e
  x 

i
 
 I a , i  x      a   j  x 
 2 i
j

10

(i= 1, 2)


Hai hạt proton p và nơtron n lập thành một biểu diễn cơ sở của nhóm đối
xứng SU(2) nếu hàm trường tương ứng của chúng là:
 p 1

 n  2

 n   2

 p   1


Ta có:
1 1
1 2
1 
 3 
1   3 
2   3 
           .1   .0   1
2
2
 2 j
 2 1
 2 2 2
1

 I 3 ,   

1

j

1

1

Vậy hình chiếu spin đồng vị của p lên một trục bằng

1
2


1
1
1
 
 
 
 I 3 , 2     j  3    1  3   2  3    1.0   2 .  1    2
2
2
 2 j
 2 1
 2 2 2
2

2

2

Vậy hình chiếu spin đồng vị của n lên một trục bằng -

1
2

c. Chọn (ta)bc = -iεabc
 i a11

ta   i a 21
 i
 a 31


i a12
i a 22
i a 32

i a13 

i a 23 
i a 33 

 i111 i112

t1   i121 i122
 i
 131 i132
 i 211 i 212

t2   i 221 i 222
 i
 231 i 232

i113   0 0 0 
 

i123    0 0 i 
i133   0 i 0 

i 213   0 0 i 
 


i 223    0 0 0 
i 233   i 0 0 

 i 311 i 312 i 313   0 i 0 

 

t3   i 321 i 322 i 323    i 0 0 
 i
 

 331 i 332 i 333   0 0 0 
Ta thấy ta là ma trận 3x3 do đó có ba hạt, số hạt bằng số chiều của nhóm
nên ba hạt này lập thành một biểu diễn chính quy của nhóm đối xứng SU(2)
 I a , i  x     ta i  j  x 
j

11


 I a , i  x      j  x  ta  j
i

Ba hạt  - meson (   ,  0 ,   ) lập thành một biểu diễn chính quy của nhóm
SU(2) nếu hàm trường tương ứng là:
 


1
 1  i 2 

2

 


1
 1  i 2 
2

 

i

Đối với  :  I 3 ,      j  t3  j

0

1
3
2

  





1
 1  2 
2


1
1
1


 I 3 ,     I 3 ,
 1  2    I3 , 1   i  I3 , 2 
2
2
2




1  1 1
i
1
1
2
2
2
  t3 1  2  t3 2  3  t3 3    1  t3 1  2  t3 2  3  t3 3 


2
2




1
i
1
i 2  
i 1  
 1  i 2   1. 



2
2
2

Vậy hình chiếu spin đồng vị của  bằng 1.

Bằng cách tính tương tự ta được: Hình chiếu spin đồng vị của  bằng -

0
1và hình chiếu spin đồng vị của  bằng 0.

1.6 Nhóm U(1)
Nhóm U(1) đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết hạt cơ bản.
Nhóm U(1) là nhóm của các biến đổi pha (phase transformations ).
Nếu Xa là vi tử của U(1) thì f abc  0 đối với tất cả b và c
Với đa tuyến của trường vật chất 1  x  ,...n  x   trong nhóm nào đó. Khi
đó vi tử của U(1) được biểu diễn bằng ma trận chéo n×n với trị riêng là tích
U(1) của trường vật chất

12



 1   e iQ1
  
 2   0
 .   .
 
 .   .
 .   .
  
 n   .

0
e

0
0
.
.
.
.

 iQ2

.
.
.
.

.
.   1 

 
.
.   2 
.
.  . 
 
.
.  . 
.
.  . 
 
. e iQn   n 

.
.
.
.
.
.

(1.9)

Công thức trên có thể được viết ngắn gọn như sau:
  x   U  x 

(1.10)

U  eiQ

(1.11)


Không có hạn chế nào trên các tích Q1, . . . , Qn
1.7 Nhóm đối xứng SU(3)
1.7.1 Định nghĩa nhóm đối xứng SU(3)
Đến năm 1960 người ta mới mở rộng từ SU(2) thành SU(3).
Định nghĩa: Tập hợp các ma trận 3×3, Unita, có định thức bằng một thỏa
mãn các tính chất nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(3).
det g  1

gg   I ,

Bất kỳ một phần tử nào của SU(3) đều có thể biểu diễn dưới dạng:
 g11 g12 g13 


g  SU (3) , g   g 21 g 22 g 23 
g

 31 g32 g33 

g    e

i



a 2a
a

e


ia

a
2

,

a  1, 2,3,...8

Các ma trận a phải thỏa mãn điều kiện:
Tra  0

a  a ,

Tr a : là tổng phần tử trên đường chéo chính của ma trận.

Thật vậy: điều kiện a  a có được do xuất phát từ tính chất Unita gg   I
Ta có:
Xét với
nhất:

g e

ia

a
2

,




g e

 ia

a
2

là các vô cùng bé ta khai triển Furie hàm mũ đến số hạng bậc
g  I  ia

a
2

,

13


g   I  ia

a

,

2

 

 


 

gg    I  ia a   I  ia a   I  ia a  ia a  a2 a a
2 
2 
2
2
2 2


là các vô cùng bé nên ta có thể bỏ qua số hạng

Vì

.
so với

 a a 


gg

I

I

i



,
  I  a  a .
a
2 
 2

Điều kiện Tr(
det g  e

Tr ln g

) = 0 được suy ra từ tính chất detg = 1 ta có:

e


ia a
2

Tr ln e

  
Tr ia a 
2


e


  
 1  Tr ia a 
2


 
 


 
 1  Tr ia a   1  Tr ia a   0  iaTr  a   0  Tr a  0
2
2


2

Do vậy ta có thể chọn a (a  1,8) là các ma trận vuông hạng ba bất kỳ thỏa
   
mãn hai điều kiện:  a a

Tr a  0

Để đơn giản, ta chọn a (a  1,8) là các ma trận Gell-Mann
0 1 0
1   1 0 0 
0 0 0




 0 i 0 
2   i 0 0 
 0 0 0



0 0 1
4   0 0 0 
1 0 0



 0 0 i 
5   0 0 0 
i 0 0 



 1 0 0
3   0 1 0 
0 0 0


0 0 0 
7   0 0 i 
i 0 0 



1 0 0 

1 
8   0 1 0 
3

 0 0 2 

Các ma trận a thỏa mãn điều kiện giao hoán:
c
.
2

 a b 
 2 , 2 =


14

(1.12)


Trong đó

là hằng số cấu trúc nhóm SU(3) hoàn toàn phản đối xứng theo

ba chỉ số a, b, c.
Đồng thời các vi tử

thỏa mãn hệ thức phản giao hoán:

c 1

 a a 
 ,   d abc   ab .
2 2
2 2

(1.13)

d abc là hằng số hoàn toàn đối xứng theo ba chỉ số a, b, c, nghĩa là ba chỉ số a,
b, c hoàn toàn tương đương nhau, d abc không đổi dấu khi hoán vị hai trong ba
chỉ số a, b, c
0 nếu a b
 ab  
1 nếu a = b

Ta hãy đi tìm hằng số cấu trúc nhóm
Dùng tính chất

và

ta tính được

và

Cụ thể: ta nhân hai vế của (1.12) với λc rồi lấy Trace hai vế ta được:
=i
Tr

,
= Tr


Ta có Tr( λc.λc )= 2δcc = 2.1=2 ⟹ Tr

=i

.

Tr

=i

.

Tr

(1.14)

Tính toán cuối cùng ta được:
,

Tương tự tính

. Nhân hai vế của (1.13) với λc rồi lấy trace hai vế ta được:
,
.

Tr

Ta có Tr( λc.λc )= 2δcc = 2.1=1, Tr( λc ) = 0. Do đó ta được:
.


Tr

15

(1.15)


Tính toán cuối cùng ta được:

,
,
.

Các hằng số không được viết ở đây thì bằng 0.
1.7.2 Nhóm biến đổi SU(3)
Đó là nhóm toán tử Unita phụ thuộc vào 8 thông số

U    eia M a
Trong đó

a  1,8

là vi tử của nhóm biến đổi thỏa mãn điều kiện:
.

Theo tính chất Unita:

.

⟹


Từ detg = 1 ⟹ Tr
Thì nhóm biến đổi này gọi là nhóm biến đổi SU(3)
1.7.3 Đa tuyến SU(3)
Có n hạt mà các toán tử trường ψi ( i =

) biến đổi theo quy luật sau

dưới tác dụng của nhóm đối xứng SU(3):
 i  i  U iU 1   ei   
a a

i

Trong đó

 a  1,8

(1.16)

là các ma trận n×n thỏa mãn các điều kiện:
 a   a

Tr = 0

là hằng số cấu trúc của nhóm SU(3).
Khi đó ta nói ψi ( i =

) là các hàm trường mô tả trạng thái của n hạt


lập thành một đa tuyến n chiều của nhóm đối xứng SU(3).
Khi
một ta được:

là vô cùng bé, khai triển Furiê và lấy đến số hạng gần đúng bậc
U    eia M a  I  ia M a  ...
U 1    eia M a  I  ia M a  ...


16


eia a  I  ia a  ...

Thế vào biểu thức (1.16) ta được:
U iU 1   I  ia M a  ... i  I  ia M a  ...  ( I  ia a  ...)i

U iU 1   I  ia M a  ... i  I  ia M a  ...  ( I  ia a  ...)i

Vì  a là các vô cùng bé nên ta bỏ qua a2 so với  a
⟹  i  ia  M a , i   ...   i  ia a i  ...

 M a , i     a ij  j

(1.17)

Lấy Hermit hai vế của (1.17) ta được:  M a , i     j ( a )ij
Lưu ý: Các vi tử M1, M2, M3 liên hệ với nhau bởi các hệ thức:
 M i , M j   iijk M k


i, j, k = 1, 2, 3.

ξijk là hằng số cấu trúc của nhóm SU(2) cho nên Mi (i= 1, 2, 3) được

Vì

đồng nhất với toán tử spin đồng vị M3 là hình chiếu của toán tử spin đồng vị
lên một trục.
Mặt khác ta tính được:
= 0,

,

.

Vì
Tổng quát

=0(i=

) tức là Mi và M8 đồng thời xác định,

trong đối xứng SU(2) thì spin đồng vị và siêu tích đồng thời xác định mà Mi (
i=

) là các toán tử spin đồng vị nên M8 có thể đồng nhất với toán tử siêu

tích Y.
C = const


M8 = C.Y

a. Chọn

trong đó

là ma trận 3×3. Do vậy có ba hạt lập

thành một biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng SU(3) nếu hàm trường của nó
biến đổi như sau:

17


 ia 2a 
 i   i  U iU   e


i
1

i  1,3 .


 M a , i     a   j ,
 2 i
j

Lấy Hermit ta được  M a , i     j 


a 

i


 2 j

Ba hạt này là ba hạt quark có các hàm trường là: u = q1, d = q2, s = q3
b. Chọn

(

) mà

Ta thấy số hạt bằng số chiều của nhóm gọi là biểu diễn chính quy
Có tám hạt lập thành một biểu diễn chính quy của nhóm SU(3) nếu hàm
trường của nó biến đổi như sau:  i  i  U iU 1   ei F  i
a a

 M a , i     Fa ij  j

 j  1,8
(1.18)

1.8 Nhóm đối xứng SU(N)
1.8.1 Định nghĩa
Nhóm đối xứng SU(n) là tập hợp tất cả các ma trận vuông hạng n,Unita,
có định thức bằng đơn vị.
Ký hiệu mỗi phần tử của nhóm đối xứng SU(n) là U(ξ1, ξ2, . . . ξm) với ξ1, ξ2, .
. . ξm là các tham số thực. Như vậy nhóm đối xứng SU(n) có m tham số thực

U 1 ,  2 ,... m   e

i

 i  i
i

i 
= e i i (i = 1, m )

Chỉ số lặp lại được hiểu là lấy tổng theo chúng.
Xét trường hợp ξi ( i = 1, m ) là các vô cùng bé ta có thể khai triển Furiê
hàm e mũ đến số hạng bậc nhất

 x  0  f (0)  ...   x  0  f ( n ) (0)  ...
x0
f ( x)  f (0) 
f (0) 
1!
2!
n!
2

n

Ta có: U 1 ,  2 ,... m   ei   I  ii i  ...
i i

18



Trong đó I là ma trận đơn vị ( ma trận vuông hạng n ), χi là ma trận vuông
hạng n.
Theo tính chất Unita ta có: UU   I
Vì: U  ei   I  ii i  ...
i

i

Nên U   ei   I  ii i  ...
i i

Do đó: UU   (I  ii i  ...)( I  ii i  ...)  I  ii i  ii i  i2i i  ...
Vì ξi ( i = 1, m ) là các vô cùng bé nên ta bỏ qua i so với ξi
2

UU   I  ii ( i  i )  I  ii ( i  i )  0  i  i  0

(1.19)

Mặt khác det U 1 , 2 ,...m   1
Tr ln A
Ta có det A  e

Trace (Tr) là vết của ma trận nghĩa là tổng các phần tử trên đường chéo chính
Mà U 1 ,  2 ,... m   ei 

i i

Tr ln e

Nên det U = e

ii i

 eTr ln( I ii i ...)

Trong đó I là ma trận đơn vị, ξi là một vô cùng bé nên det U = e

Tr{ii i }

Tr{i  }
Vì ξi ( i = 1, m ) là các vô cùng bé nên e i i =1 ⟹ 1 + Tr{ ii  i } = 1⟹

Tr{ i i  i } = 0 ⟹ iξiTr{χi} = 0 ⟹ Tr{χi} = 0

(1.20)
2

Ta thấy mỗi ma trận vuông (n,n) cấp n sẽ có n phần tử phức tức là sẽ có
tham số thực.

2
Từ điều kiện (1.19) i  i ta thấy có n tham số thực phụ thuộc. Như

2
2
2
2
vậy có n +1 tham số phụ thuộc, do đó có m =2 n - ( n +1) = n -1 tham số


độc lập.
2
Vậy nhóm đối xứng SU(n) có m = n -1 tham số thực độc lập.

Từ đây ta thấy:
2
+ Nhóm đối xứng SU(2) có m = 2 -1 = 3 tham số thực độc lập.

19


2
+ Nhóm đối xứng SU(3) có m = 3 -1 = 8 tham số thực độc lập.

1.8.2 Các đa tuyến của nhóm đối xứng SU(N)
+ Ta đưa vào khái niệm đa tuyến cho một nhóm Lie G tổng quát.
2
+ Giả sử ta có một nhóm đối xứng G có m = n -1 tham số thực độc lập.

Khi đó các vi tử ηa ( a = 1, m ) của nó thỏa mãn hệ thức giao hoán
[ ηa , ηb ] = i
abc

trong đó a, b, c = 1, m ; i là phần tử ảo

ηc,

là hằng số của nhóm đối xứng G tổng quát
Giả sử ta có p hạt được mô tả bởi hàm trường tương ứng ψi (i = 1, p ) biến


đổi theo quy luật như sau dưới tác dụng của nhóm biến đổi
G i (  )  i(  )  UG ( ) i ( x)UG1 ()  [eia M a ( x)]i

(1.21)

Trong đó ωa là tham số thực, Ma ( a = 1, p ) là ma trận vuông cấp p thỏa mãn
các điều kiện:
M a  M a , [

]=i

Mc

với

,

Ta nói rằng p hạt này lập thành một biểu diễn của nhóm đối xứng G.
+ Nếu số chiều của ma trận Ma bằng số chiều của nhóm đối xứng G tức
là p = m thì ta nói rằng hàm trường ψi ( i = 1, p ) thực hiện biểu diễn chính quy
của nhóm đối xứng G.
+ Nếu số chiều của ma trận Ma bằng chỉ số của nhóm đối xứng G tức là
p = n thì ta nói rằng hàm trường ψi ( i = 1, p ) thực hiện biểu diễn cơ sở của
nhóm G.
1.9.1 Bảng Young ( Young tableaux )
Trong lý thuyết hạt cơ bản ta cần xác định biểu diễn bất khả quy từ tích
trực tiếp của các tensor.
Biểu diễn bất khả quy là một biểu diễn không thể quy được thành biểu
diễn có số chiều nhỏ hơn một phép biến đổi đồng dạng.


20


Phép hoán vị chỉ số trên / dưới giao hoán với phếp biến đổi nhóm
 ij  U kiUl j kl

  ji  Ul jU ki lk  U kiUl j lk

(1.22)

Nếu P12 là toán tử hoán vị giữa hai chỉ số P12 ij   ji , khi đó P12 giao hoán với
phép biến đổi nhóm
P12 ij  U kiUl j P12 kl .

Sử dụng tích chất này để tách ψij thành phần đối xứng và phản đối xứng mà
chúng là trạng thái riêng của P12
S ij 

1 ij
  ji 

2

Aij 

1 ij
 
2

ji




(1.23)

Thật vậy
P12 S ij 

1
P12  ij 
2

P12 Aij 

1
P12  ij 
2

ji

ji

  12 
  12 

ji

 ij   S ij

ji


 ij    Aij

Dễ dàng thấy rằng S ij , Aij không trộn lẫn với phép biến đổi nhóm
S ij  U kiUl j S kl , Aij  U kiU l j Akl

Điều này chứng tỏ: S ij , và Aij là biến đổi của nhóm SU(n). Bảng Young giúp
ta tìm các tensơ tối giản hạng ( rank ) . Đối tượng

biểu thị bằng

hộp với

chỉ số trong đó. Ví dụ tensơ hạng hai đối xứng theo chỉ số i, j: S ij được vẽ
i .
bằng i j , phản đối xứng Aij được vẽ bằng
j
Tensơ hạng ba hoàn toàn đối xứng theo i, j, k: Sijk là
i j k còn hoàn
i
toàn phản đối xứng Aijk là
. Tensơ với đối xứng trộn lẫn (đối xứng
j
theo i, j và phản đối xứng theo i, k )
k
(1.24)
 ij;k   ijk  jik  jki  kji
i1
21


i2


là

i
k

j

. Bảng Young tổng quát có dạng

Trong đó hàng dưới phải không dài hơn hàng trên:
và
Bảng trên ứng với tensơ
với các tính chất sau:
1. Đối xứng theo các chỉ số cùng hàng
2. Phản đối xứng theo các chỉ số cùng cột
Bảng chuẩn là bảng có chỉ số không giảm khi đi từ trái sang phải, và
luôn tăng khi đi từ trên xuống dưới.
Ví dụ: khi n =3, tensơ đối xứng trộn lẫn ( mixed-symetry-tensơ )
các bảng chuẩn sau đây
1 1
2

1 2
2

1 3
2


2 2
3

i
k

j

có

2 3
3

Bảng không chuẩn gồm
1 1
1

2 3
1

2 1
3

Bảng không chuẩn cho tensơ hoặc bị triệt tiêu theo đối xứng hóa hoặc
phản đối xứng hóa hoặc là không độc lập với bảng chuẩn. Như vậy ta có cách
dùng bảng Young để xác định số tensơ độc lập ( số lượng bảng chuẩn ) khả
dĩ. Để dễ dàng thấy, số này ứng với tensơ có k chỉ số phản đối xứng

22



k

(1.25)

Còn với tensơ có k chỉ số đối xứng là
(1.26)

k
Chú ý rằng: phản đối xứng không thể có với hơn n cột. Trong trường
hợp có n cột, ta có thể dùng

để co các chỉ số với n thành phần. Do vậy

ta chỉ việc xóa cột có n hàng.
Ta có nhận xét sau: nhóm SU(n) chứa không hơn n-1 hàng (cột có n ô
ứng với 1). Giả sử bảng Young được xác định bởi các hàng với độ dài
ta định nghĩa chênh lệch độ dài như sau:
,…

,

. Khi đó thứ nguyên của biểu diễn tối giản của

nhóm SU(n) được định nghĩa bởi số bảng chuẩn sau
             
d  1 , 2 ,...n   1  1 1  2  ... 1  n 1   1  1 2 1  2 3  ... 1  n 2 n 1 
2 
2  

2


     3  2  3  4   n 3  n  2  n 1 
 1  1 2
1 
 ... 1 
  ...
3
3
3


 


…
     ...  n 1 
 1  1 2

n 1



(1.27)

Ví dụ:

k


: k =3, n = 6, λ1 = 0, λ2 = 0, λ3 = 1, λ4 = 0, λ5 = 0.
=

23

6(6  1)(6  2) 6.5.4

3!
3!


Áp dụng (1.27) ta được
d  1  1 1  2 1  3 1  4 1  5 
        3   3  4   4  5 
 1  1 2  1  2
 1 
 1 

2 
2 
2 
2 

     3  2  3  4  3  4  5 
 1  1 2
1 
 1 

3
3

3





     3  4  2  3  4  5
 1  1 2
1 
4
4



32 43 52 6 6.5.4


2


22 33 42 5
3!


Đối với nhóm SU(2), bảng Young có mỗi một cột d  1   1  1 
Đối với nhóm SU(3), bảng Young có thể có hai hàng, nên
   
d  1 , 2   1  1 1  2  1  1 2 
2 



Theo công thức này ta có các biểu diễn bất khả quy và tensơ tương ứng của
nhóm SU(3) như sau:
1.

( 1, 0 )

= 1- 0 = 0

xi (

=0

Trong đó

,

: độ chênh lệch độ dài

: độ dài của các hàng của bảng Young
3
d 1, 0   2.  3
2

2.

=1–1=0

( 0, 0 )


=1–1=0

d  0, 0   1

3.

( 2, 0 )

= 2,

=0

d  2, 0   6

xij

4.

(3, 0)

= 3,

=0

d  3, 0   10

xijk

5.


(0, 1)

= 0,

24

=1

d  0,1  3

xi


= 0,

d  0, 2  6

6.

(0, 2)

7.

(1, 1)

= 1,

= 1 d 1,1  8  8

8.


(2, 1)

= 2,

= 1 d  2,1  15

9.

(1, 2)

10.

(0, 3)

11.

= 2 d 1, 2  15

= 1,

= 0,

=2

=3

x ij

 3


xij   xij  0 
 i 1

 3

xijk   xkjk  0 
 i 1


 3 kj

x   xk  0 
 i 1

ij
k

d  0,3  10

xij

 3 ij 
(2, 2) d  2, 2  27  27 , x   xkl  0 
 i 1

ij
kl

Bảng Young cho ta một cách thuận tiện để khai triển tích các biểu diễn

thành tổng của các biểu diễn.
1.10.1 Khai triển tích các biểu diễn thành tổng
Muốn tìm tích của hai thừa số, ta không đánh số các ô của thừa số đầu
tiên. Đối với thừa số thứ hai ta đánh số như sau:
1. Cho các chữ ví dụ a vào các ô ở hàng 1.
2. Cho các chữ ví dụ b vào các ô ở hàng hai, v. v
3. Kết quả ta có thừa số thứ hai với dạng như sau

25

a
b
c
.

a
b
c
.

a a
b b
c