LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận được nhiều
sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô và các bạn sinh viên. Em xin chân thành cảm
ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các
thầy cô đã dạy em trong suốt 4 năm học và qua đó đã giúp em hoàn thành khóa
luận này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh,
người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận
này.
Do còn nhiều hạn chế về kiến thức và thời gian nên khóa luận vẫn còn nhiều thiếu
sót. Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý, nhận xét của các thầy cô và của các
bạn để khóa luận này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên
Đỗ Thị Quỳnh Trang


LỜI CAM ĐOAN
Sau một thời gian nghiên cứu, được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của
PGS.TS Lƣu Thị Kim Thanh , em đã hoàn thành đề tài khóa luận tốt nghiệp
đúng thời hạn. Đề tài có sự kế thừa những kết quả nghiên cứu trước đó. Em xin
cam đoan đây là những kết quả nghiên cứu của mình, không trùng với các kết quả
của tác giả khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Đỗ Thị Quỳnh Trang


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
NỘI DUNG.................................................................................................. 3
Chương I: Cơ sở toán học ............................................................................ 4
1.1 Bài toán cổ điển về thời gian ngắn nhất ................................................. 4
1.2 Phiếm hàm và biến phân cấp một của phiếm hàm ................................. 5
1.3 Một số tính chất của phiếm hàm ............................................................ 8
1.4 Mở rộng .................................................................................................. 8
Chương II: Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học ................................ 11
2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển ................................ 11
2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích ............................... 18
Chương III: Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý thuyết trường ............... 26
3.1 Hàm trường và hàm Lagranger .............................................................. 26
3.2 Hàm tác dụng S ...................................................................................... 26
3.3 Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phương trình Euler – Lagranger .. 27
3.4 Ứng dụng nguyên lý tác dụng tối thiểu tìm ra định lý Noether ............. 29
3.5 Hệ quả định lý Noether .......................................................................... 33
KẾT LUẬN ................................................................................................. 36
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................... 37

3


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là môn khoa học nghiên cứu những quy luật đơn giản nhất,
tổng quát nhất của tự nhiên. Nó nghiên cứu cấu tạo và các quy luật vận động
của vật chất.
Trong thực tế đời sống, ta thấy hình như vật chỉ đi theo một con đường
duy nhất giữa điểm ra đi và điểm đến. Ví dụ đơn giản là khi ta ném một trái
bóng vào rổ chẳng hạn. Ta có thể xác định được con đường và quỹ đạo của

trái bóng bằng các định luật cổ điển. Vậy trong thế giới hạt vi mô thì sao? Giả
sử một hạt vật chất chuyển động từ A đến B thì hạt sẽ lựa chọn con đường
nào trong hàng triệu con đường nối giữa A và B? Dấu hiệu nào để ta tìm ra
con đường đó? Phải chăng hạt sẽ đi theo con đường mà đòi hỏi “ sự nỗ lực” là
ít nhất?
Nguyên lý tác dụng tối thiểu sẽ giúp chúng ta trả lời những câu hỏi
trên. Đây là nguyên lý tổng quát nhất của cơ học. Trong vật lý học, người ta
thừa nhận nguyên lý tác dụng tối thiểu như một tiên đề. Từ nguyên lý này ta
có thể rút ra các phương trình chuyển động của hệ và hàng loạt các định
nghĩa, khái niệm đặc trưng.
Chính vì những lý do trên, tôi chọn nguyên lý tác dụng tối thiểu làm đề
tài luận văn của mình. Với nội dung “ Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý
thuyết trƣờng” tôi muốn mở rộng vốn kiến thức còn hạn chế của bản thân
đồng thời giới thiệu đến các bạn sinh viên trong toàn khoa.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ hoc cổ điển, cơ học
giải tích và trong lý thuyết trường.

4


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ
sau:
- Tìm hiểu các khái niệm về phiếm hàm, biến phân, các qui tắc tính
biến phân.
- Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển.
- Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích.
- Nghiên cứu nguyên lý tác dụng tối thiểu trong lý thuyết trường.
4. Đối tƣợng nghiên cứu

Nguyên lý tác dụng tối thiểu.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp vật lý lý thuyết.

5


NỘI DUNG
Richard Feynman (1918-1988) là nhà vật lý kiệt xuất người Mỹ . Trong
những năm chiến tranh thế giới thứ II, Feynman đã tìm ra một cách tư duy rất
hiệu quả về cơ học lượng tử, nhờ đó ông đã đoạt giải Nobel năm 1965. Ông
thách thức giả thuyết cổ điển cơ bản cho rằng mỗi hạt có một lịch sử riêng
biệt. Thay vào đó, ông cho rằng các hạt di chuyển từ vị trí này đến vị trí khác
theo mọi con đường có thể có qua không - thời gian ( The universe in a
nutshell, Stephen Hawking ).

Con đường cổ điển của
một hạt
Trong đường tích phân của Feynman
một hạt có thể đi theo mọi con đường có
thể

6


CHƢƠNG I. CƠ SỞ TOÁN HỌC
1.1 Bài toán cổ điển về thời gian ngắn nhất
Năm 1696, Johan Bernoulli (1667-1784) nhà toán học Thuỵ Sĩ đã đặt
và giải bài toán sau đây, gọi là bài toán đoản thời. Một chất điểm M chuyển
động dưới tác dụng của trọng lực trên đường cong trong mặt phẳng thẳng

đứng, từ O đến A không vận tốc đầu, không ma sát. Trong tập hợp các đường
cong nối điểm O và A hãy tìm đường mà chất điểm M đi từ O đến A trong
thời gian T ngắn nhất.

x
O

M(x,y)

A(x0,y0)
y

  s , ta có
Gọi OM

v

ds
ds
 dt 
dt
v

ds  dx 2  dy 2  1  ( y ') 2 dx
y' 

dy
dx

7



Từ định luật bảo toàn cơ năng ta có v  2 gy . Do vậy
T

1
0 dt  T  2 g

x0

1  ( y ')2

0

y



dx

(1.1)

Thời gian di chuyển của M từ O đến A phụ thuộc vào việc lựa chọn
hàm y(x).Tích phân (1.1) được gọi là phiếm hàm. Bài toán đặt ra được đưa về
việc tìm hàm y=y(x) sao cho T lấy giá trị nhỏ nhất.
1.2 Phiếm hàm và biến phân cấp một của phiếm hàm
Phiếm hàm đơn giản nhất là tích phân phụ thuộc vào việc lựa chọn một
số hàm y(x) thuộc dạng:
x2


J   F  x, y( x), y '( x) dx

(1.2)

x1

Bài toán cơ bản của phép tính biến phân là tìm hàm y(x) làm cho phiếm
hàm J đạt cực trị và thoả mãn điều kiện biên :

y( x1 )  y1 , y( x2 )  y2

(1.3)

Giả sử rằng hàm y(x) là nghiệm cần tìm của bài toán biến phân. Ta sẽ
tìm các điều kiện cần mà hàm đó phải thoả mãn để phiếm hàm J đạt cực trị.
Muốn vậy, ta hãy lập hàm mới y ( x) gần với hàm y(x)

y ( x)  y( x)   ( x)
Trong đó  là một tham số bé

8

(1.4)


y
B

y2


 ( x)

y*(x)

y1
A

O

y(x)

x1

x

x2

Đường cong y=y(x) biểu diễn nghiệm cần tìm
Đường y ( x) gần với đường y(x) và có chung điểm mút A , B

 ( x1 )   ( x2 )  0

(1.5)

Thay (1.4) vào (1.2) ta sẽ có một hàm của 
x2

J ( )  
x1


( x)
' ( x)
y
 y

 
F  x, y ( x)   ( x), y '( x)   '( x)  dx






(1.6)

Do đó bài toán tìm cực trị của phiếm hàm (1.2) được đưa về xét cực trị
của hàm một biến J ( ) . Như đã biết, muốn vậy cần phải tìm giá trị của đạo
hàm

dJ
tại   0 . Ta có:
d


dJ x  F
F
    ( x) 
 '( x)  dx
d x  y
y '


2

(1.7)

1

Tích phân thứ hai của (1.7) áp dụng phương pháp tích phân từng phần
và chú ý điều kiện biên (1.5). Do đó (1.7) được viết lại như sau :

9


dJ x  F d F 

 (
)  ( x) dx
d x  y dx y ' 
2

1

Từ đây ta có :
x
 F d  F  
 dJ 



     ( x)dx  0

 d  0 x  y dx  y '  
2

(1.8)

1

( khi   0 thì y ( x)  y( x) )
Mà  ( x ) là hàm tuỳ ý nên từ (1.8) ta dẫn đến phương trình sau đây:

d  F  F

0
dx  y '  y

(1.9)

(1.9) được gọi là phương trình Euler – Lagranger
Đây là phương trình vi phân thường cấp hai. Nghiệm của nó chứa hai
hằng số tuỳ ý. Những hằng số này được xác định từ những điều kiện biên
(1.3).
Vậy là, hàm y(x) phải tìm - nghiệm của bài toán biến phân nêu trên
phải thoả mãn phương trình Euler – Lagranger (1.9). Có thể phát biểu kết quả
thu được dưới dạng khác, nếu đưa vào khái niệm biến phân cấp một của
phiếm hàm J.
Biến phân cấp một của một phiếm hàm (1.2) là đại lượng xác định bởi
biểu thức :

 dJ 


 J  

 d  0

(1.10)

Do đó (1.8) được viết lại như sau :
x2

 F d  F  
 
   ydx  0
 y dx  y '  

J  
x1

Trong đó  y được định nghĩa như sau:

10

(1.11)


 y  y ( x)  y( x)

(1.12)

Đẳng thức (1.11) chứng tỏ rằng hàm y(x) - nghiệm của bài toán biến
phân triệt tiêu biến phân cấp một của phiếm hàm J. Điều khẳng định này kéo

theo đòi hỏi (1.9)
1.3 Một số tính chất của biến phân.
1.3.1 Phép đạo hàm và biến phân là giao hoán
Ta thấy rằng biến phân của hàm bất kỳ y(x) cũng kéo theo biến phân
của đạo hàm y’(x)

 y '  y '( x)  y '( x)   y '( x)   '( x)  y '( x)   '( x)

(1.13)

 dy 
Hay      '( x)
 dx 
Mặt khác, đạo hàm đẳng thức (1.12) theo x ta có :
d
d
d
 y    y* ( x)  y ( x)    ( x)    '( x)
dx
dx
dx

Do đó :

d
dy
 y     
dx
 dx 


(1.14)
(1.15)

1.3.2 Các phép tích phân và biến phân là giao hoán
Trong (1.7) cho   0 và sau đó nhân hai vế của đẳng thức nhận được
với  và chú ý đến điêu kiện (1.12) và (1.13) ta được :
x
 F

F
 J    y 
 y '  dx    Fdx
y '
x  y
x

x2

2

1

1

x2

x2

x1


x1

J   Fdx   J    Fdx
x2

x2

x1

x1

   Fdx    Fdx

11

(1.16)


1.4 Mở rộng
Không có gì khó khăn, ta có thể mở rộng bài toán cơ bản của phép tính
biến phân cho trường hợp phiếm hàm phụ thuộc vào n hàm độc lập yi(x) và
các đạo hàm y’i(x) của chúng.
x2

J   F  x, y1 ( x), y2 ( x)... yn ( x), y1 '( x), y '2 ( x)... yn '( x)  dx

(1.17)

x1


Cũng như trong trường hợp đơn giản nhất (1.2) bài toán được đưa về
tìm cực trị của hàm J (1 ,2 ,...n ) trong đó  i là những tham số bé được đưa
vào trong biến phân của các hàm y1(x), y2(x)...yn(x) với các điểm biên giữ cố
định, nghĩa là :
y1i ( x)  yi ( x)   ii ( x)

 yi   ii ( x)

(1.18)

i  1,2...n

Trong đó i ( x) là những hàm tùy ý triệt tiêu tại các điểm x = x1 và x =
x2. Ta có biểu diễn biến phân của hàm (1.17) dưới dạng :
x
 J 
 J   i 
 


i 1
 i  0 x
n

2

i

n




x2

 F

  y

i 1 x1



i



1

n

 F

  y  y
i 1



i

i




F ' 
 yi  dx
yi'


d  F  

   yi dx
dx  yi '  

Vì yi(x) là các hàm độc lập, nên các biến phân  yi của chúng cũng độc
lập. Do đó, đẳng thức  J  0 kéo theo các hệ số của  yi cũng phải bằng 0.
Vậy là, các hàm yi(x) làm cực trị phiếm hàm (1.17) phải thỏa mãn hệ phương
trình Euler – Lagranger

d  F  F
 0, i  1,2...n


dx  yi '  yi

(1.19)

Nhận xét rằng nếu ta thay thế một cách hình thức các biến trong (1.19)

12



x  t , yi ( x)  qi (t ), yi '( x)  qi (t ) và F  L thì các phương trình
(1.19) sẽ trùng hoàn toàn với các phương trình Lagranger trước đây cho cơ hệ
chịu tác dụng của các lực thế. Điều đó chứng tỏ rằng các phương trình
Lagranger là những phương trình Euler đối với một bài toán biến phân nào đó
của cơ học.
Kết Luận
Trong chương này, chúng ta đã tìm hiểu về phiếm hàm, biến phân của
phiếm hàm, tính chất của biến phân. Đây là những kiến thức quan trọng trong
việc nghiên cứu về nguyên lý tác dụng tối thiểu.

13


CHUƠNG II. NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU
TRONG CƠ HỌC
2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển
Mỗi hạt có thể di chuyển từ vị trí này tới vị trí khác theo mọi con
đường có thể có qua không - thời gian. Tuy nhiên, trong đời thường hình như
ta chỉ thấy các vật đi theo một con đường duy nhất giữa điểm ra đi và điểm
đến.
Theo Feynman chỉ có một trong vô số con đường là quan trọng đối với
sự chuyển động của các vật vĩ mô, và đó chính là quỹ đạo xuất hiện từ các
định luật cổ điển về chuyển động của Newton.
Trong mục này, chúng ta đi tìm mối quan hệ giữa nguyên lý tác dụng
tối thiểu và các định luật Newton.
2.1.1 Đặt vấn đề
Giả sử, ta xét một chuyển động trong trường hấp dẫn, vật M chuyển
động từ A đến B trong khoảng thời gian từ t1 đến t2.


B(t2)
M

A(t1)

Trong thực tế, ta thấy rằng vật sẽ đi lên từ A và đi xuống ở B. Vậy liệu,
trong cùng một khoảng thời gian như vậy ta có thể tìm được một chuyển động
khác để vật đi từ A đến B không? Giả sử chuyển động như hình vẽ dưới đây:

14


B(t2)

A(t1)

Nếu bằng cách nào đó, ta thu được động năng và thế năng tại mọi thời
điểm dọc theo quỹ đạo và cộng tổng chúng lại, thì ta sẽ thu được một giá trị
năng lượng lớn hơn nhiều so với năng lượng của chuyển động thực tế.
Vậy dấu hiệu nào để ta có thể nhận biết được con đường thực giữa hàng
triệu con đường khác mà vật có thể đi?
2.1.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton.
Xét trường hợp một chất điểm chuyển động trong trường hấp dẫn

x

t
t1

t2


Taị thời điểm t vật có tọa độ là x

1  dx 
Động năng của vật : m  
2  dt 

2

Thế năng của vật : mgx

15


Bây giờ ở mỗi thời điểm dọc theo quỹ đạo ta lấy động năng trừ đi thế
năng và cộng tổng chúng lại:
Nghĩa là :

t2



t1

 1  dx 2

 m    mgx  dt
 2  dt 



(2.1)

Chuyển động thực là một vài dạng của đường cong. Nó là parabol nếu
như tích phân trên cho một giá trị nhất định. Nhưng cũng có thể là chuyển
động có quỹ đạo kỳ lạ hơn.
Chúng ta có thể tính được năng lượng động năng trừ thế năng và lấy
tích phân trên một con đường hoặc bất kỳ con đường khác mà ta muốn.
Nhưng con đường thực sẽ là con đường mà tích phân (2.1) là nhỏ nhất.
Giả sử, ta xét một chất điểm chuyển động tự do ( thế năng tại mọi điểm
đều bằng 0). Từ (2.1) ta thấy rằng, khi chất điểm đi từ điểm này đến điểm
khác trong một khoảng thời gian thì tổng động năng của nó là nhỏ nhất. Vì
vậy chất điểm phải chuyển động với tốc độ không đổi. Vì sao lại vậy ?.
Nếu hạt đi bằng bất kỳ cách nào khác, thì tốc độ đôi khi lớn hơn tốc độ
trung bình, khi lại nhỏ hơn. Tuy nhiên tốc độ trung bình là như nhau trong
mọi trường hợp ( khoảng cách giữa hai điểm và thời gian là không thay đổi ).
Ta có một ví dụ thực tế như sau :
Vào mỗi buổi sáng, ta bắt đầu đi từ nhà tới trường mất một khoảng thời
gian nhất định bằng ôtô. Ta có thể đi nhanh lúc ban đầu và lại đi chậm lúc gần
cuối, hay có thể chỉ đi với tốc độ không đổi, hoặc có thể đi ngược trở về nhà
rồi sau đó lại đi về phía trước. Tuy nhiên ta đều thu được tốc độ trung bình là
như nhau.
Ta đã biết, tổng các bình phương của các giá trị lệch quanh một giá trị
trung bình thì luôn lớn hơn bình phương các giá trị trung bình, nên tổng động
năng sẽ cao hơn.

16


Do vậy chất điểm phải chuyển động với tốc độ không đổi. Hay nói cách
khác tích phân là nhỏ nhất nếu tốc độ là một hằng số.

Chúng ta đưa vào một khái niệm, được gọi là tác dụng S
t2

Action  S   ( K  U )dt

(2.2)

t1

Với K và U tại cùng một thời điểm.
Với mỗi quãng đường khác nhau, ta có thể có giá trị khác nhau của tác
dụng. Vấn đề toán học là phải tìm ra những đường cong mà giá trị của tác
dụng là nhỏ nhất.
Ý tưởng của chúng ta là tưởng tượng ra một con đường đúng đắn ( con
đường thực ) và một con đương sai lầm. Bởi vậy, nếu ta tính tác dụng cho con
đường sai thì ta có giá trị này lớn hơn so với con đường thực.
Vấn đề đặt ra là : Tìm con đường thực như thế nào và nó ở đâu?
Nếu như bằng cách nào đó, ta tìm được tác dụng của hàng triệu con
đường và cố gắng đi tìm giá trị tác dụng thấp nhất. Khi ta tìm được giá trị
thấp nhất đó nghĩa là ta đã tìm được con đường thực.
Tuy nhiên, cách đó có vẻ không được khả thi. Ta có thể nhận biết được
con đường thực bằng phương pháp sau đây:
Chúng ta giả sử x(t ) là con đường thực ( con đường mà ta đang cố
gắng tìm ) và một con đường x(t) lệch so với con đường thực một giá trị rất
nhỏ mà chúng ta gọi là  (t )

17


x


x(t)

 (t )

x(t )
t

Bây giờ, ta đi tính tác dụng S của con đường x(t), và sau đó đi tìm độ
lệch giữa tác dụng S và tác dụng S của con đường thực.
Độ lệch của S và S phải bằng 0 ở các nút, nghĩa là :

Ta có:

 (t1 )  0
 (t2 )  0

(2.3)

x(t )  x(t )   (t )

(2.4)

Công thức của tác dụng S:
t2

S
t1

Và


 m  dx 2


V
(
x
)
  
 dt
2
dt





(2.5)

dx d x d


dt dt dt
2
 m  d x d 

S   

  V ( x   )  dt
t 

 2  dt dt 

t2

(2.6)

1

Ta có :

d x d  d 
 d x d   d x 



2


 


dt dt  dt 
 dt dt   dt 
2

2

d x d
dx


 2
dt dt
 dt 
2

18

2

(2.7)


( vì   1)

m dx 
d x d
K 
 m
2  dt 
dt dt
2

Do đó:

(2.8)

Với V ( x) V ( x  ) (2.9)
Mà   1 ta có thể khai triển V(x) thành chuỗi Taylor như sau :
V ( x   )  V ( x)  V '( x) 


2
2

V ''( x)  ...

(2.10)

Trong đó V’ là đạo hàm của V theo x. Bỏ qua vô cùng bé bậc hai ta có :

V ( x   )  V ( x)  V '( x)

(2.11)

Tác dụng S được viết lại :
t2

S
t1

2
d x d
 m  d x 

 V '( x)  dt
 
  V ( x)  m
dt dt
 2  dt 



(2.12)

Ta thấy hai số hạng đầu tiên :
t2


t1

 m  d x 2

 
  V ( x)   S
 2  dt 


(2.13)

Do đó :

 d x d

S  S   m
 V '( x)  dt
dt dt

t 
t
 d x d

 S  S   m

 V '( x)  dt
dt dt

t 
t2

1

2

1

Đưa vào khái niệm :  S  S  S được gọi là biến phân của S.
Ta có:

d
df
d
 f     f
dt
dt
dt

Do đó :



f

Thay f  m


d
df
dt   f    dt
dt
dt

dx
ta có :
dt

19

(2.14)


t2

t
t
dx
d  dx
 S  m  (t )    m  (t ) dt  V '( x) (t ) dt
dt
dt 
t dt 
t
t
2


2

1

1

(2.15)

1

Mà  (t1 )   (t2 )  0
Do đó :

t2

t1



F (t )  m

Ta đặt :
Khi đó:



 S   m

d2 x


 V '( x)  (t ) dt
2
dt


(2.16)

d2 x
 V '( x)
dt

(2.17)

t2

 S   F (t ) (t ) dt

(2.18)

t1

Ta luôn có tích phân sau :  F (t ) (t )dt  0

(2.19)

Ta có một hàm của thời gian bất kỳ, ta nhân nó với  (t ) và sau đó lấy
tích phân theo thời gian. Ta không quan tâm  (t ) là gì? Hàm F(t) luôn bằng
0.Chúng ta sẽ đi kiểm tra lại điều đó.
Giả sử với  (t ) ta cho nó bằng 0 ở mọi thời điểm t ngoại trừ ngay gần
một giá trị xác định

 (t )

t
t1

t2

Ở những nơi mà  (t ) = 0 ta có tích phân (2.19) luôn bằng 0. Hay tích
phân trên được viết lại như sau:

t2

 F (t ) (t )  0
t1

20

(2.20)


Mà  (t ) là bất kỳ, muốn (2.20) bằng 0 thì hàm F(t) phải bằng 0 ở mọi
thời điểm.
Trở lại công thức (2.18),  S  0 khi :

m

d2 x
 V '( x)  0
dt


(2.21)

Dễ dàng nhận thấy (2.21) chính là biểu thức của định luật 2 Newton
F= ma.
2.2 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học giải tích
2.2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với cơ hệ Holonom lý tƣởng
a. Nội dung nguyên lý
Xét cơ hệ bảo toàn chịu các liên kết Holonom lý tưởng
Giả sử, chuyển động thực của hệ được mô tả bởi các toạ độ suy rộng :

q1 (t ), q2 (t )...qn (t )
Ta đưa vào khái niệm không gian trạng thái của hệ - không gian n+1
thứ nguyên của các toạ độ suy rộng và thời gian t. Biểu diễn không gian này
trên một mặt phẳng mà trục hoành là thời gian, còn trục tung là tập hợp các
giá trị của tất cả các toạ độ suy rộng q  q(q1 , q2 ...qn ) . Khi đó mỗi điểm trên
mặt phẳng (t,q) sẽ biểu diễn trạng thái xác định của cơ hệ tại thời gian t đã
cho.
Giả sử, trong khoảng thời gian t2 – t1, cơ hệ chuyển từ trạng thái A đến
trạng thái B. Có vô số con đường để hệ chuyển trạng thái, nhưng chỉ có một
con đường thực duy nhất mà hệ sẽ đi. Các con đường còn lại là những đường
vòng. Vấn đề được đặt ra là đưa ra một tiêu chuẩn để nhận biết con đường
thực ấy.
Nguyên lý tác dụng tối thiểu ( hay nguyên lý Haminton ) sẽ trả lời câu
hỏi đó.

21


q


q(t2)

B
C

q(t1)
A

t1

O

t2

t

Nguyên lý tác dụng tối thiểu: Đối với cơ hệ Holonom chịu liên kết lý
tưởng và dưới tác dụng của các lực thế, con đường thực đưa cơ hệ từ trạng
thái A sang trạng thái B là con đường tương ứng với giá trị cực trị của hàm
tác dụng S.
t2

S   L(q, q , t )dt

(2.22)

t1

Trong đó L = T-U là hàm Lagranger. S được gọi là tác dụng theo
Haminton

Nói cách khác, với chuyển động thực của cơ hệ, biến phân cấp một của
phiêm hàm S bị triệt tiêu.
t2

Nghĩa là :  S    L(q, q, t )dt  0

(2.23)

t1

b. Ứng dụng của nguyên lý tác dụng tối thiểu.
- Lập phương trình Haminton từ nguyên lý tác dụng tối thiểu
Sử dụng định nghĩa hàm Haminton H =H(qi, pi )
n

H   pi qi  L ta có thể viết nguyên lý tác dụng tối thiểu dưới dạng :
i 1

22


n

 S     pi dqi  Hdt   0

t  i 1
t2

(2.24)


1

Thay đổi thứ tự phép tính tích phân và phép tính biến phân ở vế trái của
biểu thức này ta được:
t2



i 1 t1



n

 S     qi 

n

H 
H

p


q
dt


 i
i

pi 
qi
i 1


t2



pi d ( qi ) (2.25)

t1

Thành phần cuối cùng ở vế phải áp dụng tích phân từng phần và chú ý
tới điều kiện  qi (t1 )   qi (t2 )  0 ta được :
n t2


i 1 t1

n

t2

pi d ( qi )     p i  qi dt

(2.26)

i 1 t1


Vì các biến phân của toạ độ  qi và xung lượng suy rộng  pi là độc lập
nên đẳng thức  S  0 chỉ có thể xảy ra khi các hệ số của  qi và  pi bằng 0,
nghĩa là chúng thoả mãn hệ phương trình sau :

H


q

i

pi


 p   H
 i
qi
i  1,2...n

(2.27)

Hệ trên được gọi là hệ phương trình Haminton.
- Nguyên lý tác dụng tối thiểu và phương trình chuyển động của hệ.
Từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đến phương trình chuyển động
Lagranger
Cùng với chuyển động thực, ta biểu diễn các con đường vòng bằng
những phương trình thông số :

q*i (t )  qi (t )   qi


(2.28)

i  1,2...n

23


Trong đó các biến phân  qi của các toạ độ suy rộng là các hàm khả vi
vô cùng bé bất kỳ ( do tính độc lập của các toạ độ suy rộng q i ), thoả mãn các
điều kiện ở hai đầu mút  qi (t1 )   qi (t2 )  0

(2.29)

Từ (2.28) ta có :  qi  q*i (t )  qi (t ),(i  1,2...n)

(2.30)

Và biến phân của các toạ độ suy rộng là sự biến đổi của các toạ độ này
khi thời gian cố định. Những biến phân như vậy gọi là biến phân đẳng thời.
Với độ chính xác đến các số hạng bé bậc nhất với  qi và  q i ta có:
n

 L  L(qi   qi , qi   qi , t )  L(qi , qi , t )  
i 1

n
L
L
 qi  
 q (2.31)

i i
qi
i 1 q

Ta có:
t2

t2

t1

t1

 S    Ldt    Ldt
 L
L
  
 qi 
 qi


q

q
i 1 t
 i
i
n
n t 
L

L
t

 qi t    
i
i 1 q
i 1 t
 qi
n t2

1

2

2

1

1


dt



d  L  

   qi dt
dt  qi  


(2.32)
Sử dụng điều kiện  qi (t1 )   qi (t2 )  0
t2

 L

i 1 t1

 qi

n

Ta có:

 S   



d  L  

  qi dt
dt  qi  

(2.33)

Theo nguyên lý tác dụng tối thiểu  S  0 trong chuyển động thực của
cơ hệ
Do sự tuỳ ý của khoảng tích phân, điều này chỉ xảy ra khi tất cả các hệ
số của những biến phân độc lập  qi bằng không, nghĩa là các toạ độ suy
rộng  qi thoả mãn phương trình sau :


L d  L
 
qi dt  qi

24


  0,(i  1,2...n)


(2.34)


-Từ phương trình Lagranger đến nguyên lý tác dụng tối thiểu.
Trong mục trước từ nguyên lý tác dụng tối thiểu ta đã tìm được phương
trình chuyển động. Bây giờ ta đi làm điều ngược lại.
Nhân mỗi phương trình (2.34) với biến phân tương ứng và cộng các
biểu thức thu được với nhau ta thu được phương trình :
n


i 1

Vì

 d  L
 
 dt  qi


 L 
  qi  0


q

i 

(2.35)

 L d
 L
d  L 
d  L
d  L
 qi  
 qi    qi    qi

  qi  
dt  qi 
dt  qi
dt  qi
 qi dt
 qi

nên ta có thể viết biểu thức (2.34) dưới dạng:
n


i


 n  L

d  L
L

q

 qi   qi   0

i 
dt  qi
qi
 i 1  qi


d  L
 qi   0

i 1 dt
 qi

n

Theo (2.31) ta có :

L

(2.36)


Nhân hai vế của biểu thức này với dt và tích phân trong giới hạn từ t1
đến t2 với t1, t2 là những điểm tùy ý ta có:
t2

n

t1

i 1

  Ldt  

t
n
 L

L
d

q


Ldt

 qi

t  q i  t

i 1 q
 i


i

t2

2

1

1

t2

t1

t2

   Ldt  0
t1

Hay ta có:  S  0
2.2.2 Mở rộng nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với cơ hệ Holonom không
bảo toàn ( phi holonom)
Với cơ hệ Holonom không bảo toàn nguyên lý tác dụng tối thiểu có
dạng :
t2


t1


  T  n Q  q  dt  0


i
i 
i 1



25

(2.37)