LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo GS.TSKH Đào Vọng Đức người đã tận tình giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận tốt nghiệp
này.
Em cũng xin bày tỏ lời cảm ơn của mình tới các thầy giáo, cô giáo
trong khoa Vật Lý- Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện
thuận lợi cho em trong quá trình nghiên cứu, hoàn thành khóa luận.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Thủy


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp: “ Nghiên cứu về bất biến Gauge” được hoàn
thành dưới nỗ lực của bản thân tôi và sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH
Đào Vọng Đức.
Tôi xin cam đoan đây là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, không
trùng lặp với bất kì đề tài nào. Tất cả những dữ liệu tôi đưa ra là hoàn toàn
trung thực.
Tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm về kết quả nghiên cứu trong đề
tài của mình.

1


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
NỘI DUNG ............................................................................................................ 5
Chương I: Phương trình Lagrange cho một hệ vật lý ......................................... 5
1. Xây dựng phương trình Lagrange: .............................................................. 5

2. Hàm Lagrange cho một hệ vật lý ............................................................... 7
Chương II: Đạo hàm hiệp biến ......................................................................... 12
1. Định nghĩa đạo hàm hiệp biến .................................................................. 12
2. Tương tác giữa trường vật chất và trường Gauge: .................................... 14
2.1. Trường Spinor  i (i  1, p ) ................................................................ 14





2.2. Trường vô hướng i i  1, p ............................................................ 15
Chương III: Bất biến Gauge ............................................................................. 17
1. Phá vỡ bất biến tự phát: ............................................................................. 20
2. Định lý Goldstone: .................................................................................... 23
KẾT LUẬN .......................................................................................................... 26
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 27

2


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là một trong những môn khoa học tự nhiên nghiên cứu
những quy luật đơn giản và tổng quát nhất của các hiện tượng tự nhiên,
nghiên cứu tính chất và cấu tạo của các chất và những quy luật vận động
của vật chất.
Trong vật lý, lý thuyết Gauge là một phần của lý thuyết trường lượng
tử, trong đó Lagrange là bất biến theo một biến đổi liên tục của phép biến
đổi local. Lý thuyết gauge của vật lý hạt cơ bản là thuyết miêu tả về tương
tác mạnh, tương tác yếu, lực điện từ cũng như các hạt cơ bản tạo nên vật

chất.
Được phát triển vào những năm đầu của thập niên 1970, lý thuyết
Gauge đã kết hợp cơ học lượng tử với thuyết tương đối hẹp dựa trên cơ sở
của đạo hàm hiệp biến chứng minh tính bất biến của hàm Lagrange khi
chuyển từ hệ quy chiếu này sang hệ quy chiếu khác. Ngày nay, hầu hết các
thí nghiệm kiểm chứng về 3 lực kể trên miêu tả bởi mô hình chuẩn đều
đúng như những gì đã dự đoán. Vì vậy, tôi chọn đề tài “ Nghiên cứu về bất
biến Gauge” đề tìm hiểu rõ hơn về lý thuyết này.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu về bất biến Gauge.
3. Đối tượng nghiên cứu
- Nghiên cứu hàm Lagrange, đạo hàm hiệp biến và bất biến Gauge.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về hàm Lagrange.
- Nghiên cứu về đạo hàm hiệp biến.
- Nghiên cứu về bất biến gauge.

3


5. Phương pháp nghiên cứu: sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
- Cơ học lượng tử.
- Lý thuyết nhóm Lie.
- Lý thuyết trường lượng tử.
6. Cấu trúc khóa luận:
Chương I: Phương trình Lagrage cho một hệ vật lý.
Chương II: Đạo hàm hiệp biến.
Chương III: Bất biến Gauge.

4



NỘI DUNG
Chương I: Phương trình Lagrange cho một hệ vật lý
1. Xây dựng phương trình Lagrange:
Ta đi xây dựng phương trình Lagrange loại II. Xuất phát từ nguyên
lý Dalamber- Lagrange:

  N  
 Fi ri   mi w i ri  0
N

i 1

(1.1)

i 1

thiết lập phương trình chuyển động của cơ hệ trong tọa độ suy rộng.
Giả sử có tọa độ suy rộng qk  qk  t ,  với t là thời gian và  là
các thông số thực.
 Khi   0  qk  qk  t  xác định vị trí thực của cơ hệ trong
không gian.
 Khi   0  qk  qk  t ,  xác định vị trí khả dĩ của cơ hệ phù
hợp với liên kết đặt lên nó. Với các  khác nhau có các vị trí
khả dĩ khác nhau của cơ hệ.
Giả sử  thay đổi một lượng là  , xét biến phân của tọa độ suy
rộng:

 qk  t   qk  t ,      qk  t ,  

 
Biến phân của ri  ri  qk , t  là:


s
 s  r q

r
 ri   i k    i  qk
k i qk 
k 1 qk

qk



(1.2)

(1.3)

Thay (1.3) vào phương trình nguyên lý Dalambert- Lagrange (1.1):


s N 
s N
 r
  r
(1.4)
Fi i  qk   mi w i i  qk  0



q

q
k 1 i 1
k 1 i 1
k
k

5



  r
Đặt:  Fi i  Qk
qk
i 1

N
 ri
mi w i
 Zk

qk
i 1
N

(1.5)

(1.6)


Thay (1.5), (1.6) vào (1.4) ta được:
s

Q
k 1

 Z k  qk  0

k

(1.7)

 Xét ý nghĩa vật lý của Qk :
Công của lực chủ động trong dịch chuyển ảo:
N

 

 A   Fi ri

(1.8)

i 1

Thay (1.3) vào (1.8):


   ri 
 A    Fi

 qk
qk 
k 1 i 1 
s

N

(1.9)

s

  Qk qk
k 1

Vậy Qk là lực suy rộng ứng với bậc tự do thứ k .

 A  Q1 q1  Q2 q2  ...  Qk qk  ...
Cho:

 q1   q2  ...   qk 1   qk 1  ...   qs  0
  A  Qk qk

(1.10)

 Xét ý nghĩa của Z k :


. 
N
r

d r r
Z k   mi w i i   mi i i
qk i 1
dt qk
i 1


N
.  r
. d   r 
d N
  mi ri i   mi ri  i 
dt i 1
qk i 1
dt  qk 
N

6

(1.11)




s
 
. d r
d
r
dq

Vì ri  ri  qk , t   ri  i   i k
dt k 1 dqk dt


 r

r
d ri  i dqk  i dt
qk
t



d ri  ri dt
 ri



dqk t dqk qk

(1.12)

(1.13)

Thay(1.13) vào (1.12):



s 
.

 ri dt
 ri
ri   

qk
k 1  t dqk
 s 
.  r
r .
ri  i   i qk
t k 1 qk

 dqk

 dt

(1.14)

(1.15)

.

Lấy đạo hàm (1.15) theo qk :

.
 ri


 ri


.
 qk qk

(1.16)

.


s
 ri
 2 ri
 2 ri .


qj
qk qk t k 1 q j qk

(1.17)

Từ (1.15) ta có;

.

 ri d   ri 

 

qk dt  qk 
Từ (1.17):


7


.


 ri    ri  s    ri  dq j

 



qk t  qk  k 1 q j  qk  dt


s



  ri
  ri 

 dt  

dq j
t  qk 
k 1 q j  qk 

dt


 r 
d i 


q


d

r
  k  i 
dt
dt  qk 

(1.18)

Thay (1.18), (1.16) vào (1.11) ta được:

.
.
.
.
N


d
r
r
Z k   mi ri .i   mi ri i
dt i 1

qk
 qk i 1
N

1  . 
Đặt: T   mi  ri 
i 1 2
 
N

(1.19)

2

(1.20)

.
.

T
r

  mi ri i
qk i 1
qk
.
.
N

T

r
  mi ri .i
.
 qk i 1
 qk
N

 Zk 

d T T

dt  q. qk

(1.21)

k

Vì  qk  0 tùy ý nên để phương trình (1.21) thỏa mãn thì vế phải
(1.21) phải bằng Qk .

Qk 

d T T

dt  q. qk
k

(1.22)

Phương trình (1.22) chính là phương trình Lagrange loại II.


8


 Phương trình Lagrange loại II viết cho trường lực thế.
Giả sử lực thế :



U
Fi   gradU i ri   i
 ri


N 
N
 r

U

r
Qk   Fi i   i i
qk
i 1
i 1  ri qk

 N

U i ri
qk i 1




 





U
qk

d T T
U



dt  q. qk
qk
k



d  T U  T U




0
dt   q.  q.  qk qk

k 
 k
d  T  U   T  U 


0
dt  q.
qk

(1.23)

k

Đặt L  T  U . L được gọi là hàm Lagrange. Phương trình (1.23)
được viết lại:

d L L

0
dt  q. qk
k

(1.24)

Phương trình (1.24) là phương trình Lagrange cho trường lực thế.
2. Hàm Lagrange cho một hệ vật lý:
Để đơn giản, ta đi tìm hàm Lagrange của một hạt tự do (hạt không
chịu một lực nào tác dụng lên nó). Xuất phát từ nguyên lý Hamilton, đối
với mỗi một cơ hệ có tồn tại một tích phân S gọi là hàm tác dụng. Hàm này
có giá trị cực trị đối với chuyển động thực của hệ, nghĩa là  S  0 . Chúng

ta sẽ tìm hàm tác dụng S và Lagrange của hạt tự do.

9


Trước hết, ta chỉ ra rằng hàm Lagrange được xác định theo nguyên lý
biến phân Hamilton  S  0 là không đơn giá.
.
.


Giả sử một cơ hệ có hai hàm Lagrange L  qk , qk , t  và L'  qk , qk , t 





liên hệ với nhau bởi công thức:
L'  L 

d
f  qk , t 
dt

trong đó f  qk , t  là hàm tùy ý của tọa độ suy rộng và thời gian, khi đó ta
có:
t2

t2


 Ldt   Ldt  f  q (t ), t   f  q (t ), t 
'

k

t1

Vì

2

2

k

1

1

t

f (t1 )  const, f (t2 )  const nên  f (t1 )   f (t2 )  0 và ta thu

được:
t2

t2

  Ldt    Ldt  0
'


t1

t1

Từ đó suy ra:

d L' L'

 0,
dt  q. qk
k
d L L

0
dt  q. qk
k
nghĩa là dạng của phương trình Lagrange không thay đổi khi thay L cho L' .
Vậy hàm Lagrange được xác định sai khác nhau một đạo hàm toàn phần
theo thời gian của một hàm f (qk , t ) bất kỳ.
Chuyển động của hạt tự do được đặc trưng bởi một vector vận tốc 4
chiều và một vector dịch chuyển 4 chiều dx  . Tích của hai vector 4 chiều
này là một bất biến:

10


u dx   u u  dt0  c 2dt0  inv
ở đây dt0 là vi phân thời gian riêng của hạt:


ds
v2
dt0   1  2 dt
c
c
Hàm tác dụng S của hạt tự do được xây dựng từ bất biến u dx  có
dạng như sau:
b

t2

S    u dx   c  dt0   c


2

a

t1

t2
2



1

t1

v2

dt
c2

(1.25)

trong đó tích phân lấy dọc theo đường vũ trụ trong không gian bốn chiều
giữa hai biến cố a và b , tức là giữa hai vị trí đầu và cuối của hạt tại các
thời điểm tương ứng t1 và t2 ,  là một hằng số nào đó đặc trưng cho hạt
đang xét.
Mặt khác, hàm tác dụng S được viết dưới dạng:
t2

S   Ldt

(1.26)

t1

Với L là hàm Lagrange của hạt. So sánh các vế phải của (1.25) và
(1.26) ta nhận được hàm Lagrange của hạt tự do:

L   c2 1 

v2
c2

Xác định hằng số  nhờ nguyên lý tương ứng. Cụ thể là khi

(1.27)
v

 1
c

thì hàm Lagrange của hạt tự do trong cơ học tương đối tính chuyển thành
hàm Lagrange của hạt tự do trong cơ học cổ điển phi tương đối tính


m0v 2
với độ chính xác một đạo hàm toàn phần theo thời gian của f r , t .
2

 

Khi

v
 1 ta có:
c

11


v2
v2 
2
L   c 1  2   c 1  2 
c
 2c 

2

df
r
,t
m0v
L

2
dt
2

 

(1.28)

Trong đó   m0 và f   c2t  m0c2t . Đại lượng m0 là khối
lượng của hạt không phụ thuộc vào vận tốc v của nó trong cơ học cổ điển,
nó được gọi là khối lượng tĩnh hay khối lượng nghỉ của hạt. Vì hàm
Lagrange được xác định sai khác nhau một đạo hàm toàn phần theo thời
gian của một hàm của tọa độ và thời gian nên ta bỏ qua một số hạng

df
.
dt

Hàm Lagrange của hạt tự do (1.28) bây giờ được viết lại như sau:

L  m0c 2 1 

v2
c2


(1.29)

Đối với các hệ vật lý khác nhau thường người ta dùng nguyên lý
tương đối, các tính chất đối xứng của không gian và thời gian, các tính chất
của hàm Lagrange và các đòi hỏi vật lý khác đối với các hệ vật lý cụ thể để
tìm hàm Lagrange.
Hàm Lagrange của một hệ A chuyển động trong trường ngoài có
dạng:
.

LA  TA (qA , qA )  U (q A , t )

(1.30)

Trong trường hợp hệ chuyển động trong trường ngoài thì thế năng U
có thể phụ thuộc vào thời gian. Nếu U không phụ thuộc tường minh vào
thời gian thì trường ngoài là không đổi.
Như vậy, trong chương I này chúng ta đã xây dựng được phương trình
Lagrange và tìm hàm Lagrange cho một vài hệ vật lý đơn giản. Các hàm
Lagrange đặc trưng cho các trạng thái chuyển động của cơ hệ, tổng quát ta

12


xây dựng được hàm Lagrange dưới dạng L= T – U; trong đó T là động
năng và U là thế năng của hệ.

13



Chương II: Đạo hàm hiệp biến
1. Định nghĩa đạo hàm hiệp biến
Mỗi phép biến đổi được đặc trưng bởi các thông số biến đổi a .
 Nếu a  a ( x) nghĩa là tham số biến đổi không phụ thuộc
không thời gian thì ta có phép biến đổi Glocal.
 Nếu a  a  x  thì phép biến đổi là Local.
Như đã biết L0 ( ) là Lagrangian tự do của một trường nào đó, bao
giờ cũng chứa số hạng động năng chứa đạo hàm theo không thời gian của
trường  :   . Nếu xét phép biến đổi Glocal thì L0 ( ) bất biến với điều
kiện bắt buộc đơn giản.
Tuy nhiên nếu a  a ( x) thì tính bất biến của L0 ( ) không tồn tại
nữa. Chẳng hạn dưới tác dụng của nhóm biến đổi nào đó các hàm trường
biến đổi như sau:

 i ( x)   i' ( x)   eig

 ( x) 

a ( x)Ma

(2.1)

i

  i ( x)    i' ( x)  eiga M a    ( x)  ig  b ( x) M b ( x)  

i

(2.2)


Rõ ràng số hạng động năng không bất biến. Vấn đề là làm thế nào để
số hạng động năng bất biến. Giả sử ta đang xét nhóm G gồm n tham số a
(a  1, n) . Để bất biến ta đưa vào n trường Gauge Aa (a  1, n) và định

nghĩa đạo hàm hiệp biến:

D     igAa M a

(2.3)

D i    i  igAa (M a )i

(2.4)

Và đòi hỏi các trường Gauge biến đổi thế nào để D Biến đổi tương
tự  dưới tác dụng của nhóm biến đổi G:

14




D i  D i'  e iga M a D



i

(2.5)


Bài tập: Giả sử các hàm trường biến đổi như sau:

 i  i'   S i
Chứng minh rằng số hạng động năng sẽ bất biến nếu A  Aa M a biến
đổi theo quy luật:
A' 

i
S ( x)  S 1 ( x)  S ( x) A ( x) S 1 ( x)
g

(số hạng động năng sẽ bất biến nếu nó biến đổi tương tự hàm trường)
Chứng minh:
Trường hợp 1: Nếu G=U(1) lúc đó M a  1 nên A  A ( x)
Có:

S ( x)  eiga ( x ) M a  eiga
S 1 ( x)  eiga
   S 1 ( x)    (eiga ( x ) )  igeiga ( x )  a ( x) 

Thay vào (2.6) ta được:

i
S ( x)  S 1 ( x)  S ( x) A S 1 ( x )
g
i
 eiga ( x )  eiga ( x )  e iga ( x ) A eiga ( x )
g
  a ( x)  A ( x)


A' 

Trường hợp 2: khi a ( x) là vô cùng bé. Ta có khai triển:

S ( x)  eiga ( x ) Mb  1  iga M a
S 1 ( x)  eiga M a  1  iga M a
A  Aa M a

15

(2.6)


S ( x) A S 1 ( x)  1  igb M b  Aa
 A a  M a  igb M b M a  igb M a M b  ...
 A a M a  ig  M a , M b b 
 A a M a  igif abc M cb  M a 1  igb M b 
S ( x)  S 1 ( x)  1  iga M a    1  iga M a 
 1  iga M a    iga M a
 ig  a M a
Thay vào (2.6) ta được:

i
ig  a M a  A a M a  igb  M a , M b 
g
  a ( x) M a  Aa M a  ig b ( x) M b M a Aa  igb M a M b Aa

A' 


 A   a  igAa  iga A
 A   a  ig  A , a 
Trong đó:

  a M a
A  A a M a
2. Tương tác giữa trường vật chất và trường Gauge:
2.1. Trường Spinor:  i (i  1, p )
Lagrangian của trường Spinor không tương tác:

i
L0 ( )       m
2

(2.7)

L0 ( ) không bất biến đối với phép biến đổi Gauge. Để khắc phục ta
phải thay cho hàm trường bằng đạo hàm hiệp biến:

   D
   D

16


D i    i  igAa (M a )i
D  i    i  igAa ( M a )i

D     ig ( A )
D      ig ( A )


Lúc đó:

L0 ( )  L0 ( , A )  L0 ( )  Lint ( , A )
Ở đây:
Lint ( , A )   g  M a Aa



2.2. Trường vô hướng i i  1, p



L0 ( )    i  i  m2 

(2.8)

Để L0 ( ) bất biến đối với phép biến đổi Gauge ta làm như trên, thay
đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến:

   D
Ta được:

 i  Di   i  ig ( A )i
  i  D i    i  ig (  A )i
Kết quả:

L0 ( )  L0 ( , A )  L0 ( )  Lint (, A )

(2.9)


Trong đó:

Lint ( , A )  ig   A       A   g 2  A A

(2.10)

Trong chương II, chúng ta đã định nghĩa được đạo hàm hiệp biến và
áp dụng đạo hàm hiệp biến vào chứng minh tính bất biến của số hạng động
năng trong Lagrange của hệ khi chuyển sang các phép biến đổi khác nhau.
Đồng thời chúng ta cũng đưa ra tương tác của các trường vật chất và trường

17


Gauge, từ đó thấy được từ lý thuyết bất biến Gauge ta suy ra tương tác của
trường Gauge và các trường khác một cách đơn giá.

18


Chương III: Bất biến Gauge



Giả sử có một nhóm đối xứng G có n thông số, các vi tử Ta a  1, n



thỏa mãn hệ thức giao hoán:


Ta ,Tb   ifabcTc

3.1)

Với f abc là hằng số cấu trúc nhóm.
Giả sử ta có một p đa tuyến các hạt thực hiện d biểu diễn của G khi:

 i  x   i'  x    eig M  i
a

a

G

(3.2)

Trong đó: M a là các ma trận p  p thỏa mãn hệ thức giao hoán (3.1).

a là thực.
g là thực.
Nếu chỉ xét biểu diễn Unita thì M a  M a là các ma trận Hecmitic.
Chứng minh: trong biểu diễn Unita      '
S  eiga M a

 SS   1
 S   S 1
 M a  M a

Tác dụng 1: Nhóm G có một thông số G= U(1), vậy a chỉ nhận 1 giá

trị:

 Ma 1

 '  eig
Tác dụng 2: Nhóm G= SU(n),  i thực hiện biểu diễn cơ sở  p  n  .
Lúc đó M a 

a
2

( a là các ma trận Gell- manm)

19


Tác dụng 3: Nhóm G= SU(m),  i thực hiện biểu diễn chính quy

pm

2

 1 ; a  1, m 2  1 .

M a là ma trận  m2  1   m2  1

 M a bc  ifabc
Nếu     x  ta có phép biến đổi Glocal.

    x  phép biến đổi Local.

Nếu phép biến đổi đối xứng ta đưa vào khái niệm đạo hàm hiệp biến.
Ta có L0   là Lagrange tự do của một trường nào đó. Lagrange chứa
số hạng động năng chứa đạo hàm theo không gian và thời gian của trường

  . Nếu chỉ xét biến đổi Glocal:
D      A 

(3.3)

 A'  S   S 1  SA S 1  SD S 1

thì L0   bất biến với điều kiện bắt buộc đơn giản.
Nếu     x  thì tính bất biến của L0   không tồn tại nữa.

 i   e  ig M  
a

  i    i'  e

 iga  x  M a

a

i



  i  ig  b ( x) M be iga ( x ) M a




(3.4)

i

Từ (3.4) ta thấy số hạng động năng không bất biến.





Để L0 ( ) bất biến ta đưa vào n trường Gauge Aa a  1, n - đối với
nhóm n thông số, và đưa vào đạo hàm hiệp biến:

D     igA a M a
D i    i  igAa  M a i

(3.5)

Và đòi hỏi trường Gauge biến đổi thế nào để D biến đổi tương tự

 dưới tác dụng của nhóm biến đổi G:

20




D   D i  eiga ( x ) M a D
'




i

(3.6)

Đưa vào đại lượng Tenxo cường độ trường Gauge:

F a    A a ( x)   Aa ( x)  gf abc Ab ( x) A c ( x)

(3.7)

Ta có:
F a   A a ( x)    A a ( x)  gf abc Ab ( x ) A c ( x )

     A a ( x)   A a  gf abc Ab ( x ) A c ( x ) 

(3.8)

  F a

Thường người ta dùng đại lượng:
F  F a M a
   A a M a   A a M a  gf abc Ab ( x) A c ( x) M a
   A   A  ig  M b , M c  Ab ( x) A c ( x)
   A   A  igAb ( x) A c ( x)  M b M c  M c M b 

(3.9)


   A   A  ig  A A  A A 
   A   A  ig  A , A 

Từ đạo hàm hiệp biến ta cũng đưa ra được Tenxo cường độ trường
Gaug

 D , D      igA ,   igA 

     igA     igA      igA      igA 

     ig   A  igA   g 2 A A      ig A  igA    g 2 A A





 ig   A   A  ig  A , A 
 igF a

Bây giờ. Ta sẽ đi xem xét 2 tác dụng của bất biến trong chân không
dưới tác dụng của phép biến đổi Gauge.
1. Phá vỡ bất biến tự phát:

21


Xét nhóm G= U(1) và giả sử xét bất biến Glocal. Xét trường vô hướng

 với Lagrange có dạng Lagrange của hạt vô hướng với khối lượng


2

và với tương tác     như sau:
2

L         2      

2

(3.10)

ở đây chưa có điều kiện bắt buộc gì cho số hạng  2  (  có thể phức)
Phép biến đổi U(1)

   '  eiQ eiQ  eiq
Q là vi tử của U(1).

q là một số bất kì
Nếu xem  ,  là các tọa độ suy rộng thì số hạng
V ( )   2      

2

(3.11)

là thế năng mô tả tương tác của hệ.
Giải thích dựa vào lý thuyết lượng tử cổ điển. Ta có tenxơ năng xung
lượng:

T 


L
L
  
    g  L

 
   
   

(3.12)

Mật độ năng lượng:
 
2
T00   0  0       2      

Từ đó có V   là thế năng, biểu thức (3.11).
Ký hiệu: z    , z  0
V  V  z    2z   z2

V ''  

Để V " có cực tiểu thì   0

22

(3.13)



2
   0 (1)
 2
   0 (2)

Với trường hợp (1): V  z  chỉ có một cực tiểu tại z  0 .
trường hợp (2): V  z  có cực tiểu tại z  
nghĩa là Vmin

2
0
2

2
 0 . Khi chuyển sang
khi   v ,   v sao cho v  
2
*

2

*

trường lượng tử, điều này có nghĩa là trung bình chân không của toán tử
trường  bằng v :

0/ / 0 v
Tương tự: 0 /  * / 0  v* với v  0
Bây giờ ta sẽ chứng minh: nếu xảy ra trường hợp này thì chân không
không bất biến với U(1), hay:

eiQ 0  0  Q 0  0

Chứng minh : giả sử rằng

Q 0 0 0 0

(3.14)

hay
eiQ 0  0

thì ta có thể viết
 v  eiq v

(3.15)

Nhưng q là một số bất kỳ và q  0 nên biểu thức (3.15) là vô lý, điều
giả sử (3.14) là sai và
eiQ 0  0

Trong trường hợp toán tử trường có trung bình chân không khác
không thì chân không không bất biến với phép biển đổi đó.

23


Thay vì dùng  ,  ta đưa vào các toán tử trường định nghĩa như sau:

1
(1  i2 )

2



1
1  i2 
2

 

với 1 ,2 là các trường thực. Vậy

1 

1
  

2

2 

1
  

2

 và   không phải ứng với các hạt quan sát được trên thực tế.
Từ trên các toán tử trường có thể thay đổi đến một tham số pha vì vậy
có thể thay đổi pha để v hoàn toàn thực hoặc ảo.
Chọn điều kiện để v thuần ảo:


v

iu
, u
2

2
2
Vì v  
u  
2

2

   0
1

Lúc đó:    u
 2

Các trường mà ta xét ban đầu không phải là các trường vật lý vì các
trường vật lý có trung bình chân không bằng không. Ta chuyển sang xét
các trường  và  liên hệ với các trường cũ như sau:

1 ( x)    x 
2  x   u    x 
Lúc đó ta có:

24