LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian làm việc nghiêm túc, khẩn trương đến nay luận văn
của em đã hoàn thành. Trong thời gian nghiên cứu em đã được sự giúp đỡ tận
tình của giảng viên – Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh – người trực tiếp hướng
dẫn em làm khóa luận này cùng các thầy cô trong khoa Vật lí đặc biệt là tổ
Vật lí lý thuyết trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 và các bạn sinh viên khoa
Vật lí.
Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong khoa Vật lí
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo trong tổ Vật lí lý thuyết,
đặc biệt là cô giáo – Tiến sĩ Phạm Thị Minh Hạnh giúp đỡ, động viên, tạo mọi
điều kiện, xin cảm ơn tất cả các bạn sinh viên đã giúp đỡ tôi hoàn thành khóa
luận này.

Sinh viên

Nguyễn Thị Thu Phương


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận
này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam
đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn
và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thu Phương

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ..................................................................................................
LỜI CAM ĐOAN ..............................................................................................
MỞ ĐẦU ........................................................................................................ 1
CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG CỦA VẬT RẮN ............... 3
1.1. Mô hình electron liên kết yếu ............................................................... 3
1.2. Mô hình electron liên kết mạnh .......................................................... 11
1.3. Phân loại kim loại, bán dẫn, điện môi theo lý thuyết vùng năng lượng 18
1.4. Tính chất của electon theo lý thuyết vùng năng lượng ........................ 20
1.4.1. Phương trình chuyển động của electron ....................................... 20
1.4.2. phương trình chuyển động của lỗ trống ........................................ 22
1.4.3. Tenxơ khối lượng hiệu dụng ......................................................... 26
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG 29
KẾT LUẬN ................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 46


MỞ ĐẦU
 Lý do chọn đề tài
Trong cuộc cách mạng khoa học công nghệ hiện nay, ngành vật lí chất
rắn đóng một vai trò đặc biệt quan trọng. Vật lí chất rắn là một ngành khoa
học hết sức rộng lớn và nó đã tạo ra những vật liệu cho các ngành kỹ thuật
mũi nhọn như điện tử, du hành vũ trụ, năng lượng nguyên tử…
Một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất của vật lí chất rắn là việc
nghiên cứu về lý thuyết vùng năng lượng của chất rắn (chuyển động của
electron trong trường toàn hoàn của tinh thể, mô hình electron liên kết yếu,
mô hình electron liên kết mạnh, tính chất của electron theo lý thuyết vùng
năng lượng…). Vì nghiên cứu lý thuyết vùng năng lượng cho ta một bức
tranh đầy đủ về vật rắn. Sau khi xác định được năng lượng, hàm sóng, ta sẽ
xác định được các tính chất vật lí của hệ như: năng lượng tự do; các hệ số nén

đẳng nhiệt, đoạn nhiệt; các môđun đàn hồi, …
Nhằm củng cố và tìm hiểu sâu hơn về lý thuyết trên cũng như trau dồi
kỹ năng thực hành tốt thì việc giải và làm bài tập là một việc tất yếu và quan
trọng trong quá trình học Vật lí.
Tuy hiện nay ở nước ta có khá nhiều tài liệu về vật lí chất rắn nhưng tài
liệu về bài tập vật lí chất rắn chưa nhiều và việc làm bài tập của môn này chưa
được coi trọng. Muốn hiểu được lý thuyết một cách chặt chẽ thì một việc làm
rất cần thiết đối với sinh viên các trường đại học nói chung và sinh viên sư
phạm nói riêng là giải bài tập. Vì vậy tôi chọn đề tài: “Một số bài toán về lý
thuyết vùng năng lượng trong vật rắn” nhằm bước đầu làm quen với việc
làm bài tập vật lí chất rắn để cụ thể hơn những vấn đề trong lý thuyết, rèn kỹ
năng tính toán phục vụ cho việc nghiên cứu tiếp sau.

1


 Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyết về vùng năng lượng trong vật rắn để giải được bài
tập về lý thuyết vùng năng lượng trong vật rắn.
 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Bài tập về lý thuyết vùng năng lượng của vật rắn.
 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giải bài tập để nắm vững và củng cố thêm về kiến thức đã học.
- Áp dụng các phép gần đúng và hàm Bloch để giải bài tập nhanh hơn.
 Phương pháp nghiên cứu
- Đọc và nghiên cứu tài liệu tham khảo.
- Thống kê, lập luận, diễn giải.
 Cấu trúc khóa luận
Khóa luận gồm 2 chương:
 Chương 1: Lý thuyết về vùng năng lượng trong vật rắn.

Chương này trình bày một số vấn đề về lý thuyết vùng năng lượng
trong vật rắn:
1.1. Mô hình electron liên kết yếu.
1.2. Mô hình electron liên kết mạnh.
1.3. Phân loại kim loại, bán dẫn, điện môi theo lý thuyết vùng năng
lượng.
1.4. Tính chất của elctron theo lý thuyết vùng năng lượng.
 Chương 2: Một số bài toán về lý thuyết vùng năng lượng trong vật
rắn.
Chương này trình bày về một số bài tập về lý thuyết vùng năng lượng
trong vật rắn.

2


CHƯƠNG 1: LÝ THUYẾT VÙNG NĂNG LƯỢNG
CỦA VẬT RẮN
1.1: Mô hình electron liên kết yếu.
Bài toán: Xét electron chuyển động trong trường thế tuần hoàn
( ⃗) = ( ⃗ + ⃗) với thế năng ( ⃗) trong trường tinh thể là yếu. Hay nói
cách khác đi là electron liên kết yếu với ion ở nút mạng và chuyển động gần
giống với electron tự do. Bài toán được giả thiết theo phương pháp gần đúng
electron liên kết yếu hay electron gần tự do. Mô hình electron gần tự do áp
dụng tốt cho electron ở lớp ngoài của nguyên tử (electron hóa trị) vì electron
chịu tác dụng rất yếu của lõi nguyên tử. Vì
thế nhiễu loạn và

⃗

⃗


yếu nên ta có thể coi

⃗

như là

được coi là đại lượng bé bậc nhất. Và áp dụng lý thuyết

nhiễu loạn trong cơ học lượng tử để giải bài toán này. Trên cơ sở mô hình
này, ta có thể giải thích được nhiều tính chất chung của vùng năng lượng
trong vật rắn. Mô hình này còn giúp ta giải quyết nhiều bài toán về electron
trong kim loại.
Xuất phát từ phương trình Schrödinger gần tự do có dạng:
+ ( ⃗) Ѱ ( ⃗) =
trong đó ( ⃗) là thế năng tương tác;
=−

ћ

⃗ Ѱ ( ⃗),(1.1)
là toán tử động năng:
∇ ; ( ⃗) ≪

.

Đặt:
Ѱ ( ⃗) = Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + ⋯,(1.2)
⃗ =


⃗ +

⃗ +

⃗ + ⋯,(1.3)

với: Ѱ ( ⃗) là hàm sóng trong gần đúng bậc 0 của lý thuyết nhiễu loạn;
Ѱ ( ⃗) là hàm sóng trong gần đúng bậc 1 của lý thuyết nhiễu loạn; Ѱ ( ⃗) là
hàm sóng trong gần đúng bậc 2 của lý thuyết nhiễu loạn; .…

3


⃗ là năng lượng của electron trong gần đúng bậc 0 của lý thuyết nhiễu
⃗ là năng lượng của electron trong gần đúng bậc 1 của lý thuyết

loạn;

nhiễu loạn;

⃗ là năng lượng của electron trong gần đúng bậc 2 của lý

thuyết nhiễu loạn; .…
Như vậy để tìm được năng lượng, hàm sóng dừng lại ở gần đúng bậc
nhất, thay (1.2) và (1.3) vào (1.1) ta có phương trình Schrödinger:
+ ( ⃗) . Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + ⋯ =
=

⃗ +


⃗ +

⃗ +⋯

Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) + ⋯ .

Cho bằng nhau những đại lượng bé cùng bậc ta được hệ phương trình:
⃗ . Ѱ ⃗ ( ⃗),(1.4_ )

Ѱ ⃗ ( ⃗) =
Ѱ ⃗ ( ⃗) + ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) =

⃗ . Ѱ ⃗ ( ⃗) +

⃗ . Ѱ ⃗ ( ⃗) +

Ѱ ⃗ ( ⃗ ) + ( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗) =

⃗ . Ѱ ⃗ ( ⃗),(1.4_ )

⃗ . Ѱ ⃗ ( ⃗) +

⃗ . Ѱ ⃗ ( ⃗),(1.4_c)

…
Trong gần đúng bậc 0 nghĩa là gần đúng với electron tự do (V=0):
Ѱ ⃗ ( ⃗) = −

ћ
∇ Ѱ ⃗ ( ⃗) =

2

⃗ . Ѱ ⃗ ( ⃗).
⃗⃗

Giải phương trình ta được: Ѱ ⃗ ( ⃗) =

,

⃗ =ћ

,

(1.5)

A được xác định bằng:
∗

Ѱ ⃗ ( ⃗). Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ = 1,
Vậy:
=

1
√

.

Hàm sóng của electron chuyển động trong trường tuần hoàn của tinh
thể có dạng là hàm Block: Ѱ( ⃗) =


. ⃗. ⃗

4

( ⃗) với

( ⃗ + ⃗) =

( ⃗). Vì


( ⃗ + ⃗) =

( ⃗) là hàm tuần hoàn trong không gian của mạng thuận nên

nó đáp ứng đầy đủ điều kiện để hoàn thành chuỗi Furie. Phân tích chuỗi
Furie:
⃗⃗

⃗

( ⃗) =

,(1.6)

⃗ là hệ số phân tích.

với

Chứng minh ⃗ là vectơ mạng đảo.

( ⃗ + ⃗) =

Vì:

( ⃗) nên:
⃗



⃗⃗

⃗( ⃗

= 1 => ⃗ ⃗ = 2

 ⃗=

⃗)

⃗⃗

⃗

=

,

(N là số nguyên),

=> Vậy ⃗ là vectơ mạng đảo.


⃗

Vậy:
⃗ ⃗ ⃗

⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗) =

.(1.7)

⃗

Ta biết hàm riêng Ѱ ⃗ ( ⃗) của
Ѱ⃗

⃗ ( ⃗)

là Ѱ ⃗

của

⃗ ( ⃗)

là Ѱ ⃗ ( ⃗) = .

⃗ ⃗ ⃗

= .


⃗⃗

; và hàm riêng

.

Ta biết rằng một hàm f(x) bất kì có thể phân tích thành tổ hợp tuyến
tính của các hàm riêng của một toán tử Hermite. Vì

là toán tử Hermite nên

ta khai triển hàm sóng Ѱ ⃗ ( ⃗) theo hệ các hàm riêng của
⃗ Ѱ ⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗) =

⃗ ( ⃗)

(0) = 1 và

trong đó:

⃗

⃗ Ѱ ⃗

(0). Ѱ ⃗ ( ⃗) +

=


⃗

Đặt:

đó:
⃗ ( ⃗).(1.8)

⃗

⃗ =

⃗

⃗ +

⃗ là đại lượng bé bậc 1;

⃗

đại lượng bé bậc 3; ….

5

⃗

⃗ +

⃗


⃗ + ⋯ với ⃗ ≠ 0,

⃗ là đại lượng bé bậc 2;

⃗

⃗ là


So sánh (1.2) và (1.8) ta được:
Ѱ ⃗ ( ⃗) =

⃗

⃗ .Ѱ⃗

⃗ ( ⃗);

Ѱ ⃗ ( ⃗) =

⃗

⃗ .Ѱ⃗

⃗ ( ⃗);

…
⃗ ,

Tính


⃗ , Ѱ ( ⃗),Ѱ ( ⃗).
⃗
⃗

Chú ý:
∗

∗

a) ∫ Ѱ ⃗ ( ⃗). Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ = 0 ; ∫ Ѱ ⃗ ( ⃗). Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ = 0 ;
∗

Ѱ ⃗ ( ⃗). Ѱ ⃗
b) Vì
∗
⃗

( ⃗).

. Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ =

∗

Ѱ⃗

⃗

⃗ ( ⃗)


Ѱ⃗
⃗+ ⃗

=

)

ℎ ⃗≠0 .

= 0

⃗ là thực nên:

là Hermite mà

Ѱ⃗

⃗ ( ⃗)d ⃗

( ⃗). Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ =

⃗

∗

. Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗
∗

Ѱ⃗


⃗

⃗

∗

Ѱ⃗

⃗

( ⃗). Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗.(1.9)

( ⃗). Ѱ ⃗

⃗ ( ⃗)d ⃗

⃗

=

⃗

⃗

⃗, ⃗

=

⃗


⃗′ ,

⃗
⃗

d)

∗

Ѱ ⃗ ( ⃗).

⃗ =

. Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ =
=

Tính

Ѱ⃗

∗
⃗

( ⃗). Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ ⃗ ≠ 0 .(1.10)
Ѱ ⃗ ( ⃗)

⃗

∗


. Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ =

∗

Ѱ ⃗ ( ⃗). Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗(

= 1,2,3, … ).(1.11)

⃗ :
∗

Nhân Ѱ ⃗ ( ⃗) từ trái lên 2 vế của phương trình (1.4_b):

6


∗

Ѱ ⃗ ( ⃗)

∗

Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) =
∗

⃗ . Ѱ ( ⃗) + Ѱ ∗ ( ⃗)
⃗
⃗

= Ѱ ⃗ ( ⃗)


⃗ . Ѱ ( ⃗).
⃗

Tích phân theo r theo toàn không gian, ta có:
∗

Ѱ ⃗ ( ⃗)

∗

Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ +

Ѱ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ =
∗

∗

⃗ . Ѱ ( ⃗) ⃗ +
⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗)

=

⃗ . Ѱ ( ⃗) ⃗,
⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗)


Suy ra:
∗

⃗ =
⃗⃗

Thay: Ѱ ⃗ ( ⃗) =

⃗⃗

=

√

⃗ =

Tính

⃗

⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗.
∗

; Ѱ ⃗ ( ⃗) =
1

⃗⃗
√


( ⃗) ⃗ =

:

.(1.12)

=> Ѱ ⃗ ( ⃗):

Nhân Ѱ ⃗

∗
⃗

( ⃗) từ trái lên 2 vế của phương trình (1.4_b) sau đó tính

tích phân theo dr trong toàn không gian:
 ∫ Ѱ⃗

∗
⃗

( ⃗)

Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ + ∫ Ѱ ⃗
∗

= ∫Ѱ⃗



⃗

⃗ + ⃗ ∫Ѱ
⃗

∗

⃗ + ⃗ a ⃗ G⃗ + ∫ Ѱ ⃗

 a ⃗ G⃗

⃗ −

∗

( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ + ∫ Ѱ ⃗

⃗

∗
⃗

⃗+ ⃗

⃗

( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ =
= −∫Ѱ⃗

∗

⃗

∫ Ѱ ⃗ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗
;
⃗
⃗ ⃗

a ⃗ G⃗ =

V⃗ = ∫ Ѱ⃗

∗
⃗

V⃗
⃗ −

7

⃗ . Ѱ ( ⃗) ⃗,
⃗

( ⃗)

Ѱ⃗

∗
⃗

( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗,


⃗ a ⃗ G⃗ ,

( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗,

∗

 a ⃗ G⃗ =

∗
⃗

( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ =

⃗ a ⃗ G⃗ +

=


( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ =

⃗ . Ѱ ( ⃗) ⃗ + ∫ Ѱ
⃗
⃗

( ⃗)

⃗

∗

⃗

⃗+ ⃗

( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ .
.(1.13)


a ⃗ G⃗ Ѱ ⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗) =

⃗ ( ⃗).

⃗

Hàm sóng của electron trong trường gần đúng bậc nhất của lý thuyết
nhiễu loạn:
Ѱ ⃗ ( ⃗) = Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗ ( ⃗) =
=

⃗ =

Và:

⃗ +

1

⃗⃗


√

V⃗

+

⃗ −

⃗

⃗+ ⃗

Ѱ⃗

⃗ ( ⃗). (1.14)

⃗ .

⃗ :

Tính

∗

Nhân Ѱ ⃗ ( ⃗) từ phía trái lên 2 vế của phương trình (1.4-c) rồi tích phân
theo ⃗ trong không gian tinh thể ta có:
∗

Ѱ ⃗ ( ⃗)


∗

Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ +

Ѱ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗ ( ⃗) ⃗ =

∗

⃗ . Ѱ ( ⃗) ⃗ +
⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗)

=

∗

⃗ . Ѱ ( ⃗) ⃗
⃗

⃗ . Ѱ ( ⃗) ⃗,
⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗)

+

∗


Ѱ ⃗ ( ⃗)

⃗ = ∫ Ѱ ∗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ( ⃗) ⃗.
⃗
⃗

Vậy:

a ⃗ G⃗ Ѱ ⃗

Thay: Ѱ ⃗ ( ⃗) = ∑ ⃗

⃗ ( ⃗).

Suy ra:
∗

⃗ =

a ⃗ G⃗ Ѱ ⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)

⃗ ( ⃗)

⃗

∗
⃗


∗

a ⃗ G⃗ .
⃗

∗
⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗

⃗ ( ⃗)

⃗.

⃗

= ∫ Ѱ ⃗ ( ⃗) ( ⃗)Ѱ ⃗

⃗ =

∗

a ⃗ G⃗

⃗=

⃗ ( ⃗)

⃗
V⃗


=
⃗

⃗ −

⃗+ ⃗

.

∗
⃗

V⃗

=
⃗

⃗ −

⃗+ ⃗

.

Khi đó năng lượng của electron trong gần đúng bậc 2 của lý thuyết
nhiễu loạn:

8



⃗ =

⃗ +

⃗ +

⃗ =

⃗ +

V⃗

+

⃗ −

⃗

⃗+ ⃗

. (1.15)

⃗

Chú ý: Trong biểu thức Ѱ ⃗ ( ⃗) ở phương trình (1.14) và biểu thức

ở biểu thức (1.15) vừa tìm được ta thấy rằng có thể xảy ra trường hợp V ⃗ ≠ 0.
⃗ =

Nhưng


⃗ + ⃗ khi đó các số hạng bổ chính là Ѱ ( ⃗) và
⃗

⃗
⃗ =

do nhiễu loạn gây ra không thể coi là nhỏ được. Nghĩa là khi
⃗ + ⃗ thì lý thuyết nhiễu loạn tìm

=

⃗ ,

⃗ ở trên là không tìm

được. Trong trường hợp này có sự suy biến ở mức năng lượng không nhiễu
⃗ =

loạn: Nghĩa là ứng với một mức năng lượng
trạng thái khác nhau của hàm sóng Ѱ ⃗ ( ⃗) và Ѱ ⃗

⃗ ( ⃗).

⃗ + ⃗ có tới 2
Vì vậy để tính năng

lượng và hàm sóng trong trường hợp này chúng ta phải dùng phương pháp
nhiễu loạn khi có suy biến để tính [6].
Trong gần đúng bậc 0, hàm sóng của trạng thái nhiễu loạn là chồng

chất các hàm sóng không nhiễu loạn ( ,

là các hệ số):

Ѱ ⃗ ( ⃗) = Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗

⃗ ( ⃗).(1.16)

Ta có phương trình Schrödinger của tinh thể:
+
+



( ⃗)

Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗

⃗ Ѱ ( ⃗) +
⃗



Ѱ ⃗ ( ⃗) = Ѱ ⃗ ( ⃗),

( ⃗)

⃗ ( ⃗)

⃗ Ѱ

⃗

⃗ ( ⃗) +

Ѱ ⃗ ( ⃗) +

=

Ѱ ⃗ ( ⃗) + Ѱ ⃗

=

( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗)

Ѱ⃗

+

⃗ ( ⃗)

( ⃗) Ѱ ⃗

,

⃗ ( ⃗)

⃗ ( ⃗).(1.17)

∗


Nhân 2 vế của (1.17) với Ѱ ⃗ ( ⃗) từ trái rồi tích phân 2 vế theo d ⃗:
∗

⃗ Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ +

Ѱ ⃗ ( ⃗)
+

∗

Ѱ ⃗ ( ⃗)

∗

⃗ Ѱ⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗)

( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗

9

+

∗

Ѱ ⃗ ( ⃗)

⃗ ( ⃗)d ⃗


+

( ⃗) Ѱ ⃗

⃗ ( ⃗)d ⃗

=


∗

Ѱ ⃗ ( ⃗)

=


⃗ + ∫ Ѱ ⃗ ∗ ( ⃗)



⃗ +

( ⃗) Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗
∗
⃗

+

=


⃗+ ⃗ +

+

⃗

∗

+ ∫ Ѱ ⃗ ( ⃗)

Ѱ ⃗ ( ⃗)

Ѱ⃗

( ⃗) Ѱ ⃗

⃗ ( ⃗)d ⃗

.

⃗ ( ⃗)d ⃗,

=

,

(1.18-1)
∗

Nhân 2 vế của (1.17) với Ѱ ⃗



∗

Ѱ ⃗ ( ⃗)d ⃗ +

⃗

( ⃗) từ trái rồi tích phân 2 vế theo d ⃗:

=

.

(1.18-2)

Từ (1.18-1) và (1.18-2) ta có:
⃗ +
⃗

−

⃗+ ⃗ +

+

∗
⃗

+

∗
⃗

= 0,

−

= 0.

Đây là hệ phương trình vi bậc 1 không vế phải với các nghiệm ,
muốn có nghiệm không tầm thường thì:
⃗ +

∗
⃗

−

⃗+ ⃗ +

⃗

∗
⃗

−

= 0.(1.19)

Phương trình (1.19) là phương trình xác định năng lượng E của electron

trong tinh thể. Từ (1.19):
±

=

⃗ +

+

⃗+ ⃗

⃗ −

±

⃗+ ⃗

+

⃗

(1.20)

Đối với những trạng thái của electron mà vectơ sóng ⃗ thỏa mãn điều
kiện

⃗ =

⃗ + ⃗ thì khi đó vectơ sóng ⃗ thỏa mãn:


Do:

⃗ =ћ

và




⃗+
±

=

⃗

⃗+ ⃗ =ћ

(

)

=( + )

.

⃗ = 0,
+

⃗ ±


⃗

.

+

ћ
2

Nên:
±

=

10

±

⃗

.(1.21)


Vậy 2 mức năng lượng tách ra một khoảng bằng ∇ :
∇ =

−

Vì năng lượng E có 2 giá trị:

và

=2
và

⃗

.

do đó hệ số có 2 giá trị là

:
=

⃗

.

⃗+ ⃗ −

−

Suy ra:
±

⃗ =

Khi

⃗


=

±

⃗+ ⃗ −

−

⃗ + ⃗ hay ⃗ +

⃗

.(1.22)

⃗ = 0 (nghĩa là khi có suy biến)

thì ta tính được:
±

⃗

=±

.

⃗

Như vậy 2 giá trị của


±

tương ứng với giá trị của hàm sóng Ѱ± (1.16)

Ѱ± =
với: ⃗ +

⃗

Ѱ ⃗ ( ⃗) ±

⃗
⃗

Ѱ⃗

⃗ ( ⃗)

⃗ = 0. Và trạng thái Ѱ ứng với năng lượng

ứng với năng lượng

,(1.23)
, trạng thái Ѱ

như vậy sự suy biến đã bị khử [7].

1.2: Mô hình electron liên kết mạnh.
Bài toán: Xét trong trường hợp tinh thể trong đó electron liên kết chặt
chẽ với lõi nguyên tử, mặc dù vẫn chịu tác dụng của thế của trường tinh thể.

Trong trường hợp này trạng thái của electron gần với trạng thái của nó trong
nguyên tử hơn là trạng thái của electron tự do. Phương pháp gần đúng
electron gần tự do không áp dụng được một cách tiện lợi (vì phải xét tổ hợp
của rất nhiều sóng phẳng). Ta phải áp dụng phương pháp gần đúng elctron
liên kết mạnh. Phương pháp này thích hợp cho việc nghiên cứu tính chất của
các electron ở những lớp bên trong của nguyên tử.
11


Giả sử biết hàm sóng và năng lượng của electron trong nguyên tử tự do,
chúng ta tìm hàm sóng và năng lượng của electron trong gần đúng electron
liên kết mạnh với nguyên tử trong tinh thể.
Trước hết xét 1 electron trong nguyên tử tự do. Khi đó toán tử của
Hamilton của electron trong nguyên tử tự do có dạng:
=−

ћ ∇
+ ( ⃗),(1.24)
2

trong đó: ( ⃗) là thế năng tương tác của electron do hạt nhân và các electron
khác của nguyên tử gây ra; | ⃗| là khoảng cách từ electron đến tâm nguyên tử.
Khi đó ta viết được phương trình Schrödinger của electron trong
nguyên tử tự do:
Φ( ⃗) =
với:

Φ( ⃗),(1.25)

là năng lượng trong nguyên tử tự do; Φ( ⃗) là hàm sóng của electron


trong nguyên tử tự do; N là số lượng tử.
Toán tử Hamilton của electron trong tinh thể kí hiệu :
=−

ћ ∇
+ ( ⃗),
2

( ⃗) là thế tuần hoàn: ( ⃗) = ( ⃗ + ⃗) trong không gian mạng thuận nên ta
có thể phân tích thành chuỗi Fourier với

⃗ là các hệ số phân tích:
⃗

( ⃗) =

⃗⃗

.

⃗

Khi đó ta viết được phương trình Schrödinger trong tinh thể:
Ѱ( ⃗) = −

ћ ∇
+ ( ⃗) Ѱ( ⃗) = Ѱ( ⃗),(1.26)
2


trong đó: Ѱ( ⃗)và E tương ứng là hàm sóng và năng lượng của electron trong
tinh thể.
Coi đã biết: Φ( ⃗) và

tìm Ѱ( ⃗) và E.

12


Trong gần
n đúng liên kết
k mạnh và hàm
sóng của electron trong tinh thể
th được xác định
dưới dạng tổ hợp tuyếnn tính của
c hàm sóng
nguyên tử.
Trong tinh thể, vị trí củaa nguyên tử
t ở trên nút
mạng được xác định bằng
ng vectơ: ⃗ =
⃗ +

⃗ (

,

,

∈


⃗ +

; ⃗ , ⃗ , ⃗ là 3

vectơ cơ sở).
Trong tinh thểể vị trí của electron được xác định bằng
ng bán kính vectơ ⃗,
vị trí của electron đố
ối với hạt nhân bằng bán kính vectơ: ⃗ − ⃗ (Hình 1.1).
Khi đó hàm sóng ccủa electron của nguyên tử đặt ở nút n sẽ
s được kí hiệu
là: Φ( ⃗ − ⃗).
Thế năng tương tác ccủa electron với nguyên tử: U(( ⃗ − ⃗).
Trong gần
n đúng liên kết
k mạnh, hàm sóng củaa electron trong tinh thể
th
được xác định dướii d
dạng tổ hợp tuyến tính củaa các hàm sóng nguyên tử:
t
Ѱ( ⃗) =

⃗ Φ( ⃗

− ⃗) ,(1.27)

⃗
⃗


là hệ số khai triển
n.
Vì electron chuyển
chuy động trong trường tuần hoàn củ
ủa tinh thể nên hàm

sóng phảii là hàm Block. Nghĩa
Ngh là: Ѱ( ⃗ + ⃗) =
⃗⃗

Ѱ( ⃗) =
với:

⃗ ( ⃗)

=

⃗(⃗

⃗⃗

) (1.28)
Ѱ(( ⃗),

⃗ ( ⃗),(1.29)

+ ⃗).(1.30)

Để Ѱ( ⃗) là hàm Block thì
Chứng minh: Giả sử::


⃗

=

⃗

=

⃗⃗

.

⃗ ⃗
⃗ ⃗

Ѱ( ⃗) =

Φ( ⃗ − ⃗).

⃗

Giả sử thực hiện
n phép tịnh
t
tiến một vectơ mạng ⃗, ta có:

13



⃗ ⃗

Ѱ( ⃗ + ⃗) =

⃗⃗

Φ( ⃗ + ⃗ − ⃗) =

⃗( ⃗

⃗

⃗)

Φ ⃗ − ( ⃗ − ⃗) .

⃗

Tổng ở biểu thức cuối cùng này chính là Ѱ( ⃗), do đó ta có thể viết:
⃗⃗

Ѱ( ⃗ + ⃗) =

Ѱ( ⃗).

Vậy Ѱ( ⃗) thỏa mãn tính chất đặc trưng của hàm Block.
Thay Ѱ( ⃗) = ∑ ⃗

⃗ Φ( ⃗


− ⃗) vào phương trình Schrödinger của

electron trong tinh thể:
Ѱ( ⃗) = −

ћ
∇ + ( ⃗)
2

⃗ Φ( ⃗

− ⃗) =

⃗ Φ( ⃗

⃗

− ⃗),

⃗

hay:
⃗

−

⃗

ћ
∇ + ( ⃗) Φ( ⃗ − ⃗) =

2

Đặt: ( ⃗) = ( ⃗ − ⃗) +
=−

Chú ý:

ћ

⃗

⃗

− ⃗).

⃗

( ⃗).

∇ + ( ⃗ − ⃗);

Φ( ⃗ − ⃗) +

⃗

⃗ Φ( ⃗

Φ( ⃗ − ⃗) =

( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) =


Φ( ⃗ − ⃗) nên:

⃗ Φ( ⃗

⃗

− ⃗).

⃗

Nhân Φ∗ ( ⃗ − ⃗) lên 2 vế của phương trình này ở bên trái rồi tích phân
theo ⃗ ta có:
Φ∗ ( ⃗ − ⃗ )

⃗

Φ ∗ ( ⃗ − ⃗)

Φ( ⃗ − ⃗ ) ⃗ + +

⃗

( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗ =

⃗
⃗

Φ∗ ( ⃗ − ⃗)


=

⃗ Φ( ⃗

− ⃗) ⃗ ;

⃗
⃗
⃗

Φ∗ ( ⃗ − ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗ +

⃗

Φ∗ ( ⃗ − ⃗) ( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗ =

⃗

=

⃗
⃗

14

Φ∗ ( ⃗ − ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗.


Vì các hàm sóng của electron trong nguyên tử Φ định xứ mạnh quanh
khu vực các nguyên tử nên Φ( ⃗ − ⃗) và Φ( ⃗ − ⃗) phủ nhau rất ít khi ⃗ ≠ ⃗.

Khi đó, ta có thể sử dụng điều kiện trực chuẩn sau:
Φ∗ ( ⃗ − ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗ =

⃗, ⃗

=

1 khi ⃗ = ⃗

=

0 khi ⃗ ≠ ⃗.
Thay vào phương trình trên để tìm E:
⃗

+

Φ∗ ( ⃗ − ⃗) ( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗ =

⃗

⃗

.

⃗

Suy ra:
=


⃗

Φ∗ ( ⃗ − ⃗ )

+

( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗.

⃗

⃗

Ta có:
Φ∗ ( ⃗ − ⃗) ( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗ =

⃗
⃗

=

⃗

Φ∗ ( ⃗ − ⃗) ( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗ +
⃗

Thay:
=

+


⃗

=

⃗ ⃗

;

⃗

⃗⃗

=

⃗

vào, ta được:

Φ∗ ( ⃗ − ⃗) ( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗ +
⃗( ⃗

+
⃗

Đặt: ℎ⃗ = ⃗ − ⃗;
ℎ⃗

Φ ∗ ( ⃗ − ⃗) ( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗.

⃗


⃗)

Φ∗ ( ⃗ − ⃗) ( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗.

⃗

= − ∫ Φ∗ ( ⃗ − ⃗) ( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗ ;

= − ∫ Φ∗ ( ⃗ − ⃗) ( ⃗)Φ( ⃗ − ⃗) ⃗.

Vậy:
=

−

ℎ⃗

−

⃗⃗

⃗

15

,(1.31)


(1.31) là năng lượng

ng electron trong ggần
ℎ⃗

> 0;

đúng liên kết mạnh;

>0

[6].
Để hiểu thêm về ý ngh
nghĩa của các kết
quả vừa thu được,
c, ta áp ddụng biểu thức
(1.31) cho trường hợpp mạng
m
tinh thể lập
phương giản đơn mộtt chi
chiều. Trong mạng
tinh thể này, mỗii nguyên tử
t có 6 nguyên tử
khác nhau ở gần
n nó nhất,
nh do đó 6 vectơ ℎ⃗ có tọa độ là: (a, 0, 0); (-a, 0, 0); (0,
a, 0); (0, a, 0); (0, 0, a); (0, 0, -a) (hình 1.2).
Ta giả thiếtt các hàm sóng nguyên tử
t có tính đốii xứng
x
cầu (các hàm
sóng của trạng

ng thái s chẳng
ch
hạn), đối vớii chúng không có phương ưu tiên.
Năng lượng củaa electron trong tinh thể,
th theo (1.31) là:
=

−

−

ℎ⃗ .

Phân tích:
=

+

+

+

+

+

.

= cos + sin ta sẽ được:
−


− 2 ( ). cos

+ cos

+ cos

.(1.32)

Từ biểu thứcc này ta có thể
th rút ra một số kết luận
n quan trọng.
tr
Trước hết,
ta thấy phần phụ thu
thuộc vào vectơ sóng ⃗ . Để cho ⃗ đượcc xác định
đ
một cách
duy nhất, ta giới hạn
n các giá trị
tr của chúng trong vùng Brillouin thứ nhất, tức
là: − ≤
các cạnh

≤ , v.v…. Vậy
V vùng Brillouin thứ nhấtt là m
một lập phương có
trong không gian ⃗ .

Vì −1 ≤ cos


≤ 1, nên các giá trị của năng lượng
ng theo (1.32)
(1.32 nằm

trong vùng có bề rộng:
ng: ∆ = 12 ( ).
Đáy củaa vùng ứng với các giá trị cos
Brillouin), ở đó năng lư
lượng có giá trị:

=

16

= 1, tức là ⃗ = 0 (tâm của vùng
−

− 6 ( ).


Đỉnh của vùng ứng với các giá trị cos
=± ,

= −1, tức là với

=± ,

= ± (các góc của vùng Brillouin). Ở đó:
=


+ 6 ( ).

−

Nếu các nguyên tử ở rất xa nhau, tức là

→ ∞ thì ( ) → 0 vì sự phủ

nhau của hai hàm sóng Φ( ⃗ − ⃗) và Φ( ⃗ − ⃗) tiến đến không. Khi đó bề
rộng của vùng năng lượng tiến đến 0: ∆ → 0 và năng lượng E tiến đến
(

− ). Điều này giúp ta giải thích sự tạo thành các vùng năng lượng trong

tinh thể.
Từ (1.32) với các giá trị k bé, khi mà .
cos

thành các chuỗi theo

cos

; cos

≪ 1 ta có thể phân tích

=1− (

: cos


) . Tương tự cho

. Khi đó, từ (1.32), ta có ở gần tâm vùng Brillouin:
=

−6 ( )+ ( )

−

=

+

−6 ( )+ ( )

−

+

.

.(1.33)

Nghĩa là quy luật tán sắc có dạng Parabol nên ta có thể viết lại (1.33) như sau:
ћ
;(1.34)
2 ∗
đóng vai trò như khối lượng m của electron tự do và được gọi là
=


ở đây

∗

−6 ( )+

−

khối lượng hiệu dụng của electron trong tinh thể. Trong trường hợp này biểu
thức của nó là:
∗

=

ћ
( )

.(1.35)

Nhận xét (1.35), ta thấy khi ( ) càng bé thì

∗

càng lớn, nghĩa là bề

rộng của vùng năng lượng càng nhỏ thì khối lượng hiệu dụng càng lớn [7].
Từ (1.33), ta có:
=2


( ),(1.36)

1
ћ

.(1.37)

nên có thể viết lại (1.36) như sau:
1
∗

=

17


1.3: Phân loại kim loại, bán dẫn, điện môi theo lý thuyết vùng năng
lượng.
Mỗi vùng năng lượng có một số giới hạn các mức năng lượng. Theo
nguyên lí Pauli: Trên mỗi mức có thể chứa không quá hai điện tử với spin
ngược nhau. Trong vùng Brillouin thứ nhất, có N vectơ sóng ⃗ khác nhau có
thể có hai hình chiếu spin, nên trong mỗi vùng năng lượng có 2N trạng thái.
Do đó, theo nguyên lí Pauli, trong một vùng năng lượng có thể có đến 2N
electron.
Electron trong vùng năng lượng bị chiếm đầy (trên mỗi mức đều có 2
electron có spin đối song) không tham gia vào quá trình dẫn điện trong tinh
thể. Đó là vì trong vùng đầy, không còn trạng thái tự do. Khi có điện trường
ngoài đặt vào tinh thể, muốn có sự dẫn điện, phải có sự chuyển động có
hướng của electron tức là vectơ sóng ⃗ của các electron phải định hướng ưu
tiên theo một phương. Vì mỗi mức năng lượng (ứng với mỗi giá trị của ⃗ ) đều

có hai electron, nên không còn mức năng lượng trống, nghĩa là electron không
thay đổi được giá trị của ⃗ và không thể tham gia vào quá trình dẫn điện.
Vùng năng lượng bị chiếm đầy hoàn toàn gọi vùng hóa trị. Nếu vùng năng
lượng có nhiều mức năng lượng còn trống, mà electron trong vùng có thể
chuyển lên được dưới tác dụng của điện trường ngoài thì vùng đó được gọi là
vùng dẫn. Nếu vùng mà không chứa một mức năng lượng nào để electron
chiếm chỗ gọi là vùng cấm. Với một số nhất định các điện tử trong chất rắn
chỉ một số vùng năng lượng thấp nhất bị lấp đầy. Tùy theo mức độ lấp đầy
của vùng năng lượng mà ta chia vật rắn thành 2 nhóm (Hình 1.3):
Nhóm 1: Là nhóm bao gồm những vật mà ở trên vùng năng lượng bị
lấp đầy hoàn toàn, là vùng năng lượng chỉ bị lấp đầy đến mức

.

Nhóm 2: Bao gồm các vật phía trên ở vùng năng lượng bị lấp đầy hoàn
toàn là vùng bị trống hoàn toàn.

18


Bề rộng
ng vùng cấm
c
là ∆

là khoảng cách giữaa hai vùng là vùng hóa tr
trị

và vùng dẫn.
Tính chất dẫn

n đi
điện của tinh thể được quyết định bởii sự
s chiếm các vùng
năng lượng và sự đặtt tương đđối của các vùng [7].
Nhận xét:
Vớii nhóm 1: Khi có một
m điện trường yếu, điện tử ở ngay cạnh mức
sẽ đượcc kích thích tăng tốc
t và nhảy lên mức

còn trống.
ng. Kết
K quả là điện tử

chuyển động dướii tác dụng
d
của điện trường và tạo thành dòng điện khác 0.
Đó là dòng điện
n trong kim loại.
Với nhóm 2: Tùy thuộc
thu vào bề rộng vùng cấm ∆

mà có 2 khả năng

xảy ra:
- Khả năng 1: Nếu
N bề rộng vùng cấm tương đối rộ
ộng nghĩa là ∆
k T(≈ 3eV) với


≫

là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt
tuy đối thì khi có

điện trường yếu sẽ không làm
l phá vỡ cấu trúc. Như vậy,, điện
đi tử sẽ không thể
chuyển động từ vùng lấp
l đầy (vùng hóa trị) qua vùng cấm
m để
đ lên vùng trống
(vùng dẫn).. Do năng lượng
lư
mà điện trường cung cấp
p còn nh
nhỏ hơn cả năng
lượng chuyển động
ng nhi
nhiệt k T của hạt mang điện
n nên không th
thể thắng được bề
rộng vùng cấm để hạt
h mang điện có thể nhảy
y qua vùng ccấm lên mức năng
lượng của vùng dẫn.
n. Kết
K quả là không có dòng điện.. Đó là trư
trường hợp của
điện môi (Hình 1.3 a).


Hình 1.3

19


- Khả năng 2: Nếu bề rộng vùng cấm hẹp hay ∆

≪ k T(≈ 3eV), khi

ở nhiệt độ phòng (3000 K) chuyển động nhiệt có thể chuyển một số electron
từ vùng hóa trị lên vùng dẫn. Khi đó tạo ở vùng hóa trị (vùng lấp đầy) lỗ
trống. Khi đặt vào trong điện trường yếu, những electron được chuyển lên
vùng dẫn có thể dễ dàng chuyển lên các mức năng lượng cao hơn trong vùng
và tham gia dẫn điện. Chúng được gọi là các electron tự do hay các electron
dẫn. Ngoài ra, các trạng thái ở vùng hóa trị bị trống hay chính là lỗ trống cũng
tham gia dẫn điện. Chúng có tính chất giống như các hạt mang điện tích
dương. Như vậy, tinh thể dẫn điện nhờ hai loại hạt mang điện: electron tự do
mang điện âm và lỗ trống mang điện dương. Vật rắn như thế gọi là bán dẫn.
Sự dẫn điện như vừa mô tả là sự dẫn điện riêng của bán dẫn (Hình 1.3 b) [6].
So sánh sự khác nhau giữa kim loại, chất bán dẫn và điện môi: Sự dẫn
điện trong kim loại là sự chuyển dời có hướng của electron. Với chất bán dẫn
là sự chuyển dời của electron và lỗ trống. Còn với điện môi thì không có sự
chuyển dời (không dẫn điện).
1.4: Tính chất của electron theo lý thuyết vùng năng lượng.
1.4.1: Phương trình chuyển động của electron.
Để giải bài toán đơn giản hơn, ta xét electron chuyển động trong mạng
tinh thể đơn giản một chiều. Trạng thái của electron trong tinh thể được xác
. ⃗. ⃗


định bởi hàm sóng Block: Ѱ( ⃗) =

( ⃗) với

( ⃗ + ⃗) =

( ⃗); ứng

với vectơ sóng ⃗ . Vận tốc chuyển động của electron liên hệ với tần số góc ω
của sóng electron:
v=

dω
;
dk

trong đó: ω là tần số góc của sóng và liên hệ với năng lượng E của electron
theo hệ thức: ω = . Do đó:
ћ

v=

1 dE
;(1.38)
ћ dk
20


(1.38) cho thấy muốn xác định được vận tốc của electron thì ta cần biết sự
phụ thuộc của E theo k.

Đối với electron tự do: E =

ћ

, do đó ta có ngay:

v=

ћk p
= .
m m

Trong tinh thể nói chung năng lượng không tỉ lệ với k , mà phụ thuộc
một cách phức tạp như đã thấy ở các mục trước.
Trong trường hợp 3 chiều, biểu thức cho vận tốc electron trở thành:
1
1
v⃗ = grad ⃗ = ∇⃗ ⃗ E.(1.39)
ћ
ћ
Khi có trường ngoài, chẳng hạn điện trường ⃗, tác dụng vào electron
trong tinh thể và giả sử lúc đầu electron ở trong trạng thái k. Công E mà điện
trường thực hiện trên electron trong khoảng thời gian t là: E = −e v t.
Vì rằng: E =

k = ћvδk[dựa vào (1.38)]. Vậy:
δk = −

e
dk

thayћ
= −e ,
ћ
dt

ở đây −e = F là ngoại lực tác dụng lên electron.
Vì vậy, phương trình chuyển động của electron trong trường hợp tổng
quát là:
ћ

dk⃗
= F⃗.(1.40)
dt

Kết quả này cho thấy trong tinh thể ћ

⃗

bằng ngoại lực tác dụng lên

electron. Còn với electron tự do thì ngoại lực bằng

(

⃗)

. Điều đó không có

nghĩa là trong tinh thể định luật II Newton bị vi phạm. Vấn đề là electron
trong tinh thể vừa chịu tác dụng lực của mạng tinh thể, vừa chịu tác dụng của

trường lực ngoài. Nếu ta cố ý biểu thị chuyển động tổng hợp của electron chỉ

21


qua tác dụng của trường lực ngoài, thì không có gì lạ là phương trình chuyển
động của electron không thể có dạng đơn giản:
F⃗ = ma⃗.
Các phép tính đã cho thấy khi trường lực ngoài là từ trường không
mạnh lắm đến mức có thể thay đổi cấu trúc vùng năng lượng của vật rắn thì ta
vẫn có thể áp dụng công thức (1.39) cho lực Lorenx tác dụng lên electron
trong tinh thể đặt trong từ trường. Khi đó, phương trình chuyển động của
electron trong từ trường không đổi B⃗ có dạng:
dk⃗
ћ
= −ev⃗˄B⃗,
dt
hoặc nếu áp dụng (1.39) ta có:
dk⃗
e
= − ∇⃗ ⃗ E˄B⃗.(1.41)
dt
ћ
Phương trình (1.41) mô tả chuyển động của electron trong không gian
k⃗. Từ đó ta thấy trong từ trường electron chuyển động theo phương vuông góc
với phương gradien năng lượng, nghĩa là electron chuyển động trên mặt đẳng
năng. Vectơ

⃗


vuông góc với phương B⃗, nghĩa là trong không gian k⃗, chuyển

động xảy ra trên mặt phẳng vuông góc với vectơ B⃗. Quỹ đạo của electron
chính là giao tuyến của mặt phẳng này với mặt phẳng đẳng năng [7].
1.4.2: Phương trình chuyển động của lỗ trống.
Khái niệm về lỗ trống là kết quả đặc biệt lí thú được rút ra từ lý thuyết
vùng năng lượng của vật rắn. Ta hãy xét một vùng hóa trị của điện môi, vốn
bị chiếm hoàn toàn, nhưng vì một lí do gì đó, có một electron bị bứt ra (chẳng
hạn do hiệu ứng quang điện). Ta xét bài toán gồm hệ 2N-1 electron và có thể
coi hệ này như một hạt mà ta gọi là lỗ trống. Nói khác đi, trạng thái electron
không bị chiếm ở trong vùng được phép gọi là lỗ trống. Có bao nhiêu trạng

22