LỜI CẢM ƠN
Trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới
người hướng dẫn em là GS.TS. Đào Vọng Đức, người đã tận tình giúp đỡ em
trong suốt quá trình thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Ban Chủ Nhiệm khoa Vật
Lý, các thầy cô giáo trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện
thuận lợi để em hoàn thành khóa luận này.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè luôn động viên,
tạo điều kiện giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành khóa
luận.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Khuyên


LỜI CAM ĐOAN
Đề tài này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên
cứu dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Đào Vọng Đức .
Trong quá trình nghiên cứu em đã kế thừa kết quả khoa học của các
nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn sâu sắc.
Em xin cam kết đề tài: “Cấu trúc quark của hạt cơ bản” không có sự
trùng khớp với các luận văn của tác giả khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012.
Sinh viên

Nguyễn Thị Khuyên

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1.

Lý do chọn đề tài…………………………………………………….

2.

Mục đích nghiên cứu ………………………………………………... 4

3.

Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………………………………….. 4

4.

Đối tượng nghiên cứu ……………………………………………….

4

5.

Phương pháp nghiên cứu ……………………………………………

4

6.


Kết cấu nội dung……………………………………………………... 4

1

PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: HẠT CƠ BẢN VÀ TÍNH CHẤT LƢỢNG TỬ CỦA
CHÚNG.
1.1.

Các số lượng tử của hạt cơ bản………………………………….. 5

1.1.1.

Khối lượng tĩnh………………………………………………….. 5

1.1.2.

Spin s……………………………………………………………. 6

1.1.3.

Điện tích Q………………………………………………………

1.1.4.

Momen từ……………………………………………………….. 6

1.1.5.


Thời gian sống  ………………………………………………..

1.1.6.

Phản hạt…………………………………………………………. 7

1.1.7.

Số lạ S…………………………………………………………… 7

6

6


1.1.8.

Số baryon B……………………………………………………... 9

1.1.9.

Số lepton L………………………………………………………

10

1.1.10. Spin đồng vị I…………………………………………………… 10
1.2.

Phân loại hạt cơ bản…………………………………………….


11

1.3.

Công thức Gellman – Nishijma…………………………………

12

CHƢƠNG 2: NHÓM ĐỐI XỨNG SU(3).
2.1.

Định nghĩa………………………………………………………… 15

2.2.

Nhóm biến đổi SU(3)……………………………………………... 24

2.3.

Đa tuyến (biểu diễn) của nhóm SU(3)……………………………. 25

CHƢƠNG 3: CẤU TRÚC QUARK CỦA HẠT CƠ BẢN.
3.1.

Các số lượng tử của quark………………………………………… 40

3.2.

Cấu trúc quark của hạt cơ bản…………………………………….. 45


PHẦN III: KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


PHẦN I: MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài:
Vật lý hạt nhân nghiên cứu cấu trúc, tính chất và biến đổi của hạt nhân
nguyên tử. Hiện nay người ta nghiên cứu hạt nhân theo hai hướng:
+ Thực nghiệm: Nghiên cứu từng hạt nhân riêng biệt để khám phá quy
luật cơ bản của hạt nhân.
+ Lý thuyết: Nghiên cứu hạt nhân từ các thành phần của nó tức là nghiên
cứu hạt cơ bản.
Vật lý hạt cơ bản nghiên cứu tính chất hạt cơ bản và phản hạt của chúng,
nghiên cứu sự tương tác và quá trình biến đổi giữa các hạt cơ bản, nghiên cứu
mối quan hệ giữa các hạt cơ bản với trường lực. Hạt cơ bản là những thực thể
vi mô tồn tại như một hạt nguyên vẹn, đồng nhất không thể tách thành các hạt
nhỏ hơn, ví dụ như hạt photon, electron, positon, nơtrino…. Đó là thành phần
cấu tạo nên thế giới vật chất vô cùng phong phú của chúng ta. Sự gia tăng
mau lẹ của các hạt cơ bản làm người ta nghi ngờ tính “cơ bản” của hạt.
Các hạt thực sự đã cơ bản hay chưa hay còn một cấu trúc bên trong?
Một vấn đề quan trọng khi nghiên cứu về các hạt cơ bản là nghiên cứu
sự tương tác giữa chúng. Hạt cơ bản tham gia vào các tương tác:
+ Tương tác mạnh:
Gắn kết các hạt quark thành hạt cơ bản, các hạt nucleon thành hạt nhân.
Khi lượng tử hóa tương tác mạnh, thành phần lượng tử truyền tương tác mạnh
là gluon. Tương tác mạnh chỉ tồn tại trong kích thước khoảng ≤ 10-15m, hằng
số tương tác Gsk.
1



+ Tương tác yếu:
Do cấu trúc nội tại của hạt gây nên, không phụ thuộc vào tác nhân kích
thích bên ngoài, không phụ thuộc chất ấy trong môi trường tạp chất hay như
thế nào, dẫn đến sự phân rã các hạt. Tương tác yếu chi phối tất cả các hạt trừ
photon. Khi lượng tử hóa thì lượng tử truyền tương tác yếu là W  ,W  , Z .
Hằng số tương tác yếu Gn.
+ Tương tác điện từ:

F

kq1q2
.
r2

Nm 2
1

Trong hệ SI: k  9.10
,  là hằng số điện môi.
C
4
9

Đối với những thành phần mang điện cường độ được tính theo công thức
trên. Tương tác điện từ của sóng điện từ và sóng ánh sáng tính theo phương
trình Maxwell – Faraday. Tương tác điện từ do ma sát, đàn hồi, lực cơ bắp
được tính nhờ công thức chuyển hóa giữa công và năng lượng : Công thực
hiện được bằng độ biến thiên thế năng của vật. Tương tác điện từ thực hiện
qua trường điện từ. Khi lượng tử hóa hạt truyền tương tác điện từ là photon

ánh sáng  . Hằng số tương tác điện từ là Ge.
+ Tương tác hấp dẫn:

Fhd  G

m1m2
,
r2

G  6,67.1011

Nm2
.
kg 2

Tương tác hấp dẫn chi phối tất cả các hạt có khối lượng và bán kính tác
dụng không giới hạn. Lượng tử hóa tương tác hấp dẫn, phần tử truyền tương
tác là graviton. Khi nghiên cứu các hạt cơ bản thì tương tác hấp dẫn nhỏ
2


không đáng kể vì khối lượng hạt cơ bản rất nhỏ. Khi nghiên cứu vật thể trong
vũ trụ đóng vai trò quan trọng. Hằng số tương tác hấp dẫn Gg.
Nếu trong thế giới hạt cơ bản coi tương tác mạnh có hằng số tương tác là
1 thì: Gsk : Ge : Gn : Gg  1:103 :105 :1039 .
Dựa vào các tương tác người ta chia hạt cơ bản thành hai loại:
+ Hadron: chỉ có tương tác mạnh và tương tác khác.
Trong hadron người ta chia thành hai loại:
Các baryon (hạt nặng ): n, p, ... là các Fecmion.
Các meson (trung bình):  0 ,   ... là các Boson.

+ Lepton: các hạt nhẹ, không có tương tác mạnh, chỉ có tương tác yếu,
điện từ, hấp dẫn.
e , e ,   ,   ,  ,  tuân theo tương tác điện từ và yếu.

 e ,  ,  chỉ có tương tác yếu.
Đối với tương tác mạnh do hằng số tương tác lớn không thể áp dụng lý
thuyết nhiễu loạn để nghiên cứu mà người ta sử dụng một phương pháp khác
có hiệu quả là dùng lý thuyết nhóm đối xứng. Khi dùng lý thuyết nhóm đối
xứng, người ta chứng minh các hạt cơ bản sắp xếp thành đa tuyến của nhóm
đối xứng SU(3) và dùng lý thuyết nhóm đối xứng SU(3) đã xác định được các
số lượng tử của các hạt cơ bản khá phù hợp với thực nghiệm. Dựa trên cơ sở
của lý thuyết nhóm đối xứng SU(3) người ta đưa ra lý thuyết quark, quark là
những hạt cơ bản cấu tạo nên vật chất hiện nay. Để rõ hơn về điều này, em đã
lựa chọn đề tài “ cấu trúc quark của hạt cơ bản”. Thông qua đề tài em
muốn “bức tranh” tổng quát về vật lý học phần nào được thể hiện rõ, hy vọng

3


luận văn sẽ giúp chúng ta có cái nhìn mới mẻ về vi hạt cơ bản cấu thành nên
thế giới vật chất vô cùng phong phú của chúng ta.
2. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu cấu trúc quark của hạt cơ bản.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
Để nghiên cứu cấu trúc quark của hạt cơ bản cần thực hiện các nhiệm vụ
sau:
– Tìm hiểu các tính chất lượng tử của hạt cơ bản.
– Tìm hiểu lý thuyết nhóm đối xứng SU(3).
– Nghiên cứu cấu trúc quark của hạt cơ bản dựa trên nhóm đối xứng
SU(3).

4. Đối tƣợng nghiên cứu :
– Các quark cấu tạo nên hạt cơ bản.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu:
– Sử dụng phương pháp nghiên cứu của vật lý lý thuyết và các phương
pháp của lý thuyết nhóm đối xứng.
6. Kết cấu nội dung:
Chương 1: Hạt cơ bản và tính chất lượng tử của chúng.
Chương 2: Nhóm đối xứng SU(3).
Chương 3: Cấu trúc quark của hạt cơ bản.

4


PHẦN II: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: HẠT CƠ BẢN VÀ TÍNH CHẤT
LƢỢNG TỬ CỦA CHÚNG.

Hạt cơ bản là những viên gạch đầu tiên xây dựng lên thế giới vật chất
như: e, p, n, e ,  , ,... .Trước đây người ta quan niệm hạt cơ bản là nhỏ nhất
không phân chia được, xong ngày nay các hạt cơ bản vẫn có cấu trúc từ các
quark.
Điện tử là hạt được phát hiện đầu tiên vào năm 1897. Đến nay, kể cả các
phản hạt thì danh sách các hạt cơ bản đã lên tới 200 và ngày càng có nhiều hạt
cộng hưởng được phát hiện.
1.1. Các số lƣợng tử của hạt cơ bản.
1.1.1. Khối lƣợng tĩnh.
+ Các hạt đều có khối lượng tĩnh khác 0, trừ photon và nơtrino có khối
lượng tĩnh bằng 0.
+ Các hạt này tuân theo công thức Einstein:
m0 


1
 2  c2 p2 .
2
c

(1.1)

Biết năng lượng  (nhờ đo độ dài vết nhảy hạt xuất hiện), biết xung
lượng p của hạt (đo độ cong của quỹ đạo của hạt trong từ trường cho phép xác
định p nhờ mối liên hệ giữa bán kính quỹ đạo với xung lượng) ta sẽ xác định
được khối lượng tĩnh của hạt.

E0  m0c 2 nên khối lượng có thể đo bằng đơn vị năng lượng.
5


1.1.2. Spin s.
Spin là đại lượng lượng tử đặc trưng cho momen riêng của hạt lượng tử
có đơn vị đo là  (hằng số lượng tử Plank),   1,054.1034 J .s .
+ Các hạt cơ bản có spin nguyên lần  là các hạt Bose.
+ Các hạt cơ bản có spin bán nguyên lần  là các hạt Fecmion.
1.1.3. Điện tích Q.
Điện tích của mọi hạt quan sát được bằng bội nguyên lần điện tích
nguyên tố e:
Q  n.e ,

(1.2)

e = 1,602.10-19 (C): Điện tích nguyên tố.

Trừ các hạt cộng hưởng có điện tích lớn hơn điện tích nguyên tố, còn lại
các hạt cơ bản khác có điện tích nguyên tố là –e, +e hoặc 0 (như  , , 0 ,n ).
1.1.4. Momen từ.
Momen từ của các hạt cơ bản là tổng của momen từ quỹ đạo và momen
từ riêng.
1.1.5. Thời gian sống.
Đa số các hạt cơ bản có thời gian sống xác định, tức là chỉ sống trong
thời gian ngắn rồi phân rã thành những hạt khác. Người ta chỉ thấy một số ít
hạt bền vững (thời gian sống coi là vô cùng), ví dụ như photon, hạt  , nơtrino

 , e , e , p.
Người ta xác định thời gian sống  bằng cách đo độ dài đường bay l
của hạt từ khi nó phát sinh đến lúc nó phân rã:

6


l
 ,
v

(1.3)

l : Quãng đường hạt bắt đầu xuất hiện đến lúc biến mất.

v : Vận tốc của hạt.
Đối với các hạt cộng hưởng  vào cỡ 10-23 s,    cỡ 9,8 s,   meson cỡ
2,603.10-8 s.
1.1.6. Phản hạt.
Mỗi hạt cơ bản có phản hạt tương ứng, phản hạt có cùng khối lượng,

cùng spin, cùng thời gian sống nhưng điện tích và momen từ ngược dấu với
hạt.
Ví dụ như e  và e  thì me  me  9,31.1031 kg, cùng spin s 

1
, cùng
2

thời gian sống    , nhưng có điện tích qe  qe  1,602.1019 C .
Các hạt và phản hạt tương ứng:
Hạt

Phản hạt

e

e

p

p

n

n






0
Trường hợp đặc biệt hạt và phản hạt trùng nhau là  và  ,  0 và  .

1.1.7. Số lạ S.

7


Năm 1947 – 1953 người ta tìm thấy một loại hạt cơ bản mới, đó là các
meson K  , K 0 (khối lượng vào khoảng 965 lần khối lượng electron) và các hạt
hypeson có khối lượng lớn hơn hoặc bằng khối lượng nucleon đó là
 0 ,  , 0 ,   , 0 ,   ,  ; người ta gọi chúng là các hạt lạ vì chúng có 2 đặc

điểm sau:
– Chúng sinh ra trong quá trình rất nhanh (thời gian xảy ra quá trình cỡ
10-23 s) và phân rã trong các quá trình chậm (cỡ 10-8 s).
– Bao giờ cũng đồng thời sinh ra hai ba loại hạt lạ nhưng không bao giờ
chỉ sinh ra lẻ loi một hạt lạ hay vài hạt lạ cùng loại.
Thí dụ có thể xảy ra các phản ứng sau:

   p  0  K 0

(1.4)

   p    K 

(1.5)

   p    K   K 0


(1.6)

Nhưng không thể xảy ra các phản ứng:

   p  n  K0

(1.7)

n  n  0  0

(1.8)

Để đặc trưng cho các đặc điểm trên của hạt lạ người ta đưa ra một số
lượng tử mới gọi là số lạ S.
Bảng 1.1. Số lạ của các hạt lạ.
Hạt

K

K0

0



0



0






Số lạ S

1

1

-1

-1

-1

-1

-2

-2

-3

8


Các hạt khác (không lạ) như p, n có S bằng 0.
Các phản hạt có số lạ ngược dấu với số lạ của hạt tương ứng.

Để giải thích các quá trình sinh hạt lạ người ta đưa ra định luật bảo toàn
số lạ:“Tổng (đại số) số lạ của hệ bảo toàn (S  0) ”.
Tổng số lạ ở hai vế của (1.4) là 0  0  1  1(S  0) .
Tổng số lạ ở hai vế của (1.5) là 0  0  1  1(S  0) .
Nhờ định luật bảo toàn số lạ có thể giải thích được tại sao không xảy ra
các quá trình (1.7) và (1.8):
Tổng số lạ ở hai vế của (1.7) là 0  0  0  1?(S  1) .
Tổng số lạ ở hai vế của (1.8) là 0  0  1  1?(S  2) .
Vậy quá trình (1.7) và (1.8) không xảy ra vì nó không bảo toàn số lạ.
1.1.8. Số baryon B.
Các hạt cơ bản có khối lượng lớn hơn hoặc bằng khối lượng nucleon gọi
là hạt baryon (hạt nặng). Các hạt baryon bao gồm các nucleon  p, n  và các
hypeson  0 ,  , 0 ,  , 0 ,   ,   .
Điều đặc biệt là trong các quá trình biến đổi mỗi khi mất đi một baryon
bao giờ cũng có một baryon mới xuất hiện, ví dụ:

p  p  p    K 0
0  p   

   p  K0  0

9

(1.9)
(1.10)
(1.11)


Để mô tả các quá trình có baryon tham gia người ta đưa vào sồ lượng tử
mới là số baryon B. Số baryon của các hạt baryon bằng 1, của các phản hạt

của chúng đều bằng -1.
Định luật bảo toàn số baryon:
“Trong các quá trình biến đổi, tổng (đại số) số baryon của hệ không đổi

(B  0) ”.
1.1.9. Số lepton L.
Các hạt nhẹ có khối lượng cỡ khối lượng electron gọi là hạt lepton như

e, , . Những hạt lepton có số lepton bằng 1, còn phản hạt của chúng bằng
-1. Những hạt không phải lepton có số lepton bằng 0.
Định luật bảo toàn số lepton:
“Trong quá trình biến đổi, tổng (đại số)số lepton của hệ không đổi

 L  0 ”.
1.1.10. Spin đồng vị I.
Ta biết rằng tương tác giữa các nucleon trong hạt nhân có một đặc tính là
không phụ thuộc vào điện tích, có nghĩa là tương tác giữa n – p, p – n, n – n là
như nhau (nếu các nucleon đó ở trạng thái như nhau). Nói cách khác, trong
tương tác hạt nhân hai hạt p và n không khác gì nhau. Người ta cho rằng khối
lượng của p và n khác nhau là do p có mang điện tích (nghĩa là do tương tác
điện từ).
Như vậy trong tương tác hạt nhân người ta có thể coi p và n là hai trạng
thái của cùng một hạt tức là hạt nucleon. Để tiện tính toán người ta đưa ra một
đại lượng gọi là spin đồng vị I.
Nếu hệ có spin thông thường là s thì hệ sẽ có 2s + 1 trạng thái ứng với
các hình chiếu khác của spin. Tương tự nếu hệ có spin đồng vị I thì hệ có 2I +
10


1 trạng thái ứng với các giá trị khác nhau của hình chiếu spin đồng vị lên một

trục nào đó. Do đó, khái niệm spin đồng vị cho phép mô tả các trạng thái điện
khác nhau của cùng một hạt.
Thí dụ: Nucleon có 2 trạng thái điện nghĩa là 2 I  1  2  I 

1
.
2

p và n là hai trạng thái của nucleon khác nhau về hình chiếu I của spin
đồng vị:
+ p có I z 

1
.
2

1
+ n có I z   .
2
Tương tự hạt   ,  0 ,   ứng với 3 giá trị hình chiếu Iz của spin đồng vị
của  .
+   có I z  1 .
+  0 có I z  0 .
+   có I z  1 .
Người ta nói,  p, n  hợp thành một đôi đồng vị,   , 0 ,   hợp thành
bộ ba đồng vị. Đặc biệt hạt 0 hợp thành một bộ đơn đồng vị có I = 0, Iz =0.
1.2. Phân loại hạt cơ bản.
Dựa vào số lượng tử người ta chia hạt cơ bản thành 4 loại:
+ Photon  : Hay còn gọi là bozon không khối lượng, photon là lượng tử
ánh sáng, khối lượng tĩnh bằng 0, điện tích bằng 0, spin bằng 1.


11


+ Hạt lepton: Các hạt nhẹ gồm nơtrino  , electron  e và myon   cùng
các phản hạt của chúng. Có 2 loại nơtrino, một loại luôn đi với electron  e và
một loại luôn đi với myon   .
Ví dụ:

p  n  e   e

(1.12)

n  p  e  e

(1.13)

      

(1.14)

      

(1.15)

Do đó người ta phân ra 2 họ lepton:
– Lepton electron (e, e ) .
– Lepton myon (  ,  ) .
+ Hạt mezon: Các hạt trung bình có khối lượng cỡ khoảng 200 – 900 lần
khối lượng electron. Có hai nhóm mezon là mezon  (  , 0 ,  ) và mezon


K (K  , K 0 ) .
+ Hạt baryon: Các hạt nặng có khối lượng hoặc lớn hơn khối lượng
nucleon.
Có hai nhóm baryon là:
– Nucleon  p, n  .
– Hypeson  0 ,  , 0 ,  , 0 ,   ,   .
Các meson  , K và các baryon có tên chung là các hadron.
1.3. Công thức Gellman – Nishijma.
12


Đối với các hadron, Gellman – Nishijma đã đưa ra công thức sau đây
liên hệ giữa điện tích Q, hình chiếu spin đồng vị I3, số lạ S, số baryon B, số
lepton L…của mỗi hạt.

Q  I3 

B  S  L  ...
,
2
Q  I3 

hay

Y
.
2

Với Y  S  B  L  ... .

Trong đó:
Q: Điện tích của hạt tính theo đơn vị điện tích nguyên tố e.
I3: Hình chiếu spin đồng vị.
Y: Siêu tích.
L: Số lepon.
S: Số lạ.
B: Số baryon.
Ví dụ:
+ Đối với proton:

Q  I3 

B  S  L  ...
1 1 0
Q 
 1 e  .
2
2
2

Vậy proton có điện tích Q bằng 1 e .
+ Đối với nơtron:

Q  I3 

B  S  L  ...
1 1 0
Q  
 0  e .
2

2
2

Vậy nơtron có điện tích Q bằng 0  e .
13

(1.16)

(1.17)
(1.18)


Kết luận:
– Hạt cơ bản được đặc trưng bởi các số lượng tử: khối lượng tĩnh, spin,
điện tích, momen từ, thời gian sống, số lạ, số baryon, số lepton và spin đồng
vị.
– Dựa vào số lượng tử người ta chia hạt cơ bản thành 4 loại: photon  ,
hạt lepton, hạt meson và hạt baryon.
– Đối với các hạt tham gia tương tác mạnh thì điện tích được xác định
bằng công thức Gellman – Nishijma, chú ý điện tích của hạt tính theo đơn vị
điện tích nguyên tố e.

14


CHƢƠNG 2: NHÓM ĐỐI XỨNG SU(3).

2.1. Định nghĩa:
Tập hợp các ma trận 3  3 , Unita có định thức bằng 1 thỏa mãn các tính
chất của nhóm (tính kết hợp, tính kín, phần tử đơn vị, phần tử nghịch đảo) tạo

thành nhóm đối xứng SU(3).
Bất kì phần tử nào của nhóm đối xứng SU(3) đều có thể được viết dưới
dạng:
g  SU (3), g  e

iwa

a
2

(a  1,8) .

(2.1)

Trong đó:

wa – Các số thực.

a – Các vi tử của nhóm đối xứng SU(3).
gg   I (I là ma trận đơn vị).
det g  1.

Các ma trận a phải thỏa mãn điều kiện:

a  a ,

(2.2)

spa  0 .


(2.3)

+) Chứng minh công thức (2.2): a  a .
Ta có:

g e


a
iwa 2

g e
15

 iwa

,
a
2

.


Xét với wa là các vô cùng bé, khai triển Fouriê hàm mũ ta được:

g  I  iwa

a
2


a

g   I  iwa

2

 ...

 ...

a – Ma trận 3  3 .
wa – Đại lượng vô cùng bé.






gg   I  iwa a  ...  . I  iwa a  ... 
2
2




a

a

wa2

 I  iwa
 iwa 
a a  ...
2
2
4
     w2
 I  iwa  a  a   a a a  ...
2  4
 2
Khi xét đến vô cùng bé wa bậc nhất thu được:

 a a 
gg  I  I  iwa  
I
2 
 2


 a a 
 iwa     0  a  a .
2 
 2
Vậy công thức (2.2) được chứng minh.
+) Chứng minh công thức (2.3): spa  0.
Ta có:
det g  det(e

e


iwa

a

sp ln( I iwa

16

2

)e

a
2

)

sp ln e

e


iwa a
2

sp ( iwa

a
2


)


det g  1  e

sp ( iwa

 iwa sp

a
2

)

a
2

 1  sp(iwa

a
2

)0

 0  spa  0.

Vậy công thức (2.3) được chứng minh.
Chú ý: “sp” là phép toán lấy vết của ma trận hay lấy tổng các phần tử trên
đường chéo chính.
Các ma trận a này thường được chọn là các ma trận Gellman:

0 1 0
 0 i 0 
1 0 0
0 0 1






1   1 0 0  , 2   i 0 0  , 3   0 1 0  , 4   0 0 0  ,
0 0 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0








 0 0 i 
0 0 0
0 0 0 
1 0 0 
1 








5   0 0 0  , 6   0 0 1  , 7   0 0 i  , 8 
0
1
0

.
3
i 0 0 
0 1 0
0 i 0 
 0 0 2 









Các ma trận a thỏa mãn các hệ thức:

c
 a b 
 2 , 2   if abc . 2 (a, b, c  1,8) ,


(2.4)

c
 a b 
 ,   d abc .  2 ab .
2
2 2

(2.5)

Trong đó:

f abc – Hằng số cấu trúc nhóm SU(3) hoàn toàn phản đối xứng theo 3 chỉ
số a, b, c.

d abc – Hằng số cấu trúc nhóm SU(3) hoàn toàn đối xứng theo 3 chỉ số a,
b, c.
17


1 khi a  b
.
0 khi a  b

 ab  

Việc chọn các ma trận a (a  1,8) là tùy ý nhưng cần thỏa mãn điều kiện
(2.2)  (2.5) và thỏa mãn điều kiện:
sp(a b )  2 ab (a, b  1,8) .


(2.6)

Thật vậy:
– Kiểm tra điều kiện (2.2):
+ Với a=1:
0 1 0
0 1 0
1   1 0 0   1   1 0 0  .
0 0 0
0 0 0





Do đó 1  1 .
+ Với a = 5:
 0 0 i 
 0 0 i 



5   0 0 0   5   0 0 0  .
i 0 0 
i 0 0 






Do đó 5  5 .
Tương tự ta cũng kiểm tra được các i khác cũng thỏa mãn điều kiện
(2.2).
– Kiểm tra điều kiện (2.3):
+ Với a = 1:

18


0 1 0
1   1 0 0  có sp1  0  0  0  0 .
0 0 0



+ Với a = 3:
1 0 0
3   0 1 0  có sp3  1  1  0  0 .
0 0 0



Hoàn toàn tương tự ta cũng kiểm tra được các i khác cũng thỏa mãn
điều kiện (2.3).
– Chứng minh công thức (2.6): sp(a b )  2 ab (a, b  1,8) .
+ Chọn a = 1, b = 1:

0 1 0 0 1 0 1 0 0
a b  11   1 0 0  . 1 0 0    0 1 0 

0 0 0 0 0 0 0 0 0


 

 sp(11 )  1  1  0  2  2.1  2 11.
+ Chọn a = 1, b = 2:

 0 1 0   0 i 0   i 0 0 
a b  12   1 0 0  . i 0 0    0 i 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0


 

 sp(12 )  i  i  0  0  2.0  2 12 .
Tương tự, chọn a và b tùy ý (a, b  1,8) ta đều thấy chúng thỏa mãn công
thức (2.6).
Như vậy, các ma trận Gellman như trên là hoàn toàn phù hợp.

19


i
sp a , b  c  ,
4

(2.7)

1

dabc  sp a , b  c  .
4

(2.8)

f abc 

Sử dụng công thức (2.6): sp  ab   2 ab ta thu được công thức (2.7) và
(2.8) như sau:


  
+ Từ công thức (2.4):  a , b   if abc . c (a, b, c  1,8) .
2
2 2
Nhân trái hai vế với c rồi lấy sp hai vế ta được:

    


sp   a , b  .c   if abc .sp  c .c  .
2 
 2 2  
Do sp  cc   2 cc  2 nên đẳng thức trên có dạng:
1
1
if abc . .2  sp  a , b  c 
2
4
i

 f abc  sp  a , b  c 
4
 Công thức (2.7) được chứng minh.


  
+ Từ công thức (2.5):  a , b   d abc . c  2 ab .
2
2 2
Nhân trái hai vế với c sau đó lấy sp hai vế ta được:

    


sp   a , b .c   d abc .sp  c .c   2 ab .spc
2 
 2 2  
Vì sp  cc   2 cc  2 và spc  0 nên đẳng thức trên có dạng:

20


1
d abc . .2  sp a , b  c 
2
1
 d abc  sp a , b  c  .
4
 Công thức (2.8) được chứng minh.


  Tính giá trị cụ thể của hằng số cấu trúc:
– Hằng số cấu trúc phản đối xứng f abc theo 3 chỉ số a, b, c (a, b, c  1,8) .

f abc 

i
sp a , b  c  .
4

a) f123:

f123 

i
sp  1 , 2  3 
4

1, 2   12  21
0
  1
0

 2i
  0
0


1 0   0 i 0   0 i 0   0 1 0 
0 0  . i 0 0    i 0 0  . 1 0 0 
0 0   0 0 0   0 0 0   0 0 0 

0 0
2i 0  .
0 0 

 2i 0 0   1 0 0   2i 0 0 
1, 2  3   0 2i 0 . 0 1 0    0 2i 0 
0
0 0   0 0 0   0 0 0 


 sp 1, 2  3   2i  2i  0  4i .
 f123 

i
.4i  1 .
4

b) f458:
21