LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý- Trường
Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, đặc biệt là
thầy hướng dẫn Th.S Hà Thanh Hùng người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo,
tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian thực hiện luận văn này.
Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động
viên em trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày…tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Ngọc Ánh


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận này là kết quả của bản thân tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của thầy giáo Th.S Hà Thanh Hùng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành khóa luận, tôi có tham khảo một số
tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài: “Bổ đính hàm đỉnh ba điểm
sQED ở bậc một vòng” là trung thực và không trùng lặp với kết quả của đề
tài khác.
Hà Nội, ngày…tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Đỗ Thị Ngọc Ánh


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ĐẦU.......................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ..................................................................................... 2
3. Đối tượng ...................................................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 2
5. Phạm vi nghiên cứu ....................................................................................... 2
6. Phương pháp nghiên cứu............................................................................... 2
7. Bố cục của đề tài ........................................................................................... 3
PHẦN 2: NỘI DUNG ...................................................................................... 4
CHƢƠNG 1: QUY TẮC FEYNMAN CHO SQED ..................................... 4
1.1. Trường vô hướng và trường điện từ........................................................... 4
1.1.1. Trường vô hướng phức ........................................................................... 4
1.1.1.1. Lý thuyết cổ điển cho trường vô hướng phức ...................................... 4
1.1.1.2. Lý thuyết lượng tử cho trường vô hướng phức.................................. 10
1.1.2. Trường điện từ....................................................................................... 14
1.1.2.1. Trường điện từ mô tả hạt photon ....................................................... 14
1.1.2.2. Hàm sóng của trường điện từ ............................................................. 14
1.1.2.3 Hàm truyền của trường điện từ .......................................................... 17
1.2. Quy tắc Feynman cho sQED .................................................................... 18
1.3. Phương pháp chỉnh thứ nguyên và lý thuyết tái chuẩn hóa ..................... 23
1.3.1. Phương pháp chỉnh thứ nguyên ............................................................ 23
1.3.2. Lý thuyết tái chuẩn hoá ......................................................................... 24


CHƢƠNG 2: BỔ ĐÍNH HÀM ĐỈNH BA ĐIỂM SQED Ở BẬC MỘT
VÒNG ............................................................................................................. 26
2.1. Đồng nhất thức Ward- Takahashi cho hàm đỉnh 3 điểm ......................... 26
2.2. Bổ đính hàm đỉnh ba điểm sQED ở bậc một vòng .................................. 30
KẾT LUẬN .................................................................................................... 41

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 42
PHỤ LỤC ....................................................................................................... 42


PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý học là một trong những môn khoa học nghiên cứu các quy luật
từ đơn giản đến tổng quát của tự nhiên. Vật lý học nghiên cứu tính chất của
vật chất thông qua các định luật, định lý.
Cùng với sự phát triển của loài người, vật lý học đã trải qua nhiều giai
đoạn phát triển và đạt được thành tựu đáng kể. Thế kỷ XVIII cơ học cổ điển
của Newton đã trở thành môn khoa học cơ bản. Đến thế kỷ XIX lý thuyết điện
từ trường của Macxoen và Faraday ra đời giải quyết nhiều vấn đề của vật lý
học. Thế kỷ XX là thế kỷ của vật lý học hiện đại với khuynh hướng xâm nhập
sâu vào cấu trúc vi mô của vật chất mà cơ học cổ điển không cho phép chúng
ta sử dụng nó để nghiên cứu các hạt vi mô đó. Vì vậy cơ học lượng tử ra đời
giải quyết chuyển động của hạt vi mô. Cơ học lượng tử ra đời cho chúng ta
nghiên cứu đầy đủ động lực học của hạt vi mô các hiện tượng vi mô được giải
thích rất logic và chặt chẽ cơ học lượng tử ra đời đã đem lại nhiều thành công
rực rỡ.
Tuy nhiên cơ học lượng tử lại có mặt hạn chế của nó. Nó chỉ mô tả vi
mô với những hạt chuyển động với vận tốc nhỏ, khi hạt chuyển động với vận
tốc lớn xấp xỉ bằng vận tốc ánh sáng thì cơ học lượng tử lại không áp dụng
được.
Thuộc tính hạt cơ bản có lưỡng tính sóng hạt và luôn luôn có sự chuyển
biến từ hạt này sang hạt khác. Cơ học lượng tử không giải thích được một số
vấn đề như lưỡng tính sóng hạt và các quá trình sinh hạt, quá trình hủy hạt.
Để khắc phục được hạn chế này thì tất yếu phải ra đời một lý thuyết mới. Đó
là lý thuyết trường.
Lý thuyết trường là công cụ rất hữu hiệu để nghiên cứu thế giới siêu

nhỏ hạt cơ bản. Trong hơn 30 năm qua tất cả thí nghiệm trên các máy gia tốc
1


năng lượng cao đã chứng tỏ điều này. Những hiểu biết về hạt cơ bản luôn
luôn là tiền phương tri thức của nhân loại về thế giới siêu nhỏ và về thế giới
siêu vĩ mô như thiên hà.
Mặc dù như vậy tài liệu về lý thuyết trường là rất ít điều này đã gây ra
nhiều khó khăn hơn cho các bạn sinh viên vì vậy tôi chọn lý thuyết trường
làm đề tài luận văn của mình. Với nội dung: “Bổ đính hàm đỉnh ba điểm
sQED ở bậc một vòng” tôi muốn đi sâu vào nghiên cứu tìm hiểu các khái
niệm cơ bản, những công cụ trong lý thuyết trường đặc biệt nghiên cứu tổng
quát về tương tác giữa trường vô hướng và trường điện từ.
Hy vọng rằng khóa luận này sẽ tổng hợp được nhiều kiến thức từ tài
liệu khác nhau và đây sẽ là tài liệu bổ ích cho các bạn sinh viên.
2. Mục đích nghiên cứu
Tính bổ đính hàm đỉnh ba điểm sQED ở bậc một vòng.
3. Đối tƣợng
Các công cụ được sử dụng trong lý thuyết trường.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu cần thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Tìm hiểu về tương tác giữa trường vô hướng và trường điện từ.
- Tìm hiểu về quy tắc Feynman cho sQED.
- Tìm hiểu và sử dụng hàm truyền, hàm đỉnh, phương pháp chỉnh thứ
nguyên.
5. Phạm vi nghiên cứu
- Tìm hiểu chung về trường vô hướng phức và trường điện từ.
- Bổ đính hàm đỉnh ba điểm sQED ở bậc một vòng.
6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Sử dụng các phương pháp vật lý trong lý thuyết trường, hạt cơ bản.

- Sử dụng các phương pháp giải tích toán học.

2


7. Bố cục của đề tài
Khóa luận gồm 2 chương:
- Chương 1: Quy tắc Feynman cho sQED.
- Chương 2: Bổ đính hàm đỉnh ba điểm sQED ở bậc một vòng.

3


PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: QUY TẮC FEYNMAN CHO SQED
1.1 Trƣờng vô hƣớng và trƣờng điện từ
1.1.1 Trƣờng vô hƣớng phức
1.1.1.1 Lý thuyết cổ điển cho trƣờng vô hƣớng phức
Trường vô hướng (spin =0)
Trường vô hướng được mô tả bằng hàm   x  bất biến với phép đảo tọa
độ không gian
  x      x     x0 , x     x0 , x 

Trường vô hướng thực mô tả hạt vô hướng trung hòa - không mang điện.
Đó là các hạt  trong mẫu Weinberg- Salam (WS), các hạt  0 , K 0 ,...
Trường vô hướng phức mô tả hạt vô hướng mang điện:   , K  ,...
Hạt vô hướng mang điện (có hai thành phần), được mô tả bởi trường vô
hướng phức, có Lagrangian tự do như sau

LC    * ( x)  ( x)  m2 * ( x) ( x)


(1.1.1)

Tensơ năng xung lượng có dạng sau

T

LC
LC
  * 
   g  LC
 *
(  )
(  ) 
     *    *   g  (  *   m2 * )


(1.1.2)

Mật độ năng lượng

T00  2 0 * 0   0 * 0   a * a  m2 * 
    *   m2 *

(1.1.3)



Mật độ xung lượng
T0a  (0*a  a *0 ),


(a  1,2,3)

4

(1.1.4)


Sử dụng biến đổi Fourier
1

  x 

 2 

ikx
 dke   k ,

3
2

dk  dk 0 dk, kx  k x 

(1.1.5)

Điều kiện thực của   x  cho ta

~k *  ~ k 

(1.1.6)


Từ phương trình chuyển động
(□ +

2

)  x   0 ,

(1.1.7)

Ta có

k

2

 m2   k   0

(1.1.8)

  k     k 2  m2   k 

Do vậy ta có thể đặt



(1.1.9)




Bởi vì k 2  m2 thì  k  m2  0 và ngược lại khi k 2  m2 thì vế trái của
2

(1.1.8) bằng không. Vì vậy

  x 

1

 2 

3
2

2
2
ikx
 dk  k  m  e   k 

(1.1.10)

chỉ trên mặt hypebol 3 chiều

Do hàm delta nên tích phân theo

k 0   k 2  m2 .
Một nửa trong nửa trên nón ánh sáng và nửa kia trong nửa dưới nón ánh sáng.
Ta viết lại (1.1.10)

  x 


1

 2 

3
2



0
2
2

 dk dk  k0  k  m


 k 
0



k 2  m2  


i k0 x0 kx 
e
  k0 ,k 
(1.1.11)
Sử dụng công thức


  ax  

1
  x
a

5


ta lấy tích phân theo k0

 x  






1

2 

3
2

1

2 


3
2

1

2 2
3

1

2 

3
2

e

 dk

i 


k 2  m 2 x0 k x


2 k m
2

e


 dk

2

k

 k0 , k 

i   k 2  m 2 x0 k x



k

 k0 , k 

2 k 2  m2

0



0

k 2  m2  0



  k 2  m2  0




eikx
 dk 2k0  k0   k0 , k 

 dk

e

i   k 2  m 2 x0 k x



2 k 2  m2

 k0 , k 

k0  0

(1.1.12)


Đặt số hạng thứ hai trong (1.1.12) là  (x) và thực hiện phép biến đổi

k  -k . Với phép biến đổi trên cận lấy tích phân sẽ thay đổi, nên ta có
   x 


k


1

 2 
1

 2 
0



3
2

 dk

 dk

3
2

i  k0 x0 kx 
e
2 k 2  m2
eikx

2 k 2  m2

k 2  m2  0

   k0 , k 


   k0 , k  ,



(1.1.13)

Ta viết lại (1.1.13)

 ( x) 


1

 ( x)  


0

ei  k0 x0 k x

1

2 

3
2

 dk 2


k m
2

2

 k0    k0 ,k ,

x0
x0

(1.1.14)

Do   k0 , k     k  nên ta có

  ( x) 

1

 2 

3
2

 dk e

ikx  k 2  m2   k   k ,
0

6


(1.1.15)


Đặt số hạng thứ nhất trong (1.1.12) là   ( x) ta có thể viết lại

  ( x) 

1

 2 

3
2

ikx
2
2
 dk e   k  m   k0   k ,

(1.1.16)

Do hypebol lấy tích phân bất biến Lorentz nên hàm có thể tách

  x      x     ( x),
  ( x) 

  ( x) 

1


 2 

3
2

1

 2 

3
2

2
2
ikx

 dk  k  m  e   k ,

2
2
 ikx

 dk  k  m  e   k .

(1.1.17)

trong đó

   k     k 0   (k ),
  (k )    k 0    k  .


(1.1.18)

Các hàm   ( x),(  ( x)) có tên gọi tương ứng là hàm tần số dương (âm). Do
tính chất thực của  ( x) ta có

  k 

(  (k ))*    (k ),

*



   (k ).

(1.1.19)

Từ (1.1.17) ta viết lại

  ( x) 
  ( x) 

1

 2 

3
2


dk ikx 
 2k e   k ,

3
2

dk ikx 
 2k e   k ,

1

 2 

0

k0  k 2  m 2 .

(1.1.20)

0

Để cho các biểu thức năng xung lượng sau này có dạng hợp lý, ta chuẩn lại

  (k ) 
  (k ) 

  (k )
2k0

  (k )

2k0

,
.

(1.1.21)

7


Ta có dạng cuối cùng của hàm trường

 ( x) 

1

 2 

3
2

dk
 eikx   k   eikx  (k ) 
2k0



(1.1.22)

*

Theo (1.1.22) ta biểu diễn φ và  như sau

 ( x) 
 * ( x) 

1
(2 )
1

(2 )

dk  ikx 
ikx 
e  (k )  e  (k )  ,
2k0



3
2

3
2



dk ikx *
e  (k )  eikx * (k ) 
2k 0


Do đó ta có hệ thức

(  (k))*   * (k),

(  (k))*   * (k)

(1.1.23)

Đặt:

  (k)  a(k),

 * (k)  b(k)

(1.1.24)

Kết hợp (1.1.23) và (1.1.24) cho ta

 * (k)  (a(k))*  a* (k),

  (k)  (b(k))*  b(k)

(1.1.25)

Ta viết lại hàm trường ở dạng dễ nhìn hơn

 ( x) 
 * ( x) 

1

(2 )

3
2

1
(2 )

3
2



dk  ikx
ikx *
e a(k )  e b (k )  ,
2k0



dk  ikx
ikx *
e b(k )  e a (k ) 
2k0

(1.1.26)

Bây giờ ta biểu thị năng xung lượng trong các hàm tần số
P0   T00 dx   dx     *   m 2 * 



   *  

  dx  



   x x





 *    *    *   


x  x  x  x  x  x  

m2  *  x    x    *  x    x    *  x    x    *  x    x   (1.1.27)

Xét số hạng với đóng góp của hai hàm cùng tần số, cụ thể là

8



 *  
 m2 *  x    x   



  x x

dkdk  1
  dxei (k k) x *  k    k  ei ( k  k  ) x

3
2 k0 k0  2 


 dx  

0

0

0

 2

 
 m   k k 




(1.1.28)

Tích phân theo dx cho ta k  k , vì vậy k0  k0. Thừa số cuối cùng trong
(1.1.28) triệt tiêu. Thật vậy
 2


 
2
2
2
2
 m   k k    m  k0 k0  kk   m  k0  k  0.




(1.1.29)

Bằng cách làm tương tự ta có kết luận sau: Số hạng với hai tần số giống nhau
cho đóng góp bằng không. Cho nên

   *    *   
P0   dx   
 
 m2  *  x    x    *  x    x 

 
x x 
   x x





dkdk 1


dxeik k x   *  k    k   *  k    k
3
2 k0k0  2 






 ei ( k0 k0 ) x0  m 2   k  k '  













(1.1.30)

Tích phân theo dx cho ta k  k , vì vậy k0  k0. Thừa số cuối cùng trong
(1.1.30) bằng : m2  k02  k 2  2k02 . Cuối cùng ta có
P0   dkk0  *  k    k    *  k    k  


Chú ý rằng chỉ các số hạng có exponent trái dấu mới cho đóng góp, nên ta có



P0   dkk 0 a * (k )a(k )  b* (k )b(k )



(1.1.31)

Thay các công thức ở (1.1.26) vào biểu thức của năng xung lượng (1.1.3),
(1.1.4), ta có biểu diễn vectơ năng xung lượng 4 chiều qua các hệ số khai triển
như sau



P   d xT0    d kk  a * (k )a(k )  b* (k )b(k )
9



(1.1.32)


Trong trường vô hướng phức, ta đưa vào thêm một biến động lực mới là điện
tích Q   dxJ  .
Với J  được gọi là dòng điện từ thỏa mãn định lý Noether
J   iq  * (  )  (  * )  .

(1.1.33)


Biễu diễn Q qua các hệ số khai triển
Q   J 0 dx  q  dk a* (k )a(k )  b* (k )b(k ) ,   0,1,2,3, k0  k 2  m2

(1.1.34 )
Chú ý rằng nếu ta đổi dấu của exponent trong biến đổi Fourier thì năng
xung lượng không đổi dấu (do không phụ thuộc vào bậc hai của đạo hàm),
trong khi đó điện tích Q sẽ đổi dấu (do phụ thuộc bậc một vào đạo hàm), hay
nói cách khác đi là hạt a chuyển thành phản hạt b .
1.1.1.2 Lý thuyết lƣợng tử cho trƣờng vô hƣớng phức
Hạt vô hướng mang điện (có hai thành phần), được mô tả bởi trường vô
hướng phức, có Lagrangian tự do như sau

LC    * ( x)  ( x)  m2 * ( x) ( x)
Lưu ý rằng không có hệ số

(1.1.35)

1
*
. Trường φ và  có cùng khối lượng m (khối
2

lượng suy biến) ta không có tương tác  3 (ta không thể xây dựng được tương
tác bất biến, với ba trường mang điện) mà chỉ có tương tác bậc bốn
Lint 

2
 *



(
x
)

(
x
)



(1.1.36)

4

ở đây 4 thay cho 4!. Phương trình chuyển động

(  m 2) ( x)  0,
(  m2 ) * ( x)  0.
Các phương trình này là những phương trình Klein - Gordon. Trong đó

        02    2x   2y   2z 

10

là toán tử Dalamber.


Hàm trường   x  là nghiệm phương trình Euler - Fourier ( m2 )  x  được
viết dưới dạng khai triển Fourier như sau:


dk
 a(k )eikx  b  (k )eikx  ,
3
(2 ) 2k0
dk
b(k)eikx  a  (k)eikx  .
 * ( x)  
3
(2 ) 2k0

 ( x)  

Trong đó

(1.1.37)

a(k ) là toán tử hủy hạt với xung lượng k và điện tích xác
định, ví dụ là + .
a (k ) là toán tử sinh hạt với xung lượng k và điện tích+ .
b(k)  aC (k) là toán tử hủyphản hạt với xung lượng k và điện

tích ngược dấu  q .
b (k ) là toán tử sinh phản hạt với xung lượng k và điện tích q.

Tuy nhiên khái niệm hạt và phản hạt trong trường hợp này do ta quy định.Tuy
nhiên để có sự tương ứng với việc các lepton mang điện tích âm như
(e ,   ,  ) là các hạt, người ta thường coi các trường vô hướng mang điện âm

là hạt. Nếu ta coi hạt   là hạt thì phản hạt sẽ là   và ngược lại.

Các toán tử a(k ) , a (k ) , b(k ) , b (k ) thỏa mãn các hệ giao thức giao hoán
sau:
 a(k ), a  (q)    (k  q),
b(k ), b (q)    (k  q),
 a(k ), a(q)    a  (k ), a  (q)   0,

 a(k ), b(q)    a  (k ), b  (q)   0,
b(k ), b(q)   b (k ), b (q)   0,
 a(k ), b (q)   b(k ), a  (q)   0.

11


Từ (1.1.37) ta có kết luận sau:  ( x) mô tả sự hủy hạt hoặc sinh phản hạt. Theo
quy tắc Feynman (sẽ nói sau) sẽ là đường trên hình 1.1
hoặc

Hình 1.1: Hàm sóng của trường vô hướng mang điện và sự hủy hạt
Hàm  * ( x) mô tả sự sinh hạt hoặc hủy phản hạt và như vậy mũi tên trong hình
1.1 sẽ đổi dấu.
Đối với trường vô hướng phức, toán tử điện tích có dạng
Q   d 3 xJ 0 ( x)  q  dk a  (k )a(k )  b (k )b(k ) 

Dựa vào quy luật giao hoán ta suy ra
 P , a  k    k a  k 
 P , a   k    k a   k 
 P , b  k    k b  k 
 P , b   k    k b   k 

Các hệ thức giao hoán giữa toán tử điện tích và toán tử sinh, hủy hạt

Q, a  k    qa  k 
Q, a   k    q a   k 
Q, b  k     qb  k 
Q, b  k    qb  k 

Xét trạng thái i  e  là trạng thái có điện tích e , nghĩa là
Q i e  e i e .

Ta dễ dàng chứng minh được rằng: trạng thái là trạng thái a  k  i  e  có
điện tích e  q  nghĩa là
Qa k  i e   e  q  a k  i e 

12


Trạng thái một hạt với xung lượng k được tạo bởi toán tử sinh tác động lên
chân không 0 :
1

k   2  2k0  a   k  0
3

2

Trạng thái một phản hạt với xung lượng l được tạo bởi toán tử sinh tác động
lên chân không 0 :
3
2
l   2  2l0  b l  0
1




0 b l  2  2l 

k  0 a k  2  2k 0

1

3

Sự hủy hạt
Sự hủy phản hạt

~
l 

Tương tự

k1k 2   2



kl   2



k1k 2 ...k nl1l2 ...lm   2

1


3

2

2

0



3

2

3

3

a   k1  a   k 2  0

 

a  k b l  0
1

a   k1  a   k 2  ...a   k n  b l1  b l2  ...b  lm  0

Tích vô hướng


k1 k '    2



~
l  l   2



3

1

1
3
2
2k10  2  2  2k20    k   k 

 2k  2  2l 
1

3

0

2

1

3


0

2

 l   l 

~
l k  0

k k 1k 2  0
Tổng quát
 0 khi r  n hay s  m
k1' k '2 ...k 'r l1'l2' ...ls' k1k 2 ...k nl1l2 ...lm
 0 khi r  n, s  m

Giao hoán giữa toán tử trường

13


  x  ,  y     *  x  , *  y    0
  x  , *  y      x  y, m 

1.1.2 Trƣờng điện từ
1.1.2.1 Trƣờng điện từ mô tả hạt photon
Trường điện từ là trường không khối lượng và lan truyền với vận tốc
bằng vận tốc ánh sáng. Ở trạng thái tự nhiên, trường điện từ có hai trạng thái
phân cực (phân cực trái và phân cực phải) được mô tả qua thế vectơ của
trường điện từ.




Ta biết rằng thay cho vectơ điện trường E và từ trường B ta đưa vào các thế


vô hướng  và thế vectơ A mà trong không gian Minkopxki được biểu diễn
bằng thế vectơ 4 chiều

A ( x)  A0   1  A





Trong thực tế đại lượng quan sát được là Tensơ phản đối xứng A  x  mà:

A  x     A   A



Các thành phần của A điện trường E và từ trường B là:

A

Lưu ý:

 0
 1
E

 2
E
 3
E

 E1
0
 B3
B2

E 2
B3
0
 B1

E3 

B2 

B1 
0 



E   grad A0  A


B  rot A

1.1.2.2 Hàm sóng của trƣờng điện từ

Lagrangian tự do sau

1
L0bf 0   A  x  A  x 
4

(1.1.38)

14


không cho ta hàm truyền của trường vectơ không khối lượng. Đây là hệ quả
của sự việc sau: trường vectơ không khối lượng chỉ có thể là trường chuẩn.
Phương trình Euler-Lagrange có dạng
  A  x       A  x    A  x    0.

(1.1.39)

Phương trình trên bất biến với phép biến đổi chuẩn

A  x   A  x   A ( x)     x  .

(1.1.40)

Ý nghĩa vật lý của bất biến trên như sau: A không phải là đại lượng quan sát
được và xác định không đơn giá. Sự không đơn giá của A có thể được sử
dụng để đặt điều kiện phụ, thông thường là điều kiện Lorentz quen thuộc

  A  0


(1.1.41)

Điều kiện (1.1.41) và (1.1.39) cho ta

 A ( x)  0,

  ( x)  0.

(1.1.42)

Chọn  sao cho một thành phần của A ( x) bằng không, cụ thể là A0 ( x)  0.
Khi đó điều kiện Lorentz có dạng

  A  x   divA  x   0.

(1.1.43)

Để thu được ý nghĩa vật lý của điều kiện (1.1.43), ta chuyển sang biểu
diễn xung lượng

A ( x) 

1
d 4 k  k 2  eikx A  k  .

2

(1.1.44)

Thay (1.1.44) vào (1.1.43) ta có


k A (k )

k 0 0

 k.A  k  

k0  0

.

(1.1.45)

Phương trình (1.1.45) là điều kiện trực giao của trường điện từ. Tách thế năng
thành phần tần số dương và âm

A ( x)  A  x   A  x  ,

(1.1.46)


*

với ( A (k ))  A k  . Ta đưa vào hệ quy chiếu gắn với xung lượng k

15


A (k )  e0 a0  k   e1 a1  k   e2 a2 k   e3 a3 k  ,


(1.1.47)

 
trong đó e1 , e2 là vectơ phân cực trong không gian trực giao và trực giao với e3 .
e1   0, e1  ,

e e   
i

j

ij

e2   0, e 2  ,

 i, j  1, 2, 3 ,

,

k
,
k

e0i  0,

e3 

e1e 2   e3 ,

e 2 , e3   e1 ,


e3 , e1   e 2 .

(1.1.48)

e 0 là vectơ dạng thời gian e0    0

Với:


 
e1 , e2 tương ứng với phân cực ngang, e3 tương ứng với phân cực dọc.
 
Các photon tương ứng với e1 , e2 gọi là các photon ngang.

Các photon tương ứng e3 với gọi là photon dọc.

Các photon tương ứng e 0 với gọi là cực vô hướng (hay photon thời gian).
Ta có thể thấy A  k  A   k   g  a k  a k  ,

k  A  k   0,

(1.1.49)

k  A  k   0.

(1.1.50)

k  A  k   k 0 a0  k   k a3 k   0.


(1.1.51)

trong đó

Sử dụng điều kiện Lorentz, ta có

Vì k  k0 nên:

a3  k   a0  k  và a3  k  a3  k   a0  k  a0  k   0.

(1.1.52)

Như vậy số photon dọc a3 a3 và số photon thời gian bằng nhau và
ngược dấu. Cuối cùng, ta có biểu diễn vectơ năng xung lượng bốn chiều qua
các hệ số khai triển như sau
P   dkk  A  k  A








k    1,2  dkk  a k  a k ,

(1.1.53)

chỉ còn đóng góp của hai thành phần trực giao và nhận giá trị xác định dương.


16


Tóm lại: Đối với trường điện từ, ta không có điều kiện Lorentz tự động
mà phải đưa bằng tay. Sử dụng tính bất biến chuẩn, ta loại được thành phần
dọc. Như vậy trường vectơ không khối lượng chỉ có hai trạng thái spin vật lý
A x   

ak,    k,  e


2

dk



2  2k0
3

ikx



 a  k ,    k ,  eikx .

1

(1.1.54)
 




trong đó   k,   là vectơ phân cực. Sự kết hợp của  với các toán tử sinh và
hủy trong biểu thức của hàm sóng tạo ra 2 trạng thái phân cực của trường.
Cuối cùng ta đưa ra công thức lấy tổng của các vectơ phân cực của trường
chuẩn photon

  * k,    k,     g

 1,2

1.1.2.3 Hàm truyền của trƣờng điện từ
Bây giờ ta tính hàm truyền của hàm trường chuẩn không khối lượng.
Việc cố định chuẩn tương đương với việc đưa thêm một số hạng vào
Lagrangian
L0em  





2
1 
1
A x A x  
  A .
4
2


(1.1.55)

Để thu đ ượ c hà m tru yề n F e yn ma n t a vi ết lại t ác d ụng

 1
1  a  a
S 0em A   d 4 x    Aa   Aa   Aa   A a 
 A  A
4
2













  Aa   Aa   Aa     Aa   g   ab Aa  2 Ab ,
  Aa   Aa   Aa    Aa   Aa    Ab ab ,

  Aa  Aa   Aa    Ab ab.
Do vậy

17


,

 (1.1.56)


1
1
1  a  a
S 0em A   d 4 x  g   ab Aa  2 Ab  Aa    Ab ab 
 A  A 
2
2
2



1
 b
  d 4 x Aa ab
A ,
2



trong đó






1
















 
 1       ab .
ab   g


Từ đây ta tính được hàm truyền của trường điện từ

 em
F k  

i
k  i

2

k k

 g   1    2
k



.


(1.1.57)

Nhìn vào biểu thức của hàm truyền Feynman của các trường vectơ, ta
có nhận xét sau đây: khi xung lượng k  hàm truyền của trường vectơ có
khối lượng không phải là trường chuẩn biến thiên không tốt, trong khi đó hàm
truyền của trường chuẩn vectơ có khối lượng và không có khối lượng biến
thiên tốt.
1.2 Quy tắc Feynman cho sQED
Ta đưa ra quy tắc Feynman cho điện động lực học lượng tử được xây
dựng trên Lagrangian toàn phần như sau:
2
1
1
LtQED   F   x  F  x  
  A   i  x       x   M  x   x 

4
2

  *  x     x   m2 *  x   x   q  x    A  x   x 

iq   *  x   x    *  x     x  A  x   q2 A  x  A *  x   x 

(1.2.22)
Trong đó q và q là điện tích tương ứng của trường fermion  và
trường vô hướng mang điện  . Vì các tương tác là định xứ, nên tại mỗi đỉnh
ta có hàm delta cho các xung lượng 4 chiều.

18


Các đƣờng ngoài – hạt thật


Trường vô hướng (spin 0): 1 cho các hạt ở trang thái đầu và cuối.
1

1



Trường spin

1
:
2
-

Hạt

trạng thái đầu:

s, 

u (p, s)
p

-

Phản
hạt ở trạng thái đầu:

s, 


v (p, s)

p

Hạt ở trạng thái cuối:

-

s, 

p

19




u (p, s)

ở


Phản hạt ở trạng thái cuối:

-

s, 

v (p, s)
p

Đối với phản hạt spinor ngoài, hướng của đường ngoài khác với hướng
của xung lượng. Hướng của xung lượng quyết định hạt ở trạng thái nào: đầu
hay cuối. Các hạt ở trạng thái đầu là các hạt bị hủy, xung lượng sẽ đi vào, còn
các hạt ở trạng thái cuối, xung lượng sẽ đi ra.


Trường vector (spin 1):
Trường vector mang điện ở trạng thái đầu

-

  (k ,  )

, ,k


-

Trường vector mang điện ở trạng thái cuối

 * (k ,  )

, ,k

Chú ý: đối với photon, vector phân cực là thực. Khi đã quen ta có thể
bỏ qua chỉ số Dirac  , độ xoắn s hoặc vector phân cực  , nhưng phải ngầm
hiểu điều này như quy tắc ở trên.

20


Hàm truyền

-

Trường spin 0
i
k 2  m 2  i

-

Trường spin

1
2





i


  m  i 
p

β

-

Trường chuẩn spin 1



-

k

k k

i
  
g
 1   
k 2  M 2  i  
k 2   M 2 




Trường vector khối lượng m



p

i
2
p  m2  i



21

p p

g   
 
m2





