TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
***********

NGUYỄN PHƢƠNG THẢO

TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET VÀ ỨNG DỤNG

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

HÀ NỘI – 2011

1


LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian thực hiện, khóa luận của em đã hoàn thành. Đầu tiên em
xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm,
ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn, tận tình chỉ bảo và động viên em trong suốt thời
gian em thực hiện khóa luận này.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn của mình tới các thầy cô khoa Toán trƣờng
Đại học sƣ phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Hình học đã tạo
điều kiện giúp đỡ và đã đóng góp những ý kiến quý báu để khóa luận của em
đƣợc hoàn thành.
Vì thời gian thực hiện còn hạn chế, và đây cũng là lần đầu tiên làm quen
với công tác nghiên cứu khoa học nên khóa luận này có thể còn những thiếu
sót. Em rất mong đƣợc nhận thêm những ý kiến đóng góp của thầy cô và các
bạn sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2011
Sinh viên

Nguyễn Phƣơng Thảo

2


LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này em thực hiện với sự nỗ lực của bản thân và sự chỉ bảo nhiệt
tình của các thầy cô giáo trong khoa Toán trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội 2,
đặc biệt là sự hƣớng dẫn tận tình của thầy Nguyễn Năng Tâm.
Khóa luận có sự tham khảo kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học với
sự trân trọng và biết ơn. Nội dung của khóa luận này không có sự sao chép,
trùng lặp với kết quả các nghiên cứu khoa học khác. Nếu sai em xin hoàn toàn
chịu trách nhiệm.

3


ĐỀ TÀI:

TRƢỜNG MỤC TIÊU FRENET VÀ ỨNG DỤNG
SVTH: NGUYỄN PHƢƠNG THẢO
NHDKH: PGS.TS. NGUYỄN NĂNG TÂM

Chƣơng 1. Một số kiến thức chuẩn bị
. Không gian Véctơ Euclid

Véctơ tiếp xúc. Trƣờng véctơ. Trƣờng mục tiêu
3. Cung tham số. Trƣờng véctơ
4. Cung trong
5. Ánh xạ Weingarten
Chƣơng 2. Trƣờng mục tiêu Frenet
. Trƣờng mục tiêu Frenet trong
2. Trƣờng mục tiêu Frenet trong
3. Một số bài tập liên quan
Chƣơng 3. Ứng dụng của trƣờng mục tiêu Frenet
1. Định lý cơ bản của lý thuyết đƣờng trong
2. Công thức tính độ cong và độ xoắn của cung song chính quy định
hƣớng
3. Ứng dụng trƣờng mục tiêu Frenet vào nghiên cứu đƣờng trên mặt

4


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong mọi bậc học, hình học là một môn học tƣơng đối khó. Nó yêu cầu ở
ngƣời học mức độ tập trung cao và muốn chuyên sâu thì vốn thời gian dành
cho môn học phải nhiều. Trong quá trình học tập tại trƣờng Đại học sƣ phạm
Hà Nội 2, với chuyên ngành Toán, môn học Hình học vi phân đã đem lại cho
em nhiều hứng thú học tập. Song, vì thời gian học bộ môn này không nhiều
nên em chƣa thể chuyên sâu tìm hiểu nội dung nào trong đó. Vì vậy, khi
đƣợc lựa chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp, em đã chọn một nội dung trong
Hình học vi phân làm đề tài khóa luận.
“Trƣờng mục tiêu Frenet và ứng dụng” là phần kiến thức cơ bản liên quan
đến lý thuyết đƣờng trong


và

. Xung quanh nó là những bài tập củng cố

hết sức quan trọng đối với bộ môn Hình học vi phân này. Với mong muốn tìm
hiểu và làm rõ phần nội dung trên, em đã thực hiện khóa luận này.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về trƣờng mục tiêu Frenet trong

và

, ứng dụng của nó trong

hình học. Bên cạnh đó, giải quyết một số bài tập làm rõ nội dung nghiên cứu.
3. Nội dung nghiên cứu
Tên đề tài là “Trƣờng mục tiêu Frenet và ứng dụng” nên phần nội dung
nghiên cứu phải đảm bảo những vấn đề xung quanh trƣờng mục tiêu Frenet
và ứng dụng của nó. Theo đó, nội dung chính của nghiên cứu chia làm ba
chƣơng:

5


Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Trường mục tiêu Frenet
Chương 3. Ứng dụng của trường mục tiêu Frenet

6



4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp của Hình học vi phân.

7


Chƣơng 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

“Trƣờng mục tiêu Frenet” là một nội dung có liên quan khá nhiều đến các
kiến thức trong hình học vi phân. Vì vậy, để tiện cho việc theo dõi phần nội
dung chính, dƣới đây em xin trình bày một số kiến thức mang tính chất chuẩn
bị.

. KHÔNG GIAN VÉCTƠ EUCLID

1.1.1. Định nghĩa
Cho
hƣớng trên

là một không gian véctơ trên trƣờng số thực
là ánh xạ
,

thỏa mãn 4 tiên đề sau:
i)
ii)
iii)

.


iv)

.
.

8

. Khi đó tích vô


Trong đó ta ký hiệu

là tích vô hƣớng của và . Ngoài ra ta cũng có

thể ký hiệu
Ví dụ. Không gian véctơ thực n-chiều
;

với tích vô hƣớng cho bởi

thì

là một không gian véctơ Euclid.
Hai véctơ vuông góc (xem [3], tr. 141)

1.1.2.
Hai véctơ

thuộc không gian véctơ Euclid


trực giao) với nhau, ký hiệu
1.1.3.
Hệ véctơ

, nếu

đƣợc gọi là vuông góc (hay
.

Hệ véctơ trực giao (xem [3], tr. 141)
của không gian véctơ Euclid đƣợc gọi một hệ trực giao

nếu các véctơ của hệ đôi một vuông góc với nhau, nghĩa là

, với

.
1.1.4.
Hệ véctơ

Hệ véctơ trực chuẩn (xem [3], tr. 142)
của không gian véctơ Euclid

đƣợc gọi là một hệ trực

chuẩn nếu nó là một hệ véctơ trực giao gồm toàn véctơ đơn vị, nghĩa là

9



VÉCTƠ TIẾP XÚC. TRƢỜNG VÉCTƠ.
TRƢỜNG MỤC TIÊU

1.2.1. Véctơ tiếp xúc (xem [1], tr. 11)
Nhắc lại rằng không gian Euclid
không gian véctơ Euclid
mà ta viết

là một không gian afin liên kết với

. Hai điểm

hay

của

. Ta xét tập tích

Ta gọi mỗi phần tử

xúc với

tại .

.

, ký hiệu
tại

.


là một véctơ tiếp xúc của

đƣợc gọi là tập các véctơ tiếp xúc của
Với

xác định một véctơ

là tập các véctơ tiếp

thì có song ánh

,

Từ đó đƣa đƣợc cấu trúc không gian véctơ Euclid từ
là không gian véctơ tiếp xúc của

.
lên

và gọi

tại .

Ta định nghĩa với mọi
.
Chú ý. Giả sử

là tập mở trong


. Ta có

10

đƣợc gọi là tập


các véctơ tiếp xúc của

. Với

không gian véctơ tiếp xúc của

, ta ký hiệu

và gọi nó là

tại .

1.2.2. Trƣờng véctơ
a. Định nghĩa (xem [1], tr. 12)
Cho

là tập mở trong

cho với mọi

,

. Ta gọi mỗi ánh xạ


,

sao

, là một trƣờng véctơ trên .

Một trƣờng véctơ hoàn toàn xác định nếu có một hàm véctơ

mà
b. Phép toán
Giả sử

là tập hợp các hàm số khả vi trên , nó làm thành một vành

giao hoán có đơn vị (đơn vị là hàm hằng có giá trị là 1). Ký hiệu
tập các trƣờng véctơ khả vi trên .
Khi đó, với mọi

, mọi

ta có các phép toán:
;
;
;

11

là



;
(trong đó 1 là phần tử đơn vị của
Ngoài ra, ta còn định nghĩa đƣợc hàm số

Khi

).

nhƣ sau

trên

đã có hƣớng thì ta xây dựng đƣợc tích véctơ trong

,

,
1.2.3. Trƣờng mục tiêu
Định nghĩa. (xem [1], tr. 13)
Trƣờng mục tiêu (khả vi) trên tập mở
vi)

sao cho với mỗi

trên

một cơ sở của

Nếu


là hệ n trƣờng véctơ (khả

,

là

.

Khi đó mọi

với

trong

viết đƣợc một và chỉ một cách dƣới dạng

.
thì

;

12

.


Nếu với mọi
của


(tức

) còn viết

là một cơ sở trực chuẩn

thì trƣờng mục tiêu

gọi là trƣờng mục

tiêu trực chuẩn.
Ví dụ. Trƣờng mục tiêu tọa độ cực trong mặt phẳng Euclid có hƣớng
Xét điểm

và tập mở
và véctơ

. Tại mỗi điểm
có đƣợc do quay

Nhƣ vậy ta đƣợc trƣờng mục tiêu trực chuẩn

13

.

, xác định véctơ

một góc


.

trên tập mở .


3. CUNG THAM SỐ. TRƢỜNG VÉCTƠ
DỌC MỘT CUNG THAM SỐ

1.3.1. Cung tham số
a. Định nghĩa (xem [1], tr. 16)
Cho một khoảng mở
tham số (quỹ đạo) trong

, ánh xạ

:

.

Cho điểm O cố định trong

, cung tham số

toàn xác định bởi hàm véctơ

khả vi ta cũng có

:

,


,

là bán kính véctơ của
Khi

đƣợc gọi là cung

,

hoàn
. Ta gọi

đối với gốc O.

khả vi.

b. Ví dụ
Ánh xạ
với

,
là véctơ hằng thì

là một phần của đƣờng thẳng

1.3.2. Trƣờng véctơ dọc cung tham số (xem [1], tr. 18)
a. Định nghĩa 1
Cho cung tham số


,

.

14

.


Trƣờng véctơ

,

,

đƣợc gọi là trƣờng véctơ dọc cung tham số .
b. Định nghĩa 2
Ánh xạ

là một cung tham số (khả vi) trong

,

là một trƣờng véctơ dọc

và ký hiệu là

thì
.


1.3.3. Đạo hàm của trƣờng véctơ dọc cung tham số
a. Định nghĩa (xem [1], tr. 55)
Cho cung tham số
xác định hàm véctơ
véctơ dọc

và cho trƣờng véctơ

,

thì có thể xét trƣờng

,

gọi là đạo hàm của

là

Ký hiệu:

hay

dọc ,

dọc

trong

.


và

là

.

b. Các phép toán

Với

là trƣờng véctơ dọc cung tham số

,

các hàm số trên , ta định nghĩa bởi ảnh tại từng điểm các trƣờng véctơ
,

dọc , hàm số

đƣợc trƣờng véctơ

trên . Khi

dọc , ta có:

15

,

đã có hƣớng ta định nghĩa



c. Trƣờng mục tiêu dọc cung tham số
Định nghĩa. (xem [1], tr. 56)
Trƣờng mục tiêu dọc cung tham số
véctơ

dọc

một cơ sở của

.

,

sao cho với mọi

Khi đó, mọi trƣờng véctơ

dọc

là

viết đƣợc một và chỉ một cách dƣới

dạng

trong đó

,


là hệ n trƣờng

là hàm số trên , rõ ràng rằng

16


4. CUNG TRONG

1.4.1. Cung trong
a. Hai cung tham số tƣơng đƣơng
Hàm số

đƣợc gọi là một vi phôi nếu là một song ánh, khả vi và

là hàm số khả vi.
Hai cung tham số

và

đƣợc gọi là hai cung tham số tƣơng đƣơng nếu tồn tại một vi phôi

sao cho

.

b. Cung trong
Định nghĩa. (xem [1], tr. 69)


17


Mỗi lớp tƣơng đƣơng của quan hệ trên gọi là một cung trong

; mỗi

cung tham số của lớp tƣơng đƣơng đó còn gọi là tham số hóa của cung, vi
phôi gọi là phép đổi tham số của cung.
Ví

dụ.

Cung

tham

số

cho

bởi

,
là

(
) trong tọa độ Descartes vuông góc
ốc tròn trong


hằng

xác định cung đinh

.

1.4.2. Cung chính quy
a. Điểm chính quy
Nhận xét.
Ta gọi

(do là song ánh)
là ảnh của cung xác định bởi tham số hóa

hoặc .

Định nghĩa. (xem [1], tr. 70)
Ta gọi điểm của cung xác định bởi
Cho cung

tại

xác định bởi tham số hóa

Điểm t đƣợc gọi là điểm chính quy nếu
Cung

là điểm
,


hay
.

.

mà mọi điểm đều là điểm chính quy đƣợc gọi là cung chính quy.

b. Tiếp tuyến, pháp diện
Tiếp tuyến

18

số,


Tiếp tuyến của cung

tại điểm chính quy là đƣờng thẳng đi qua

và

có véctơ chỉ phƣơng
Giả sử cung à xác định bởi

Khi đó

.

Phƣơng trình tiếp tuyến của à tại điểm


là:

Pháp diện
Pháp diện của cung

tại từng điểm chính quy là mặt phẳng qua

cắt vuông góc với tiếp tuyến của à tại . Nếu

và

là tọa độ Descartes

vuông góc thì phƣơng trình pháp diện đó là

1.4.3. Cung định hƣớng và trƣờng véctơ tiếp xúc đơn vị
a. Cung định hƣớng
Định nghĩa (xem [1], tr. 74)
Cho hai cung tham số

,

và

Nếu có một vi phôi bảo toàn hƣớng (nghĩa là

19

,


.
)


thì hai cung tham số trên đƣợc gọi là tƣơng đƣơng định

sao cho
hƣớng.

Mỗi lớp tƣơng đƣơng theo hệ quả tƣơng đƣơng trên đƣợc gọi là một cung
định hƣớng.
b. Ví dụ
Hai cung tham số

, với

, với
là tƣơng đƣơng định hƣớng.
Thật vậy, ta thấy tồn tại vi phôi
,
bảo toàn hƣớng (vì

cos

) thỏa mãn

sin

20


.


.
Nhƣ vậy từ định nghĩa trên ta có thể suy ra

và ở là hai cung tƣơng đƣơng

định hƣớng.
c. Véctơ tiếp xúc đơn vị
Định nghĩa. (xem [1], tr. 75)
là một cung chính quy định hƣớng xác định bởi
rõ ràng

,

xác định một trƣờng véctơ đơn vị

gọi là trƣờng véctơ tiếp xúc đơn vị dọc

thì
dọc cung

(xác định hƣớng của ).

1.4.4. Tham số hóa tự nhiên của cung chính quy
a. Định nghĩa (xem [1], tr. 84)
Tham số hóa
tham số hóa tự nhiên của cung


của cung chính quy

,

đƣợc gọi là

nếu

b. Ví dụ
Xét đƣờng đinh ốc tròn (đã nhắc tới ở ví dụ phía trƣớc). Khi lấy
có
nên
và ta đƣợc một tham số hóa tự nhiên của nó là

21

, ta


1.4.5. Một số định nghĩa (xem [1])
a. Điểm song chính quy
có tham số hóa

Cho cung

,

. Điểm

thỏa mãn


độc lập tuyến tính đƣợc gọi là điểm song chính quy của .
b. Mặt phẳng mật tiếp
Mặt phẳng đi qua

và có không gian véctơ chỉ phƣơng là

đƣợc gọi là mặt phẳng mật tiếp với

tại điểm song chính quy đó.

c. Cung song chính quy
Cung

gọi là song chính quy nếu mọi điểm của

trong

đều là điểm

song chính quy.
Nếu

là một tham số hóa của

chỉ khi các trƣờng véctơ
Ví dụ. Trong

dọc


thì

là cung song chính quy khi và

là một hệ độc lập tuyến tính.

với hệ tọa độ trực chuẩn

xác định bởi

, cung

có tham số hóa

là một cung song

chính quy.
Thật vậy, ta có
.

22


Nên
Nhƣ vậy, với mọi
trong

nên

là hai véctơ độc lập tuyến tính


và

là một cung song chính quy.

Trƣờng véctơ pháp tuyến chính đơn vị
Giả sử

là trƣờng véctơ pháp tiếp xúc đơn vị dọc . Xét trƣờng véctơ

dọc cung song chính quy
véctơ

dọc

trong

, đặt

thì đƣợc trƣờng

gọi là trƣờng véctơ pháp tuyến chính đơn vị dọc . Còn có thể

viết đẳng thức xác định

đó dƣới dạng

,

là (hàm) độ cong của .


Trƣờng véctơ trùng pháp tuyến đơn vị
là một cung song chính quy định hƣớng trong
tiếp xúc đơn vị
dọc . Khi
đơn vị
ràng phƣơng của

thì đã có trƣờng véctơ

(xác định hƣớng) và trƣờng véctơ pháp tuyến chính đơn vị
, khi đó
dọc

đã có hƣớng thì xác định đƣợc trƣờng véctơ

gọi là trƣờng véctơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc

(rõ

tại mỗi điểm là phƣơng của trùng pháp tuyến của

tại

điểm đó).

23


5. ÁNH XẠ WEINGARTEN


1.5.1. Ánh xạ Weingarten
a. Định nghĩa (xem [1], tr. 181)
Cho mặt S trong

,

là trƣờng véctơ pháp tuyến đơn vị tại

. Xét cung tham số
, với

thỏa mãn

,

,

.

Ký hiệu

đƣợc gọi là đạo hàm của

Vì với mọi

,

,


(do

theo phƣơng .
Do đó có ánh

) nên

xạ

đƣợc gọi là ánh xạ Weingarten tại .
b. Tính chất
là một tự đồng cấu (tuyến tính) của

.

là một tự đồng cấu đối xứng tức là với mọi
.
1.5.2. Các định nghĩa (xem [1])

24

ta có


Các giá trị riêng của

đƣợc gọi là độ cong chính của S tại .

Các véctơ riêng của


đƣợc gọi là phƣơng chính của S tại .

Định thức của

đƣợc gọi là độ cong Gauss của S tại .

Ký hiệu:
Nửa vết của
Ký hiệu:

đƣợc gọi là độ cong trung bình của S tại .
.

Ta xét hai trƣờng hợp sau:
Trường hợp 1.

có hai giá trị riêng phân biệt (ký hiệu

Khi đó có hai phƣơng chính là các véctơ riêng ứng với
Gọi

là cơ sở trực chuẩn của

ứng với các giá trị riêng
Định thức của

Trường hợp 2.

).
.


bao gồm các véctơ riêng lần lƣợt

.

là

có một giá trị riêng .

25