Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

M U
1. Lý do chn ti
Trong toỏn núi chung cng nh trong hỡnh hc núi riờng, khi nh
ngha mt khỏi nim no ú ta phi da vo nhng khỏi nim ó cú trc ú;
nhng khi nh ngha cỏc khỏi nim ó cú trc y thỡ li phi da vo nhng
khỏi nim ó cú sm hn c nh vy m i mói lờn thỡ khụng cựng. Bi
vy, phi cú mt s nhng khỏi nim u tiờn khụng nh ngha gi l cỏc
khỏi nim c bn. Tng t nh vy, khi chng minh mt mnh ta cn
da vo nhng mnh ỳng ó cú trc ú, nhng khi chng minh nhng
mnh ó cú trc ú thỡ li phi da vo nhng mnh ỳng ó cú sm
hn c nh vy m i ngc lờn thỡ cng mói khụng cựng. Vy phi cú mt
s mnh m tớnh ỳng n ca chỳng c tha nhn m khụng chng
minh, gi chỳng l cỏc tiờn . Cỏc khỏi nim c bn tuy ta khụng nh
ngha, nhng mt s tớnh cht ca chỳng c bc l qua cỏc tiờn . Khi
xõy dng toỏn hc, c bit l xõy dng hỡnh hc ngi ta dựng suy din
lụgic c th l phng phỏp tiờn . Theo phng phỏp ú, xut phỏt t mt
s nhng i tng c bn v mt s quan h c bn v cỏc tiờn ri dựng
cỏc quy tc lụgic nh ngha cỏc khỏi nim khỏc v chng minh cỏc mnh
khỏc. õy l mt phng phỏp quan trng. Phng phỏp ny ó ra i
cỏch õy hn hai nghỡn nm v ó hon thin cựng vi s phỏt trin ca hỡnh
hc clit v s ra i ca cỏc mụn hỡnh hc khỏc. Ngy nay phng phỏp tiờn
ó t hỡnh hc lan rng phỏt huy nh hng sang nhiu nghnh toỏn hc
khỏc, k c tin hc v nhiu b mụn khoa hc xó hi khỏc. Vi nhng lý do
trờn v cựng vi s giỳp ch bo ca thy Bựi Vn Bỡnh tụi ó chn ti
Phng phỏp tiờn trong hỡnh hc lm ti khúa lun cho mỡnh.

Nguyễn Thị Xuân

1

K33B - Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Bïi V¨n B×nh

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu những vấn đề cơ bản của một hệ tiên đề và đưa ra một số hệ
tiên đề cơ bản của hình học.
3. Đối tƣợng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Một số hệ tiên đề
- Phạm vi nghiên cứu: Hình học Ơclit.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu, nghiên cứu cách xây dựng hình học bằng phương pháp tiên đề
qua các hệ tiên đề HinBe, hệ tiên đề Pôgôrelov, hệ tiên đề Vây.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Tìm hiểu lý thuyết, nghiên cứu, phân tích các tài liệu tham khảo.
6. Cấu trúc khóa luận
Mở đầu.
Nội dung.
Chương 1: Sơ lược lịch sử.
Chương 2: Những vấn đề cơ bản của phương pháp tiên đề.
Chương 3: Hệ tiên đề HinBe của hình học Ơclit.
Chương 4: Một số hệ tiên đề khác của hình học Ơclit.
Kết luận.


NguyÔn ThÞ Xu©n

2

K33B - To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

NI DUNG
CHNG 1: S LC LCH S

1.1 S ra i ca c s hỡnh hc v tỏc phm Nguyờn lý ca clit
Trong lch s loi ngi, nhng ý nim u tiờn v hỡnh hc ó phỏt sinh
v gn lin vi nn vn húa c Babilon v Ai cp. thi kỡ ú, ngi ta ó
bit cỏch tớnh din tớch cỏc hỡnh n gin nh hỡnh tam giỏc, hỡnh thang v
hỡnh trũn v ó bit tớnh th tớch mt s vt th n gin nh hỡnh hp ch
nht, hỡnh chúp ỏy vuụng
T th k VII n th k III trc cụng nguyờn, cỏc nh hỡnh hc Hy
Lp ó cú nhng úng gúp quan trng trong vic phỏt trin mụn hỡnh hc.
u th k III trc cụng nguyờn h ó cú nhng hiu bit sõu sc v hỡnh
hc, khụng nhng ch v khi lng kin thc m c v cỏc phng phỏp
chng minh hỡnh hc. Tt c nhng vic lm ú ó t nn múng cho s ra
i ca mụn c s hỡnh hc m m ni dung ch yu ca nú l nghiờn cu s
sp xp cỏc kin thc hỡnh hc theo mt trỡnh t suy lun hp lụgic. Cụng lao
y thuc v cỏc trng phỏi toỏn hc v trit hc ca Talột, Pitago, Aristt,
ờmụcret V mt s ngi Hy Lp ó vit nhng tỏc phm trong ú cú
trỡnh by nhng kin thc bc u v c s hỡnh hc. Tuy nhiờn ngi cú

cụng ln u tiờn trong c s hỡnh hc l clit. Cụng lao ú c th hin
trong tỏc phm Nguyờn lý ni ting ca ụng.
Tỏc phm Nguyờn lý ca clit khụng nhng tp hp c hu ht cỏc
kin thc toỏn hc ng thi m giỏ tr ch yu ca nú l phng phỏp trỡnh
by cỏc kin thc ú. mi tp sỏch trong tỏc phm Nguyờn lý clit ó bt
u bng vic a cỏc khỏi nim (s dựng n) sau ú a ra mt s khng

Nguyễn Thị Xuân

3

K33B - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

nh xem nh chõn lý (gi l tiờn hay nh ) v cỏc khỏi nim ó nờu ra.
Phn ch yu ca mi tp sỏch l cỏc kin thc c bn ca mụn hc bao gm
cỏc khỏi nim, thuc tớnh v quan h gia chỳng c phỏt trin thnh cỏc
nh lý. Tt c cỏc khỏi nim ny u c nh ngha v tt c cỏc nh lý
u c chng minh.
Nh vy, qua tỏc phm Nguyờn lý, clit ó th hin rừ ý mun toỏn
hc tr thnh b mụn khoa hc tru tng v suy din, c lp vi ý nim vt
lý v khụng gian vt cht xung quanh. clit mun nh ngha mi khỏi nim,
mun chng minh mi chõn lý. Khi bt tay thc hin mi thy rng khụng th
l c vỡ chng minh iu ny li phi da vo iu kia v nh vy l khụng
cựng. V do ú dn n ý tng phi tha nhn mt s khỏi nim khụng nh
ngha, tha nhn mt s chõn lý lm c s cho cỏc suy din tip theo.

Phng phỏp trỡnh by ca clit ó cú nh hng n s phỏt trin ca
hỡnh hc trong nhiu th k tip theo v ca toỏn hc núi chung. Vi tỏc phm
Nguyờn lý, clit l ngi t nn múng cho vic xõy dng c s ca toỏn
hc, dn dt cỏc nh toỏn hc, theo nhng phng hng nghiờn cu khỏc
nhau, lm cho toỏn hc tr thnh mt khoa hc tru tng, suy din v a
dng. Cú th núi clit v tỏc phm Nguyờn lý ca mỡnh tr thnh ngi
thy ca cỏc th h toỏn hc sau ny. Tuy nhiờn trong tỏc phm Nguyờn lý
cng cú mt s thiu sút, song chớnh vic khc phc cỏc thiu sút ú ca cỏc
nh toỏn hc th h sau ó thỳc y toỏn hc phỏt trin.
1.2 Ni dung ca phng phỏp tiờn
Mi mụn hc cha ng nhng khỏi nim, nhng mi quan h gia
chỳng v nhng thuc tớnh ca cỏc khỏi nim. Mun xõy dng mt mụn toỏn
hc núi chung v mụn hỡnh hc núi riờng tt nhiờn ngi ta phi cú cỏc khỏi
nim c bn l nhng khỏi nim u tiờn khụng c nh ngha. ú l nhng
khỏi nim xut phỏt dựng nh ngha cỏc khỏi nim khỏc. Cỏc khỏi nim c

Nguyễn Thị Xuân

4

K33B - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

bn gm cú cỏc i tng c bn v cỏc tng quan c bn. Trong toỏn
hc ngi ta thng dựng ba i tng c bn sau õy: im, ng
thng, mt phng. Gia cỏc i tng c bn ny li cú cỏc mi liờn h

gi l cỏc tng quan c bn nh thuc, gia, bng. Ngi ta hiu
cỏc tớnh cht ca cỏc khỏi nim c bn ú thụng qua cỏc tiờn . Tiờn l
mt mnh toỏn hc c cụng nhn l ỳng, lm im xut phỏt suy
ra cỏc nh lý bng lp lun lụgic cht ch. trỡnh by mụn hỡnh hc theo
phng phỏp tiờn , ngi ta lm nh sau:
1) Khụng nh ngha mt s khỏi nim nh: im, ng thng, mt
phng, im nm gia hai im, di on thng, ln gúc Cỏc khỏi
nim nh vy gi l cỏc khỏi nim c bn. Cỏc khỏi nim khỏc s c nh
ngha da vo nhng khỏi nim c bn chng hn nh s bng nhau ca cỏc
tam giỏc c nh ngha da vo s bng nhau ca cỏc on thng v s
bng nhau ca cỏc gúc.
2) Nờu ra mt s mnh c tha nhn l ỳng m khụng chng minh.
Cỏc mnh nh th c gi l cỏc tiờn . Chng hn ta tha nhn tiờn :
Cú mt v ch mt ng thng i qua hai im phõn bit cho trc hoc
tiờn : Cú mt v ch mt mt phng i qua ba im khụng thng hng cho
trc. Mi mnh khỏc u phi c chng minh da vo cỏc tiờn v
cỏc mnh ó c chng minh trc ú. Chỳng ta cn chỳ ý rng tuy
im, ng thng, mt phng khụng c nh ngha, nhng chỳng buc
phi tha món cỏc tiờn . Cho nờn cú th núi chỳng c nh ngha mt
cỏch giỏn tip qua cỏc tiờn .
Nh vy, xõy dng hỡnh hc bng phng phỏp tiờn l quỏ trỡnh a ra
mt h tiờn , sau ú dựng cỏc quy tc lụgic nh ngha cỏc khỏi nim
mi v chng minh cỏc nh lý.

Nguyễn Thị Xuân

5

K33B - Toán



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

Cỏc i tng c bn v cỏc tng quan c bn cú th c hiu theo
nhng cỏch hiu c th khỏc nhau min sao chỳng phi tha món nhng yờu
cu nờu ra trong cỏc tiờn . Nhng hỡnh nh c th ca cỏc khỏi nim c bn
tha món tt c nhng tiờn ca mt h tiờn c gi l mụ hỡnh ca h
tiờn ú.
1.3 Mụ hỡnh ca mt h tiờn
Vỡ cỏc khỏi nim c bn khụng c nh ngha, nờn nu cú th gỏn cho
mi khỏi nim c bn ca h tiờn mt khỏi nim ó cú ca mt mụn hc
no ú sao cho mi tiờn ca h tiờn c dch sang ngụn ng ca
mụn hc ú u l chõn lý, thỡ ngi ta coi l ó tỡm c mt th hin (hay
mt mụ hỡnh) ca h tiờn trong mụn hc ú. iu ú cú th vớ nh ý tng
ca con ngi c th hin bng mt th ngụn ng. Nh vy mt h tiờn
cú th cú nhiu mụ hỡnh trong cỏc mụn hc khỏc nhau hay thm chớ trong
cựng mt b mụn. Khi mt h tiờn ó cú mụ hỡnh thỡ mi nh lý tru
tng suy ra t h tiờn cho ta cỏc nh lý c th ca mụ hỡnh, tc l cỏc
nh lý ca cỏc mụn hc m h tiờn c th hin. ú l ý ngha thc tin
quan trng ca phng phỏp tiờn .
Bng mụ hỡnh, ta cũn cú th xột xem mt h tiờn cú tha món cỏc yờu
cu c bn t ra nú hay khụng. Ta bit rng cha cú khụng khng
nh l khụng cú. Vi mt h tiờn n nay cha tỡm c mõu thun thỡ
hon ton cha núi rng nú phi mõu thun. Tuy nhiờn, d thy rng mt
h tiờn cú mõu thun m li cú mt s mụ hỡnh trong mt b mụn no ú
thỡ bn thõn lý thuyt ú cng mõu thun. Vỡ vy, mt h tiờn l phi mõu
thun nu cú mt mụ hỡnh trong mt lý thuyt ó c chng minh (hay gi
thuyt) l phi mõu thun.

Mt tiờn ca mt h tiờn phi mõu thun s l c lp nu khi thay nú
bng mt khng nh ph nh nú ta vn nhn c mt h tiờn phi mõu

Nguyễn Thị Xuân

6

K33B - Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Bïi V¨n B×nh

thuẫn. Vì vậy, muốn chứng minh một tiên đề của một hệ tiên đề là độc lập, ta
chỉ cần tìm một mô hình của hệ tiên đề trong một lý thuyết đã được xem là
phi mâu thuẫn sao cho tất cả các tiên đề khác thể hiện thành các định lý của lý
thuyết đó, duy có tiên đề đó thể hiện trên mô hình là một kết quả phi lý (trong
lý thuyết đó).
Bằng mô hình người ta cũng xem xét được một cách tương đối về tính đầy
đủ của một hệ tiên đề. Hai mô hình của cùng một hệ được gọi là đẳng cấu nếu
có một tương ứng một một giữa các khái niệm cơ bản của hệ tiên đề và bảo
tồn những quan hệ cơ bản giữa các đối tượng. Một hệ tiên đề được gọi là đầy
đủ nếu bất cứ hai mô hình nào của nó đều đẳng cấu. Như vậy, nếu một hệ tiên
đề đầy đủ thì từ một định lý trên mô hình bằng cách “dịch ngược”, ta sẽ có
một định lý trừu tượng của hệ tiên đề đó.

NguyÔn ThÞ Xu©n

7


K33B - To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

CHNG 2: NHNG VN C BN CA
PHNG PHP TIấN
Khi nghiờn cu bt c mt h tiờn no chỳng ta s gp ba vn c
bn sau õy:
Vn khụng mõu thun.
Vn ti thiu (tc l vn c lp ca cỏc tiờn ).
Vn y .
Mt h tiờn cho ta bit nhng tớnh cht xỏc nh ca cỏc tng quan
gia mt i tng no ú. T ú ta cú th suy ra cỏc tớnh cht khỏc ca cỏc
i tng ú da vo cỏc tớnh cht nờu ra trong cỏc tiờn . Ta cú th hiu cỏc
i tng v cỏc tng quan gia cỏc i tng ú theo nhiu cỏch hiu c
th khỏc nhau, min sao cỏc i tng v tng quan c th ú tha món cỏc
yờu cu nờu ra trong cỏc tiờn . Vi mi i tng v tng quan c th ta
cú mt s th hin hay mt mụ hỡnh ca h tiờn . Sau õy tụi s trỡnh by
cỏc vn c bn ca phng phỏp tiờn .
2.1 Vn khụng mõu thun ca mt h tiờn
2.1.1 nh ngha
Mt h tiờn gi l khụng mõu thun nu t ú bng suy din logic,
khụng bao gi ta suy ra c mt kt qu mõu thun vi cỏc tiờn hay hai
kt qu mõu thun vi nhau.
Chỳ ý: Nu mt h tiờn mõu thun thỡ mi mnh cú th suy ra
c t nú v do ú c cỏi ỳng v cỏi sai u c tha nhn. Trong lụgic

toỏn, ngi ta ó chng minh c rng mt lý thuyt c xõy dng da
trờn mt h tiờn mõu thun thỡ ngi ta cú th chng minh c bt c
mnh gỡ, ngha l lý thuyt ú khụng cú giỏ tr gỡ v mt khoa hc. Vỡ vy,

Nguyễn Thị Xuân

8

K33B - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

vn khụng mõu thun ca mt h tiờn l vn quan trng nht trong
phng phỏp tiờn .
2.1.2 Chng minh s khụng mõu thun ca mt h tiờn
Quỏ trỡnh chng minh s khụng mõu thun v hon thin phng phỏp
tiờn ó khụng din ra mt cỏch nhanh chúng ngay sau khi t tng ca nú
c hỡnh thnh m phi tri qua hng chc th k bt u t thi kỡ clit
(ngi u tiờn gii thiu v h tiờn trong hỡnh hc). Cui th k 19 ngi
ta mi chng minh c tớnh khụng mõu thun ca hỡnh hc phi clit. xột
s khụng mõu thun ca mt h tiờn , ta khụng th da vo s phỏt trin
ca mụn hc kt lun vỡ khụng cú gỡ m bo rng nu c phỏt trin mói
mụn hc ú ta s khụng gp mõu thun. Mt vn c t ra i vi
phng phỏp tiờn l cỏc i tng v quan h ó c tru tng húa cao
lm th no cú th m bo rng ton b nhng mnh c khng nh
khụng cha nhng mnh ph nh ln nhau.
Phng phỏp thng dựng hin nay chng minh tớnh khụng mõu

thun ca mt h tiờn l xõy dng c mụ hỡnh cho h tiờn ú. Gi s
T l mt lý thuyt xõy dng t h tiờn S m h S l khụng mõu thun. Gi
s T l mt lý thuyt xõy dng t h tiờn S. Nu t lý thuyt T ta xõy dng
c mt mụ hỡnh M ca h tiờn S, thỡ khi ú ta kt lun c h tiờn
S cng khụng mõu thun. Tht vy, nu nh S l h thng mõu thun, tc l
trong lý thuyt T cha ng hai kt lun trỏi ngc nhau, iu ny s cho ta
hai kt lun trỏi ngc nhau trờn mụ hỡnh M, th thỡ húa ra trong lý thuyt T
cú hai kt lun trỏi ngc nhau (vỡ M c xõy dng t lý thuyt T); ngha l
h S mõu thun, iu ny trỏi vi gi thit ca chỳng ta.
Vớ d chng minh s khụng mõu thun ca hỡnh hc Lobasepxki
phng ngi ta dựng vt liu ca hỡnh hc clit xõy dng nờn mụ hỡnh
Pongcare nghim h tiờn ca hỡnh hc Lobasepxki. Nh mụ hỡnh ú, mi

Nguyễn Thị Xuân

9

K33B - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

nh lý ca hỡnh hc Lobasepxki s cho ta mt nh lý ca hỡnh hc clit. Thớ
d t nh lý Tng cỏc gúc ca mt tam giỏc nh hn 1800 ca hỡnh hc
Lobasepxki ta suy ra nh lý sau õy ca hỡnh hc clit Mt tam giỏc cong
c to lờn bi ba na ng trũn cú tõm trờn cựng mt ng thng cú
tng cỏc gúc nh hn 1800. Nu trong hỡnh hc Labosepxki cú hai nh lý
mõu thun nhau thỡ hai nh lý ú s cho ta hai nh lý ca hỡnh hc clit

cng mõu thun nhau. Vỡ vy, nu ta gi thit rng hỡnh hc clit khụng mõu
thun thỡ vic xõy dng thnh cụng mụ hỡnh Pongcarờ (Nghim cỏc tiờn
ca hỡnh hc Lobasepxki) chng t rng hỡnh hc Lobasepxki khụng mõu
thun. Vy:
Hỡnh hc Lobasepxki s khụng mõu thun nu hỡnh hc clit khụng
mõu thun.
Nh vy, vic chng minh s khụng mõu thun ca mt lý thuyt toỏn
hc khụng th gii quyt c trong bn thõn ca lý thuyt toỏn hc ú.
Ngi ta dựng vt liu ca mt lý thuyt khoa hc c gi thit l
khụng mõu thun xõy dng mt mụ hỡnh ca tng. Nu vic xõy dng ú
thnh cụng thỡ h tiờn S khụng mõu thun.
chng minh s khụng mõu thun ca hỡnh hc clit ta dựng vt liu
l cỏc s thc xõy dng nờn mụ hỡnh ca hỡnh hc clit.
Vớ d: i vi hỡnh hc phng ta quy c:
im: l mt cp s thc sp th t (x, y).
ng thng: l mt b cỏc t s ca ba s thc (u, v, w) vi iu
kin l u, v khụng ng thi bng 0.
Thuc: Khi ta cú u.x + v.y + w = 0 thỡ ta núi rng im (x, y) thuc
ng thng (u, v, w).
Ta cú th tip tc xõy dng khỏi nim gia, bngmt cỏch
thớch hp v nh vy ta cú mt mụ hỡnh s hc ca hỡnh hc th hin trong

Nguyễn Thị Xuân

10

K33B - Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp


GVHD: Bïi V¨n B×nh

môn hình học giải tích phẳng. Mô hình này nghiệm các tiên đề của hình học
Ơclit. Muốn chứng minh hình học Ơclit phi mâu thuẫn ta dùng mệnh đề:
“Hình học Ơclit sẽ phi mâu thuẫn nếu số học các số thực phi mâu
thuẫn”. Ta biết rằng số học các số thực được xây dựng trên số học các số tự
nhiên. Lý thuyết về các số tự nhiên với hệ tiên đề Peano chỉ có 5 tiên đề đã
được thử thách và kiểm nghiệm nhiều nhất trong thực tế. Ở đây người ta
không xét vấn đề phi mâu thuẫn của số học vì vấn đề này đã vượt qua khỏi
nội dung của môn hình học.
2.2 Vấn đề tối thiểu của một tiên đề.(Hay là vấn đề độc lập của mỗi tiên
đề của hệ)
2.2.1 Định nghĩa
Một tiên đề A của hệ tiên đề S không mâu thuẫn gọi là độc lập với tất
cả các tiên đề khác của hệ tiên đề S nếu dựa trên các tiên đề khác này người ta
không thể dùng suy diễn lôgic để suy ra được tiên đề A.
Ví dụ tiên đề V của hệ tiên đề Hinbe là độc lập với các tiên đề khác của
hệ. Khi ta thay tiên đề V bởi tiên đề Lobasepxki (phủ định tính duy nhất của
đường thẳng song song trong tiên đề V) ta được một hệ tiên đề mới phi mâu
thuẫn. Đó là hệ tiên đề của hình học Lobasepxki. Điều đó chứng tỏ rằng tiên
đề V nói trên không phải là một định lý được suy ra từ bốn nhóm tiên đề I, II,
III, IV. Nếu tiên đề V là hệ quả của các tiên đề khác thì tất yếu nó phải thể
nghiệm bất cứ mô hình nào thỏa mãn các nhóm tiên đề I, II, III, IV. Việc xây
dựng mô hình Poăngcare thành công nghiệm tất cả các tiên đề của hình học
Lobasepxki và không nghiệm tiên đề V đã chứng tỏ rằng tiên đề V là độc lập
với các tiên đề khác.
2.2.2 Chứng minh một hệ tiên đề là tối thiểu
Muốn chứng minh một hệ tiên đề S là tối thiểu ta cần phải chứng minh
mỗi tiên đề của hệ S là độc lập đối với các tiên đề khác. Đây là một việc làm


NguyÔn ThÞ Xu©n

11

K33B - To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

tn nhiu cụng sc v khỏ phc tp. Mt khỏc ngi ta khụng th da vo
nh ngha nờu trờn chng minh mt mnh A no ú l c lp vi cỏc
tiờn khỏc vỡ vic lm ny cũn ph thuc vo kh nng ch quan ca ngi
thc hin v do ú chỳng ta khụng th rỳt ra c mt kt lun chớnh xỏc.
Vỡ vy mun chng minh tiờn A no ú l c lp i vi cỏc tiờn
khỏc ca mt h tiờn S ngi ta lm nh sau : Ly vt liu ca mt lý
thuyt khoa hc khụng cú mõu thun xõy dng nờn mt mụ hỡnh tha món tt
c cỏc tiờn ca h tiờn S, tr tiờn A. Nu vic xõy dng mụ hỡnh
thnh cụng thỡ ta ó chng minh c tiờn A c lp vi cỏc tiờn khỏc
ca h S. Chớnh bng cỏch lm ny, ngi ta ó xõy dng mụ hỡnh Pongcare
chng minh tiờn V ca h Hinbe c lp vi cỏc tiờn khỏc.
Nu mt tiờn A ca h tiờn S l c lp i vi cỏc tiờn khỏc
ca h thỡ da vo ú ta cú th xõy dng mt lý thuyt mi bng cỏch thay
tiờn A bi mt tiờn khỏc l A ph nh ca A. Vớ d khi ta thay tiờn
V ca h Hinbe bng tiờn Lobasepxki thỡ ta c mt mụn hỡnh hc mi l
hỡnh hc phi clit. Nh vy vn xột s c lp ca mt tiờn no ú i
vi cỏc tiờn khỏc ca mt h tng cú liờn quan mt thit vi vn chng
minh s khụng mõu thun ca mt h tiờn , cựng thi cng a n nhiu

phỏt minh v sỏng to trong khoa hc.
2.3 Vn y ca mt h tiờn
2.3.1 nh ngha 1: Gi s S l mt h tiờn ca mt lý thuyt T. H S gi
l y nu t S, bng suy din logic cú th suy ra mi kt lun ca lý
thuyt T ú.
Nhn xột: S xỏc nh khỏi nim y ca mt h tiờn theo nh
ngha 1 ch tha món khi chỳng ta cho rng mụn hc ú ó kt thỳc. Thc t
iu ny khụng bao gi xy ra vỡ trong quỏ trỡnh phỏt trin ca mụn hc cú gỡ
m bo rng mi chõn lý phỏt hin ra s c chng minh hon ton ch

Nguyễn Thị Xuân

12

K33B - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

bng suy din. Do ú gii quyt vn ny ta phi da vo nh ngha
khỏc sau õy:
2.3.2 nh ngha 2: Hai mụ hỡnh ca mt h tiờn S gi l ng cu vi
nhau nu gia cỏc i tng ca chỳng (vớ d im, ng thng, mt
phng) cú th thit lp c mt liờn h 1 1 sao cho nhng i tng
tng ng cú liờn h ging nhau trong nhng tng quan tng ng. Nh
vy: Mt h tiờn c gi l y nu tt c cỏc mụ hỡnh ca nú u
ng cu vi nhau.
Hai nh ngha trờn l tng ng. Tht vy:

Gi s ta cú h tiờn S y theo nh ngha 1. Ta ly mụ hỡnh M v
M bt kỡ ca S. Gi A l mt chõn lý phỏt hin ra trong M. Vỡ S l h tiờn
y nờn dựng suy din lụgic t S ta chng minh c chõn lý A l mt
nh lý. nh lý ú tt nhiờn ỳng trong mi mụ hỡnh ca S, do ú nú ỳng
trong M v õy nú cho ta mt chõn lý A tng ng vi A. Ngc li mi
chõn lý A trong M s cho ta mt chõn lý A tng ng trong M. iu ú
chng t M v M ng cu vi nhau. Vy nu S l mt h tiờn y
theo nh ngha 1 thỡ tt c cỏc mụ hỡnh ca nú ng cu vi nhau.
Ngc li, gi s tt c cỏc mụ hỡnh ca S u ng cu vi nhau. Ta hóy
ly mt chõn lý A trong mụ hỡnh M no ú ca S. Nu nh chõn lý A ú
khụng th suy din lụgic t h S ra c thỡ trong cỏc mụ hỡnh ca S s cú
nhng mụ hỡnh trong ú A khụng nghim v nhng mụ hỡnh ú khụng th
ng cu vi mụ hỡnh M iu ú trỏi vi gi thit. Vy A l mt chõn lý suy
din lụgic t h tiờn S, do ú S l mt h y .
Chỳ ý: iu kin y khụng phi l iu kin nht thit phi cú i
vi mi h tiờn ca toỏn hc. Ngy nay, trong toỏn hc, nhng lý thuyt
toỏn hc xõy dng trờn nhng h tiờn khụng y ó l rt ph bin v
cú u th ln.

Nguyễn Thị Xuân

13

K33B - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình


2.4 Mt s vn cn lu ý thờm
2.4.1 c trng ca phng phỏp tiờn
Tt c cỏc khỏi nim c bn nờu ra trong h tiờn u khụng nh
ngha.
Cỏc khỏi nim c bn v cỏc tiờn c hiu mt cỏch tru tng.
Ngi ta cú th tỡm nhng hỡnh nh c th trong thc t minh ha cho khỏi
nim tru tng ú. Nh vy i vi mt h tiờn ngi ta cú th tỡm c
cỏc mụ hỡnh nghim tt c cỏc tiờn ca h ú.
Mi h tiờn phi khụng mõu thun v mi tiờn ca h phi c
lp vi cỏc tiờn khỏc. Hai vn ny cú liờn quan mt thit vi nhau.
2.4.2 í ngha v tỏc dng ca vn tru tng húa
Cú ngi cho rng cỏc khỏi nim c bn v cỏc tiờn l nhng sn
phm ca t duy con ngi, coi lý thuyt toỏn hc nh mt m ký hiu khụng
cú ni dung v ph nhn ngun gc thc t ca toỏn hc.
Thc ra cỏc i tng toỏn hc khụng phi y nguyờn l nhng s vt
trong thc t m ch l nhng kt qu ca s tru tng húa cỏc s vt ú
trong thc t.
Vn tru tng húa khụng cú ngha l lm mt ht ni dung c th
ca cỏc i tng ú trong thc t m trỏi li nú mang li cho con ngi mt
thc t phong phỳ v a dng hn.
2.4.3 S khụng mõu thun ca mt h tiờn
chng minh s khụng mõu thun ca mt h tiờn , cn bn khụng cú
phng phỏp no khỏc ngoi phng phỏp mụ hỡnh. Mt h tiờn khụng
mõu thun nu nú cú mt mụ hỡnh tc l nú cú mt s th hin ca mt tp
hp i tng trong thc t v do ú nú cú mt ni dung rt c th. Mt h
tiờn mõu thun s khụng cú giỏ tr gỡ ht vỡ t ú ta cú th suy ra mi cỏi
u ỳng v sai. Vỡ vy mun xõy dng mt lý thuyt khoa hc no ú ngi

Nguyễn Thị Xuân


14

K33B - Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

ta phi quan tõm trc ht ti iu kin khụng mõu thun ca lý thuyt ú vỡ
õy l iu kin quan trng nht quyt nh s tn ti ca lý thuyt ú.
2.4.4 Vn chn cỏc tiờn
Cú ý kin cho rng ngi ta khụng chng minh cỏc tiờn l vỡ chỳng
quỏ hin nhiờn hoc quỏ n gin. Thc t ó chng t rng nu khụng cú lý
lun khoa hc thỡ cú nhiu khi chỳng ta b cỏi b ngoi ỏnh la mc du cỏi
b ngoi ny cng mang li cho chỳng ta mt s hiu bit no ú.
Cn phi quan nim rng tiờn l nhng mnh m tớnh ỳng n ca
nú c cụng nhn l xut phỏt im cho suy din logic. Khi ta chng
minh mt mnh no ú tc l ta lm rừ s liờn h lụgic gia mnh ú
vi h tiờn .
Túm li, mun la chn mt h tiờn hon chnh v thớch hp m bo
c cỏc yờu cu cn thit l mt vic lm khụng n gin m cn phi cú
mt quỏ trỡnh tỡm tũi chn lc, nghiờn cu k lng v phi thụng qua nhiu
th thỏch trong thc tin.

Nguyễn Thị Xuân

15

K33B - Toán



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

CHNG 3: H TIấN HINBE CA HèNH HC CLIT
Nh toỏn hc Hinbe (ngi c) l ngi thnh cụng nht trong lch s
ci thin h tiờn hỡnh hc ca clit. Trong tỏc phm C s hỡnh hc xut
bn nm 1889, Hinbe ó a ra mt h tiờn hon thin v trỏnh c cỏc
thiu sút ca h tiờn do clit a ra.
Cỏc khỏi nim c bn trong h ny gm:
im, ng thng, mt phng (gi chung l cỏc i tng c
bn).
Thuc, gia , bng (goi chung l cỏc tng quan c bn).
Cỏc tiờn ca h ny c chia lm 5 nhúm:
Nhúm I cha 8 tiờn v liờn thuc.
Nhúm II cha 4 tiờn v th t.
Nhúm III cha 5 tiờn v bng nhau.
Nhúm IV cha 2 tiờn v liờn tc.
Nhúm V cha 1 tiờn v song song.
3.1 Nhúm I: Cỏc tiờn v liờn thuc
Tng quan c bn trong nhúm ny l tng quan thuc. Thut ng ny
mang ý ngha nh l i qua, nm trờn, cha trong hỡnh hc ph
thụng.
3.1.1 Cỏc tiờn
I1: Cho bt kỡ hai im A, B no bao gi cng cú mt ng thng a thuc
mi im ú.
I2: Cho bt kỡ hai im A, B no phõn bit khụng bao gi cú quỏ mt
ng thng thuc mi im ú.


Nguyễn Thị Xuân

16

K33B - Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Bïi V¨n B×nh

I3: Mỗi đường thẳng thuộc ít nhất hai điểm. Có ít nhất là ba điểm không
cùng thuộc một đường thẳng.
I4: Cho bất kì ba điểm A, B, C nào bao giờ cũng có một mặt phẳng α
thuộc mỗi điểm đó. Mỗi mặt phẳng thuộc ít nhất là một điểm.
I5: Cho bất kì ba điểm A, B, C nào không cùng một đường thẳng, không
bao giờ có quá một mặt phẳng thuộc mỗi điểm đó.
I6: Nếu hai điểm A, B phân biệt cùng thuộc một đường thẳng a và đồng
thời cùng thuộc một mặt phẳng α thì mọi điểm của đường thẳng a đều thuộc
mặt phẳng α.
I7: Nếu hai mặt phẳng cùng thuộc một điểm A thì chúng sẽ cùng thuộc ít
nhất một điểm thứ hai B.
I8: Có ít nhất bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
Với các tiên đề về liên thuộc chúng ta có thể chứng minh được một số
định lý đơn giản sau:
3.1.2 Các định lý
Định lý 3.1: Hai đường thẳng phân biệt có nhiều nhất là 1 điểm chung.
Chứng minh: Giả sử hai đường thẳng phân biệt a và b có hai điểm chung
là A và B (với A, B phân biệt). Theo tiên đề I2, với hai điểm A, B phân biệt

không bao giờ có quá một đường thẳng thuộc mỗi điểm đó. Suy ra a và b
trùng nhau (mâu thuẫn với giả thiết).
Vậy a và b có nhiều nhất 1 điểm chung.
Định lý 3.2: Một đường thẳng và một mặt phẳng không thuộc đường
thẳng đó có nhiều nhất 1 điểm chung.
Chứng minh: Cho mặt phẳng α và đường thẳng a

(α). Giả sử đường

thẳng a và mặt phẳng (α) có hai điểm chung là A và B. Khi đó theo tiên đề I6
thì a (α) (mâu thuẫn với giả thiết)
Vậy đường thẳng a và mặt phẳng (α) có nhiều nhất 1 điểm chung.

NguyÔn ThÞ Xu©n

17

K33B - To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

nh lý 3.3: Nu hai mt phng phõn bit cú 1 im chung thỡ chỳng cú
mt ng thng chung cha tt c cỏc im chung ca hai mt phng.
Chng minh: Gi s hai mt phng (P) v mt phng (Q) cú mt im
chung l A.
Theo tiờn I7, hai mt phng ny cũn cú mt im chung th hai l B.
Mt khỏc theo tiờn I6, mi im ca ng thng a xỏc nh bi A v B

u l im chung ca (P) v (Q). Ngoi cỏc im chung trờn ng thng a
thỡ (P) v (Q) khụng cũn cú mt im chung no khỏc.
Tht vy, gi s (P) v (Q) cũn cú mt im chung na l C thỡ theo tiờn
I5 , (P) v (Q) phi trựng nhau ( mõu thun vi gi thit).
nh lý 3.4: Qua mt ng thng v mt im khụng thuc ng thng
ú hoc qua hai ng thng ct nhau bao gi cng cú mt mt phng v ch
mt m thụi.
Chng minh: Cho ng thng a v mt im A khụng thuc ng
thng ú. Theo tiờn I3, trờn ng thng a cú ớt nht hai im B, C.
Theo tiờn I2 v theo gi thit thỡ ba im A, B, C khụng cựng thuc mt
ng thng.
Theo tiờn I4 v I5 thỡ cú mt mt phng duy nht thuc mi im A,
B, C ú.
T ú theo tiờn I6 ta cú mt mt phng cha ng thng a. Nh
vy, ngoi ra khụng cú mt mt phng no khỏc cha ng thng a v
im A.
Trng hp i vi hai ng thng ct nhau c suy ra t kt qu ca
vic chng minh trờn.
nh lý 3.5: Mi mt phng cha ớt nht 3 im khụng thng hng.
Chỳ ý: Theo tiờn I3 mi ch cho bit mi ng thng thuc ớt nht l
hai im v tiờn I4 ch cho bit mi mt phng thuc ớt nht 1 im. Vi

Nguyễn Thị Xuân

18

K33B - Toán


Khóa luận tốt nghiệp


GVHD: Bùi Văn Bình

cỏc tiờn ca nhúm I ta ch mi chng minh c rng mi mt phng thuc
ớt nht l 3 im khụng thng hng. Cũn trong khụng gian thỡ vi cỏc tiờn
ca nhúm I ta ch mi bit rng khụng gian cú ớt nht l 4 im khụng cựng
thuc mt mt phng.
3.2 Nhúm II: Cỏc tiờn v th t
õy cú thờm tng quan c bn gia. Cỏc tiờn v th t cho
chỳng ta bit v v trớ tng i ca cỏc im trờn mt ng thng v trong
mt mt phng. Mi im trờn mt ng thng cú tng quan gia i
vi hai im khỏc trờn ng thng ú.
3.2.1 Cỏc tiờn
II1: Nu im B gia im A v im C thỡ A, B, C l 3 im khỏc nhau
cựng thuc mt ng thng v m B cng gia C v A.
II2: Cho bt kỡ hai im A v C no, bao gi cng cú ớt nht 1 im B
cựng thuc mt ng thng vi A v C sao cho C gia A v B.
II3: Trong bt kỡ ba im no cựng thuc mt ng thng khụng bao gi
cú quỏ mt im gia hai im kia.
nh ngha 3.1: Mt cp im A v B c gi l mt on thng kớ hiu
l AB hay BA. Cỏc im gia A v B c gi l im trong ca on
thng AB, hay thuc on thng AB. Cỏc im A va B c gi l hai u
mỳt ca on thng ú. Tt c cỏc im thuc ng thng AB m khụng
phi l im trong v cỏc im u mỳt ca on AB c gi l im ngoi
ca on AB.

A

II4: Cho ba im A, B, C khụng cựng


a

thuc mt ng thng v mt ng
thng a thuc mt phng (ABC) nhng
khụng thuc bt c im no trong ba im
A, B, C. Nu ng thng a cú mt im chung

Nguyễn Thị Xuân

19

B

C

K33B - Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Bïi V¨n B×nh

với đoạn AB thì nó còn có một điểm chung khác

Hình 1

nữa hoặc với đoạn AC hoặc với đoạn BC (Hình 1).
3.2.2 Các định lý
Định lý 3.6: Bất kì một đoạn thẳng AB nào bao giờ cũng có ít nhất 1 điểm
C ở giữa hai điểm A và B đó.


E

Chứng minh( Hình 2): Theo tiên đề I3 có một
điểm D không thuộc đường thẳng AB.
D

Theo tiên đề II2, trên đường thẳng AD có một điểm E

C

B

sao cho D ở giữa A và E.
Cũng theo tiên đề II2 trên đường thẳng EB

A

có một điểm F sao cho B ở giữa E và F.

Hình 2

F

Theo tiên đề II4 đối với 3 điểm A, B, E không thẳng hàng, đường thẳng FD có
điểm chung với đoạn AE tai D nên nó phải có điểm chung với đoạn AB hoặc
với đoạn EB.
Giả sử đường thẳng FD có điểm chung với đoạn EB thì đường thẳng FD và
đường thẳng EF phải trùng nhau theo tiên đề I2 (vô lý vì D và E là hai điểm
khác nhau).

Vậy đường thẳng FD phải có một điểm chung C với đoạn AB. Ta nói rằng
FD cắt đoạn AB tại C và như vậy C ở giữa A và B.
Định lý 3.7: Trong bất kì ba điểm A, B, C nào trên một đường thẳng bao
giờ cũng có một điểm ở giữa hai điểm kia.
Chứng minh (Hình 3): Giả sử điểm A không ở giữa điểm B và điểm C,
điểm C không ở giữa điểm A và điểm B. Ta cần chứng minh chỉ xảy ra
trường hợp điểm B nằm giữa điểm A và điểm C. Thật vậy:
Theo tiên đề I3 có một điểm D không nằm trên đường thẳng AC.
Theo tiên đề II2 trên đường thẳng BD có một điểm G sao cho D ở giữa B và
G.

NguyÔn ThÞ Xu©n

20

K33B - To¸n


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

p dng tiờn II4 i vi ba im B, C, G v ng thng AD ta cú AD
ct CG ti E gia C v G. AD khụng th ct AC vỡ nu ct thỡ hai ng
thng AD v AC l hai ng thng trựng nhau

B

A


C

(trỏi vi vic ta ly im D khụng nm trờn AC).
Tng t ta chng minh c CD ct AG ti F

D

F

E

gia A v G.
p dng tiờn II4 i vi ba dim A, F, G v
G

ng thng CF ta cú CF ct AE ti D gia A v E.Tip tc ỏp Hỡnh
dng
3 tiờn
II4 i vi ba im A, C, E v ng thng DG ta cú B gia A v C. T cỏc
tiờn II2, II3 v cỏc nh lý 3.6 v 3.7 ta cú cỏc h qu sau:
H qu
i, Vi bt kỡ ng thng AC no, trờn ng thng AC luụn cú nhng
im trong on AC v nhng im nm ngoi on AC.
ii, Vi ba im phõn bit trờn mt on thng bao gi cng cú mt v ch
mt im gia hai im kia.
nh lý 3.8: Nu im B gia im A v C, im C gia B v D thỡ
cỏc im B v C u gia A v D.

F


Chng minh (Hỡnh 4): Gi s im B
gia im A v C, im C gia B v D.
Khi ú theo tiờn I3 cú mt im E
khụng nm trờn ng thng AB.

A
Theo tiờn II2 cú mt im F sao cho E

E gia C v F.

E

G

H

B

C

D

Hỡnh 4

Ta cú A, E, C khụng cựng thuc mt ng thng. FB cú mt im
chung vi AC l im B. Khi ú theo tiờn II4 thỡ FB cũn cú mt im
chung G i vi AE v G nm gia A v E.
Tng t ỏp dng tiờn II4 :

Nguyễn Thị Xuân


21

K33B - Toán


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: Bïi V¨n B×nh

Đối với bộ ba điểm F, B, C và đường thẳng AE ta có AE cắt FB tại G ở
giữa B và F.
Đối với bộ ba điểm G, B, D và đường thẳng FC ta có FC cắt GD tại H ở
F
giữa D và G.
Đối với bộ ba điểm G, A, D và đường thẳng
FC ta có FC cắt AD tại C ở
E
G
H
giữa A và D.
B
Lý luận tương tự taAchứng minh
được B ởCgiữa A vàDD.

Định lý 3.9: Nếu điểm C ở giữa A và D, điểm B nằm ở giữa A và C thì
điểm B ở giữa A và D và điểm C ở giữa B và D.(Hình 5)
F
A


B

D

C

E

G Hình 5

H
F của đoạn AC thì đoạn AB và đoạn BC
Định lý 3.10: Nếu
A B là một
B điểm
D
C
F
đều thuộc đoạn AC nghĩa là mỗi điểm của đoạn AB hoặc của đoạn BC đều
thuộc đoạn AC.

E

G

EH
H AC nên B ở giữa A và C.
Chứng minh :Vì B là một điểm của đoạn
G


A

A

A

B

C

X B

BC
Hình 6

D

D

C

Nếu điểm X thuộc đoạn AB nghĩa là X ở giữa A và B. Khi đó theo định lý
A

X

B

A


X

B

A

B

X

B

X

C

9 điểm X ở giữa A và C hay X thuộc đoạn AC (Hình 6).

A

C
C

C

Hình 7
Tương tự nếu điểm X thuộc đoạn BC nghĩa là X ở giữa đoạn BC (Hình 7).
Theo định lý 3.9 ta có X nằm giũa A và C hay X thuộc đoạn AC .
Định lý 3.11: Nếu B là một điểm của đoạn AC thì mỗi điểm của đoạn AC
khác với B phải thuộc hoặc là đoạn AB hoặc là đoạn BC.


NguyÔn ThÞ Xu©n

22

K33B - To¸n


E

G
B

EH
H
F C

B

C

G

Khãa luËn tèt nghiÖp A
A

GVHD: Bïi V¨n B×nh

D


D

E
G
H
Chứng minh: Giả sử điểm X không thuộc
đoạn AB, khi đó hoặc là B ở
A
X
C
B
giữa A và X hoặc là A ởAgiữa XBvà B( TheoCtiên đề D
II2 ).
A
X
C
B
A

A

B

X

B

X

C


C

Hình 8
A
X
C
B
Nếu B ở giữa A và X (Hình 8) , Theo giả tiết X ở giữa A và C.Khi đó theo
định lý 3.9, X ở giữa B và C nghĩa là X thuộc đoạn BC.
A
B
C
X
X

A

C

B

Hình 9
Nếu A ở giữa X và B (Hình 9), theo giả thiết B ở giữa A và C. khi đó theo
định lý 8 điểm A ở giữa X và C. như vậy X không thuộc đoạn AC (trái với giả
thiết). Do đó không xảy ra trường hợp A ở giữa X và C.
Như vậy, nếu một điểm X không
F thuộc đoạn AB thì nó phải thuộc đoạn
BC. Tương tự, nếu điểm X không thuộc đoạn BC thì ta chứng minh được nó
phải thuộc đoạn BC.


E

G

H

Định lý 3.12: Nếu mỗi điểm B và C đều ở giữa hai điểm A và D, thì mọi
A

B

điểm của đoạn BC đều thuộc đoạn AD.
F
A

B

C

A

X

G 10 B
Hình

D

C


D

E

C

H
Chứng minh: Ta biết rằng trong ba điểm A, B, C thì chỉ có duy nhất một
AB
B
D
A
C
C
X
điểm nằm giữa hai điểm kia. Giả sử A ở giữa B và C (Hình 11).
X
A B
AE

A

A
D

C

B


C

X

C

B

Hình C'
11B

D
D'

E'

C

Theo giả thiết C ở giữa A và D .
A
X
NguyÔn ThÞ Xu©n
A

B

X

A


B23
B

C
C

K33B - To¸n


F

Khóa luận tốt nghiệp
G
A

GVHD: Bùi Văn Bình

E
H

B

D

C

Theo nh lý 3.8 cỏc im A v C u gia B v D (mõu thun vi gi
thit l B gia A v D) suy ra A khụngFth gia B v C. T ú ch xy ra
A


B

C
trng hp hoc B gia A v C hoc
C gia AD v B.
Chp C gia A va B tng
E
Gi s BA gia AXv C (HỡnhGB12) ( Trng
H

t).
A

B

X

A X

A

B

C

C

HỡnhB12

D D

C

Gi XAl mt im bt kỡ ca
B on BC, ta cú X gia B v C.
D'B3.9 E'ta cú X C gia A v C.Vỡ X
C' lý
A CC nờn theo
X nh
E ADv
Vỡ B gia

gia A v C, C gia A v D nờn theo nh lý 3.9 thỡ X gia A v D hay
A

B

C

X

mi im X thuc BC u thuc AD.

X ngAthng cú vụBs im.
nh lý 3.13: Mi
A

C

B
E


D

C'

C

D'

E'

Hỡnh 13
Chng minh (Hỡnh 13): Theo tiờn I3, trờn mi ng thng cú ớt ra l
hai im. Gi s hai im ú l A v B.
Theo nh lý 3.6 thỡ gia A v B cú ớt ra l mt im C, gia A v C cú ớt
ra mt im C.
Theo nh lý 3.9 suy ra im D gia A v C, ng thi D khỏc C. Tip
tc lm nh vy thỡ gia hai im A v B cú vụ s im C, D, E,
Mt khỏc, theo tiờn II2, trờn ng thng AB cú ớt nht mt im C
sao cho B gia A v C. Cng theo tiờn ny ta cú thờm im D sao cho
C gia A v D. im D nm ngoi on AC nờn khỏc vi C v tt
nhiờn cng khỏc vi B. Tip tc nh vy thỡ trờn ng thng AB ta cng cú
vụ s im nm ngoi on AB l im C, D, E Cỏc im ny khỏc nhau
v khỏc vi cỏc im nm trong on AB.

Nguyễn Thị Xuân

24

K33B - Toán



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Bùi Văn Bình

Vy trờn mi ng thng cú vụ s im.
Chỳ ý: Mi im trờn ng thng to nờn s phõn lp tp im cũn li
ca ng thng.Gi s O l mt im ca ng thng d, cỏc im ca
ng thng d khỏc O c chia thnh hai tp con sau:
im O gia hai im thuc hai tp con ú.
im O khụng gia hai im ca cựng mt tp con.
Mi tp con nh vy gi l mt na ng thng m. B sung thờm im
O vo mi na ng thng m ú ta c mt na ng thng úng hay
cũn gi l mt tia vi gc O. Tng t ta xõy dng c khỏi nim na mt
phng, na khụng gian.
3.3 Nhúm III:Cỏc tiờn v bng nhau
Tng quan c bn trong nhúm ny l tng quan bng ca mt on
thng vi mt on thng khỏc v ca mt gúc vi mt gúc khỏc. Trc ht,
ta cú nh ngha sau:
nh ngha 3.2: Mt cp tia h, k cú cựng gc O gi l mt gúc v c kớ
hiu l ãh, k . im O gi l nh v cỏc tia h, k gi l cnh ca gúc. Nu A,
B l hai im ln lt ly trờn hai tia h, k thỡ ta cú th dựng kớ hiu gúc
ã
AOB
thay cho gúc ãh, k .
k

Gi h, k l cỏc tia bự ca tia h v k.


h'

Tp hp nhng im nm cựng phớa vi

O
h

tia h i vi ng thng kk v nm

k'

cựng phớa vi tia k i vi ng thng
hh gi l min trong ca gúc ãh, k .

Hỡnh 14

3.3.1 Cỏc tiờn
III1: Nu cho trc mt on thng AB v mt na ng thng cú gc
A, thỡ trờn na ng thng ny cú mt im B sao cho on thng AB

Nguyễn Thị Xuân

25

K33B - Toán