Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn
PHN A: M U

1. Lí DO CHN TI
Hỡnh hc khụng gian l mt trong nhng mụn hc khú ca chng trỡnh
toỏn ph thụng bi ngoi tớnh cht ch, logic nú cũn ũi hi tớnh tru tng
húa cao. c bit phộp bin hỡnh l mt phn kin thc tng i khú i vi
hc sinh. Cỏc phộp bin hỡnh cú vai trũ vụ cựng quan trng, nú khụng ch
cung cp thờm mt cụng c mi gii toỏn m cũn tp cho hc sinh lm
quen vi cỏc phng phỏp t duy v suy lun mi, bit nhỡn nhn s vt hin
tng xung quanh trong s vn ng v bin i.
Phộp bin hỡnh trong khụng gian cú liờn h cht ch vi phộp bin hỡnh
trong mt phng. Nhiu bi toỏn trong khụng gian cú th suy ra t cỏc bi
toỏn trong mt phng. Phộp bin hỡnh trong khụng gian l mt cụng c hu
hiu gii cỏc bi toỏn hỡnh hc khụng gian. Tuy nhiờn cỏc khỏi nim, nh
ngha, nh lớ v phộp bin hỡnh c cp chng trỡnh toỏn ph thụng
mi ch gii hn trong mt phng m cha c m rng ra khụng gian. Vỡ
nhng lớ do trờn, thờm vo ú l s say mờ, yờu thớch mụn hỡnh nờn tụi ó
quyt nh la chn nghiờn cu v phộp bin hỡnh trong khụng gian. Do
khuụn kh ca mt khúa lun tt nghip, do thi gian v nng lc cũn cú hn
nờn tụi ch i sõu nghiờn cu v phộp quay v ng dng ca nú vo bi toỏn
chng minh. ú chớnh l lớ do tụi chn ti:
Phộp quay v ng dng ca nú vo bi toỏn chng minh trong khụng gian
2. MC CH NGHIấN CU
Nghiờn cu v phộp quay trong khụng gian v ng dng ca nú vo mt
s lp bi toỏn chng minh c bn.
3. NHIM V NGHIấN CU
- Trỡnh by c s lý thuyt ca phộp quay trong khụng gian.

SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán

Trang 1


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

- Trình bày về phép quay quanh trục trong không gian.
- Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép
quay vào 3 lớp bài toán chứng minh cơ bản:
+ Chứng minh quan hệ vuông góc và quan hệ song song.
+ Chứng minh đẳng thức hình học.
+ Chứng minh bất đẳng thức hình học.
Và một số bài toán chứng minh khác.
4. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu lí luận, sử dụng các công cụ toán học.
5. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Chương 1: Cơ sở lý thuyết.
Chương 2: Phép quay trong không gian.
Chương 3: Ứng dụng của phép quay trong không gian vào bài toán chứng
minh.

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 2


Khãa luËn tèt nghiÖp


GVHD: NguyÔn V¨n V¹n
PHẦN B: NỘI DUNG

CHƢƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
1.1. PHÉP BIẾN HÌNH
1.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Gọi T là một tập hợp điểm, 1 song ánh f : T

T từ tập T lên chính nó

được gọi là một phép biến hình của tập hợp T.
Nếu điểm M’ là ảnh của M qua phép biến hình f thì ta nói phép biến hình f
biến điểm M thành điểm M’.
Định nghĩa 2
f là một phép biến hình và H là một hình nào đó. Hình H’ là tập hợp tất cả
các ảnh của các điểm của hình H gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f.
H' f H

M' f M : M H

Điểm M được gọi là điểm bất động (điểm kép, điểm tự ứng) của hình H
nếu

f M

f M

M.


M . Hình H được gọi là hình bất động nếu mọi M

H thì ta có

Định nghĩa 3
Cho phép biến hình f : T

T . Khi đó, ánh xạ ngược f

1

cũng là một phép

biến hình. Ta gọi đó là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f (hay là
nghịch đảo của phép biến hình f).
Định nghĩa 4
Phép biến hình f của tập T được gọi là phép biến hình đối hợp nếu f 2

Id .

1

của nó trùng nhau.

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 3

Dễ thấy lúc đó ta có f và phép biến hình nghịch đảo f



Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

1.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1:
Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M ta xác định M' là hình chiếu
(vuông góc) của M trên d thì ta được một phép biến hình.
Phép biến hình này được gọi là phép chiếu (vuông góc) lên đường
thẳng d.
M

d
M'

Ví dụ 2:
r

Cho vectơ u , với mỗi điểm M ta xác định điểm M' theo quy tắc
uuuuur r
MM' = u . Như vậy ta cũng có một phép biến hình. Phép biến hình hình đó
r
được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ u .
u
M

M'


Ví dụ 3:
Với mỗi điểm M ta xác định điểm M’ trùng với điểm M thì ta cũng có
một phép biến hình. Phép biến hình đó được gọi là phép đồng nhất.
. M ≡ M’
1.2. TÍCH CỦA HAI PHÉP BIẾN HÌNH
Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập T đã cho. Khi đó ánh xạ tích
của f và g cũng là một song ánh từ T vào T nên tích đó cũng là phép biến hình
của T. Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích của f và g.
Kí hiệu: g. f

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 4


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

1.3. PHÉP BIẾN HÌNH AFIN
1.3.1. Định nghĩa
Phép biến hình của không gian Ơclit E3 biến đường thẳng thành đường
thẳng gọi là phép biến hình afin gọi tắt là phép afin.
1.3.2. Tính chất
a) Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
b) Phép afin bảo tồn tính song song của hai đường thẳng.
c) Phép afin bảo toàn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hướng.
d) Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ.
e) Phép afin bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng.
1.3.3. Phân loại

+ Trong E2, hai tam giác: ∆ABC và ∆A’B’C’ được gọi là cùng chiều
nếu trên đường tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay đi từ A đến B, từ B đến
C, từ C đến A cùng chiều quay từ A’ đến B’, từ B’ đến C’, từ C’ đến A’.
+ Trong E3, hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ được gọi là cùng chiều nếu
hai góc tam diện ABCD và A’B’C’D’ cùng hướng.
Phép afin trong E2 (E3) được gọi là phép afin loại 1 nếu hai tam giác
(hai tứ diện) xác định nó là cùng chiều.
Ngược lại ta bảo là phép afin loại 2.
1.4. PHÉP BIẾN HÌNH ĐẲNG CỰ
1.4.1. Định nghĩa
Phép biến hình của không gian En ( n 2, 3 ) bảo tồn khoảng cách giữa
hai điểm được gọi là phép đẳng cự.
1.4.2. Tính chất
a) Phép đẳng cự là phép afin.

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 5


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

b) Phép đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc phẳng.
c) Phép đẳng cự biến đường tròn thành đường tròn (trong E2), biến mặt
cầu thành mặt cầu (trong E3).
1.4.3. Điều kiện xác định phép đẳng cự
a) Trong E2, phép đẳng cự được xác định bởi hai tam giác bằng nhau.
b) Trong E3, phép đẳng cự được xác định bởi hai tứ diện bằng nhau.

Trong đó hai tứ diện được gọi là bằng nhau nếu chúng có các cạnh tương ứng
bằng nhau.
1.4.4. Phân loại
Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1.
Ngược lại ta gọi phép đẳng cự là phép phản chiếu.

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 6


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

CHƢƠNG 2: PHÉP QUAY TRONG KHÔNG GIAN
2.1. ĐỊNH HƢỚNG TRONG MẶT PHẲNG
2.1.1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho điểm O thì xung quanh O có hai chiều quay:
chiều quay cùng chiều kim đồng hồ và chiều ngược lại. Nếu chọn một trong
hai chiều quay đó làm chiều dương thì chiều ngược lại là chiều âm và khi đó
ta nói mặt phẳng đã được định hướng.
Thông thường người ta chọn chiều quay ngược với chiều kim đồng hồ
làm chiều dương.

o

(-)
(+)


Hình 1
2.1.2. Góc định hƣớng giữa hai tia
Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng ta gọi góc định hướng giữa
hai tia Ox, Oy lấy theo thứ tự đó là góc mà tia Ox phải quay theo một chiều
xác định để đến trùng với vị trí của tia Oy.
uuur uuur

Góc định hướng đó được kí hiệu là Ox, Oy . Trong đó Ox gọi là tia
đầu, Oy gọi là tia cuối của góc. Số đo của góc đó là dương hay âm tùy theo tia
đầu quay xung quanh điểm O để cho nó trùng lên tia cuối theo chiều dương
của mặt phẳng.

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 7


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n
y

x

o

o
y


x

Hình 2.a

Hình 2.b
uuur uuur

Trong hình 2.a thì Ox, Oy
uuur uuur

Trong hình 2.b thì Ox, Oy
Nhận xét
Nếu α là 1 giá trị của góc định hướng giữa hai tia Ox và Oy thì những
giá trị khác là:
'

k2

k Z

Hệ thức Salơ
Cho các tia OA1, OA2, OA3,…, OAn trong mặt phẳng định hướng ta có
hệ thức Salơ như sau:
OA1 , OA 2

OA 2 , OA 3

...

OA n 1, OA n


OA1, OA n

k2

k

Z

2.1.3. Góc định hƣớng giữa hai đƣờng thẳng
Định nghĩa
Trong mặt phẳng (P) đã được định hướng ta xét hai đường thẳng a và b.
+ Nếu a và b cắt nhau tại O thì góc định hướng giữa hai đường thẳng a
và b lấy theo thứ tự đó là góc mà đường thẳng a phải quay theo một chiều xác
định để đến trùng với vị trí của đường thẳng b.
Góc định hướng đó được kí hiệu là (a, b). Trong đó: a gọi là đường
thẳng đầu, b gọi là đường thẳng cuối của góc. Số đo của góc đó là dương hay
âm tùy theo chiều quay của a xung quanh O đến trùng với b theo chiều dương
hay âm của mặt phẳng.
+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì a, b

k

k Z

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 8



Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n
a

b

o

o

b

a

Hình 3. a

Hình 3. b
a
a≡b

b
Hình 3. c

Hình 3. d

Trong hình 3. a thì a, b
Trong hình 3. b thì a, b
Trong hình 3. c thì a, b


00

Trong hình 3. d thì a, b

1800

Nhận xét
Nếu α là một giá trị của góc định hướng giữa hai đường thẳng a và b
thì các giá trị còn lại có dạng:
'

k

k

Z

Hệ thức Salơ
Trong mặt phẳng đã được định hướng cho các đường thẳng a1, a2,…, an
cắt nhau tại O. Khi đó ta có:
a1 , a 2

a2 , a3

...

a n 1, a n

a1 , a n


k

k

Z

2.2. ĐỊNH HƢỚNG TRONG KHÔNG GIAN
Trong không gian cho đường thẳng ∆ đã được định hướng. Xung quanh ∆
sẽ có hai chiều quay. Nếu ta chọn một chiều là chiều dương, một chiều là
chiều âm thì ta nói rằng ta đã định hướng được không gian.

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 9


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

2.3. PHÉP QUAY QUANH TRỤC TRONG KHÔNG GIAN
2.3.1. Định nghĩa
Trong không gian E3, cho trục d và góc phẳng định hướng φ ( 00

1800 ).

Phép biến hình của E3 cho ứng mỗi điểm M với điểm M' thỏa mãn:
a) Hai điểm M , M' nằm trên mặt phẳng (P) vuông góc với d tại O.
b) OM OM '
c) Nếu chiều dương của mặt phẳng (P) là chiều dương của vặn nút chai

uuuur uuuur

tiến theo chiều dương của trục d thì OM, OM '
Gọi là phép quay trong không gian quanh trục d, góc quay φ.
Kí hiệu: Q d,

hay Q d
d
A1

A1'
A2'

A2

A4'

A4
A3'

A3

Hình 4
*)

Từ định nghĩa phép quay quanh trục ta có cách tìm ảnh của 2 điểm trong

không gian qua phép quay quanh trục như sau:
Giả sử A, B là hai điểm bất kì và A’, B’ là ảnh của chúng qua phép quay
quanh trục d với góc quay φ. Để tìm A’, B’ ta cần tiến hành các bước:

+ Dựng các mặt phẳng (P) chứa A và (Q) chứa B cùng vuông góc với d.

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 10


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

+ Hình chiếu của B trên mặt phẳng (P) là B1. Thực hiện phép quay quanh
tâm O với góc quay φ biến A thành A’ và B1 thành B2. Trong đó O là giao
điểm của mặt phẳng (P) với đường thẳng d.
+ Hình chiếu của B1 trên mặt phẳng (Q) là B’. Các điểm A’, B’ là ảnh cần
tìm.
2.3.2. Tính chất
Tính chất 1
Phép quay quanh trục là phép dời hình.
Chứng minh
Thật vậy:
Xét cặp điểm bất kì M, N. Xét phép quay Q d,
Q d,

: M a M ' . Với M, M '

Q d,

: N a N ' . Với N, N '


:

, trong đó (α)⊥d và (α) cắt d tại O.
, trong đó (β )⊥d và (β ) cắt d tại I.

Ta cần chứng minh MN M ' N' hay MN2 M' N'2 (hình 5)
d
M'

O

M
N1'

N1

I
N

N'

Hình 5

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 11


Khãa luËn tèt nghiÖp


GVHD: NguyÔn V¨n V¹n
uuuur

Giả sử N1

uur

sao cho ON1 IN

Khi đó ON1 thuộc giao tuyến của mặt phẳng (γ) qua N và d với mặt
phẳng (α).
uuuur uuuur

uuuur

uuur

uuuur

uuuur uur uur

Giả sử ON1' IN ' , N1'

. Từ đó: ON1 , ON1'

Ta có: MN MO OI IN
uuuur uur

uuuur uur


uur uur

⇒ MN2 MO2 OI2 IN2 2 MO.OI MO.IN OI.IN
uuuuur

uuuur

uur

(1)

uuur

Tương tự: M' N' M'O OI IN'

uuuur uur

uuuur uuur uur uuur

⇒ M' N'2 M'O2 OI2 IN'2 2 M 'O.OI M 'O.IN ' OI.IN '

(2)

So sánh vế phải của đẳng thức (1) và (2) và chú ý rằng:
uuuur uur
MO.IN

uuuur uuuur
MO.ON1


uuuur uuur
M 'O.IN '

uuuur uuuur
M 'O.ON1'

uuuur uuuur

vì độ dài bằng nhau và các góc định hướng OM, ON1

uuuur uuuur
OM ' , ON1'

Suy ra: MN2 M' N'2 hay MN M ' N' .
Vậy phép quay quanh trục là phép dời hình. (đpcm)
Hệ quả
Phép quay Q (d, φ) biến:
+ 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng.
+ Đường thẳng thành đường thẳng.
+ Tia thành tia.
+ Tam giác thành tam giác bằng nó.
+ Góc thành góc bằng nó.
+ Mặt cầu (I, R) thành mặt cầu (I’, R).

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 12


Khãa luËn tèt nghiÖp


GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

Tính chất 2
Phép quay Q (d, φ) là phép đối hợp khi và chỉ khi

k.1800 k Z

Tính chất 3
Phép quay Q (d, φ) giữ bất động mọi điểm của trục d tức d là đường
thẳng bất động.
2.3.3. Các cách cho 1 phép quay quanh trục
Từ định nghĩa phép quay quanh trục trong không gian ta thấy phép quay
quanh trục d góc quay φ có thể cho bởi trục quay và góc quay hoặc trục quay
và cặp điểm tương ứng M, M’.
2.3.4. Phép chuyển vị
2.3.4.1. Định nghĩa
Phép quay quanh trục d, góc quay φ được gọi là phép chuyển vị trục
chuyển vị d nếu:
2k 1 1800 k Z

Kí hiệu: Cd
2.3.4.2. Tính chất
Tính chất 1: Rõ ràng nếu M ' C d M thì MM' cắt d tại O là trung điểm
của MM' hay M và M' đối xứng nhau qua trục d. Người ta còn gọi Cd là phép
đối xứng trục trong không gian.
Tính chất 2: Phép chuyển vị là phép đối hợp.
Tính chất 3: Tất cả các điểm bất động của Cd là trục d.
Tính chất 4: Cd biến mặt phẳng P thành mặt phẳng P ' và:
+ P


P ' nếu d

P hoặc d

P .

+ P // P ' nếu d // P .

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 13


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

2.4. DẠNG CHÍNH TẮC
Định lý 2.4.1
Phép đẳng cự trong En n 2, 3 sẽ được phân tích thành tích không
quá (n+1) phép đối xứng qua siêu phẳng.
Chứng minh

C'

t
A'

A

C

C1

C2

B'
B1

B

v
u

Hình 6
Ta chứng minh định lý trong E2, trong E3 định lý được chứng minh
tương tự.
Giả sử f là phép đẳng cự trong E2 được xác định bởi 2 tam giác: ABC
và A 'B'C' .
a) Giả sử A và A' phân biệt
Xét u là đường trung trực của AA' . Gọi B1 , C1 là ảnh của B, C qua phép
đối xứng trục Su còn Su A

A'

(1a) Nếu B1 , B ' không trùng nhau:

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 14



Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

Giả sử C1 C ' , ta xét v là trung trực của của B1B' . Do AB A 'B1 A 'B'
nên A' nằm trên v. Rõ ràng Sv biến A ', B1 thành A ', B' . Gọi Sv C1

C2 . Khi

đó, nếu C2 C ' ta có f Sv .Su . Ngược lại ta có A ', B' nằm trên đường trung
trực t của C 2 C ' . Xét St ta sẽ có: f St .Sv .Su
Giả sử C1 C ' khi đó A ', C ' nằm trên đường trung trực v của B1B' và
f

Sv .Su

(2a) Nếu B1 , B ' trùng nhau.
Giả sử C1 C ' . Xét t là trung trực của C1C ' thì f St .Su
Giả sử C1 C ' thì f Su
Như vậy, f có thể phân tích thành không quá 3 phép đối xứng trục.
b) Giả sử A và A' trùng nhau.
Tương tự phần a, đối với cặp B và B' ta sẽ có f là tích của không quá 2
phép đối xứng trục.
Ta rút ra được kết luận như sau: ABC và A 'B'C' xác định tương ứng
với k đỉnh trùng nhau (0 k 3) thì f được phân tích thành không quá (3 k)
phép đối xứng trục.
Định lý 2.4.2
Trong E3 tích của một phép quay quanh trục và một phép tịnh tiến giao

hoán được khi và chỉ khi vectơ tịnh tiến song song với trục quay và tích này
được gọi là phép dời hình xoắn ốc.
Chứng minh
Giả sử trong E3 cho phép quay Q Q d,

và phép tịnh tiến T Tar

Rõ ràng tích T 1. Q. T là một phép dời hình, kí hiệu là D .
Lấy M d , đặt M1 T
Ta có: D M1

1

M

T 1. Q. T. T

1

M

T 1. Q M =T

1

M

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

M1 (do M d )


Trang 15


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

Vì phép dời hình trong E3 có điểm bất động là phép quay quanh trục nên
D là phép quay quanh trục: D Q ' Q d ', ' .

Từ D T 1. Q. T Q' ta có Q. T T. Q'
Vậy tích T và Q giao hoán được tức là T. Q = Q. T thì T. Q = T. Q' hay
Q Q ' suy ra d

d ' và

Từ đây d ' T

1

d

'

r
d , điều này xảy ra khi và chỉ khi a // d . (đpcm)

Định lý 2.4.3
Phép dời hình trong E3 khác phép tịnh tiến có thể phân tích bằng vô số

cách thành tích của một phép quay và một phép tịnh tiến hoặc theo thứ tự
ngược lại là tích của một phép tịnh tiến và một phép quay.
Chứng minh
Giả sử f là phép dời hình của E3. Lấy điểm A của E3. Đặt f A
1
uuuur . Ta có: T . f A = T
Xét phép tịnh tiến T TAA'

1

A'

A' = A

Do T 1. f là phép dời hình nên ta có: T 1. f = Q = Q d,

(do phép dời

hình trong E3 có điểm bất động là phép quay quanh trục)
Suy ra: f T. Q
Tương tự ta có kết quả: f Q'. T
uuuur

Do A bất kì, f không phải là phép tịnh tiến nên AA ' không phải là không
đổi cho phép ta khẳng định số cách phân tích là vô số.
Định lý 2.4.4
Phép dời hình trong E3 không phải là phép tịnh tiến có thể biểu diễn duy
nhất dưới dạng một phép dời hình xoắn ốc.
Chứng minh
*)


Theo định lý 2.4.3 nếu f là phép dời hình trong E3 khác phép tịnh tiến ta

có thể phân tích: f Tar . Q d,

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 16


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

Ta sử dụng định lý: Trong E3 tích của một phép tịnh tiến với vectơ tịnh
r

tiến khác vectơ 0 và một phép quay quanh trục là một phép dời hình xoắn ốc.
r

+ Nếu a d thì ta có: f Q d ', '

Q '. T0r

r

r

r


r

+ Nếu a không vuông góc với d ta phân tích như sau: a u v ở đó
r
u

r
d , v // d. Ta có: f
r

Tar . Q Tur vr . Q Tvr . Tur . Q Tvr . Q' (vì Tur . Q Q' )

r

Do v // d nên v song song với trục quay của Q '
Vậy f Tvr . Q' Q '. Tvr (theo định lý 2.4.2)
Ta có hai trường hợp f đều là tích giao hoán của phép quay và phép
tịnh tiến
*)

Ta chứng minh sự duy nhất như sau:
Giả sử có 2 cách phân tích như trên:
f

T. Q Q. T trong đó: T

f

T '. Q ' Q '. T' trong đó T


Tar và Q Q d,
Tar ' và Q ' Q d ',

'

Vì Q. T = Q'. T' nên T '. Q. T T '. Q '. T ' hay T '. Q T '. Q '. T '. T
Mặt khác Q. T = T'. Q' nên Q T '. Q '. T

1

(1)

1

Q. T' = T'. Q'. T 1. T' = T'. Q'. T'. T

1

(2)

Từ (1) và (2) ta có T '. Q Q. T'
r

r

ur

Theo 2.4.2 thì a // d . Vậy d ' // d // a // a '
Giả sử M


E3 và f M

M ' ta có biểu diễn:

uuuuur uuuur uuuuur
uuuur
MM' MN NM' , ở đó MN

uuuuur
d và NM ' // d
r uuuuur
Rõ ràng trong cách biểu diễn f T. Q Q. T thì a NM '
ur uuuuur
r ur
Tương tự ta có: a ' NM' . Vậy a a ' hay T T' suy ra Q Q '

Tính duy nhất của cách biển diễn được chứng minh. (đpcm)

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 17


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

Định lý 2.4.5
Trong không gian E3:
a) Tích của một phép đối xứng mặt và một phép quay quanh trục giao

hoán được khi và chỉ khi trục phép quay vuông góc với mặt phẳng đối xứng
và tích này được gọi là phép đối xứng quay.
b) Tích của một phép đối xứng mặt và một phép tịnh tiến giao hoán được
khi và chỉ khi vectơ tịnh tiến song song với mặt phẳng đối xứng và tích này
được gọi là phép đối xứng trượt.

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 18


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Nguyễn Văn Vạn

CHNG 3: NG DNG CA PHẫP QUAY TRONG KHễNG
GIAN VO BI TON CHNG MINH
3.1. BI TON CHNG MINH
Bi toỏn chng minh l bi toỏn cn ch ra mnh A

B l ỳng

trong ú A l gi thit, B l kt lun.
Bi toỏn chng minh c cha trong hu ht cỏc bi toỏn hỡnh hc
nh: bi toỏn tớnh toỏn, bi toỏn dng hỡnh, bi toỏn qu tớch.
gii bi toỏn chng minh ta xut phỏt t gi thit A v nhng
mnh ỳng ó bit, bng lp lun cht ch v suy lun logic, da vo cỏc
nh ngha, tớnh cht, nh lý ca i tng toỏn hc i n kt lun.
3.2. S DNG PHẫP QUAY QUANH TRC VO BI TON
CHNG MINH

chng minh mt bi toỏn hỡnh khụng gian s dng phộp quay
quanh trc ta cn chn ra mt hoc nhiu mt phng vuụng gúc vi trc quay
v cha cỏc i tng hỡnh hc ang xột. Trong mt phng ó chn ta tin
hnh gii bi toỏn bng phộp quay quanh mt im v kt hp cỏc kt qu thu
c tỡm ra li gii cho bi toỏn.
Tng quỏt, gii mt bi toỏn chng minh s dng phộp quay
quanh trc ta thng tin hnh theo 4 bc sau:
Bc 1: Xỏc nh yờu cu bi toỏn.
Bc 2: Xỏc nh phộp quay quanh trc (xỏc nh trc quay v gúc quay).
Bc 3: Thc hin phộp quay quanh trc.
Bc 4: a ra kt lun bi toỏn.
3.3. NG DNG CA PHẫP QUAY QUANH TRONG KHễNG
GIAN VO BI TON CHNG MINH

SVTH: Phạm Thị Ph-ợng - Lớp K33 Cử nhân Toán

Trang 19


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

Bài toán
Chứng minh rằng mọi mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng nối trung điểm
của hai cạnh đối diện của một tứ diện đều thì chia tứ diện đều thành 2 phần có
thể tích bằng nhau.
Chứng minh
Ta biết tứ diện đều là hình chóp tam giác có 6 cạnh bằng nhau.
Cách 1: Sử dụng phép quay quanh trục.

A

M

P

C

D
Q

N
B

Hình 7
Giả sử có tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của AC, N là trung điểm
của BD. (MPNQ) là thiết diện do mặt phẳng (P) cắt tứ diện đã cho (hình 7).
Khi đó tứ diện đều ABCD được chia thành 2 khối đa diện là PMQNDA và
QMPNBC.
Quay mặt phẳng cắt quanh trục MN một góc 1800 . Ta có:
0

Q180
(vì MN AC )
MN : A a C
D a B (vì MN

DB )

0


Q180
MN : CD a AB

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 20


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n
o

180
Vì điểm P CD nên qua QMN điểm P biến thành một điểm thuộc AB.

Mặt khác P là điểm thuộc mặt cắt nên P phải biến thành 1 điểm của mặt
phẳng này. Ta thấy Q là điểm vừa thuộc AB vừa thuộc mặt phẳng cắt. Vậy Q
o

180
là ảnh của P qua phép quay QMN . Như vậy:
o

Q180
MN :

Pa Q
Ma M


Qa P
Na N
Da B

Aa C
o

Q180
MN : PMQNDA a QMPNBC
Vì phép quay quanh trục là phép dời hình nên ta có:
PMQNDA

VPMQNDA

QMPNBC

VQMPNBC

Vậy mặt phẳng (P) chia tứ diện đều thành 2 phần có thể tích bằng
nhau.(đpcm)
Cách 2: Không sử dụng phép biến hình.
Xét tứ diện đều ABCD:
Gọi M, N lần lượt là trung điểm hai cạnh đối diện AB và CD. Mặt
phẳng (P) qua M, N cắt AC ở E, cắt BD ở F (hình 8).
Khi đó, mặt phẳng (P) chia tứ diện thành hai phần:
+ Phần 1: Gồm 2 hình chóp DMENF và AMED
+ Phần 2: Gồm 2 hình chóp CMENF và BMFC

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n


Trang 21


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n
A

M

E

F

B

D

N
C
I

Hình 8
Do N là trung điểm của CD nên VDMENF = VCMENF

(*)

Ta cần chỉ ra VAMED = VBMFC
Thật vậy, xét 2 hình chóp AMED và ABCD ta có:

VAMED
VABCD

AM. AE. AD
AB. AC. AD

AM. AE
AB. AC

1 AE
(vì M là trung điểm của AB)
2 AC

(1)

Tương tự, xét 2 hình chóp BMFC và BADC ta có:
VBMFC
VBADC

BM. BF. BC
BA. BD. BC

BM. BF
BA. BD

1 BF
2 BD

(vì M là trung điểm của AB)


(2)

Từ (1) và (2) ta có:
VAMED
VBMFC

AE. BD
AC. BF

(3)

Dễ dàng chứng minh được BC, ME, NF đồng quy tại I. Thật vậy:
Giả sử I BC I FN

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 22


Khãa luËn tèt nghiÖp
Vì BC

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

MECB và FN

Mà ME

MENF nên I


(4)

MECB I MENF

(5)

MECB I MENF

Từ (4) và (5) suy ra: I ME . Vậy BC, ME, NF đồng quy tại I.
Áp dụng định lý Mênêlauyt vào ΔABC và ΔDBC ta có:
EA. IC. MB
1
EC. IB. MA
FB. ND. IC
1
FD. NC. IB
EA
EC

EA. IC
1
EC.IB
(vì MA = MB, NC = ND)
FB. IC
1
FD. IB

FB
FD


EA
EA EC

FB
FB FD

EA
AC

FB
BD

(6)

Thay (6) vào (3) ta được:
VAMED
VBMFC

FB. BD
1
BD. FB

VAMED

VBMFC

(**)

Từ (*) và (**) ta có: mặt phẳng (P) chia tứ diện đều thành 2 phần có thể
tích bằng nhau. (đpcm)

Nhận xét : Một số bài toán nếu không sử dụng phép quay quanh trục
thì sẽ rất khó giải quyết hoặc không giải được. Như vậy ta thấy phép quay
quanh trục trong E3 là một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán hình học
không gian.
3.3.1. Phép quay trong E3 với bài toán chứng minh quan hệ vuông góc
và quan hệ song song.
Ví dụ 1:
Phép quay Q (d, φ) biến mặt phẳng (P) thành chính nó. Chứng minh
rằng nếu góc quay φ:
a) 00
b)

1800 thì (P) ⊥ d

1800 thì (P) ⊥ d hoặc (P) đi qua d

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 23


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n
Chứng minh

Giả sử Q d,

:


P a

P

M a M'

a) Trong không gian vị trí tương đối của d và (P) có các trường hợp sau
đây:
+d

d

P

O

+ d // (P)
+ dI P

M
O

M'

P

Hình 9

O


d
d

O

M'

M

P

P

Hình 10
Trường hợp 1: d
Với M

Hình 11

(P) (hình 9)

P mà M d . Vì M '

P nên MM '

P

Mặt khác: M, M ' cùng thuộc mặt phẳng (Q) vuông góc với d tại O.
Ta có: O d


P

O

P

Vậy O, M, M ' đều thuộc giao tuyến của (P) và (Q)
Mặt khác: OM OM '

O, M, M ' thẳng hàng.

M, M ' đối xứng nhau qua O.

1800 (trái với giả thiết)

Vậy d

P

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 24


Khãa luËn tèt nghiÖp

GVHD: NguyÔn V¨n V¹n

Trường hợp 2: d // (P) (hình 10)
Nếu d // (P) thì với


O d

O

P

Gọi M là chân đường vuông góc hạ từ O xuống mặt phẳng (P).
Nếu ảnh M' M , M '
cự)

M

P

OM ' OM (vô lý vì phép quay là phép đẳng

M'

Mặt khác chỉ có đường thẳng d hoàn toàn bất động qua Q (d, φ) (

00 )

M d (vô lý vì d // (P))

Vậy không xảy ra trường hợp: d // (P).
Trường hợp 3: d I P

O (hình 11)


Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và vuông góc với d tại O1
M'

Lấy N

Q

MM'

P có ảnh là N '

Q

d ⊥ MM'

P sao cho NN ' cắt MM' .

Ta có d vuông góc với mặt phẳng (Q’) qua NN ' và vuông góc với d tại O1
d ⊥ NN '

Do d vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau trong (P) nên d ⊥(P).
Vậy nếu Q (d, φ) biến (P) thành chính nó và 00
b) Nếu

1800 thì (P) ⊥ d.

1800 thì Q (d, φ) chính là phép đối xứng qua đường thẳng d.

Kí hiệu: Đd
Ta xét các trường hợp sau đây:

Trường hợp 1: d

(P).

Khi đó Đd là phép đối xứng trục trong mặt phẳng (P).
Trường hợp 2: d // (P).
Khi đó ảnh (P’) của (P) sẽ song song với (P) mâu thuẫn với giả thiết (P)
biến thành chính nó. Vậy không xảy ra trường hợp d // (P).

 SVTH: Ph¹m ThÞ Ph-îng - Líp K33 Cö nh©n To¸n

Trang 25