******************************----------------------------***********************

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
------------***-----------

VŨ THỊ DUYÊN

NHỮNG ĐƯỜNG ĐÁNG CHÚ Ý
TRÊN MẶT TRONG E3
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS NGUYỄN NĂNG TÂM

Hà Nội - 2011

1


Lời cảm ơn
Trong thời gian hoàn thành khóa luận em đã nhận được rất nhiều sự
giúp đỡ tận tình của thầy cô, gia đình, bạn bè. Em xin gửi lời cảm ơn chân
thành tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Hình học khoa Toán trường Đại học
Sư phạm Hà Nội 2 cùng những người thân và bạn bè của em. Đặc biệt, em xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm
đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp
“Những đường đáng chú ý trên mặt trong E 3 ”.
Lần đầu được thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên khoá luận
không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em rất mong nhận được những

ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên.

Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên
Vũ Thị Duyên

2


Lời cam đoan

Khóa luận này được hoàn thành bởi sự cố gắng, nỗ lực tìm tòi, nghiên
cứu của bản thân cùng với sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo
PGS.TS Nguyễn Năng Tâm cũng như các thầy cô giáo trong tổ Hình học.
Trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành bài khóa luận này, tôi đã
tham khảo một số tài liệu như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo.
Tôi xin cam đoan khóa luận là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, không
trùng với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên
Vũ Thị Duyên

3


Mục lục
Trang
Lời mở đầu


1

Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

3

1.1. Phép tính giải tích trong không gian Euclid E n n 2,3

3

1.2. Đường trong E n n 2,3

7

1.3. Mặt trong E 3

12

Chương 2. NHỮNG ĐƯỜNG ĐÁNG CHÚ Ý TRÊN MẶT
TRONG E 3

17

2.1. Đường chính khúc

17

2.2. Đường tiệm cận

24


2.3. Đường tiền trắc địa

30

2.4. Cung trắc địa

34

2.5. Bài tập củng cố

37

Kết luận

47

Tài liệu tham khảo

48

4


Lời mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là môn khoa học bắt nguồn từ thực tiễn và có ứng dụng rộng
rãi. Cùng với thời gian các kiến thức Toán học không ngừng được đổi mới và
nâng cao giá trị của mình. Một trong những môn học có vai trò quan trọng
cho sự phát triển của Toán học đó là hình học vi phân.

Sau khi học xong môn hình học vi phân em đã được trang bị những
kiến thức cơ bản về lí thuyết đường và lí thuyết mặt trong E n n 2,3 . Em
mong muốn được tìm hiểu và nghiên cứu sâu thêm về các đường, mặt trong
E 3 , vì vậy em đã chọn đề tài: “Những đường đáng chú ý trên mặt trong
E 3 ” làm khóa luận tốt nghiệp.

Việc nghiên cứu đề tài này không chỉ mang lại những kiến thức bổ ích
về hình học vi phân, về đường, mặt trong E 3 mà còn giúp phát triển tư duy ,
tính cẩn thận, chính xác của người học.
Cấu trúc của khóa luận được bố cục thành hai chương
Chương 1. Chương này trình bày một số kiến thức căn bản về phép tính
giải tích trong không gian Euclid E n n 2,3 , đường, mặt trong E 3 .
Chương 2. Chương này trình bày về định nghĩa, tính chất, phương trình
vi phân về các đường chính khúc, đường tiệm cận, đường tiền trắc địa, cung
trắc địa và các bài toán áp dụng.
2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
thêm về hình học vi phân đặc biệt là các đường trên mặt trong E 3 .

5


3. Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu về đường trên mặt trong E 3 , các bài tập áp dụng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích tổng hợp và đánh giá.

6



Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Phép tính giải tích trong không gian Euclid E n n 2,3
1.1.1. Không gian E n

uur
Định nghĩa 1.1. Ta gọi E n là không gian vectơ Euclid n chiều. Tích vô
ur ur ur ur
ur ur
ur ur
ur ur
hướng của 2 vectơ , được kí hiệu là
với .
. .cos , .
Chuẩn (độ dài) vectơ

ur

ur 2

uur
En .

ur

E n là không gian Euclid n chiều tức là không gian afin liên kết với không
gian vectơ Euclid n chiều E n .
Khoảng cách giữa 2 điểm p, q thuộc E n d p, q


uur
pq .

1.1.2. Giải tích vectơ
uur
En
uur
pa X p

uur
Định nghĩa 1.2. Ánh xạ X : U

trong đó U là tập con của E m hay ¡

m

thì được gọi là một hàm vectơ xác định

trên U.
Hàm vectơ 1 biến là hàm vectơ

uur
X :J

uur
E n , t a X t với J là khoảng

trong ¡ .

uur

uur
X t Vt X t
Giới hạn (nếu có) của lim
được gọi là đạo hàm của hàm
Vt
Vt
uur
uur
uur
vectơ X . Kí hiệu X ' . Ta nói rằng X khả vi tại t .
uur
uur
Nếu X khả vi tại mọi điểm t J thì X được gọi là hàm vectơ khả vi trên J .
uur
uur ur
En .
g Phép toán trên hàm vectơ. Cho 2 hàm vectơ X , Y : U
7


Ta định nghĩa
uur ur
X Y :U

uur
En
uur
pa X p

Cho


:U

ur
Y p

¡ hàm số xác định trên U
uur
uur
X :U
En
uur
pa
p .X p

Khi n 3 E 3 ta có

uur ur
X .Y : U

¡
uur
ur
p a X p .Y p
uur
uur ur
X Y :U
E3
uur
ur

pa X p Y p
uur ur
X , Y là các hàm vectơ khả vi trên J .

:J

¡ là hàm số khả vi trên J .

Ta có
uur ur
X Y

uur uur
X Y

uur
X

uur
X

uur
X

uur ur
X .Y

uur ur
X .Y


uur uur
X .Y

và khi n 3 ,

uur ur
X Y

uur
X

ur
Y

uur uur
X Y

uur
uur
E n là một hàm vectơ khả vi thì có đạo hàm
g Đạo hàm cấp cao. Nếu X : J
uur
uur uur
X
X :J
En

8



uuuur
Tổng quát X k : J

uuuuuur
uur
k
n
E khả vi tồn tại đạo hàm X

uuuur
X k :J

uur
E n là

hàm vectơ xác định trên J .
uuuur
uur
Nếu X k liên tục trên J thì X được gọi là khả vi lớp C k .
uur
uur
Nếu X khả vi mọi cấp thì ta nói rằng X khả vi lớp C hay hàm vectơ nhẵn,
trơn.
uur
uur
E n , t a X t . Xét hàm số

uur
Định nghĩa 1.3. Cho X : J


:I

J, u a t
u . Ta có hàm vectơ
uur
uur
uur
uur
X. : I
En, u a X
u
Xo
u . Khi đó

được gọi là phép đổi

biến số.
uur
E n nếu có hàm vectơ
Định nghĩa 1.4. Cho hàm vectơ
uur
ur
ur
ur
uur
Z:J
E n , t a Z t . Khi đó ta gọi Z là nguyên hàm của X . Kí hiệu
uur
X t d t .
uur

ur
uur
E n có nguyên hàm và Z t là một nguyên
Định nghĩa 1.5. Giả sử X : J
ur
ur
hàm của nó, a, b J , a b . Ta gọi vectơ hiệu Z b Z a là tích phân của
uur
hàm vectơ X trên đoạn a, b . Kí hiệu
uur
X :J

a uu
r

X t dt

b

ur
Z t

a
b

ur
Z b

ur
Z a .


g Đạo hàm riêng của hàm vectơ nhiều biến
uur
uur
uur
n
X
:
U
E
,
u
,
v
a
X u, v với U là tập con của
Cho hàm vectơ
uur
uur
uur
uur
X
X
X
X
,
,
, 2,
¡ 2 . Ta có thể nói đến các đạo hàm riêng
u

v
u. v u

9


uur
X
Nếu
,
u. v
2

uur
uur
2
X
X
đều xác định thì ta có
v. u
u. v

uur
X
.
v. u

2

2


1.1.3. Trường vectơ trên không gian Euclid E n

uur
Định nghĩa 1.6. Giả sử E là không gian Euclid và E n là không gian vectơ
ur
ur uurn
n
E , cặp p,
Euclid liên kết với nó. Với mỗi p E và
được gọi là một
n

vectơ tiếp xúc với E n tại p , còn viết p,

ur

n
p . Kí hiệu Tp E

p

uur
En

và được gọi là không gian tiếp xúc với E n tại p . Tp E n có cấu trúc không
uur
gian vectơ Euclid một cách tự nhiên chuyển từ E n .
Định nghĩa 1.7. Trường vectơ trên tập mở U


X :U

TU , p a X p sao cho

p U, X p

E n là ánh xạ
TpU .

Một trường vectơ hoàn toàn xác định nếu có một hàm vectơ
uur
uur
uur
uur
uur
X :U
E n , p a X p mà X p
p, X p .
Định nghĩa 1.8. Giả sử U là một tập mở trong E n . Họ n trường vectơ
X1,..., X n

trên U được gọi là một trường mục tiêu nếu với mỗi

p U , X1 p ,..., X n p

là cơ sở của không gian vectơ Tp E n . Khi mỗi

X i i 1, n là trường vectơ song song, thì trường mục tiêu X1,..., X n được
gọi là trường mục tiêu song song.
uur

r
r
Nếu e1,..., en là cơ sở trực chuẩn trong E n , Ei p

r
p, ei

.

i 1, n và

p U thì trường mục tiêu E1,..., En được gọi là trường mục tiêu chính tắc

trên U.

10


1.2. Đường trong E n n 2,3
1.2.1. Cung tham số
Định nghĩa 1.9. Cho J

En, t a

:J

R , ánh xạ

t được gọi là một


cung tham số (hay một quỹ đạo) trong E n . Tập điểm
cung đó còn gọi là miền tham số của

J

gọi là ảnh của

: J En, t a
uuuuuur
O t

t hoàn toàn

.

Cho điểm O cố định trong E n . Cung tham số
uur
ur
ur
En, t a
t
xác định bởi hàm vectơ : J
uuuuuur
ur
Ta gọi t O t là bán kính vectơ của t
uur
Khi
khả vi ta cũng có khả vi.

đối với gốc O.


Ví dụ 1.1

E , ta O t
ur
của đường thẳng O,
.
g

:J

n

g :¡

ur

t với

ur

r
r
¡ 2 , t a O a.cht.i b.sht. j

x2
đường hypebol có phương trình 2
a

y2

b2

uur
E n :const,

a, b 0 : const ,

J là một phần

¡

là

1.

Định nghĩa 1.10. Cho cung tham số : J
En, t a
t . Trường vectơ
uur
X : J TE n , t a
t , X t được gọi là trường vectơ dọc cung tham số .
Định nghĩa 1.11. Cho cung tham số
uur
t , t
thì ánh xạ J TE n , t a
dọc

:J

En, t a


t (khả vi) trong E n

t được gọi là một trường vectơ

. Kí hiệu

11


1.2.2. Cung trong E n
Định nghĩa 1.12. Hàm số f : I

J là một song ánh khả vi và f

1

khả vi

đươc gọi là một vi phôi.

:J

Hai cung tham số

ta

En

En


; r:I

t

ua r u

được gọi là hai cung tham số tương đương nếu tồn tại một vi phôi

:J

I, t a

t

ro .

u sao cho

Định nghĩa 1.13. Quan hệ xác định như trên là một quan hệ tương đương
theo lý thuyết tập hợp. Mỗi lớp tương đương theo quan hệ trên được gọi là
một cung. Mỗi cung tham số thuộc một lớp được gọi là tham số hóa của cung.
Hai tham số hóa của một cung sai khác nhau một vi phôi ta gọi vi phôi này là
phép đổi tham số.
1.2.3. Cung chính quy
Định nghĩa 1.14. Cho cung

En, t a

:J

quy của
Cung

xác định bởi tham số hóa

t . Điểm t0 (gọi tắt là điểm t0 ) được gọi là điểm chính
uur
r
uur
r
nếu
t0 0 . Điểm t0 gọi là điểm kì dị của nếu
t0 0 .

mà mọi điểm đều là điểm chính quy được gọi là cung chính quy.

Tham số hóa r : J

E n , s a r s của một cung chính quy được gọi là một

tham số hóa tự nhiên nếu r s

1 s J.

1.2.4. Cung định hướng
Định nghĩa 1.15. Cho hai cung tham số

r:J

:J


En, t a

t và

E n , u a r u nếu có vi phôi bảo toàn hướng sao cho

12

ro

thì


hai cung tham số trên được gọi là tương đương định hướng (vi phôi bảo toàn
hướng có nghĩa là

t

0 t

J ).

Mỗi lớp tương đương theo quan hệ tương đương trên được gọi là một cung
định hướng.
Định nghĩa 1.16. Nếu vi phôi ở định nghĩa 1.2.4.1 là vi phôi đảo hướng (tức

t

0 t


J ) thì cung

có được từ

được gọi là cung đảo hướng của

cung .
uur

Định nghĩa 1.17. Ta gọi trường vectơ T : U

TU , t a

trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc cung tham số

t , uur

t
t

là

.

1.2.5. Cung song chính quy trong E 3
Định nghĩa 1.18. Cho cung

có tham số hóa


:J

En, t a

t . Điểm

t0 (gọi tắt là điểm t0 ) gọi là điểm song chính quy của cung nếu hệ hai
uur
uur
vectơ
t ,
t độc lập tuyến tính.
Định nghĩa 1.19. Nếu mọi điểm của cung
cung

đều là điểm song chính quy thì

gọi là cung song chính quy.

Định nghĩa 1.20. Cung song chính quy định hướng
có trường mục tiêu trực chuẩn thuận T , N , B dọc

trong E 3 (có hướng)
với

T : trường vectơ tiếp xúc đơn vị (xác định hướng)

N : trường vectơ pháp tuyến chính đơn vị N dọc
B T


N : trường vectơ trùng pháp tuyến đơn vị dọc

gọi là trường mục tiêu Frenet dọc

.

13

.


Công thức Frenet

DT
ds
DN
ds
DB
ds
với k là độ cong của
Cho cung chính quy

kN
kT

B
N

là độ xoắn của


,

I để

ro ,

E 3 , s a r s của

có phép đổi tham số

tại điểm s trong tham số hóa tự nhiên

DT
s
ds

s a r s của nó là k s

là k

Cung thẳng có độ cong k

Dr
ds

s . Vậy ta được hàm độ cong

DT
.
ds


0.

Công thức tính độ cong k t

t

t
t

Công thức tính độ xoắn

t . Lấy một

0.

Định nghĩa 1.21. Độ cong của

(hay độ cong) k dọc

E3, t a

:J

với tham số bất kỳ

tham số tự nhiên của nó r : I

:J


.

t

3

t

.

t .
t

t

t
2

.

1.2.6. Cung hình học và đường hình học
Định nghĩa 1.22. Cho cung tham số chính quy

:J

J

E n là một dìm và là một đồng phôi lên

:J


J (đồng phôi là

một song ánh liên tục và ánh xạ ngược cũng liên tục) thì tập điểm
là một cung hình học còn

E n . Nếu

J gọi

gọi là một tham số hóa của cung hình học đó.

14


Ví dụ 1.2. g Đường thẳng, đường parabol, một nhánh của hypebol, đường
đinh ốc tròn, đường đinh ốc nón là những cung hình học.
g Đuờng tròn, đường elip, đường hypebol không phải là cung

hình học mà chỉ là ảnh của cung tham số.
Trong E n cho một hệ tọa độ afin x1, , xn . Cung tham số
tham số là một tọa độ nào đó, chẳng hạn
cung tham số kiểu đồ thị. Ảnh

x1

E n mà

:J


x1, x2 x1 , , xn x1

J còn gọi là đồ thị của ánh xạ

gọi là

.

của E n được gọi là một đường hình học hay

Định nghĩa 1.23. Tập điểm

một đa tạp 1 chiều (gọi tắt là đường hay đa tạp 1 chiều) nếu với mỗi điểm
có một tập mở U của E n chứa M sao cho U

M

là một cung hình học.

Mỗi tham số hóa của cung hình học này gọi là một tham số hóa địa phương
tại M của .
Ví dụ 1.3. g Mỗi cung hình học là một đường hình học.
g Đường tròn, đường elip, đường hypebol là những đường hình

học.
g Đường gấp khúc, hai đường tròn tiếp xúc nhau không phải là

đường hình học.
Dấu hiệu nhận biết một tập điểm là đường hình học trong E 3
Trong E 3 hệ tọa độ Decarter Oxyz. Tập

khi

, tồn tại tập mở U

p

E 3 là đa tạp 1 chiều khi và chỉ

E 3 chứa p0 và hai hàm số khả vi F, G trên

U thỏa mãn hai điều kiện

i U
ii rank

x, y, z
F x
G x

U : F x, y, z

F y
G y

F z
G z

15

0, G x, y, z

2.

0 ,


1.3. Mặt trong E 3
1.3.1. Mảnh tham số

¡ 2 . Ánh xạ r : U

Định nghĩa 1.24. Cho tập mở U

E 3 , u, r a r u , v

được gọi là một mảnh tham số trong E 3 (ta vẫn đòi hỏi r khả vi đến lớp cần
thiết).
Với điểm u0 , v0

U cung tham số u a r u, v0 trong E 3 gọi là đường tọa

độ v v0 (hay đường tọa độ u qua (u0 , v0 ) ), cung tham số v a r u0 , v trong
E 3 gọi là đường tọa độ u u0 (hay đường tọa độ v qua (u0 , v0 ) ).

Trường vectơ v a rv u0 , v được gọi là trường vectơ tiếp xúc dọc đường tọa
độ u u0 . Trường vectơ u a ru u, v0 được gọi là trường vectơ tiếp xúc dọc
đường tọa độ v v0 .
Định nghĩa 1.25. Cho mảnh tham số r : U

u0 , v0


U (hay điểm r u0 , v0

E 3 , u, r a r u, v . Điểm

E 3 ) gọi là điểm chính quy của r nếu hai

vectơ ru u0 , v0 và rv u0 , v0 độc lập tuyến tính. Điểm không chính quy của

r gọi là điểm kì dị của r . Nếu mọi điểm của U đều là điểm chính quy thì r
gọi là mảnh tham số chính quy.
Ví dụ 1.4. r : R2

E 3 xác định bởi u, v a r u, v

a cos u, b sin u, v

với

a 0, b 0 là một mảnh tham số chính quy.
Định nghĩa 1.26. Cho hai mảnh tham số r1 : U1
phôi

:U1

U 2 thỏa mãn r1 r2 .

E 3 , r2 : U 2

E 3 . Nếu có vi


thì hai mảnh tham số r1 và r2 tương

đương. Đây là một quan hệ tương tương. Mỗi lớp tương đương theo quan hệ
đó gọi là một mảnh. Khi đó r1 , r2 được gọi là các tham số hóa của mảnh.

16


bảo toàn hướng
ur
r r
mảnh định hướng. Ta có n uur
ru
Nếu vi phôi

( u, v 0 u, v U1 ) ta có khái niệm
ur
rv
ur là một vectơ chỉ phương của pháp tuyến
rv

của mảnh tại điểm r u0 , v0

.

Định nghĩa 1.27. Tập S

E 3 được gọi là một mảnh hình học nếu có ánh xạ

E 3 , u, r a r u , v , U


r :U

i .S

E 3 mở thỏa mãn

r u ,

ii . ru , rv độc lập tuyến tính ( r : dìm)

u, v U ,

iii . r là đồng phôi lên ảnh.
Định nghĩa 1.28. Tập S
mặt hình học hay mặt) nếu

E 3 được gọi là một đa tạp 2 chiều (còn gọi tắt là
p0

S tồn tại W

E3 mở sao cho W

S là một

mảnh hình học chứa p0 .
Tiêu chuẩn nhận biết đa tạp 2 chiều

E 3 là đa tạp 2 chiều khi và chỉ khi


gTập S

mở và hàm số

S tồn tại W

E3

E3 là mảnh hình học có tham số hóa kiểu đồ thị.

mở thỏa mãn W
gTập S

p0

E 3 là đa tạp hai chiều khi và chỉ khi

:W

p0

S tồn tại W

E3

¡ khả vi thỏa mãn

i .W


S

1

ii .

x ,

y ,

p0 ,

z

0

x, y, z

W.

Định nghĩa 1.29. Cho mặt S trong E 3 , n là vectơ pháp tuyến tại p S ,

Tp S . Xét cung tham số
t0

:J

S, t a

J.

17

t

thỏa mãn

t0
t0

p

,


Kí hiệu D n

được gọi là đạo hàm của n theo phương

no

hiệu là hp : Tp S

Tp S ,

. Ánh xạ kí

D n được gọi là ánh xạ Veigarter.

a hp


Định nghĩa 1.30. Các giá trị riêng của hp được gọi là độ cong chính của S
tại p . Các vectơ riêng của hp được gọi là phương chính của S tại p . Định
thức của hp được gọi là độ cong Gauss của S tại p . Kí hiệu K p . Nửa vết
của hp được gọi là độ cong trung bình của S tại p . Kí hiệu H p .

%
Trường hợp 1. hp có hai giá trị riêng phân biệt k%
1, k2 ( có hai độ cong chính
1 % %
k1 k2 .
2
Trường hợp 2. hp có một giá trị riêng k%( k%là độ cong chính của S tại p ).
k%%
1.k2 , H p

%
k%
1, k2 ). Suy ra K p

k%2 , H p

Suy ra K p

k%. Do đó K p

Định nghĩa 1.31. Khi K p

H p

2


H p

2

.

%
(hay k%
1 k2 ) điểm p được gọi là

điểm rốn của S .
Khi k% 0 điểm p được gọi là điểm cầu của S .
Khi k% 0 điểm p được gọi là điểm dẹt của S .
Điểm p S mà K p

0 được gọi là điểm eliptic của S .

Điểm p S mà K p

0 được gọi là điểm hypebolic của S .

Điểm p S mà K p

0 được gọi là điểm parabolic của S .

Công thức tính K p , H p
Cho S là một mặt có hướng trong E 3 . Với mỗi p S , ta có
p


¡

: Tp S Tp S
,

a

p

,

18


p

¡

: Tp S Tp S
,

a

,

p

hp

,


theo thứ tự được gọi là dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai của S tại p . Người ta
cũng kí hiệu
hiệu

và

,

p

,

p

,

p

p

và khi p thay đổi dùng kí

.

S , u, v a r u, v là tham số hóa địa phương của S .

Gọi r : U
Đặt


ur ur
E ru .ru
ur ur
F ru .rv
ur ur
F rv .rv

M
N

LN M 2
u, v ,
EG F 2
EN GL 2 FM

Suy ra K p
H p

uuuur uur
n o r .ruu
uuuur uur
n o r .ruv
uuuur uur
n o r .rvv

L

2 EG F 2

u, v .


Định nghĩa 1.32. Cho S là mặt trong E 3 , p S ,

k%
k%

Tp S . Ta gọi

là độ cong pháp dạng của S tại p theo phương

hp

.
.

. Tức là

.

Định lí 1.1. (xem [1], 83) Cho mặt định hướng S trong E 3 mà hướng xác
định bởi trường pháp vectơ đơn vị khả vi n , một cung song chính quy trên S
có tham số hóa tự nhiên

:J

Gọi k s0 là độ cong của cung
cung

S, s a


s đi qua điểm p

s0 của S .

tại p , N s0 là pháp vectơ chính của

tại p . Khi đó

19


k%

s0

k s0 .N s0 .n p

( Công thức này được gọi là công thức Meusnier ).
Định lí 1.2. (xem [1], 84) Cho mặt định hướng S trong E 3 mà hướng xác
định bởi trường pháp vectơ đơn vị khả vi n , một điểm p S , một mục tiêu
trực chuẩn e1, e2 của Tp S mà ei là phương chính ứng với độ cong chính
k%
i i 1,2,... . Giả sử

k%

Tp S là vectơ đơn vị mà

2
2

k%
k%
1x1
2 x2

( Công thức này được gọi là công thức Euler ).

20

x1e1 x2e2 . Khi đó


Chương 2
NHỮNG ĐƯỜNG ĐÁNG CHÚ Ý TRÊN MẶT TRONG E 3
2.1. Đường chính khúc
2.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Cho mặt định hướng S trong E 3 . Một đường

trên S được

gọi là đường chính khúc nếu phương tiếp tuyến tại mọi điểm của

đều là

phương chính.
Đình Viện, Trương Đức Hinh, Nguyễn

Hữu Quang, Bài tập hình học vi

phân, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1993.


2.1.2. Tính chất
Tính chất 2.1. Nếu với mọi điểm của S đều là điểm rốn ( S là mặt cầu hay
mặt phẳng) thì mọi đường trên S đều là đường chính khúc (vì mọi phương
tiếp xúc tại mọi điểm của S đều là phương chính của S ).
Tính chất 2.2. Đường hình học

với tham số hóa địa phương

:t

t

trên mặt định hướng S của E 3 là đường chính khúc khi và chỉ khi với trường
vectơ đơn vị khả vi n xác định hướng của S ta có n o
Chứng minh.

là đường chính khúc khi và chỉ khi

của S tức hp

t

tại

t . Vì hp

k%t .
t


.

t chỉ phương chính

t , trong đó k%t là một độ cong chính của S

no

no

//

t nên hp

t //

t .

21

t

k%t .

t


Tính chất 2.3. S có tham số hóa địa phương u, v

r u, v . Khi F


M

0

tại mọi điểm thì các đường tọa độ là các đường chính khúc của S .
Chứng minh. Khi

ru rv

F 0
M 0

0
n or

n or

rv

u

0

u

// ru .

Suy ra đường tọa độ v v0 là đường chính khúc, đường tọa độ u u0 là
đường chính khúc.

2.1.3. Phương trình vi phân của đường chính khúc trong tham số hóa địa
phương
Cho mặt định hướng S trong E 3 có tham số hóa địa phương

r :U

S , u, v

r u, v ,

T1S :

aRu

xác định một phương chính

k% ¡ : hp
hp aRu

bRv

aL bM
aM bN

aL bM
aM bN
b2
L
E


k%
.
k%aRu

bRv

k%aE bF
k%aF bG

aE bF
aF bG

ab a 2
M
N
F
G

0

0 tại u, v

22

bRv , a, b ¡

a 2 b2

0 ,



dv 2
L
E

dudv du 2
M
N
F
G

0

Vậy phương trình vi phân của đường chính khúc là
dv 2
L
E

Nhận xét. Khi F

M

dudv du 2
M
N
F
G

0


0 phương trình đó trở thành

LG EN dudv 0 *
g Trường hợp 1. LG EN

0

2

K p
H p

K p

LN M
EG F 2

LG EN

du.dv

L

LG
E
EG

2 FM 2

2 EG F 2


H p

g Trường hợp 2. LG EN

*

LG
E

N

2

L2
E2
2 LG
2 EG

L
E

2

L
E

( p S đều là điểm rốn).

0 . Phương trình

u u0
v v0

du 0
dv 0

( Các đường tọa độ là đường chính khúc).
2.1.4. Ví dụ

23

0


Ví dụ 2.1. Giả sử S là một mặt định hướng trong E 3 có tham số hóa địa
phương r : u, v a r u, v sao cho tại mỗi điểm của S hai cung tọa độ trực
giao với nhau. Chứng minh rằng mỗi cung tọa độ là chính khúc khi và chỉ khi

M

0.

Giải
ur ur
Vì ru , rv là hai vectơ tiếp xúc của hai cung tọa độ v v0 , u u0 nên hai cung
ur ur r
tọa độ trực giao có nghĩa là F ru .rv 0 .Cung tọa độ v v0 có v 0 . Cung

v v0 là đường chính khúc khi và chỉ khi
0

E
L

MEu

0
0
M
2

u2
G
N

0

0

0 ( Vì E

M

Cung tọa độ u u0 có u

ur ur
ru .ru

r
0, u


0 ).

0 . Cung u u0 là đường chính khúc khi và

chỉ khi
v2
E
L

0 0
0 G =0
M N

MGv 2

M

0

ur ur
0 ( Vì G rv .rv

r
0, v

0 ).

Ví dụ 2.2. Tìm các đường chính khúc trên mặt đinh ốc đứng

u, v a r u , v


v cos u, v sin u, u
Giải

Ta có

ur
ru

v sin u, v cos u,1

24


ur
rv
uur
ruu
uur
rvv
uur
ruv
ur
ru

ur
rv

uuuur
n or


ur
ru
ur
ru

cos u,sin u,0
v cos u, v sin u,0
0,0,0

sin u,cos u,0

v cos u 1 1 v sin u v sin u v cos u
,
,
sin u 0 0 cos u
cos u
sin u
ur
sin u,cos u, v
rv
ur
2
2
2
rv
sin u
cos u
v


1
1 v

sin u,cos u, v

sin u,cos u, v

2

Suy ra

ur ur
E ru .ru
ur ur
F ru .rv
ur ur
G rv .rv

L

v sin u

2

v cos u

2

12


v2 1

v sin u cos u v cos u sin u 1 0 0
cos u cos u sin u sin u 0 1

uuuur uur
n o r ruu

M

uuuur uur
n o r ruv

N

uuuur uur
n o r rvv

1
1 v

sin u,cos u, v

2

1
1 v2
1
1 v


2

sin u,cos u, v
sin u,cos u, v

Phương trình vi phân của đường chính khúc dạng
dv 2
L
E

dudv du 2
M
N
F
G

25

0

v cos u, v sin u,0
sin u,cos u,0
0,0,0

0

0
1
1 v2