TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

PHAN VĂN LỘC

NGHIỆM NHỚT LIÊN TỤC CỦA
PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON - JACOBI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2011


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người
thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá
luận của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ
Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt
bài khoá luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời
gian, do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho
nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính
mong nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên

Phan Văn Lộc


LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong
khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nghiệm nhớt liên tục của
phương trình Hamilton-Jacobi” không có sự trùng lặp với kết quả của
các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên

Phan Văn Lộc


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Nghiệm nhớt của phương trình Hamilton-Jacobi . .

3

1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


3

1.2. Một số phép toán và tính chất nâng cao của nghiệm nhớt

12

1.3. Hàm marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Chương 2. Tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm nhớt

27

2.1. Tính duy nhất và sự so sánh nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.2. Tính chính quy của nghiệm nhớt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2.1. Tính liên tục Lipschitz của nghiệm nhớt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

2.2.2. Tính nửa lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46


Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52


MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Khi xét một bài toán của phương trình đạo hàm riêng ta thường gặp
những khả năng khác nhau về nghiệm của nó. Ta nói một bài toán của
phương trình đạo hàm riêng là đặt chỉnh nếu nghiệm nó thỏa mãn cả ba
điều kiện: tồn tại nghiệm của bài toán, nghiệm này là duy nhất, nghiệm
phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện của bài toán. Một cách tự nhiên, ta đòi
hỏi nghiệm của phương trình đaọ hàm riêng cấp k
F(x, u, Du, ...., Dk u) = 0,

∀x ∈ Ω ⊂ RN

là một hàm k lần khả vi liên tục. Nghiệm với độ trơn như thế được gọi
là nghiệm cổ điển. Nhưng thực tế, những phương trình đạo hàm riêng
có nghiệm cổ điển là rất ít. Vì vậy đòi hỏi phải đưa ra một khái niệm
“nghiệm suy rộng” thích hợp (nghiệm không cần khả vi đến cấp k, thậm
chí không liên tục).
Một trong những loại nghiệm suy rộng có ý nghĩa rất quan trọng đó
là “nghiệm nhớt”. Khái niệm “nghiệm nhớt” được M. G. Gandall và P.

L. Lions đưa ra vào những năm đầu của thập kỷ 80, đã mở ra một hướng
nghiên cứu hiệu quả trong việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng
phi tuyến cấp 1, cấp 2, trong đó có phương trình Hamilton-Jacobi. Thay
vì buộc nghiệm u phải thỏa mãn phương trình và khả vi đến cấp k , các
tác giả chỉ đòi hỏi nghiệm liên tục, thỏa mãn các bất đẳng thức vi phân
thông qua “hàm thử” đủ trơn hoặc qua các khái niệm trên vi phân, dưới
1


vi phân.
Dưới góc độ một sinh viên sư phạm chuyên ngành Toán và trong
khuôn khổ của bài khoá luận tốt nghiệp, đồng thời được sự hướng dẫn
nhiệt tình của thầy Trần Văn Bằng tôi đã chọn đề tài “Nghiệm nhớt liên
tục của phương trình Hamilton - Jacobi”.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu nghiệm nhớt liên tục của phương trình Hamiltol-Jacobi.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu nghiệm nhớt liên tục của lớp phương trình HamiltonJacobi bao gồm các khái niệm, các tính chất của nó.

4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo.
Tổng hợp, phân tích, hệ thống lại các khái niệm, tính chất.

5. Cấu trúc khóa luận
Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá
luận gồm 2 chương:
Chương 1. Nghiệm nhớt liên tục của phương trình Hamilton-Jacobi.
Chương 2. Tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm nhớt.


2


Chương 1

Nghiệm nhớt của phương
trình Hamilton-Jacobi
1.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản
Trong mục này ta sẽ trình bày hai định nghĩa tương đương của nghiệm
nhớt của phương trình Hamiltol-Jacobi và nghiên cứu mối quan hệ của
chúng dựa vào nguyên lý so sánh nghiệm và mối quan hệ với khái niệm
nghiệm cổ điển của phương trình Hamilton-Jacobi (viết tắt (HJ)). Cho
phương trình Hamilton-Jacobi dạng:
F(x, u(x), Du(x)) = 0

x ∈ Ω.

(HJ)

Trong đó Ω là một tập mở của Rn và hàm Hamilton F(x, r, p) là một hàm
liên tục lấy giá trị thực trên Ω × R × Rn .
3


Định nghĩa 1.1. Một hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt dưới của phương
trình Hamilton-Jacobi nếu với mọi ϕ ∈ C1 (Ω) thì :
F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0

(1.1)


tại bất kỳ điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω của hàm u − ϕ. Tương tự một
hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt trên của phương trình Hamilton-Jacobi
nếu với mọi ϕ ∈ C1 (Ω) thì :
F(x1 , u(x1 ), Dϕ(x1 )) ≥ 0

(1.2)

tại bất kỳ điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của hàm u − ϕ. Cuối cùng u
là nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm nhớt trên vừa là nghiệm nhớt dưới.
Hàm ϕ(x) được gọi là hàm thử.
Chúng ta còn biết rằng một cách chính xác định nghĩa trên còn được
áp dụng cho phương trình Hamilton-Jacobi tiến hóa có dạng:
ut (t, y) + F(t, y, u(t, y), Dy u(t, y)) = 0,

(t, y) ∈ [0, T ] × D.

Thật vậy, phương trình trên có thể được đưa về phương trình (HJ) bằng
cách đặt :
˜ r, p) = qn+1 + F(x, r, p1 , ...., qN ).
x = (t, y) ∈ Ω = [0, T ] × D ⊆ Rn+1 , F(x,
với q = (q1 , ..., qN , qN+1 ) ∈ Rn+1 .
Nhận xét 1.1. Trong định nghĩa nghiệm nhớt dưới ta luôn có thể giả sử
rằng x0 là điểm cực đại địa phương ngặt của hàm u − ϕ (nếu không ta có
thể thay ϕ(x) bởi ϕ(x) + |x − x0 |2 ). Hơn nữa do (1.1) chỉ phụ thuộc vào
giá trị của Dϕ tại x0 , nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng
4


u(x0 ) = ϕ(x0 ). Đối với định nghĩa nghiệm nhớt trên ta cũng có nhận xét

tương tự. Về mặt hình học thì điều này có nghĩa rằng các hàm thử trong
điều kiện nghiệm nhớt dưới (1.1) đối với u là tiếp xúc trên với đồ thị của
u. Ta cũng chú ý rằng không gian C1 (Ω) của các hàm thử trong Định
nghĩa 1.1 có thể được thay thế bằng C∞ (Ω).
Mệnh đề sau đây sẽ thể hiện những đặc trưng cơ bản của nghiệm nhớt
và mối quan hệ của nó với định nghĩa nghiệm cổ điển.
Mệnh đề 1.1. (a) Nếu hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ) trong
Ω, thì u là nghiệm nhớt của (HJ) trong Ω , với mọi Ω ⊂ Ω;
(b) Giả sử hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm cổ điển của (HJ), tức là u khả vi
tại mọi điểm x ∈ Ω và:
F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) = 0

∀x ∈ Ω.

(1.3)

Khi đó u là nghiệm nhớt của (HJ);
(c) Nếu hàm u ∈ C1 (Ω) là một nghiệm nhớt của (HJ), thì u là nghiệm cổ
điển của đó.
Chứng minh. (a) Nếu x0 là một cực đại địa phương (trên Ω ) của u − ϕ,
˜ với mọi
ϕ ∈ C1 (Ω ) , thì x0 là một cực đại địa phương (trên Ω) của u − ϕ,
¯ 0 , r), với r ≥ 0 nào đó. Từ (1.1) ta
ϕ˜ ∈ C1 (Ω ) thỏa mãn ϕ˜ ≡ ϕ trên B(x
có
˜ 0 )) = F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )).
0 ≥ F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x
Chứng tỏ rằng u là nghiệm nhớt dưới của (HJ) trên Ω . Lập luận tương
tự ta cũng có u là nghiệm nhớt trên của (HJ) trên Ω . Vậy (a) được chứng
minh xong.

5


(b) Lấy ϕ ∈ C1 (Ω) bất kỳ. Từ tính khả vi của u nên tại điểm cực tiểu hoặc
cực đại địa phương của u − ϕ ta có Du(x) = Dϕ(x). Từ (1.3) ta được
0 = F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 ) ≤ 0
nếu x0 là một điểm cực đại địa phương của u − ϕ, và
0 = F(x1 , u(x1 ), Dϕ(x1 ) ≥ 0
nếu x1 là một điểm cực tiểu địa phương của u − ϕ. Theo Định nghĩa 1.1
ta chứng minh được (b).
(c) Nếu u ∈ C1 (Ω), thì ϕ ≡ u là trường hợp tầm thường trong định nghĩa
nghiệm nhớt, khi đó với x bất kỳ ∈ Ω thì vừa là cực đại vừa là cực tiểu
địa phương của hàm u − ϕ. Do đó theo (1.1) và (1.2) thì:
F(x, u(x), Du(x)) = 0,

∀x ∈ Ω.

Vậy mệnh đề được chứng minh xong.
Mệnh đề (a) cho thấy khái niệm nghiệm nhớt có tính địa phương. Vì
vậy ta có thể lấy các hàm thử trong (1.1) và (1.2) thuộc C1 (RN ) hoặc
thuộc hình cầu bất kỳ đủ nhỏ B(x, r) tâm x ∈ Ω.
Định nghĩa nghiệm nhớt có liên quan chặt chẽ đến hai tính chất được
nêu trong lý thuyết của phương trình eliptic - parabolic đó là nguyên lý
cực đại và nguyên lý so sánh. Với phương trình (HJ) hai tính chất này
được xây dựng tương ứng như sau.
Định nghĩa 1.2. Một hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh với
các nghiệm nhớt trên trơn ngặt nếu với mọi ϕ ∈ C1 (Ω) và tập mở O ∈ Ω,
∀x ∈ O, u ≤ ϕ trên ∂ O

F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0,

6


thì u ≤ ϕ trong O.
Ta nói rằng hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại nếu với mọi
ϕ ∈ C1 (Ω) và tập mở O ∈ Ω có bất đẳng thức :
F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0,

∀x ∈ O

thì u − ϕ không thể có cực đại không âm trong O.
Dễ thấy rằng nếu hàm u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý cực đại thì nó
thỏa mãn nguyên lý so sánh. Mối quan hệ giữa chúng với khái niệm
nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) sẽ được trình bày ở mệnh đề sau
đây.
Mệnh đề 1.2. Nếu hàm số u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh thì u
là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ). Ngược lại, nếu u là một
nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) và r → F(x, r, p) là một hàm
không giảm với mọi x, p thì u thỏa mãn nguyên lý cực đại và nguyên lý
so sánh.
Chứng minh. Giả sử u ∈ C(Ω) thỏa mãn nguyên lý so sánh, nếu u không
phải là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) thì khi đó tồn tại x0 ∈ Ω,
ϕ ∈ C1 (Ω) mà x0 là điểm cực đại ngặt của u − ϕ, (u − ϕ)(x0 ) = 0 và
F(x0 , ϕ(x0 ), Dϕ(x0 )) > 0.
Với n đủ lớn ta có
an := sup (u − ϕ) < 0
∂ B(x0 , n1 )

cũng thấy rằng:
7



u − (ϕ + an ) ≤ 0 trên ∂ B(x0 , n1 )
u(x0 ) − ϕ(x0 ) − an > 0.
Theo nguyên lý so sánh với mọi n tồn tại xn ∈ On := B(x0 , n1 ) thỏa mãn
F(xn , ϕ(xn ) + an , Dϕ(xn )) ≤ 0
Từ an → 0 và xn → x0 khi n → ∞ thì
F(x0 , ϕ(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0
mâu thuẫn, vậy u là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ). Ngược lại,
cho u là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) và lấy ϕ ∈ C1 (Ω) thỏa
mãn:
F(x, ϕ(x), Dϕ(x)) > 0

∀x ∈ O.

Nếu u−ϕ dật cực đại địa phương tại x0 nào đó ∈ O với u(x0 )−ϕ(x0 ) ≥ 0.
Khi đó từ giả thiết đơn điệu của F đẫn đến mâu thuẫn:
0 < F(x0 , ϕ(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0.
Do đó, u thỏa mãn tiêu chuẩn cực đại và tiêu chuẩn so sánh.
Kết quả tương tự cũng đúng với nghiệm nhớt trên. Khi đó dấu trong
các bất đẳng thức trong nguyên lý so sánh và nguyên lý cực đại được đảo
lại, cực đại không âm được thay thế bằng cực tiểu không dương.
Một điều cần lưu ý là nghiệm nhớt không được bảo toàn khi ta đổi dấu
của phương trình. Thật vậy, vì bất kỳ cực đại địa phương nào của u − ϕ
đều là cực tiểu địa phương của −u − (−ϕ), nên u là nghiệm nhớt dưới
của phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt trên của
phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω; tương tự u là nghiệm
8



nhớt trên của phương trình (HJ) nếu và chỉ nếu v = −u là nghiệm nhớt
dưới của phương trình −F(x, −v(x), −Dv(x)) = 0 trong Ω. Một ví dụ cụ
thể như sau :
Ví dụ 1.1. Hàm số u(x) = |x| là một nghiệm nhớt của phương trình:
− |u (x)| + 1 = 0, x ∈ [−1, 1].
Để kiểm tra điều này ta có: nếu x = 0 là một cực trị địa phương của
u − ϕ thì khi đó u (x) = ϕ (x). Vì vậy tại những điểm này điều kiện
nghiệm nhớt trên, nghiệm nhớt dưới được thỏa mãn. Ngoài ra nếu 0 là
cực tiểu địa phương của u − ϕ, thì ta tính được |ϕ (0)| ≤ 1 suy ra điều
kiện nghiệm nhớt trên vẫn đúng. Bây giờ ta chứng minh 0 không thể là
cực đại địa phương của u − ϕ với ϕ ∈ C1 ([0, 1]). Thật vậy nếu 0 là cực
đại địa phương của u − ϕ thì ta có (u − ϕ)(0) ≥ (u − ϕ)(x) trong một lân
cận của 0, hay ϕ(x) − ϕ(0) ≥ u(x) trong một lân cận của 0, từ đó ta có :
u(x)
ϕ(x) − ϕ(0)
≥ lim
=1
x−0
x→0+ x
x→0+

ϕ (0) = lim
và

u(x)
ϕ(x) − ϕ(0)
≤ lim −
= −1.
x−0
x

x→0+
x→0−

ϕ (0) = lim

Vô lý, vậy 0 không thể là cực đại địa phương của u − ϕ.
Mặt khác hàm số u(x) = |x| không phải là nghiệm nhớt của phương
trình :
u (x) − 1 = 0,

x ∈ [−1, 1].

Thật vậy điều kiện nghiệm trên không thỏa mãn tại x0 = 0 là điểm cực
tiểu địa phương của |x| − (−x2 ).
9


Bây giờ ta nêu nên một định nghĩa khác về nghiệm nhớt của phương
trình (HJ) và chứng minh định nghĩa mới là tương đương với định nghĩa
được nêu trước đó. Cho hàm số u ∈ C(Ω) và x ∈ Ω xét các tập hợp :
u(y) − u(x) − p.(y − x)
≤0 ,
|y − x|
y→x,y∈Ω

D+ u(x) :=

p ∈ RN : lim sup

D− u(x) :=


p ∈ RN : lim inf

u(y) − u(x) − p.(y − x)
≥0 .
y→x,y∈Ω
|y − x|

Các tập hợp trên được gọi tương ứng là trên vi phân và dưới vi phân (gọi
chung là bán vi phân) của u tại x.
Những bổ đề sau đây sẽ mô tả D+ u(x) và D− u(x) qua các hàm thử.
Bổ đề 1.1. Cho u ∈ C(Ω). Khi đó,
(a) p ∈ D+ u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C1 (Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p
và u − ϕ đạt cực đại địa phương tại x;
(b) p ∈ D− u(x) nếu và chỉ nếu tồn tại ϕ ∈ C1 (Ω) thỏa mãn Dϕ(x) = p
và u − ϕ đạt cực tiểu địa phương tại x.

Bổ đề 1.2. (Một vài tính chất của trên vi phân và dưới vi phân)
(a) D+ u(x) và D− u(x) là các tập con lồi, đóng (có thể là tập rỗng) của
Rn ;
(b) Nếu u khả vi tại x thì {Du(x)} = D+ u(x) = D− u(x);
(c) Các tập A+ = {x ∈ Ω : D+ u(x) = ∅} và A− = {x ∈ Ω : D− u(x) = ∅}
là trù mật trong Ω.
Như một hệ quả trực tiếp của Bồ đề 1.1 ta có định nghĩa mới về
nghiệm nhớt tương đương với Định nghĩa 1.1 trước đó.

10


Định nghĩa 1.3. Một hàm số u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương

trình (HJ) trong Ω nếu :
F(x, u(x), p) ≤ 0,

∀x ∈ Ω, ∀p ∈ D+ u(x);

(1.4)

là nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ) trong Ω nếu :
F(x, u(x), p) ≥ 0,

∀x ∈ Ω, ∀p ∈ D− u(x).

(1.5)

Đương nhiên, u là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) nếu (1.4) và (1.5)
cùng thỏa mãn.
Định nghĩa trên thì mang tinh thần của giải tích không trơn hơn nhưng
trong nhiều trường hợp nó tỏ ra thuận tiên hơn Định nghĩa 1.1 trước đó.
Ta sử dụng nó để chứng minh một số tính chất quan trọng của nghiệm
nhớt. Đầu tiên ta đi chứng minh một kết quả nhằm hoàn chỉnh Mệnh đề
1.2.
Mệnh đề 1.3. (a) Nếu u ∈ C(Ω) là một nghiệm nhớt của phương trình
(HJ) thì :
F(x, u(x), Du(x)) = 0
tại mọi điểm mà u khả vi.
(b) Nếu u là một hàm liên tục Lipschitz địa phương và nó là nghiệm nhớt
của (HJ) thì :
F(x, u(x), Du(x)) = 0 hầu khắp nơi trong Ω.
Chứng minh. Nếu u khả vi tại x thì theo Bổ đề 1.1(b) {Du(x)} = D+ u(x) =
D− u(x). Do đó theo Định nghĩa 1.3 thì :

0 ≥ F(x, u(x), Du(x)) ≥ 0,
11


vậy (a) được chứng minh xong.
Mệnh đề (b) được suy ra trực tiếp từ định lý Rademacher về tính khả
vi hầu khắp nơi của hàm liên tục Lipschitz.
Nhận xét 1.2. Phần (b) của Mệnh đề 1.3 thể hiện rằng mọi nghiệm
nhớt đều là nghiệm tổng quát (hàm số u liên tục Lipschitz địa phương là
nghiệm tổng quát nếu :
F(x, u(x), Du(x)) = 0

h.k.n trong Ω.

Ngược lại nói chung là không đúng: có nhiều nghiệm tổng quát không
phải là nghiệm nhớt. Thật vậy ta xét ví dụ sau để thấy được điều này:
Ví dụ 1.2. Cho hàm u(x) = |x| ta thấy u thỏa mãn :
u (x) − 1 = 0

trong

[−1, 1] \ {0}

do đó u là nghiệm tổng quát của u (x) − 1 = 0, trong [−1, 1] nhưng nó
không phải là nghiệm nhớt của phương trình trên (theo Ví dụ 1.1).

1.2. Một số phép toán và tính chất nâng cao của
nghiệm nhớt
Trong mục này ta sẽ trình bày một vài tính chất quan trọng của
nghiệm nhớt và các phép toán cơ bản (đổi biến, đạo hàm hàm hợp) đối

với trên vi phân và dưới vi phân.
Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω). Ta ký hiệu:
(u ∨ v)(x) = max {u(x), v(x)},
(u ∧ v)(x) = min {u(x), v(x)} .
12


Mệnh đề 1.4. (Tính ổn định của nghiệm nhớt)
(a) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ).
Khi đó u ∨ v cũng là một nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ).
(b) Cho u(x), v(x) ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt trên phương trình (HJ) thì u ∧ v
cũng là một nghiệm nhớt trên của phương trình (HJ).
(c) Nếu u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt dưới của phương trình (HJ) mà u ≥ v
với mọi nghiệm dưới v ∈ C(Ω) của phương trình (HJ). Khi đó u là nghiệm
nhớt trên và do dó là nghiệm nhớt của phương trình (HJ).
Chứng minh. Cho x0 là điểm cực đại địa phương của u ∨ v − ϕ với ϕ ∈
C1 (Ω). Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng : (u ∨ v)(x0 ) =
u(x0 ). Khi đó x0 là điểm cực đại địa phương của u − ϕ, do đó
F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0.
Vậy ta chứng minh được (a).
Khẳng định (b) cũng được chứng minh tương tự.
Để chứng minh (c) ta giả sử ngược lại rằng:
h := F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) < 0,
với ϕ ∈ C1 (Ω) nào đó và x0 ∈ Ω thỏa mãn :
u(x0 ) − ϕ(x0 ) ≤ u(x) − ϕ(x),

¯ 0 , δ0 ),
∀x ∈ B(x

với δ > 0 nào đó. Tiếp theo ta xét hàm ω ∈ C1 (Ω) xác định bởi :

1
ω(x) = ϕ(x) − |x − x0 |2 + u(x0 ) − ϕ(x0 ) + δ 2 ,
2
với 0 < δ < δ0 . Dễ thấy rằng :
(u − ω)(x0 ) < (u − ω)(x),

∀x thỏa mãn |x − x0 | = δ .
13

(1.6)


Bây giờ ta chứng minh rằng với δ đủ nhỏ thì :
¯ 0 , δ0 ).
∀x ∈ B(x

F(x, ω(x), Dω(x)) ≤ 0,

(1.7)

Để chứng minh điều này, do tính liên tục đều địa phương ta có : với
0 < δ < δ0 ,


|ϕ(x) − ϕ(x0 )| ≤ ω1 (δ )

(1.8)


|Dϕ(x) − 2(x − x0 ) − Dϕ(x0 )| ≤ ω2 (δ ) + 2δ ,

¯ 0 , δ ), trong đó ωi (i = 1, 2) là modul liên tục của ϕ và Dϕ.
với mọi x ∈ B(x
Do đó :
|ω(x) − u(x0 )| ≤ ω1 (δ ) + δ 2 ,

¯ 0 , δ ).
∀x ∈ B(x

Bây giờ ta có:

F(x, ω(x), Dω(x)) = h + F(x, ω(x), Dϕ(x) − 2(x − x0 ))
−F(x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 ))

(1.9)

Nếu ω là modul liên tục của F thì :
F(x, ω(x), Dω(x)) ≤ h + ω(δ , ω1 (δ ) + δ 2 , 2δ ),
¯ 0 , δ ). Do h < 0 nên (1.7) được chứng minh với δ > 0 đủ
với mọi x ∈ B(x
nhỏ. Với mọi δ như trên đặt :


u ∨ ω
v(x)
ˆ =

u

trên B(x0 , δ )
trên Ω \ B(x0 , δ ).

14


Ta có thể kiểm tra được rằng vˆ ∈ C(Ω) và từ Mệnh đề 1.1(a) và Mệnh
đề 1.4 (a), vˆ là một nghiệm dưới của phương trình (HJ) trong Ω. Do
v(x
ˆ 0 ) > u(x0 ). Điều này trái với giả thuyết nên (c) được chứng minh
xong.
Mệnh đề 1.5. Cho un ∈ C(Ω)(n ∈ N) là một nghiệm nhớt của phương
trình :
Fn (x, un (x), Dun (x)) = 0

trong Ω.

(HJn )

Giả sử rằng:
un → u hội tụ đều trong Ω,
Fn → u hội tụ đều trong Ω × R × Rn .
Khi đó u là một nghiệm nhớt của phương trình (HJ) trong Ω.
Chứng minh. Cho ϕ ∈ C1 (Ω) và x0 là cực đại địa phương của u − ϕ.
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử:
u(x0 ) − ϕ(x0 ) > u(x) − ϕ(x)
với x = x0 trong một lân cận của x0 . Từ tính hội tụ đều ta có với n đủ lớn
un − ϕ đạt cực đại địa phương tại xn → x0 (xem Bổ đề 1.4). Khi đó
Fn (xn , un (xn ), Dϕ(xn )) ≤ 0.
Từ xn → x0 , qua giới hạn bất đẳng thức trên khi n → +∞ ta được :
Fn (x0 , u(x0 ), Dϕ(x0 )) ≤ 0.
vậy u là nghiệm nhớt dưới. Chứng minh tương tự ta cũng có u là nghiệm
nhớt trên.

15


Nhận xét 1.3. Mệnh đề 1.5 không đúng với nghiệm tổng quát của
phương trình (HJn ).
Ta xét ví dụ để minh họa cho nhận xét trên:
Ví dụ 1.3. Xét dãy hàm răng cưa là dãy hàm un được xác định bởi:
u1 (x) = 1 − x và với n ≥ 2 thì


x − 2nj
x ∈ [2 j/2n , (2 j + 1)/2n ]
2
un (x) =

n
n
 2 j+2
2n − x x ∈ [(2 j + 1)/2 , (2 j + 2)/2 ] ,
trong đó j = 0, 1, ...., 2n−1 −1. Với x ∈ [0, 1] rõ ràng là |un (x)|−1 = 0 hầu
khắp nơi trong [0, 1], mặc dù u1 là nghiệm cổ điển (nên cũng là nghiệm
nhớt) nhưng un không phải là nghiệm nhớt với n ≥ 2. Giới hạn của dãy
hàm là bằng 0 và không thỏa mãn phương trình |u (x)| − 1 = 0 tại mọi
điểm.
Trong chứng minh Mệnh đề 1.5 chúng ta đã sử dụng kết quả cơ bản
mà thường xuyên được sử dụng trong nhiều trường hợp đó là:
Bổ đề 1.3. Cho v ∈ C(Ω) và giả sử rằng x0 ∈ Ω là một điểm cực đại
¯ 0 , δ ) ⊇ Ω. Nếu vn ∈ C(Ω) hội tụ đều địa
địa phương ngặt của v trong B(x
phương tới v ∈ Ω, thì khi đó tồn tại dãy {xn } thỏa mãn:

xn → x0 ,

vn (xn ) ≥ vn (x),

¯ 0 , δ ).
∀x ∈ B(x

(1.10)

¯ 0 , δ ) và cho xn k , k ∈
Chứng minh. Cho xn là điểm cực đại của vn trong B(x
N là một dãy con hội tụ bất kỳ của {xn } , n ∈ N. Từ tính hội tụ đều ta có :
vn k (xn k ) → v(x)
˜ khi k → +∞,
16


trong đó x˜ = lim xn k khi k → +∞. Dựa vào việc chọn {xn } ta được:
¯ 0 , δ ),
∀x ∈ B(x

v(x)
˜ ≥ v(x),

do đó v(x)
˜ ≥ v(x0 ). Điều này có nghĩa là x˜ = x0 và dãy đã cho hội tụ.
Mệnh đề 1.6. (Quy tắc đổi biến trong phương trình Hamilton-Jacobi)
Cho u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) và Φ ∈ C1 (R) thỏa
mãn Φ (t) > 0. Thì v = Φ(u) là một nghiệm nhớt của phương trình:
F(x, Ψ(v(x)), Ψ (v(x))Dv(x)) = 0,


x ∈ Ω,

(1.11)

trong đó Ψ = Φ−1 .
Một kết quả tổng quát rất hữu dụng khi giải các phương trình (HJ)
tiến hóa đó là :
Mệnh đề 1.7. Cho u ∈ C(Ω) là nghiệm nhớt của phương trình (HJ) và
Φ : Ω × R → R thuộc C1 thỏa mãn:
Φr (x, r) > 0,

∀(x, r) ∈ Ω × R.

Khi dó hàm v ∈ C(Ω) được xác định bởi
Φ(x, v(x)) = u(x),
là một nghiệm nhớt của phương trình
F(x, v(x), Dv(x)) = 0 trong Ω,
với F(x, r, p) = F(x, Φ(x, r), Dx Φ(x, r) + Φr (x, r)p).
17

(1.12)


Chứng minh. Ta chỉ chứng minh chi tiết phần nghiệm nhớt dưới, chứng
minh phần nghiệm nhớt trên được tiến hành tương tự. Cho x ∈ Ω và
p ∈ D+ v(x). Khi đó ta có:
v(y) ≤ v(x) + p.(y − x) + o(|y − x|),
khi y → x. Từ Φ là không giảm đối với r ta có:
Φ(y, v(y)) ≤ Φ(y, v(x) + p.(y − x) + o(|y − x|)),

và từ đó
Φ(y, v(y)) ≤ Φ(x, v(x)) + Dx Φ(x, v(x)).(y − x)
+Φx (x, v(x))p.(y − x) + o(|y − x|)).
Theo định nghĩa của v thì điều này có nghĩa là Dx Φ(x, v(x))+Φx (x, v(x))p ∈
D+ u(x). Do đó
F(x, u(x), Dx (Φ(x, r)) + Φr (x, r)p) ≤ 0,
vậy v là nghiệm nhớt dưới của phương trình (1.12).
Mệnh đề tiếp theo nêu nên một số dạng của bán vi phân trong các
trường hợp thông dụng.
Mệnh đề 1.8. Cho u ∈ C(Ω). Khi đó
(i) với v(x, r) = ϕ(r)u(x) (x ∈ Ω, r ∈ R) và ϕ ∈ C1 (R), ϕ(r) ≥ 0, với mọi
r ∈ ∈ R; ta có
D+ v(x, r) = (q, ρ) ∈ Rn+1 : q ∈ ϕ(r)D+ u(x), ρ = ϕ (x)u(x) ;
(ii) với u(x) = v(T (x)), v ∈ C(Ω); ta có (Công thức đổi biến)
p ∈ D+ v(y0 ) nếu và chỉ nếu (DT (x0 ))t p ∈ D+ u(x), trong đó t là ký hiệu
18


của chuyển vị , T : Ω → Ω là một vi đồng phôi và y0 = T (x0 );
(iii) với η(r) = u(y(x)), y ∈ C1 (R, Ω) ta có (Công thức đạo hàm hàm
hợp)
D+ η(r) ⊇ D+ u(y(r)) · y(r).
˙
Nhận xét 1.4. Các kết quả tương tự vẫn đúng với D− . Từ công thức “đổi
biến” (ii) ta có u là một nghiệm dưới của phương trình (HJ) trong Ω nếu
và chỉ nếu v(x)
ˆ = u(T −1 (x))
ˆ là một nghiệm dưới của phương trình :
F(T −1 (x),
ˆ v(x),

ˆ DT (T −1 (x))Dv(
ˆ
x))
ˆ = 0,

xˆ ∈ Ω.

Bây giờ ta sẽ đi tìm điều kiện để một hàm khả vi liên tục từng mảnh
thỏa mãn phương trình (HJ) là nghiệm nhớt của phương trình trên.
Đầu tiên ta xét trường hợp một biến. Giả sử u ∈ C([−a, a])∩C1 ([−a, 0]∪
[0, a]) là một nghiệm cổ điển của phương trình
trong [−a, 0] ∩ [0, a] .

F(x, u(x), u (x)) = 0

Theo khai triển Taylor với |y| đủ nhỏ ta có

u(0) + u (0)y + o(|y|)
+
u(y) =
u(0) + u (0)y + o(|y|)
−

nếu y > 0
nếu y < 0,

trong đó u+ (0) và u− (0) tương ứng là các đạo hàm phải, đạo hàm trái
của u tại 0.
Từ đó p ∈ D+ u(0) nếu và chỉ nếu
u+ (0) ≤ p ≤ u− (0).

Tương tự, p ∈ D− u(0) tương đương với p ∈ u− (0), u+ (0) . Do đó u là
19


nghiệm nhớt của phương trình trên khi
F(0, u(0), p) ≤ 0,

∀p ∈ I+ := u+ (0), u− (0) = D+ u(0);

F(0, u(0), p), ≥ 0

∀p ∈ I− := u− (0), u+ (0) = D− u(0).

Tất nhiên trong trường hợp u+ (0) = u− (0) thì chỉ I+ hoặc I− là không
rỗng.
Để mở rộng kết quả trên với trường hợp số chiều cao hơn ta giả sử
rằng :
Ω = Ω1 ∪ Ω2 ∪ Γ, trong đó Ωi (i = 1, 2) là các tập con mở của Ω và Γ là
một mặt trơn. Ta ký hiệu n(x) và T (x)(x ∈ Γ) là các vector đơn vị chuẩn
tắc từ Γ vào Ω1 và vào không gian tiếp xúc với Γ tại x, PT và PN là hình
chiếu vuông góc của RN tương ứng xuống T (x) và không gian kéo dài
bởi n(x).
Theo hệ quả của định nghĩa nghiệm nhớt ta có: nếu u ∈ C(Ω) là một
nghiệm nhớt của phương trình (HJ) trong Ωi (i = 1, 2) thì u là nghiệm
nhớt của phương trình (HJ) trong Ω1 ∪ Ω2 = Ω \ Γ.
Vậy u là nghiệm nhớt trên Ω khi một số điều kiện trên Γ được thỏa mãn
đó là:
Mệnh đề 1.9. Cho u ∈ C(Ω) và giả sử rằng thu hẹp của nó ui trên Ωi ∪ Γ
thuộc C1 (Ωi ∪ Γ)(i = 1, 2). Thì u là nghiệm nhớt của phương trình (HJ)
trong Ω nếu và chỉ nếu các điều kiên sau đúng:

(a)

ui là nghiệm cổ điển của phương trình (HJ) trong Ωi (i = 1, 2),

(b1 ) F(x, u(x), PT Dui (x) + ξ n(x)) ≤ 0

∀ξ ∈ Du1 (x).n(x), Du2 (x).n(x) , ∀x ∈ Γ
20


,
(b2 ) F(x, u(x), PT Dui (x) + ξ n(x)) ≥ 0

∀ξ ∈ Du2 (x).n(x), Du1 (x).n(x) , ∀x ∈ Γ.
Bổ đề tiếp theo là rất cần thiết trong việc nghiên cứu các phương trình
tiến hóa.
Bổ đề 1.4. Ta giả sử rằng
p1 → F(x,
¯ r¯, p1 , p¯2 , ..., p¯N )

(1.13)

là không giảm với mọi điểm x,
¯ r¯, p¯2 , ..., p¯N . Cũng giả sử rằng Ω = [a, b] ×
¯ là một nghiệm nhớt
Ω , với Ω là tập con mở của RN−1 . Nếu u ∈ C(Ω)
dưới (tương ứng nghiệm nhớt trên) của phương trình (HJ) thì
F(x,
¯ u(x),
¯ Dϕ(x))

¯ ≤ 0,

(tương ứng ≥ 0)

(1.14)

tại mọi điểm cực đại địa phương (tương ứng cực tiểu địa phương) x¯ của
u − ϕ trên [a, b] × Ω với mọi ϕ ∈ C1 ([a, b] × Ω ).

1.3. Hàm marginal
Định nghĩa 1.4. Cho hàm số g : Ω × B → RN , Ω ⊆ Rn là một tập mở và
B là một không gian Topo. Hàm số u(x) được xác định bởi :
u(x) = inf g(x, b),
b∈B

được gọi là hàm marginal.
21

(1.15)