Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích
LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với công
việc nghiên cứu khoa học. Trước sự bỡ ngỡ và khó khăn khi mới làm quen
với công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên
của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên trong Khoa. Em xin chân thành cảm
ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong khoa Toán cùng toàn thể các
thầy cô trong Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em trong suốt
quá trình học tập tại Khoa.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Tạ Ngọc Trí,
người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận này.
Qua đây em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã động
viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận.
Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên
Dương Thị Thanh

SVTH: Dương Thị Thanh

1

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích
LỜI CAM ĐOAN

Dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí cùng với sự cố gắng nỗ lực
của bản thân, em đã hoàn thành bài Khóa luận của mình. Trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện Khóa luận tốt nghiệp, em có tham khảo tài liệu của
một số tác giả đã nêu trong mục Tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan những kết quả trong Khóa luận là kết quả nghiên
cứu của em, không trùng với kết quả của tác giả khác. Nếu sai em xin chịu
hoàn toàn trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Sinh viên
Dương Thị Thanh

SVTH: Dương Thị Thanh

2

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích
MỤC LỤC

Nội dung

Trang

Lời nói đầu
Chương I : Không gian hàm thử ........................................................ 6

1.1. Một vài kí hiệu và khái niệm ....................................................... 6
1.2. Không gian các hàm thử

D(Ω) .................................................. 8

Chương II : Không gian các hàm suy rộng......................................... 13
2.1. Không gian hàm suy rộng D’(Ω) ................................................. 13
2.2. Không gian các hàm giảm nhanh và không gian các hàm
suy rộng tăng chậm ............................................................................ 18
Chương III : Tích chập và phép biến đổi Fourier .............................. 21
3.1. Tích chập ..................................................................................... 21
3.1.1. Tích chập giữa các hàm trong S (¡ n ) ............................... 21
3.1.2. Tích chập giữa hàm suy rộng và hàm cơ bản ................... 23
3.1.3. Tích chập giữa các hàm suy rộng .................................... 24
3.2. Phép biến đổi Fourier .................................................................. 26
3.2.1. Phép biến đổi Fourier trong S (¡ n ) .................................. 26
3.2.2. Phép biến đổi Fourier trong S (¡ n ) .................................. 31
Kết luận .............................................................................................. 34
Tài liệu tham khảo .............................................................................. 35

SVTH: Dương Thị Thanh

3

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hàm suy rộng kể từ khi ra đời vào thế kỷ XX đã góp phần quan trọng
vào việc nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Do nghiệm
của phương trình đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến
tính nói riêng, thường không tồn tại toàn cục, nên nhu cầu mở rộng khái niệm
nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng ngày càng trở nên cấp thiết.
Sự ra đời của lý thuyết hàm suy rộng với những đóng góp chủ yếu của
nhà Toán học người Pháp L. Schwartz đã giải quyết được cơ bản những vấn
đề của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, đồng thời góp phần
thúc đẩy sự phát triển của nhiều ngành khoa học khác.
Trong khi đó những hiểu biết về hàm suy rộng vẫn còn rất xa lạ và mới
mẻ đối với sinh viên. Với mong muốn được tìm hiểu về vấn đề này và bước
đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, em đã chọn đề tài:
“MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM SUY RỘNG L. SCHWARTZ”.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học. Từ đó hình thành tư duy
logic đặc thù của bộ môn và tìm hiểu những kiến thức về biến đổi Fourier và
hàm suy rộng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu về không gian các hàm suy rộng.
- Nghiên cứu về phép biến đổi Fourier trong một số không gian hàm:
không gian S( n), L1( n), L2( n) và không gian hàm suy rộng S’( n).
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích, tổng hợp.
- Đọc tài liệu, tra cứu.
5. Cấu trúc luận văn
SVTH: Dương Thị Thanh


4

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Nội dung của khoá luận gồm 3 chương :
Chương 1: Không gian hàm thử
- Chương này giới thiệu một số kí hiệu và khái niệm cần thiết cho nội
dung của luận văn.
- Nêu định nghĩa và các tính chất của không gian các hàm thử D( ).
Chương 2: Không gian hàm suy rộng
- Chương này nêu định nghĩa, tính chất của không gian hàm suy rộng

D’(

). Các phép toán, tính chất của hàm suy rộng.
- Nêu định nghĩa, tính chất của không gian các hàm giảm nhanh S( n).
- Nêu định nghĩa, tính chất của không gian hàm tăng chậm S’( n).
Chương 3: Tích chập và phép biến đổi Fourier
- Chương này nêu định nghĩa, tính chất của phép toán tích chập giữa

các hàm cơ bản, hàm cơ bản với hàm suy rộng và giữa các hàm suy rộng.
- Nêu định nghĩa, tính chất của phép biến đổi Fourier của các hàm trong
S( n), L1( n), S’( n).

CHƢƠNG I: KHÔNG GIAN HÀM THỬ

1.1. Một vài kí hiệu và khái niệm.
SVTH: Dương Thị Thanh

5

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

1.1.1. Một vài kí hiệu.

¢n :

x ( x1, x2 ,..., xn ) : xi

¢ , i 1,2,..., n .

¡ n:

x ( x1, x2 ,..., xn ) : xi

¡ , i 1,2,..., n .

C ( ) : tập các hàm liên tục trên

.


C k ( ) : tập các hàm khả vi liên tục tới cấp k trên
C ( ) : tập các hàm khả vi vô hạn, liên tục trên

.
.

Lp ( ) : tập các hàm f đo được theo nghĩa Lebesgue trong

f

f ( x)

p

sao cho

1
p

.

p
Lloc
( ) : tập hợp các hàm khả tích địa phương bậc p, 1 p

(hay tập các hàm

xác định trên

trên


sao cho với mọi tập V compact trong

thì f khả tích trong V ).
Một vectơ có dạng

( 1,

2 ,...,

n ),

j

¢ , ( j 1,2,..., n) được gọi

là một đa chỉ số (hay n- chỉ số) với độ dài (hay cấp của
1

...

2

) là

n.

Toán tử vi phân kiên kết với đa chỉ số

là D


D1 1 D2 2 ...Dn n , trong

j

đó D j j
Cho

xj

j

, j 1,2,..., n.

là một tập mở khác rỗng trong ¡ n . Ta nói hàm số f :

£

thuộc £ ( ) nếu toán tử vi phân D f tồn tại và liên tục với mọi đa chỉ số
¢ n , nghĩa là f

£ ( ) nếu f là hàm khả vi liên tục mọi cấp.

Giá của hàm liên tục f :

SVTH: Dương Thị Thanh

£ , kí hiệu là supp f , được xác định bởi:

6


K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

supp f

cl x

.

: f ( x) 0

Nếu K là tập compact trong ¡ n , kí hiệu:

DK
Nếu K

f

K .

C ( ): supp f

thì có thể đồng nhất

DK với C


( ).

1.1.2. Một vài khái niệm.
¡ hoặc
£ ) là
Một không gian vectơ tôpô X trên trường (với
một không gian vectơ trên trường được trang bị một tôpô sao cho các ánh
xạ ( x, y ) a x y và ( , y ) a y liên tục.
Trong không gian vectơ tôpô X , một tập hợp E X gọi là tập bị chặn,

nếu với mọi lân cận V của gốc 0, có một số s 0 sao cho

t

s thì E

tV .

Nếu gốc 0 có một lân cận bị chặn thì không gian X gọi là bị chặn địa
phương (locally bounded).
Một tập hợp E
x

X,

t

X của không gian vectơ tôpô X gọi là tập hút nếu


t ( x) 0 sao cho x tE. Nếu

£ mà

1, ta có

E

E

thì E được gọi là tập con cân (balanced subset) của X .
Một không gian vectơ tôpô X gọi là không gian lồi địa phương (locally
convex) nếu có một cơ sở lân cận của gốc 0 gồm toàn những tập lồi.
Một không gian lồi địa phương gọi là một không gian Fréchet nếu nó là
một không gian metric đủ với metric cảm sinh d thỏa mãn
d ( x z, y

z ) d ( x, y ) (d bất biến với phép tịnh tiến).

Một không gian vectơ tôpô X gọi là có tính chất Heine- Borel nếu mọi
tập con đóng và bị chặn của X đều là tập compact.
1.2. Không gian các hàm thử

D(

)

Nếu K là tập compact trong ¡
các hàm f


C (¡ n ) sao cho supp f

SVTH: Dương Thị Thanh

n

thì ta kí hiệu

DK

là không gian tất cả

K.

7

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Nếu K

thì

Chuyên ngành: Giải tích

DK

f


Để xây dựng một tôpô

C ( ) : supp f

K .

trên C ( ) sao cho C ( ) trở thành một

không gian Fréchet có tính chất Heine- Borel và
C ( ) với mỗi K

Kj

int K j

1

DK

là một tập con đóng của

ta chọn các tập compact K j , ( j 1,2,...) sao cho

U j K j và định nghĩa một họ nửa chuẩn pN trên

và

C ( ) , N 1,2,... bởi:


pN ( f ) max D f ( x) : x K N ,

N .

Khi đó pN xác định một tôpô lồi địa phương, khả mêtric trên C ( ).
Với mỗi x

, hàm số x a f ( x) là liên tục theo tôpô này. Vì

không gian các hàm khác 0 tại x nên

DK

DK

là giao của

là đóng trong C ( ).

Một cơ sở địa phương của không gian này được cho bởi các tập hợp

VN

f

C ( ) : pN ( f )

1
, ( N 1,2,...).
N


Nếu fi là dãy Cauchy trên C ( ), N cố định thì fi
đủ lớn. Do đó, D fi

D fj

1
trên K N nếu
N

D fi hội tụ trên các tập compact của

nhiên g0 C ( ) sao cho g

f j VN , với i, j

N . Điều này chứng tỏ

tới g , đặc biệt fi ( x)

D g0 và fi

g0 ( x). Hiển

g0 theo tôpô của C ( ). Do

đó C ( ) là không gian Fréchet. Điều này cũng đúng với mỗi không gian
con đóng

DK .


Giả sử E

MN
D f

C ( ) là tập đóng và bị chặn. Vì E bị chặn nên tồn tại

sao cho pN ( f ) M N , N 1,2,3,... với mọi f

M N đúng trên K N khi

SVTH: Dương Thị Thanh

E. Bất đẳng thức

N , là liên tục đồng bậc của
8

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

E trên K N

D f:f


1

nếu

N 1. Theo định lý Ascoli và nguyên lý

Cantor thì mọi dãy trong E đều chứa một dãy con
tụ trên các tập compact của

với mỗi đa chỉ số

fi sao cho D fi hội

. Do đó

fi hội tụ theo

tôpô của C ( ), chứng tỏ E là tập compact.
Vậy C ( ) có tính chất Heine- Borel.
Định nghĩa 1.1: Hợp của tất cả các không gian
các tập compact của
hàm cơ bản) trên
Hiển nhiên

khi K chạy trên tập tất cả

, gọi là không gian các hàm thử (hay không gian các

, kí hiệu là


D(

DK

D(

).

) là một không gian vectơ với phép cộng và phép nhân

với vô hướng thông thường của các hàm nhận giá trị phức.
Với mỗi

D(
N

) thì

max D

( x) : x

,

N , N 1,2,...

gọi là chuẩn của hàm .
là một tập không rỗng và mở trong ¡ n . Kí hiệu:

Cho


là tôpô của không gian Fréchet

K

DK

với mọi tập compact K

là tập tất cả các tập lồi cân đối W
mọi tập compact K

D(

) sao cho

W

K

với

.

là tập của tất cả các hợp của các tập hợp có dạng
và W

DK

.


W, với

D(

)

.

Trong suốt chương này ta luôn giả sử K là một tập mở không rỗng của
.
Mệnh đề 1.1:

SVTH: Dương Thị Thanh

9

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp
là một tôpô của không gian

a)
của

Chuyên ngành: Giải tích

D(


là một cơ sở địa phương

) và

.
b)

) cùng với

D(

là một không gian vectơ tôpô lồi địa phương.

Chứng minh:
a) Giả sử V1

, V2

,

V2 .

V1

Để chứng minh (a) ta cần chứng minh
Theo định nghĩa của

thì tồn tại
i


Chọn K sao cho

chứa

DK

i

Wi

W

D(

i

V1

V2 ,

) và Wi

(*)

W
sao cho:

Vi , (i 1,2)
. Vì


1, 2 ,

(1

Wi là mở trong

DK

i )Wi ,

DK

nên

0

i

Do tính lồi của Wi nên
i

i Wi

(1

i Wi

i

i )Wi


Wi

Do đó (*) đúng với W ( 1W1)

i Wi

Wi

Vi (i 1,2)

( 2W2 ) .

Vậy (a) được chứng minh.
b). Giả sử

1,

2

D(

Đặt W
và

1

D(

không nằm trong


Phép cộng là
1

1
W
2

).
):

0

1

W. Do đó

2

, với

2 0

1

max ( x) thì W

0

x


là tập đóng tương đối trong

liên tục, do tính lồi của mọi tập W
2

1
W
2

(

2)

1

W,

Với phép nhân vô hướng, chọn một vô hướng
0 0

SVTH: Dương Thị Thanh

(

0)

10

(


1,

0

.

nên

D(

2

và một

0

).

D(

) thì

0 ) 0.

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp


Nếu W

2C (

thì tồn tại

0 sao cho

0

) 1. Vì W là tập lồi cân đối nên

0

và

Chuyên ngành: Giải tích

0

1
W. Chọn C sao cho
2
0 0

W với

0

CW.


Vậy (b) được chứng minh.
Mệnh đề 1.2:
a). Một tập con lồi, cân đối V của
b). Các tôpô
từ

D(

của

K

DK

) là mở khi và chỉ khi V

D(

trùng với tôpô của không gian con

cảm sinh

).

c). Nếu E là một tập con bị chặn của
có các số M N

d). Nếu


j

i

i, j

e). Nếu

j

0, (N

j N

0 trong tôpô của

nào đó chứa tất cả supp

j

D(

) thì E

),

K

và


0,1,2,...)

là một dãy Cauchy trong

và lim

compact K

D(

E thoả mãn bất đẳng thức:

sao cho

M N , (N

số

DK

.

và D

j

D(

D(


) thì

j

DK

với mọi tập

0,1,2,...).

) thì có một tập compact K

hội tụ đều tới 0 khi j

với mọi đa chỉ

.
f). Trong

D(

), mọi dãy Cauchy đều hội tụ.

Mệnh đề này được chứng minh chi tiết trong [5], trang 140.
Mệnh đề 1.3: Giả sử u là ánh xạ tuyến tính từ

D(

) vào một không gian lồi


địa phương Y . Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
a). u liên tục.
b). u bị chặn.
c). Nếu

j

0 trong

SVTH: Dương Thị Thanh

D(

) thì u

j

11

0 trong Y .
K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

d). Khi thu hẹp u trên bất kỳ

DK D(


) thành uK thì uK luôn liên tục.

Mệnh đề này được chứng minh chi tiết trong [5], trang 140.
Hệ quả 1.1: Mọi toán tử vi phân D

là một ánh xạ liên tục từ

D(

) vào

chính nó.

CHƢƠNG II: KHÔNG GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG
2.1. Không gian hàm suy rộng

SVTH: Dương Thị Thanh

D '(

).

12

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp


Chuyên ngành: Giải tích

Định nghĩa 2.1: Một phiếm hàm tuyến tính u : D( )
rộng (theo nghĩa Schwartz) xác định trên

£ gọi là một hàm suy

, nếu với mọi tập compact K

,

có một số thực C 0 và một số nguyên không âm N sao cho

u,

sup D

D(

,

)

N x

với supp

K.

Tập tất cả các hàm suy rộng xác định trên

gọi là không gian các hàm suy rộng trên

lập thành một không gian,

, kí hiệu là

D '(

).

Dựa vào định nghĩa trên ta xét một số ví dụ sau:
Ví dụ 2.1: Các hàm số liên tục trên

là các hàm suy rộng.

Thật vậy, giả sử f là một hàm liên tục trên
khả tích trên

. Khi đó f là một hàm

. Hơn nữa,

f,

f ( x) ( x)dx

f ( x) dx .sup ( x) ,
Đặt C

f ( x) dx 0 thì


f,

f ( x) ( x) dx

D(

).

D(

C.sup ( x) ,

).

Vậy f là hàm suy rộng (theo nghĩa Schwartz).
Ví dụ 2.2: Các hàm f trong Lp ( ), 1

f,

Ví dụ 2.3: Hàm

p

f ( x) ( x)dx,

cũng là các hàm suy rộng với

D(


).

Dirac :

SVTH: Dương Thị Thanh

: D(¡ n )

£

a

,
13

(0).
K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Vì

,

(0)

tập compact trong ¡

n


Chuyên ngành: Giải tích

D( ¡

1.sup ( x) ,

n

K , với K là

) , mà supp

là một hàm suy rộng (gọi là hàm suy rộng Dirac

nên

hay hàm Delta Dirac).
Ví dụ 2.4: Hàm x :

x : D(¡ )

£

a

x,

x ( x) dx
¡


với supp

K , K là tập compact trong ¡ .

Ta có:
x,

x ( x)dx
¡

x ( x)dx
¡

x .sup ( x) dx sup ( x)
¡

¡

¡

sup ( x)

¡

x dx .

K

Đặt C


x dx

K

x dx 0 thì

x,

C.sup ( x) ,

D(¡ ) .

K

K

Vậy x là một hàm suy rộng.
Mệnh đề 2.1: Một phiếm hàm tuyến tính u xác định trên

D(

suy rộng khi và chỉ khi lim u,

hội tụ tới 0 trong

j

j


D(

) khi j

0, với mọi dãy

j

) là một hàm

.

Như vậy có thể thấy

D '(

) là không gian liên hợp của

D(

), trên đó

được trang bị các phép toán:
1. Phép cộng các hàm suy rộng:
Cho , g

D’(Ω) thì

SVTH: Dương Thị Thanh


+g

D’(Ω) được xác định theo qui tắc:
14

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

f

g,

f,

g,

,

D

.

2. Phép nhân một số với một hàm suy rộng:

D’(Ω) và


Cho

D’(Ω) được xác định theo qui tắc:

thì

f,

f,

,

.

D

Với hai phép toán trên thì D’(Ω) trở thành một không gian tuyến tính.
3. Hai hàm suy rộng bằng nhau:
Hai hàm suy rộng , g

D’(Ω) được gọi là bằng nhau nếu:

f,

g,

,

.


D

4. Đạo hàm của hàm suy rộng:
Định nghĩa 2.2: Cho f
tính D f ,

( 1)

D'

f ,D

,

1,

,

2 ,...,

Zn . Phiếm hàm tuyến

n

được gọi là đạo hàm suy rộng cấp

D

α của hàm suy rộng trong Ω, kí hiệu là D f .
Nếu


f,

với mọi

C

DK

D f,

thì

C D

N

C

N

Do đó, D f là hàm suy rộng.
Với mọi f

, mọi

D'
D

f


¢ n , ta có công thức:

,

D

D f

D

D f

Ví dụ 2.5: Hàm Heaviside

H ( x)
Ở đây H : ¡
rộng H

0,1 ,

1
0

nêu x 0,
nêu x 0.

¡ . Ta thấy H ( x) L1loc (¡ ) xác định hàm suy

D '(¡ ) và H ( x) khả tích địa phương trên


SVTH: Dương Thị Thanh

15

nên
K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

H,

H ( x) ( x)dx

( x)dx .
0

Ta có D H ,

( 1)

H, D

D(¡ ).

,


Hay

( 1)1 H , D

DH ,

H ( x) D ( x)dx

0

0.D ( x)dx

1.D ( x)dx

D ( x)dx

0

( x)
Vậy DH

(0)

0

0

,

,


D(¡ ).

.

Ví dụ 2.6: Hàm f ( x) log x .
Ta có:

f :¡ \ 0

¡

x a log x .
Khi đó f là hàm khả tích địa phương trên ¡ . Do đó f là một hàm suy
rộng với

f,

f ( x) ( x)dx,

D(¡ ).

Ta tính Df . Biến đổi này thường được kí hiệu bởi

D f,

( 1)

f ,D


,

1
. Ta có:
x

D(¡ ).

Nên

SVTH: Dương Thị Thanh

16

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

( 1)1 f , D

Df ,

f ( x) D ( x)dx

log x D ( x)dx
0


log x D ( x)dx

log x D ( x)dx
0

lim

log x D ( x) dx

log x D ( x) dx .

0

Đặt u log x , dv

D ( x)dx và áp dụng công thức tính tích phân từng

phần ta thu được:

Df ,

lim

( )

(

( x)
dx
x


) log

0

( x)
dx
x

lim
0

Trong đó lim

( )

(

( x)
dx
x

( x)
dx .
x

0. Ở đây hàm

) log


c 0

L1loc (¡ ) nên chúng ta không thể thực hiện biến đổi

1
ở dạng tích phân. Tuy
x

nhiên, như ở trên chúng ta có thể định nghĩa biến đổi
nó thuộc

hiệu bởi

phân

D '(¡ ) \ L1loc (¡ ).

Biểu thức lim
0

1
không thuộc
x

( x)
dx
x

1
x


D '(¡ )

là D log x ,

( x)
dx
x

được kí

( x)
dx, được gọi là giá trị chính (the principal value) của tích
x
( x)
dx .
x

SVTH: Dương Thị Thanh

17

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

2.2. Không gian các hàm giảm nhanh và không gian các hàm suy rộng

tăng chậm.
Định nghĩa 2.3: Không gian S (¡ n ) là không gian tuyến tính con của C0 (¡ n )
xác định bởi tập các hàm số f trên ¡
với mỗi

S ¡

,
n

n

sao cho x D f ( x) bị chặn trên ¡

n

¢n.

f

¡

C

n

x D f x

C


,

, x ¡ n,

,

Zn .

Không gian S (¡ n ) được trang bị bởi họ các chuẩn:

f

sup x D f ( x) ,

,

x ¡

¢ n.

,

n

Các phần tử của S (¡ n ) được gọi là các hàm giảm nhanh. Không gian
S (¡ n ) được gọi là không gian các hàm giảm nhanh.

Ví dụ 2.7: Hàm số f ( x)

x me


x2

thuộc S (¡ ) với mỗi m ¢ .

Định nghĩa 2.4: Các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (¡ n ) được gọi là
các hàm suy rộng tăng chậm. Không gian tuyến tính của các hàm suy rộng
tăng chậm được kí hiệu là S '(¡ n ).
Vậy T

S '(¡ n ) khi và chỉ khi hàm T : S (¡ n )

trên S (¡ n ), nghĩa là hàm T ( f n )

f)

f

T ( f ) trên £ .

Bổ đề 2.2: Từ T ( f n ) T ( f ) T ( f n
khi ( f n

£ liên tục và f n

f trên S (¡ n ) khi và chỉ

f ) và f n

0 trên S (¡ n ), ta thấy một ánh xạ tuyến tính trên S (¡ n ) là


liên tục khi và chỉ khi nó liên tục tại 0 S (¡ n ).
Mệnh đề 2.3: Ánh xạ tuyến tính T : S (¡ n )
T( f )

SVTH: Dương Thị Thanh

f

,

, f

S (¡ n ) thỏa mãn

S (¡ n ),

18

,

¢n

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

thì T


Chuyên ngành: Giải tích

S '(¡ n ).

Chứng minh:
Áp dụng bổ đề trên, chúng ta chỉ cần chứng minh T liên tục tại 0. Thật
vậy, nếu f n
n

0 trên S (¡ n ) thì

fn

f

0 khi

,

S '(¡ n ) .

, nghĩa là T liên tục tại 0. Vậy T

S (¡ n ). Đặt

Định nghĩa 2.5: Với mỗi k , m ¢ , f

f

0 và T ( f )


,

f

k ,m

,

k
m

Chuẩn này trên S (¡ n ) có tính chất định hướng, nghĩa là với mỗi
(k ', m ') và (k '', m '') thì tồn tại (k , m) thỏa mãn:

max f
(Mọi (k , m) với k
Bổ đề 2.4: f n

f

,

k ',m '

, f

f

k '',m ''


k ,m

S (¡ n ).

, f

max k ', k '' và m max m ', m '' ).
0 với mỗi

¢ n khi và chỉ khi f n

,

f

k ,m

0

với mỗi k , m ¢ , nghĩa là một phiếm hàm tuyến tính T trên S (¡ n ) là hàm
suy rộng tăng chậm khi và chỉ khi T ( fn )

0 với

fn

k ,m

0, k , m ¢ .


Mệnh đề 2.5: Một phiếm hàm tuyến tính T trên S (¡ n ) là một hàm suy rộng
tăng chậm khi và chỉ khi tồn tại C 0 với mỗi k , m ¢ thỏa mãn:
T( f )

Mệnh đề 2.6: Cho g

C f

k ,m

,

f

S ( ¡ n ).

L2 (¡ n ) thì ánh xạ tuyến tính

Tg : f a
SVTH: Dương Thị Thanh

g ( x) f ( x)dx

19

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp


Chuyên ngành: Giải tích

trên S (¡ n ) là hàm suy rộng tăng chậm.
Mệnh đề trên được chứng minh chi tiết trong [6], trang 9.

CHƢƠNG III: TÍCH CHẬP VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

3.1.Tích chập.
3.1.1. Tích chập giữa các hàm trong S (¡ n ) .
Định nghĩa 3.1: Giả sử f ( x) và g ( x ) thuộc S (¡ n ).

SVTH: Dương Thị Thanh

20

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Kí hiệu: ( f

Chuyên ngành: Giải tích

g )( x)

y ) g ( y )dy, x ¡ n .

f (x

¡

(3.1)

n

Do f ( x) và g ( x ) thuộc S (¡ n ), S (¡ n )

L1 (¡ n ) nên f ( x) và g ( x ) là

các hàm khả tích trên ¡ n , hay tích phân trên là tồn tại. Khi đó f

g được gọi

là tích chập của các hàm f , g .
Vì S (¡ n )

L1 (¡ n )

L2 (¡ n ) nên tích chập giữa các hàm trong

L1 (¡ n ), L2 (¡ n ) được định nghĩa tương tự.

Nhận xét 3.1: Nếu f , g

L1loc (¡ n ) và một trong hai hàm này có giá compact

thì tích chập của f , g cũng xác định. Thật vậy,
L1loc (¡ n ) nên f , g là các hàm khả tích trên ¡ n , nghĩa là tồn


Vì f , g

tại tích phân xác định bởi (3.1). Giả sử g là hàm có giá compact, ta có:

f (x
¡

n

¡

y ) g ( y )dy dx

g ( y)

n

¡

f (x

n

¡

g ( y)
f

L1


f (x
¡

supp g

.g

y ) dx dy

n

y ) dx dy

n

L1

Vậy tích chập của các hàm f , g là xác định.

Mệnh đề 3.1: Giả sử f , g

L1 (¡ n ). Khi đó f
f

g1

g

L1 (¡ n ) và


f 1. g 1 .

(Đẳng thức có khi f ( x) 0, g ( x) 0 ).
Chứng minh:
Giả sử f ( x), g ( x) L1 (¡ n ) thì:
SVTH: Dương Thị Thanh

21

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

(f

g )( x)

y ) g ( y )dy, x ¡ n .

f (x
n

¡

Khi đó,

f


g1
¡

n

¡

n

¡

n

¡

¡

f (x

y ) g ( y )dy dx

f (x

y ) g ( y ) dydx

n

n


g ( y)
Với y cố định, đặt t

x

¡

y ) dx
¡

g1

f

L1 (¡ n ) thì f

¡ n , tức là tồn tại C 0 sao cho ( f

f 1. g 1.

L1 (¡ n ) và f

g

1

n

L2 (¡ n ) thì ( f


Nhận xét 3.2: Nếu f , g

f

n

g ( y ) dy

1
¡

Với mỗi f , g

f (t ) dt

n

f

y ) dx dy.

y ta có:

f (x
¡

f (x
n

f 1. g 1 .


g1

g )( x) là hàm bị chặn đều trong

C, x ¡ n .

g )( x)

Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Holder có:
2

(f

g )( x)

2

f (x
¡

y ) g ( y )dy

n

¡
2

2


f (t ) dt
¡

(f

g )( x)

n

2

y ) dy

n

g ( y ) dy
¡

f

2
.
2

g

2
2

n


C 2.

n

C.

Mệnh đề 3.2: Với ,
D (

g ( y ) dy
¡

2

f (x

S ¡

)( x) (( D

SVTH: Dương Thị Thanh

)

n

C (¡ n ) và

thì


)( x) (

(D

22

))( x),

x ¡ n,

¢ n.

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

Chứng minh:

S ¡

Vì

D (

n


S ¡

nên D

)( x)

D

(x
D

(x

y ) ( y )dy

)

( x).

x t

dy

(D

D (

y ) ( y )dy

n


¡

y thì y

x

¢ n . Khi đó ta có:

,

n

¡

Đặt t

n

)( x) D

(x

dt.

y ) ( y )dy

D

n


¡

(t ) ( x t )dt
n

¡

(t ) D

( x t )dt =

(D

) ( x).

n

¡

3.1.2. Tích chập giữa hàm suy rộng và hàm cơ bản.

D' ¡

Định nghĩa 3.2: Cho f
theo hàm , kí hiệu là f

(i). f

C (¡ n ), D ( f


(ii). supp ( f

)

D ¡

,

n

. Tích chập của hàm suy rộng f

được xác định như sau :

f

Mệnh đề 3.3 : Cho f

n

:xa

D' ¡

n

f

,


( x)

D ¡

)( x) (( D f )

(supp f

n

f ( y), ( x y) .

. Khi đó ta có các kết luận :

)( x) ( f ( D ))( x), x ¡ n ,

Zn .

supp ).

Chứng minh:
(i). Bằng cách chứng minh tương tự như chứng minh định lý 3.2 ta cũng có:
f*

C (¡ n ), D ( f

)( x) (( D f )

(ii). Lấy x ¡ n , giả sử ( f

SVTH: Dương Thị Thanh

)( x) ( f ( D

))( x), x ¡ n ,

Zn .

)( x) 0 .

23

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Vì

f

Chuyên ngành: Giải tích

( x)

y supp f để ( x

y) nên supp

f ( y), ( x


, hay tồn tại

I supp f

y ) supp . Do đó x supp f

supp

.

Vì tổng của hai tập đóng là tập đóng nên
supp ( f

Mệnh đề 3.4: Cho ,
(f

Nếu f

D ¡
)

S' ¡

n

n

)


D' ¡

, f

f (

S ¡

,

của hàm suy rộng f theo hàm

(supp f

)

n

n

supp ) .

. Khi đó:

f (

) (f

)


.

thì định nghĩa và tính chất của tích chập

cũng được phát biểu tương tự như trên.

3.1.3. Tích chập giữa các hàm suy rộng
Định nghĩa 3.3: Cho f , g

D' ¡

n

mà ít nhất một hàm suy rộng có giá

compact. Tích chập của hàm suy rộng
f

theo hàm suy rộng g , kí hiệu là

g , được xác định bởi:

f

g,

f ( x), g ( y ), ( x

Mệnh đề 3.5: Cho f , g


D' ¡

n

y) ,

D(¡ n ).

mà ít nhất một hàm suy rộng có giá

compact. Khi đó:
D (f

g)

D f

g

f

D g.

Chứng minh:
Với mỗi

D(¡ n ), ta có:

SVTH: Dương Thị Thanh


24

K33A- SP. Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chuyên ngành: Giải tích

D (f

g ),

( 1)

g)

f

g, D

=( 1)

f ( x), g ( y ), Dx ( x

y)

=( 1)

f ( x), g ( y ), Dy ( x


y)

= f ( x), D g ( y ), ( x

y)

= f ( x) D g ( y ), ( x

y)

= f
Suy ra D ( f

f

D g,

.

D g.

Do tính chất giao hoán nên
D (f

g)

D (g

f)


g D f

D f

g.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

D' ¡

Ví dụ 3.1: Với f

n

có

f

f

f.

Thật vậy,
f

,

f ( x),


( y ), ( x

y)

= f ( x ), ( x )
= f,
f,

.

( x), f ( y ), ( x

y)

= f ( y ), ( y )
= f,
f

f

Hơn nữa, D

.
f.

f

D f

D f


.

3.2. Phép biến đổi Fourier.
3.2.1. Phép biến đổi Fourier trong S ¡

n

.

a. Định nghĩa
SVTH: Dương Thị Thanh

25

K33A- SP. Toán