Một số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.73 MB, 52 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích số là một lĩnh vực toán học rất rộng, nó nghiên cứu lí thuyết xấp
xỉ hàm, giải gần đúng một lớp các bài toán, các phương trình thường gặp …
đặc biệt giải tích số chuyên nghiên cứu các phương pháp số giải gần đúng các
bài toán thực tế được mô hình hóa bằng ngôn ngữ toán học.
Trong nghiên cứu khoa học và trong thực tế có rất nhiều bài toán được
chuyển thành bài toán giải hệ phương trình
fi x1, x2 ,..., xn , (i 1,2,..., n).
(1)
Tuy nhiên, chỉ trong một số trường hợp đặc biệt ta mới có cách tìm nghiệm
đúng của hệ phương trình đó, các trường hợp còn lại đều phải tìm cách giải
gần đúng. Nếu hệ phương trình đó xuất phát từ bài toán thực tế thì biểu thức
fi x1, x2 ,..., xn , i 1, n của hệ (1) thường cũng chỉ biết gần đúng. Vì thế
việc giải gần đúng hệ phương trình đó chẳng những không thực hiện nổi mà
nhiều khi không có ý nghĩa. Đối với các bài toán đó thì việc xác định sai số là
một vấn đề đáng quan tâm.
Vấn đề tìm gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến có ý nghĩa lí
thuyết và ứng dụng rất lớn là cơ sở của môn giải tích số. Vì vậy em đã lựa
chọn đề tài cho khóa luận tốt nghiệp này là: " Một số phương pháp giải hệ
phương trình phi tuyến ".
2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu một cách có hệ thống kiến thức cơ bản của hai phương pháp
giải hệ phương trình phi tuyến là: phương pháp Homotopy và phương pháp
Newton. Sau đó vận dụng hai phương pháp này giải một số hệ phương trình
phi tuyến 2 ẩn, 3 ẩn, …
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
1
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Nghiên cứu việc giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp
Homotopy và phương pháp Newton.
- Ứng dụng của Maple trong việc giải hệ phương trình phi tuyến.
4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu.
- Nghiên cứu một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của phương pháp
Homotopy và phương pháp Newton để giải hệ phương trình phi tuyến.
- Ứng dụng của phần mềm toán học Maple trong việc giải hệ phương trình
phi tuyến.
Luận văn được chia làm 3 chương ( ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu
tham khảo):
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Một số phương pháp giải hệ phương trình phi tuyến.
Chương 3: Ứng dụng của Maple giải hệ phương trình phi tuyến.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu.
Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp.
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
2
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ
1.1.1. Số gần đúng
Ta nói rằng a là số gần đúng của số a * nếu như a không sai khác a *
nhiều, hiệu số
a
a* a là sai số thực sự của a , nếu
gần đúng thiếu, còn nếu
a
> 0 thì a là giá trị
0 thì a là giá trị gần đúng thừa của a * . Vì rằng
a
nói chung a * không biết nên cũng không biết , tuy nhiên có thể thấy tồn tại
a
0 thỏa mãn điều kiện : a* a
Số
còn
a
a
a
(1.1.1)
0.
thỏa mãn điều kiện (1.1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a ,
là sai số tương đối của a . Rõ ràng
a
,
a
càng nhỏ, càng tốt.
Chú ý: Nếu xét đoạn thẳng AB có số đo a = 100m và đoạn thẳng CD có
số đo b = 10m với
b
10
b
a=
b
= 0,01m. Khi đó
a
0.01
và
100
b
0.01
. Vậy
10
và phép đo AB chính xác của một phép đo thường được phản ánh
qua sai số tương đối.
1.1.2. Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số
Xét một số thập phân dạng tổng quát:
a
(
p
10 p ...
i
10i ...
p s
10 p s )
(1.1.2)
Trong đó a j
N j, a p
Nếu
0 thì a là số nguyên, nếu p s
p s
0, 0
aj
9.
phần không nguyên gồm k chữ số, nếu p s
k k 0 thì a có
thì a là số thập phân vô
hạn.
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
3
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
Làm tròn số a là bỏ đi 1 số các chữ số bên phải của số a để được số a
và số gần đúng với số a .
Quy tắc làm tròn: Xét số a ở dạng (1.1.2) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i,
phần bỏ đi là
thì:
a
(
10 p ...
i
i
10i ...
1
10i
2
0
i
Trong đó:
p
1
10i
2
i 1
p s
khi
i
10 p s )
2l , l ¢
;
khi
i
2l 1, l ¢
Ta kí hiệu sai số của phép làm tròn là Γ a , như vậy
là Γ a
1
.10i. Vì a* a
2
a* a
a a
a
a
a a
a
rõ ràng
, do đó khi làm tròn thì
sai số tuyệt đối tăng thêm Γ a .
1.1.3. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
Xét chữ số a ở dạng (1.1.2) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân,
khi đó chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa
hai chữ số khác 0 hoặc nó là những số 0 ở hàng được giữ lại.
Xét số a ở dạng (1.1.2):
a
Chữ số
j
(
p
10 p ...
i
10i ...
p s
10 p s )
ở (1.1.2) của số a là chữ số chắc nếu:
a
.10i ,
là
tham số cho trước.
Tham số
sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi
làm tròn vẫn là chữ số chắc, rõ ràng ai là chữ số chắc thì ai
1
cũng là chữ số
chắc.
a
(
p
10 p ...
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
i
10i ...
4
p s
10 p s )
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
1.1.4. Sai số tính toán
Giả sử phải tìm được đại lượng y theo công thức
y f x1, x2 ,..., xn
Gọi x*
x1* , x2* ,..., xn* , y*
f x* là giá trị đúng còn x
y f x là giá trị gần đúng của y * ,
x1, x2 ,..., xn ,
xi* xi . Giả sử f x1, x2 ,..., xn là
xi
hàm số khả vi liên tục thì:
n
y
y y
*
*
1
f x1, x2 ,..., xn
*
2
*
n
f x , x ,..., x
f x'i
=
xi xi*
i 1
với f 'x là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian.
i
Vì f là hàm khả vi liên tục, xi khá bé nên
n
y
i 1
Vậy
f ' ( x1 , x2 , ..., xn ) x
xi
(1.1.3)
n
y
y
y
xi
i 1
ln f
xi
(1.1.4)
a. Sai số của phép toán cộng trừ
Nếu y
n
xi thì y = 1; vì vậy ta có:
'
xi
i 1
n
xi
y
i 1
n
Chú ý rằng: Nếu tổng đại số y
xi bé về giá trị tuyệt đối thì
i 1
y
lớn,
y
phép tính sẽ kém chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến
hiệu quả của hai số bằng nhau.
b. Sai số của phép nhân, chia
n
xi
Giả sử y =
i =1
p -q
. Áp dụng (1.1.3) và (1.1.4) ta có:
xp
i
i =1
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
5
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
y
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
x1 ...
xq và
y.
y
y
c. Sai số của phép lũy thừa, khai căn, nghịch đảo
¡ , x > 0 ), khi đó
Xét y x (
Như vậy, nếu
x.
y
>1 thì độ chính xác là giảm đi, nếu
xác tăng lên. Nếu
1 thì độ chính
1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác không đổi, nếu
1
, k ¥ * (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.
k
1.1.5. Bài toán ngƣợc của sai số
Giả sử đại lượng y được tính theo công thức: y f x1, x2 ,..., xn .
Yêu cầu đặt ra là cần tính
xi như thế nào để
y
, với
là số cho
trước. Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có
n
f
. xi
xi
y
i 1
Bất đẳng thức trên sẽ thỏa mãn nếu
xi
n. f x'i
.
Kết luận: Nếu các biến xi có vai trò đều nhau thì ta có thể lấy
xi
n. f x'i
khi đó
y
.
1.2. MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO
Ma trận nghịch đảo của ma trận vuông A cấp n là một ma trận, kí hiệu
A 1 thỏa mãn điều kiện: A. A 1
A 1. A I .
Ma trận A có ma trận nghịch đảo A 1 khi và chỉ khi det A
0 và khi
đó ta có thể tìm A 1 bằng cách tính giá trị phần bù đại số Aij ; i, j 1,2,.., n. Sau
đó ta có thể áp dụng công thức
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
6
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
A
1
A11
A12 ... A1n
1 A21
det A M
An1
A22 ... A2 n
M
M
An 2 ... Ann
Ngoài ra ta cũng có thể áp dụng phương pháp dưới đây hay được dùng
trong khi lập chương trình tính toán bằng máy tính
A, I
a11
a12 ... a1n
1 0 ... 0
a21
a22 ... a2 n
0 1 ... 0
M
an1
M
M M M M
an 2 ... ann 0 0 ... 1
(1.6.1)
Bằng phép biến đổi sơ cấp lên hàng của ma trận A, I
này cho đến khi
được ma trận dạng
1
0 ... 0
C1, n
1
C1, n
0
1 ... 0
C2, n
1
C2, n
1
M
Cn, n
M M M M
0 0 ... 1 Cn, n
Khi đó: A
1
C1, n
1
C1, n
C2, n
1
C2, n
1
M
Cn, n
M
Cn, n
2
2
... C1, 2 n
2
... C2, 2 n
2
M
... Cn, 2 n
(1.6.2)
... C1, 2 n
2
... C2, 2 n
2
M
... Cn, 2 n
Để tìm các thành phần Cij ta áp dụng công thức vào ma trận A, I
sao
cho ma trận A trở thành ma trận đơn vị. Muốn vậy, ở bước l 1,2,..., n 1 ta
phải chia các thành phần của hàng thứ l cho all(l
1)
và dùng phép biến đổi sơ
cấp đối với hàng như thế nào để cho tất cả các thành phần ở cột thứ l bằng 0
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
7
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
trừ all(l 1) . Cũng lưu ý rằng, mỗi lần chia cho all(l
tra xem all(l
1)
1)
như vậy bắt buộc phải kiểm
có khác 0 hay không?
Cụ thể, sau khi chia hàng thứ nhất của (1.6.1) cho a11 , ta có:
aij
aij(1)
1
[A, I] =
a12 / a11 ... a1n
a21
a21. aij
a11
(1)
a22
... a2(1)n
M M
an1
ở đây a2(1)j a2 j
a11
M
(1)
an(1)2 ... ann
1 / a11
0 ... 0
a2, n
1 ... 0
1
M
M
M
0
0 ... 1
; j 1,2,..., n 1.
Cách làm này được áp dụng vào hàng thứ 3, 4, … cho đến hàng cuối
cùng là hàng thứ n để cho a31 , a41 ,..., an1 trở thành số 0.
ai1. a1 j
Vì vậy, với mỗi hàng i: aij(1) aij
a11
; i 1,2,..., n 1.
Bây giờ giả thiết là ta đưa được ma trận về dạng:
1
0 ... a11(l 1) ... a1(nl 1)
a1,(ln 1)1 ... 0
0
( l 1)
1 ... a21
... a2(ln 1)
a2,(l n1)1 ... 0
M M
0
M
M
M
( l 1)
0 ... an(l1 1) ... ann
M
an(l, n1)1 ... 1
Hai bước cơ bản cần được tiến hành đối với ma trận này là:
1. Với mỗi hàng thứ l , chia tất cả al(lj
2. Với mỗi i 1,2,..., n; i 1 thay al(lj
aij(l ) aij(l
1)
alj(l 1) . ail(l
1)
/ all(l 1) ; j
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
1)
1)
cho all(l 1) ; i l , l 1,..., n 1.
bằng:
p, l 1,..., l n.
8
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
Và vấn đề tìm A 1 trở thành tìm:
(l )
lj
a
alj(l 1)
all(l 1)
;
l 1,2,..., n; j l , l 1,..., l n.
aij(l ) aij(l 1) ail(l 1) a (jll ) ;
j 1,2,..., l 1, l 1,..., n; j l , l 1,..., l n.
Thông thường i chỉ số dòng, j chỉ số cột, còn l gán cho giá trị 0 và
sau đó được thay bằng l 1, là chỉ số của các phần tử đường chéo hiện tại.
Nên thay alll 1 bằng Q, để dễ dàng với mỗi l cố định các thành phần ở hàng
thứ l có thể chia cho all(l 1) . Nếu không chuyển alll 1 đến chỗ Q, thì
l
lj
a
all(l
all(l
1)
1)
1 , … sẽ giữ nguyên giá trị của nó vì nó chỉ chia cho 1 thôi.
1.3. ÁNH XẠ CO
1.3.1. Định nghĩa
*) Định nghĩa 1: Ta gọi là không gian metric một tập hợp X
0 cùng
với một ánh xạ d từ tích Descates X X vào tập hợp số thực ¡ thỏa mãn các
tiên đề sau đây:
(1) ( x, y X ) d ( x, y ) 0, d ( x, y) 0
(2) ( x, y X ) d ( x, y)
x y,
d ( y, x) ,
(3) ( x, y, z X ) d ( x, y ) d ( x, z ) d ( z, y )
(Tiên đề đồng nhất).
(Tiên đề đối xứng).
(Tiên đề tam giác).
Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d x, y gọi là khoảng cách giữa hai
phần tử x và y . Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề (1), (2), (3)
gọi là hệ tiên đề metric.
*) Định nghĩa 2: Cho hai không gian metric
M1 ( X , d1 ); M 2 ( X , d2 ) .
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
9
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
Ánh xạ A không gian M1 vào không gian M 2 gọi là ánh xạ co nếu tồn
tại số
,0
1 sao cho: d2 ( Ax, Ax ')
. d1 ( x, x '),
x, x ' X .
1.3.2. Định lí
Mọi ánh xạ co A không gian metric đủ M
điểm bất động x duy nhất, nghĩa là x
X , d vào chính nó đều có
X thỏa mãn hệ thức Ax x .
1.4. MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÍ SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC VÀ
KHẢ VI CỦA HÀM SỐ
*) Định nghĩa 1.4.1
¡
Cho hàm số f : D
tại x0 , kí hiệu:
lim f x
x
Nếu
¡ . Hàm f được gọi là có giới hạn L
L
x0
0,
D
0:|f x
Trong đó x D và 0
L|
x x0
.
.
Theo định nghĩa, sự tồn tại của giới hạn là tính độc lập của vectơ chuẩn
được sử dụng. Quy ước của chuẩn có thể được sử dụng để thỏa mãn điều kiện
trong định nghĩa này. Giá trị đặc trưng của
chuẩn, nhưng sự tồn tại của
sẽ phụ thuộc vào việc lựa chọn
sẽ độc lập với chuẩn.
Mặc dù có thể sử dụng những chuẩn khác nhau, tính liên tục độc lập
với mỗi sự lựa chọn.
*) Định nghĩa 1.4.2
¡
Cho hàm số f : D
D
kiện là tồn tại lim f x và lim f x
x
x0
x
x0
¡ . Hàm f liên tục tại x0
D với điều
f x0
Hơn nữa, f liên tục trên tập D nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc D .
Khái niệm này được biểu thị bằng cách viết f
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
10
C D
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
Chúng ta có thể xác định ngay được giới hạn và tính liên tục cho các
hàm số từ ¡
n
vào ¡
n
bằng cách xét các hàm toạ độ từ ¡ n vào ¡ .
*) Định nghĩa 1.4.3
Cho hàm số F : D
¡
F x
Trong đó f i : ¡
Khi và chỉ khi
x0
lim fi x
x
lim F x
x0
t
,
L
L1 , L2 ,..., Ln
t
L i , i 1,2,..., n.
x0
Hàm số F liên tục tại x0
x
có dạng
i .Ta xác định:
lim F x
x
¡
f1 x , f 2 x ,..., f n x
¡ ,
n
D
D với điều kiện là tồn tại lim F x và
x
x0
F x0 . Mở rộng ra, F liên tục trên tập D nếu F liên tục với mọi
x D . Khái niệm này được biểu thị bằng cách viết F C D .
Cho hàm số đi từ ¡ vào ¡ , tính liên tục có thể thường được chứng tỏ
bằng cách chứng minh rằng hàm số đó khả vi. Mặc dù đây là định lý tổng
quát hoá của các hàm số nhiều biến số, đạo hàm (hay đạo hàm toàn phần) của
một hàm số nhiều biến số là hoàn toàn được thoả mãn và sẽ không được thể
hiện ở đây. Chúng ta đi xét định lý dưới đây, định lý liên quan giữa tính liên
tục của một hàm số n biến số tại một điểm với đạo hàm riêng của hàm số tại
một điểm.
*) Định lý 1.4.4
Cho hàm số f : D
¡
D
hàm riêng của f và hằng số
¡
và x0
0 , tồn tại K
D . Nếu tồn tại tất cả các đạo
0 sao cho khi x x0
và
x D , ta có:
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
11
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
f x
xj
K
i 1,2,..., n
Khi đó f liên tục tại x0 .
*) Định nghĩa 1.4.5
Một hàm số G từ tập D
¡ tới ¡
n
có điểm bất động p D nếu
G(p)=p.
Định lý dưới đây mở rộng định lý về điểm bất động tới n-chiều. Định
lý này là trường hợp đặc biệt của định lý ánh xạ co.
*) Định lý 1.4.6
Cho D
t
x1 , x2 ,..., xn | ai
bi , i 1,2,..., n , cho tập hợp các hằng
xi
số a1 , a2 ,..., an và b1 , b2 ,..., bn . Giả sử rằng G là hàm số liên tục từ D
¡
n
¡ tới
có tính chất G ( x) D khi x D . Khi đó G có điểm bất động trong D.
Giả sử, mở rộng ra, tất các hàm số thành phần của G có đạo hàm riêng
và tồn tại một hằng số K 1 sao cho
gi x
xj
K
n
khi x D ,
Với mỗi j 1,2,..., n và mỗi hàm thành phần gi . Khi đó dãy x k
được xác định bởi một số tuỳ ý đã chọn x 0
xk
G xk
1
,
k 0
D và được sinh bởi
k 1,
hội tụ tới điểm bất động duy nhất p D và
xk
p
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
Kk
x1
1 K
12
x0
.
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
1.5. PHƢƠNG PHÁP RUGER – KUTTA GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI
PHÂN THƢỜNG
Xét bài toán có giá trị ban đầu sau đây:
y
dy
dx
y x0
f x, y
(1.5.1)
y0
(1.5.2)
Để giải bài toán (1.5.1), (1.5.2), xuất phát từ giá trị ban đầu y0 tìm được giá
trị gần đúng y1 tại x0 h x1 theo công thức
y x0 h ; y1 y0
y0
y0
pr1K1 h
pr 2 K 2 h
... prr K r h ,
trong đó:
x0
i
i
Các
,
i
ij
i
,
y0
i
i1
là các hằng số;
ij
r
h,
K1 h
1
...
ii 1
0; Ki h
Ki
hf
h ,
1
i
,
i
.
, pri được chọn sao cho l đủ lớn, hàm
h
y x0 h
y0
pr1K1 h
pr 2 K2 h
... prr K r h
thỏa mãn
r
0
r
0
...
1
r
0
0,
l 1
r
0.
Bây giờ ta xét một vài trường hợp riêng thường dùng.
+) Trường hợp r = 1
y x0 h
y0 hf x0 , y0 .
+) Trường hợp r = 2
y1 y0
1
K1 K 2
2
1
h f x0 , y0
2
f x0 h, y0 K1 .
+) Trường hợp r = 3
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
13
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
1
K1 4 K 2 K 3
6
y x0 h ; y1 y0
Với
K1 hf x0 , y0 , K 2
hf x0
h
K1
, y0
, K3 hf x0 h, y0 K1 2K 2 .
2
2
+) Trường hợp r = 4
y x0 h ; y1 y0
1
K1 2K 2 2 K 3 K 4 ,
6
Với
K1 hf x0 , y0 , K 2
K3 hf x0
hf x0
h
K2
, y0
K4
2
2
h
K1
, y0
,
2
2
hf x0 h, y0 K3 .
Như vậy
y0 y1 y0
1
K1 2 K 2 2 K 3 K 4 .
6
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
14
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
CHƢƠNG 2: MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI
HỆ PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
2.1. KHÁI NIỆM HỆ PHƢƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
Hệ phương trình phi tuyến là hệ phương trình có dạng:
f1 x1 , x2 ,..., xn
0
f 2 x1 , x2 ,..., xn
0
M
M
M
f n x1 , x2 ,..., xn
Trong đó mỗi hàm
x
(2.1.1)
0
f i được xem như là ánh xạ của một vectơ
x1, x2 ,..., xn từ không gian n - chiều ¡ n vào tập số thực ¡ .
Hệ gồm n phương trình phi tuyến n ẩn cũng có thể được biểu diễn bằng
định nghĩa 1 hàm số F ánh xạ ¡
F x1 , x2 ,..., xn
n
vào ¡
n
như sau
f1 x1 , x2 ,..., xn , f 2 x1 , x2 ,..., xn ,..., f n x1, x2 ,..., xn
t
.
Nếu ký hiệu vectơ được sử dụng để biểu diễn các biến x1 , x2 ,.., xn , hệ
(1.9.1) thừa nhận dạng
F x
0
(2.1.2)
Các hàm f1, f 2 ,..., f n là các hàm toạ độ của F .
Ví dụ: Xét hệ phương trình 3 ẩn
1
2
3x1 cos x2 x3
x12 81 x2
0.1
e
x1x2
2
0
sin x3 1.06 0
20 x3
10
3
3
0
Có thể đưa về dạng phương trình (1.9.2) bằng cách xác định 3 hàm tọa
độ f1, f 2 , f3 từ ¡
3
vào ¡ như sau:
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
15
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
f1 x1 , x2 , x3
3x1 cos x2 x3
f 2 x1 , x2 , x3
x12 81 x2
f3 x1 , x2 , x3
e
x1x2
Và khi đó xác định F :
F x F x1, x2 , x3
2
0.1
sin x3 1.06
10
20 x3
¡
1
2
3
3
¡
3
3
t
f1 x1 , x2 , x3 , f 2 x1 , x2 , x3 , f3 x1 , x2 , x3
= 3x1 cos x2 x3
1 2
, x1 81 x2 0.1
2
2
sin x3 1.06, e
x1x2
20 x3
10
3
t
3
2.2. PHƢƠNG PHÁP HOMOTOPY
Phương pháp Homotopy (hay phương pháp thác triển) là một phương
pháp dùng để giải hệ phương trình phi tuyến ngoại trừ một số các bài toán.
Đặc biệt, để giải bài toán có dạng
F(x)=0
có nghiệm x* , ta xét tập hợp các bài toán với việc sử dụng tham số
có giá
trị nằm trong đoạn 0,1 . Một bài toán với nghiệm x(0) tương ứng với
và bài toán với ẩn nghiệm x 1
x* tương ứng với
0,
=1.
Cho ví dụ, giả sử x 0 là giá trị gần đúng với nghiệm của F x*
0.
Ta xác định
G : 0,1
¡
n
¡
n
bởi
G( , x ) =
F( x ) + (1- ) [ F( x ) - F( x (0)) ]
=F( x ) + (
- 1)F( x (0)).
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
16
(2.2.1)
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
Chúng ta sẽ giả thiết rằng với mỗi giá trị khác nhau của
, tồn tại nghiệm
của phương trình
G
Khi
,x
0
=0, phương trình này có dạng
0 = G( 0, x ) = F( x ) – F( x 0 ) ,
Và x 0 là một nghiệm. Khi
1 , phương trình có dạng
0 = G( 0, x ) = F( x ) ,
Và x 1
x* là một nghiệm.
Hàm G, với tham số
, thoả mãn những điều kiện trên với một họ các
hàm số có thể đưa từ giá trị đã biết x 0 tới nghiệm x 1
x* . Hàm G được
gọi là một phép tính đồng luân giữa hàm G(0, x ) = F( x ) – F( x (0)) và hàm
G(1, x ) = F( x ) .
Bài toán thác triển là:
Xác định một phương pháp để xuất phát từ nghiệm đã biết x(0) của
G( 0, x ) = 0 tới nghiệm chưa biết x 1
Trước tiên, ta giả sử rằng x
x* của G(1, x ) = 0 để giải F( x )= 0.
là nghiệm duy nhất của phương trình
0,1
G( , x ) = 0,
tập x
|0
x(0) với x 1
(2.2.2)
1 có thể được xem như là một đường cong trong ¡
x* được tham số hoá bởi
n
nối
. Một phương pháp thác triển được
thực hiện qua một dãy các bước lần lượt kéo dài đường cong từ xi tới xi
tương ứng ta được x
m
k
k 0
trong đó
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
17
0
0
1
...
m
1.
Lớp K33C – SP Toán
1
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
Nếu hàm số
(2.2.2) theo
và G khả vi, khi đó lấy đạo hàm phương trình
x
ta nhận được
G
0=
Và giải cho x
,x
G
,x
,
x
x
nhận được
G
x
,x
1
G
,x
.
x
Đây là hệ phương trình vi phân với điều kiện ban đầu x(0) .
Từ
G
,x
1 F x 0 .
F x
Ta có thể xác định
G
x
,x
f1
x
x1
f1
x
x2
...
f1
x
xn
f2
x
x1
f2
x
x2
...
f2
x
x2
M
M
fn
x
x2
M
fn
...
x
xn
fn
x
x1
=J x
là ma trận Jacobian, và
G
,x
= F(x(0))
Cho nên, hệ phương trình vi phân trở thành
x
J x
1
F(x(0)) ,
với 0
1
(2.2.3)
với điều kiện ban đầu x(0).
Định lý dưới đây đưa ra điều kiện để có thể thực hiện được phương
pháp thác triển.
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
18
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
Định lý 2.2.1
Cho F(x) là hàm khả vi liên tục với x ¡ n . Giả sử rằng ma trận Jacobian
J x là khả nghịch với mọi x ¡
1
J x
n
và tồn tại một hằng số M sao cho
M , x ¡ n.
Khi đó, với mỗi x 0 thuộc ¡ n , tồn tại duy nhất hàm x
G
Hơn nữa, x
0,1
0,
,x
sao cho
khả vi liên tục và
x
1
J x
F(x(0)) .
Ví dụ dưới đây chứng tỏ dạng của hệ các phương trình vi phân liên kết
với hệ phương trình phi tuyến.
Ví dụ 1: Xét hệ phương trình phi tuyến
f1 x1 , x2 , x3
3x1 cos x2 x3
f 2 x1 , x2 , x3
x12 81 x2
f3 x1 , x2 , x3
e
x1x2
20 x3
1
2
0.1
2
0
sin x3 1.06 0
10
3
3
0
Ma trận Jacobian là
3
x3 sin x2 x3
J(x) = 2 x1
x2e
Cho x 0
162( x2 1)
x1 x2
x1e
x1 x2
x2 sin x2 x3
cos x3
20
t
0,0,0 , khi đó
1.5
F(x)= 0.25
10 / 3
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
19
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
Hệ các phương trình vi phân là
x1' ( )
3
x3 sin x2 x3
x2' ( )
2 x1
162( x2 1)
x3' ( )
x2e
x1x2
x1e
x2 sin x2 x3
cos x3
x1x2
20
1
1.5
0.25
10 / 3
Nói chung, hệ phương trình vi phân mà chúng ta cần giải cho bài toán
thác triển có dạng:
dx1
d
dx2
d
M
dxn
d
1
, x1 , x2 ,..., xn ,
2
, x1 , x2 ,..., xn ,
n
, x1 , x2 ,..., xn ,
Trong đó
1
, x1 , x2 ,..., xn
2
, x1 , x2 ,..., xn
f1 x0
J x1 ,..., xn
M
1
, x1 , x2 ,..., xn
n
f 2 x0
(2.2.4)
M
fn
x0
Sử dụng phương pháp Runger- Kutta ở trường hợp thứ 4 để giải hệ phương
trình, trước tiên ta chọn 1 số tự nhiên N > 0 và giả sử h 1 0 / N . Phân chia
đoạn [0,1] thành N đoạn con với những điểm lưới
Ta sử dụng kí hiệu
xỉ tới xi
1,0
j
ij
j
jh ,
j 1,2,..., N .
, j 0, 1, , N và i 1, , n để kí hiệu 1 số xấp
với các điều kiện ban đầu, đặt
x1 0 ,
Giả sử rằng
x2 0 , ...,
2,0
1, j
,
2, j
,...,
n ,0
n, j
xn 0 .
đã được tính. Ta thu được
1, j 1
,
2, j 1
,...,
n, j 1
dùng cho phương trình:
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
20
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
k1, i h
i
j
,
1, j
,
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
2, j
,...,
n, j
,
i 1,2,..., n;
k2, j h
i
j
h
,
2
1, j
1
k1,1 ,
2
2, j
1
k1,2 ,...,
2
1
k1,n ,
2
i 1,2,..., n;
k3, j h
i
j
h
,
2
1, j
1
k 2,1 ,
2
2, j
1
k 2,2 ,...,
2
n, j
1
k 2,n ,
2
i 1,2,..., n;
k4, j h
i
j
h
,
2
1, j
1
k 3,1 ,
2
2, j
1
k 3,2 ,...,
2
n, j
1
k 3,n ,
2
i 1,2,..., n;
i, j
1
k1,i + 2k 2,i + 2k 3,i + k 4,i ,
6
n, j
Và cuối cùng
i, j 1
i 1,2,..., n .
Ta sử dụng kí hiệu vectơ
k1,1
k2,1
k1, 2
k1
M
k1, n
k2, 2
, k2
M
k2, n
k3,1
k3, 2
, k3
M
k3, n
k4,1
, k4
k4, 2
M
k4, n
,
và
1, j
2, j
wj
M
n, j
Để rút gọn việc biểu diễn
Phương trình (2.2.4) cho ta x 0
k1 h
1
j
,
1, j
,...,
n, j
2
j
,
1, j
,...,
n, j
x
0
.F x 0
M
n
j
,
1, j
,...,
j 0,1,..., N
w 0 , và
h
J
1, j ,...,
1
n, j
.F x 0
n, j
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
21
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
h
k2
k3
x
j 1
.F x 0
;
1
J wj
1
k1
2
J wj
1
k2
2
J wj
1
k3
2
x
j
1
k1 2k 2 2k 3 k 4
6
n
x 1 là số gần đúng với x* .
h
h
1
J wj
h
k4
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
;
.F x 0
1
.F x 0 ;
1
F(x(0)) ;
và
Cuối cùng, x
wj
1
k1 2k 2 2k 3 k 4 .
6
Ví dụ 2: Ta tìm nghiệm gần đúng của hệ
f1 x1 , x2 , x3
3x1 cos x2 x3
f 2 x1 , x2 , x3
x12 81 x2
f3 x1 , x2 , x3
e
x1x2
20 x3
1
2
0.1
2
0
sin x3 1.06 0
10
3
3
0
Ma trận Jacobian là
J x
3
x3 sin x2 x3
2 x1
162( x2 1)
x2e
Lấy x 0
x1x2
x1e
x2 sin x2 x3
cos x3
x1x2
20
t
0,0,0 , khi đó
F x 0
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
10
1.5,0.25,
3
22
t
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
J x
0
3
0
0
0
16.2
0
0
1
20
Với N = 4 và h = 0.25, ta có
k1 h
J x
0
1
F x 0
3
0.25 0
0
1
0
0
16.2 1
0
20
1.5
0.25
10 / 3
t
0.125,- 0.004222203325,- 0.1308996939 ;
k2 = h
J 0.0625, 0.002111101663, 0.06544984695
3
= 0.25 0.125
0.002111380229
k2
0.9043289149.10
15.85800153
0.06250824706
5
1.5,0.25,10 / 3
0.2916936196.10
0.9978589232
20
0.1249999773, 0.003311761993, 0.1309232406
k3 h
1
6
1
t
1.5
0.25
10 / 3
t
J 0.06249998865, 0.001655880997, 0.0654616203
1
1.5,0.25,10 / 3
t
t
0.1249999844, 0.003296244825, 0.130920346 ;
k4 h
J 0.1249999844, 0.003296244825, 0.130920346
1
1.5,0.25,10 / 3
t
0.1249998945, 0.00230206762, 0.1309346977 ;
và
x
1
w1 w 0
1
k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4
6
t
0.1249999697, 0.00329004743, 0.1309202608 .
Tương tự, ta có:
t
x( 2) = w2 = 0.2499997679, 0.004507400128, 0.2618557619 .
t
x( 3) = w3 = 0.3749996956, 0.003430352103, 0.3927634423 .
Và
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
23
Lớp K33C – SP Toán
t
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
t
x( 4) = w4 = 0.4999999954,0.126782 10 7 , 0.5235987758 .
Kết quả thu được là rất chính xác, từ đó nghiệm thực sự là gần đúng
(0.5, 0, -0.52359877).
*) Chúng ta chú ý rằng, trong phương pháp Runger – Kutta, các bước tương
tự
ki h
J x
i
k
1
i 1 i 1
F x 0
có thể được viết như giải hệ phương trình tuyến tính
J x
i
k
i 1 i 1
hF x 0 , với k i .
ki
Thuật toán thác triển:
Để tính gần đúng nghiệm của hệ phương trình phi tuyến F(x) = 0 cho
một giá trị xấp xỉ ban đầu x:
Nhập vào: Số n của các phương trình và ẩn số; số nguyên N > 0; giá trị
xấp xỉ ban đầu x ( x1, x2 ,..., xn )t .
Kết quả: Nghiệm gần đúng x ( x1, x2 ,..., xn )t .
Bước 1: Đặt h = 1/ N;
b = -h F(x).
Bước 2: Cho i = 1, 2, …, N, làm các bước từ 3 – 7.
Bước 3: Đặt A = J x ;
Giải hệ phương trình tuyến tính Ak 1 = b với k 1 .
Bước 4: Đặt A = J ( x
1
k1 ) ;
2
Giải hệ phương trình tuyến tính A k 2 = b với k 2 .
Bước 5: Đặt A = J ( x
1
k2 ) ;
2
Giải hệ phương trình tuyến tính A k 3 = b với k 3 .
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
24
Lớp K33C – SP Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: TS. Khuất Văn Ninh
Bước 6: Đặt A = J ( x k3 ) ;
Giải hệ phương trình tuyến tính A k 4 = b với k 4 .
Bước 7: Đặt x = x + x x (k1 2k 2 2k3 k 4 ) / 6 .
Bước 8: Kết quả ( x1, x2 ,..., xn ) .
Kết thúc.
2.3. PHƢƠNG PHÁP NEWTON
Để xây dựng thuật toán đi tới một phương pháp điểm bất động thích
hợp trong không gian một chiều, ta tìm một hàm
g ( x) x
có tính chất
( x) f ( x)
đưa hội tụ toàn phương tới điểm bất động p của hàm g. Từ điều kiện này,
phương pháp Newton được phát triển bởi việc chọn
rằng f '( x)
( x) 1 / f '( x) , giả sử
0
Sử dụng đồng dạng xấp xỉ trong không gian n chiều dẫn đến ma trận
a11 ( x) a12 ( x) ... a1n ( x)
A x
a21 ( x) a22 ( x) ... a2 n ( x)
(2.3.1)
M
M
M
an1 ( x) an 2 ( x) ... ann ( x)
Ở đây mỗi giá trị aij x là một hàm từ ¡
n
vào ¡ . Điều này đòi hỏi A x
được tính sao cho
G x
x A( x) 1 F x
đưa hội tụ toàn phương tới nghiệm của F( x ) = 0, giả thiết rằng A x khả
nghịch gần điểm bất động p của G.
Định lí 2.3.1:
Giả sử p là một nghiệm của G x
x . Giả sử rằng tồn tại 1 số
>0
thỏa mãn
SVTH: Nguyễn Thị Ngọc Thuý
25
Lớp K33C – SP Toán
