một số hàm số học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.48 MB, 76 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
----
NGUYỄN THỊ HƢỜNG
MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Đại số
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
ThS. DƢƠNG THỊ LUYẾN
HÀ NỘI - 2011
Nguyễn Thị Hường
1
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Mục lục
Mục lục ........................................................................................................... 1
Lời cam đoan ................................................................................................. 2
Lời cảm ơn ..................................................................................................... 3
Lời nói đầu ..................................................................................................... 4
Phần 1. Kiến thức cơ bản ............................................................................. 6
1. Tính chia hết trong vành số nguyên .................................................... 6
2. Ƣớc chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất ........................................ 6
3. Số nguyên tố ........................................................................................ 8
4. Đồng dƣ ...............................................................................................10
5. Hệ nhị phân..........................................................................................13
Phần 2. Một vài hàm số học..........................................................................14
1. Hàm số học ..........................................................................................14
2. Hàm phần nguyên y=[x] ......................................................................15
3. Hàm tổng các ƣớc ................................................................................42
4. Hàm số các ƣớc ...................................................................................49
5. Hàm Ơle
m .....................................................................................57
6. Một số hàm khác .................................................................................68
Kết luận ..........................................................................................................74
Tài liệu tham khảo ........................................................................................75
Nguyễn Thị Hường
2
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan khóa luận này đƣợc hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực
của bản thân,cùng với sự chỉ bảo và tận tình giúp đỡ của cô giáo Dương Thị
Luyến.
Khóa luận này không trùng với kết quả của các tác giả khác.Nếu trùng
tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2011
Sinh viên
Nguyễn Thị Hƣờng
Nguyễn Thị Hường
3
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Lời cảm ơn
Trƣớc tiên với sự biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn cô giáo
Dương Thị Luyến đã hƣớng dẫn và chỉ bảo tận tình cho em trong suốt thời
gian học tập và hoàn thành khóa luận này.
Em cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trƣờng Đại học Sƣ Phạm
Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa toán đã dày công truyền đạt cho
em những kiến thức quý báu trong suốt quá trình học tập và rèn luyện tại
trƣờng.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới tất cả bạn bè, những ngƣời đã giúp
đỡ động viên tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận này.
Hà Nội, ngày 15 tháng 5 năm 2011.
Sinh viên
Nguyễn Thị Hƣờng
Nguyễn Thị Hường
4
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Lời nói đầu
1. Lý do chọn đề tài
Số học là bộ môn toán học ra đời từ rất sớm và kể từ đó đến nay nó luôn
đƣợc các nhà toán học quan tâm nghiên cứu, bởi lẽ không chỉ vì sự bí ẩn của
các con số mà nó còn có những ứng dụng quan trọng trong hệ thống toán học,
cũng nhƣ cho cuộc cách mạng khoa học kỹ thuật hiện nay nhƣ lý thuyết mật
mã, kỹ thuật số,…Đặc biệt là ứng dụng thông qua các hàm số học.
Ngày nay các kiến thức về số học ngày càng đƣợc phổ biến rộng rãi ở
nƣớc ta, đặc biệt trong chƣơng trình giảng dạy bộ môn toán ở nhà trƣờng phổ
thông.
Hàm số học là khái niệm giữ vai trò vị trí trung tâm trong khoa học toán
học. Đảm bảo vị trí trung tâm của khái niệm hàm số sẽ tăng cƣờng tính thống
nhất của môn toán phổ thông, góp phần xóa bỏ danh giới giả tạo giữa các
phân môn của môn toán, giữa các phần khác nhau của chƣơng trình.
Bản thân tôi cũng muốn tìm hiểu và nghiên cứu sâu hơn về các hàm số
học và đã chọn đề tài này cho luận văn của mình.
2. Mục đích, yêu cầu của đề tài
Đề tài nhằm hệ thống lại một số hàm số học thông dụng: kiến thức liên
quan và bài tập áp dụng.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu: Hàm số học.
Phạm vi nghiên cứu: Do hạn chế về mặt thời gian cũng nhƣ năng lực bản
thân nên khóa luận chỉ dừng lại nghiên cứu ở một số hàm số học thông dụng.
Nguyễn Thị Hường
5
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu các vấn đề:
Phần 1. Kiến thức cơ bản.
Phần 2. Một số hàm số học.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu, phân tích các tài liệu.
Hệ thống khái quát các vấn đề.
Sƣu tầm giải quyết các bài toán.
Tổng kết kinh nghiệm
Nguyễn Thị Hường
6
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Phần 1. Kiến thức cơ bản
1. Tính chia hết trong vành số nguyên
1.1. Định nghĩa
Cho hai số nguyên a, b. Nếu có số nguyên c sao cho a = b.c thì ta nói b
chia hết a ( b là ƣớc của a) kí hiệu b\a.
Khi đó, ta cũng nói a chia hết cho b (a là bội của b) kí hiệu aMb.
1.2. Các tính chất cơ bản của tính chia hết
i, a\0
a
0.
ii, a\a
a
0.
iii, 1\a
a.
iv, a\b và b\c thì a\c.
Nếu a\b và b\c thì a, b là hai số đối nhau a =
v, Nếu a\ bi, i = 1, n thì a\
b.
n
¢,
bi .xi , xi
i = 1, n .
i 1
2. Ƣớc chung lớn nhất (ƢCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN)
2.1. Ƣớc chung lớn nhất
a. Định nghĩa
Định nghĩa 1. Cho n số nguyên a1, a2, …, an. Một số nguyên c đƣợc gọi
là ƣớc chung của các số nguyên a1, a2, …, an, nếu c là ƣớc của mỗi số đó.
Định nghĩa 2. Một ƣớc chung d của các số nguyên a1, a2, …, an, đƣợc
gọi là UCLN nếu mọi ƣớc chung của chúng đều là ƣớc của d, tức là số
nguyên d gọi là UCLN của a1, a2, …, an nếu thoả mãn 2 điều kiện sau:
i, ai Md,
Nguyễn Thị Hường
i = 1, n .
7
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
ii, Nếu d’ là số nguyên mà ai Md’,
i = 1, n thì d Md’. Nếu d là UCLN
của các số nguyên a1, a2, …, an, thì d cũng là UCLN của chúng. Nên trong
vành số nguyên ¢ ta quy ƣớc lấy số dƣơng trong 2 số
d làm UCLN.
Kí hiệu: d = (a1, a2, …, an).
Định nghĩa 3. Các số nguyên a1, a2, …, an, đƣợc gọi là nguyên tố cùng
nhau nếu chúng nhận 1 làm UCLN. Nếu các số nguyên a1, a2, …, an, đôi một
nguyên tố cùng nhau thì chúng đƣợc gọi là các số nguyên tố cùng nhau từng
đôi một hay nguyên tố sánh đôi.
b. Tính chất của ƢCLN
i, d là UCLN của a1, a2, …, an, thì
¢ , i 1, n sao cho d =
xi
n
ai .xi .
i 1
ii, a1, a2, …, an, nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi
xi
¢ , i 1, n sao cho
n
1=
ai .xi .
i 1
iii, d = (a1, a2, …, an)
1=
a
a1 a2
,
,..., n
d d
d
.
iv, (m.a1, m.a2, …, m.an) = m(a1, a2, …, an), m 0 .
a
a1 a2
,
,..., n
c c
c
=
(a1 , a 2 ,..., an )
.
c
v, Nếu a\(b.c) và (a,b) = 1 thì a\c.
vi, Nếu mỗi số nguyên a1, a2, …, an, nguyên tố với mọi số b1, b2, …,bn thì
(a1, a2, …, an, b1, b2, …,bn ) = 1.
2.2. Bội chung nhỏ nhất
a. Định nghĩa
Định nghĩa 1. Một số nguyên c đƣợc gọi là bội chung của các số
a1, a2, …, an, nếu c là bội của mỗi số đó.
Nguyễn Thị Hường
8
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Định nghĩa 2. Một bội chung m của các số nguyên a1, a2, …, an, đƣợc
gọi là BCNN nếu mọi bội chung của chúng đều là bội của m.
Nếu m là BCNN của các số nguyên a1, a2, …, an, thì m cũng là BCNN
của chúng. Nên trong vành số nguyên ¢ ta quy ƣớc lấy số dƣơng trong 2 số
m làm BCNN. Kí hiệu: m = a1 , a2 ,..., an .
b. Tính chất của BCNN
i, m = a1 , a2 ,..., an
m m
m
, ,...,
a1 a2
am
= 1.
ii, m.a1 , m.a2 ,..., mam = m a1 , a2 ,..., an , m Z
a , a ,..., an
a
a1 a2
, ,..., n = 1 2
, c\ a1 , a2 ,..., an .
c c
c
c
iii, (a,b).[a,b] = a.b.
3. Số nguyên tố
3.1. Định nghĩa
Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 và chỉ có hai ƣớc số là 1 và chính
nó.
Tập các số nguyên tố kí hiệu:
.
3.2. Định lý
* Định lý Euclid
Tập các số nguyên tố là vô hạn.
Chứng minh
Giả sử hữu hạn số nguyên tố p1, p2, ..., pn. Khi đó xét số N = p1.p2...pn + 1
có hai khả năng xảy ra
Nếu N là số nguyên tố khi đó N khác các số nguyên tố p1, p2, ..., pn.
Nếu N là hợp số thì N có một ƣớc nguyên tố p. Số nguyên tố này khác
các số nguyên tố p1, p2, ..., pn vì khi chia n cho p1, p2, ..., pn đều dƣ 1.
Nguyễn Thị Hường
9
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Nhƣ vậy, ta luôn chỉ ra tồn tại một số nguyên tố khác với n số nguyên tố
đã cho. Vậy giả sử có hữu hạn số nguyên tố là sai. Tức là có vô số số nguyên
tố.
* Định lý cơ bản.
Mọi số tự nhiên lớn hơn 1 đều phân tích đƣợc thành tích các thừa số
nguyên tố và sự phân tích đó là duy nhất không kể thứ tự các thừa số.
Chứng minh
a) Phân tích được
Giả sử a là một số tự nhiên lớn hơn 1 khi đó a có một ƣớc nguyên tố
p1: a = p1.a 1
+ Nếu a1 = 1 thì a = p1 là sự phân tích của a.
+ Nếu a1 > 1 thì a1 có ƣớc nguyên tố p2: a1 = p2.a2.
- Nếu a2 = 1 thì a = p1.p2 là sự phân tích của a.
- Nếu a2 > 1 thì a2 lại có ƣớc nguyên tố p3: a2 = p3.a3.
Ta lại tiếp tục xét với a3,…
Vì ta có dãy a, a1, a2, …, giảm dần nên sau hữu hạn bƣớc ta sẽ gặp an = 1
và ta đƣợc a = p1, p2, ..., pn là sự phân tích của a.
b) Tính duy nhất
Giả sử a còn phân tích đƣợc thành a = q1.q2…qm, qi
, i = 1, n .
Khi đó ta có
p1.p2...pn = q1.q2…qm
p1\(q1.q2…qm)
Suy ra p1 trùng với một trong các thừa số qi, ta giả sử đó là q1.
Ta có p1 = q1 và giản ƣớc p1, khi đó p2…pn = q2…qm.
Tiếp tục quá trình trên cho đến khi giản ƣớc hết các thừa số ở một vế. Vì
không xảy ra các đẳng thức 1 = qn+1…qm (m > n) với pm+1…pn (m < n)
do pi, qj
.
(i = 1, n , j = 1, n ) nên m = n và pi = qi,
Nguyễn Thị Hường
i.
10
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
3.3. Sự phân tích tiêu chuẩn
Trong sự phân tích a ra thừa số nguyên tố a = p1, p2, ..., pn, pi
, i = 1, n .
Ta gọi p1, p2, ..., pk là các số nguyên tố đôi một khác nhau có mặt trong sự
phân tích của a và mỗi số xuất hiện
lần,
i
i
1. Khi đó ta viết:
k
k
1
2
a = p1 . p2 ... pk ,
1, i = 1, k , pi
i
pi i .
hay a =
i 1
Đó là sự phân tích tiêu chuẩn của số tự nhiên a.
+) Tiêu chuẩn chia hết
k
1
2
Cho a là một số tự nhiên với dạng phân tích tiêu chuẩn a = p1 . p2 ... pk .
Một số tự nhiên d là ƣớc của a khi và chỉ khi nó có dạng d =
0
i
i
p1 1 . p2 2 ... pk k ,
, i = 1,2, ...,k.
Chứng minh
a) Điều kiện cần
Giả sử a chia hết cho d khi đó có q sao cho: a = d.q. Đẳng thức này
chứng tỏ rằng mọi ƣớc nguyên tố của d đều là ƣớc nguyên tố của a và số mũ
của nó trong dạng phân tích tiêu chuẩn của d không lớn hơn số mũ của nó
trong dạng phân tích tiêu chuẩn của a, ta đƣợc kết quả cần chứng minh.
b) Điều kiện đủ
Giả sử a và d thỏa mãn điều kiện của định lý. Khi đó ta đƣợc a = d.q với
q=
p1 1 1 ... pk k
pk
q
¥ . Vậy d\a.
4. Đồng dƣ
4.1. Định nghĩa
Cho m
¢, m
1, a,b
¢ . Ta nói a đồng dƣ với b theo mô đun m nếu
trong phép chia a và b cho m ta đƣợc cùng một số dƣ. Khi a đồng dƣ với b
theo mô đun m thì ta viết a
Nguyễn Thị Hường
b (mod m) và gọi là đồng dƣ thức.
11
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
4.2. Các tính chất cơ bản của đồng dƣ
i, Quan hệ đồng dƣ là một quan hệ tƣơng đƣơng trên ¢ .
ii, Ta có thể cộng hay trừ vế với vế nhiều đồng dƣ thức theo cùng một
mô đun m với nhau. Nghĩa là ai = bi (mod m) thì
n
n
i ai =
i 1
b ( mod m)
i i
i 1
1.
iii, Ta có thể nhân vế với vế nhiều đồng dƣ thức theo cùng mô đun m với
nhau.
Nghĩa là nếu có ai = bi (mod m), (i = 1, n ) thì
n
n
ai =
i 1
bi .
i 1
iv, Ta có thể cộng (nhân) vào hai vế của một đồng dƣ thức với cùng một
số nguyên. Ta có thể nâng lên lũy thừa hai vế của một đồng dƣ thức với số
mũ nguyên dƣơng. Ta có thể cộng vào một vế của đồng dƣ thức một bội của
mô đun.
v, Ta có thể nhân vào hai vế và mô đun của một đồng dƣ thức với cùng
một số nguyên dƣơng.
vi, Ta có thể chia hai vế của một đồng dƣ thức cho cùng một ƣớc chung,
nguyên tố với mô đun.
vii, Nếu hai số nguyên a, b đồng dƣ với nhau theo nhiều môđun thì chúng
cũng đồng dƣ với nhau theo mô đun là BCNN của mô đun đó.
viii, Nếu hai số nguyên a, b đồng dƣ với nhau theo mô đun m thì chúng
cũng đồng dƣ với nhau theo mọi mô đun là ƣớc của m.
ix, Nếu a
b (mod m) thì tập các ƣớc chung của a và m trùng với tập các
ƣớc chung của b và m do đó (a,m) = (b,m).
4.3. Vành các lớp thặng dƣ mô đun m
a. Tập các lớp thặng dƣ mô đun m.
+) Định nghĩa
Nguyễn Thị Hường
12
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Ta gọi tập thƣơng của tập số nguyên ¢ trên quan hệ đồng dƣ mô đun m
là tập các lớp thặng dƣ mô đun m. Kí hiệu : ¢ m.
¢
m
= ¢ / (mod m) = { a , a
a = {b
¢,a
¢ }.
b (mod m)} = {b
¢ , (a – b) Mm}.
- Mỗi phần tử của ¢ m gọi là một lớp thặng dƣ mô đun.
Kí hiệu: A
¢
m
ta viết A = a (mod m) hoặc A = a .
- Mỗi số nguyên b
A gọi là một thặng dƣ mô đun m.
- Tập ¢ m = { 0 , 1 , ..., m 1 }.
- Nếu (A, m) = (a, m) = 1 thì ta gọi A là một lớp thặng dƣ nguyên tố với mô
đun.
b. Vành các lớp thặng dƣ mô đun m
+) Định nghĩa.
Trên tập các lớp thặng dƣ mô đun m ta định nghĩa hai phép toán cộng và
nhân nhƣ sau
a b a b ; a.b a.b ,
a ,b
¢
m
.
Khi đó ( ¢ m , +, .) lập thành một vành giao hoán, có đơn vị và gọi là vành các
lớp thặng dƣ mô đun m.
Tập các phần tử khả nghịch của ¢ m ký hiệu là ¢ m*
4.4. Hệ thặng dƣ mô đun m
Định nghĩa
Cho ánh xạ f : ¢ m
A a a, a
¢
A
Tập ảnh f( ¢ m ) đƣợc gọi là một hệ thặng dƣ đầy đủ mô đun m. Tập ảnh
f( ¢ m* ) đƣợc gọi là một hệ thặng dƣ thu gọn mô đun n.
Ví dụ. m = 5, ¢ 8 = { 0 , 1 , ..., 7 }.
Khi đó hệ {8, 17, 10, 35, 20, 45, 14, 7} là hệ thặng dƣ đầy đủ mô đun 8.
Nguyễn Thị Hường
13
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Hệ {9, 19, 21, 7} là thặng dƣ thu gọn mô đun 8.
5. Hệ nhị phân
1, Nếu nhƣ thông thƣờng để biểu diễn một số trong hệ thập phân thì ta sử
dụng 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lúc này một số tự nhiên k trong hệ
thập phân có dạng k = an an 1...a1a0 , với ai (i= 0, n ) là một trong 10 chữ số và
an
0 có nghĩa là k = an .10n an 1.10n 1 ... a1.10 a0 .
2, Để giải các bài toán số học trong một số trƣờng hợp ngƣời ta phải biểu
diễn một số tự nhiên trong một hệ đếm khác.
Trong các hệ đếm ngoài hệ thập phân, hệ nhị phân đóng vai trò quan
trọng hơn cả. Hệ nhị phân chỉ sử dụng hai số 0 và 1.
Trong hệ nhị phân một số tự nhiên k đƣợc viết : k = an an 1...a1a0 ,
ai (i= 0, n ) là một trong hai chữ số 0, 1 và an
0 nghĩa là
k = an .2n an 1 2n 1 ... ai .2 a0 .
Nguyễn Thị Hường
14
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Phần 2. Một vài hàm số học
1. Hàm số học
1.1. Định nghĩa
Một hàm số xác định với mọi số tự nhiên khác không thƣờng gọi là một
hàm số học.
- Tổng theo từng điểm f + g của các hàm số học f và g
(f +g)(n) = f(n) + g(n).
- Tính theo từng điểm f.g : (f.g)(n) = f(n).g(n).
1.2. Tính chất nhân
Một tính chất quan trọng thƣờng gặp trong các hàm số học là tính chất
nhân.
a. Định nghĩa tính chất nhân
Một hàm số học
(m) xác định với mọi giá trị tự nhiên n
0 gọi là có
tính chất nhân nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây
+)
(m) không đồng nhất 0.
+) Với (n1, n2) = 1 thì (n1, n2) = (n1). (n2).
b. Tính chất
i, Nếu (n) là hàm số có tính chất nhân thì (1) = 1.
Chứng minh
(n) có tính chất nhân nên có n1
¥ sao cho
Suy ra (n1) = (1.n1) = (1). (n1)
(n1)
0. Vì (1, n1) = 1
(1) = 1.
ii, Nếu (n) là hàm số có tính chất nhân và n có dạng phân tích tiêu chuẩn
k
n=
pi i thì ta có công thức
i 1
k
(d )
d \n
(1
( pi )
( pi2 ) ...
( pi i )) .
(*)
i 1
Chứng minh
Nguyễn Thị Hường
15
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Đặt 1 = (1) = (pi0)
Thực hiện phép nhân vế bên phải của đẳng thức (*) ta có :
k
(1
( pi )
( pi2 ) ...
( pi ))
( p1 1 ). ( p2 2 )... ( pk k )
i 0,1,...,
i 1,2,..., k
i 1
i
k
(
0,1,...,
i 1,2,..., k
i
i
(d ) .
pi i )
d\n
i 1
2. Hàm phần nguyên y=[x]
2.1. Định nghĩa phần nguyên của một số
Cho x là một số thực bất kỳ. Kí hiệu [x] (và gọi là phần nguyên của x) là
số nguyên lớn nhất không vƣợt quá x.
Ví Dụ. [5, 4] = 5; [-3, 5] = -4; [ 5 ] = 2.
2.2. Đồ thị của hàm phần nguyên
Hàm y = [x] có đồ thị nhƣ sau:
y
2
1
-2
x
-1
-1
1
2
3
-2
2.3. Các tính chất cơ bản của phần nguyên
2.3.1. [x] = a
x = a + d, a
¢ và 0
d < 1.
Chứng minh
Nguyễn Thị Hường
16
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Giả sử [x] = a, theo định nghĩa phần nguyên thì a là số nguyên lớn nhất
không vƣợt quá x.
Do a
x, nên x – a
0. Đặt d = x – a, khi đó d
0.
Mặt khác vì a là số nguyên lớn nhất không vƣợt quá x nên a + 1 > x
(thật vậy nếu a + 1 < x thì a + 1 cũng là số nguyên không vƣợt quá x (mâu
thuẫn với giả thiết về a)).
Từ a + 1 > x
Vậy từ [x] = a
d = x – a < 1.
x = a + d với a
¢ và 0
Đảo lại, giả sử x = a + d với a
Từ d
0
a
x. Từ d < 1
d < 1.
¢ và 0
d < 1. Khi đó
a + 1 > x mà a + 1 cũng là số nguyên nên
a là số nguyên lớn nhất không vƣợt quá x. Vậy [x] = a.
2.3.2. Nếu [x + y] = x thì x là số nguyên và 0
y <1.
Tính chất này đƣợc suy ra từ tính chất 3.1.
2.3.3. Nếu n là số nguyên thì [n + x] = n + [x].
Chứng minh
Giả sử [x] = a khi đó theo tính chất 3.1 ta có:
x = a + d, a
¢ và 0
d < 1.
Ta có: n + [x] = x + a.
(1)
Mặt khác n + x = n + a + d = (n + a) + d. Vì n + a là số nguyên và 0
d<1
nên
[n + x] = n + a
(2)
Từ (1), (2) ta có điều phải chứng minh.
2.3.4. [x + y]
[x] + [y].
Chứng minh
Từ tính chất 3.1 có : x = [x] + d1, y = [y] + d2 với 0
d1, d2 < 1.
Từ đó x + y = [x] + [y] + (d1 +d2).
Nguyễn Thị Hường
17
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
Từ d1 +d2
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
[x] + [y] là số nguyên không vƣợt quá x + y, mà [x + y] là
0
số nguyên lớn nhất không vƣợt quá x +y nên suy ra: [x] + [y]
2.3.5.
x
n
x
,n
n
[x + y].
¢ .
Chứng minh
Theo tính chất 3.1 thì x
d với 0
x
Theo định nghĩa phép chia có x
Nhƣ vậy
Suy ra :
x
n
x
n
r
,q
n
q
¢ và 0
r
n.
n 1
1.
n
q.
Mặt khác, ta có:
x
x
n
d
n
¢ , do 0
r
Vậy ta có:
x
n
Có q
q.n r , q, r
r
n
¢ và 0
d < 1.
x
n
d
n
n – 1 và 0
r
n
q
d
n
r d
.
n
q
x
r d
<1. Nên có
n
n
d < 1, nên 0
q.
x
.
n
2.3.6. Nếu n là số tự nhiên thì n[x]
[n.x].
Chứng minh
Theo tính chất 3.1 ta có x = [x] + d, 0
Do d
0 nên n.d
d <1 suy ra n.x = n.[x] + n.d.
0 suy ra n.[x] là số nguyên không vƣợt quá n.x. Theo định
nghĩa thì n[x] [n.x] ( điều phải chứng minh).
2.3.7. Mọi số tự nhiên n và q q 0 , ta có q.
n
q
n.
Chứng minh
Theo tính chất 3.6 ta có q.
Nguyễn Thị Hường
n
q
q.
18
n
q
n
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
¥ nên [ n ] = n Vậy q.
Vì n
n
q
n ( điều phải chứng minh).
n
)
q
2.3.8. Với mọi số tự nhiên n và q q 0 ta có n q. ( 1 +
Chứng minh
Thực hiện phép chia n cho q ta đƣợc: n m.q r , m, q ¥ , 0 r q .
n
q
Do vậy:
Suy ra: q 1
n
q
(1)
m 1 .q r q .
Do r q 0 nên ta có n
m 1 .q .
n
q
Từ (1) và (2) suy ra n q. 1
1
2
m.
q m 1 .
Do n m.q r nên n
2.3.9. x
n
r
1 nên suy ra
q
q
r
; vì m ¢ và 0
q
m
2x
(2)
( điều phải chứng minh ).
x .
Chứng minh
Theo tính chất 3.1: x
d với 0 d 1 .
x
Xét hai khả năng:
a) Nếu 0 d
Do x
¢ và
1
1
thì x
2
2
1
2
d
Mặt khác: 2.x 2. x
Do 2. x
2.x
x
d
1
.
2
1
1
1 nên theo tính chất 3.1 x
2
2
x .
Từ (1) và (2) suy ra x
Nguyễn Thị Hường
(1)
2.d .
¢ và 0 2.d 1 nên suy ra 2.x
x
x .
2. x , suy ra
(2)
1
2
2.x
x .
19
(*)
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
1
2
b) Nếu
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
d 1 . Biểu diễn d dƣới dạng d
1
2
Ta có: x
x
1
2
d
x
Lại có 2.x 2. x
2.d
2. x
Vì 2. x 1 ¢ và 0 2.
1.
Từ (3) và (4) suy ra x
1
2
x
x
1.
(3)
1 2. .
1 nên ta có: 2.x
x
2.x
1
.
2
,0
.
1
1
1
nên ta có x
2
2
Do x 1 ¢ và 0
1
2
2. x
1 , suy ra
(4)
x .
2.x
(**)
Kết hợp (*) và (**) ta có điều phải chứng minh.
2.3.10. x
1
n
x
2
n
x
...
n 1
n
x
n.x .
Chứng minh
Giả sử x = x
Vì 0
a 1 nên
Từ đó với
a, 0
a 1.
¢ (0
k
k
n 1) sao cho:
k
n
a
k
k 1 n k 1
n
n
x
1.
n 1
.
k = 0, 1, 2, ... ta có:
x
n k 1
n
x
n k
n
x
x
a
n k 1
n
a
n k
n
a
n 1
n
x
x
1
n
x
x
k
n
n k
n
1.
x
Ta lại thấy:
x
n 1
n
x
Từ đó suy ra: x
Và x 1
x
n k
n
Nguyễn Thị Hường
x
k 1 n 1
n
n
x
n k
n
2
n
x
n k 1
n
x
n k 1
n
...
...
x
20
n 1
n
x
1.
1.
x
x
1.
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Nhƣ vậy ta sẽ có: x
Và
x
Nên x
1
x
1
n
x
n k
n
x
1
n
x
2
n
x
2
n
...
x
n k 1
.
n
n k 1
n
...
x
n 1
.
n
x
...
n 1
n
x
n k . x
k.
n x
Ta có: k
n.a
Vì thế n.x
k
1 nên n.a
n. x
(do n. x
n.a
n x
¢ ,0
k
k
,0
k
k x
1 .
(*)
1.
n. x
k.
(**)
1 ).
Từ (*) và (**) suy ra: x
1
n
x
...
x
n 1
n
n.x .
Ta có điều phải chứng minh.
2.3.11. Trong dãy n số tự nhiên 1, 2, 3, …, n có đúng
n
số tự nhiên chia
q
hết cho số tự nhiên q 0.
Chứng minh
Xét 3 trƣờng hợp sau đây:
a) Nếu n q thì
n
q
n
q
1
0.
Rõ ràng trong dãy 1, 2, 3,..., n ( n
q ) không có số nào chia hết cho q.
Suy ra tính chất 3.11 đúng.
b) Nếu n q thì
n
q
1.
Trong dãy 1, 2, 3,... n có đúng một số n chia hết cho q . Suy ra tính chất
3.11 đúng.
c) Nếu n q
n
q
Nguyễn Thị Hường
1
n
q
1.
21
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Trong dãy số 1, 2, 3,…,q, q 1,…,n chỉ có các số 1. q , 2. q ,
3. q ,…,
n
. q là chia hết cho q .
q
n
q
Thật vậy, theo tính chất 3.7 thì q.
n nên số tự nhiên q.
n
chia hết
q
cho q là một số hạng của dãy 1, 2, 3, …, n .
Mặt khác theo tính chất 3.8 n q .(1
n
) nên số tự nhiên q. 1
q
n
q
không
là số hạng của dãy 1,2,3,..., n .
Nhƣ vậy có đúng
n
q
số của dãy chia hết cho q .
Hệ quả
Từ tính chất 3.11 ta có trong dãy số tự nhiên 1, 2, 3,…, n có đúng
chia hết cho q 2, có đúng
n
q3
n
số
q2
số chia hết cho q3,…
2.3.12. Nếu số nguyên tố p có mặt trong phân tích ra thừa số nguyên tố
của số n ! = 1.2… n thì số mũ cao nhất của p bằng
n
p
n
p2
n
p3
...
n
, pk
pk
n
pk
1
.
Chứng minh
Dựa vào tính chất 3.11 số các nhân tử của tích 1.2… n chia hết cho p
đúng bằng
n
, số các nhân tử chia hết cho p 2 đúng bằng
p
n
,…
p2
Nghĩa là số các thừa số nguyên tố có mặt trong phân tích ra thừa số nguyên tố
của tích 1.2… n đúng bằng
n
p
Nguyễn Thị Hường
n
p2
n
p3
...
n
(điều phải chứng minh).
pk
22
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
2.4.Bài tập.
2.4.1. Các bài toán định tính
Bài 1
Giả sử a,b,c là 3 số thực sao cho với
n.a
n.b
n.c chứng minh rằng: c
n nguyên dƣơng ta có:
a b.
Lời giải:
Giả thiết phải chứng c a b . Có hai khả năng xảy ra
a) Nếu c a b
Gọi n 0 =
c a b 0.
1
c a b
Vì c a b 0
n 0.c n 0. a
n 0. c 1 n 0. a
1
1. Khi đó n0 là số nguyên dƣơng và n 0
n 0. b
c a
.
1.
n 0. b .
(1)
Từ (1) và theo tính chất của phần nguyên ta có
n0 .c
n0 .c 1 n0 .a n0 .b
n0 .c
n0 .a n0 .b
n0 .a
n0 .b .
n0 .b .
n0 .a
(2)
Nhƣ vậy, tồn tại số nguyên dƣơng thỏa mãn bất đẳng thức. Điều này mâu
thuẫn với n.c
n.a
b) Nếu c a b
Gọi n 0 =
n.b , n ¢ . Vậy giả thiết phản chứng là sai.
a b c
2
c a b
Vì a b c 0
n 0. a
0.
2
1 khi đó n0 là số nguyên dƣơng và n 0
n0 .b n0 .c
2
n0 .a
no .c
a b
.
1 n0 .b 1. (3)
Từ (3) và theo tính chất phần nguyên ta có
n0 .c
n0 .c (n0 .a 1) (n0 .b 1)
n0 .c
n0 .a
n0 .a
n0 .b .
n0 .b .
(4)
Bất đẳng thức (4) mâu thuẫn với n.c
Nguyễn Thị Hường
n.a
23
n.b , với mọi n nguyên dƣơng.
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Vậy giả thiết phản chứng
c
a b cũng sai do đó giả thiết phản chứng
c
a b không đúng. Điều đó có nghĩa là c
a b ( điều phải chứng minh).
Bài 2
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có đẳng thức
n
4n 2 .
n 1
Lời giải
Trƣớc hết ta chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n , ta luôn có bất đẳng
thức
n
4n 2 .
n 1
Hiển nhiên 4 n .( n
(1)
(2 n 1)2
1)
2 n(n 1)
2
n
n 1
2n 1 2 n(n 1)
n
n 1
4n 2 .
Vậy (1) đúng với
Từ (1)
n
n
Khi đó
p
¥ sao cho:
k0
Vì p 2
(2)
k0 1
k0 1
p
2
4k0
p
2
(2 k 0 1)
( p 2 (2 k 0 1))2
2 .
4k0 2 .
p
1 2 k0 (k0 1)
2 k0 (k0 1)
Do đó 4 k 0( k 0 1)
4n 2 .
4n 2 .
¥ sao cho k0
2. k 0
1.
¥ .
n 1
Giả sử tồn tại k 0
2n
4k 0
2k 0
2.
1.
4 k 0( k 0 1) 1.
(3)
(2 k 0 1)2 là số nguyên. Nên từ (3) suy ra
( p 2 (2 k 0 1))2 = 4 k 0( k 0 1) 1 = (2 k 0 1)2 .
p
2
(2 k 0 1) = 2 k 0 1.
2
p = 2(2 k 0 1)
(4)
Do 2(2 k 0 1)M2 nhƣng 2(2 k 0 1) không chia hết cho 4 nên từ (4) suy ra vô
lý.
Nguyễn Thị Hường
24
K33 – CN Toán
Khóa luận tốt nghiệp
GVHD: Th.s Dương Thị Luyến
Vậy không tồn tại k 0 ¥ để k0
k0 1
2 .
4k0
(5)
Từ (2) và (5) ta có kết luận
Với mọi n ¥ ta luôn có:
n
4n 2 .
n 1
Bài 3
Cho a và b là hai số không âm. Chứng minh rằng
2a
2b
a
a b .
b
Lời giải
Giả sử a = a
khi đó 0
, b= b
1 và 0
1.
Chỉ có hai khả năng sau có thể xảy ra
a) Nếu
1. Ta có a b
b
.
b
1, nên từ (1) suy ra a b
Do 0
Từ a
a
a b
2 a
(1)
a
b .
2b .
(2)
Theo tính chất 6 của phần nguyên ta có
2a
2 a ; 2b
2 b .
Từ (2) và (3) ta có 2a
2b
(3)
a
b
a b .
Vậy bất đẳng thức đã cho đúng trong trƣờng hợp này.
Bài 4
Cho x là số nguyên dƣơng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để
x
x 1
4x 2 .
Là tồn tại k nguyên sao cho
k2
1
k2
4x 2
2
k 1 .
Lời giải
Điều kiện cần
Giả sử x là số nguyên dƣơng và thỏa mãn điều kiện
Nguyễn Thị Hường
25
K33 – CN Toán
