Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, trước tiên em xin gửi lời cảm ơn chân
thành đến cô Đinh Thị Kim Thúy – Giảng viên trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2. Cô đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình thực hiện và hoàn thành
tốt khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo công tác trong tổ Hình học
và các thầy cô trong khoa Toán trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều
kiện để em hoàn thành đề tài này.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Hơn nữa
do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi
những thiếu sót. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô
và các bạn sinh viên để đề tài của em được hoàn thiện hơn và có nhiều ứng
dụng trong thực tế. Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2011
Bùi Thị Lê

SVTH: Bùi Thị Lê

-1-

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

LỜI CAM ĐOAN
Đề tài của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của cô giáo Đinh
Thị Kim Thúy. Trong quá trình nghiên cứu em có tham khảo tài liệu của một
số tác giả đã nêu trong mục tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan kết quả trong đề tài nghiên cứu là kết quả của bản
thân và không trùng khớp với kết quả của các tác giả khác.
Hà Nội, ngày 12 tháng 05 năm 2011
Bùi Thị Lê

SVTH: Bùi Thị Lê

-2-

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU........................................................................................................ 04
NỘI DUNG.................................................................................................... 06
Chương 1. Hình học Euclide trong mặt phẳng............................................... 06
1.1 Khoảng cách và góc.................................................................................. 06
1.2 Các phép đẳng cự afin của mặt phẳng...................................................... 11
1.3 Phép đồng dạng thuận của mặt phẳng...................................................... 15
1.4 Đường tròn trong mặt phẳng.................................................................... 19
1.5 Đường cônic trong mặt phẳng afin Euclide.............................................. 24
1.6 Bài tập....................................................................................................... 34

Chương 2. Hình học Euclide trong mặt phẳng và không gian ba chiều......... 44
2.1 Khoảng cách và góc.................................................................................. 44
2.2 Các phép đẳng cự afin của E 3 ................................................................. 51
2.3 Mặt cầu và đường tròn trong không gian ................................................ 56
2.4 Bài tập....................................................................................................... 60
KẾT LUẬN.................................................................................................... 68
TÀI LIỆU THAM KHẢO.............................................................................. 69

SVTH: Bùi Thị Lê

-3-

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán học có vai trò quan trọng trong đời sống thực tiễn cũng như trong
nghiên cứu khoa học. Toán học là cơ sở, là nền tảng để nghiên cứu các môn
khoa học khác. Trong quá trình học tập, em được nghiên cứu về chuyên
ngành hình học, một bộ phận quan trọng và tương đối khó trong chương trình
toán phổ thông.
Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu
sắc hơn nữa về hình học afin Euclide trong mặt phẳng và không gian ba
chiều, em đã chọn đề tài “Hình học afin Euclide trong mặt phẳng và không
gian ba chiều” làm khóa luận tốt nghiệp.

2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu sâu hơn về hình học afin Euclide trong mặt phẳng và không
gian ba chiều.
Đi sâu nghiên cứu về khoảng cách, góc, các phép đẳng cự, các phép
đồng dạng, đường tròn trong mặt phẳng và không gian ba chiều, về các đường
cônic trong mặt phẳng, về mặt cầu trong không gian ba chiều.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu : Nghiên cứu kiến thức cơ bản về hình học afin
Euclide trong mặt phẳng và không gian ba chiều.
+ Phạm vi nghiên cứu : Do điều kiện và thời gian, em chỉ nghiên cứu
một số phần cơ bản về hình học afin Euclide trong mặt phẳng và không gian
ba chiều.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày một số lý thuyết cơ bản về hình học afin Euclide trong mặt
phẳng và không gian ba chiều.

SVTH: Bùi Thị Lê

-4-

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu có liên quan
đến nội dung nghiên cứu.


SVTH: Bùi Thị Lê

-5-

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

NỘI DUNG

Chương 1. Hình học afin Euclide trong mặt phẳng
1.1 Khoảng cách và góc
1.1.1 Định nghĩa và tính chất

uur
Định nghĩa 1. Ta gọi mọi cặp ( E 2 ,

) trong đó E 2 là mặt phẳng afin thực,
uur
và là một tích vô hướng trên phương E 2 của E 2 , là mặt phẳng afin Euclide.
Ta thường ký hiệu E 2 thay cho ( E 2 , ).

r r
Hệ quy chiếu trực chuẩn của là E mọi bộ ba { O ; i , j } trong đó O E 2 , và
r r
{ i , j } là một cơ sơ trực chuẩn của E 2 .

uur
Nếu E 2 được định hướng , ta cũng nói E 2 được định hướng , hướng của một
r r
hệ quy chiếu Descartes { O ; i , j } của E 2 chính là hướng của cơ sở của E 2 .
uur
2
Cho một mặt phẳng Euclide r(định
E 2 có
r hướng) E , mặt phẳng vectơ
ít nhất một cơ sở trực chuẩn
{ i , j }. Với mỗi điểm O thuộc E 2 , ánh xạ :
ur
E2 r
F
F : ¡ 2
là
một
song
ánh
afin
và
ánh
xạ
tuyến
tính
liên
kết
r
( x, y) a O xi yj
bảo toàn tích vô hướng.

Trong thực hành, ta có thể thay E 2 bởi ¡ 2 được trang bị tích vô hướng thông
thường.
2

Định nghĩa 2. Với M , M ' thuộc E 2 , khoảng cách giữa M và M ' , ký hiệu là
d ( M , M ') hoặc MM ' , là số thực :

d (M , M ')

MM '

uuuuur
MM ' .

Nếu trong một hệ quy chiếu trực chuẩn có M ( x, y ) và M '( x ', y ') , thì :

d (M , M ')

MM '

x' x

2

y' y

2

.


Tính chất.
Với mọi số thực và với mọi điểm A, B, C thuộc E 2 :
1) d ( A, B) d ( B, A)
SVTH: Bùi Thị Lê

-6-

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

2) d ( A, B)

0

A

3) d ( A, B)

d ( A, C ) d ( B, C )

4) d ( A C , B C )
5) d ( A, B)

B

(bất đẳng thức tam giác)


d ( A, B)

d ( A, B) .

r r
Định nghĩa 3. Cho d và d ' là hai đường thẳng afin của E 2 , u , u ' lần lượt là
vectơ chỉ phương của d và d ' . Góc giữa d và d ' , ký hiệu là ( d· , d ' ) hoặc
( d , d ' ), là số thực được xác định mođun bởi :
r r
( d· , d ' ) ( u· , u ' ) [ ] .
Sự tương đẳng mođun
đối của nó.

r
r
xuất phát từ chỗ ta có thể thay thế u (hoặc u ' ) bởi

r
Định nghĩa 4. Cho m và m ' là hai nửa đường thẳng afin có cùng gốc A , u ,
r
u ' tương ứng là vectơ chỉ phương định hướng m , m ' . Góc giữa m và m ' ký
· , m ') (hoặc (m, m ') , là số thực xác định mođun 2 bởi :
hiệu là (m
· , m ') = ( u·r , ur ' ) [2 ].
(m
Định nghĩa 5. Hai đường thẳng afin d , d ' của E 2 được gọi là trực giao, ký
r uur
hiệu d d ' , khi và chỉ khi d d ' , nghĩa là ( d· , d ' ) =
[ ].

2

r
Định nghĩa 6. Cho d là một đường thẳng và d ' là một phương đường thẳng
r r
r
sao cho d d ' . Một phép chiếu lên d , song song với d ' ; một phép đối xứng
r
r
qua d , song song với d ' ; một phép co afin trục d , phương d ' được gọi là
r r
trực giao khi và chỉ khi d d ' .
1.1.2 Các phép tính trong một hệ quy chiếu trực chuẩn
Cho E 2 là một mặt phẳng afin Euclide (được định hướng)

r r
O; i , j là

một hệ quy chiếu trực chuẩn của E 2 . Các điểm của E 2 được xác định bởi toa

SVTH: Bùi Thị Lê

-7-

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy


độ của chúng trong
và các đường thẳng afin của E 2 cũng được xác định
bởi các phương trình Descartes của chúng trong .
1) Vectơ trực giao với một đường thẳng
Với mọi (a, b, c) thuộc ¡

3

sao cho (a, b)

r
(0,0) , u a, b là một vectơ

trực giao với đường thẳng d có phương trình : ax by c

0.

2) Hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng
Cho đường thẳng d có phương trình : ax by c 0 là một đường
thẳng afin và M 0 ( x0 , y0 ) là một điểm thuộc E 2 .
Ta ký hiệu H ( X , Y ) là hình chiếu vuông góc của M 0 trên d . Ta có :
aX

H d
uuuuur r
M0H d

X
Y


bY
x0
y0

c
a
b

0
0

Từ đó suy ra tọa độ của H là :

X
Y

aX bY
bX aY

c
bx0

ay0

d

M0

b 2 x0 aby0 ac

a 2 b2
abx0 a 2 y0 bc
.
a 2 b2

H

Ví dụ 1. Cho đường thẳng D có phương trình x 5 y 2 0 và điểm

M 0 ( 3,4) không thuộc D . Gọi H ( X , Y ) là hình chiếu vuông góc của M 0
trên d . Khi đó : X

Y
Vậy tọa độ của H là

( 5)2 ( 3) 1( 5)4 1 2
12 ( 5)2
1 5 ( 3) 12 4 ( 5)2
12 ( 5) 2
57 21
,
.
26 26

57
,
26
21
.
26


3) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
SVTH: Bùi Thị Lê

-8-

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Mệnh đề. Cho đường thẳng
M 0 ( x0 , y0 ) . Khi đó :

có phương trình : ax by c

ax0

d M0,

by0
a

2

b

c

2

0 và

.

Chứng minh :
Ta có :
2

d M0,

M 0H 2

X

2

x0

Y
2

a ax0 by0 c

y0

b ax0 by0 c

a 2 b2

hay

ax0

d (M 0 , )

a

2

ax0 by0

c

b

2

c

2

a 2 b2

a 2 b2

by0
2

2


,

.

Ví dụ 2. Xét với ví dụ 1, khi đó ta có khoảng cách từ M 0 đến
1( 3) ( 5)4 2
21
.
d (M 0 , )
2
2
26
1 ( 5)

là :

4) Phương trình chuẩn của đường thẳng trên E 2
Cho d : ax by c
Vì a2

b2

Ta thấy

0 nên phương trình của d có thể viết dưới dạng:
a
b
c
x

y
0.
a 2 b2
a 2 b2
a 2 b2
2

a
a2

a

a2

2

b

2

b
a2
c
2

b2
2

2


b

b2
a

2 ) sao cho

Ta đặt p

0 là một đường thẳng của E 2 .

b2

1 nên tồn tại duy nhất

¡ (mođun

cos
sin .

, thì d có phương trình là x cos

y sin

p gọi là

a b
phương trình dạng chuẩn của d .

SVTH: Bùi Thị Lê


-9-

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

r
Vì u cos ,sin

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

r
trực giao với d nên u cũng trực giao với d , do đó d có

đúng hai phương trình dạng chuẩn :
x cos

p và x cos

y sin

y sin

p.

Ta cũng có thể coi hai phương trình dạng chuẩn trên là một.
y
Gọi H ( X , Y ) là hình chiếu vuông góc

d
của điểm O trên d , khi đó tồn tại
¡
r r H
uuur
j u
X
cos
r
sao cho OH
u . Từ đó:
Y
sin .
r
O i
sin 2
p,
Vì H d , ta có cos 2
vậy

x

p.

uuur
r
Như vậy, khi ký hiệu OH là độ đo đại số của OH trên trục ((OH ), u ) (nếu
uuur r
O d ) thì ta có OH p hoặc OH u p.
Ví dụ 3. Cho d : x

2

a
a

2

3 y 2 0 , ta thấy :

b

2

a

Khi đó, tồn tại

2

b

2

1
1 3

2

3


1
2

sin

3
2

, vậy

a 2 b2

x cos
x cos
2x

y sin
y sin

3
3y

3

2

1
2

3

2

2

1

.

( 2)
1.
1 3

Vậy, hai phương trình dạng chuẩn của d là
1
3
x
y 1
x cos
y sin
p
2
2
và

2

1 3

cos


¡ sao cho :

c

Đặt p

2

b

2x

3y

3
y
2

1

2

p
3

1

1
x
2


2.

SVTH: Bùi Thị Lê

- 10 -

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Vậy d có phương trình dạng chuẩn là 2 x

2.

3y

5) Tọa độ cực

r r
{ O ; i , j } là một hệ quy chiếu trực chuẩn của E 2 .
y
E 2 \ { O } ; ( x, y ) là tọa

Giả sử
Cho M


độ của M trong

. Điểm M có
r· uuuur
thể được định vị bởi góc i , OM ,

M

y

O

xác định mođun 2 , được ký hiệu
là và được gọi là góc cực của M
và số thực dương OM , được ký hiệu là

x

x

(hoặc ) và được gọi là bán kính cực

của M .
Ta cũng có thể định vị M bởi
hai tọa độ cực :

,

. Một điểm M


và

,

, trong đó

x2

y2

và

O như vậy có
được xác định

và

mođun 2 .

Ta có

x
y

cos
sin

và

x


cos
x

2

Ví dụ. Cho điểm M (0;2) , khi đó và
ta có : cos

0
0 4

0 , sin

y

2

y

,sin
x
02

OM

2
1, vậy
0 4


Do đó M (0;2) có hai tọa độ cực là :

2

,2 và

2

22

2

y

2

.

r· uuuur
i , OM ,

2 và

.

3
, 2 .
2

1.2 Các phép đẳng cự afin của mặt phẳng

1.2.1 Khái niệm phép đẳng cự afin
Định nghĩa 1. Phép đẳng cự afin của E 2 là mọi ánh xạ afin f : E 2
toàn khoảng cách, tức là sao cho :

A, B E 2 : d ( f ( A), f ( B))

SVTH: Bùi Thị Lê

- 11 -

E 2 bảo

d ( A, B) .

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Mệnh đề 1. Cho f : E 2

E 2 là một ánh xạ afin. Để f là một phép đẳng cự
uur
r
afin, điều kiện cần và đủ là f là một phép đẳng cự vectơ của E 2 .
Chứng minh :
r
1) Nếu f là một phép đẳng cự afin của E 2 thì với mọi vectơ u thuộc E 2 , do

uuur r
tồn tại cặp điểm ( A, B ); A, B E 2 sao cho AB u , nên ta có :
uuuuuuuuuuuur
r r
r uuur
f u
f AB
f A f B
d f A ,f B
uuur
r
d A, B
AB
u ,
uur
r
vậy f là một phép đẳng cự vectơ của E 2 .
uur
r
2) Ngược lại, nếu f là một phép đẳng cự vectơ của E 2 thì với mọi A, B

thuộc E 2 :

d f A ,f B

uuuuuuuuuuuur
f A f B

r uuur
f AB


uuur
AB

d A, B .

Vậy f là một phép đẳng cự của E 2 .
Mệnh đề 2 - Định nghĩa 2. Tập hợp các phép đẳng cự afin của E 2 là một
nhóm đối với phép nhân ánh xạ, ký hiệu là o, gọi là nhóm các phép đẳng cự
afin của E 2 .
Chứng minh :
Ta sẽ chứng tỏ rằng tập hợp các phép đẳng cự afin của là E 2 một nhóm con
của nhóm afin GAff( E 2 ).
r
1) Giả sử f là một phép đẳng cự của E 2 . Vì f là một phép đẳng cự vectơ
uur
r
của E 2 nên f là song ánh. Vậy f Af( E 2 ).
2) Rõ ràng Id E là một phép đẳng cự afin của E 2 .
2

3) Giả sử f , g là những phép đẳng cự afin của E 2 . Khi đó, g o f có tính
afin và với mọi A, B thuộc E 2 :
d gof A , gof B

d f A ,f B

d A, B .

Vậy g o f là một phép đẳng cự afin của E 2 .

4) Nếu f là một phép đẳng cự afin của E 2 , thì f là song ánh, f

1

có tính

afin và với mọi A, B thuộc E 2 :

SVTH: Bùi Thị Lê

- 12 -

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1

d f
Vậy f

1

A ,f

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy
1

B


d f f

1

A ,f f

1

B

d A, B

là một phép đẳng cự afin của E 2 .

1.2.2 Phép dời hình và phép phản chiếu
Định nghĩa 2. Cho f là một phép đẳng cự của E 2 .
1) Ta nói rằng f là một phép đẳng cự afin thuận (hay phép dời hình) khi và
r
chỉ khi det( f ) 1 .
2) Ta nói rằng f là một phép đẳng cự afin nghịch (hay phép phản dời hình)
r
1
khi và chỉ khi . det( f )
Mệnh đề 3. Tập hợp các phép dời hình của E 2 là một nhóm con của nhóm
các phép đẳng cự afin của E 2 .
Chứng minh :
1) Ta có Id E là một phép dời hình.
2) Nếu f , g là những phép dời hình, thì g o f là một phép đẳng cự afin và :
uuuuur
ur ur

ur
ur
det g o f
det g o f
det g .det f
1.1 1.
2

Vậy g o f là một phép dời hình.
3) Nếu f là một phép dời hình thì f 1 là một phép đẳng cự afin và :
uuur
ur 1
ur 1
det f 1 det f
det f
1 1 1.
Vậy f

1

là một phép dời hình.

Định nghĩa 3. Cho A E 2 ,
¡ . Ta gọi phép đẳng cự afin giữ A bất động
và có bộ phận tuyến tính Rot (hay ánh xạ tuyến tính liên kết với nó), là phép
quay tâm A với góc quay

, ký hiệu là Q A . Vậy với mọi điểm M , M ' thuộc

E 2 , ta có :


M ' QA M

uuuur
AM '

Rot

uuuur
AM

Định lý (Phân loại các phép dời hình của E 2 )
Các phép dời hình của E 2 là các phép tịnh tiến và các phép quay.
Chứng minh :
Rõ ràng, các phép tịnh tiến và các phép quay là những phép dời hình.
SVTH: Bùi Thị Lê

- 13 -

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

ur
Ngược lại, giả sử f là một phép dời hình của E 2 . Khi đó, f là một phép
ur
đẳng cự vectơ thuận của E 2 , nên tồn tại

¡ sao cho f Rot .
ur
ur
f là một phép tịnh tiến.
Nếu
,
vậy
0 2 thì f Id uur
E
2

Vậy ta giả thiết

0 2

.

Xét trong một hệ quy chiếu trực chuẩn

,
¡
trong đó :

2

r r
O; i , j

của E 2 . Tồn tại


sao cho với mọi M x, y thuộc E 2 , f ( M ) có tọa độ x ', y '

x ' x cos
y ' x sin
Ta có : f M

M

x 1 cos
x sin

y sin
y cos
y sin

y 1 cos

.

cos
sin
2
, vậy
1 cos
s 2i n
0 hệ phương
sin
1 cos
trình trên có một và chỉ một nghiệm.
Như thế f có một điểm bất động duy nhất, ký hiệu là A . Vì f A A và

ur
f Rot , nên f là phép quay tâm A với góc quay .
Định thức

1

Định nghĩa 4. Cho d là một đường thẳng của E 2 . Phép phản chiếu (hoặc
phép đối xứng trực giao) qua d , ký hiệu là Đ d , là phép đối xứng qua d , song
song với phương trực giao với d ' .
Mệnh đề 4. Với hai điểm phân biệt A, B thuộc E 2 , tồn tại một và chỉ một
phép phản chiếu đổi chỗ A và B ; đó là phép phản chiếu qua đường trung trực
của AB .
* Tích của hai phép phản chiếu trong mặt phẳng.
Cho d , d ' là hai đường thẳng trong E 2 .
r
u
1) Nếu d // d ' thì :
d
Đ o Đ d = T 2ur ,
r d'
trong đó u là vectơ trực giao với d và
d ' thỏa mãn d ' = T ur ( d ).
M
M'
SVTH: Bùi Thị Lê

- 14 -

d'


M"

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

2) Nếu d cắt d ' tại điểm A , thì :
Đ d ' o Đ d = Q A2 ,
trong đó
.
d· , d '

M
M'

M ''

* Phân tích một phép dời hình thành tích hai phép phản chiếu.
1) Trường hợp phépuur
dời hình là phép tịnh tiến :
r
r r
Với mọi u thuộc E 2 và mọi đường thẳng d sao cho u d , nếu ký hiệu
d ' T 1 r ( d ), thì ta có :
2

u


Tur = Đ d ' o Đ d .
Như vậy, mọi phép tịnh tiến phân tích được thành tích của hai phép phản
chiếu (qua hai đường thẳng trực giao với vectơ của phép tịnh tiến), và ta có
thể chọn một trong hai đường thẳng đó, khi đó việc phân tích là duy nhất.
2) Trường hợp phép dời hình là phép quay :
Cho A E 2 ,
¡ . Với mọi đường thẳng d đi qua A , nếu ký hiệu
d ' Rot ( d ), thì ta có : Q A = Đ d ' o Đ d .
2

Như vậy, mọi phép quay phân tích được thành tích của hai phép phản
chiếu (qua hai đường thẳng đi qua tâm của phép quay) và ta có thể chọn một
trong hai đường thẳng đó, khi đó việc phân tích là duy nhất.
1.3 Phép đồng dạng thuận của mặt phẳng
1.3.1. Phép đồng dạng
Định nghĩa 1. Ta gọi mọi ánh xạ f : E 2
mãn :
A, B E 2 : d f A , f B

E 2 , sao cho tồn tại k

¡

*

thỏa

k .d A, B ,


là phép đồng dạng của mặt phẳng E 2 .
NHẬN XÉT :
1) Số thực k ở trên là duy nhất và được gọi là tỷ số của phép đồng dạng f .
2) Mọi phép đẳng cự afin của E 2 là một phép đồng dạng (lấy k 1 ).
SVTH: Bùi Thị Lê

- 15 -

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

3) Mọi phép vị tự với tỷ số k 0 là một phép đồng dạng với tỷ số k .
E 2 là một phép đồng dạng khi và chỉ khi tồn tại
4) Một ánh xạ afin f : E 2
k ¡ * sao cho :
r r
r
r
u E2, f u
k u .
Mệnh đề 1. Các phép đồng dạng của mặt phẳng làm thành một nhóm con của
nhóm afin GAff( E 2 ).
Chứng minh :

r uur2
1) Cho f là một phép đồng dạng, k là tỷ số của nó. Với mọi u E , ta có :

r r
r r
r
r
r r
f u 0
f u
0
k. u 0 u 0,
ur
vậy f là đơn ánh.
uur
ur
Vì E 2 có số chiều hữu hạn (bằng 2), nên f là song ánh và vì thế f là song
ánh.
2) Rõ ràng Id E là một phép đồng dạng của mặt phẳng.
2

3) Cho f , f ' là hai phép đồng dạng của E 2 với các tỷ số tương ứng là k , k ' .
Vậy f 'o f là ánh xạ afin và với mọi A, B thuộc E 2 :
d f 'o f A , f 'o f B
k 'd f A , f B

kk ' d A, B ,

nên f 'o f là một phép đồng dạng của E 2 , với tỷ số kk ' .
4) Cho f là một phép đồng dạng với tỷ số k . Vậy, khi đó tồn tại f
ánh xạ afin và là song ánh, và với mọi A, B thuộc E 2 :
1
d f 1 A ,f 1 B

d f f 1 A ,f f 1 B
k
ur
1
vậy f là một phép đồng dạng với tỷ số .
k

1

, là một

1
d A, B ,
k

1.3.2 Phép đồng dạng thuận
Định nghĩa 2. Cho f là một phép đồng dạng của mặt phẳng. Ta nói rằng f
r

là một phép đồng dạng thuận (tương ứng : nghịch) khi và chỉ khi det f > 0
r

(tương ứng : det f < 0).

SVTH: Bùi Thị Lê

- 16 -

K33 – Khoa Toán



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Mệnh đề 2. Các phép đồng dạng thuận của E 2 làm thành một nhóm con của
nhóm các phép đồng dạng của E 2 .
Chứng minh :
1) Ta thấy Id E là một phép đồng dạng thuận.
2) Nếu f , f ' là hai phép đồng dạng thuận, thì f 'o f là một phép đồng dạng
và vì :
uuuuur
uur ur
uur
ur
det f 'o f
det f ' o f
det f ' .det f
0,
2

nên f 'o f là một phép đồng dạng thuận.

ur
3) Nếu f là một phép đồng dạng thuận, thì f là một phép đồng dạng và vì :
uuur
r
r 1
det f 1 det f 1
det f

> 0,
ur
nên f là một phép đồng dạng thuận.

Định lý. Cho f là một phép đồng dạng thuận của mặt phẳng, k là tỷ số của
nó.
i) Nếu k 1, thì f có một và chỉ một điểm bất động , và tồn tại
¡ duy
nhất mođun 2 , sao cho :
f V k oQ
Q oV k
( V k là phép vị tự tâm tỷ số k ).
ii) Nếu k 1 , thì f là một phép tịnh tiến hoặc một phép quay.
Chứng minh :
Cho điểm O thuộc E 2 cố định bất kỳ.
1) Với mọi M E 2 , ta có :
uuuuuuuur uuuur
uuuuuuuuuuuur uuuuuuuur
r uuuur
f (O) f (M ) f (O)M
f OM
f O O OM
f M
M
uuuuuur
r uuuur
r
Id uu
f
OM

Of
(O).
E
r
2) Ta chứng minh Id uur
f là song ánh.
E
uur
r
r r
r r
r
r
f
u
0,
f
u
u
Giả sử u E 2 sao cho Id uur
tức
là
. Khi đó, ta có:
E
r
r
f u
u .
r
r r

r
r
Vì f u
k u và k 1, ta suy ra : u 0, u 0 .
uur
r
uur
Điều này chứng tỏ Id E
f là đơn ánh, vậy nó là song ánh, vì E 2 là không
2

2

2

2

gian vectơ có số chiều hữu hạn (bằng 2).
SVTH: Bùi Thị Lê

- 17 -

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp
r
Vậy tồn tại u
biến qua f .


GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

uur
E 2 sao cho : và tồn tại

uuur
E 2 sao cho O

r
u , và

1

3) Theo chứng minh trên thì V k o f là một phép đẳng cự afin nhận
điểm bất động, vậy tồn tại
¡ (duy nhất mođun 2 ) sao cho :
Vk o f Q ,

bất
là

1

từ đó : f

V k oQ

Q oV k (do Q và V k giao hoán với nhau).

Như vậy, các phép đồng dạng thuận trong mặt phẳng gồm :

a. các phép tịnh tiến
b. các phép quay
c. tích của một phép vị tự và một phép quay cùng tâm.
Mệnh đề 3. Các phép đồng dạng thuận bảo toàn các góc định hướng, tức là,
với mọi phép đồng dạng thuận f và với mọi điểm A, B, C thuộc E 2 , sao cho
A B và A C , ta có :
uuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuur
uuur uuur
f A f B ,f A f C
AB, AC 2
f ( B)

C

f (C )

A
B

f ( A)

Chứng minh
:
r uuur r uuur
Đặt u AB, v AC , vậy ta cần chứng minh :
r r r r
r r
f u ,f v
u, v 2 .
r r r r

r r 2
r r 2
r r
1 r r
f u
f v
f u
f v
Ta có : f u . f v
2
r r 2
r r 2
r r r r
1 r r r 2
f u v
f u
f v
f u .f v
2
1 2 r r 2
r 2
r 2
k u v
k2 u
k2 v
2
r r r r
r r
r r
r r r r

·
f u . f v .cos f u , f v
Vì f u . f v

SVTH: Bùi Thị Lê

- 18 -

2

r r
f (u )
r r
f (v )

r
0

r
v

r
u

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy


r r r r
r r
·
k 2 u . v .cos f u , f v
r r r r
r r
r r
r r
·
cos u¶, v .
u . v .cos u , v , ta suy ra : cos f u , f v
r
Mặt khác, vì f là phép đồng dạng thuận nên det( f ) 0 , và do :
r r r r
r
r r
det r r f u , f v
det f .det r r u , v ,
i ,j
i ,j
r r r r
r r
nên các định thức det ir , rj f u , f v và det r r u , v cùng dấu.
i,j
r
r
r
r r
·r

Từ đó suy ra : sin f u , f v và sin u¶, v cùng dấu.
r r r r
r r
Vậy,
f u ,f v
u,v 2 .

rr
và u.v

Mệnh đề 4. Mọi phép đồng dạng tỷ số k biến các diện tích thành tích của
chúng với k 2 .
Chứng minh :
Sau đây ta sẽ chứng minh cho trường hợp tam giác.
Ký hiệu S ( ) là diện tích một tam giác, với mọi A, B, C E 2 sao cho A B
và A C . Đặt S S ( f ( A), f ( B), f (C )) , ta có :
uuuuuuuuuuuu
r uuuuuuuuuuuur
1 uuuuuuuuuuuur uuuuuuuuuuuur
·
S
f A f B
f A f C sin f A f B , f A f C
2
uuur uuur
1 2 uuur uuur
k AB AC sin AB, AC
2
k 2 S ABC .
Ta công nhận rằng tính chất trên có thể mở rộng cho một bộ phận bất kỳ của

E 2 (trong đó có thể xác định khái niệm diện tích).
1.4 Đường tròn trong mặt phẳng
Khi cần, mặt phẳng afin Euclide (đã định hướng) E 2 được trang bị một
r r
hệ quy chiếu trực chuẩn
O; i , j
1.4.1 Định nghĩa. Cho
định bởi :
C ;R
là đường tròn tâm
SVTH: Bùi Thị Lê

E2, R

M

¡ . Ta gọi bộ phận của E 2 được xác

E2 : M

R

và bán kính R , và ký hiệu là C
- 19 -

;R .
K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp


GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Ta cũng định nghĩa đĩa mở B ; R và B '( ; R) đĩa đóng tâm
R :
B ;R
M E2 : M R

B'

;R

E2 : M

M

, bán kính

R

NHẬN XÉT :
1) Với mọi
.
, R E2 ¡ : C ; R
2) Nếu R 0 , thì C ; R
; ta nói rằng
là một đường tròn - điểm.
3) Ta có, với mọi , ' E 2 và với mọi R, R ' ¡ :
'
.

C ; R C '; R '
R R'
Như vậy, một đường tròn xác định một cách duy nhất tâm và bán kính của nó.
4) B ; R C ; R B '( , R) và B ; R C ; R
.
C ) và nếu
5) Biểu diễn trong mặt phẳng phức : Nếu
có tọa vị (
R.
R ¡ , thì C ; R là tập hợp các điểm M ( z ) sao cho z
1.4.2 Phương trình Descartes của một đường tròn
(a, b) E 2 , R ¡ ; đường tròn C ; R
Cho
Descartes là ( x a) 2

( y b) 2

có phương trình

R2 .

NHẬN XÉT :
Với các ký hiệu trên đây :
B( ; R) M ( x, y) : ( x a)2 ( y b)2

R2

M ( x, y) : ( x a)2 ( y b)2

R2


B '( ; R)
Mệnh

đề

x2

2 x 2 y

y2

1.

2

ii)

Phương

trình

Descartes

:

0 biểu diễn :

i) đường tròn tâm
2


¡ 3.

, ,

Cho

(

,

) và bán kính

2

2

nếu

0.
nếu trái lại.

Ta có thể lưu ý những trường hợp riêng sau :
SVTH: Bùi Thị Lê

- 20 -

K33 – Khoa Toán



Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

1) Các đường tròn có tâm tại O

x2

:

y2

R2 .

2) Các đường tròn có tâm trên x ' x : x 2

y2

2 x

0 (với

3) Các đường tròn có tâm trên y ' y : x 2

y2

2 y

0 (với


: x2

y2

2 x 2 y

4) Các đường tròn đi qua O

1.4.3 Biểu diễn tham số một đường tròn
y
( a, b) E 2 , R ¡ .
Cho
Đường tròn C ; R có biểu diễn
b
x a R cos t
tham số là :
,t ¡ .
O
y b R sin t

2
2

0 ).
0 ).

0.

M (a R cos t , b R sin t )


t
a

x

NHẬN XÉT :
1) Ta có thể thay t ¡ bởi t I , trong đó I là một khoảng chứa các
khoảng ] t0 ; t0 2 ] hoặc [ to ; to 2 [ , t ¡ .
t
2) Khi ký hiệu u tan ( t ]
; [ ) , thì C ; R có một biểu diễn
2
tham số hữu tỷ là :
1 u2
x a R
1 u2 , u ¡ .
2u
y b R
1 u2
Mệnh đề 2. Cho

( a, b)

E2, R

¡ *, M

có một tiếp tuyến T tại M và ta có :
( M)


C ( ; R) . Đường tròn C

;R

T.

Chứng minh :

x a R cos t
của C
y b R sin t
với tham số t , đường tròn C ; R có
một tiếp tuyến T và T được định hướng
uuur
r
r dM R sin t
r
bởi v , trong đó : v
.
dt R cos t
Theo biểu diễn tham số :

; R , tại mọi điểm M ứng
M

T

SVTH: Bùi Thị Lê

- 21 -


K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp
Vì

uuuur r
M v

R cos t

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

R sin t

0, nên ta có ( M )

R sin t R cos t

T.

Mệnh đề 3. Cho C là một đường tròn, có phương trình Descartes
x2

y2

0 và M 0 ( x0 , y0 ) C . Tiếp tuyến tại M o với C có

2 x 2 y


phương trình Descartes :

x0 x

y0 y

( x0

x)

( y0

0.

y)

Người ta nói rằng phương trình Descartes của tiếp tuyến thu được bằng cách
tách đôi : trong phương trình Descartes của C thay x 2 bởi x0 x , y 2 bởi y0 y ,

x0

2 x bởi

x , 2 y bởi

y0

y .


Chứng minh :
Đường tròn C có phương trình Descartes :

x

2

(y

)2

2

2

vậy sẽ có biểu diễn tham số :
2

Nếu ký hiệu R

2

,

x
y

R cos t
,t
R sin t


(giả thiết

2

¡ .

2

0 ), với M 0

C , tiếp

tuyến tại M 0 với C có phương trình Descartes :

cos t0 X

x0

R cos t0 X
x0

a X

sin t0 Y

y0

R sin t0 Y


x0

y0

b Y

x0

0,
x0
y0

y0

y0

0,

0.

1.4.4 Vị trí tương đối của một đường thẳng và một đường tròn
là một đường thẳng và C

Cho

C

; R là một đường tròn.

1) Nếu d ( , )


R thì

2) Nếu d ( , )

R thì

tiếp xúc với đường tròn C và

3) Nếu d ( , )

R thì

C gồm hai điểm phân biệt.

R

C

.

R
C

C
SVTH: Bùi Thị Lê

C là một đơn tử.

R

C

tiếp xúc C
- 22 -

C

C tại hai điểm phân biệt
K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Mệnh đề 4 - Định nghĩa. Cho
, cắt đường tròn C

E2, R

¡ * . Mọi đường thẳng

; R tại đúng hai điểm A, B và

đi qua

là trung điểm của

AB . Đường thẳng ( AB) (hay đoạn thẳng AB ) được gọi là một đường kính


của một đường tròn C

;R .

Mệnh đề 5. Cho A, B E 2 , sao cho A
uuur uuur
M E 2 : MAMB 0 .

B . Đường tròn có đường kính AB là

Chứng minh :
Ký hiệu là trung điểm của AB và R
uuur uuur
Ta có : MAMB 0
uuuur uuur uuuur uuur
M
A M
B 0
uuuur uuur uuuur uuur
M
A M
A 0

M

2

2

A


M

A.
M
A

B

R.

1.4.5 Góc ở tâm và góc nội tiếp
Mệnh đề 6. Cho C là một đường
tròn với tâm là
và A, B, M là ba
điểm của C từng cặp phân biệt.
Ta có :
uuur uuur
uuur uuur
A, B 2 MA, MB 2 .

M

A

B

Nói cách khác góc ở tâm bằng hai
lần góc nội tiếp tương ứng.
Chứng minh :

Ta sử dụng hệ thức Chasles đối với góc và có các tam giác AM và BM
đều cân tại , ta có :
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
A, B
A, MA
MA, MB
MB, B
uuur uuuur
uuur uuur
uuuur uuur
uuur uuur
MA, M
MA, MB
M , MB 2 MA, MB 2

SVTH: Bùi Thị Lê

- 23 -

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

Mệnh đề 7. Cho C là một đường

tròn,
là tâm của nó, A và B là
hai điểm phân biệt của C , T là
tiếp tuyến với C tại B . Ta có :
uuur uuur
A, B 2 ( AB), T 2 .

T

A

B

Chứng minh :
Vì tam giác AB cân tại và vì ( B ) trực giao với T , ta có :
uuur uuur
uuur uuur
A, B
2 AB, B
uuur uuur
2
AB, B
2
2

AB , T 2

.

1.5 Đường cônic trong mặt phẳng afin Euclide

Khi cần mặt phẳng afin Euclide (định hướng) E 2 được trang bị một hệ
r r
quy chiếu trực chuẩn
O; i , j .
1.5.1 Định nghĩa đơn tiêu các đường cônic
Định nghĩa 1. Cho F
F

,e ¡

*

E2 ,

là một đường thẳng của E 2 sao cho

. Đường cônic với tiêu điểm F , đường chuẩn liên kết

, tâm

sai e , là bộ phận C của E 2 xác định bởi :

C

M

E 2 : MF

eMH ,


trong đó H là hình chiếu vuông góc của M lên .
Như vậy :
C M E 2 : d (M , F ) e.d (M , ) .
Một phương trình Descartes của C .
Ta ký hiệu d

d F,

, I là hình chiếu vuông góccủa F lên
r 1 uur
r
r r
IF và j
hệ quy chiếu trực chuẩn
I ; i , j , trong đó i
d

SVTH: Bùi Thị Lê

- 24 -

, và xét trong
r
Rot i .
2

K33 – Khoa Toán


Khóa luận tốt nghiệp


E 2 , khi đó ta có H 0, y , suy ra :

Cho M ( x, y )
M

C

GVHD: Đinh Thị Kim Thúy

( x d )2
(1 e2 ) x 2

y2

y

e2 x 2

y2

H

2dx d 2

M

0.

Fd


I

x

Hình dạng của C phụ thuộc vào dấu của 1 e2 .
Định nghĩa 2.

0 e 1
elip

I

F

d

e 1
parabol

e 1
hypebol

F

I

F

I


d

d

NHẬN XÉT :
1) Ta có thể coi trường hợp đường tròn là ứng với e 0 trong phương trình
trên đây.
2) Các cônic suy biến, đó là , một đơn tử, hợp của hai đường thẳng.
3) Đường parabol (không suy biến) không có tâm đối xứng. Nếu e 1 , thì C
là parabol có phương trình y 2

2dx d 2

y

d
.
2
Ta ký hiệu p d , gọi là tham số
y2

0, hoặc

2d x

p p
2 2

của parabol C .

Ta lấy trung điểm O của cặp điểm
FI làm gốc mới.
Một phương trình Descartes của C
là : y 2 2 px .

SVTH: Bùi Thị Lê

I O

x

F

C

- 25 -

K33 – Khoa Toán