TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
****************

BÙI KIM MY

HÀM SUY RỘNG PHI TUYẾN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải Tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. Tạ Ngọc Trí

Hà Nội - 2011



LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS. Tạ Ngọc Trí đã
tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo tận
tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Đồng thời, em cũng xin gửi lời
cảm ơn tới anh Hoàng Đức Trường học viên cao học K13 đã chỉ bảo em
trong suốt thời gian thực hiện khóa luận.
Qua đây em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và
thực hiện khóa luận tốt nghiệp.

Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Tác giả
Bùi Kim My

2


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí khóa luận
được hoàn thành không trùng với bất kì công trình khoa học nào khác.
Trong khi thực hiện khóa luận tác giả đã sử dụng và tham khảo các
thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng.

Hà Nội, tháng 05 năm 2011
Tác giả
Bùi Kim My

3


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Chương 1.Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7


1.1.Một vài ký hiệu và khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.1.1. Một vài ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Một vài khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
8

1.2.Không gian các hàm thử . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.Không gian các hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.4.Đạo hàm của hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5.Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6.Biến đổi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19


Chương 2.Tích hai hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.1.Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng . . . . . . . . .

23

2.2.Tích của hai hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2.2.1. Phương pháp chính quy và tiến qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2. Phương pháp Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
27

2.3.Kết quả không thể của Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34


4


Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài
Hàm suy rộng là một khái niệm được mở rộng từ khái niệm hàm số cổ
điển, trong đó ngoài lớp các hàm thông thường người ta thêm vào các hàm
đo được, khả tích địa phương, và các hàm thông thường khác mà một đại
diện là hàm Delta Dirac δ(x).
Hàm suy rộng xuất hiện lần đầu trong thập kỷ thứ hai thế kỷ 20 trong
các công trình của P. A. M. Dirac về cơ học lượng tử. Lý thuyết toán học
của hàm suy rộng được S. L. Sobolev đặt cơ sở để giải bài toán Cauchy
cho phương trình hypebolic (1936) và đến năm 1945 L. Schwartz đã xây
dựng một cách hệ thống cho lý thuyết hàm suy rộng. Ngày nay, lý thuyết
hàm suy rộng được phát triển và ứng dụng trong nhiều ngành khoa học.
Để tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng và được sự hướng dẫn của TS. Tạ
Ngọc Trí em đã chọn đề tài "Hàm suy rộng phi tuyến” để làm khóa
luận tốt nghiệp đại học ngành Cử nhân khoa học Toán học của mình.
Khóa luận tập trung làm rõ một số vấn đề sau: Trình bày một số kiến
thức cơ bản của hàm suy rộng, phép lấy tích hai hàm suy rộng và kết quả
không thể của Schwartz.
Bố cục của khóa luận bao gồm 2 chương:
Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt về một số ký hiệu và khái
niệm, các không gian hàm cơ bản và suy rộng. Cuối chương, trình bày
về phép toán đạo hàm, tích chập và biến đổi Fourier.
Chương 2 của khóa luận đi vào trình bày phép lấy tích của hai hàm
suy rộng. Phần đầu chương trình bày về phép lấy tích của một hàm
trơn và một hàm suy rộng. Tiếp theo trình bày các phương pháp định



nghĩa tích của hai hàm suy rộng và mối quan hệ giữa các cách định
nghĩa đó. Cuối chương là kết quả không thể của Schwartz.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu vấn đề hàm suy rộng.
- Nghiên cứu việc lấy tích của hai hàm suy rộng.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu về hàm suy rộng của Schwartz
- Nghiên cứu phép lấy tích của hai hàm số
4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc tài liệu, phân tích, tổng hợp, so sánh, tổng hợp kiến thức.

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1.

Một vài ký hiệu và khái niệm

1.1.1.

Một vài ký hiệu

• Zn+ := {x = (x1 , x2 , ...xn ) : xi ∈ Z+ } .
• Rn := {x = (x1 , x2 , ...xn ) : xi ∈ R} .
• C(Ω) : tập các hàm liên tục trong Ω.
• C k (Ω) : tập các hàm liên tục có các đạo hàm riêng liên tục tới cấp k
trên Ω.

• C ∞ (Ω) : tập các hàm khả vi vô hạn trong Ω.
• Lp (Ω) : là tập các hàm f đo được theo nghĩa Lebesgue trong Ω sao
cho
1
||f || = ( |f (x)|p dx) p < ∞.
Ω

• Lloc (Ω) : là tập hợp các hàm trong Ω sao cho mọi tập V compact
trong Ω thì f khả tích trong V.
Một đa chỉ số (hay chính xác hơn : một n - đa chỉ số ) là α = (α1 , α2 , ..., αn ),
với αj ∈ Z+ , (j = 1, 2, ..., n). Độ dài (hay cấp của α) là | α |= α1 +α2 +αn .
Toán tử vi phân liên kết với đa chỉ số α là ∂ α = ∂1α1 ∂2α2 ...∂nαn , trong
∂
∂
đó ∂j =
, hoặc Dα = D1α1 D2α2 ...Dnαn với Dj =
, j = 1, 2, ..., n và
∂x
i∂x
j
j
√
i = −1.
7


Ví dụ 1.1. Cho hàm u(x, y) = x2 y 2 + x + y + xy, α = (1, 2) ∈ Z2+ .
Khi đó ∂ α = ∂xα1 ∂yα2 = ∂x1 ∂y2 = 4x3 y 2 + 2x2 y + 2x2 .
Cho Ω là một tập mở khác rỗng trong Rn . Một hàm số f : Ω −→ C,
x −→ f (x), nếu toán tử vi phân ∂ α f tồn tại và liên tục với mọi đa chỉ số

α ∈ Zn+ thì ta nói f ∈ C ∞ (Ω). Điều này cũng có nghĩa là f ∈ C ∞ (Ω) nếu
f là hàm khả vi liên tục mọi cấp.
Giá của một hàm liên tục f : Ω −→ C là bao đóng trong Ω của tập
hợp {x ∈ Ω : f (x) = 0} được kí hiệu là suppf . Hay suppf = cl{x ∈ Ω :
f (x) = 0} ⊂ Ω .
Nếu K là tập compact trong Rn thì ta kí hiệu
DK = {f ∈ C ∞ (Ω) : suppf ⊆ K}.

1.1.2.

Một vài khái niệm

Một không gian vectơ tôpô X trên trường P với (P = C hoặc P = R)
là một không gian vectơ trên trường P được trang bị một tôpô thích hợp
sao cho các ánh xạ (x, y) −→ x + y và (λ, y) −→ λy là liên tục.
Trong không gian vectơ tôpô X , một tập hợp E ⊂ X gọi là tập bị chặn,
nếu với mọi lân cận V của gốc θ, có một số s > 0 sao cho ∀t > s thì
E ⊂ tV . Nếu gốc θ có một lân cận bị chặn thì không gian X gọi là bị chặn
địa phương.
Một tập hợp E ⊂ X của không gian vectơ tôpô X gọi là tập hút nếu
∀x ∈ X , ∃t = t(x) = 0 sao cho x ∈ tE . Nếu ∀α ∈ C mà |α| ≤ 1, ta có
αE ⊂ E thì E được gọi là tập con cân đối của X .
Một không gian vectơ tôpô X gọi là không gian lồi địa phương nếu có
một cơ sở lân cận của gốc θ gồm toàn những tập lồi.
Một không gian lồi địa phương gọi là một không gian Fréchet nếu nó
là không gian metric đủ với metric cảm sinh d thỏa mãn d(x + z, y + z) =
d(x, y) (d bất biến với phép tịnh tiến).
Một không gian vectơ tôpô X gọi là có tính chất Heine - Borel , nếu
mọi tập con đóng và bị chặn của X đều là tập compact.


8


1.2.

Không gian các hàm thử

Cho K là tập compact trong Rn , DK ký hiệu là không gian của tất cả
các hàm f ∈ C ∞ (Rn ) sao cho suppf ⊆ K . Nếu K ⊂ Ω thì
DK = {f ∈ C ∞ (Ω) : suppf ⊆ K}.
Để xây dựng một tôpô τ trên C ∞ (Ω) sao cho C ∞ (Ω) trở thành một
không gian Fréchet, có tính chất Heine - Borel , và DK là một tập con
đóng của C ∞ (Ω) mỗi khi K ⊂ Ω . Chúng ta chọn các tập compact Kj (j =
1, 2, ...) sao cho Kj ⊂ intKj+1 và Ω = j Kj và định nghĩa một họ nửa
chuẩn pN trên C ∞ (Ω), N = 1, 2, ... như sau

pN = max{|Dα f (x)| : x ∈ KN , |α| ≤ N }.
khi đó ta được các tính chất nói ở trên của không gian C ∞ (Ω). Một cơ sở
địa phương của không gian này được cho bởi các tập hợp

VN = {f ∈ C ∞ (Ω) : pN (f ) <

1
}, (N = 1, 2, ...).
N

Định nghĩa 1.1. Hợp của tất cả các không gian DK khi K chạy trên tập
tất cả các tập compact của Ω , gọi là không gian các hàm thử trên Ω , và
ký hiệu là D(Ω).
Hiển nhiên D(Ω) là một không gian vectơ với phép cộng và phép nhân

với vô hướng thông thường của các hàm nhận giá trị phức. Ta cũng thấy
rằng hàm φ ∈ D(Ω) nếu và chỉ nếu φ ∈ C ∞ (Ω) và suppφ là tập compact
trong Ω . Với mỗi φ ∈ D(Ω) thì

||φ||N = max{|Dα φ(x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N }, N = 1, 2, ....
Định nghĩa 1.2. Cho Ω là một tập không rỗng và mở trong Rn
a) Với mọi tập compact K ⊂ Ω, τK ký hiệu là tôpô của không gian
Fréchet DK .
b) β là tập tất cả các tập lồi cân đối W ⊂ D(Ω) sao cho DK ∩ W ∈ τK
với mọi tập compact K ⊂ Ω .
c) τ là họ của tất cả các hợp có dạng φ + W , với φ ∈ D(Ω) và W ∈ β.

9


Định lý 1.1. a)τ là một tôpô của không gian D(Ω) và β là một cơ sở
địa phương của τ.
b) τ làm cho D(Ω) trở thành một không gian vectơ tôpô lồi địa phương.
Chứng minh.
a) Giả sử V1 , V2 ∈ τ, φ ∈ V1 ∩ V2 , ta chỉ cần chứng
minh ∃W ∈ β sao cho

φ + W ⊂ V1 ∩ V2 , ∀W ∈ β.
Theo sự định nghĩa của τ , tồn tại các φi ∈ D(Ω) và Wi ∈ β sao cho

φ ∈ φi + Wi ⊂ Vi ,

(i = 1, 2).

Chọn tập compact K ⊂ Ω sao cho DK chứa φ1 , φ2 và φ. Từ DK ∩ Wi là

tập mở trong DK , ta có

φ − φi ∈ (1 − δi )Wi , δi > 0.
Do Wi là tập lồi nên

φ − φi + δi Wi ⊂ (1 − δi )Wi + δi Wi = Wi ,
hay

φ + δi Wi ⊂ φi + Wi ⊂ Vi ,

(i = 1, 2).

Do đó, chọn W = (δ1 W1 ) ∩ (δ2 W2 ) thì φ + W ⊂ V1 ∩ V2 .
Vậy τ là một tôpô trong D(Ω). Hiển nhiên β là một cơ sỏ của τ.
b) Giả sử φ1 , φ2 là hai phần tử phân biệt của D(Ω), và với φ ∈ D(Ω)
đặt
||φ||0 = sup |φ(x)|
x∈Ω

và

W = {φ ∈ D(Ω) : ||φ1 − φ2 ||0 < ||φ||0 }
thì W ∈ β và φ1 không nằm trong φ2 + W . Do đó, các tập một điểm {φ}
đều là tập hợp đóng trong tôpô τ.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh các phép toán đại số trên D(Ω) tương
thích với tôpô τ . Phép cộng là liên tục, vì với mọi φ1 , φ2 ∈ D(Ω) và
1
φ1 + φ2 + W ∈ τ với W ∈ β. Do W là tập cân đối nên W ∈ β suy ra
2
10



1
1
1
1
φ1 + W ∈ τ , φ2 + W ∈ τ vàφ1 + W ∈ τ + φ2 + W ∈ τ ⊆ φ1 + φ2 + W.
2
2
2
2
Vậy phép cộng hai phần tử trong D(Ω) là liên tục theo τ.
Với α0 ∈ C và φ0 ∈ D(Ω) ta có
αφ − α0 φ0 = α(φ − φ0 ) + (α − α0 )φ0 .
1
1
Với mọi W ∈ β tồn tại δ > 0 sao cho δφ0 ∈ W. Đặt c =
thì
2
2(|α0 | + δ)
do W là tập lồi và cân nên ta có αφ − α0 φ ∈ W, với mọi |α − α0 | < δ
và φ ∈ φ0 + cW. Vậy phép nhân với phần tử vông hướng là liên tục trong
D(Ω) theo tôpô τ.
Vậy chứng tỏ không gian các hàm thử D(Ω) là không gian vectơ tôpô và
hơn nữa còn là không gian lồi địa phương.
Trong suốt chương này ta luôn giả sử K là một tập mở không rỗng của
Ω. Ta thừa nhận một số kết quả sau
Định lý 1.2. a) Một tập con lồi, cân đối V của D(Ω) là mở nếu và chỉ
nếu V ∈ β.
b) Các topo τK của DK trùng với tôpô của không gian con DK cảm sinh

từ D(Ω).
c) Nếu E là một tập con bị chặn của D(Ω), thì E ⊂ D(Ω), ∀K ⊂ Ω ,
và có các số MN < ∞ sao cho ∀φ ∈ E thỏa mãn bất đẳng thức

||φ|| ≤ MN ,

(N = 0, 1, 2, ...).

d) Nếu (φj ) là một dãy Cauchy trong D(Ω), thì (φj ) ⊂ DK với mọi tập
compact K ⊂ Ω và

lim ||φi − φj ||N = 0,

i,j→∞

(N = 0, 1, 2, ...).

e) Nếu (φj ) → 0 trong tôpô của D(Ω), thì có một tập compact K ⊂ Ω
nào đó chứa tất cả suppφj , và Dα φj hội tụ đều tới 0, khi j → ∞ với mọi
đa chỉ số α.
f) Trong D(Ω), mọi dãy Cauchy đều hội tụ.
Định lý 1.3. Giả sử u là một ánh xạ tuyến tính từ D(Ω) vào một không
gian lồi địa phương Y . Khi đó các điều sau là tương đương:
11


a) u là
b) u bị
c) Nếu
d) Khi

tục.

liên tục.
chặn.
(φj ) → 0 trong D(Ω), thì uφj → 0 trong Y.
thu hẹp u trên bất kỳ DK ⊂ D(Ω) thành uK thì uK luôn liên

Hệ quả 1.2.1. Mọi toán tử vi phân Dα là một ánh xạ liên tục từ D(Ω)
vào chính nó.

1.3.

Không gian các hàm suy rộng

Định nghĩa 1.3. Một dạng tuyến tính (hay một phiếm hàm tuyến tính)
u : D(Ω) −→ C gọi là một hàm suy rộng (theo nghĩa Schwartz) xác định
trên Ω , nếu với mọi tập compact K ⊂ Ω , có một số thực c ≥ 0 và một số
nguyên không âm N sao cho

sup|∂ α φ|, ∀φ ∈ D(Ω)

| u, φ | ≤
|α|≤N

với suppφ ⊂ K. Tập tất cả các hàm suy rộng xác định trên Ω lập thành
một không gian, gọi là không gian các hàm suy rộng trên Ω , và ký hiệu là
D (Ω).
Dựa vào định nghĩa trên ta thấy rằng :
1. Các hàm số liên tục thông thường là các hàm suy rộng.
Thật vậy, giả sử f là một hàm liên tục trên Ω , thế thì f là một hàm

khả tích trên Ω . Hơn nữa

| f, φ | = |

f (x)φ(x)dx| ≤
Ω

≤(

|f (x)||φ(x)|dx
Ω

|f (x)|dx). sup |φ(x)|, ∀φ ∈ D(Ω).
Ω

Ω

Đặt

|f (x)|dx ≥ 0.

c=
Ω

12


Vì vậy | f, φ | ≤ c. sup |φ(x)|, ∀φ ∈ D(Ω), hay f là hàm suy rộng (theo
Ω


nghĩa Schwartz ).
2. Các hàm f trong không gian Lp (Ω), 1 ≤ p ≤ ∞ cũng là các hàm suy
rộng, với

f, φ =

f (x)φ(x)dx.
Ω

3. Hàm Dirac δ : D(Rn ) −→ C, φ −→ δ, φ = φ(0).
Ở đây φ ∈ D(Rn ) nên φ là hàm khả vi liên tục mọi cấp và suppφ ⊂
K − compact ⊂ Rn cũng là một hàm suy rộng. Vì | δ, φ | = |φ(0)| ≤
1.sup|φ(x)|, ∀φ ∈ D(Rn ) mà suppφ ⊂ K , K − compact ⊂ Rn . Vì vậy δ là
một hàm suy rộng (gọi là hàm suy rộng Dirac hay hàm Delta Dirac).
4. Hàm |x| : D(R) −→ C.
Với
|x|φ(x)dx,
φ −→ |x|, φ =
R

và suppφ ⊂ K, K là tập compact.
Ta có

| |x|, φ | = |

|x|φ(x)dx| ≤
R

|x||φ(x)|dx
R


|x| sup |φ(x)|dx = sup φ(x)(

≤

R

R

R

= sup |φ(x)|(

|x|dx)
R

|x|dx).

K

K

Đặt

|x|dx ≥ 0.

c=
K

Hay


| |x|, φ | ≤ c. sup |φ(x)|, ∀φ ∈ D(R).
K

Vậy |x| là một hàm suy rộng.
Định lý 1.4. Một phiếm hàm tuyến tính u xác định trên D(Ω) là một
hàm suy rộng nếu và chỉ nếu

lim u, φj = 0

j→∞

13


với mọi dãy (φj ) hội tụ tới 0 trong D(Ω) khi j → ∞.
Định nghĩa 1.4. Cho u ∈ D (Ω).
1. Hàm suy rộng u được gọi là bằng 0 trên tập mở K ⊂ Ω, ký hiệu
u|K = 0 nếu u, φ = 0, ∀φ ∈ D(K).
2. Giá của hàm suy rộng u được ký hiệu suppu và được xác định bởi

suppu = Ω \

{K|K mở } ⊂ Ω và u|K = 0 .

Nếu u có suppu là tập compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy rộng có
giá compact. Tập hợp các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệu bởi
E (Ω).

1.4.


Đạo hàm của hàm suy rộng

Định nghĩa 1.5. Cho u ∈ D (Ω) thì phiếm hàm tuyến tính
∂ α u, φ = (−1)|α| ∂ α u, φ , φ ∈ D(Ω),
α là đa chỉ số, được gọi là đạo hàm suy rộng cấp α của hàm suy rộng u
và được kí hiệu là ∂ α u.
Nếu |uφ| ≤ C||φ|| với mọi φ ∈ DK , thì

| ∂ α u, φ | ≤ C||∂ α φ||N ≤ C||φ||N +|α| .
Từ đó ta có ∂ α u ∈ D (Ω). Và ta có công thức

∂ α ∂ β u = ∂ α+β u = ∂ β ∂ α u, ∀u ∈ D (Ω), ∀α, β
là các đa chỉ số.
Trong trường hợp f là các hàm thường khả vi thì đạo hàm theo nghĩa
suy rộng trùng với đạo hàm theo nghĩa thông thường. Vì khi f ∈ C1 (Ω)
thì
∂φ
∂f
φ+
f ) = 0.
∂j (f, φ)dxj = (
∂xj
Ω
Ω ∂xj
Theo định lý Fubini ta có

∂j (f, φ)dx1 ...dxn = 0.
Ω


14


Từ đó

∂j f φdx = −

f ∂j φdx.

Ω

Ω

Vì vậy , nếu f ∈ C1 (Ω) thì cũng xác định một hàm suy rộng f ∈ D (Ω), và

f, ϕ =

f (x)ϕ(x)dx.
Ω

Ví dụ 1.2. Hàm Heaviside

H(x) =

1 nếu x > 0
0 nếu x < 0,

Ở đây H : R −→ {0, 1}, Ω = R và
+∞


H, φ =

+∞

H(x)φ(x)dx =
−∞

1.φ(x)dx.
0

Ta có
+∞

∂H, φ = (−1)1 H, ∂φ = −
−∞
+∞

0

=−

H(x)∂φ(x)dx

0.∂φ(x)dx −

−∞

+∞

1.∂φ(x)dx = −

0

+∞

= φ(x)

= φ(0) = δ, φ ,
0

∂φ(x)dx
0

∀φ ∈ D(R).

Vậy ∂H = δ .
Ví dụ 1.3. Hàm f (x) = log |x|.
Ta có f : R \ {0} −→ R, x −→ log |x|, khi đó f là hàm khả tích địa
phương trên R. Do đó f là một hàm suy rộng với
+∞

f (x)φ(x)dx, ∀φ ∈ D(R).

f, φ =
−∞

15


Ta tính ∂f , ta có
+∞


∂f, φ = (−1)1 f, ∂φ = −

f (x)∂φ(x)dx

−∞
+∞

=−

log |x|∂φ(x)dx

−∞
0

=−

+∞

log |x|∂φ(x)dx −

−∞

log |x|∂φ(x)dx
0



−


= − lim+ 
→0

+∞

log |x|∂φ(x)dx +



log |x|∂φ(x)dx .

−∞

Đặt u = log |x|, dv = ∂φ(x)dx, và áp dụng công thức tích phân từng
phần ta thu được


+∞
−

φ(x) 
φ(x)
α
∂ f, φ = lim+ [φ( ) − φ(− )] log +
dx +
dx

→0 
x
x

−∞

 −
+∞
φ(x) 
φ(x)
dx +
dx ,
= lim+ 
→0
x
x
−∞

1
trong đó lim →0+ [φ( ) − φ(− )] log = 0. Ở đây hàm không phải là hàm
x
1
khả tích địa phương, tức ∈
/ L1loc (R) nên ta không thể xem hàm suy rộng
x
1
1
dưới dạng tích phân. Tuy nhiên ta có thể định nghĩa xác định một hàm
x
x
1
suy rộng thuộc D (R) là đạo hàm của hàm ln |x| và ∈ D (R) \ L1loc (R).
x
1

Như vậy ∂ ln |x| = .
x
Biểu thức lim+
→0

− φ(x)
−∞ x dx

+

+∞ φ(x)
x dx

+∞

thường được kí hiệu là

được gọi là tích phân chính.
Định lý 1.5. (Định lý cấu trúc của Schwartz)
16

−∞

φ(x)
x dx


Bất kỳ một hàm suy rộng đều là đạo hàm địa phương của một hàm liên
tục. Nói cách khác: ∀T ∈ D (Ω), ∀x0 ∈ Ω tồn tại một lân cận mở Vx0 của
x0 trong Ω , tồn tại hàm f ∈ C(Vx0 ) và tồn tại một toán tử đạo hàm riêng

∂ sao cho
T |Vx0 = ∂f trong D (Vx0 )
trong đó T |Vx0 là hạn chế của T trên Vx0 .
Từ định lý này, các hàm suy rộng tạo thành một không gian nhỏ nhất,
trong đó các hàm liên tục đều khả vi vô hạn và cũng chứa tất cả các hàm
thuộc Lploc , p = 1, 2, ..., ∞.

1.5.

Tích chập

Cho 1 ≤ p < ∞, đặt
Lp (Rn ) = f xác định và đo được trên Rn : Rn |f (x)|p dx < ∞ ,
trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa Lebesgue. Khi trang bị chuẩn

||f ||Lp = (

1

|f (x)|p dx) p ,
Rn

thì Lp (Rn ) trở thành một không gian Banach.
Nếu f, g ∈ L1 (Rn ) thì tích chập của f và g , ký hiệu là f ∗ g , được xác
định như sau:

(f ∗ g)(x) =

f (y)g(x − y)dy.
Rn


Ta có thể chứng minh được tích chập (f ∗ g)(x) tồn tại hầu khắp nơi,
f ∗ g ∈ L1 (Rn ), và ||f ∗ g||L1 ≤ ||f ||L1 ||g||L1 . Điều này làm cho L1 (Rn ) trở
thành một đại số Banach, nhưng không có phần tử đơn vị. Ta có thể định
nghĩa tích chập của f ∈ L1 (Rn ) và g ∈ Lp (Rn ), 1 ≤ p < ∞. Tiếp theo
chúng ta đề cập tới tích chập của u ∈ D (Rn ) và ρ ∈ D(Rn ).
Định lý 1.6. Nếu u ∈ D (Rn ) và ρ ∈ D(Rn ), thì

(ρ ∗ u)(x) = u(y), ρ(x − y) , x ∈ Rn ,
và hàm này là một phần tử của C ∞ (Rn ).
17


Trong lý thuyết hàm suy rộng tích chập của hai hàm suy rộng là một
công cụ mạnh và được định nghĩa như sau
Định nghĩa 1.6. Nếu u, v ∈ D (Rn ), ta gọi tích chập của u và v , ký hiệu
là u ∗ v là phiếm hàm tuyến tính sau

u ∗ v, φ = u(y), v(x), φ(x + y) ,
trong đó φ ∈ D(Rn ), mỗi khi u, ψ với ψ(y) = v(x), φ(x + y) .
Dựa vào định nghĩa trên thì phiếm hàm tuyến tính u ∗ v ∈ D (Rn ). Hơn
nữa, nếu một trong hai hàm u hoặc v có giá compact thì theo định nghĩa
trên ta có u ∗ v = v ∗ u.
Chú ý 1.5.1.
a) u ∗ δ = δ ∗ u = u,

∀u ∈ D (Rn ).

Thật vậy, vì δ là hàm có giá compact và


u ∗ δ, φ = u(y), δ(x), φ(x + y)

= u(y), φ(y) = u, φ .

Hay u ∗ δ = u, tương tự ta cũng có δ ∗ u = u.
b) Định nghĩa tích chập ở trên vẫn đúng trong trường hợp f, g ∈
L1 (Rn ).
Thật vậy, với mọi φ ∈ D(Rn ), ta đặt

h(y) =

g(x)φ(y + x)dx,
Rn

thì h ∈ L1 (Rn ). Hơn nữa,

|h(y)| ≤

|g(x)φ(y + x)|dx =
Rn

|g(t − y)φ(t)|dt
Rn

≤ sup |φ(t)|
t∈suppφ

= c||g||L1 ,

18


|g(t − y)|dt
Rn

∀y ∈ Rn .


Từ đó

f (y), g(x), φ(y + x)

= f (y), h(y) = u, φ =

f (y)h(y)dy,
Rn

và |f (y)h(y)| ≤ c||g||L1 |f (y)|, ta có sự tồn tại của f (y), g(x), φ(y + x) ,
nên f ∗ g tồn tại. Ta cũng có

f ∗ g, φ =

f (y)g(x)φ(y + x)dxdy
Rn ×Rn

=

f (y)g(t − y)dy)φ(t)dt

(
Rn


Rn

f (y)g(t − y)dy, φ(t) .

=
Rn

Vậy (f ∗ g)(t) =

1.6.

Rn

f (y)g(t − y)dy.

Biến đổi Fourier

Định nghĩa 1.7. Nếu f ∈ L1 (Rn ), biến đổi Fourier fˆ (hoặc f ∧ hoặc
của f được xác định bởi

fˆ(ξ) =
Rn

f)

f (x)e−ix.ξ dx, ξ ∈ Rn ,

trong đó x.ξ là tích vô hướng trên Rn và x.ξ =


n

xj ξj .
j=1

Biến đổi Fourier của hàm f cũng có thể được định nghĩa một cách tương
đương
n
f (x)e−ix.ξ dx, ξ ∈ Rn .
fˆ(ξ) = (2π)− 2
Rn

Ta sẽ mở rộng khái niệm hàm suy rộng, hoặc thay vào đó là một không
gian con đặc biệt của D (Rn ) mà ta gọi là không gian các hàm suy rộng
tăng chậm.
Định nghĩa 1.8. Ta ký hiệu S(Rn ) là các hàm f ∈ C ∞ (Rn ) sao cho

pα,β = sup |xβ Dα f (x)| < ∞,
x∈Rn

với mọi đa chỉ số α, β. Gọi là không gian các hàm giảm nhanh.
19


2

Ta có thể chứng minh được khi f ∈ D(Rn ), thì f ∈ S(Rn ); hoặc e−|x|
cũng thuộc S(Rn ).
Họ {pα,β : α, β là các đa chỉ số } là họ nửa chuẩn tách được xác định
trên S(Rn ) và nó mô tả một tôpô lồi địa phương. Hơn nữa, tôpô này là khả

mêtric và S(Rn ) là không gian đủ. Vì vậy, S(Rn ) là không gian Fréchet.
Và ta có:
φj −→ 0 trong S(Rn ) ⇐⇒ ∀α, β, pα,β −→ 0.
Ta cũng thấy rằng phép nhúng D(Rn ) → S(Rn ) là liên tục và D(Rn ) là
trù mật trong S(Rn ) với tôpô trên S(Rn ) nói ở trên. Một kết quả quan
trọng trong S(Rn ) là
Bổ đề 1.6.1. Biến đổi Fourier

: S(Rn ) −→ S(Rn ), với
n

φ(ξ) = (2π)− 2

e−ix.ξ φ(x)dx
Rn

là một ánh xạ liên tục.
Sau đây chúng ta sẽ định nghĩa hàm suy rộng tăng chậm
Định nghĩa 1.9. Cho u ∈ D (Rn ), nếu u liên tục trên S(Rn ) thì ta nói
u là một hàm suy rộng tăng chậm.Tập hợp các hàm suy rộng tăng chậm
ký hiệu là S (Rn ). Một dãy (uj )1≤j≤∞ trong S (Rn ) gọi là hội tụ tới hàm
u ∈ S (Rn ) nếu uj , φ → u, φ với mọi φ ∈ S(Rn ) khi j → ∞.
Ta có nhận xét rằng, L1 (Rn ) ⊂ S (Rn ), và các hàm suy rộng có giá
compact trong D (Rn ) là hàm suy rộng tăng chậm. Chẳng hạn, với hàm
Dirac δ thì δ ∈ S (Rn ). Thật vậy, Nếu u ∈ D (Rn ) và có giá suppu là tập
compact K ⊂ Rn , ta cố định ψ ∈ D(Rn ) sao cho ψ = 1 trên một số tập
compact chứa K . Ta định nghĩa

u˜, f = u, ψf , f ∈ S(Rn ).
Nếu fj → 0 trong S(Rn ) khi j → ∞, thì Dα fj hội tụ đều tới 0 trên

Rn khi j → ∞. Do đó, Dα (ψfj ) hội tụ đều tới 0 trên Rn khi j → ∞.
Điều cuối cùng này chứng tỏ u
˜ là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
n
S(R ). Từ đó u˜, φ = u, φ , φ ∈ S(Rn ) và u˜ là một mở rộng của u. Vậy
20


δ ∈ S (Rn ).
Bây giờ chúng ta sẽ định nghĩa biến đổi Fourier của các hàm suy rộng
tăng chậm.
Định nghĩa 1.10. Biến đổi Fourier của hàm u ∈ S (Rn ) là hàm suy rộng
uˆ ∈ S (Rn ) được xác định bởi uˆ, φ = u, φˆ , φ ∈ S(Rn ).
Từ bổ đề 1.6.1 ta có, nếu φj → 0 khi j → 0 trong S (Rn ), thì φˆj → 0
khi j → 0 trong S(Rn ) và nó thỏa mãn những tính chất nói ở trên. Nếu
f ∈ L1 (Rn ), thì f cũng là một phần tử của S (Rn ), ký hiệu là uf . Vậy
câu hỏi đặt ra là: có hai sự định nghĩa của biến đổi Fourier của hàm f là
fˆ(ξ) = Rn f (x)e−ix.ξ , ξ ∈ Rn và uˆf , thì chúng có đồng nhất hay không?.
Câu trả lời là khẳng định, và chúng ta xem hàm suy rộng u
ˆf là tương ứng
với hàm fˆ. Ta có thể chỉ ra điều này như sau:

uˆf , φ = uf , φˆ =

ˆ =
f φdx
Rn

Rn


fˆφdx = fˆ, φ , φ ∈ S(Rn ).

Vậy uˆf ≡ fˆ.
Ví dụ 1.4. Hàm δ ∈ S (Rn ).
Thật vậy,

ˆ =
ˆ φ = δ, φˆ = φ(0)
δ,

e−ix.0 φ(x)dx
Rn

=

φ(x)dx =
Rn

φ(x)dx = 1, φ .
Rn

Từ đó, ta có δˆ = 1.
Ví dụ 1.5. Từ ví dụ trên, ta thấy rằng 1 ∈ S (Rn ). Hãy tính ˆ
1.
Ta có

1
ˆ
φ(ξ)dξ
= (2π)n [

(2π)n
Rn
= (2π)n φ(0) = (2π)n δ, φ

ˆ1, φ = 1, φˆ =

21

eiξ.0 φ(ξ)dξ]
Rn


Ở trên ta đã sử dụng biến đổi Fourier nghịch đảo

φ(x) =

1
(2π)n

ˆ
eiξ.x φ(ξ)dξ.
Rn

Vậy ta có ˆ
1 = (2π)n δ.

22


Chương 2

Tích hai hàm suy rộng
2.1.

Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng

Định nghĩa 2.1. Cho một hàm trơn f ∈ C∞ (Ω) và một hàm suy rộng
u ∈ D (Ω). Tích của hàm f và u, được ký hiệu là f u và được xác định
như sau

f u, φ = u, f φ ∀φ ∈ D(Ω).
Không khó để chứng minh vế phải của đẳng thức trên là một hàm suy
rộng. Thật vậy, rõ ràng nếu f ∈ C∞ (Ω) và ∀φ ∈ D(Ω), thì φ ∈ C∞ (Ω)
và suppφ ⊂ K, K là tập compact. Do đó f φ ∈ C∞ (Ω) và supp(f φ) ⊂
suppφ ⊂ K ⊂ Ω, hay

sup|∂ α (f φ|).

u, f φ ≤ c.
|α|≤N

Ví dụ 2.1. Nếu δ ∈ D (R) thì x.δ = 0.
Thật vậy, vì
+∞

xδ, φ = δ, xφ =

δ(x).(xφ)(x)dx.
−∞

và δ(x) = 0 khi x = 0, δ(x) = ∞ khi x = 0, nên

xδ, φ = δ(0).(xφ)(0) = 0.φ(0) = 0, ∀φ ∈ D(R).
Vậy x.δ = 0.
23


Ví dụ 2.2. Nếu u =

1
1
∈ D (R), ta chỉ ra x. = 1.
x
x

Ở đây, rõ ràng f (x) = x ∈ C ∞ (R). Ta có f u, φ = u, f φ , ∀φ ∈
D(R), hay
+∞

1
x. , φ
x

=

1
, xφ
x

1
.(xφ)(x)dx
x


=
−∞

0

+∞

x.φ(x)
x.φ(x)
.dx +
dx
=
x
x
−∞
0
 −

+∞
x.φ(x)
x.φ(x) 
= lim+ 
.dx +
dx
→0
x
x
−∞
+∞


=

+∞

φ(x)dx =
−∞

1.φ(x)dx
−∞

= 1, φ , ∀φ ∈ D(R).
1
= 1.
x
Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng cũng thỏa mãn công thức
Leibnizt về lấy đạo hàm.
Vậy x.

Định lý 2.1. Cho f ∈ C ∞ (Ω), u ∈ R và α là một đa chỉ số tùy ý. Thế
thì ta có
α!
∂ α (f u) =
∂ β f ∂ α−β u,
β!(α − β)!
β≤α

trong đó α! = α1 !α2 !...αn ! nếu α = (α1 , α2 , ..., αn ).
Ngoài việc lấy tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng như ở trên,
người ta còn có thể lấy tích của hai hàm suy rộng bất kì với đơn vị là 1.


2.2.

Tích của hai hàm suy rộng

2.2.1.

Phương pháp chính quy và tiến qua giới hạn

Định nghĩa 2.2. δ - dãy
24