Đường cong ghềnh và mặt cong
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.61 MB, 54 trang )
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
LỜI CẢM ƠN
Để hoàn thành khóa luận này, trƣớc hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy cô trong tổ hình học, khoa toán, trƣờng Đại học sƣ phạm Hà
Nội 2 đã giúp đỡ em trong suốt quá trình làm luận văn. Đặc biệt em xin chân
thành cảm ơn cô Đinh Thị Kim Thúy đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận
tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Do điều kiện thời gian hoàn thành khoá luận và khả năng bản thân còn
nhiều hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong
các thầy cô, các bạn đọc nhận xét và đóng góp ý kiến để em rút kinh nghiệm
và khoá luận này đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, tháng 5 năm 2011.
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Văn Hiền
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
1
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu
của tôi dƣới sự chỉ bảo của các thầy cô giáo, đặc biệt là sự hƣớng dẫn nhiệt
tình của cô Đinh Thị Kim Thuý.
Tôi xin cam đoan khoá luận tốt nghiệp với đề tài : “ Đường cong
ghềnh và mặt cong ” không có sự trùng lặp với các khoá luận khác.
Hà nội, tháng 5 năm 2011.
Sinh viên thực hiện
Nguyễn Văn Hiền
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
2
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
MỤC LỤC
Trang
PHẦN 1: MỞ ĐẦU ......................................................................................... 4
PHẦN 2: NỘI DUNG ..................................................................................... 5
CHƢƠNG 1: ĐƢỜNG CONG GHỀNH ........................................................ 5
1.1 Khái niệm .................................................................................................. 5
1.2 Tiếp tuyến tại một điểm ............................................................................ 6
1.3 Độ dài, độ cong, độ xoắn của cung trong E 3 ............................................ 9
1.4 Bài tập ....................................................................................................... 13
1.5 Hƣớng dẫn giải bài tập .............................................................................. 15
CHƢƠNG 2: MẶT CONG ............................................................................. 21
2.1 Khái niệm .................................................................................................. 21
2.2 Tiếp diện .................................................................................................... 22
2.3 Các mặt thông thƣờng ............................................................................... 24
2.4 Mặt bậc hai ................................................................................................ 30
2.5 Mặt kẻ, mặt khả triển ................................................................................ 35
2.6 Bài tập ....................................................................................................... 40
2.7 Hƣớng dẫn giải bài tập .............................................................................. 43
PHẦN 3: KẾT LUẬN ..................................................................................... 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 54
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
3
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là môn học có tính chất hệ thống chặt chẽ, có tính lôgic và
tính trừu tƣợng cao. Có nhiều bài toán trong hình học cao cấp nói chung, các
bài toán có liên quan đến đƣờng cong ghềnh và mặt cong mà việc tìm ra lời
giải là rất khó và thƣờng thì lời giải của bài toán thể hiện ngay trong phạm vi
kiến thức đã học. Do đó để làm đƣợc các bài tập này đòi hỏi ngƣời học phải
hiểu sâu sắc lý thuyết và biết vận dụng kiến thức phù hợp vào giải bài tập.
Chính vì vậy em đã chọn đề tài nghiên cứu: “Đường cong ghềnh và
mặt cong” là một cơ hội để tập nghiên cứu, học hỏi và cũng là một lần nghiên
cứu làm chuyên đề cho bản thân mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Cung cấp một số khái niệm, tính chất và các ví dụ minh hoạ, các dạng
bài tập cơ bản có liên quan đến đƣờng cong và mặt cong trong không gian.
3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu
+) Đối tƣợng nghiên cứu: đƣờng cong và mặt cong trong không gian.
+) Phạm vi nghiên cứu : không gian Euclid 3 chiều.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống lại một cách đầy đủ và rõ ràng các khái niệm, tích chất, xây
dựng hệ thống các ví dụ, bài tập minh họa dễ hiểu về đƣờng cong và mặt cong
trong không gian
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận, nghiên cứu sách giáo trình, sách tham
khảo và các tài liệu có liên quan đến nội dung đề tài.
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
4
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƢƠNG 1: ĐƢỜNG CONG GHỀNH
1.1 KHÁI NIỆM.
1.1.1 Cung tham số hoá:
Ta gọi mọi ánh xạ f: I
E 3 ( t a f t ) , thuộc lớp C k là cung tham số
hoá thuộc lớp C k (Tuỳ theo f t xem nhƣ một điểm hoặc một vectơ, ta có thể
uuuur
kí hiệu là f t hoặc f t ).
1.1.2 Đƣờng cong ghềnh:
E 3 là một cung tham số hoá. Quỹ đạo của f là bộ phận
Cho f: I
f I
f t ,t
I của E 3 . Ta nói f I là đƣờng cong ghềnh nhận f làm biểu
diễn tham số (BDTS).
Một đƣờng cong ghềnh có thể đƣợc định nghĩa bằng một hệ phƣơng
trình Descartes
F x, y, z
0
G x, y, z
0
Ví dụ: Đƣờng cong
có biểu diễn tham số :
x t
y
t2
z
3
t
hệ phƣơng trình Descartes
y
x2
z
x3
.
*) Hình chiếu của một đƣờng cong ghềnh lên các mặt phẳng toạ độ:
x
Giả sử
x t
là một đƣờng cong ghềnh có biểu diễn tham số: y
y t ,t
z
thì hình chiếu
z
của
trên (Oxy) có biểu diễn tham số là:
z t
x
x t
y
y t
z
0
Tƣơng tự nhƣ trên ta cũng có biểu diễn tham số của 2 hình chiếu
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
5
I
x
, y.
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
1.1.3 Phép đổi tham số và biểu diễn tham số hoá:
Cho f: I
E 3 là một cung tham số hoá (thuộc lớp C k ).
i) Mọi ánh xạ
:J
I , (J
R) sao cho:
+)
thuộc lớp C k trên J.
+)
là song ánh.
+)
1
thuộc lớp C k trên J.
gọi là phép đổi tham số (thuộc lớp C k ) của f.
ii) Mọi ánh xạ g : J
(thuộc lớp C k )
E3, (J
R) sao cho tồn tại một phép đổi tham số
của f thoả mãn: g
,gọi là biểu diễn tham số hoá chấp
f0
nhận đƣợc (thuộc lớp C k ) của f.
Nhận xét:
i) Nếu f: I
E 3 là 1 cung tham số hoá (thuộc lớp C k ) và
:J
I là
một phép đổi tham số (thuộc lớp C k ) thì các cung tham số hoá f và f 0
có
cùng quỹ đạo.
ii) Hai cung tham số hoá (thuộc lớp C k ) f, g là C k tƣơng đƣơng khi và
chỉ khi tồn tại một phép đổi tham số (thuộc lớp C k )
thoả mãn g
f0 .
1.2 TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM.
1.2.1 Định nghĩa cung trong E 3 :
Định nghĩa: Hai cung tham số
E 3 và r : I
:J
ta
t
E3
ua r u
(I,J_khoảng trong R; , r _khả vi)
gọi là tƣơng đƣơng nếu có vi phôi
:J
ta u
I sao cho
r0 .
t
Mỗi lớp tƣơng đƣơng của quan hệ tƣơng đƣơng trên gọi là một cung.
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
6
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
Mỗi cung tham số của lớp tƣơng đƣơng đó còn gọi là một tham số hoá của
cung. Vi phôi
gọi là phép đổi tham số của cung.
1.2.2 Cung chính quy:
a) Điểm thuộc cung:
là một cung của E 3 xác định bởi tham số hoá
Cho
E3 ( t a
:J
Gọi
p
(t )
( J ) là ảnh của
t )
. Đồng nhất điểm của
( J ) , gọi tắt điểm này là điểm t (điểm
xác định bởi t với điểm
(t ) ).
b) Khái niệm cung chính quy:
cung xác định bởi tham số hóa
E3 ( t a
:J
Điểm t0 của
'
mà
t )
(t0 ) 0 gọi là điểm chính quy của
( điểm không chính
quy gọi là điểm dừng hay điểm kì dị). Cung mà mọi điểm thuộc cung đều là
điểm chính quy đƣợc gọi là cung chính quy.
Ví dụ : Cung đinh ốc tròn
ta
trong E 3 có tham số hóa
t =(acost, asint, bt) ; a,b là hằng số, a > 0, b
là một cung chính quy vì:
uuuuur
' t
0.
r
0, t
a sin t , a cos t , b
E3 ,
:R
R
1.2.3 Tiếp tuyến và pháp diện của cung:
a) Tiếp tuyến:
cung xác định bởi tham số hóa
điểm chính quy của
của
. Khi đó đƣờng thẳng
' t0 ,
:J
uuuuuur
' t0
E3 ( t a
t ), t 0 là
gọi là tiếp tuyến
tại t0 . Kí hiệu: T t0
b) Pháp diện, tiếp diện:
Mặt phẳng đi qua (t0 ) và vuông góc T t0 gọi là pháp diện của
Mặt phẳng chứa T t0 gọi là tiếp diện của
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
7
tại t0 .
tại t0 .
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
Nhận xét: Tại t0 ,
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
nhận duy nhất một pháp diện, và nhận vô số tiếp diện.
c) Biểu thức toạ độ:
Giả sử :
t
x t , y t ,z t
+) Tiếp tuyến tại điểm chính quy t0 :
x x t0
x ' t0
z z t0
y y t0
=
z ' t0
y ' t0
+) Pháp diện: x ' t0 x x t0
y
z ' t0
y ' t0
Ví dụ: Cung đinh ốc tròn
y t0
trong E 3 có tsh
0.
z z t0
:R
E3 ,
t =(x(t)=acost, y(t)= asint, z(t)=bt) , a,b là hằng số, a>0, b
Khi đó phƣơng trình tiếp tuyến của
x acost
asint
0.
tại mỗi điểm là:
y a sin t z bt
=
acost
b
Phƣơng trình pháp diện của
tại mỗi điểm là:
(-asint)x + (acost)y + bz - b 2t =0
1.2.4 Cung định hƣớng và vectơ tiếp xúc đơn vị:
a) Cung định hƣớng:
Hai cung tham số
:J
E 3 và r : I
ta
t
E3
ua r u
gọi là tƣơng đƣơng định hƣớng nếu có vi phôi bảo toàn hƣớng
:J
ta u
( 't
0, t
J ) sao cho
I
t
r0 .
Mỗi lớp tƣơng đƣơng của quan hệ tƣơng đƣơng định hƣớng nói trên gọi là
một cung định hƣớng của E 3 .
b) Trƣờng vectơ tiếp xúc của đơn vị.
Cho
là một cung chính quy định hƣớng xác định bởi tham số hóa
:J
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
E3 , t a
8
t
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
Khi đó vectơ T: J
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
uuuuur
' t
t , uuuuur
' t
3
TE , t a T t =
gọi là trƣờng vectơ tiếp
xúc đơn vị dọc .
1.3 ĐỘ DÀI, ĐỘ CONG, ĐỘ XOẮN CỦA CUNG TRONG E 3 .
1.3.1 Độ dài cung.
Cho cung tham số liên tục
E 3 khả vi lớp C 1 ,
: a, b
ta
t
b
thì nó có độ dài cung và độ dài cung ấy là: l a, b
' t dt .
a
Ví dụ: Tính độ dài của đƣờng cong
trong không gian có biểu diễn
tham số:
x= cost, y= sint, z=-ln(cost), t
Ta có : x '
Từ đó:
'2
sin t , y '
x '2 y '2 z '2 1 tan 2 t
là: l 0;
4
4
.
cost,z'=tant .
1
,
cos2t
1
2
4
độ dài cung
0;
' t dt =
0
0
'
du
1 u2
1
cost
ln
2 1
0.881
(u=sint)
1.3.2 Tham số hoá của cung chính quy.
Tham số hoá r : I
r '( s)
E 3 ( s a r s ) của một cung chính quy
1, s I , đƣợc gọi là tham số hoá tự nhiên của
mà:
( tham số hóa theo độ
dài cung).
1.3.3 Độ cong của một cung chính quy trong E 3 .
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
9
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
là một cung chính quy có tham số hóa tự nhiên
Cho
E3 ( s a r s )
r:I
Số k(s) =
DT
ds
hàm số: I
s =
R, s
Dr '
s gọi là độ cong của
ds
tại s. Khi s thay đổi ta đƣợc
k s , gọi là hàm độ cong của
.
1.3.4 Mặt phẳng mật tiếp của một cung song chính quy trong E 3 .
a) Cung song chính quy:
là cung trong E 3 có tham số hóa
Điểm ứng với t của
tại đó
:J
E3 ( t a
t )
uuuuur uuuuur
' t , '' t là hệ độc lập tuyến tính đƣợc
gọi là hệ điểm song chính quy của .
Cung mà mọi điểm của nó đều là điểm song chính quy đƣợc gọi là
cung song chính quy.
Mệnh đề:
i) Mọi cung song chính quy đều là cung chính quy.
ii) Một cung chính quy đƣợc gọi là cung song chính quy khi và chỉ khi nó
có độ cong khác 0 tại mọi điểm.
Thật vậy,
uuuuur
Ta có: r ' s
là cung chính quy, ta xét s a r s là tham số hóa tự nhiên
uuuuur
T s
uuuuur
Vì T s
Vậy
uuuuur
r '' s
uuuuur
T' s .
uuuur uuuuur
uuuuur
T ' s , s nên hệ r ' t , r '' t độc lập tuyến tính
là cung song chính quy
uuuuur
r '' s
k s
uuuuur
r '' s
r
0
0.
b) Mặt phẳng mật tiếp.
Định nghĩa:
là cung trong E 3 có tham số hóa
là một điểm song chính quy của
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
:J
E3 ( t a
. Ta gọi mặt phẳng đi qua điểm
10
t ), t 0
t0
và
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
đƣợc định phƣơng bởi
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
uuuuuur uuuuuur
' t0 , '' t0
là mặt phẳng mật tiếp của
tại t0 ( hệ
uuuuur uuuuur
' t , '' t độc lập tuyến tính) .
+) Giả sử
t
E 3 thì mặt phẳng mật tiếp tại điểm t 0 của
x t ,y t ,z t
là:
x x t0
x ' t0
x '' t0
y y t0
y ' t0
y '' t0
z z t0
z ' t0
z '' t0
0
Ví dụ: Lập một phƣơngtrình Descartes của mặt phẳng mật tiếp tại mọi
điểm của cung
Tính:
có biểu diễn tham số :
uuuuur
' t
et , e t , 2 ,
uuuuur
'' t
ta
( et , e t , t 2 )
t
et , e t ,0
uuuuur uuuuur
' t , '' t độc lập tuyến tính
Nhận xét: hệ
t nên mọi điểm của
là
song chính quy.
Khi đó mặt phẳng mật tiếp tại mọi điểm của
x et
et
et
y e
t
et
et
là:
z t 2
2
0
0
e t x et y
2 z 2t
0
c) Pháp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến , mặt phẳng trực đạc.
Cho t là một điểm song chính quy của cung .
Mỗi đƣờng thẳng đi qua
là một pháp tuyến của
t và vuông góc với tiếp tuyến của
tại gọi
tại điểm đó.
Pháp tuyến vuông góc với mặt phẳng mật tiếp gọi là trùng pháp tuyến.
Pháp tuyến nằm trong mặt phẳng mật tiếp gọi là pháp tuyến chính.
Mặt phẳng chứa tiếp tuyến và trùng pháp tuyến gọi là mặt phẳng trực
đạc.
1.3.5 Trƣờng mục tiêu Frenet và độ xoắn của cung.
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
11
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
a) Trƣờng mục tiêu Frenet:
i) Trƣờng vectơ pháp tuyến chính :
Cho
là cung song chính quy trong E 3 . Khi đó
DT
ds
0, s
DT
ds , gọi là trƣờng vectơ pháp tuyến
DT
ds
Trƣờng vectơ đơn vị N cho bởi: N
chính dọc . Ta có:
DT
ds
kN
ii) Trƣờng vectơ trùng pháp tuyến.
Cho
là cung song chính quy định hƣớng trong E 3 , T là trƣờng vectơ
tiếp xúc đơn vị dọc
vectơ đơn vị dọc
, N là trƣờng vectơ pháp tuyến chính dọc
. Trƣờng
là: B T N , gọi là trƣờng vectơ trùng pháp tuyến.
iii) Trƣờng mục tiêu Frenet:
Bộ ba {T,N,B} gồm ba trƣờng vectơ đơn vị dọc cung song chính quy
định hƣớng
đƣợc gọi là trƣờng mục tiêu Frenet dọc .
b) Độ xoắn của cung.
Cho
là cung song chính quy định hƣớng trong E 3 và {T,N,B}là
trƣờng mục tiêu Frenet. Ta gọi số
là độ xoắn của
s trong hệ thức:
DB
s
ds
s N s
tại s.
c) Công thức Frenet:
DT
ds
DN
ds
DB
ds
kN
kT
B
N
d) Công thức tính độ cong, độ xoắn.
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
12
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
có tham số hóa
Xét cung song chính quy
Lấy một tham số hóa tự nhiên r : I
Khi có ta có phép đổi tham số
E3 ( t a
:J
t )
E 3 ( s a r s ) của
I để
:J
r0 .
Gọi {T,N,B}là trƣờng mục tiêu Frenet dọc , coi nó là trƣờng mục tiêu
dọc cung tham số r và coi độ cong, độ xoắn của
là hàm số dọc r, thì công
thức Frenet cho:
' t
Công thức tính độ cong : k(s)=k( (t))=
'' t
3
' t
Công thức tính độ xoắn :
s
' t
t
'' t
' t
''' t
'' t
2
Ví dụ: Tại điểm song chính quy của cung xác định bởi tham số hóa :
t
Ra
t
Rcos 2t , y
x
R sin tcost,z=Rsint
(R là hằng số dƣơng ) trong hệ toạ độ Đecac vuông góc Oxyz trong E 3
Hãy tính độ cong và độ xoắn của cung.
Giải:
Ta có:
' t
R sin 2t , R cos 2t , R cos t
'' t
2 R cos 2t , 2 R sin 2t , R sin t
''' t
4 R sin 2t , 4 R cos 2t , R cos t
Độ cong của cung : k =
' t
'' t
' t
Độ xoắn của cung:
' t
3
'' t
' t
1
=
R
''' t
'' t
2
8 3sin 2 t
1 cos 2t
=
3
6 cos t
R 8 3sin 2 t
1.4 BÀI TẬP:
Bài 1: Cho cung đinh ốc tròn
xác định bởi t a
t =(acost, asint, bt); a,b là
hằng số, a > 0, b 0 trong toạ độ Đecac Oxyz của E 3 .
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
13
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
a) Viết phƣơng trình tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, mặt
phẳng mật tiếp, pháp diện, mặt phẳng trực đạc của nó tại mỗi điểm.
b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của nó nghiêng một góc không đổi với
mặt phẳng Oxy còn các pháp tuyến chính luôn cắt trục Oz.
Bài 2: Xác định các điểm thuộc
x
2t 3 , y
2t 2 , z
3t
tại đó mặt phẳng
mật tiếp đi qua A(1,1,1).
Bài 3: Cho : x 3t , y 3t 2 , z t 3 , t ¡
a) Lập một phƣơng trình Descartes của mặt phẳng (P) mật tiếp với
tại
M(t).
b)
Q
P . Chứng minh bốn điểm M t1 , M t2 , M t3 , Q
E 3 , t1 , t2 , t3 : Q
đồng phẳng.
Bài 4: Cho : y x 2 , z x3 .
a) Xác định các dây của
với
mà tại các mút của chúng các mặt phẳng mật tiếp
trực giao với nhau. Lập một phƣơng trình Descartes
b) Lập một phƣơng trình Descartes của mặt cong là hợp của các dây ấy.
Bài 5: Cho A x0 , y0 , z0
E 3 và
: x 3t , y 3t 2 , z 2t 3
a) Xác định các mặt phẳng mật tiếp với
và đi qua A.
b) Lập một phƣơng trình Descartes của quỹ tích các điểm A sao cho tồn tại
hai mặt phẳng mật tiếp với , đi qua A và cắt mp Oxy theo hai đƣờng thẳng
trực giao.
Bài 6:Tìm cung song chính quy trong E 3 mà các mặt phẳng mật tiếp :
a) Thẳng góc với một phƣơng cố định.
b) Song song với một đƣờng thẳng cố định ( và các tiếp tuyến không song
song với đƣờng thẳng đó).
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
14
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
Bài 7: Xác định hàm số khả vi f: R
R để cung xác định bởi tham số hóa :
t a (x=acost, y=asint, z=f(t)), trong hệ toạ độ Đecac vuông góc Oxyz trong
E 3 là cung phẳng (a=const 0 ).
Bài 8: Cho cung đinh ốc tròn trong
ta
( a, b là hằng số, a > 0),
thuận của
uur
E3 .
uuuur
e t
E3
xác định bởi:
uuuur
r
O ae t btk
t
r
cos t i
r
sin t j
và
r r r
i, j , k
là một cơ sở trực chuẩn
Hãy tính độ cong và độ xoắn của cung.
Bài 9: Khảo sát định lƣợng đƣờng đinh ốc tròn có bƣớc không đổi
x rcost
: y=rsint , t
z=ht
¡ , r, h
R* R* cố định.
1.5 HƢỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP.
Bài 1: a)
uuuuur
' t
a sin t , a cos t , b
uuuuur
'' t
acost , a sin t , 0
+)Phƣơng trình tiếp tuyến của
tại mỗi điểm là:
y a sin t z bt
=
b
acost
x acost
asint
+)Phƣơng trình pháp diện của
tại mỗi điểm là:
(asint)x - (acost)y - bz + b 2t =0
+)Phƣơng trình mặt phẳng mật tiếp:
uuuuur uuuuur
'' t
ab sin t , ab cos t , a 2
Vì ' t
r
0 nên mọi điểm t đều là điểm song
chính quy của . Phƣơng trình mặt phẳng mật tiếp của
x a cos t
a sin t
a cos t
y a sin t
a cos t
a sin t
z bt
b
0
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
0
15
b sin t x
tại mỗi điểm là:
b cos t y az abt
0
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
+)Phƣơng trình pháp tuyến chính:
Pháp tuyến chính là giao tuyến của pháp diện và mặt phẳng mật tiếp nên có
phƣơng trình dạng:
asint x
b sin t x
acost y
bz
b 2t
b cos t y az abt
0
0
+)Phƣơng trình trùng pháp tuyến:
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mật tiếp là vectơ chỉ phƣơng của trùng
pháp tuyến nên phƣơng trình trùng pháp tuyến có dạng:
x acost
bsint
y a sin t z bt
=
-bcost
a
+)Phƣơng trình mặt phẳng trực đạc:
Mặt phẳng trực đạc là mặt phẳng chứa tiếp tuyến và trùng pháp tuyến nên
r
ur uur
nó có vectơ pháp tuyến là: n u1 u2 ,
ur
trong đó : u1
uur
u2
r
Khi đó n
a sin t , a cos t , b là vectơ chỉ phƣơng của tiếp tuyến.
là vectơ chỉ phƣơng của trùng pháp tuyến.
b sin t , b cos t , a
cos t ,sin t ,0 .
Phƣơng trình mặt phẳng trực đạc: (cost)x + (sint)y – a = 0
b) Gọi
Sin
cos
không đổi
r
u, Oz ;
ur r
u1.k
ur r
u1 . k
r
u, Oxy . Vì
b
a 2 b2
Oz
r
const , k
xOy
2
0, 0,1
không đổi.
(*) Chứng minh pháp tuyến chính luôn cắt trục Oz.
Giao của pháp tuyến chính và Oz là nghiệm hệ:
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
16
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
asint x
acost y
b sin t x
bz
b 2t
b cos t y az abt
0
0
x 0
y 0
x 0
y 0
z bt
bz b 2t 0
az abt 0
pháp tuyến chính luôn cắt trục Oz tại điểm M(0,0,bt).
Bài 2: Giả sử
Vì
xác định bởi t a
2t 3 , 2t 2 , 3t
t
uuuuur uuuuur
' t , '' t độc lập nên mọi điểm t đều là điểm song chính quy của
.
Phƣơng trình mặt phẳng mật tiếp đi qua A(1,1,1):
1 2t 3 1 2t 2 1 3t
6t 2
4t
3
12t
4
0
(*) có 3 nghiệm : 1; 1
Vậy có 3 điểm của
B 2, 2, 3
0
t 1 . 2t 2 4t 1
0,
2
2
mà tại đó mặt phẳng mật tiếp đi qua A(1,1,1) đó là:
với t = 1
C
5
7 2
3 2
, 3 2 2,3
2
2
với t = 1
2
2
D
5
7 2
3 2
, 3 2 2,3
2
2
với t = 1
2
2
Bài 3: a) t 2 x ty z t 3 0
b) Với Q a, b, c
E 3 đã cho phƣơng trình : at 2 bt c t 3
0 có 3 nghiệm (
thực hay phức) kí hiệu là : t1 , t2 , t3 .
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
17
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
1
3t1
Trong định thức 2
3t1
1
3t2
3t 22
1
3t3
3t 32
1
a
theo hàng ta có L4
b
t13
t 23
t 33
c
a
L3
3
b
L2 cL1
3
từ đó suy ra định thức bằng 0 và nhƣ vậy bốn điểm M t1 , M t2 , M t3 , Q
đồng phẳng.
có 1 biểu diễn tham số là : x t , y t 2 , z t 3 .
Bài 4:
a) Mặt phẳng mật tiếp với
tại M(t) có phƣơng trình: 3t 2 x 3ty z t 3 0
Các mặt phẳng mật tiếp của
tại M1 t1 và M 2 t2 trực giao khi và chỉ khi :
3
9t12t22 9t1t2 1 0 , tức là t1t2
5
6
b) Lập một hệ phƣơng trình Descartes của M 1M 2 :
Sx y P 0
S 2 P x z SP 0
2
Khử S ta đƣợc : Px
y2
xy Py
0; P
, S
t1 t2 , P t1t2
3
5
6
,
3
5
6
Đó là hợp của hai mặt bậc hai.
Bài 5: a) Giả sử
Vì
xác định bởi t a
t
3t ,3t 2 , 2t 3
uuuuur uuuuur
' t , '' t độc lập nên mọi điểm t đều là điểm song chính quy của
.
Phƣơng trình mặt phẳng mật tiếp:
x 3t
3
0
y 3t 2
6t
6
z 2t 3
6t 2
12t
Các mặt phẳng mật tiếp với
trình :
2 ti2 x 2ti y z 2ti 3
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
0
2 t 2 x 2ty z 2t 3
0,
t
đi qua A là các mặt phẳng có phƣơng
0 , trong đó ti 1 i 3
18
là các nghiệm của
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
phƣơng trình: 2 t 2 x0 2ty0 z0 2t 3 0, 1 , ẩn t ¡ (phƣơng trình T này có 1,
2 hoặc 3 nghiệm thực).
z
b) Vết của
Các vết của
t trên Oxy có PT
0
tx y t 2
0
t2 trên Oxy trực giao
t1 và
t1t2 1 0
t1t2
1
Gỉa sử phƣơng trình (1) có 3 nghiệm : t1 , t2 , t3 . Khi đó:
t1 t2 t3
x0
t1t2 t2t3 t3t1
y0
4 y0 1
z0 z 0
0
z0
2
t1t2t3
Vậy phƣơng trình cần tìm là : 2 x z z
Bài 6: a) Giả sử
2 x0
4 y 1
0
là cung song chính quy và có tham số r : s a r s
Mặt phẳng mật tiếp của
E3
thẳng góc với một phƣơng cố định.
r
n : vectơ hằng đơn vị, là vectơ chỉ phƣơng chung của mọi mặt phẳng mật
tiếp (trùng pháp tuyến có phƣơng cố định)
uuuuur
B s
r
n
uuuuur
B' s
uuuuur
s .N s
0, s
0, s
s
0, s
là cung phẳng (độ xoắn của cung phẳng bằng 0)
b) Giả sử cung song chính quy là
có tham số hoá tự nhiên r : s a r s
E3
Theo giả thiết mặt phẳng mật tiếp song song với 1 đƣờng thẳng cố định,
giả sử đƣờng thẳng đó là
r
có phƣơng là a ( vectơ hằng)
uuuuur
Gọi B s là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng mật tiếp tại điểm s.
uuuuur
Khi đó ta có: B s
r
a
uuuuur r
B s .a
0
uuuuur r uuuuur uur
B ' s .a B s .a ' 0
uuuuur r
s N s .a 0
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
19
uuuuur r
B ' s .a 0
s
0
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
uuuuur r
( vì các tiếp tuyến không song song với đƣờng thẳng
nên N s .a 0 )
là cung phẳng.
Bài 7: Giả sử
là cung có biểu diễn tham số:
ta
là cung phẳng
t
a cos t , a sin t , f t , a
' t
s
'' t
' t
a sin t
a cos t
a sin t
3
=0, t
2
'' t
a cos t
a sin t
a cos t
Xét phƣơng trình đặc trƣng :
''' t
f' t
f '' t
f ''' t
0
f' t
0
' t
'' t
f ''' t
0,
''' t
0
0
0
i
Phƣơng trình (*) có nghiệm:
Bài 8: k =
f t
c1e 1t
;
2
a
a
2
b
2
c2e 2t cos t c3e 3t sin t
c1 c2 cos t c3 sin t
b
a
b2
Bài 9: Ta có:
x'
r sin t; y ' r cos t; z ' h; s '2
x '2 y ' 2 z ' 2
Vectơ tiếp tuyến định hƣớng tại M(s) với
ur
T
ur
dT
Lại có:
ds
uur
dM
ds
ur
dt dT
ds dt
Bán kính cong của
uur
dt d M
ds dt
r 2 h2
r
h
tại M(s) là: R
Vectơ trùng pháp tuyến với
là:
r
r 1
r cos ti r sin t j ,
R
2
r 2 h2
r
r
r
r sin ti r cos t j hk , M
1
1
2
r 2 h2 ; s '
r2
r
h 2 uur
,N
ur
dT
ds
ur
dT
R
ds
r
r
2
h2
r
r
cos ti sin t j
tại M(s):
ur ur uur
B T N
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
1
r2
h2
20
r
r
r
h sin ti h cos t j rk
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
uur
dN
ds
uur
dt d N
ds dt
1
r2
Bán kính xoắn của
h2
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
r
r
1
sin ti cos t j ;
T
tại M(s) là: T
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
uur
ur d N
B.
ds
h
r
2
h2
r 2 h2
h
21
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
CHƢƠNG 2: MẶT CONG
2.1 KHÁI NIỆM.
2.1.1 Định nghĩa: Ta gọi mọi ánh xạ :U
E 3 , (Umở
U là mặt tham số hoá (thuộc lớp C k ). Nếu :U
thì ảnh của
nhận
là bộ phận
¡ 2 )thuộc lớp C k trên
E 3 là một mặt tham số hoá
U của E 3 . Ta cũng nói rằng
U là một mặt cong
làm biểu diễn tham số (BDTS).
Giả sử S là một mặt cong nhận :U
E 3 làm biểu diễn tham số (thuộc
lớp C k ), (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) là các toạ độ của
u , v trong ¡ . Ta sẽ đƣợc
một phƣơng trình Descartes của S bằng cách khử (u,v) trong hệ thức:
x=x u, v
.
y=y u, v
z
z u, v
x=u cos v
Ví dụ: i) Mặt cong S có biểu diễn tham số: y=u sin v , u, v
z
một phƣơng trình Descartes của S là: x 2 y 2
2
z
¡
2
¡
2
u4
0
x=u v
ii) Mặt cong S có biểu diễn tham số:
y=u 2 v 2 , u, v
z
u 3 v3
Ta có:
u v
x=u v
y=u
z
2
v
2
u 3 v3
u v
u v
2
2uv
3
x
x2
uv
3 u v uv
z
x3
y
2
3x x 2
22
x
3x x 2
y
2
y
2
x3 3xy 2 z
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
z
3
0
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
u v
Để
u, v
¡ :
2
uv
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
x
x
y thì điều kiện là: x
2
2
x2
4
y
0
2
2
x3 3xy 2 z
Vậy một phƣơng trình Descartes của S là:
y
x2
2
0
2
x
2
y
Nhận xét:
i) Giao của hai mặt cong “nói chung” là một đƣờng cong. Chẳng hạn, giao
của một mặt cầu tâm O, bán kính R>0 với một mặt phẳng (cách O một
khoảng
đƣờng cong
có biểu diễn tham số:
mặt cong có phƣơng trình Descartes:
x t3, y
y3
x4
y5
z4
t4, z
t5,t
¡
là giao của hai
.
2.2 TIẾP DIỆN.
2.2.1 Tiếp diện tại một điểm của một mặt cong xác định bởi một biểu diễn
tham số.
Định nghĩa 1: Cho
S
E 3 là một mặt tham số hoá thuộc lớp C 1 ,
uuuuuuuuur uuuuuuuuur
'u u, v , 'v u, v độc lập.
U , M(u,v) S là một điểm chính quy của S
:U
là mặt tham số hoá chính quy
u, v
U , M(u,v) là một điểm
u, v
M u , v là một mặt tham
chính quy của S.
Định nghĩa 2: Cho :U
E 3 , u, v a
số hoá thuộc lớp C 1 , S= U , M(u,v) là một điểm chính quy của S.
Tiếp diện với S tại M(u,v) là mặt phẳng đi qua M(u,v) và đƣợc định phƣơng
bởi
uuuuuuuuur uuuuuuuuur
'u u , v , 'v u, v .
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
23
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
Ví dụ: Chứng minh rằng điểm A ứng với các tham số (u=1,v=1) của
x u v
mặt S có biểu diễn tham số: y u 2 v , là một điểm chính quy của S, và lập
z
uv
phƣơng trình Descartes của tiếp diện
với S tại A.
Giải:
ánh xạ : ¡
2
thuộc lớp C 1
E3
u, v a M u v, u 2 v 2 , uv
u, v
¡
2
uuuuuuuuur
uuuuuuuuur
ta có : 'u u, v =(1,2u,v); 'v u, v =(2v,1,u)
uuuuuuuuur
uuuuuuuuur
Thay u=1,v=1 vào ta đƣợc 'u u, v =(1,2,1); 'v u, v =(2,1,1)
uuuuuuuuur uuuuuuuuur
Ta thấy 'u u, v , 'v u, v độc lập nên A là điểm chiính quy của S.
Một phƣơng trình Descartes của tiếp diện
X
M(X,Y,Z)
với S tại A là:
2 Y 2 Z 1
1
2
1
2
1
1
0
X Y 3Z 1 0
Định nghĩa 3:
Đƣờng thẳng đi qua M và vuông góc với tiếp diện của S tại M đƣợc gọi
là pháp tuyến của S tại M. ( Có duy nhất một pháp tuyến của S tại M).
Tiếp tuyến của S tại M là mọi đƣờng thẳng đi qua M và nằm trong tiếp
diện của S tại M. ( Có vô số tiếp tuyến của S tại M).
2.2.2 Tiếp tuyến tại một điểm của một mặt cong đƣợc cho bằng một
phƣơng trình Descartes.
Định lý: Cho tập mở V
¡ 3 , F :V
¡ là một ánh xạ thuộc lớp C 1 trên
V. S là mặt cong có phƣơng trình Descartes F(x,y,z)=0, A(a,b,c) S. Nếu
uuuuur
gradF A
r
0 thì A là một điểm chính quy của S, tiếp diện với S tại A trực
uuuuur
giao với gradF A và nhận phƣơng trình Descartes:
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
24
Líp K33B
Khãa luËn tèt nghiÖp
X
GVHD: §inh ThÞ Kim Thóy
a F 'x A
Y b F 'y A
Z c F 'z A
0
2.2.3 Giao của hai mặt cong:
Định lý: Cho R, S là hai mặt cong,
điểm chính quy của R và S, các tiếp diện
đó A là 1 điểm chính quy của
R
R
,
S
. Ta giả thiết A là
S, A
tại A với R, S khác nhau. Khi
và tiếp tuyến tại A với
là
R
S
.
2.3 CÁC MẶT THÔNG THƢỜNG.
2.3.1 Mặt trụ:
a) Định nghĩa: Cho
là một phƣơng đƣờng thẳng và
Mặt trụ với đƣờng chuẩn
sinh
là một đƣờng cong.
và phƣơng đƣờng
là hợp S của các đƣờng thẳng của E 3
có phƣơng
và cắt . Với mỗi điểm M của
mặt trụ S, đƣờng sinh của M ( trên S) là đƣờng
thẳng đi qua M và có phƣơng
.
+) Thiết diện thẳng của mặt trụ S là giao của
S với một mặt phẳng trực giao với
.
Nhận xét:
i) Mỗi điểm của mặt trụ nhận một và chỉ đƣờng sinh.
ii) Mặt trụ nhận vô số đƣờng chuẩn.
r
+) Cho u là một vectơ định phƣơng
diễn tham số của
phƣơng đƣờng sinh
và m : I
E3
ta m t
là một biểu
. Khi đó một BDTS của mặt trụ S có đƣờng chuẩn
là: I ¡
t,
và
E3
r
u
a m t
Vídụ: Một biểu diễn tham số của mặt trụ có đƣờng chuẩn
( x t, y
t2, z
t3,t
r
¡ ) và các đƣờng sinh song song với u(2,1, 3) là:
SVTH: NguyÔn V¨n HiÒn
25
Líp K33B
