MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích số hay còn gọi là phương pháp số, phương pháp tính, toán học
tính toán, là một nghiên cứu cách giải gần đúng, chủ yếu là giải số, giải
phương trình, giải các bài toán xấp xỉ hàm số và các bài toán tối ưu.
Các bài toán xấp xỉ hàm số là một trong những nội dung chính của giải
tích số, bằng việc thay một hàm số có dạng phức tạp bởi một hàm số đơn giản
hơn với sai số nhỏ.
Trong các bài toán xấp xỉ hàm thường nghiên cứu các bài toán nội suy,
bài toán xấp xỉ đều. Song hai dạng toán này có một số nhược điểm. Người ta
thấy rằng bài toán xấp xỉ trung bình bình phương đã khắc phục được những
nhược điểm đó.
Dưới sự hướng dẫn của thầy giáo “NGUYỄN VĂN HÙNG” và nhận
thứctrên, tôi tiến hành nghiên cứu đề tài: “Xấp xỉ trung bình bình phương”.
Cụ thể ở đây tôi nghiên cứu 2 vấn đề:
- Xấp xỉ thực nghiệm.
- Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbret và không gian L2a,b.
Do thời gian và năng lực còn hạn chế nên khóa luận của tôi khó tránh
khỏi những thiếu sót. Vì vậy tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các
thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu “Xấp xỉ trung bình bình phương” tìm hiểu các bài toán
xấp xỉ thực nghiệm và bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert và
không gian L2a,b.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu các bài toán xấp xỉ thực nghiệm và bài toán xấp xỉ tốt nhất
trong không gian Hilbert và không gian L2a,b.


4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu là các bài toán xấp xỉ thực nghiệm và

bài toán xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert và không gian L2a,b.
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc và phân tích tài liệu liên quan

2


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. KHÔNG GIAN TUYẾN TÍNH
Định nghĩa 1.1.1. Trên tập X  , xác định một cấu trúc  nếu với mọi
x, y  X với mọi t

(hoặc t

) xác định phép cộng x+y  X và phép

nhân tx X thỏa mãn các tính chất sau:
a. x+y=y+x
b. (x+y)+z=x+(y+z)
s(tx)=(st)x
c. (s+t)x=sx+tx
t(x+y)=tx+ty
d.  X: x+=x; xX
e.  (-x)X: x+(-x)=0; xX
f. 1.x=x
Trong đó x,y,z X; s,t

(hoặc s,t )


Khi đó (X,) là không gian tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.2.Cho hệ n vectơ x1, x2…..xn trong không gian tuyến
tính X. Xét đẳng thức véctơ 1 x1+ 2 x2 +3 x3+ …….+ n xn = 0. Đẳng thức
xảy ra nếu 1 = 2 =…. =n= 0 thì hệ n véctơ đó độc lập tuyến tính hoặc tồn
n

tại bộ 1, 2, . …,n với



2
i

 0 để đẳng thức trên xảy ra thì hệ n vectơ đó

i 1

phụ thuộc tuyến tính.
1.2. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
Định nghĩa1.2.1 Giả sử x là một không gian tuyến tính trên
Ánh xạ . X 
x 

.

xác định trên X lấy giá trị xác định trên tập số thực :

; xX thoả mãn các điều kiện:

3



a. x  0; xX
x =0 x=0

b. x  y  x + y ; x,yX
c. x =    x ; xX;  
được gọi là chuẩn trên X
Không gian tuyến tính X cùng với chuẩn . được gọi là một không gian
tuyến tính định chuẩn.
Định nghĩa1.2.2 Hai . 1; . 2 cùng xác định trong không gian tuyến tính
X gọi là tương đương, nếu tồn tại 2 hằng số C1, C2 >0 sao cho:
xX ; C1 x 1 x 2 C2 x

1

Định nghĩa 1.2.3 Cho X,Y là 2 không gian tuyến tính định chuẩn. Ánh
xạ A:X Y gọi là (giới nội) bị chặn nếu tồn tại hằng số M>0 sao cho:
xX , Ax

Y

Mx

X

Định lý : Nếu X là một không gian tuyến tính hữu hạn chiều thì mọi
chuẩn trong X tương đương.
Chứng minh
Thật vậy, giả sử trên X có . 1; . 2 là 2 chuẩn cho trước

Gọi S= xX / x

1

=1. Vì S đóng và X có số chiều hữu hạn nên x

đạt max và min trên S kí hiệu là M và m tương ứng.
Xét x  0 là phần tử bất kỳ trong X.
Khi đó: x 2 = x 1 .
Nên m 

x
x1

= x 1.
2

x
x

vì rằng :
2

x
 M do đó : m x 1 x
x1
2

Vậy 2 chuẩn là tương đương.


4

x
1
x1
1

2

M x

1

2


Ví dụ: Với số p1; xét Lp0,1 với x = x(t)  Lp0, 1 và y= y(t) Lp0,1
ta định nghĩa:
(x+y)(t)=x(t)+y(t); t  0,1
(kx)(t)=kx(t); t  0,1
Không gian Lp0,1 với 2 phép toán trên là một không gian tuyến tính
1 p

1



0




với x Lp0,1 và xét : x =   x (t ) p 
Khi đó x là một chuẩn trên Lp  0,1
1.3. KHÔNG GIAN HILBERT
1.3.1 Tích vô hướng
1.3.1.1 Định nghĩa
Cho không gian tuyến tính X trên trường P (P là trường số thực
trường số phức

hoặc

). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ

tích descartes X x X vào trường P,kí hiệu . , . thoả mãn tiên đề:
1. (x,yX) x,y = x, y
2. (x,y,zX) x +y, z= x , z + y , z
3. (x,yX) (P)  x,y =x,y
4. (xX); x,x >0, nếu x  0
x,x =0, nếu x = 0
Cácphần tử x,y,z…. gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số x,y gọi là
tích vô hướng của 2 nhân tử x và y. Các tiên đề 1,2,3,4 gọi là các tiên đề của
tích vô hướng.
1.3.1.2 Một số tính chất đơn giản
1. (x,yX), 0 , x = 0 vì 0 , x = 0.x , x = 0.x , x = 0
2. (x,yX), (P)  x , y=  x,y
Thật vậy  x , y =  y, x = 

y , x =  x, y

5



3. (x,y,zX),  x , y +z =  x , y + x, z
Thật vậy  x , y + z = y  z , x  y, x  z , x  x, y  z , x
1.3.2 Không gian tiền Hilbret
Định nghĩa : Không gian tuyến tính trên trường P cùng với một tích vô
hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Hệ quả: Mọi không gian có tích vô hướng đều là không gian định chuẩn
với chuẩn x =  x, x .
Chứng minh
Giả sử dãy điểm bất kỳ (xn)  X hội tụ tới x, dãy điểm bất kỳ (yn) X
hội tụ tới y. Khi đó: ( C>0) (nN * ), y n  C
 x n , y n    x , y    x n , y n    x , y n    x , y n    x, y 
 xn  x . y n  x . y n  y  C xn  x  x . y n  y

(nN * ).

Suy ra, lim xn , yn  x, y .
n 

1.3.3. Không gian banach
1.3.3.1 Dãy cơ bản
Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu:
lim xn , xm  0

m , n 

1.3.3.2 Định nghĩa không gian banach
Không gian định chuẩn X gọi là không gian banach, nếu mọi dãy cơ bản
trong X đều hội tụ.

1.3.3.3 Một số ví dụ về không gian banach
Ví dụ 1: Đối với số thực bất kỳ x  R ta đặt x  x
:

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, công thức : x  x

6


cho ta một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là R1. Dễ
dàng thấy R1 là không gian banach.
Ví dụ 2: Cho không gian véctơ k chiều Ek , trong đó :
Ek = x =(x1, .....,xk); xj  C . Đối với véctơ bất kỳ x = (x1 ,..........,xk)  Ek ta
đặt:
k

x 

x

2
j

j 0

Từ công thức và hệ tiên đề metric suy ra:
Cho một chuẩn trên Ek không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là Ek.
Dễ dàng thấy Ek là không gian banach .
Ví dụ 3: Cho không gian véctơ La,b. Đối với hàm số bất kỳ x(t) 
La,b ta đặt:

b

x   x(t ) dt
a

Từ công thức

x  d  x,   và hệ tiên đề metric suy ra công thức

b

x   x(t ) dt cho một chuẩn trên La,b không gian định chuẩn tương ứng kí
a

hiệu là La,b là không gian banach.
1.3.4 Không gian Hilbert
1.3.4.1 Các định nghĩa
Định nghĩa 1: Không gian Hilbert là không gian tiền Hilbert đủ.
Định nghĩa 2: Ta gọi một tập H0 gồm những phần tử x,y,z,... nào đấy
là không gian Hilbert nếu H thỏa mãn:
1. H là không gian tuyến tính trên trường P;
2. H được trang bị một tích vô hướng .,. ;
3. H là không gian banach với chuẩn x 

7

x, x ; x H.


Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là

không gian Hilbert con của không gian H.
Định nghĩa 3: Cho H là không gian Hilbert. Hệ các phần tử ei i I của
H gọi là:
Trực giao nếu en, , em  0 (nm)
Trực chuẩn nếu: en , em   n ,m

(  n, m  1 nếu n=m)

(với n,m  N)
Quá trình trực giao hóa Hilbert-schmidt
Cho một hệ thống các véc tơ độc lập tuyến tính ( xn ) n1  H gồm hữu
hạn hay đếm được phần tử, bao giờ cũng có thể biến hệ thống này thành hệ
trực chuẩn nhờ quá trình trực giao hóa Hilbert-schmidt.
Đặt e1 

x1
thì e1  1.
x1

Đặt y2  x2  x2 , e1 e1 thì y2 , e1  x2 , e1  x2 , e1 e1 , e1  0 .
Hiển nhiên, y2   , vì y2   sẽ kéo theo x1,x2 phụ thuộc tuyến tính,
điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Đặt e2 

y2
ta được: e2 , e1  0, e2  1
y2

Giả sử đã xây dựng được k phần tử e1, e2,….., ek sao cho
ei , e j   ij ;(i , j  1, 2,..., k )

k

Đặt yk 1  xk 1   xk 1 , ei thì với i  k
k 1

k

yk 1 , e j  xk 1 , e j 



xk 1 , ei ei , e j

i 1

k

 xk 1, e j   xk 1 , ei ei , e j
i 1

8


 xk 1 , e j  xk 1 , e j  0

Và yk 1   , vì : yk 1   sẽ kéo theo x1,…..xk+1 phụ thuộc tuyến tính, điều
này mâu thuẫn với giả thiết.
yk 1
ta được: ek 1 , e j  0,( j  1,2,..., k )và: ek 1  1
yk 1


Đặt ek 1 

Nếu hệ thống ( xn ) n1 gồm m véc tơ độc lập tuyến tính (n=1,2…), thì quá
trình trên dừng lại ở bước thứ m (m N * ); còn nếu hệ thống ( xn ) n 1 gồm vô
hạn véc tơ độc lập tuyến tính (n=1,2,…) thì quá trình trên có thể tiếp tục mãi.
Cuối cùng ta nhận được hệ trực chuẩn cần tìm.
Quá trình biến hệ thống véc tơ độc lập tuyến tính của không gian H
thành hệ véc tơ trực chuẩn như trên thường gọi là quá trình trực giao hóa
Hilbert-schmidt.
Bất đẳng thức Bessel
Nếu ( en ) n1 là một hệ trực chuẩn nào đó trong không gian Hilbert H, thì

x  H ta đều có bất đẳng thức:



x, en

2

2

 x (*)

n 1

Bất đẳng thức (*) gọi là bất đẳng thức Bessel.
Chứng minh
Với k nguyên dương bất kì ta đặt:

k

yk  x   x, en en
n 1

(k không vượt lực lượng của hệ trực chuẩn đã cho)
Khi đó:
k

k

k

yk ,  x, e j e j  x   x, en en ,  x, e j e j
j i

n 1

j 1

9


k

 x,  x, e j e j 
j 1
k

  x, e j


k

2

k

k



x, en en ,  x, e j e j

n 1

j 1

k

  x, en e j , x en , e j

j 1

n 1 j 1

k

  x, e j

k


2

2

  x, e j

j 1

0

j 1

k

 yk   x, en en
n 1

Áp dụng định lý Pythagore ta được:
2

x  yk

2

2

k






x, en en

n 1

 yk

2

k

  x , en

2

k

  x, en

n 1

2

n 1

Do tính chất tùy ý của k, ta nhận được bất đẳng thức (*).
Định lý được chứng minh.
Tích vô hướng


x, en gọi là hệ số Fourier của phần tử x  H đối với hệ

trực chuẩn ( en ) n1  H . Bất đẳng thức Bessel chứng tỏ chuỗi số dương gồm
các bình phương modun các hệ số Fourier của một phần tử bất kì của không
gian Hilbert H theo một hệ trực chuẩn tùy ý trong không gian H bao giờ cũng
hội tụ.Từ đó suy ra chuỗi



x, en en hội tụ và gọi là chuỗi Fourier (hay khai

n 1

triển Fourier) của phần tử x thuộc H theo hệ trực chuẩn ( en ) n1  H .
Định lý về đẳng thức Paseval
Cho ( en ) n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian H. Năm mệnh đề sau
tương đương:
1. Hệ ( en ) n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H;
2. (x  H ) x   x, en en ;
n 1

10


3. (x, y  H ) x, y   x, en en , y (đẳng thức Paseval);
n 1

2


4. ( H ) x   x, en

2

(phương trình đóng);

n 1

5. Bao tuyến tính của hệ ( en ) n1 trù mật khắp nơi trong không gian H.
( nghĩa là tập tất cả tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kì các phần tử
thuộc hệ ( en ) n1 trù mật khắp nơi trong không gian H).
1.3.4.5 Một số ví dụ
Ví dụ 1: Xét X=Rn; với x = (x1, . ….,xn)  Rn; y= (y1, . ….,yn)  Rn;
n

Đặt: x, y   xi y i . Có thể thấy Rn cùng với tích vô hướng xác định như
i 1

trên là một không gian Hilbert.
Ví dụ 2: Xét x= L2a,b là không gian các hàm bình phương khả tích trên
đoạn a,b bao gồm các hàm thực x(t) xác định, bình phương khả tích trên
a,b sao cho:
b

 p(t ) x

2

(t )dt  


a

Trong đó p(t) là hàm trọng (p(t) thường được chọn thỏa mãn các điều
kiện xác định và khả tích trên a,b; p(t)  0 trên a,b và p(t)=0 chỉ trên một
tập có độ đo 0). Ta trang bị trên L2 a,b một tích vô hướng bằng cách đặt với
x(t); y(t)  L2 a,b thì:
b

x, y   p (t ) x(t ) y (t )dt
a

Không gian L2 a,b với tích vô hướng vừa xác định là không gian
Hilbert.
Ví dụ 3: Xét trường hợp cụ thể của L2 a,b ở trên a= -1; b= 1; p(t) =1
và xét hệ đa thức x1(t)=1; x2(t)= t;……; xk(t)= tk-1; (k 2).

11


Hãy trực giao hóa hệ xk (t) nói trên bằng quá trình trực giao hóa
Hilbert-schmidt.
Nhận thấy x1  2 ; e1 
1

1

Dễ thấy x2, , e1  

1


1

1

Vậy y 2  (  t.tdt ) 2 
1

2

x1
1
; thay số ta có e1 
x1
2

tdt  0 nên y2 = x2= t; t -1,1

2
3

y2
thay số ta có: e2 
y2

Vì e2 

1

Ta có: x3 , x1  


1

1

e3 , e 2   t 2
1

3
2

1
2

t 2 dt 

3
t;
2

t   1,1

2
3

tdt  0

y 3  x3   x3 , e1 e1  x3 , e2 e2 

Thay số ta được:
1


1

1
1
y 3  t   y 3  (  (t 2  ) 2 dt ) 2
3
3
1
2

 y3 

2 2
3 5 2 1
 e3 
 t  ;.........
3 5
2 2
3

Quá trình cứ tiếp tục như vậy, ta sẽ được một hệ trực chuẩn ei. Tuy
nhiên do ta chỉ quan tâm đến tính trực giao của hệ nên có thể nhân mỗi ei với
một hằng số thích hợp để được một véc tơ mới, vẫn kí hiệu là ei nhưng với
dạng đơn giản hơn, như sau:
1
2

e1(t)=1; e2(t)=t; e3(t)= 3t 2  1 ; e4 (t ) 


5t 3  3t
;
2

35t 4  30t 2  3
1
; e6 (t )   63t 5  70t 3  15t  ;.......
e5 (t ) 
8
8

12


CHƯƠNG 2
XẤP XỈ THỰC NGHIỆM
2.1 Bài toán tổng quát
Giả sử hàm số f(x) ta không biết biểu thức giải tích của nó, chỉ biết một
số điểm tương ứng:
y0, y1,…….., yn ứng với x0, x1, …., xn
Ta phải tìm hàm:

( x )  a0 0 ( x )  a11 ( x )  .......  an n ( x ) (1.1)

với  j ( x ) là hàm cho

trước (j=0,1,….n), aj là những số chưa biết.
2

 ( x )  f ( x )  min


Ta có:
n

2

D    ( xi )  f ( xi ) 
i 1

n

2

m

 a 
j

j

( x j )  yi  min (1.2)

i 1 j 1

 ( xi )  f ( xi ) là hàm m+1 biến a0,….., am.

Bài toán tìm cực tiểu của biểu thức (1.2) được gọi là xấp xỉ bằng đa thức
hay phương pháp bình phương bé nhất ta đi giải hệ phương trình:
 D
 a  0

 0
............ (1.3)
 D

0
 am

Do

D 2
 0; j nên hệ (1.3) vừa là điều kiện đủ vừa là điều kiện cần để
a j 2

(1.2) có cực tiểu.Từ đó ta suy ra hàm y gần nhất với f(x) bằng phương pháp
bình phương vế thứ nhất ta chỉ việc giải hệ (1.3).

13


2.2 Xấp xỉ hàm bậc nhất
2.2.1 Phương pháp giải
Ta phải tìm hàm y=ax+b gần nhất với f(x) theo phương pháp bình
phương vế thứ nhất:
n

2

D   ax i  b  yi 
i 1


D n
  2 xi ax i  b  yi 
a i 0
D n
  2 ax i  b  yi 
b i o
 n
 D
2 xi ax i  b  yi   0
 a  0  
i 0
 n


D

 2 ax  b  y   0
o
i
i
 
 b
i o
n
n
 n 2
a
x

b

x

xi yi


i
  i
 i 0
i 0
i 0
(2.1)
 n
n
a x  ( n  1)b 
yi

i
 
i 0
i 0

(hệ phương trình tuyến tính)
Giải hệ 2.1 suy ra a,b =? Suy ra hàm cần tìm.
2.2.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:
x

-0,23

0,74


1,27

2,16

y

-2,11502

-1,63499

-1,36504

-0,92003

Tìm y=ax+b gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ
nhất?
Giải
Ta có y=a x+b thì hệ số a,b là nghiệm của hệ phương trình:

14


3
3
 3 2
a  xi  b xi   xi yi
 i 0
i 0
i 0

 3
3
a x  (3  1)b 
yi

i
 
i 0
i 0

14,808a  0,68b  9,0069

0,68a  5b  9,526
a  0,699684822
 a  0,7


b  2,000357136 b  2
 y  0,7 x  2

Vậy hàm cần tìm là y= 0,5x-2
Ví dụ 2: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:
x

-1

0

1


2

4

y

4

1

2

0

-3

Tìm y=ax+b gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ
nhất?
Giải
Ta có y=a x+b thì hệ số a,b là nghiệm của hệ phương trình:
4
4
 4 2
a  xi  b xi   xi yi
 i 0
i 0
i 0
 4
4
a x  (4  1)b 

yi

i
 
i 0
i 0

22a  6b  14

6a  5b  4
42

a


37

b  86

37
42
86
y
x
37
37

15



Vậy xấp xỉ tốt nhất y=

42
86
x
37
37

Ví dụ 3: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:
x

-3,3

-1,8

2,5

3,9

4,2

y

0,399889

1,000121

2,333541

2,799977


2,898878

Tìm y=ax+b gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ
nhất?
Giải
Ta có y=a x+b thì hệ số a,b là nghiệm của hệ phương trình:
4
4
 4 2
a  xi  b xi   xi yi
 i 0
i 0
i 0
 4
4
a x  (4  1)b  y

i
i
 
i 0
i 0

53, 23a  5,5b  25,8091989

5,5a  5b  9, 432406
a  0,32712065
a  0,3



b  1,526648484 b  1,5
 y  0,3 x  1,5

Vậy xấp xỉ tốt nhất y=0,3x+1,5
Ví dụ 4: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:
x

-2,31

-1,15

0,39

1,18

2,57

y

-3,616

-2,806

-1,727

-1,175

-0,202


Tìm y=ax+b gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ
nhất?
Giải
Ta có y=a x+b thì hệ số a,b là nghiệm của hệ phương trình:

16


4
4
 4 2
a  xi  b xi   xi yi
 i 0
i 0
i 0
 4
4
a x  (4  1)b 
yi

i
 
i 0
i 0

14,808a  0,68b  9,0069

0,68a  5b  9,526
a  0,699684822
 a  0,7



b  2,000357136 b  2
 y  0,7 x  2

Vậy hàm xấp xỉ tốt nhất là y=0,7x-2
2.3 Xấp xỉ hàm bậc 2
2.3.1 Phương pháp giải
Giả sử hàm số f(x) ta không biết biểu thức giải tích của nó, chỉ biết một
số điểm tương ứng y0, y1,…….., yn ứng với x0, x1, …., xn
Tìm hàm y=ax2 +bx +c gần nhất theo phương pháp bình phương bé
n

nhất: D    f ( xi )  (axi 2  bxi  c)

2

i 0

n

 D    f ( xi )   axi 2  bxi  c  

2

i 0



D n

  (2) xi 2  yi  axi 2  bxi  c 
a i 0

D n
  (2) xi  yi  axi 2  bxi  c 
b i 0
D n
  (2)  yi  axi 2  bxi  c 
c i 0

17


 n
4
3
2
2
 D
   axi  bxi  cx i  xi y i   0
 a  0
 i0

 n
 D
3
2

0



   axi  bxi  cx i  xi y i   0
 b
 i0
 D
 n
2

0
 c
   axi  bxi  ( n  1) c  y i   0

 i0
n
n
n
 n 4
3
2
a
x

b
x

c
x

x i2 y i




i
i
  i
i0
i0
i0
 i0
n
n
n
n

  a  xi 3  b  x i2  c  xi   x i y i (3.1)
i0
i0
i0
 i0
n
n
n

2
a
x

b
x


(
n

1)
c

yi
  i


i
i0
i0
 i0

Ta giải hệ (3.1) ta tìm được hệ số a,b,c=?
2.3.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:
x

-1,24

-0,15

0,82

2,16

y


7,12853

0,82834

-0,78187

3,18453

Tìm y=ax2+bx+c gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế
thứ nhất?
Giải
Ta có y=ax2+bx+c thì hệ số a,b,c là nghiệm của hệ phương trình:
3
3
3
 3 4
3
2
2
a  xi  b xi  c  xi   xi yi
i 0
i 0
i 0
 i 0
3
3
3
3

3

2
  xi  b xi  c  xi   xi yi
i 0
i 0
i 0
 i 0
3
3
 3 2
a
x

b
x

(3

1)
c

yi
  i


i
 i 0
i 0
i 0

18



24,58466513a  8,719065b  6,8981c  25,31147916

 8,719065b  6,8981b  1,59c  2,7261768
6,8981a  1,59b  4c  10,35953

a  1,999998312
a  2


 b  2,999999263  b  3
c  0,333335118
c  0,3


 y  2 x 2  3x  0,3

Vậy hàm cần tìm là y= 2x2 -3x +0,3
Ví dụ 2: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:
x

-1,483

-0,345

0,521

1,436


2,513

y

2,631868

-1,332941

0,856319

0,8058272

23,279987

Tìm y=ax2+bx+c gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế
thứ nhất?
Giải
Ta có y=ax2+bx+c thì hệ số a,b,c là nghiệm của hệ phương trình:
3
4
4
 4 4
3
2
2
a  xi  b xi  c  xi   xi yi
i 0
i 0
i 0
 i 0

4
4
4
4

3
2
  xi  b xi  c  xi   xi yi
i 0
i 0
i 0
 i 0
4
4
 4 2
a
x

b
x

(4

1)
c

yi
  i



i
 i 0
i 0
i 0

 49, 05831868 a  15, 6700011b  10, 96702 c  169, 4960078

 15, 6700011a  10, 96702 b  2, 642 c  67, 07723252
10, 96702 a  2, 642 b  5 c  33, 493505

 a  3, 043192201
a  3


  b  2, 01940058   b  2
 c   1, 043300212
 c  1


 y  3x 2  2 x  1

Vậy hàm cần tìm là y= 3x2 +2x -1

19


Ví dụ 3: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:
x

-1,73


0,21

1,54

2,38

3,46

y

6,89073

2,21147

1,61295

2,32863

4,49297

Tìm y=ax2+bx+c gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế
thứ nhất?
Giải
Ta có y=ax2+bx+c thì hệ số a,b,c là nghiệm của hệ phương trình:
3
4
4
 4 4
3

2
a
x

b
x

c
x

xi 2 yi




i
i
i

i 0
i 0
i 0
 i 0
4
4
4
4

3
2

  xi  b xi  c  xi   xi yi
i 0
i 0
i 0
 i 0
4
4
 4 2
 a  xi  b xi  (4  1)c   yi
 i 0
i 0
i 0

189,9885157a  53,386816b  23,0446c  169, 4960222

 53,386816a  23,0446b  5,86c  12,1152044
23,0446a  5,86b  5c  17,53675

a  0,600000311 a  0,6


 b  1, 49998869  b  1,5
c  2, 49999237
c  2,5


2
 y  0,6 x  1,5 x  2,5

Vậy hàm cần tìm là y= 0,6x2 -1,5x +2,5

2.4 Xấp xỉ hàm mũ y= aebx
2.4.1 Phương pháp giải
Giả sử hàm số f(x) ta không biết biểu thức giải tích của nó, chỉ biết một
số điểm tương ứng:
y0, y1,…….., yn ứng với x0, x1, …., xn
Ta phải tìm hàm y= aebx (a>0)
Ta có: y= aebx

20


 ln y  ln(ae bx )  ln a  ln e bx
 ln y  ln a  bx (*)

Ta đặt Y=ln y, A= ln a khi đó a= eA
Suy ra (*)  Y  bx  A
Hệ số b, A là nghiệm của hệ phương trình:
n
n
 n 2
b
x

A
x

xiYi


i

  i
 i 0
i 0
i 0
 n
n
b x  (n  1) A  Y

i
i
 
i 0
i 0

2.4.2 Một số ví dụ
Ví dụ 1: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:
x

-0,24

0,36

0,98

1,26

2,14

y


2,818742

2,088176

1,531566

1,331480

0,857521

Tìm y=axbx gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ
nhất?
Giải
Ta có bảng sau:
x

-0,24

0,36

0,98

1,26

2,14

Y=lny

1,036290686


0,736290957

0,42690741

0,28629115

-0,15370961

Ta phải tìm hàm y= aebx (a>0)
Ta có: y= aebx
 ln y  ln(ae bx )  ln a  ln e bx
 ln y  ln a  bx (*)

Ta đặt Y=ln y, A= ln a khi đó a= eA
Suy ra (*)  Y  bx  A
Hệ số b, A là nghiệm của hệ phương trình:

21


4
4
 4 2
b xi  A xi   xiYi
 i 0
i 0
i 0
 4
4
b x  (4  1) A  Y


i
i
 
i 0
i 0

7,3148b  4,5 A  0,465913911

4,5b  5 A  2,331456579
b  0,499999084

 A  0,916290491
b  0,5

A
a  e  2,5

Vậy y=2,5e-0,5x
Ví dụ 2: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:
x

-0,21

-1,3

0,8

1,6


2,5

y

0,248295

0,324172

0,652803

0,852302

1,150488

Tìm y=axbx gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ
nhất?
Giải
Ta có bảng sau:
x

-0,21

-1,3

0,8

1,6

2,5


Y=lny

-1,39313724

-1,12648104

-0,42647879

-0,159814354

0,1401862

Ta phải tìm hàm y= aebx (a>0)
Ta có: y= aebx
 ln y  ln(ae bx )  ln a  ln e bx
 ln y  ln a  bx (*)

Ta đặt Y=ln y, A= ln a, khi đó a= eA
Suy ra (*)  Y  bx  A
Hệ số b, A là nghiệm của hệ phương trình:

22


4
4
 4 2
b xi  A xi   xiYi
 i 0
i 0

i 0
 4
4
b x  (4  1) A  Y

i
i
 
i 0
i 0

15,55b  1,5 A  4, 413593203

1,5b  5 A  2,965726797
b  0,351212665

 A  0,698509158
b  0,35

A
 a  e  0,5

Vậy y=0,5e0,35x
Ví dụ 3: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:
x

-5,25

-4,82


-3,11

-2,75

-1,24

y

1,438651

1,246541

0,704950

0,625235

0,377962

Tìm y=axbx gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ
nhất?
Giải
Ta có bảng sau:
x

-5,25

-4,82

-3,11


-2,75

-1,24

Y=lny

0,363705869

0,220372515

-0,704950

-0,469627699

- 0,972961617

Ta phải tìm hàm y= aebx (a>0)
Ta có: y= aebx
 ln y  ln(ae bx )  ln a  ln e bx
 ln y  ln a  bx (*)

Ta đặt Y=ln y, A= ln a khi đó a= eA
Suy ra (*)  Y  bx  A
Hệ số b, A là nghiệm của hệ phương trình:

23


4
4

 4 2
b xi  A xi   xiYi
 i 0
i 0
i 0
 4
4
b x  (4  1) A  Y

i
i
 
i 0
i 0

69,5671b  17,17 A  1,718691743

17,17b  5 A  1,563460932
b  0,344188869

 A  1,494636763

b  0,3

A
a  e  0,2

Vậy y=0,2e-0,3x
Ví dụ 4: Hàm số f(x) được cho bằng bảng:
x


-1,45

-0,311

1,73

2,51

3,78

y

0,464784

0,676846

1,202278

1,717068

2,61096

Tìm y=axbx gần nhất với f(x) bằng phương pháp bình phương vế thứ nhất?
Giải
Ta có bảng sau:
x

-1,45


-0,311

1,73

2,51

3,78

Y=lny

- 0,766182497

- 0,390311506

0,18421809

0,540618185

0,959717969

Ta phải tìm hàm y= aebx (a>0)
Ta có: y= aebx
 ln y  ln(ae bx )  ln a  ln e bx
 ln y  ln a  bx (*)

Ta đặt Y=ln y, A= ln a khi đó a= eA
Suy ra (*)  Y  bx  A
Hệ số b, A là nghiệm của hệ phương trình:

24



4
4
 4 2
b xi  A xi   xiYi
 i 0
i 0
i 0
 4
4
b x  (4  1) A  Y

i
i
 
i 0
i 0

22,972621b  5,959 A  6,535734362

5,959b  5 A  0,528060241
b  0,37215736

 A  0,337925094
b  0,4

A
a  e  0,7


Vậy y=0,7e0,4x

25