Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN

 

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong 

khoa Toán nói chung và trong tổ Giải tích nói riêng và các bạn sinh viên đã 
giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận. 
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo TS. Nguyễn
Văn Hùng, người đã tận tâm giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian 
nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.  
Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học, hơn nữa do thời gian 
nghiên  cứu  có  hạn  nên khóa luận  không  tránh  khỏi  những  hạn  chế  và  thiếu 
sót. Em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô 
giáo và các bạn sinh viên. 
 
 

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sinh viên 

       Cao Thị Tung
 
 
 
 
 
 
 


 

 

 

  

 

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán
 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo  
TS. Nguyễn Văn Hùng, cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình 
nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một 
số tác giả như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo. 
 

Em xin  cam  đoan  khóa  luận này  là  kết  quả nghiên cứu  của  riêng  em. 

Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà 

khoa học với sự trân trọng và biết ơn. 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

 

 

 


 

 

 

 

 

Sinh viên 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Cao Thị Tung

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán
 

 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

MỤC LỤC 
 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 Trang

LỜI MỞ ĐẦU................................................................................................................... 1 
NỘI DUNG....................................................................................................................... 3 
CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG ........................................................................... 3 
1.1. Tích phân suy rộng loại 1........................................................................................ 3 
1.2. Tích phân suy rộng loại 2...................................................................................... 22 
    Bài tập......................................................................................................................... 34 
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ..................................................... 58 
2.1. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hằng số.................................................... 58 
2.2. Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm số của tham số ................................. 61 
2.3. Tích phân phụ thuộc tham số với cận ở vô tận....................................................... 63 
    Bài tập......................................................................................................................... 70 
KẾT LUẬN..................................................................................................................... 89 
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................... 90 

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán
 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


LỜI MỞ ĐẦU
 
 

Toán học là ngành khoa học cơ bản làm nền tảng cho nhiều ngành khoa 

học khác. Trong đó Giải tích là bộ phận chiếm vị trí quan trọng trong Toán 
học. Đã có rất nhiều nhà khoa học đi nghiên cứu và phát triển ngành Toán học 
nói  chung  và  lĩnh  vực  Giải  tích  nói  riêng.  Không  chỉ  có  các  nhà  khoa  học 
muốn nghiên cứu và tìm hiểu về Toán học mà còn rất nhiều sinh viên chuyên 
ngành Toán cũng đam mê và ước muốn nghiên cứu Toán học. 
 

Bản thân em cũng mong ước được nghiên cứu tìm hiểu và bồi dưỡng 

thêm những tri thức liên quan đến Toán học nói chung và Giải tích nói riêng. 
Trên cơ sở những kiến thức đã học, cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo  
TS. Nguyễn Văn Hùng, cũng như mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về tích 
phân suy rộng và tích phân phụ thuộc tham số nên em đã mạnh dạn chọn đề 
tài “Tích phân suy rộng - Tích phân phụ thuộc tham số” nhằm nghiên cứu 
một số kiến thức cơ bản như các tích chất, các dấu hiệu hội tụ của tích phân 
suy  rộng  và  các  tính  chất,  các  dấu  hiệu  hội  tụ  đều  của  tích  phân  phụ  thuộc 
tham số. 
 

Được sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán nói chung 

và trong tổ Giải tích nói riêng và đặc biệt là được sự hướng dẫn và chỉ bảo tận 
tình  của  thầy  giáo  TS. Nguyễn Văn Hùng cùng  với  sự  cố  gắng  tìm  tòi  và 

nghiên cứu của mình em đã hoàn thành đề tài nghiên cứu này. 
Đề tài của em gồm ba phần: Lời mở đầu, nội dung, kết luận. 
 

Phần nội dung gồm:  

 

 

Chương 1: Tích phân suy rộng

 

 

Chương 2: Tích phân phụ thuộc tham số

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

1 


Khóa luận tốt nghiệp

 

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Qua đây  em  cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của  mình đến 


thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ 
bảo cho em trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. 
 

Em xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo và các bạn sinh viên 

trong khoa  toán đã gúp đỡ  và đóng góp ý kiến  cho  em trong suốt  quá  trình 
hoàn thành khóa luận của mình. 
 

Do  lần  đầu  tiên  tiếp  xúc  với việc  nghiên cứu  khoa  học,  hơn  nữa  thời 

gian nghiên cứu có hạn, kinh nghiệm của bản thân còn hạn chế nên khóa luận 
không  tránh  khỏi  những  hạn  chế  và  thiếu  sót.  Em  rất  mong  nhận  được  sự 
thông cảm của các thầy giáo, cô giáo cùng các bạn sinh viên.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

2 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: TÍCH PHÂN SUY RỘNG
 
1.1. Tích phân suy rộng loại 1
1.1.1. Định nghĩa
 

* Cho hàm số  f  :   a,       R  khả tích trên mọi đoạn   a,  A ,  
 ( A  a) . 
A

Kí hiệu: 

 

lim

A



 f ( x) dx      
a

f ( x) dx . 

a



Ta gọi 



f ( x) dx  là tích phân suy rộng loại 1 của hàm  f ( x)  trong khoảng 

a


 a,      . 
A

Xét giới hạn: 

 

  lim

A

 f ( x) dx   

(1)  

a



+ Nếu giới hạn  (1)  tồn tại và hữu hạn thì tích phân 



f ( x) dx  được gọi 

a

là hội tụ.  
+ Nếu giới hạn  (1)  không tồn tại hoặc bằng    hay    thì tích phân 





f ( x ) dx  được gọi là phân kì. 

a



Ví dụ 1: Tính tích phân  

e

x

dx . 

0

Với mọi số thực  b  0 , ta có:  

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

3 


Khóa luận tốt nghiệp

b


Trường ĐHSP Hà Nội 2



   e  x dx  =  e  x



b
0

 = 1  e b   

0

b



e

x

dx  =  lim  e x dx  =  lim (eb  1)    1    
b

0

b


0



Do đó:  

 




x

e dx   hội tụ  và  

0

e

x

dx  1   

0



Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của tích phân suy rộng  


 sinx dx . 
0

Với mọi số thực  b  0 , ta có:  
b

b

Tích phân  sinx dx        cos x    0     1  cos b 2  không có giới hạn khi 
0

b   . 


 sinx dx  phân kì. 

 Do đó  

0

 

* Tương tự nếu   f :   ,  a   R  khả tích trên mọi đoạn   B,  a  ,   

( B  a) . 
a

Kí hiệu: 

 


   lim

B

a

 f ( x) dx      
B

f ( x) dx .  



a

Ta gọi 



f ( x) dx  là tích phân suy rộng loại 1 của hàm  f ( x)  trong khoảng 



 ,  a  . 
a

Xét giới hạn:  lim

B


 f ( x) dx  

(2)  

B

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

4 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

a

+  Nếu  giới hạn  (2)  tồn tại và hữu  hạn thì tích  phân 



f ( x ) dx   được 



gọi là hội tụ.  
+ Nếu giới hạn  (2)   không tồn tại hoặc bằng    hay    thì tích phân 
a




f ( x ) dx  được gọi là phân kì. 



0

Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của tích phân 

 xe

3x

dx . 



Với mọi số thực  b  0 , ta có:  
0

 

0
0

1
1  3x 0
3x
3x

xe
dx

x
 
d
(
e
)

xe
 

e
dx

  




b
3
3
b
b
b




 

 

0
1
1
1
1
       be3b  e3 x      be3b  1  e3b  
b
3
3
3
9

 

 

1
1
1
       be3b  e3b   
3
9
9

3x




0

Do đó: 

 xe

0
3x

dx  lim

xe
b 
b



3x

1
1
1
 1
dx  lim   be3b  e3b      
b  3
9
9
9


0

Vậy tích phân 



0

3x

xe dx  hội tụ và 



1
3x
xe
dx


 

9


* Nếu   f :   ,       R  khả tích trên mọi đoạn 

 B,  A ,    B,  A   ,      . 
A


Kí hiệu: 

 

lim





 f ( x) dx      

A
B B

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

f ( x) dx . 



5 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2




Ta  gọi 

f ( x ) dx   là  tích  phân  suy  rộng  loại  1  của  hàm  f ( x) trong  khoảng 




 ,      . 
A

Xét giới hạn: 

 

   lim

 f ( x) dx  

A
B B

(3)    

 


+ Nếu giới hạn  (3)  tồn tại và hữu hạn thì tích phân 




f ( x ) dx  được gọi 



là hội tụ. 
+ Nếu giới hạn  (3)  không tồn tại hoặc bằng    hay    thì tích phân 




f ( x ) dx  được gọi là phân kì. 



*  Cho  a  là số thực bất kì:  
a



+  Nếu cả hai tích phân  



f ( x ) dx   và 

a

a




f ( x ) dx  cùng hội tụ thì :  





f ( x) dx       f ( x) dx 










f ( x) dx  và 

a



a



+  Nếu  một  trong  hai  tích  phân   




f ( x) dx  hội tụ. 




f ( x ) dx     và 

a



f ( x ) dx   phân  kì  thì  tích 





phân 



f ( x) dx  cũng phân kì.  



 Chú ý: Nếu  tích  phân  suy  rộng  trên  các  khoảng     ,  a  ,    a,        hoặc  


 ,        của  hàm 

f ( x)   hội  tụ  thì  ta  nói  hàm  f ( x)   khả  tích  trên  các 

khoảng tương ứng. 

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

6 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2



Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của tích phân 


dx
. 
 x  2 x  5



1

dx
dx

Ta có:   2
  2

x

2
x

5
x

2
x

5



2




1

1

Đặt  A 

dx

 x 2  2 x  5 ,  B 


dx
 
x  2x  5
2




1

dx
 
x2  2 x  5

1

+  Xét  A 

dx
, với mọi số thực  b  0 , ta có: 
x

2
x

5





2

1

A

1

1

dx
dx
dx

lim

lim
 x2  2 x  5 b  x2  2 x  5 b   x  12  4  

b
b
1

1
x 1
1
b  1



     lim  arc tan
   lim  arc tan1  arc tan

 
2 b 
2  b 2 b 
2 

1  1      3
     .       
 
2 4 2 2  8 4 8
1

Do đó  A 


+ Xét  B 


1

dx
 hội tụ.  
x

2
x


5




2

dx
 
x  2x  5
2

Tương tự:  


B


1

dx
 lim
2
x  2 x  5 a




1


dx
 lim
2
x  2 x  5 a

a



dx

  x  12  4  
1

1
x  1
1
a 1



     lim  arc tan
   lim  arc tan
 arc tan1  

2 a 
2  1 2 a 
2


1  1  
     .      
2 2 2 4  8

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

7 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2



Ta cũng có:  B 


1

dx
 hội tụ.  
x  2x  5
2



Vậy tích phân  

dx

 hội tụ và  
x

2
x

5




2



 

dx
3  

A

B

   
 x2  2x  5
8
8 2




Ví dụ 5: Xét sự hội tụ của tích phân 


1

1
 dx , (   là số thực cho trước ). 
x

+ Nếu    1  thì  với mọi  b  R ,  b  1 ta có: 
b

1
 x  dx   lnb    khi  b   , do đó  
1




1

1
 dx    
x

+ Giả sử    1  . Khi đó với mọi  b  1 ta có: 
b

 


 

 

1
x1
 
dx
 = 
 x
1
1

b
1

 = 

b1
1

   
1 1

b

 

1

Nếu    1  thì   lim    dx   , do đó 
b x
1
b

 

Vậy    1  tích phân  


1


 


1

1
1
Nếu    1  thì   lim    dx 
, do đó 
b x


1
1


 




    1  tích phân  


1

1
 dx   hội tụ.  
x
1
 dx  phân kì.  
x

 
 
 

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

8 

1
 dx    
x





1

1
1
 dx 
 

 1
x


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2



Tổng quát :Tích phân: 


a

1
 dx ,  a  0 , và   là số thực tùy ý:
x


+    1  tích phân  



a


+    1  tích phân  


a

1
dx   hội tụ.  
x
1
dx  phân kì.  
x


Ví dụ 6: Xét sự hội tụ của các tích phân 


2



Tích phân 


2


2


3

x5



 dx  và 


2

1
5

x3

 dx . 

5


 dx  hội tụ       1,  a  2  . 
5
3


x

1

3



Tích phân 

1

1
5

3


 dx  phân kì       1,  a  2  . 
5


x3


Chú ý: Sau đây ta chỉ xét tích phân suy rộng loại 1 dạng 



f ( x ) dx , còn các 

a

trường hợp khác xét tương tự. 

1.1.2. Cách tính tích phân suy rộng loại 1
Công thức Newton - Leibniz
Giả  sử  f ( x)   khả  tích  trên  đoạn   a,  b  ,  b  a ,  và  F ( x)   là  nguyên 
hàm của  f ( x)  trên khoảng   a,      . 


Khi đó: 





f ( x) dx      F ( x)  a  F ( )  F ( a)  

a

Trong đó:  F ( )     lim F ( x)  
x

Chú ý: Các phương pháp tính tích phân xác định vẫn được sử dụng cho tích  
phân suy rộng. 

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

9 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2




Ví dụ 7: Tính tích phân sau

 x.e

x

dx .

0



Ta có: 

 x.e


x

dx      

0


0

  x    x 

x  d (e )    x.e     e dx 


0
0


x

 x 

  x.e  

0











e  x dx   x.e  x  e  x  

0




1
0

1.1.3. Tiêu chuẩn hội tụ
Định lý 1.1.3.1 (Tiêu chuẩn hội tụ Cauchy)  
 

Giả sử  f ( x) là hàm số xác định trong khoảng   a,       khả tích trong 


mọi đoạn hữu hạn   a,  A ,  A  a . Khi đó tích phân  



f ( x) dx  hội tụ khi và 

a
A

chỉ khi:    0 ,   A0  A0 ( )  a,  A,  A  A0 :       

 f ( x) dx   . 

A

Chứng minh:
A

Đặt  F ( x) =   f ( x) dx ,  A    a . 

a

Theo định lý Cauchy về giới hạn hàm số, giới hạn  lim F ( A)  tồn tại hữu hạn 
A

khi và chỉ khi:    0 ,  A0     A0 ( )  0,  A,  A  A0 :  
                                       F(A)  –  F(A)      
A

  Tức là:    

A

 f ( x ) dx  
a

A

f ( x ) dx 



f ( x ) dx   .           

A

a


Theo định nghĩa, tích phân   




f ( x) dx  hội tụ khi và chỉ khi: tồn tại giới hạn 

a

hữu hạn   lim F ( A) .  
A

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

10 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2



Vậy tích phân   



f ( x ) dx   hội tụ khi và chỉ khi:  

a

A


  0 ,  A0     A0 ( )  a,  A,  A  A0 :        

 f ( x) dx   .     

A

Định lý 1.1.3.2  
Giả sử  f  x   là hàm số xác định trong khoảng   a,       khả tích trong 


mọi đoạn  hữu  hạn   a,  A ,  A  a . Khi đó  tích phân 



f ( x) dx  hội  tụ khi và 

a


chỉ khi tích phân  



f ( x ) dx  hội tụ, với  b    a . 

b

Chứng minh:
Giả sử  b  là số thực bất kì,   b    a  . Khi đó với  A    a   

(có thể xem A    b ). 
A

b

A

Ta có:    f ( x) dx       f ( x) dx   f ( x) dx.   
a

a

b

A

Do  lim

A

A

f ( x ) dx  tồn tại 
 f ( x) dx  tồn tại hữu hạn khi và chỉ khi  Alim
 
a

b




hữu  hạn nên tích phân 





f ( x) dx  hội tụ khi và chỉ khi  tích phân 

a



f ( x) dx   

b

hội tụ.  
Định lý 1.1.3.3


Giả sử  tích phân





f ( x ) dx  và 

a


 g ( x) dx  hội tụ với   ,   R . Khi đó  
a

b

tích phân    f ( x)   g ( x)  dx   cũng hội tụ và ta có:
a

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

11 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

b

 

 



  f ( x)   g ( x) dx   
a




f ( x) dx  

a

 g ( x) dx.   
a

1.1.4. Dấu hiệu hội tụ đối với tích phân suy rộng của hàm không âm
Các dấu hiệu so sánh
Giả  sử  f(x) là  hàm  số  xác  định  và  không  âm  trong  khoảng   a,      , 
khả tích trong mọi đoạn hữu hạn   a,  A ,    A  a  . 


Ta xét tích phân:  



f ( x ) dx . 

a

A

 Đặt     F ( A)   f ( x) dx.  
a
A

Hàm  f ( x)  0,  x  a  nên  F ( A)      f ( x) dx   là hàm đơn điệu, không giảm 
a


trong khoảng   a,      . Do đó nếu  F(A) là hàm số bị chặn trên thì sẽ tồn tại 
giới  hạn  hữu  hạn  lim F ( A) .  Còn  nếu  F(A)   không  bị  chặn  trên  thì  
A

lim F ( A)      .  

A

A

+  Nếu  hàm  F ( A)      f ( x) dx ,  A    a ,  bị  chặn  trên  thì  tích  phân  
a




f ( x)dx  hội tụ.  

a

A

+  Nếu  hàm  F ( A)      f ( x) dx ,  A    a   không  bị  chặn  trên  thì  tích 
a


phân 



a



f ( x ) dx  phân kì và 



f ( x ) dx       .  

a

Để xét tính hội tụ của tích phân suy rộng đối với hàm không âm trong 

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

12 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

 khoảng    a,    ta có các dấu hiệu sau: 
Định lý 1.1.4.1 (Dấu hiệu so sánh 1)
Giả sử  f(x) và  g(x) là những hàm xác định trong khoảng   a,      , khả 
tích trong mọi đoạn hữa hạn   a,  A ,  A    a  
 

và  0    f ( x)    g ( x) , với mọi  x   a,      . 


 

Khi đó: 


(i )  Nếu 



 g ( x) dx  hội tụ thì  
a

f ( x ) dx  cũng hội tụ và ta có bất đẳng thức: 

a







f ( x) dx       g ( x) dx.  

a

a




(ii )  Nếu 





f ( x ) dx  phân kỳ thì 

a

 g ( x) dx  cũng phân kỳ. 
a

Định lý 1.1.4.2 (Dấu hiệu so sánh 2) 
Giả sử  f(x) và  g(x) là những hàm xác định và không âm trong khoảng 

 a,      , khả tích trong mọi đoạn hữu hạn   a,  A ,  A  a  và  xlim



(i )  Nếu   k  0  và tích phân 

f ( x)
 k.  
g ( x)



 g ( x) dx  hội tụ thì tích phân  

a

f ( x) dx  cũng 

a

hội tụ. 


(ii )  Nếu  0  k    thì hai tích phân 





f ( x ) dx   và 

a

 g ( x) dx   cùng  hội tụ 
a

hoặc cùng phân kì. 


(iii )   Nếu  k     và  tích  phân 






f ( x ) dx   hội  tụ  thì  tích  phân 

a

a

cũng hội tụ. 

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

 g ( x) dx  

13 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2



Nhận xét: Để xét sự hội tụ của tích phân 



f ( x ) dx  bằng dấu hiệu so sánh 2, 

a


f ( x)
 1 . Nghĩa là  f ( x)  và  g ( x)  là 
x g ( x)

ta cần xây dựng hàm  g ( x)  sao cho  lim
hai hàm tương đương   f ( x)

g ( x)  . 

Muốn  vậy,  ta  cần  thay  thế  vô  cùng  bé  (VCB)  hoặc  vô  cùng  lớn  (VCL)  khi 
x   .Tuy nhiên cần phải chú ý cả hai hàm  f ( x)  và  g ( x)  cùng khả tích 

trên   a,      .Cần chú ý các đại lượng VCB tương đương sau: 
sin x

x,   ln(1  x)

x,  e x  1 x,  1  cos 2 x

1 2
x ,  (khi x  0).   
2

Hệ quả 1.1.4.1 
 Giả sử  f(x) và  g(x) xác định và không âm trong khoảng   a,      , khả 
tích  trong  mọi  đoạn  hữu  hạn   a,  A ,   A  a  ,  nếu  f ( x)   và  g ( x)   là  những 
VCB tương đương khi  x  .  


Khi đó các tích phân 






f ( x ) dx  và 

a

 g ( x) dx  cùng hội tụ hay cùng phân kỳ. 
a

Hệ quả 1.1.4.2  
 Giả sử  f  x   và  g ( x)  xác định và không âm trong khoảng   a,      , 
(a  0)  khả tích trong mọi đoạn hữu hạn   a,  A ,   A  a  , sao cho với mọi  x  

đủ lớn  f ( x)  có  dạng:  f ( x) 

 ( x)
x

,  (  0).  

Khi đó: 
(i )  Nếu    1 ,   ( x)  là hàm không âm và bị chặn trên:  0     ( x)    M  


thì 




f ( x ) dx  hội tụ   a  0  .  

a

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

14 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

(ii )  Nếu    0         1 ,   ( x)  là hàm không âm và bị chặn dưới: 


 ( x)    m     0 , thì 



f ( x)dx  phân kỳ.  

a


Ví dụ 8: Xét sự hội tụ của tích phân 


1


x 1
 dx . 
x3  3x  2

Cách 1: Dùng dấu hiệu so sánh 1 
f ( x)    

x 1
 là hàm xác định trên  1,       
x  3x  2
3

0    f ( x)    

x 1
,  x  1,       
x  3x  2
3

Do  f ( x)    

x 1
x
1
,  x  1,       
 

 
 


 
x3
x3
x2

Đặt  g ( x)    

1
 ta có:  0    f ( x)    g ( x) ,  x  1,       
x2



Mà 


1

1
 dx  hội tụ    2  1 . 
x2


Do đó  


1

x 1

 dx  hội tụ (Theo dấu hiệu so sánh 1). 
x3  3 x  2

Cách 2: Dùng dấu hiệu so sánh 2. 
Ta có:   0    f ( x)    

x 1
  
x  3x  2

  f ( x)    
Chọn  g ( x)    
Ta có: 

3

x 1
 
x  3x  2
3

 

1
,    khi x     
x2

1
 
x2


f ( x)
x 1
1
x3  x 2
 
   3
 :  2      3
g ( x)
x  3x  2
x
x  3x  2

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

15 


Khóa luận tốt nghiệp

 

f ( x)
x3  x 2
     lim 3
    1  
x g ( x )
x x  3 x  2

 


lim



Mà 



 g ( x) dx      
1

1


Do đó 

Trường ĐHSP Hà Nội 2


1

1
 dx  hội tụ,    2  . 
x2

x 1
 dx  hội tụ (Theo dấu hiệu so sánh 2). 
x  3x  2
3




Ví dụ 9: Xét sự hội tụ của tích phân 

dx

 ln x . 
2

Ta có:  f ( x) 

1
 là hàm số dương, xác định và liên tục mọi  x   2,       
ln x

Ta thấy  ln x  là VCL   khi x     nhưng không thể thay  được VCL tương 
đương. Do đó ta không dùng dấu hiệu so sánh 2. Ta dùng dấu hiệu so sánh 1, 
muốn vậy cần chặn hàm  f ( x) 

1
. 
ln x

Ta có bất đẳng thức: 
 

 

 


ln x     x ,  x  1,       

1
1
 nên      
,  x  1,       
x
ln x


Mặt khác: 


2

1
 dx  phân kì   
x




2

1
 dx  phân kì (Theo dấu hiệu so sánh 1).
ln x

1.1.5. Định lý Dirichlet và Abel

 
Ta xét sự hội tụ của tích phân suy rộng với cận vô hạn, trong đó hàm 
dưới dấu tích phân có dạng tích của hai hàm số: 


 

 

 

 



f ( x).g ( x) dx  

a

 

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

16 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2


Định lý 1.1.5.1  (Định lý Dirichlet) 
 

Cho  các  hàm  số  f ( x) và  g ( x) là  các  hàm  xác  định  và  liên  tục  trong 

khoảng   a,      . Giả sử rằng:  
(i )   f ( x)  có nguyên hàm bị chặn trong khoảng   a,      , tức là tồn tại  k  0 : 
A

 

 

F ( A)     

 f ( x)dx     k ,  a     A       . 
a

(ii )   g ( x)  có đạo hàm liên tục trong khoảng   a,       và đơn điệu dần về 0 

khi  x   :  

lim g ( x)    0  

x



Khi đó tích phân 




f ( x).g ( x ) dx  hội tụ.  

a

Chứng minh:  
Với mọi  A  A  0  ta có:  

 

A



A

f ( x).g ( x) dx     F ( A).g ( A)  F ( A).g ( A)   F ( x ).g ( x) dx  

A

A

Trong đó  F ( x) là nguyên hàm của  f ( x) trong khoảng   a,      . 
Áp dụng định lý trung bình thứ hai đối với tích phân xác định ta có: 
A

A

   F ( x).g ( x) dx  F ( ).  g ( x) dx  F ( ). g ( A)  g ( A)  ,   A         A '   

A

A

Từ đó ta có:  
A

 

 f ( x).g ( x) dx   F ( A)  F ( ).g ( A)   F ( )  F ( A).g ( A)  
A

Từ  (i )  ta có:  
 

F ( A)  F ( )     2k  và  F ( )  F ( A)     2k  

Theo  (ii )  thì  lim g ( x )  0  nên với mọi    0 , tồn tại số  A0  a  sao cho: 
x

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

17 


Khóa luận tốt nghiệp

Với  x     A0   thì:  g ( x)    

Trường ĐHSP Hà Nội 2



4k

 

Khi đó đối với  A    A    A0  ta có: 
A

 





 f ( x).g ( x) dx     2k 4k  2k 4k    

 

A

Vậy:    0A0  A0 ( )A ,  A  A0  ta có: 
A

 

 f ( x).g ( x) dx       

 


A



Vậy tích phân 



f ( x).g ( x) dx  hội tụ (Tiêu chuẩn Cauchy). 

a

Định lý1.1.5.2 (Định lý Abel) 
Cho  các  hàm  số  f ( x) và  g ( x) là  các  hàm  xác  định  và  liên  tục  trong 
khoảng   a,      . Giả sử rằng: 


(i )  Tích phân 



f ( x) dx  hội tụ. 

a

(ii )  Hàm  g ( x) có đạo hàm  g ( x)  liên tục trong khoảng   a,       và đơn điệu 

bị chặn trong khoảng đó. 
Tức là: 


g ( x)     L , (L -  hằng số,  a     x        ). 

 


Khi đó tích phân 



f ( x ).g ( x) dx  hội tụ.  

a

Chứng minh:
Với mọi  A    A    0  ta có:  
A

A

 f ( x).g ( x) dx  F ( A).g ( A)  F ( A).g ( A)   F ( x).g ( x) dx  
A

A

Trong đó  F ( x)  là nguyên hàm của  f ( x)  trong khoảng   a,      . 

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

18 



Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Áp dụng định lý trung bình thứ hai đối với tích phân xác định ta có: 
A

A

   F ( x).g ( x) dx  F ( ).  g ( x) dx  F ( ). g ( A)  g ( A)  ,   A         A   
A

A

Từ đó ta có:  
A

 f ( x).g ( x) dx   F ( A)  F ( ).g ( A)   F ( )  F ( A).g ( A) ,   A         A  
A


Do tích phân 



f ( x ) dx  hội tụ nên theo định lý Cauchy ta có :  

a


A

 

  0,  A0  a : A,  A( A  A  A0 )  ta có: 



f ( x) dx     

A

Do  A         A  nên ta cũng có:  
A

F ( A)  F ( )     



 f ( x) dx      2 L  





F ( )  F ( A)     



f ( x) dx     


A


2L

 

Do đó:  A  A  A0  ta có: 
A

 







A

Vậy:    0,  A0  a : A,  A( A  A  A0 )  ta có:  
A'

 

 




 f ( x)g ( x) dx      2 L L  2 L L      2  2       

 

 

 f ( x)g ( x) dx       
A

 
 

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

19 


2L

 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2



Ví dụ 10: Xét sự hội tụ của tích phân 


x sin ax

 k 2  x 2  dx   (k  0,  a  0) . 
0

x
 
k  x2

 

Xét hàm  f ( x)     sin ax ,  g ( x)    

 

 

 

Ta có với  x  k  thì  g ( x)  0 , hàm  g ( x)  đơn điệu giảm và  

 

 

g ( x )    

 

 


k 2  x2
 
(k 2  x 2 ) 2

x
 0 . 
x k  x 2

lim g ( x )  lim

x

 

Mặt khác:  A  a  ta có  

 

 


Tích phân

2

2

A


A



f ( x) dx       sin ax  dx     

a

a

1  cos aA
2
         M  
a
a

x sin ax

 k 2  x 2  dx  hội tụ (Theo dấu hiệu Đirichlet). 
0

1.1.6. Sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
1.1.6.1. Định nghĩa
Cho  f :  a,       R  khả tích trong mọi đoạn hữu hạn   a,  A ,  A  a . 


* Nếu tích phân 






f ( x)  dx  hội tụ thì ta nói tích phân 

a



f ( x ) dx  hội tụ tuyệt 

a

đối. 


* Nếu tích phân 





f ( x) dx  hội tụ nhưng tích phân 

a



f ( x)  dx  phân kì thì ta 

a




nói 



f ( x ) dx   không  hội  tụ  tuyệt  đối  (hay  bán  hội  tụ,  hay  hội  tụ  có  điều 

a

kiện). 

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

20 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2

Định lý 1.1.6.1


Tích phân suy rộng 



f ( x ) dx  hội tụ tuyệt đối thì hội tụ.  


a

 
Chứng minh:


 

Giả sử tích phân 



f ( x)  dx  hội tụ. 

a

Theo tiêu chuẩn Cauchy :  
A

  0,  A0  a : A,  A( A  A  A0 ) ta có:   f ( x )  dx      
A

A

Do đó: 

A

 f ( x)dx      

A

f ( x)  dx       

A

A

Vậy:    0,  A0  a : A,  A ( A  A  A0 ) ta có:  

 f ( x) dx       
A



Do đó tích phân 



f ( x ) dx  hội tụ (Theo tiêu chuẩn Cauchy).

a



Ví dụ 11: Xét sự hội tụ của tích phân  I 


1


Ta thấy:  f ( x) 

cos x
 thay đổi dấu trên đoạn  1,       
x2




Xét tích phân  I1       f ( x )  dx      
1

Ta có:  0     f ( x)     
Chọn  g ( x) 

cos x
 dx . 
x2

1

cos x
 dx  
x2

cos x
1
     2 ,   1,        
2
x

x

1
, ta có:  
x2

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

21 


Khóa luận tốt nghiệp

Trường ĐHSP Hà Nội 2



Tích phân: 



 g ( x) dx      
1

1

1
 dx  hội tụ , do    2 . 
x2






 Nên tích phân  I1       f ( x)  dx      
1


Vậy  I 


1

1

cos x
 dx  hội tụ (Dấu hiệu so sánh 1).
x2

cos x
 dx  hội tụ tuyệt đối nên hội tụ. 
x2

Chú ý: Điều ngược lại của định lý 1.5.2 không đúng. 
1.2. Tích phân suy rộng loại 2
1.2.1. Định nghĩa
* Xét  hàm  số  f ( x) xác  định  trong  khoảng   a,  b  ,     a  b     
không bị chặn trong lân cận  x  b . 
Giả  sử  với  mọi    0   (đủ  bé):  a  b    b ,  hàm  f ( x) khả  tích  trong  đoạn 


 a,  b    . Khi đó: 
b 

G ( ) 



f ( x) dx  là hàm xác định trong khoảng   0,  b  a  . 

a

 Kí hiệu:  

 

lim G ( )     lim

 0

 0

b 

b



f ( x) dx   f ( x) dx . 

a


a

b

Ta  gọi   f ( x) dx   là  tích  phân  suy  rộng  loại  2  của  hàm  f ( x)   trong  khoảng 
a

 a,  b  . 
Ta gọi  b  là điểm kì dị. 
b 

 Xét giới hạn:  

 

lim G ( )     lim

 0

Cao Thị Tung - K34 A - Khoa Toán

 0



f ( x) dx   (1) 

a


22