Trường đại học sư phạm hà nội 2
Khoa: toán
**********

Nguyễn thị hảo

Sử dụng phép đồng dạng để
chứng minh các bài toán
trong hình học không gian

Khóa luận tốt nghiệp đại học
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
Nguyễn văn vạn

Hà nội - 201


LờI CảM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô và các bạn sinh viên đã
giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc của mình tới thầy: Nguyễn Văn Vạn - người đã tận tình giúp đỡ em trong
quá trình hoàn thành khóa luận.
Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. Hơn nữa do
bản thân còn hạn chế nên không tránh khỏi những thiếu sót. Em kính mong
nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa
luận của em được hoàn thiện và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5, năm 2012.

Sinh viên
Nguyễn Thị Hảo


LờI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp: Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài
toán trong hình học không gian

của tôi được hoàn thành dưới sự tận tình

hướng dẫn của giảng viên: Nguyễn Văn Vạn.
Tôi khẳng định rằng: Đây là công trình nghiên cứu khoa học của tôi, do
tôi đã nghiên cứu và hoàn thành trên cơ sở những kiến thức đã học và tài liệu
tham khảo.
Sinh viên
Nguyễn Thị Hảo


Mục lục

A. Mở đầu.1
B. Nội dung. ...3
Chương 1: Cơ sở lí luận.3
1.1 Tổng quan về phép biến hình3
1.1.1 Khái niệm về phép biến hình 3
1.1.2 Phép biến hình tích.....3
1.1.3 Phép biến hình đảo ngược..4
1.1.4 Phép biến hình afin.4
1.1.5 Phép biến hình đẳng cự..5

1.1.6 Điểm bất động. Hình kép. Hình bất động..8
1.2 Phép đồng dạng8
1.2.1 Định nghĩa..8
1.2.2 Tính chất.8
1.2.3 Điều kiện xác định của phép đồng dạng.8
1.2.4 Sự đồng dạng của các hình..9
1.2.5 Phép vị tự9
1.2.6 Phân loại phép đồng dạng...9
1.2.7 Dạng chính tắc của phép đồng dạng.....10
Chương 2: Sử dụng phép đồng dạng để giải bài toán chứng minh..16
2.1 Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng16
2.1.1 Khái niệm bài toán chứng minh....16
2.1.2 Sử dụng phép đồng dạng để giả bài toán chứng minh...16
2.2 Một số ví dụ..17
2.3 Bài tập luyện tập,,,,,.24
Chương 3: Hướng dẫn giải bài tập27
A. Kết luận34
B. Tài liệu tham khảo...35


a. mở đầu

1. lí do chọn đề tài
Trong cuộc sống nói chung và trong trường Trung học phổ thông nói
riêng, toán học là một môn học không thể thiếu. Trong đó chúng ta không thể
không nhắc đến hình học bởi môn học này có tính chặt chẽ, tính logic và tính
trừu tượng hóa cao hơn các môn học khác của toán học. Mặt khác đây cũng là
một môn học hấp dẫn học sinh bởi tính trực quan của nó, đặc biệt khi có sự trợ
giúp đắc lực của máy tính và các phần mềm hỗ trợ. Đứng trước một bài toán
hình học chúng ta có thể đưa ra nhiều cách giải khác nhau, nhưng cách giải

nào là tối ưu, là dễ hiểu và thể hiện được tính sáng tạo nhất của người giải.
Trong chương trình toán học ở bậc Trung học phổ thông hiện nay có đưa ra
cho học sinh một công cụ mới để giải các bài toán hình học là sử dụng các
phép biến hình. Với công cụ này, học sinh có thể vận dụng để giải các bài
toán quỹ tích, chứng minh, dựng hình hay tính toán. Tuy nhiên không phải bài
toán nào đưa ra cũng có thể giải bằng biến hình, đó chính là một hạn chế khi
sử dụng các phép biến hình để giải bài toán. Bởi vậy, đòi hỏi học sinh khi sử
dụng các phép biến hình để giải bài toán cần có tư duy linh hoạt, sáng tạo, khả
năng tư duy hóa, trừu tượng hóa cao.
Để tìm hiểu rõ hơn về vấn đề này tôi đã mạnh dạn nghiên cứu đề tài:
Sử dụng phép đồng dạng để chứng minh các bài toán trong hình học
không gian .
Trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp và do thời gian nghiên cứu
không nhiều nên tôi chỉ tập trung xét những ứng dụng của phép đồng dạng một trong những phép biến hình cơ bản để giải một lớp bài toán, đó là bài toán
chứng minh trong không gian.

-1-


2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đề tài này nhằm:
Củng cố lại các kiến thức về phép biến hình đồng dạng nhằm hiểu rõ
hơn và có thể áp dụng tốt hơn phép biến hình này vào giải toán.
Tìm hiểu ứng dụng của phép đồng dạng để chứng minh các bài toán
trong hình học không gian.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Phép đồng dạng.
Phạm vi nghiên cứu: Phép đồng dạng và bài toán chứng minh của hình
học không gian.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về cơ sở lý luận và nội dung của phép đồng dạng trong
không gian.
Nghiên cứu về ứng dụng của phép đồng dạng để chứng minh các bài
toán trong hình học không gian.
5. Phương pháp nghiên cứu
Phân tích các tài liệu liên quan.
Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán.

-2-


B. nội dung
Chương 1: Cơ sở lí luận
1.1. Tổng quan về phép biến hình
1.1.1 Khái niệm về phép biến hình
- Giả sử đã cho tập hợp bất kì K khác rỗng, K sẽ được gọi là một không
gian, các phần tử của K là điểm, một tập con khác rỗng của K là một hình.
- Định nghĩa: Giả sử K là một không gian, song ánh f : K K được gọi
là một phép biến hình của không gian K.
- Nếu M, N là hai điểm bất kì của K thì f(M), f(N) là hai điểm phân biệt
của K.
Với mỗi điểm M K bao giờ cũng có một điểm M thuộc K sao cho f(M)
= M.
Điểm f(M) được gọi là ảnh của M qua phép biến hình f. Ngược lại điểm
M được gọi là tạo ảnh của điểm f(M) qua phép biến hình f nói trên.
Nếu H là một hình nào đó của K thì ta có thể xác định tập hợp f(H) =
{f(M) / M H}. Khi đó f(H) được gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình f
và hình H được gọi là tạo ảnh của hình f(H) qua phép biến hình f đó.
Chú ý: Nếu một phép biến hình f biến một hình H thành một hình G mà
thỏa mãn điều kiện sau thì ta gọi đó là phép biến hình một đối một:

Tạo ảnh f -1(M) của mọi điểm M thuộc hình G đều chỉ gồm có một điểm
M của hình H.
Như vậy ứng với mỗi điểm M của hình H ta có một điểm M của hình G
và chỉ một mà thôi. Ngược lại, ứng với mỗi điểm M của hình G ta có một
điểm M của hình H và chỉ một mà thôi.
1.1.2 Phép biến hình tích
- Định nghĩa: Giả sử f và g là hai phép biến hình của tập K đã cho, dễ
thấy ánh xạ tích của f và g cũng là một song ánh của K vào K nên tích đó cũng

-3-


là một phép biến hình của K. Ta gọi phép biến hình đó là phép biến hình tích
của f và g.
- Kí hiệu:
f: K K

và

M M

g: K K
M M

Khi đó: g.f = h : K K
M M
Ta có: h(M) = (g.f)(M) = M =g(M) = g[f(M)]
- Tích các phép biến hình nói chung không giao hoán được, nghĩa là
g.f f.g.
Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp, tức là: (h.g).f = h.(g.f)

1.1.3 Phép biến hình đảo ngược
- Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành
điểm M. Ta có f(M) = M. Khi đó phép biến hình biến đổi M thành điểm M
gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình đã cho.
- Kí hiệu: f -1 và f -1(M) = M.
- Vậy mọi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f
và ta có f.f

-1

-1

= f -1.f = e (phép đồng nhất).

1.1.4 Phép biến hình afin.
a, Định nghĩa:
- Định nghĩa: Phép biến hình của không gian Ơclit En (n=2, 3) biến
đường thẳng thành đường thẳng gọi là phép biến hình afin, gọi tắt là phép afin.
- Phép afin trong không gian được xác định bởi hai tứ diện tương ứng.
Trong E2, hai tam giác ABC và ABC được gọi là cùng chiều nếu trên
vòng tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay đi từ A đến B, từ B đến C, từ C đến
A cùng chiều quay từ A đến B, từ B đến C, từ C đến A.
Trong không gian E3, hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' được gọi là cùng
chiều nếu hai góc tam diện A.BCD và A'.B'C'D' cùng hướng.
-4-


b, Định lí:
Phép biến hình của không gian En (n= 2,3) là phép afin khi và chỉ khi nó
biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và ba điểm không thẳng

hàng thành ba điểm không thẳng hàng.
c, Tính chất:
- Phép afin trong E3 biến mặt phẳng thành mặt phẳng.
- Phép afin bảo tồn sự bằng nhau của các đoạn thẳng định hướng.
- Phép afin biến vectơ tổng thành tổng các vectơ tương ứng.
- Phép afin bảo tồn tỉ số đơn của ba điểm thẳng hàng.
d, Phân loại:
+ Phép biến hình afin trong En được gọi là phép biến hình loại 1 nếu
được xác định bởi hai hình cùng chiều.
+ Ngược lại ta gọi là phép biến hình loại 2.
1.1.5 Phép biến hình đẳng cự. (hay phép dời)
a, Định nghĩa:
Phép biến hình của không gian En (n=2, 3) bảo tồn khoảng cách giữa
hai điểm gọi là phép đẳng cự.
b, Tính chất:
+ Phép đẳng cự là phép afin.
+ Phép đẳng cự bảo tồn độ lớn của góc.
+ Phép đẳng cự biến đường tròn thành đường tròn và trong không gian
biến mặt cầu thành mặt cầu.
Sự xác định phép đẳng cự: trong E3 phép đẳng cự được xác định bởi hai
hình tứ diện bằng nhau.
c, Phân loại: có hai loại phép đẳng cự
+ Phép đẳng cự được gọi là phép dời hình nếu nó là phép afin loại 1.
+ Phép đẳng cự được gọi là phép phản chiếu nếu nó là phép afin loại 2.
d, Định lí:
-5-


Tích hai phép dời hình là phép dời hình.
Tích hai phép phản chiếu là phép dời hình.

Tích hai phép dời hình và phản chiếu theo thứ tự nào cũng là phép phản
chiếu.
- Định nghĩa: Hai hình là ảnh của nhau qua phép dời hình đượ gọi là hai
hình bằng nhau.Hai hình là ảnh của nhau qua phép phản chiếu được gọi là hai
hình đối xứng.
e, Các phép đẳng cự đặc biệt:


Phép đối xứng qua siêu phẳng:
+ Định nghĩa: Trong En (n= 2, 3) cho siêu phẳng P. Phép biến hình của

không gian cho ứng mỗi điểm M với điểm M xác định như sau:
MM vuông góc với siêu phẳng P.
MM cắt P tại O là trung điểm của nó
Kí hiệu: ĐP
+ Tính chất:
ĐP là phép phản chiếu.
ĐP là phép đối hợp.
P là quỹ tích điểm bất động của ĐP .
ĐP . ĐP = TP


Phép đối xứng qua tâm.
+ Định nghĩa: Trong không gian En (n= 2, 3) cho một điểm O. Phép biến

hình của không gian cho ứng điểm M với điểm M ' sao cho OM ' OM gọi là
phép đối xứng qua tâm O. Kí hiệu: ĐO.
+ Tính chất:
Phép đối xứng trong E2 là phép dời hình, trong E3 là phép phản chiếu.
Phép đối xứng tâm là phép đối hợp.

O là điểm bất động duy nhất của ĐO.

-6-





ĐO . ĐO = T2OO '

Phép tịnh tiến.


+ Định nghĩa: Trong không gian En (n= 2, 3) cho vectơ a . Phép biến hình


của không gian cho ứng điểm M với điểm M ' sao cho MM ' a gọi là phép

tịnh tiến theo vectơ a . Kí hiệu: Ta .

+ Tính chất:
Phép tịnh tiến là phép dời hình.



Phép tịnh tiến không có điểm bất động nếu vevtơ tịnh tiến khác 0


Phép quay quanh trục trong không gian.
+ Định nghĩa: Trong không gian E3 cho trục d và góc phẳng định hướng


. Phép biến hình của E3 cho ứng mỗi điểm M với điểm M ' thoả mãn:

Hai điểm M , M ' nằm trên mặt phẳng P vuông góc với d tại O.
OM OM '
Nếu chiều dương của mặt phẳng Plà chiều quay của vặn nút chai tiến
theo chiều dương của trục d thì (OM , OM ')
Gọi là phép quay trong không gian quanh trục d, góc quay . Kí hiệu:
Q(d, ).
+ Tính chất:
Phép quay Q(d, ) là phép dời hình.
Phép quay Q(d, ) là phép đối hợp khi và chỉ khi ta có k 180
Phép quay Q(d, ) giữ bất động mọi điểm của trục d.


Phép chuyển vị.
+ Định nghĩa: Phép quay quanh trục d, góc quay được gọi là phép

chuyển vị, trục chuyển vị d nếu (2k 1) 180 . Kí hiệu: Cd
+ Tính chất:

-7-


Phép chuyển vị là phép đối hợp
Tập hợp các điểm bất động của Cd là trục d.
1.1.6 Điểm bất động. Hình kép. Hình bất động.
- Cho phép biến hình f của không gian K. Điểm M của không gian K
được gọi là điểm bất động (điểm kép, điểm tự ứng) của phép biến hình f nếu
f(M) =M.

- Cho phép biến hình f của không gian K. Hình H bộ phận của không
gian K được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu ta có f(H) = H.
- Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu ta có
mọi điểm của H bất động đối với f.
1.2 Phép đồng dạng.
1.2.1 Định nghĩa:
- Phép biến hình của không gian En biến mỗi điểm M thành điểm M ' sao
cho với cặp điểm bất kì M , N và cặp ảnh tương ứng M ' , N ' thì

M ' N'
k , k là
MN

một hằng số dương ( k 0 ) cho trước được gọi là phép đồng dạng tỉ số k.
- Kí hiệu: Zk
k được gọi là tỉ số đồng dạng của Zk.
1.2.2 .Tính chất
- Phép đồng dạng Zk là phép afin.
- Trong E3 phép đồng dạng biến một hình cầu thành mặt cầu.
- Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn góc phẳng.
1.2.3 Điều kiện xác định của phép đồng dạng
Trong E3 một phép đồng dạng được xác định bởi hai tứ diện có các cặp
cạnh tướng ứng tỉ lệ.

-8-


Tức là: trong E3, cho hai tứ diện ABCD và A'B'C'D' đồng dạng. Khi đó
tồn tại duy nhất một phép đồng dạng biến A, B, C, D tương ứng thành A', B',
C', D'.

1.2.4 Sự đồng dạng của các hình
- Định nghĩa : Nếu hình H ' là ảnh của hình H qua một phép đồng dạng
Zk thì ta nói H đồng dạng với H ' theo tỉ số k.
- Nhận xét: Trong các hình đồng dạng, các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ các
góc tương ứng bằng nhau.
1.2.5 Phép vị tự
a. Định nghĩa
-Trong không gian En cho điểm O và cho số thực k 0 . Phép biến hình
của không gian biến mỗi điểm M thành điểm M ' thỏa mãn OM ' k.OM gọi là
một phép vị tự tâm O tỉ số k.
- Kí hiệu: VkO .
b. Tính chất
- Phép vị tự VkO là phép đồng dạng tỉ số k mà đường thẳng nối điểm bất
kì với ảnh của nó luôn đi qua O.
- Với k 1 , phép vị tự VkO có duy nhất O là điểm bất động.
Với k 1 , mọi điểm là điểm bất động. V01 I d .
- Phép vị tự VkO bảo tồn phương của đường thẳng.
- Trong E3 phép vị tự là phép đồng dạng thuận hay nghịch tùy theo tỉ số
vị tự là dương hay âm.
- Tích hai phép vị tự cùng tâm là một phép vị tự.
Tích hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự hoặc một phép tịnh tiến.
1.2.6 Phân loại phép đồng dạng
- Phép đồng dạng là phép afin loại 1 được gọi là phép đồng dạng thuận.
- Phép đồng dạng là phép afin loại 2 được gọi là phép đồng dạng nghịch.

-9-


Chú ý:
+ Phép vị tự VkO là phép đồng dạng thuận tỉ số k .

+ Tất cả các phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số k =1.
+ Phép đảo ngược của phép đồng dạng Zk là phép đồng dạng Z 1 ( k 0 )
k

+ Tích của hai phép đồng dạng Z k1 và Z k2 là phép đồng dạng Zk với tỉ số

k k1 k 2
1.2.7 Dạng chính tắc của phép đồng dạng
Định lí 1:
a, Trong E3, tích của một phép vị tự và một phép dời hình là một phép
đồng dạng thuận, tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu là một phép
đồng dạng nghịch.
b, Ngược lại, một phép đồng dạng có thể phân tích bằng vô số cách thành
tích của một phép vị tự với một phép dời hình hoặc là một phép phản chiếu tùy
theo phép đồng dạng là thuận hay nghịch.
Chứng minh:

M

(a)
M

M

N

N
N
O
Giả sử D là phép dời hình. Vk = V là phép vị tự của E3. Xét cặp M, N


trong E3 và qua V chúng biến thành M, N và qua D cặp M, N biến thành
M, N. Ta có M, N biến thành M, N qua V.D.
Do MN = k . MN nênV . D = Z|k|

- 10 -


Nếu k > 0 do V là đồng dạng thuận nên Z|k| cũng là thuận.
k < 0 do V là đồng dạng nghịch nên Z|k| cũng là nghịch.
(b) Giả sử Zk là phép đồng dạng của E3
Lấy O tùy ý trong gian, xét V = V 1O . Dễ thấy rằng V. Zk là một phép
k

đẳng cự f
O
Từ f = V . Zk suy ra Zk = (V) -1. f = Vk .f

O
+ Nếu Zk là đồng dạng thuận do k > 0 nên Vk cũng là đồng dạng thuận

suy ra f là dời hình.
O
+ Nếu Zk là đồng dạng nghịch thì f là phản chiếu nên ta phân tích Vk =
O
O
O
XO. . Vk . Như vậy ta sẽ có Zk = Vk . XO.f = Vk .(XO.f)

Phép biến hình tích XO.f là phép dời hình.

Định lí 2:
Một phép đồng dạng thuận có thể phân tích thành tích một phép quay và
một phép vị tự với tâm quay và tâm vị tự trùng nhau, tỉ số vị tự bằng tỉ số đồng
dạng.
Một phép đồng dạng nghịchcó thể phân tích thành tích một phép phản
chiếu và một phép vị tự có tâm là điểm bất động của phép phản chiếu.
Chứng minh:
Xét điểm A của E3 và A = Zk(A). Giả sử Olà điểm chia đoạn AA theo
tỉ số k hoặc (-k) tùy theo Zk thuận hay nghịch.
Xét V là phép vị tự tâm O, tỉ số k hoặc (-k) tùy theo Zk là thuận hay
nghịch.
Ta có V(A) = A. Theo định lí 1 ta phân tích Zk = D . V ở đó D là phép
dời hình. Ta có Zk(A) = D . V(A) hay A = D(A)
Vậy D là phép quay quanh trục.

- 11 -


Định lí 3: Một phép đồng dạng khác đẳng cự đều có điểm bất động duy
nhất.
Ta thừa nhận định lí này và chỉ nêu cách xác định điểm bất động O của
phépđồng dạng khác đẳng cự Zk
Xét trong mặt phẳng E2 và Zk thuận
A

C

B

A

B

I
C

+ Nếu Zk là phép vị tự do k 1 nên tâm vị tự chính là điểm O.
+ Nếu Zk không phảI là phép vị tự. Ta có Zk xác định bởi hai tam giác
đồng dạng cùng chiều ABC và ABC.
Rõ ràng AB, AB không song song. Gọi I = AB . AB. Do OAB và
OAB đồng dạng cùng chiều nên IA O IA O' suy ra tứ giác IAAO nội tiếp k.
Tương tự IBBO là tứ giác nội tiếp. Vậy O là giao điểm thứ 2 của hai
vòng tròn ngoại tiếp tam giác IAA và IBB.
Xét trong E2 và Zk nghịch:

A

A

P

O

B

Q

B
- 12 -



Do Zk xác định bởi hai tam giác đồng dạng không cùng chiều OAB và
OAB.
Ta có (OA, OB) = -(OA, OB)
Vậy phân giác của góc BO B' cũng là phân giác của góc AO A' . Giả sử
phân giác trong của góc BO B' cắt BB và AA tại Q và P.
Do

QB ' OB '
PA' OA'

k nên ta có ( AA' B ) ( B ' BQ ) k

k và
QB OB
PA OA

Nếu lấy I = SPQ(A) thì I OA' . Vậy O PQ A' I
Như vậy cách dựng O trong trường hợp này là: Lờy hai cặp điểm tương
ứng (A, A) và (B, B). Dựng các điểm P, Q thỏa mãn ( AA' B ) ( B ' BQ ) k .
Dựng điểm I là điểm đối xứng A qua PQ. Cuối cùng O là giao điểm PQ với
AI.
Xét trong E3
Theo định lí 1 ta có Zk= Q . V
Giả sử V(O) = O thì Zk(O) = O = Q . V(O) = Q(O). Vậy OO nằm trên
mặt phẳng P vuông góc với trục quay q của Q, P chứa cả tâm của V.
Do cách phân tích ở định lí 1 là vô số nên ta có:
Zk = Q1 . V1 = Q2 . V2 = ..
Gọi qi là trục của Qi các Vi đều cùng tỉ số vị tự. Ta có
Q1 = Q2 . V2 . V1-1 =Q2 . T
Vậy q1//q2. Tương tự ta sẽ rút ra q1//q2//q3//q4........

Vậy O thuộc mặt phẳng vuông góc với các trục quay là P, mặt phẳng này
chứa tất cả các tâm của Vi . Do vậy P là mặt phẳng kép duy nhất của Zk. Sự
hạn chế của Zk trên P sinh ra tên P một phép đồng dạng khác đẳng cự và điểm
bất động của phép đồng dạng mới này chính là O.

- 13 -


Định lí 4:
a, Một phép đồng dạng khác đẳng cự trong E3 nếu không là phép vị tự có
thể biểu diễn duy nhất thành tích giao hoán được của một phép quay quanh
trục và một phép vị tự.
b, Một phép đồng dạng thuận trong E2 biểu diễn duy nhất dưới dạng tích
giao hoán được của một phép quay và một phépvị tự.
Một phép đồng dạng nghịch trong E2 biểu diễn duy nhất thành tích
giao hoán được của một phép đối xứng trục và một phép vị tự.
Chứng minh:
a, Trong E3 ta chứng minh tích phép quay và phép vị tự giao hoán được
khi và chỉ khi tâm vị tự nằm trên trục quay.
Xét Q Q (q, ) và V V (O, k )
Nếu Q.V= V.Q thì Q = V.Q.V -1
Vậy Q(O) = V.Q.V -1 (O) = V[Q(O)]
Suy ra Q(O) = O vậy O q
Giả sử Zk khác đẳng cự, khác vị tự trong E3.
Gọi O là điểm bất động duy nhất trong Zk và chọn O là tâm vị tự trong
phép phân tích theo định lí 1 là Zk = V.Q
Ta có Zk(O) = O = V [Q.O] vậy Q(O) = O hay O q - trục quay của Q.
Thế thì Zk = V.Q = Q.V
Giả sử Zk còn cách phân tích khác đó là Zk = V.Q= Q.V với O là tâm
vị tự nằm trên trục phép quay q.

Vì Zk(O) = V.Q(O) = O nên O= O.
Vậy V= V suy ra Q = Q.
b, Trong E2
Tích phép quay điểm và phép vị tự giao hoán được khi và chỉ khi tâm
quay và tâm vị tự trùng nhau.

- 14 -


Tích phép đối xứng trục và phép vị tự giao hoán được khi và chỉ khi tâm
vị tự nằm trên trục đối xứng.
Việc chứng minh trong E2 hoàn toàn tương tự trong E3.

- 15 -


Chương 2: Sử dụng phép đồng dạng để giảI bài
toán chứng minh.
2.1 Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng.
2.1.1 Khái niệm bài toán chứng minh.
- Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A B là đúng.
Trong đó A là giả thiết, B là kết luận.
- Để giải các bài toán chứng minh thông thường người ta xuất phát từ giả
thiết hay mệnh đề đúng đã biết bằng lập luận chặt chẽ và suy diễn logic để
dẫn đến kết luận.
2.1.2 Sử dụng phép đồng dạng để giải bài toán chứng minh.
Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm và đường đã cho trong
giả thuyết A với các điểm và các đường trong kết luận B của bài toán thông
thường qua phép đồng dạng, thì nhờ tính chất không làm thay đổi qua phép
đồng dạng ta có thể nhận được những thông tin về: tính đồng quy, tính thẳng

hàng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc hay liên thuộcđể qua đó đi
đến khẳng định B.
Có thể chuyển bài toán chứng minh mệnh đề A B thành chứng minh
một mệnh đề mới A' B' hay A' B nhờ phép đồng dạng.
Khi mệnh đề A' B' hay A' B đã được chứng minh. Do tính chất của
phép đồng dạng ta có thể khẳng định tính đúng đắn của mệnh đề ban đầu
A B hay ngược lại.

Thông thường trong nhiều trường hợp, việc dựng thêm các đường thẳng
giúp mang những dữ kiện đã cho đến với những hình có liên quan hợp thành
một hình mới để từ đó có thể nhận được những điều cần chứng minh. Thường
thực chất của công việc này là dựng ảnh của điểm hay đường qua phép đồng
dạng.

- 16 -


Giải một bài toán chứng minh trong hình học nói chung cần sử dụng 3
bước:
- Lựa chọn phép biến hình.
- Thực hiện phép biến hình,
- Rút ra kết luận bài toán.
ứng dụng phép đồng dạng để giải bài toán chứng minh ta phải tìm được
phép đồng dạng thích hợp và thực hiện các bước trên.
Khi tìm ra được phép đồng dạng rồi, ta dựa vào định nghĩa, các tính chất
cơ bản, các dạng chính tắc của phép đồng dạng, trong một số trường hợp sẽ
rút ra được ngay kết luận của bài toán hoặc có thể giảm bớt mức độ khó khăn
của bài toán, chuyển sang bài toán dễ giải hơn.

- 17 -



2.2 Các dạng toán cơ bản
Dạng 1: Chứng minh hai hình đồng dạng.
Ta sử dụng định nghĩa sự đồng dạng của các hình: Nếu hình H ' là ảnh của
hình H qua một phép đồng dạng Zk thì ta nói H đồng dạng với H ' theo tỉ số k.
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng hai đường tròn bất kì trong không gian đồng dạng và
tỉ số đồng dạng bằng tỉ số bán kính của chúng.
Chứng minh:
Giả sử có hai đường tròn là (C) = (O, R); (C) = (O, R).
Trường hợp 1: Nếu (C) và (C') nằm trong cùng một mặt phẳng.

R
R
R

O

O' O1

(C)

(C)

(C1)

Khi đó có:
R '/ R
Phép tịnh tiến Too ' : (C ) (C1 ) và phép vị tự VO1 : (C1 ) (C ) .


R '/ R
Do đó phép đồng dạng Z = VO1 . TOO' : (C) (C'). Do đó hai đường

tròn (C) và (C') đồng đồng dạng với tỉ số k

R'
.
R

- 18 -


Trường hợp 2: Nếu (C) và (C') nằm trong hai mặt phẳng song song.

O

R
(C)



R
R

O' O1

(C)

'


Ta thực hiện phép tịnh tiến biến mặt phẳng chứa (C) thành mặt phẳng
chứa (C') và (C) có ảnh là (C 1 ) : T : (C ) (C1 ) .
Khi đó tồn tại phép vị tự, tỉ số k

R'
, V : (C1 ) (C ) . Suy ra phép
R

đồng dạng Z = V . T : (C) (C'), và tỉ số của phép đồng dạng là C.
Do đó (C) và (C') đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k

R'
.
R

- 19 -


Trường hợp 3: Nếu (C) và (C') nằm trong hai mặt phẳng cắt nhau

(C)
O

R

O'

(C ' )


R
R'

Thực hiện phép quay Q biến mặt phẳng chứa (C) thành mặt phẳng chứa
(C'), khi đó (C) có ảnh là (C 1 ).
Trong cùng mặt phẳng chứa (C 1 )và (C'), tồn tại phép vị tự V tỉ số k

R'
R

và V : (C1 ) (C ) .
Suy ra phép đồng dạng Z = V . Q : (C) (C'). Do đó (C) và (C') đồng
dạng với tỉ số đồng dạng k

R'
.
R

Từ 3 trường hợp trên ta suy ra điều phải chứng minh.

- 20 -


Ví dụ 2:
Chứng tỏ rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau.
Chứng minh:
Giả sử cho n-giác đều A1A2An và B1B2...Bn có tâm lần lượt là O và O' .
Gọi V là phép vị tự tâm O tỉ số k

B1 B2 O ' B1

.

A1 A2
OA1

Gọi ảnh của A1A2An qua VOk là C1C2Cn. Theo tính chất của phép vị tự
thì C1C2Cn cũng là n-giác đều
Ta có:

C1C 2
k nên C1C2 = B1B2, nghĩa là hai n-giác đều B1B2...Bn và
A1 A2

C1C2Cn có cạnh bằng nhau.
Suy ra tồn tại phép dời hình D biến C1C2Cn thành B1B2...Bn.
Vậy tồn tại phép đồng dạng: Z = VOk . D tỉ số k biến A1A2An thành
B1B2...Bn.
KL: hai đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau.

- 21 -