TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

_ _ _ _***_ _ _ _

NGUYỄN THỊ MAI

PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI
BÀI TOÁN CHỨNG MINH
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Hà Nội - 2012


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

_ _ _ _***_ _ _ _

NGUYỄN THỊ MAI

PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI
BÀI TOÁN CHỨNG MINH
KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Hình học

Người hướng dẫn khoa học
ĐINH VĂN THỦY

Hà Nội - 2012

Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong tổ
hình học, các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ em
trong bốn năm học và trong khi em làm khóa luận.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy ĐINH VĂN
THỦY, người đã trực tiếp hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc giúp em
hoàn thành khóa luận này.
Do lần đầu tiên làm quen với việc nghiên cứu khoa học, hơn nữa do
thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế nên mặc dù đã có nhiều
cố gắng song không tránh khỏi nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được
sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo để khóa luận của em được
hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Mai

Nguyễn Thị Mai

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN


Em xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong đề tài này là do sự nỗ
lực, cố gắng của chính bản thân em dưới sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt
tình của thầy ĐINH VĂN THỦY và sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn
trong khoa Toán. Đề tài nghiên cứu của em không trùng với kết quả
nghiên cứu của các tác giả khác.
Nếu có gì không trung thực em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Mai

Nguyễn Thị Mai

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài..................................................................................... 1
2. Nhiệm vụ nghiên cứu .............................................................................. 2
3. Phương pháp nghiên cứu......................................................................... 2
NỘI DUNG.................................................................................................... 3
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................... 3
§1: Một số kiến thức chuẩn bị về vấn đề định hướng .................................. 3
1. Mặt phẳng định hướng......................................................................... 3
2. Góc định hướng giữa hai tia................................................................. 3

2.1

Định nghĩa................................................................................... 3

2.2. Nhận xét ....................................................................................... 3
2.3. Tập giá trị ..................................................................................... 3
2.4. Hệ thức Chales .............................................................................. 4
3. Góc định hướng giữa hai đường thẳng................................................. 4
3.1 Định nghĩa..................................................................................... 4
3.2 Nhận xét ......................................................................................... 4
3.3 Tập giá trị ...................................................................................... 4
3.4 Hệ thức Chales ............................................................................... 5
§2: Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng ................................... 5
1. Phép biến hình và các khái niệm liên quan........................................... 5
1.1 Định nghĩa..................................................................................... 5
1.2. Phép biến hình đảo ngược ............................................................. 5
1.3 Phép biến hình tích ........................................................................ 5
1.4 Phép biến hình đối hợp .................................................................. 6

Nguyễn Thị Mai

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1.5 Điểm bất động. Hình kép. Hình bất động....................................... 6
2. Phép biến hình aphin ........................................................................... 6
2.1 Định nghĩa:.................................................................................... 6
2.2 Sự xác định phép biến hình aphin.................................................. 7
2.3 Phân loại........................................................................................ 7

3. Phép biến hình đẳng cự....................................................................... 7
3.1 Định nghĩa:................................................................................... 7
3.2 Tính chất ....................................................................................... 7
3.3 Sự xác định phép đẳng cự.............................................................. 7
3.4 Phân loại........................................................................................ 7
3.5 Các phép dời hình đặc biệt ............................................................ 8
3.5.1 Các định nghĩa ........................................................................ 8
3.5.2 Một số tính chất....................................................................... 9
§3. Các phép đồng dạng trong mặt phẳng ................................................... 9
1. Phép đồng dạng .................................................................................. 9
1.1 Định nghĩa..................................................................................... 9
1.2 Các tính chất cơ bản của phép đồng dạng .................................... 10
1.3 Sự xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng ............................. 10
1.4 Phân loại...................................................................................... 10
1.5 Sự đồng dạng của các hình .......................................................... 11
1.6. Dạng chính tắc của phép đồng dạng ........................................... 12
2. Phép vị tự .......................................................................................... 13
2.1 Định nghĩa................................................................................... 13
2.2 Một số tính chất........................................................................... 13
Chương II: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI
TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG ............................... 15
§1. GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG....... 15

Nguyễn Thị Mai

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1. Khái niệm bài toán chứng minh ......................................................... 15

2. Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng ............................... 15
§2. CÁC VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI TOÁN
CHỨNG MINH ........................................................................................ 16
1. Ứng dụng phép đồng dạng thuận vào bài toán chứng minh................ 16
2. Ứng dụng phép đồng dạng nghịch vào bài toán chứng minh.............. 31
3. Ứng dụng phép vị tự vào bài toán chứng minh .................................. 36
CHƯƠNG III: HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ............................................ 42
KẾT LUẬN.................................................................................................. 44
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 45

Nguyễn Thị Mai

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường trung học phổ thông hình học luôn là môn học khó
đối với học sinh bởi tính chặt chẽ, tính logic và tính trừu tượng cao hơn các
môn học khác của toán học.
Trong môn hình học sơ cấp, có rất nhiều bài toán rắc rối phức tạp khó
có thể giải được bằng các phương pháp thông thường như: phương pháp
vecto, phương pháp tọa độ hay phương pháp tổng hợp…do đó mà người ta đã
đưa ra công cụ mới đó là phép biến hình. Ngoài ra, có thể dựa vào bài toán
hình học cụ thể nào đó với phép biến hình chúng ta còn có khả năng sáng tạo
ra các bài toán mới khác nhau và đây là việc làm mang lại nhiều hứng thú
trong việc tìm tòi nghiên cứu hình học. Hơn nữa có nhiều bài toán mà việc sử

dụng một phép biến hình như: phép đối xứng, phép tịnh tiến, phép quay, phép
vị tự vẫn chưa có lời giải đúng và ngắn gọn nhất mà ta phải sử dụng đến tích
của hai phép biến hình mới giải quyết được bài toán một cách hiệu quả.
Do đó trong khuôn khổ của một khóa luận tốt nghiệp và do thời gian
nghiên cứu hạn chế nên tôi đã đi vào tìm hiểu và trình bày những kiến thức
cơ bản về phép biến hình đồng dạng và ứng dụng của nó trong việc giải một
lớp bài toán của hình học là bài toán chứng minh trong mặt phẳng.
Đó chính là lí do tôi chọn đề tài:
“ Phép đồng dạng với bài toán chứng minh ’’

Nguyễn Thị Mai

-1-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức có liên quan tới phép đồng dạng và
các kiến thức về phép đồng dạng cùng với việc trình bày cơ sở lý thuyết
cùng phương pháp giải bài toán chứng minh trong hình học phẳng bằng
phép đồng dạng.
Xây dựng hệ thống các ví dụ minh họa và bài tập luyện tập thể
hiện phương pháp sử dụng phép đồng dạng để giải lớp bài toán chứng
minh.
3. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo và các tài liệu khác
có liên quan đến nội dung đề tài.


Nguyễn Thị Mai

-2-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

NỘI DUNG
Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

§1: Một số kiến thức chuẩn bị về vấn đề định hướng
1. Mặt phẳng định hướng
Trên mặt phẳng cho điểm O khi đó xung quanh O có hai chiều quay. Ta
gọi chiều ngược với chiều kim đồng hồ là chiều dương, chiều ngược lại là
chiều âm. Khi đó ta nói mặt phẳng đã được định hướng.
2. Góc định hướng giữa hai tia.
2.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng định hướng cho hai tia Ox, Oy.Góc định hướng
giữa hai tia: tia đầu là Ox, tia cuối là Oy được kí hiệu (Ox, Oy) là góc thu
được khi quay Ox xung quanh O tới trùng tia cuối Oy.
2.2. Nhận xét
Góc định hướng (Ox, Oy) không xác định duy nhất
Quy ước giá trị của (Ox, Oy) dương hoặc âm tùy theo chiều quay dương
hoặc âm của mặt phẳng.
2.3. Tập giá trị
Ta gọi φ là giá trị chính (hoặc đầu) của góc định hướng là giá trị của Ox,
Oy thu được khi quay Ox theo góc hình học nhỏ nhất tới trùng Oy

(Ox, Oy) = φ + k2л ( k  Z )
Nguyễn Thị Mai

-3-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

2.4. Hệ thức Chales
Cho các tia OA1, OA2,…., OAn trong mặt phẳng định hướng, ta có
hệ thức Chales:

(OA1, OA2 )  (OA2, OA3) ...  (OAn1, OAn )  (OA1, OAn )  k2), k Z
3. Góc định hướng giữa hai đường thẳng
3.1 Định nghĩa
Trong mặt phẳng định hướng cho hai đường thẳng a, b. Khi đó

 a, b  – là góc định hướng giữa hai đường thẳng có
đường thẳng đầu là a, đường thẳng cuối là b.  a, b  là góc thu được khi quay


Nếu a  b = O

a xung quanh O tới trùng đường thẳng b

 

 Nếu a, b cùng phương thì a, b = kл ( k  Z)

3.2 Nhận xét

 
Quy ước giá trị của  a, b  dương hoặc âm theo đường thẳng a quay
Góc định hướng a, b không xác định duy nhất, có vô số giá trị

quanh O tới b theo chiều âm hay dương của mặt phẳng
3.3 Tập giá trị

 

Nếu góc α là giá trị của góc định hướng a, b khi quay a theo góc
hình học nhỏ nhất tới trùng b:

 a, b  = α + kл
Nguyễn Thị Mai

-4-

( k  Z)

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

3.4 Hệ thức Chales
Trong mặt phẳng định hướng cho các đường thẳng a1, a2,…, an khi
đó ta có hệ thức Chales:


(a1 , a2 )  ( a2 , a3 )  ...  (an1 , an )  (a1 , an )  k ( k  Z)
§2: Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng
1. Phép biến hình và các khái niệm liên quan
Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là P khi đó mỗi hình
H bất kỳ của mặt phẳng đều là một tập con của P. kí hiệu là H  P.
1.1 Định nghĩa
Một song ánh f: P  P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi là
phép biến hình của mặt phẳng.
1.2. Phép biến hình đảo ngược
Định nghĩa: Trong mặt phẳng cho phép biến hình f: M  M’ ta có
f(M) = M’. Khi đó phép biến hình biến điểm M’ thành điểm M gọi là phép
biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã cho
Kí hiệu: f-1, f-1(M’) = M
Vậy mọi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f-1
và ta có
f.f-1 = f-1.f = e ( phép đồng nhất )
1.3 Phép biến hình tích
Cho f, g là hai phép biến hình trong P theo sơ đồ sau:

Nguyễn Thị Mai

-5-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

f


g

M

M1

M’

g.f
Phép biến hình biến M thành M’ được gọi là tích của hai phép biến
hình f và g theo thứ tự đó.
Kí hiệu: g.f, ta có:
M  P, (g.f) (M) = g.(f(M))

1.4 Phép biến hình đối hợp
Phép biến hình f: P  P được gọi là phép biến hình đối hợp nếu
f2 = Id ( f = f-1)
1.5 Điểm bất động. Hình kép. Hình bất động
Cho phép biến hình f: P  P. Ta có:
 Điểm M thuộc P được gọi là điểm bất động của phép biến hình f nếu
f(M) = M
 Hình H được gọi là hình kép đối với phép biến hình f nếu f(H) = H
 Hình H được gọi là hình bất động đối với phép biến hình f nếu mọi
điểm của H đều bất động
2. Phép biến hình aphin
2.1 Định nghĩa: Phép biến hình của mặt phẳng biến đường thẳng thành
đường thẳng được gọi là phép biến hình aphin, gọi tắt là phép aphin.

Nguyễn Thị Mai


-6-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

2.2 Sự xác định phép biến hình aphin
Trong mặt phẳng phép biến hình aphin được xác định bởi một cặp tam
giác tương ứng
Trong mặt phẳng, hai tam giác ABC và A’B’C’ được gọi là cùng chiều
( ngược chiều ) nếu trên đường tròn ngoại tiếp của chúng chiều quay từ A đến
C qua B cùng chiều ( ngược chiều ) quay từ A’ đến C’ qua B’.
2.3 Phân loại
Phép aphin trong mặt phẳng được gọi là phép aphin loại 1 nếu hai tam
giác xác định nó cùng chiều, ngược lại là phép aphin loại 2.
3. Phép biến hình đẳng cự
3.1 Định nghĩa: Phép biến hình của mặt phẳng bảo tồn khoảng cách giữa
hai điểm được gọi là phép biến hình đẳng cự.
3.2 Tính chất
- Phép đẳng cự là phép biến hình aphin
- Phép đẳng cự bảo toàn độ lớn của góc phẳng
- Phép đẳng cự biến đường tròn thành đường tròn bằng nó
3.3 Sự xác định phép đẳng cự
Trong mặt phẳng một phép đẳng cự hoàn toàn được xác định bởi hai
tam giác bằng nhau.
3.4 Phân loại
Phép đẳng cự được gọi là phép dời nếu nó là phép aphin loại 1
Phép đẳng cự được gọi là phép phản chiếu nếu nó là phép aphin loại 2


Nguyễn Thị Mai

-7-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

 Chú ý: Một phép dời hay phép phản chiếu đều biến một đường thẳng
thành một đường thẳng, một tia thành một tia, một đoạn thẳng thành một đoạn
thẳng bằng nó, một góc thành một góc bằng với góc đã cho ( cùng hướng nếu
là phép dời hình, ngược hướng nếu là phản chiếu)
3.5 Các phép dời hình đặc biệt
3.5.1 Các định nghĩa


a. Phép tịnh tiến: Trong mặt phẳng cho vecto v , phép biến hình biến

 
v
MM
'

v
mỗi điểm M thành M’ sao cho
gọi là phép tịnh tiến theo vecto





Kí hiệu T v : v là vecto tịnh tiến
 

Ta có T v (M) =M’  M M '  v

b. Phép đối xứng trục: Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép
biến hình của mặt phẳng cho tương ứng mỗi điểm M thành điểm M’ được xác
định như sau:
 Nếu M  d thì d là trung trực của đoạn thẳng MM’
 Nếu M d thì M  M’
Được gọi là phép đối xứng trục với trục đối xứng là d
Kí hiệu Đd
c. Phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng cho điểm O cố định, phép




biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho OM '  OM được gọi là phép
đối xứng tâm
Kí hiệu Đo

Nguyễn Thị Mai

-8-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp


d. Phép quay: Trong mặt phẳng cho điểm O và góc định hướng φ,
phép biến hình của mặt phẳng cho tương ứng với mỗi điểm M thành M’ sao
OM  OM '
cho: 

(OM , OM ')  

được gọi là phép quay quanh điểm O với góc quay φ.

Kí hiệu: Q O

hay Q (O, φ)

3.5.2 Một số tính chất
a. Phép tịnh tiến T v là phép dời hình, không có điểm bất động nếu




vecto v  0
b. Phép đối xứng trục là phép phản chiếu, có tập điểm bất động là
đường thẳng d
c. Phép đối xứng tâm là phép dời hình, là phép biến hình đối hợp có
điểm bất động duy nhất là O
d. Phép quay là phép dời hình, luôn có điểm bất động chính là tâm O
Ngoài ra ( Q O  )  1  Q O  

Nếu QO (a)  a ' thì (a, a ')   a, a’ là những đường thẳng


§3. Các phép đồng dạng trong mặt phẳng
1. Phép đồng dạng
1.1 Định nghĩa
Một phép biến hình f: P  P biến hai điểm A, B bất kì của mặt phẳng
thành hai điểm A’, B’ tương ứng sao cho A’B’ = k. AB ( trong đó k là số
thực dương cho trước) được gọi là phép đồng dạng tỉ số k
Kí hiệu Zk
Nguyễn Thị Mai

-9-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1.2 Các tính chất cơ bản của phép đồng dạng
- Phép đồng dạng là phép aphin
- Phép đồng dạng bảo tồn độ lớn của góc phẳng
- Trong mặt phẳng, phép đồng dạng biến đường tròn thành đường tròn
có bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu
- Phép đồng dạng biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến
một tia thành một tia, biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng có độ dài
bằng k lần đoạn thẳng ban đầu.
1.3 Sự xác định phép đồng dạng trong mặt phẳng
a. Định lý: Trong mặt phẳng một phép đồng dạng hoàn toàn xác định
bởi một cặp tam giác đồng dạng tương ứng.
b. Hệ quả:
Phép đồng dạng cũng là một phép aphin ( phép aphin đặc biệt )
1.4 Phân loại

Có hai loại phép đồng dạng:
a. Phép đồng dạng được gọi là phép đồng dạng thuận nếu nó là phép
aphin loại 1. Phép đồng dạng thuận có thể phân tích thành tích của một phép
dời hình thuận và một phép vị tự hoặc tích của một phép vị và một phép dời
hình thuận
b. Phép đồng dạng được gọi là phép đồng dạng nghịch nếu nó là phép
aphin loại 2. Phép đồng dạng nghịch có thể phân tích thành tích của phép
phản chiếu và phép vị tự hoặc ngược lại
c. Nhận xét: - Từ định nghĩa trên ta suy ra phép đồng dạng thuận
không đổi hướng cuả mặt phẳng còn phép đồng dạng nghịch đổi hướng mặt
phẳng.
Nguyễn Thị Mai

-10-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

- Phép đồng dạng tuy không bảo toàn khoảng cách giữa hai
điểm giống như phép dời hình, phép đồng dạng bảo toàn góc ( bảo toàn độ
lớn thông thường của góc, bao gòm góc giữa hai tia, giữa hai vecto, giữa hai
đường thẳng). Vì vậy người ta nói phép đồng dạng là một phép biến hình bảo
giác.


Chú ý: - Phép vị tự là phép đồng dạng thuận tỉ số |k|

- Tất cả các phép dời đều là phép đồng dạng tỉ số k = 1

- Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số
1/k
- Tích của một phép đồng dạng với tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ số k2
là phép đồng dạng với tỉ số k1.k2
1.5 Sự đồng dạng của các hình
a. Định nghĩa 1: Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đồng dạng
thì H’ là hình đồng dạng với hình H, tỉ số đồng dạng k.
b. Nhận xét: + Hai đa giác A1A2…An và B1B2…Bn là đồng dạng với
nhau nếu chúng có các góc ở đỉnh A1A2…An bằng các góc tương ứng ở các
đỉnh B1B2…Bn đồng thời
A2 A3
A n A1
A1 A 2

 ... 
 k
B1B 2
B2B3
B n B1

k gọi là tỉ số đồng dạng của hai đa giác
+ Trong các hình đồng dạng,các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ, các góc
tương ứng bằng nhau
d. Định lý: Mọi phép đồng dạng khác phép dời có một điểm bất động
ta gọi điểm bất động này là tâm của phép đồng dạng.

Nguyễn Thị Mai

-11-


K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1.6. Dạng chính tắc của phép đồng dạng
a. Định lý 1:
- Trong mặt phẳng, tích của một phép vị tự và một phép dời hình là
phép đồng dạng thuận
- Trong mặt phẳng tích của một phép vị tự và một phép phản chiếu là
phép đồng dạng nghịch
Ngược lại trong mặt phẳng, một phép đồng dạng có thể phân tích
bằng vô số cách thành tích của một phép vị tự với một phép dời hoặc phép
phản chiếu theo thứ tự tùy ý thuộc phép đồng dạng là thuận hay nghịch.
b. Định lý 2: - Trong mặt phẳng, một phép đồng dạng thuận có thể
phân tích thành tích của một phép quay và một phép vị tự với tâm quay và
tâm vị tự tùng nhau, tỉ số đồng dạng bằng tỉ số vị tự.
- Trong mặt phẳng, một phép đồng dạng nghịch có thể phân tích thành
tích của một phép phản chiếu và một phép vị tự có tâm là điểm bất động của
phép phản chiếu, tỉ số đồng dạng bằng tỉ số vị tự.
c. Định lý 3: - Trong mặt phẳng, một phép đồng dạng thuận (kí hiệu
Zr) không phải là phép vị tự hay đẳng cự đều có thể phân tích thành tích giao
hoán được cuả một phép vị tự và một phép quay. ( trong đó tâm vị tự và tâm
quay trùng nhau nghĩa là:
Zr = QOα. VOk = VOk. QOα = Z (O, k, α))
- Một phép đồng dạng nghịch ( kí hiệu ZN) có thể phân tích thành tích
giao hoán được của một phép vị tự và một phép đối xứng với tâm vị tự thuộc
trục của phép đối xứng nghĩa là:
ZN = Đd. VOk = VOk. Đd = Z (O, k, d)


Nguyễn Thị Mai

-12-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Sau đây chúng ta sẽ đề cập đến một phép đồng dạng đặc biệt, đó
là phép vị tự.
2. Phép vị tự
2.1 Định nghĩa
Cho trước một điểm O và số thực k khác 0, phép biến hình biến mọi




điểm M thành M’ sao cho OM '  kOM được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k
Kí hiệu V0k hay V(O,k)
Một phép vị tự hoàn toàn được xác định nếu cho biết tâm O và tỉ số k.
Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M, M gọi là tạo ảnh của M’, O là tâm
của phép vị tự, k là hệ số vị tự
Phép vị tự gọi là thuận nếu k > 0,nghịch nếu k < 0
Cho hình H, tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H trong phép biến đổi
V0k lập thành một hình H’ được gọi là phép vị tự của hình H trong phép biến
đổi đó và được kí hiệu;
V(O,k): H  H’
2.2 Một số tính chất
Phép vị tự tâm O tỉ số k (k  1) có một điểm bất động duy nhất là

điểm O.
Nếu điểm M’ là ảnh của điểm M trong phép vị tự tâm O tỉ số k thì 3
điểm O, M, M’ thẳng hàng.
Nếu A’, B’ là ảnh của hai điểm phân biệt A, B trong phép vị tự tâm O tỉ


số k thì A ' B '  k AB
Phép vị tự tâm O tỉ số k biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng.

Nguyễn Thị Mai

-13-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Mọi phép vị tự dương hay âm đều là phép đồng dạng thuận.
Phép vị tự tâm O tỉ số k biến:
+ Đường thẳng d thành đường thẳng d’ và d // d’ hoặc d  d’
+ Tia Sx thành tia S’x’ và Sx // S’x’ hoặc Sx  S’x’
+ Đoạn thẳng PQ thành P’Q’ và P’Q’ = |k| PQ
+ Tam giác ABC thành A’B’C’ và hai tam giác đó đồng dạng với tỉ số
đồng dạng bằng |k|
+ Góc xSy thành góc x’S’y’ và hai góc đó bằng nhau
+ Đường tròn (I, R) thành (I’, R’), R’ = |k|.R

Nguyễn Thị Mai


-14-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Chương II: ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG ĐỂ GIẢI
MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH TRONG HÌNH
HỌC PHẲNG

§1. GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẰNG PHÉP ĐỒNG DẠNG
1. Khái niệm bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A  B là đúng
trong đó A là giả thiết, B là kết luận.
Để giải bài toán chứng minh thông thường ta xuất phát từ giả thiết A
hay mệnh đề đúng đã biết, bằng lập luận chặt chẽ và suy diễn logic để dẫn tới
kết luận B.
2. Giải bài toán chứng minh bằng phép đồng dạng
Gồm 3 bước chính sau:
+ Lựa chọn phép đồng dạng
+ Thực hiện phép đồng dạng
+ Rút ra kết luận của bài toán
Đây là những bước chính khi biết chắc rằng bài toán cần giải có
sử dụng được phép đồng dạng. Do đó khi biết chắc một bài toán cần giải có
sử dụng được phép đồng dạng thì chúng ta cần phải cân nhắc lựa chọn phép
đồng dạng nghịch hay phép đồng dạng thuận sao cho hợp lý.

Nguyễn Thị Mai


-15-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

§2. CÁC VÍ DỤ VỀ ỨNG DỤNG PHÉP ĐỒNG DẠNG VỚI BÀI
TOÁN CHỨNG MINH
Thông thường đối với những bài toán sử dụng phép đồng dạng
ta cần xác định xem bài toán đó sử dụng được phép đồng dạng nào đã
học.Sau đây chúng ta sẽ đi vào xét các bài toán có sử dụng phép đồng dạng
thuận.

1. Ứng dụng phép đồng dạng thuận vào bài toán chứng minh
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB, AC lần lượt dựng ra
ngoài,dựng vào phía trong tam giác các tam giác đều ABM, CAN. Gọi K, H
lần lượt là tâm của tam giác ABM và tam giác CAN. I, J lần lượt là trung
điểm của AK, AH. Chứng minh rằng B C  2

3 IJ

Lời giải

M

A
I
J


K

H
C

N
B

Từ giả thiết ta có:

AB AC

2 3
AI AJ
( AI , AB)  (AJ, AC)  300
Ta có phép đồng dạng cần tìm Z = Z (A, -300, 2 3 ),
Nguyễn Thị Mai

-16-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Z: I  B
J C
 Z: IJ  BC hay BC = 2


3 IJ. (điều phải chứng minh)

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC trên các cạnh AB, AC dựng ra phía ngoài
của tam giác các tam giác ∆ABM, ∆CAN có góc
ABM  ACN  450 , BAM  CAN  600. Trên cạnh BC dựng vào phía trong
0
của tam giác BCP cân, có góc BPC  150 . Chứng minh rằng PN = PM và

M PN  90 0 .
Lời giải
A
N

M

P
C

B
Q

Ta thấy hai tam giác ∆ABM và ∆CAN đồng dạng và ngược hướng.
Khi đó ta sẽ nghĩ ngay đến phép đồng dạng nghịch, nhưng việc tìm ra phép
đồng dạng đó cho bài toán này là khó khăn. Từ việc chú ý đến số đo các góc
ta sẽ tạo ra các cặp tam giác đồng dạng cùng hướng để từ đó có thể sử dụng
phép đồng dạng thuận.
0
Dựng điểm Q sao cho: ( BQ, BP)  (CQ, CP)  45 ,

từ đó ta cũng có:


Nguyễn Thị Mai

(QP, QB )  (QP, QC )  600 .

-17-

K34A- Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Suy ra các cặp tam giác ∆BMA và ∆BQP; ∆CAN và ∆CQP đồng dạng
và cùng hướng. Khi đó
Đặt

BQP  CQP (g.c.g)

BA BQ

k
BM
BP

Xét phép đồng dạng thuận Z1 = Z ( B, - 450, k ) ta có:
Z1: M  A
P  Q
Xét phép đồng dạng thuận Z2 = Z ( C, - 450,

1

) ta có:
k

Z2: Q  P
A N
Vậy phép đồng dạng thuận Z3 = Z2. Z1 với góc quay  = - 900, tỉ số
đồng dạng 1 ta có:
Z3: M  N
P P
 MP  NP
0
 ( MP , NP )   90

Theo tính chất của phép đồng dạng thì: 
Vậy suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC bất kỳ, dựng ra phía ngoài các tam giác
ABC1, BCA1, CAB1 sao cho:

C1AB  B1 AC  , C1BA  BCA

1
ABC
 ACB

1
1
Và thỏa mãn  +  +  = 900.
Chứng minh rằng tam giác A1B1C1 cân tại A1 và C1 A1 B1  2 
Lời giải


Nguyễn Thị Mai

-18-

K34A- Toán