TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

TRẦN THỊ THU

PHÉP CHIẾU TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. TRẦN VĂN BẰNG

Hà Nội - 2012


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Trần Văn Bằng - Người thầy
đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận của
mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích và
các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ
nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá luận này.
Trong khuôn khổ có hạn của một bài khoá luận, do điều kiện thời gian,
do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nên
không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy, em kính mong
nhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2012.
Sinh viên

Trần Thị Thu

LỜI CAM ĐOAN
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và
nghiên cứu. Bên cạnh đó em được sự quan tâm của các thầy cô giáo trong
khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS. Trần Văn Bằng.
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài
“Phép chiếu trong không gian Hilbert” không có sự trùng lặp với kết quả
của các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 05 năm 2012.
Sinh viên

Trần Thị Thu


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3


1.2. Không gian Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 2. Phép chiếu trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.1. Phép chiếu lên tập lồi đóng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.2. Định lí Stampacchia và Lax-milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.3. Tổng Hilbert, cơ sở trực giao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30



MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài.
Trong toán học, không gian Hilbert là một dạng tổng quát hóa của không
gian Euclid mà không bị giới hạn về vấn đề hữu hạn chiều. Các không gian
Hilbert được đặt tên theo David Hilbert, người nghiên cứu chúng để phục vụ
cho việc nghiên cứu phương trình tích phân. Đó là một không gian có tích
vô hướng, nghĩa là trong đó có khái niệm về khoảng cách và góc (đặc biệt
là khái niệm trực giao hay vuông góc). Tính chất này là cần thiết khi nghiên
cứu, sử dụng giới hạn dãy. Các không gian Hilbert cho phép sử dụng trực
giác hình học vào một số không gian hàm vô hạn chiều.
Nếu S là một tập con của không gian Hilbert H, ta định nghĩa tập các vectơ
trực giao với S là
S⊥ = {x ∈ H : (x, s) = 0,

∀s ∈ S}.

S⊥ là một không gian con đóng của H và do đó là một không gian Hilbert.
Nếu V là một không gian con đóng của H, thì V ⊥ được gọi là phần bù
trực giao của V. Ta biết rằng mỗi x trong H đều được biểu diễn duy nhất:
x = v + w, (xem định lí 2.2) với v thuộc V và w thuộc V ⊥ . Do đó, H là một
tổng trực tiếp của V và V ⊥ . Toán tử tuyến tính PV : H → H, x → v được gọi
là phép chiếu trực giao trong H lên không gian V.
Phép chiếu trực giao trong không gian Hilbert này đóng vai trò vô cùng
quan trọng trong giải tích hàm nói riêng và toán học nói chung, và đã được
nghiên cứu trong chương trình đại học. Việc mở rộng phép chiếu này lên
một tập lồi đóng nói chung là một kết quả có nhiều ứng dụng trong các lĩnh
vực khác nhau của Toán học. Vì vậy dưới góc độ một sinh viên sư phạm
chuyên ngành Toán và trong khuôn khổ của bài khoá luận tốt nghiệp, đồng
thời được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Trần Văn Bằng em đã chọn đề

1


tài “Phép chiếu trong không gian Hilbert”.
Trong khóa luận này em chỉ nghiên cứu không gian Hilbert thực vì vậy tất
cả các không gian tuyến tính, định chuẩn, Hilbert đều được hiểu là không
gian thực.

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu.
Tìm hiểu về phép chiếu trong không gian Hilbert.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Không gian Hilbert: các khái niệm và tính chất cơ bản; phép chiếu lên
không gian con đóng; phép chiếu lên tập lồi đóng.

4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu tổng quan.

5. Cấu trúc khóa luận.
Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm 2 chương:
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Phép chiếu trong không gian Hilbert.

2


Chương 1

Kiến thức mở đầu

1.1. Không gian Banach.
Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính
định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên tập số thực R cùng với ánh xạ
từ X vào tập số thực R, kí hiệu là ||.|| và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề
sau:
i) ∀u ∈ X : ||u|| ≥ 0, ||u|| = 0 ↔ u = θ (θ − phần tử không).
ii) ∀u ∈ X, ∀α ∈ R : ||αu|| = |α|||u||.
iii) ∀u, v ∈ X : ||u + v|| ≤ ||u|| + ||v||.
Số ||u|| được gọi là chuẩn của vector u. Các tiên đề i), ii), iii) được gọi là
các tiên tiên đề về chuẩn.
Định nghĩa 1.2. Dãy điểm (un ) trong không gian định chuẩn X gọi là hội
tụ tới u ∈ X nếu
lim ||un − u|| = 0.

n→∞

Kí hiệu limn→∞ un = u hay un → u

(n → ∞).

3


Mệnh đề 1.1. Nếu dãy un → u thì dãy ||un || → ||u||. Nói cách khác ||.|| là
hàm giá trị thực liên tục.
Mệnh đề 1.2. Nếu dãy un → u thì dãy ||un || bị chặn.
Mệnh đề 1.3. Nếu dãy un → u ; dãy vn → v và dãy αn → α thì các dãy
un + vn → u + v và αn un → αu khi n → ∞.
Định nghĩa 1.3. Dãy (un ) trong không gian định chuẩn X là dãy cơ bản nếu
lim ||un − um || = 0.


n,m→∞

Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Ví dụ 1.1. Cho không gian vector k chiều Rk ,
trong đó Rk = {u = (u1 , u2 , ......un ) : u j ∈ R}. Đối với u = (u1 , ....un ) bất kì
thuộc Rk , ta đặt ||u|| =

∑kj=1 |u j |. Ta chứng minh được Rk là không gian

Banach.
Ví dụ 1.2. Cho không gian vector l2 . Đối với u = (un ) ∈ l2 ,
ta đặt ||u|| =

2
∑∞
n=1 |un | . Ta chứng minh được l2 là không gian Banach.

Ví dụ 1.3. Cho không gian vector L[a,b] . Đối với u(t) ∈ L[a,b] ,
ta đặt ||u|| =

b
a |u(t)|dt. Ta chứng minh được L[a,b]

là không gian Banach.

Định nghĩa 1.5. Cho không gian định chuẩn X, dãy (un ) ⊂ X. Ta gọi chuỗi
là biểu thức dạng : u1 + u2 + .... + un + ..., kí hiệu là ∑∞
n=1 un .

Mỗi phần tử un được gọi là số hạng của chuỗi. Biểu thức
k

Sk =

∑ un (k = 1, 2, 3...)

n=1

là tổng riêng thứ k của chuỗi.
Nếu tồn tại
lim Sk = S

k→∞

4


trong không gian định chuẩn X thì chuỗi ∑∞
n=1 un gọi là hội tụ và S được gọi
là tổng của chuỗi đó và ta viết :
∞

S=

∑ un .

n=1

Định nghĩa 1.6. Chuỗi ∑∞

n=1 un được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi
∑∞
n=1 ||un || hội tụ.
Mệnh đề 1.4. Nếu
∞

∞

∑ un = s, ∑ vn = s1 ,

n=1

α ∈R

n=1

thì
∞

∞

∞

∑ α × un = α × s; ∑ (un + vn ) = s + s1 ; ∑ (un − vn ) = s − s1 .

n=1

n=1

n=1


Mệnh đề 1.5. (Tiêu chuẩn Cauchy). Trong không gian định chuẩn X chuỗi
∗
∗
∑∞
n=1 un hội tụ khi và chỉ khi (∀ε > 0)(∃n0 ∈ N )(∀n > n0 )(∀p ∈ N ) ta có

||un+1 + un+2 + .... + un+p || < ε.
Định lý 1.1. Không gian định chuẩn là không gian Banach khi và chỉ khi
trong X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
Định nghĩa 1.7. Không gian tuyến tính con X0 = 0/ của không gian định
chuẩn X gọi là không gian định chuẩn con của X nếu X0 là không gian định
chuẩn với chuẩn cảm sinh trên X. Nếu X0 đồng thời là tập đóng trong X thì
X0 gọi là không gian con đóng của không gian X.
Định nghĩa 1.8. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên R. Ánh xạ A từ
không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính nếu ánh xạ A thỏa mãn:
i)

∀u, v ∈ X thì A(u + v) = Au + Av.

ii)

∀u ∈ X, ∀α ∈ R : Aαu = αAu.

Viết gọn lại ta có A(αu + β v) = αAu + β Av, ∀u, v ∈ X, ∀α, β ∈ R.
5


Định nghĩa 1.9. Cho không gian định chuẩn X và Y, toán tử tuyến tính A từ
X → Y được gọi là bị chặn nếu tồn tại C > 0 sao cho ||Au|| ≤ C||u||, ∀u ∈ X.

Hằng số C nhỏ nhất gọi là chuẩn của toán tử A, kí hiệu ||A||.
Định lý 1.2. (Ba mệnh đề tương đương). Cho A là toán tử tuyến tính từ
không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Ba mệnh đề sau đây
là tương đương:
i) A liên tục.
ii) A liên tục tại x0 nào đó thuộc X.
iii) A bị chặn.
Định lý 1.3. (Định lí tính chuẩn của toán tử). Cho A là toán tử tuyến tính từ
không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y. Nếu A bị chặn thì
||A|| = sup||u||≤1 ||Au|| hay

||A|| = sup||u||=1 ||Au||.

Định nghĩa 1.10. Cho không gian định chuẩn X trên R. Ta gọi không gian
L(X, R) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X là không gian liên hợp
(không gian đối ngẫu) của X và kí hiệu là X ∗ .
Định nghĩa 1.11. Không gian liên hợp của không gian X ∗ được gọi là không
gian liên hợp thứ hai của X và kí hiệu là X ∗∗ .
Định nghĩa 1.12. Cho X là không gian định chuẩn. Nếu M ∈ X là một
không gian con tuyến tính thì ta đặt
M ⊥ = { f ∈ X ∗ ; f , x = 0,

∀x ∈ M} .

Nếu N ⊂ X ∗ là một không gian con tuyến tính thì ta đặt
N ⊥ = {x ∈ X; f , x = 0,

∀ f ∈ N} .

Chú ý rằng theo định nghĩa N ⊥ là một tập hợp con của X chứ không phải

của X ∗∗ . Rõ ràng M ⊥ (tương ứng N ⊥ ) là không gian tuyến tính đóng của X ∗
(tương ứng của X). Ta nói M ⊥ (tương ứng N ⊥ ) là không gian trực giao với
M (tương ứng N).
6


Định lý 1.4. Tồn tại phép đẳng cự tuyến tính từ không gian định chuẩn X
vào không gian liên hợp thứ hai của X ∗∗ của không gian X.
Định nghĩa 1.13. Không gian định chuẩn X gọi là không gian phản xạ nếu
X = X ∗∗ .
Định lý 1.5. Không gian con đóng của không gian phản xạ là không gian
phản xạ.

1.2. Không gian Hilbert.
Định nghĩa 1.14. Cho H là một không gian vector. Một tích vô hướng (u, v)
là một dạng song tuyến tính trên H × H với giá trị thực (nghĩa là một ánh xạ
đi từ H × H vào R là tuyến tính theo từng biến) thỏa mãn:
(u, v) = (v, u), ∀u, v ∈ H,

(đối xứng),

(u, u) ≥ 0, ∀u ∈ H,

(xác định dương),

(u, u) = 0, ∀u = 0,

(xác định).

Mệnh đề 1.6. i) Với mọi u, v ∈ H và α ∈ R ta có: (αu, v) = α(u, v).

ii) (∀u ∈ H) ta có: (θ , u) = 0.
iii)

(∀u, v, w ∈ H) ta có: (u + v, w) = (u, w) + (v, w).

iv)

(∀u, v, w ∈ H) ta có: (u, v + w) = (u, v) + (u, w).

Định lý 1.6. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz). Cho không gian Hilbert H
ta có bất đẳng thức:
1

1

|(u, v)| ≤ (u, u) 2 .(v, v) 2 ,

∀u, v ∈ H.

Nhờ bất đẳng thức Cauchy-Shwarz ta suy ra:
1

|u| = (u, u) 2
7


là một chuẩn và thường kí hiệu là |.| (thay vì ||.||). Ta gọi đó là chuẩn sinh
bởi tích vô hướng. (Ta có thể dễ dàng thấy |.| thỏa mãn các tiên đề i), ii) về
chuẩn, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề iii). Thật vậy
|u + v|2 = (u + v, u + v) = |u|2 + (u, v) + (v, u) + |v|2 ≤ |u|2 + 2|u||v| + |v|2 ,

và do đó |u + v| ≤ |u| + |v|).
Ta dễ kiểm tra được đẳng thức hình bình hành.
a+b 2
a−b 2 1
|
| +|
| = .(|a|2 + |b|2 ),
2
2
2

∀a, b ∈ H.

(1.1)

Định nghĩa 1.15. Một không gian Hilbert là không gian vector H được
trang bị một tích vô hướng sao cho H luôn là không gian đủ với chuẩn |.|.
Sau đây H luôn được kí hiệu cho không gian Hilbert.
Ví dụ 1.4. L2 (Ω) với tích vô hướng (u, v) = u(x)v(x)dµ là không gian
Ω

Hilbert.
Tương tự như thế l 2 cũng là không gian Hilbert với tích vô hướng (u, v) =
∑∞
n=1 un vn .
Định nghĩa 1.16. Cho E là một không gian vector trên R. Tập con A ⊂ E
được gọi là tập lồi nếu
tu + (1 − t)v ∈ A, ∀u, v ∈ A, ∀t ∈ [0; 1].
Định nghĩa 1.17. Không gian Banach E được gọi là tập lồi đều nếu
(∀ε > 0)(∃δ > 0) thỏa mãn (x, y ∈ E, ||x|| ≤ 1, ||y|| ≤ 1và||x − y|| > ε)

thì
||

x+y
|| < 1 − δ .
2

Định lý 1.7. (Định lí Milman-Pettis). Mọi không gian lồi đều đều phản xạ.
Mệnh đề 1.7. Mọi không gian Hilbert H là tập lồi đều và do đó nó phản xạ.
8


Chứng minh. Giả sử ε > 0 và u, v ∈ H thỏa mãn |u| ≤ 1, |v| ≤ 1 và |u − v| >
ε, theo đẳng thức hình bình hành ta có:
u+v 2
ε2
|
| < 1−
2
4
và do đó
|
2

u+v
| < 1−δ,
2

1


với δ = 1 − (1 − ε4 ) 2 > 0.
Định nghĩa 1.18. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y. Toán tử B ánh xạ không gian Y vào X
gọi là tuyến tính liên hợp với toán tử A, nếu
(Au, v) = (u, Bv),

∀u ∈ X, ∀y ∈ Y, kí hiệu

A∗ = B.

Định nghĩa 1.19. Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert
H vào chính nó là tự liên hợp nếu
(Au, v) = (u, Av),

∀u, v ∈ H.

Toán tử tự liên hợp còn gọi là toán tử đối xứng.

9


Chương 2

Phép chiếu trong không
gian Hilbert
2.1. Phép chiếu lên tập lồi đóng.
Định nghĩa 2.1. Cho không gian Hilbert H, hai phần tử u, v ∈ H gọi là trực
giao, kí hiệu u ⊥ v nếu (u, v) = 0.
Định nghĩa 2.2. Cho không gian Hilbert H và tập con A ⊂ H, A = 0.
/ Phần

tử u ∈ H gọi là trực giao với tập A nếu u ⊥ v, ∀v ∈ A, kí hiệu u ⊥ A.
Mệnh đề 2.1. i) θ ⊥ u,

∀u ∈ H.

ii) u ∈ H mà u ⊥ u thì u = θ .
iii) Nếu u, v ∈ H thỏa mãn u ⊥ v j ( j = 1, 2...., n) thì
n

u⊥

∑ α jv j,

∀α j ( j = 1, 2.., n).

j=1

10


Thật vậy, nhờ các tính chất của tích vô hướng
n

n

(x, ∑ α j y j ) =
j=1

n


∑ (x, α j y j ) = ∑ α j (x, y j ) = 0.

j=1

j=1

iv) Cho u ∈ H và dãy (vn ) ⊂ H hội tụ tới v ∈ H theo chuẩn ||u|| =

(u, u).

Nếu u ⊥ vn , ∀n ∈ N ∗ thì u ⊥ v.
v) Cho A là tập con trù mật khắp nơi trong H. Khi đó nếu u ∈ H và u ⊥ A thì
u = θ . Thật vậy, giả sử x ∈ H và x ⊥ A. Do A là tập trù mật khắp nơi trong
không gian H nên tồn tại dãy phần tử (xn ) ⊂ A hội tụ tới x trong không gian
H. Áp dụng tính chất iv) ta được x ⊥ x, do đó x = θ .
Định lý 2.1. (Định lí Pitago). Nếu u, v ∈ H và u ⊥ v thì
||u + v||2 = ||u||2 + ||v||2 .
Chứng minh. Từ công thức ||u||2 = (u, u) và theo giả thiết ta có:
||u + v||2 = (u + v, u + v) = ||u||2 + (u, v) + (v, u) + ||v||2 .

Định nghĩa 2.3. Cho không gian Hilbert H và không gian con E ⊂ H. Tập
con F ⊂ H gồm các phần tử của không gian H trực giao với E gọi là phần
bù trực giao của E trên H và kí hiệu là F = E ⊥ .
Nhận xét 2.1. Từ tính chất iv) của tích vô hướng ta có F là một không gian
con của H.
Định nghĩa 2.4. Cho E là không gian vector trên R.
Một hàm ϕ : E → (−∞, +∞] là hàm lồi nếu
ϕ(tu + (1 − t)v) ≤ tϕ(u) + (1 − t)ϕ(v), ∀u, v ∈ E, ∀t ∈ [0; 1].
Bổ đề 2.1. Lấy E là một không gian Banach phản xạ và A ⊂ E = 0/ là tập
lồi, đóng. Nếu hàm ϕ : A → (−∞; +∞) lồi, liên tục sao cho ϕ(x) ≡ +∞ và

lim
x∈A,||x||→∞

ϕ(x) = ±∞ (không có giả thiết này nếu A bị chặn)
11


thì ϕ đạt min trên A (nghĩa là tồn tại x0 ∈ A : ϕ(x0 ) = minA ϕ).
Định lý 2.2. (Hình chiếu lên không gian con đóng). Cho không gian Hilbert
H và H0 là không gian con của H. Khi đó phần tử bất kì x ∈ H biểu diễn
một cách duy nhất dưới dạng:
x = y + z, y ∈ H0 , z ∈ H0⊥ .
Phần tử y trong biểu diễn trên gọi là hình chiếu của x lên không gian con
H0 .
Chứng minh. Đặt
d = inf ||x − u||,
u∈H0

theo tính chất cận dưới đúng, tồn tại một dãy phần tử (un ) ⊂ H0 sao cho
lim ||x − un || = d.

n→∞

Ta có
2||x − un ||2 + 2||x − um ||2 = 4||x −

un + um 2
|| + ||un − um ||2 .
2


Kí hiệu dk = ||x − uk ||(∀k = 1, 2, 3...). Vì 21 .(un + um ) ∈ H0 , nên
||un − um ||2 ≤ 2dn2 + 2dm2 − 4d 2 (n, m = 1, 2, , , ).
Do đó
lim ||un − um || = 0.

n,m→∞

Do H là không gian Banach và tính đóng của không gian con H0 ta được
lim un = y ∈ H0 ,

n→∞

nghĩa là
||x − y|| = lim ||x − un || = d.
n→∞

12


Đặt z = x − y, ta chứng minh z ∈ H0⊥ .
Thật vậy, giả sử ∃v ∈ H0 mà (z, v) = c = 0, do đó v = θ . Suy ra phần tử
c
w = y + (v,v)
× v ∈ H0 và

d 2 ≤ ||x − w||2 = ||x − y −
= ||z||2 −

c
c

c
× v||2 = (z −
×v−
× v) =
(v, v)
(v, v)
(v, v)

c
c
c.c
c2
2
×c−
×c+
×
(v,
v)
=
||z||
−
< d2,
2
(v, v)
(v, v)
(v, v)
(v, v)

điều này vô lí. Suy ra, (z, u) = 0, ∀u ∈ H0 hay z ∈ H0⊥ . Hệ thức trên được
chứng minh.

Giả sử phần tử x ∈ H có thể được biểu diễn dưới dạng bằng hai cách:
x = y + z = y + z ; y, y ∈ H0 ; z, z ∈ H0⊥ .
Khi đó
(y − y ) + (z − z ) = 0, y − y ∈ H0 , z − z ∈ H0⊥ .
Áp dụng định lí Pitago, ta được ||y − y ||2 + ||z − z ||2 = 0 ↔ y = y , z = z
nghĩa là biểu diễn là duy nhất.
Tổng quát hóa định lí trên ta có:
Định lý 2.3. (Hình chiếu lên tập lồi đóng). Cho K ⊂ H là tập lồi đóng, khác
rỗng. Khi đó với mọi f ∈ H đều tồn tại duy nhất phần tử u ∈ K sao cho
| f − u| = min | f − v| = dist( f , K).
v∈K

(2.1)

Với dist( f , K) là khoảng cách từ f xuống K. Hơn nữa u được đặc trưng bởi
tính chất:
u∈K

và ( f − u, v − u) ≤ 0,

∀v ∈ K.

(2.2)

Nhận xét 2.2. Phần tử u như trên được gọi là hình chiếu của f lên Kvà
được kí hiệu bởi
u = PK f .
13



Bất đẳng thức (2.2) nói rằng tích vô hướng của u f với uv bất kì (v ∈ K) là
≤ 0, nghĩa là góc θ xác định bởi hai véc tơ trên là ≥ π2 .
Chứng minh. a) Sự tồn tại. Ta sẽ trình bày hai cách chứng minh:
1) Hàm ϕ(v) = | f − v| là lồi, liên tục và lim|v|→∞ ϕ(v) = +∞. Theo bổ đề
2.1 thì ϕ đạt giá trị nhỏ nhất trên K vì H là không gian phản xạ.
2) Chứng minh thứ hai thì chúng ta không thể sử dụng tính chất về không
gian phản xạ, lồi đều, mà lập luận trực tiếp. Gọi (vn ) là dãy cực tiểu của
(2.1), có nghĩa là vn ∈ K và
dn = | f − vn | → d = inf | f − v|.
v∈K

Ta chứng minh rằng (vn ) là dãy Cauchy. Thật vậy, áp dụng đẳng thức hình
bình hành với a = f − vn và b = f − vm ta có
vn + um 2
vn − um 2 dn2 + dm2
|f −
| +|
| =
.
2
2
2
Nhưng

vn +um
2

m
∈ K nên | f − vn +u
2 | ≥ d vì thế


vn − um 2 (dn2 + dm2 )
(
) ≤
− d2
2
2
và
lim |vn − vm | = 0.

m,n→∞

Do đó (vn ) hội tụ tới gới hạn u ∈ K với d = | f − u|.
b) (2.1) tương đương với (2.2).
Giả sử u ∈ K thỏa mãn (2.1) và w ∈ K. Ta có v = (1 − t)u + tw,t ∈ [0, 1] và
do đó
| f − u| ≤ | f − [(1 − t)u + tw]| = |( f − u) − t(w − u)|.
Nên
| f − u|2 ≤ | f − u|2 − 2t( f − u, w − u) + t 2 |w − u|2 .

14


Từ đây suy ra
2( f − u, w − u) ≤ t|w − u|2 ,

∀t ∈ (0, 1].

Cho t → 0 ta thu được (2.2).
Giả sử có phần tử u thỏa mãn (2.2) khi đó ta có

|u − f |2 − |v − f |2 = 2( f − u, v − u) − |u − v|2 ≤ 0,

∀v ∈ K

kéo theo (2.1).
c) Sự duy nhất.
Giả sử có u1 , u2 thỏa mãn (2.2). Ta có
( f − u1 , v − u1 ) ≤ 0,

∀v ∈ K,

(2.3)

( f − u2 , v − u2 ) ≤ 0,

∀v ∈ K.

(2.4)

Trong (2.3) ta chọn v = u2 và trong (2.4) ta chọn v = u1 và cộng các bất
đẳng thức tương ứng ta thu được |u1 − u2 |2 ≤ 0. Chứng tỏ u1 = u2 .
Nhận xét 2.3. Sự tương đương của bài toán cực tiểu (2.1) với bất đẳng
thức (2.2) đã được biết trong trường hợp hàm số biến số thực. Cụ thể: giả sử
F : R → R là hàm khả vi và u ∈ [0, 1] là một điểm mà tại đó F đạt min trên
[0, 1]. Khi đó hoặc {u ∈ (0, 1) và F (u) = 0}, hoặc {u = 0 và F (u) ≥ 0}
hoặc {u = 1 và F (u) ≤ 0}. Ba trường hợp trên được tóm lại là {u ∈ [0, 1] và
F (u)(v − u) ≥ 0;

∀v ∈ [0, 1]}.


Nhận xét 2.4. Cho K ⊂ E là một tập lồi đóng = 0/ trong không gian Banach
lồi đều E. Khi đó với mỗi f ∈ E thì tồn tại duy nhất phần tử u ∈ E thỏa mãn:
|| f − u|| = min || f − u|| = dist( f , K).
v∈K

Mệnh đề 2.2. Giả sử K ⊂ H là một tập lồi đóng = 0,
/ khi đó PK không tăng
khoảng cách nghĩa là:
|PK f1 − PK f2 | ≤ | f1 − f2 |,
15

∀ f1 , f2 ∈ H.


Chứng minh. Đặt u1 = PK f1 và u2 = PK f2 . Ta có
( f1 − u1 , v − u1 ) ≤ 0,

∀v ∈ K,

(2.5)

( f2 − u2 , v − u2 ) ≤ 0,

∀v ∈ K.

(2.6)

Chọn v = u2 trong (2.5) và v = u1 trong (2.6) rồi cộng các bất đẳng thức ta
thu được |u1 − u2 |2 ≤ ( f1 − f2 , u1 − u2 ). Từ đó suy ra |u1 − u2 | ≤ | f1 − f2 |.
Suy ra

|PK f1 − PK f2 | ≤ | f1 − f2 |,

∀ f1 , f2 ∈ H.

Hệ quả 2.1. Giả sử M ⊂ H là một không gian con tuyến tính đóng, f ∈ H
khi đó u = PM f được đặc trưng bởi
u∈M

và ( f − u, v) = 0,

∀v ∈ M.

(2.7)

Hơn nữa PM là toán tử tuyến tính và được gọi là phép chiếu trực giao.
Chứng minh. Từ (2.2) ta có
( f − u, v − u) ≤ 0,

∀v ∈ M

và do đó
( f − u,tv − u) ≤ 0,

∀v ∈ M,

∀t ∈ R.

Từ đó suy ra (2.7). Ngược lại nếu u thỏa mãn (2.7) thì
( f − u, v − u) = 0,


∀v ∈ M.

Hơn thế nữa rõ ràng PM là tuyến tính.
Với mỗi f ∈ H thì ánh xạ u → ( f , u) là một phiếm hàm tuyến tính liên
tục trên H. Hơn thế nữa định lí sau đây chỉ ra rằng mọi phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên H đều có dạng như vậy:
16


Định lý 2.4. (Định lí biểu diễn Riesz-Fre’chet). Với bất kì ϕ ∈ H ∗ đều tồn
tại duy nhất f ∈ H sao cho:
(ϕ, u) = ( f , u),

∀u ∈ H.

Và
| f | = ||ϕ||H ∗ .
Chứng minh. Chúng ta trình bày hai cách chứng minh.
1) Cách 1. Xét ánh xạ T : H → H ∗ xác định như sau: với f bất kì ∈ H, ánh
xạ u → ( f , u) là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H. Nó là một phần
tử của H ∗ , ta kí hiệu phần tử đó là T f thì
(T f , u) = ( f , u),

∀u ∈ H.

Rất rõ ràng ||T f ||H ∗ = | f |. Do đó T là tuyến tính đẳng cự từ H lên T (H)một không gian con đóng của H ∗ . Để kết thúc chứng minh ta chỉ cần chứng
minh rằng T (H) là trù mật trong H ∗ . Giả sử h là một hàm tuyến tính trên
H ∗ triệt tiêu trên T (H). Khi đó do H là phản xạ nên h ∈ H và thoả mãn
(T f , h) = 0, ∀ f ∈ H nên chứng tỏ ( f , h) = 0, ∀ f ∈ H suy ra h = 0.
2) Cách thứ hai dùng lí luận trực tiếp để tránh dùng tính chất phản xạ.

Gọi M = ϕ −1 ({0}) thì M là một không gian con đóng của H. Ta có thể giả
sử rằng M = H ( ngược lại thì ϕ = 0, khi đó Định lí 2.4 là hiển nhiên khi
chọn f = 0)
Ta sẽ chứng minh sự tồn tại phần tử g ∈ H thoả mãn
|g| = 1

và (g, v) = 0,

∀v ∈ H

(và do đó

g∈
/ M).

Thật vậy lấy g0 ∈ H với g0 ∈
/ M. Đặt g1 = PM g0 thì
g=

(g0 − g1 )
thỏa mãn tính chất như yêu cầu.
|g0 − g1 |

Với u bất kì ∈ H đặt
v = u−λg

với
17

λ=


(ϕ, u)
.
(ϕ, g)


Chú ý rằng v được định nghĩa tốt vì (ϕ, g) = 0 và ngoài ra từ (ϕ, v) = 0 thì
v ∈ M. Từ đó suy ra (g, v) = 0 nghĩa là
(ϕ, u) = (ϕ, g)(g, u),

∀u ∈ H,

từ đó ta có điều phải chứng minh với f = (ϕ, g)g.
Nhận xét 2.5. H và H ∗ đồng nhất hay không đồng nhất? Bộ ba V ⊂ H ⊂ V ∗ .
Định lí 2.4 khẳng định, có một phép đẳng cự chính tắc từ H lên H ∗ . Vì
vậy ta có thể đồng nhất H và H ∗ . Tuy nhiên ta sẽ thường đồng nhất chứ
không phải luôn đồng nhất. Dưới đây là một tình huống điển hình xuất hiện
trong nhiều ứng dụng ở đó chúng ta cần thận trọng với sự đồng nhất.
Giả sử H là không gian Hilbert với tích vô hướng (, ) và chuẩn tương ứng|.|.
Giả sử V ⊂ H là không gian tuyến tính con trù mật trong H. Và trong V
có một chuẩn riêng ||.|| và (V, ||.||) là không gian Banach. Giả sử đơn ánh
V ⊂ H là liên tục, nghĩa là
|v| ≤ C||v||,
[ví dụ

∀v ∈ V,

H = L2 (0, 1) và V = L p (0, 1) với p > 2 hoặc V = C([0, 1])].

Khi đó có một ánh xạ chính tắc T : H ∗ → V ∗ là ánh xạ hạn chế trên V của

các phiếm hàm tuyến tính liên tục ϕ trên H, nghĩa là:
(T ϕ, v)V ∗ ,V = (ϕ, v)H ∗ ,H .
Rất dễ để chỉ ra T có các tính chất sau:
i) ||T ϕ||V ∗ ≤ C|ϕ|H ∗ ,

∀ϕ ∈ H ∗ .

ii) T là đơn ánh.
iii) R(T )là trù mật V ∗ nếu V phản xạ.
Bằng cách đồng nhất H và H ∗ và dùng T như một phép nhúng chính tắc từ
H ∗ vào V ∗ , ta có
V ⊂H

H ∗ ⊂ V ∗,
18

(2.8)


ở đó tất cả các phép nhúng đều liên tục và trù mật (miễn là V phản xạ). Trong
tình huống này, ta gọi H là không gian trụ. Chú ý tích vô hướng ((, ))V ∗ ,V và
(, ) sẽ trùng nhau khi cả hai cùng có nghĩa, tức là
∀ f ∈ H,

( f , v)V ∗ ,V = ( f , v),

∀v ∈ V.

Tình huống sẽ trở nên phức tạp hơn nếu V là không gian Hilbert với tích vô
hướng riêng ((, )) và chuẩn sinh bởi tích vô hướng||.||. Tất nhiên ta có thể

đồng nhất V và V ∗ . Tuy nhiên (2.8) sẽ trở nên vô lí. Do vậy ta không thể
đồng thời đồng nhất cả V với V ∗ và H với H ∗ mà chỉ được chọn một. Thông
thường ta chọn sự đồng nhất của H và H ∗ để có (2.8) chứ không đồng nhất
V và V ∗ . Sau đây là một ví dụ cụ thể.
Cho

∞

2

H = l = {u = (un )n≥1 :

∑ u2n < ∞}

n=1

được trang bị tích vô hướng (u, v) = ∑∞
n=1 un vn .
Gọi
∞

∑ n2 u2n < ∞},

V = {u = (un )n≥1) :

n=1

2
được trang bị tích vô hướng (u, v) = ∑∞
n=1 n un vn .


Rõ ràng V ⊂ H là phép nhúng liên tục và V trù mật trong H. Ở đây ta đồng
nhất H và H ∗ , trong khi V ∗ được đồng nhất với không gian
∞

∗

V = { f = ( fn )n≥1 :

1

∑ n2 fn2 < ∞}

n=1

là không gian lớn hơn H .Tích vô hướng (, )V ∗ ,V được xác định là
∞

( f , v)V ∗ ,V =

∑ fn vn ,

n=1

và đẳng cấu Riesz-Fre’chet T : V → V ∗ cho bởi
u = (un )n≥1 → Tu = (n2 un )n≥1 .
19


Nhận xét 2.6. Chứng minh dễ dàng được rằng không gian Hilbert là phản

xạ không cần phải sử dụng tính lồi đều mà bằng cách sử dụng đẳng cấu
Riesz-Fre’chet hai lần từ H vào H ∗ và sau đó đi từ H ∗ vào H ∗∗ .
Nhận xét 2.7. Giả sử H là không gian Hilbert được đồng nhất với không
gian đối ngẫu H ∗ của nó. Cho M là không gian con của H, ta đã định nghĩa
M ⊥ là một không gian con của H ∗ . Ở đây ta có thể coi nó là không gian con
của H cụ thể:
M ⊥ = {u ∈ H : (u, v) = 0,

∀v ∈ M}.

Rõ ràng M ∩ M ⊥ = {0}. Ngoài ra nếu M đóng thì ta còn có M + M ⊥ = H.
Thật vậy, với mỗi f ∈ H ta viết
f = PM f + ( f − PM f )
và f − PM f ∈ M ⊥ , cụ thể hơn PM⊥ f = ( f − PM f ).
Do đó mọi không gian con đóng của không gian Hilbert đều có phần bù.

2.2. Định lí Stampacchia và Lax-milgram
Định nghĩa 2.5. Một dạng song tuyến tính a : H × H → R gọi là
i) liên tục nếu tồn tại hằng số C thoả mãn
|a(u, v)| ≤ C|u||v|,
ii) bức nếu tồn tại α > 0

∀u, v ∈ H,

sao cho

α(v, v) ≥ α|v|2 ,

∀v ∈ H.


Định lý 2.5. (Định lí Stampacchia). Giả sử a(u, v) là một dạng song tuyến
tính liên tục, bức trên H. Lấy K ⊂ H là tập con lồi, đóng, không rỗng. Khi
đó với mỗi ϕ ∈ H ∗ , tồn tại duy nhất phần tử u ∈ K thoả mãn :
a(u, v − u) ≥ (ϕ, v − u),
20

∀v ∈ K.

(2.9)


Ngoài ra nếu a đối xứng thì u được đặc trưng bởi tính chất.
u∈K

1
1
a(u, u) − (ϕ, u) = min{ a(v, v) − (ϕ, v)}.
v∈K 2
2

và

(2.10)

Chứng minh của Định lí 2.5 dựa trên kết quả rất cổ điển sau:

Định lý 2.6. (Định lí ánh xạ co Banach- Định lí điểm bất động Banach).
Cho X là không gian metric đủ khác rỗng và S : X → X là co nghiêm ngặt
nghĩa là:
d(Sv1 , Sv2 ) ≤ kd(v1 , v2 ),


∀v1 , v2 ∈ X,

với k < 1.

Khi đó S có một điểm bất động và nó thỏa mãn u = Su.
Chứng minh. (Định lí 2.5). Theo Định lí biểu diễn Riesz-Fre’chet (Định lí
2.4) tồn tại duy nhất phần tử f ∈ H thoả mãn:
(ϕ, v) = ( f , v),

∀v ∈ H.

Mặt khác nếu ta cố định u, thì ánh xạ v → a(u, v) là phiếm hàm tuyến tính
liên tục trên H. Sử dụng tiếp Định lí 2.4 ta có tồn tại phần tử của H, kí hiệu
bởi Au sao cho a(u, v) = (Au, v), ∀v ∈ H. Rõ ràng A là toán tử tuyến tính từ
H → H thoả mãn:
|Au| ≤ C|u|,
(Au, u) ≥ α|u|2 ,

∀u ∈ H,

(2.11)

∀u ∈ H.

(2.12)

Do đó bài toán (2.9) trở thành bài toán tìm u thuộc K sao cho
(Au, v − u) ≥ ( f , v − u),


∀v ∈ K.

(2.13)

Lấy ρ > 0 là một hằng số (xác định sau). Khi đó (2.13) tương đương với
(ρ f − ρAu + u − u, v − u) ≤ 0,
21

∀v ∈ K

(2.14)