Lời cảm ơn
Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy giáo, cô giáo tổ
Giải tích và các bạn sinh viên khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà
Nội 2. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới TS.
Nguyễn Văn Hào đã tận tình giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp.
Lần đầu thực hiện công tác nghiên cứu khoa học nên việc trình bày khóa
luận không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em xin chân thành
cảm ơn những ý kiến đóng góp của các thầy giáo, cô giáo và các bạn
sinh viên.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Phạm Thị Trang


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, khóa
luận tốt nghiệp “Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
dưới dạng tích phân xác định” được hoàn thành theo quan điểm
riêng của cá nhân tôi.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Phạm Thị Trang

Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1. Khái niệm tổng quan về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.2. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.3. Nghiệm tổng quát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình vi phân.

8

1.3. Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính . . .


8

1.3.1. Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2. Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các hàm . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.3.3. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Chương 2. NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH DƯỚI DẠNG TÍCH PHÂN . . . . . . . . . . . .
2.1. Một số nguyên lý tổng quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17

2.2. Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính qua các phép biến
đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

2.2.1. Biến đổi Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19


2.2.2. Nhân K(x, t) của biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2.3. Biến đổi Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.4. Nghiệm xác định bởi tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

1


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Phương trình vi phân là một chuyên ngành của Giải tích toán học,
đóng vai trò quan trọng trong khoa học kỹ thuật, vật lí, kinh tế và nhiều
lĩnh vực khác. Phương trình vi phân đơn giản
y (x) =


dy
dx

thể hiện mối quan hệ giữa một đại lượng biến thiên liên tục được biểu
diễn bằng hàm với độ biến thiên của đại lượng đó được biểu diễn bằng
đạo hàm bậc nhất của nó (hoặc đạo hàm cấp cao hơn). Đối với các
phương trình thông thường, nghiệm là một giá trị số thực hoặc số phức.
Tuy nhiên, đối với các phương trình vi phân nghiệm là một họ các hàm,
sai lệch bằng một hằng số nào đó, được xác định tường minh khi có thêm
điều kiện đầu hoặc điều kiện biên.
Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính là tổng của
nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương
ứng với một nghiệm riêng của phương trình đó. Cho đến nay, người ta
đã đưa ra được phương pháp xây dựng hệ nghiệm tổng quát của phương
trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Tuy nhiên đối với phương
trình vi phân tuyến tính mà hệ số không phải là hằng số thì việc tìm
nghiệm của nó còn gặp phải những khó khăn nhất định. Chẳng hạn như

2


phương trình dưới đây
dy
d2 y
(1 − x ) 2 − 2x + 2y = 0.
dx
dx
2


Phương trình trên là phương trình vi phân cấp hai với hệ số là hàm số
của một biến độc lập, nhưng ta không thể tìm được nghiệm riêng dưới
dạng một hàm số sơ cấp. Việc giải các dạng phương trình trên có nhiều
ứng dụng quan trọng không chỉ trong ngành Toán học mà còn ứng dụng
trong nhiều ngành khoa học khác như vật lí, hóa học. Vì vậy, chúng ta
cần xây dựng các phương pháp tìm nghiệm cho các phương trình vi phân
dạng này. Một trong những phương pháp hữu ích là ứng dụng các phép
tính tích phân để tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính.
Được sự định hướng của TS. Nguyễn Văn Hào nên em đã chọn đề
tài “Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính dưới dạng
tích phân xác định” nhằm nghiên cứu một ứng dụng của phép tính
tích phân trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính,
góp thêm một công cụ hữu ích tìm nghiệm đối với phương trình vi phân
thường.
Khóa luận được bố cục thành hai chương
Chương 1. Trình bày một số khái niệm tổng quan về phương trình vi
phân; định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân; lý
thuyết tổng quát về phương trình vi phân tuyến tính.
Chương 2. Chương này là nội dung chính của khóa luận. Ở đây em
trình bày một số phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân
dưới dạng tích phân xác định thông qua các phép biến đổi như biến đổi
Laplace, biến đổi Euler, biến đổi Mellin.
3


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày một số phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính dưới dạng tích phân xác định.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Bởi vì nghiệm của phương trình được cho dưới dạng tích phân xác
định, nên điều kiện cần thiết liên quan đến vấn đề này phải kể đến các
phép biến đổi tích phân.
Nghiên cứu một phương pháp tìm nghiệm của phương trình vi phân
tuyến tính. Tuy nhiên, do khuôn khổ yêu cầu đối với một khóa luận tốt
nghiệp, nên em chỉ trình bày vấn đề trong phạm vi tìm nghiệm dưới
dạng tích phân xác định.

4. Phương pháp nghiên cứu
Tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng của
người hướng dẫn.

4


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Khái niệm tổng quan về phương trình vi phân
1.1.1. Các khái niệm cơ bản
Phương trình vi phân là một phương trình chứa hàm cần tìm và các
đạo hàm của nó. Nếu hàm cần tìm chỉ phụ thuộc một biến độc lập,
thì phương trình đó được gọi là phương trình vi phân thường gọi tắt là
phương trình vi phân. Nếu hàm cần tìm phụ thuộc hai hoặc nhiều biến
độc lập thì phương trình được gọi là phương trình vi phân đạo hàm riêng
gọi tắt là phương trình đạo hàm riêng.
Phương trình vi phân thường là phương trình có dạng tổng quát
F (x, y, y , y , ..., y (n) ) = 0,

(1.1)


trong đó F là hàm xác định trong một miền G nào đó của không gian
Rn+2 . Trong phương trình (1.1) gồm các biến độc lập x và y là hàm của
biến độc lập cùng các đạo hàm cấp một đến cấp n của nó. Cấp của một
phương trình vi phân thường được xác định bởi cấp cao nhất của đạo
hàm xuất hiện trong phương trình.
Trong phương trình (1.1) có thể vắng mặt một số các biến x, y, y , ..., y (n−1)
nhưng y (n) nhất thiết phải có mặt.
Nếu từ (1.1) ta giải ra được đạo hàm cấp cao nhất, tức là phương trình
5


(1.1) có dạng
y (n) = F (x, y, y , ..., y (n−1) ),

(1.2)

thì ta nói phương trình vi phân cấp n đã giải ra được với đạo hàm cấp
cao nhất y (n) qua các biến còn lại thì ta nói phương trình giải ra được
đối với y (n) hoặc ta còn gọi phương trình có dạng chính tắc.
Nghiệm của phương trình (1.1) cũng như (1.2) là hàm y = y(x) khả vi
n lần trên khoảng (a, b) nào đó thỏa mãn các phương trình đó. Đường
cong y = y(x), x ∈ (a, b) gọi là đường cong tích phân của phương trình
đã cho. Để giải phương trình vi phân ta cũng dùng thuật ngữ "tích phân
phương trình vi phân" vì lý do này.
Thông thường nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n phụ
thuộc n hằng số tùy ý C1 , C2 , ..., Cn . Trong thực tế người ta chỉ quan
tâm đến nghiệm của (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn một số điều kiện nào đấy.
Một trong những điều kiện đó là điều kiện ban đầu
(n−1)


y0 = y(x0 ), y 0 = y (x0 ), ..., y0

= y (n−1) (x0 ).

(1.3)

1.1.2. Bài toán Cauchy
Tìm nghiệm y = y(x) của phương trình (1.1) hoặc (1.2) thỏa mãn
điều kiện ban đầu (1.3). Bài toán này được gọi là bài toán Cauchy.
1.1.3. Nghiệm tổng quát
Ta giả thiết rằng G là miền tồn tại và duy nhất nghiệm của phương
trình (1.2), tức là nghiệm bài toán Cauchy tồn tại và duy nhất đối với

6


mỗi điểm
(n−1)

(x0 , y0 , y 0 , ..., y0

) ∈ G.

Hàm
y = ϕ(x, C1 , C2 , ..., Cn )
xác định trong miền biến thiên của các biến x, C1 , C2 , ..., Cn có tất cả các
đạo hàm riêng theo x liên tục đến cấp n được gọi là nghiệm tổng quát
của phương trình (1.2) trong miền G nếu trong G từ hệ phương trình




y0
=
ϕ(x0 , C1 , C2 , ..., Cn ),






y0
= ϕ x (x0 , C1 , C2 , ..., Cn ),



.....................



(n−2)


y0 (n−2) = ϕ0
(x0 , C1 , C2 , ..., Cn ),





y0 (n−1) = ϕ(n−1)

(x0 , C1 , C2 , ..., Cn )
x
ta có thể xác định được



C10 =






C20 =




(n−1)

),

(n−1)

),

ψ1 (x0 , y0 , y 0 , ..., y0

ψ2 (x0 , y0 , y 0 , ..., y0


.....................



(n−1)

0

C
=
ψ
(x
,
y
,
y
,
...,
y
),
n−1
0
0

0
n−1
0





 Cn0 = ψn (x0 , y0 , y 0 , ..., y0(n−1) )

và hàm y = ϕ(x0 , C10 , C20 , ..., Cn0 ) là nghiệm của phương trình (1.2) ứng
(n−1)

với mỗi hệ C10 , C20 , ..., Cn0 xác định được từ trên khi (x0 , y0 , y 0 , ..., y0
biến thiên trong G.

7

)


1.2. Định lý tồn tại duy nhất nghiệm của phương
trình vi phân
Đối với phương trình vi phân, việc nghiên cứu về vấn đề tồn tại và
duy nhất nghiệm là khá phức tạp. Dưới đây, chúng tôi chỉ phát biểu kết
quả cho trường hợp tổng quát.
Định lý 1.1. (Tồn tại duy nhất nghiệm) Cho phương trình vi phân cấp
n dạng chính tắc
y (n) = f x, y, y , ..., y (n−1) .
Nếu vế phải của phương trình trên là một hàm liên tục của n + 1 biến
(n−1)

trong một miền nào đó của Rn+1 chứa điểm x0 , y0 , y 0 , ..., y0

và các

đạo hàm riêng

∂f ∂f
∂f
,
, ..., (n)
∂y ∂y
∂y
liên tục thì tồn tại một khoảng (a, b) chứa điểm x0 để trên khoảng này
tồn tại và duy nhất một hàm y = y(x) khả vi n lần trên khoảng đó và
thỏa mãn điều kiện đầu (1.3).

1.3. Lý thuyết tổng quát về phương trình vi phân
tuyến tính
1.3.1. Một số khái niệm cơ bản
Phương trình vi phân tuyến tính cấp n là phương trình có dạng
y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn−1 (x)y + pn (x)y = f (x),
8

(1.4)


trong đó p1 (x), p2 (x), ..., pn−1 (x), pn (x), f (x) là những hàm liên tục trên
khoảng (a, b) nào đó.
Nếu trong phương trình (1.4) hàm f (x) ≡ 0, thì phương trình được gọi
là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n. Trong trường hợp pi (x)
(i = 1, 2, ..., n) là các hằng số thì phương trình (1.4) được gọi là phương
trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số.
Từ định lý tồn tại và duy nhất nghiệm, với các điều kiện đã nêu của
phương trình vi phân tuyến tính cấp n ta thấy phương trình luôn tồn tại
duy nhất nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu cho trước. Vế phải của (1.4)
thường được kí hiệu là Lnx (y) và gọi là toán tử vi phân tuyến tính cấp

n. Khi đó phương trình (1.4) được viết dưới dạng
Lnx (y) = f (x).
Chú ý: tính tuyến tính và thuần nhất của phương trình được bảo toàn
qua mọi phép đổi biến số độc lập x = ϕ(t), trong đó ϕ(t) là một hàm số
bất kỳ khả vi n lần, mà đạo hàm ϕ (t) = 0 trên đoạn đang xét của biến
số t.
Tính tuyến tính và thuần nhất được bảo toàn cả qua phép biến đổi tuyến
tính thuần nhất của hàm số chưa biết y(x) = α(x)z(x).
Để xây dựng nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính.
Chúng ta cần đến một số khái niệm và kết quả liên quan đến hàm số
dưới đây.

9


1.3.2. Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các
hàm
Các hàm y1 (x), y2 (x), ..., ym (x) xác định trên khoảng (a, b) được gọi là
phụ thuộc tuyến tính trên khoảng đó nếu tồn tại các hằng số c1 , c2 , ..., cm
không đồng thời bằng 0 sao cho
m

ck yk (x) = 0,

(1.5)

k=1

với mọi x ∈ (a, b). Các hàm số đó được gọi là độc lập tuyến tính trên
khoảng (a, b) nếu nó không phụ thuộc tuyến tính, tức là hệ thức (1.5)

chỉ xảy ra khi c1 = c2 = ... = cm = 0.
Giả sử các hàm y1 , y2 , ..., ym xác định và có đạo hàm đến cấp m − 1 trên
khoảng (a, b) nào đó, ta đặt

W [y1 , y2 , ..., ym ] = Det

y1

y2

···

ym

y1

y2

···

ym

···

···

···

···


(m−1)

· · · ym

(m−1)

y1

y2

.

(m−1)

Giá trị trên được gọi là định thức Wronski của các hàm y1 , y2 , ..., ym trên
khoảng (a, b).
Bổ đề 1.1. Nếu các hàm y1 , y2 , ..., ym phụ thuộc tuyến tính thì W (x) = 0
với mọi x ∈ (a, b).
Bổ đề 1.2. Cho các hàm y1 , y2 , ..., ym xác định trên khoảng (a, b) là
nghiệm của phương trình Lnx (y) = 0. Khi đó để y1 , y2 , ..., ym độc lập
tuyến tính thì điều kiện cần và đủ là W [y1 , y2 , ..., ym ] = 0 với mọi x ∈
(a, b).
10


1.3.3. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
a) Định nghĩa
Hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình
y (n) + p1 (x)y (n−1) + · · · + pn−1 (x)y + pn (x)y = 0
gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình đó.

Định lý 1.2. Nếu y1 , y2 , ..., ym là các nghiệm độc lập tuyến tính của
phương trình Lnx (y) = 0, thì nghiệm tổng quát của phương trình có
dạng

m

y=

ck yk (x),

(1.6)

k=1

trong đó c1 , c2 , ..., cm là các hằng số tùy ý.
Định lý 1.3. Nếu y1 , y2 , ..., yn là một hệ nghiệm cơ bản của phương
trình Lnx (y) = 0 và y˜ là một nghiệm riêng của phương trình
Lnx (y) = f (x),
thì nghiệm tổng quát của phương trình Lnx (y) = f (x) có dạng
n

y(x) = y˜(x) +

ck yk (x).

(1.7)

k=1

Chứng minh. Ta có

n

Lnx (y)

=

Lnx (˜
y)

+

Lnx

ck yk (x)

= f (x) + 0 = f (x).

k=1

Như vậy công thức (1.7) cho ta nghiệm của phương trình Lnx (y) = f (x).
Ta cần chứng minh rằng mọi nghiệm của phương trình Lnx (y) = f (x)
11


đều có dạng (1.7).
Thật vậy, giả sử y ∗ là một nghiệm nào đó của phương trình, ta có
Lnx (y ∗ − y˜) = Lnx (y ∗ ) − Lnx (˜
y ) = f (x) − f (x) = 0,
nên y ∗ − y˜ cũng là một nghiệm của phương trình Lnx (y) = 0. Do đó theo
định lý 1.2, tồn tại các hằng số c01 , c02 , ..., c0n để

n
∗

c0k yk

y − y˜ =
k=1

hay

n
∗

c0k yk .

y = y˜ +
k=1

Như vậy nghiệm y ∗ có dạng (1.7).
b) Phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số
* Nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính thuần
nhất hệ số hằng số
Phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số là phương
trình có dạng
Lnx (y) = y (n) + pn−1 y (n−1) + · · · + p1 y + p0 y = 0,

(1.8)

trong đó pn−1 , pn−2 , ..., p0 là các hằng số thực. Ta tìm nghiệm riêng của
phương trình (1.8) dưới dạng y = eλx , trong đó hằng số λ được xác định

sao cho y là nghiệm của (1.8). Khi đó
y = λeλx , y = λ2 eλx , ..., y (n) = λn eλx .
Thay vào phương trình (1.8) ta được
Lnx (y) = Lnx (eλx ) = (λn + pn−1 λn−1 + · · · + p1 λ + p0 )eλx = 0.
12


Bởi vì eλx = 0 nên ta có
Pn (λ) = λn + pn−1 λn−1 + · · · + p1 λ + p0 = 0.

(1.9)

Như vậy, nếu λ là một nghiệm của phương trình (1.9) thì y = eλx là một
nghiệm của phương trình (1.8). Phương trình (1.9) được gọi là phương
trình đặc trưng của phương trình (1.8). Đa thức Pn (λ) gọi là đa thức
đặc trưng của phương trình (1.8). Để xây dựng được hệ nghiệm cơ bản
của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số, ta cần một số
bổ đề sau
Bổ đề 1.3. Nếu λ1 , λ2 , ..., λm là các nghiệm khác nhau của phương trình
(1.9), thì
eλ1 x , eλ2 x , ..., eλm x
là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1.8).
Bổ đề 1.4. Nếu λ1 là một nghiệm bội m của phương trình (1.9) thì các
hàm
eλ1 x , xeλ1 x , ..., xm−1 eλ1 x
là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (1.8).
Bổ đề 1.5. Nếu α ± iβ là cặp nghiệm phức bội m của phương trình
(1.9) thì hệ các hàm
eαx cos βx, xeαx cos βx, ..., xm−1 eαx cos βx
và

eαx sin βx, xeαx sin βx, ..., xm−1 eαx sin βx
là 2m nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình (1.8).
13


* Phương pháp giải phương trình tuyến tính thuần nhất hệ số
hằng số
Từ "định lý cơ bản của đại số" đa thức đặc trưng Pn (λ) có đúng n
nghiệm kể cả nghiệm bội. Do đó ta xây dựng được n nghiệm độc lập
tuyến tính của phương trình (1.8) qua các bổ đề đã trình bày trên đây.
từ đó, ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình đã cho.
* Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính
không thuần nhất
Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất có hệ số hằng là
phương trình có dạng
y (n) + p1 y (n−1) + · · · + pn−1 y + pn y = f (x),

(1.10)

trong đó p1 , p2 , ..., pn là các hằng số, f (x) liên tục trên khoảng (a, b) nào
đó.
Để nhận được nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không
thuần nhất, ta lấy một nghiệm riêng của phương trình không thuần
nhất cộng với nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương
ứng. Vấn đề này đã được ta chứng minh trong phần định lý cấu trúc
nghiệm tổng quát.
* Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất hệ số
hằng số vế phải có dạng đặc biệt
Dạng 1. Vế phải có dạng f (x) = eαx Pn (x), trong đó Pn (x) là một đa
thức bậc n của x.

* Nếu α không là nghiệm của phương trình đặc trưng, thì ta có thể tìm
14


nghiệm riêng dưới dạng
y = eαx Qn (x).
* Nếu α là nghiệm bội m của phương trình đặc trưng, thì ta có thể tìm
nghiệm riêng của phương trình dưới dạng
y = xm eαx Qn (x),
trong đó Qn (x) là một đa thức bậc n của x.
Dạng 2. Vế phải có dạng f (x) = eαx [Pm1 (x) cos βx + Qm2 (x) sin βx],
trong đó Pm1 (x), Qm2 (x) là những đa thức bậc m1 , m2 và α, β là hằng
số.
* Nếu α + iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng thì ta tìm
nghiệm riêng y˜(x) của phương trình dưới dạng
y˜(x) = eαx [Rm (x) cos βx + Sm (x) sin βx] .
* Nếu α + iβ là nghiệm bội m (m ≥ 1) của phương trình đặc trưng thì
ta tìm nghiệm riêng y˜(x) của phương trình dưới dạng
y˜(x) = xm eαx [R(x) cos βx + S(x) sin βx] ,
trong đó R(x) và S(x) có bậc bằng bậc lớn nhất của các đa thức P (x)
và Q(x).
Để xác định các hệ số của Rm (x), Sm (x) ta thay y˜(x) vào phương trình
và tiến hành như ở trường hợp trên.
Dạng 3. Vế phải có dạng
f (x) = f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x),
15


trong đó mỗi hàm fk (x) có dạng trong dạng 1 và dạng 2. Trước hết ta
tìm nghiệm riêng y˜k của phương trình

Lnx (y) = fk (x), k = 1, 2, ..., m.
Khi đó nghiệm riêng của phương trình Lnx (y) = fk (x) là
y˜(x) = y˜1 (x) + y˜2 (x) + · · · + y˜n (x).
Thật vậy, ta có
m

Lnx (˜
y)

=

Lnx

m

y˜k
k=1

=

m

(˜
yk ) =
k=1

16

fk (x) = f (x).
k=1



Chương 2
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH DƯỚI
DẠNG TÍCH PHÂN
2.1. Một số nguyên lý tổng quan
Đối tượng mà chúng ta xét trong chương này là một tích phân xác
định có dạng
β

y(x) =

K(x, t)v(t)dt,

(2.1)

α

ở đó x là một tham số, thoả mãn các phương trình vi phân tuyến tính
đã cho
Lx (y) = 0.

(2.2)

Trong tích phân xác định ở trên có ba yếu tố phân biệt là
(i) hàm số K(x, t) được gọi là nhân của tích phân xác định,
(ii) hàm số v(t),
(iii) các giới hạn (cận) của tích phân, α và β.
Giả sử có thể tìm được nhân K(x, t) thoả mãn phương trình vi phân

đạo hàm riêng có dạng
Lx (K) = Mt (K),
17

(2.3)


∂
.
∂t
Khi đó nếu có thể áp dụng toán tử Lx vào tích phân xác định y(x), thì

ở đó Mt là một toán tử vi phân tuyến tính chỉ phụ thuộc vào t và

ta có
β

Lx {y(x)} =

Lx {K(x, t)} v(t)dt
α
β

Mt {K(x, t)} v(t)dt.

=
α

¯ t là toán tử liên hợp của Mt , khi đó từ đồng nhất thức
Giả sử M

¯ t {v(t)} = ∂ P {K, v} ,
v(t)Mt {K(x, t} − K(x, t)M
∂t
ta suy ra
β

¯ t (v)dt + [P {K, v}]t=β .
K(x, t)M
t=α

Lx {y(x)} =
α

Để tích phân (2.1) là một nghiệm của phương trình (2.2), thì các số
hạng ở vế phải của phương trình trên phải bằng không, tức là v(t) là
một nghiệm của phương trình
¯ t (v) = 0,
M
và giới hạn của tích phân được chọn sao cho
[P {K, v}]t=β
t=α = 0,
phương pháp này được xét một cách tổng quát. Do đó, chẳng hạn ta giả
sử không có nhân K(x, t) nào thoả mãn phương trình vi phân đạo hàm
riêng (2.3) nhưng có thể tìm được hai hàm số K(x, t) và k(x, t) thỏa
18


mãn
Lx {K(x, t)} = Mt {k(x, t)} ,
khi đó


β

¯ t (v)dt + [P {k, v}]t=β
k(x, t)M
t=α

Lx {y(x)} =
α

và bây giờ ta cần phải tìm hàm số v(t) và các giới hạn của tích phân là
α và β.

2.2. Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính
qua các phép biến đổi tích phân
2.2.1. Biến đổi Laplace
a) Khái niệm về biến đổi Laplace
Nếu trong toán tử Lx mỗi hệ số có bậc m và toán tử có cấp n, thì Lx có
thể được viết dưới dạng mở rộng
n

m

∂r
,
ars x
r
∂x
s=0
s


Lx ≡
r=0

(2.4)

trong đó các hệ số ars là các hằng số.
Xét cùng với toán tử Lx , toán tử
n

m

∂s
ars t s ,
∂t
s=0
r

Mt ≡
r=0

khi đó
Lx (ext ) ≡ Mt (ext ),
với mỗi số hạng của đồng nhất thức này là
n

m

xt


ars xs tr .

e

r=0 s=0

19

(2.5)


Do đó phương trình
Lx (y) = 0,
được thoả mãn bởi tích phân xác định
β

ext v(t)dt,

y(x) =

(2.6)

α

cho ta hàm v(t) thoả mãn phương trình vi phân
¯ t (v) = 0
M

(2.7)


và các giới hạn của tích phân được chọn sao cho
P ext , v

t=β
t=α

= 0.

Phương trình (2.7) được gọi là biến đổi Laplace của Lx (y) = 0 và ext là
nhân của phép biến đổi từ v(t) thành y(x). Đặc trưng của phương pháp
này là có thể thu được một nghiệm cụ thể của phương trình đã cho từ
một nghiệm của (2.7). Trong trường hợp đặc biệt với m = 1, nghĩa là
các hệ số của phương trình đã cho tuyến tính đối với x, biến đổi Laplace
là một phương trình tuyến tính cấp 1 và do đó có thể lấy tích phân xác
định.
Một quan hệ thuận nghịch quan trọng tồn tại giữa các phương trình
Lx (y) = 0 và Mt (v) = 0 là biến đổi Laplace, nhân của phép biến đổi là
e−xt . Điều này suy ra ngay đồng nhất thức
Lx (e−xt ) = Mt (e−xt ).
Bởi vì

n

m

dr (xs u)
(−1) asr
,
r
dx

s=0
r

Lx (u) ≡
r=0

20


n

m

(−1)s asr

Mt (v) ≡
r=0 s=0

ds (tr v)
,
dts

nên suy ra
r s −xt
)
r d (x e
(−1)
dxr

=


s r −xt
)
s d (t e
(−1)
,
dts

bởi vì mỗi vế của phương trình bằng
e−xt xs tr − rsxs−1 tr−1 +
−

r(r − 1)s(s − 1) s−2 r−2
x t
2!

r(r − 1)(r − 2)s(s − 1)(s − 2) s−3 r−3
x t + ···}.
3!

Từ đó, nếu γ và δ được chọn thích hợp, thì
δ

e−xt y(x)dx

v(t) =

(2.8)

γ


là một nghiệm của (2.7). Liên hệ giữa (2.6) và (2.8) cho ta một ví dụ về
biến đổi ngược của tích phân xác định, nghĩa là xác định một hàm số
v(t) chưa biết trong tích phân sao cho tích phân xác định có thể biểu
diễn hàm số y(x) đã biết.
Ví dụ 2.1. Cho phương trình
d2 y
dy
Lx (y) = x 2 + (p + q + x) + py = 0.
dx
dx
Khi đó
Mt (u) ≡ t(t + 1)
Mt (v) ≡ −t(t + 1)

du
+ {p + (p + q)t} u,
dt

dv
+ {p − 1 + (p + q − 2)t} v,
dt

và
¯ t (v) = d [t(t + 1)uv] .
vMt (u) − uM
dt
21



Phương trình Mt (v) = 0 có nghiệm
v(t) = tp−1 (t + 1)q−1 ,
do đó tích phân
β

ext tp−1 (t + 1)q−1 dt

y(x) =
α

sẽ thỏa mãn phương trình Lx (y) = 0 với α và β được chọn sao cho
ext tp (t + 1)q

t=β
t=α

= 0.

Ta có thể thay −t bằng t. Khi đó tích phân trở thành
β

e−xt tp−1 (1 − t)q−1 dt

y(x) =
α

thỏa mãn Lx (y) = 0 nếu α và β thỏa mãn
e−xt tp (1 − t)q

t=β

t=α

= 0.

Cặp các giá trị thích hợp là
(i) α = 0, β = 1 (p > 0, q > 0),
(ii) α = 0, β = ∞ (x > 0, p > 0),
(iii) α = 1, β = ∞ (x > 0, q > 0),
(iv) α = −∞, β = 0 (x < 0, p > 0),
(v) α = −∞, β = 1 (x < 0, q > 0).
Vì vậy, đòi hỏi giá trị của α và β tồn tại trong tất cả các trường hợp
trừ trường hợp p và q đều âm. Đặc biệt khi p, q và x đều dương, nghiệm
tổng quát của Lx (y) = 0 có thể được viết là
∞

1

e−xt tp (1 − t)q dt + B

y=A
0

e−xt tp (1 − t)q dt,
1

22


ở đó A và B là các hằng số bất kì.
b) Xác định giới hạn của tích phân

¯ (v) = 0 có cấp m, nghiệm tổng quát
Phương trình xác định v(t) là M
của nó có dạng
v = C1 v1 (t) + C2 v2 (t) + · · · + Cm vm (t),
trong đó v1 , v2 , ..., vm là hệ nghiệm cơ bản và các hằng số C1 , C2 , ..., Cm
là tùy ý. Các hằng số này và các giới hạn α và β của tích phân đã xác
định sao cho
[P {K, v}]t=β
t=α = 0.
Ta thấy rằng từ dạng song tuyến tính (biểu thức P (u, v) là tuyến tính
đồng nhất trong u, u , ..., u(n−1) , cũng như trong v, v , ..., v (n−1) , được gọi
là song tuyến tính) có thể xác định các hằng số C1 , C2 , ..., Cm , α và β để
v(t), v (t), ..., v (m−1) (t)
triệt tiêu khi t = α và t = β. Trường hợp này không xảy ra trừ khi α và
¯ (v) = 0. Nhưng nếu α và β là những điểm
β là những điểm kì dị của M
kì dị và tồn tại một nghiệm v(t) sao cho số mũ tương ứng với những
điểm này lớn hơn m − 1, thì biểu thức dạng song tuyến tính triệt tiêu
tại các điểm α và β, do đó các giới hạn của tích phân có thể lấy là α
và β. Trường hợp này được minh họa bởi ví dụ ở phần trước. Mọi cặp
giới hạn phân biệt của tích phân, nếu tồn tại suy ra một nghiệm cụ thể
của phương trình. Trong một số trường hợp, tích phân xác định có thể
là nghiệm tổng quát còn những trường hợp khác chỉ là nghiệm riêng.
c) Biểu diễn dưới dạng tích phân xác định của hàm Bessel
23