Khóa luận tốt nghiệp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

HOÀNG THỊ BÍCH THỦY

LÝ THUYẾT CHUỖI

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

HÀ NỘI - 2012

Hoàng Thị Bích Thủy

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận này, em đã nhận
được sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của các thầy cô giáo và bạn bè sinh viên
trong khoa Toán, đặc biệt là thầy Nguyễn Văn Hùng là người trực tiếp hướng
dẫn em hoàn thành khóa luận.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn của mình tới các thầy cô trong tổ, trong
khoa và thầy Nguyễn Văn Hùng đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi trong quá
trình nghiên cứu và học tập.
Do điều kiện về thời gian và nguồn tài liệu tham khảo còn hạn chế,
chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót khi khai triển đề tài. Vì vậy, em rất

mong nhận được sự góp ý, bổ sung của các thầy cô và bạn bè để luận văn
được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Bích Thủy

Hoàng Thị Bích Thủy

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo
Nguyễn Văn Hùng, cùng với sự cố gắng của bản thân. Trong quá trình
nghiên cứu và thực hiện khóa luận em có tham khảo một số tài liệu của một
số tác giả như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan khóa luận này là kết quả nghiên cứu của riêng em.
Trong quá trình làm khóa luận, em đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Hoàng Thị Bích Thủy


Hoàng Thị Bích Thủy

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC
Trang
LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
PHẦN MỞ ĐẦU........................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài .................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................. 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................. 1
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu........................................................... 2
5. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 2
PHẦN NỘI DUNG ....................................................................................... 3
CHƯƠNG 1. CHUỖI SỐ ............................................................................. 3
1. Định nghĩa.............................................................................................. 3
2. Sự hội tụ ................................................................................................. 3
3. Chuỗi số dương ...................................................................................... 4
4. Chuỗi có số hạng với dấu bất kì.............................................................. 7
CHƯƠNG 2. CHUỖI HÀM SỐ ................................................................ 10
1. Các định nghĩa...................................................................................... 10
2. Sự hội tụ của chuỗi hàm ....................................................................... 11
3. Các tính chất của tổng chuỗi hàm ......................................................... 12
4. Chuỗi lũy thừa...................................................................................... 14
5. Chuỗi hàm lượng giác .......................................................................... 19

CHƯƠNG 3. BÀI TẬP............................................................................... 22
1. Chuỗi số ............................................................................................... 22
2. Chuỗi hàm ............................................................................................ 32
KẾT LUẬN................................................................................................. 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 59

Hoàng Thị Bích Thủy

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giải tích toán học là một trong những môn học cơ bản của chương trình
khoa Toán. Nó đóng vai trò quan trọng trong việc học tập ngành Toán. Giải
tích Toán học có nhiều ứng dụng trong nghiên cứu Toán học và trong các
ngành khoa học khác.
Bởi vậy, việc nắm vững môn học này là yêu cầu rất cần thiết phải đạt
được đối với mỗi sinh viên khoa Toán.
Trong quá trình học môn Giải tích toán học ở trường Đại học, lý thuyết
về chuỗi rất được quan tâm. Nó gồm 2 phần:
1. Lý thuyết chuỗi số
2. Lý thuyết chuỗi hàm
Lý thuyết về chuỗi số chính là sự mở rộng của lý thuyết tổng đại số phổ
thông. Mặt khác, khi nhận xét chuỗi hàm tại một điểm xác định thì chuỗi hàm
trở thành chuỗi số. Vậy mọi tính chất của tổng đại số ở phổ thông có còn
đúng với tổng vô hạn các số hạng hay không? Sự hội tụ của một tổng vô hạn
(chuỗi số) như thế nào? Đề tài này sẽ giúp chúng ta nghiên cứu và tìm hiểu về

lý thuyết chuỗi.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, cung cấp cho sinh viên
những kiến thức về môn giải tích mà nội dung chủ yếu là lý thuyết chuỗi. Từ
đó nâng cao năng lực tư duy logic đặc thù của bộ môn.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đưa ra những kiến thức về lý thuyết chuỗi
- Đưa ra một số bài tập áp dụng

Hoàng Thị Bích Thủy

-1-

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: lý thuyết chuỗi
- Phạm vi nghiên cứu: những kiến thức cơ bản của lý thuyết chuỗi
5. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận và đánh giá tổng hợp.

Hoàng Thị Bích Thủy

-2-

K34A - SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CHUỖI SỐ
1. Định nghĩa
n

Cho dãy số a1 , a2 ,..., an . Đặt An  a1  a2  ...  an   ak
k 1

n





Ký hiệu: A   ak  lim An  lim  ak và gọi
k 1

n 

n

k 1

a

k


là một chuỗi số.

k 1



Nếu dãy  An  hội tụ và lim An  A thì ta nói chuỗi
n

a

hội tụ và có

k

k 1

tổng bằng A .


Nếu dãy  An  không có giới hạn hữu hạn thì ta nói chuỗi số

a

k

phân kỳ.

k 1


n

Ta gọi an là số hạng của chuỗi số, An   ak là tổng riêng thứ n , còn
k 1

dãy  An  là dãy tổng riêng của chuỗi số.
2. Sự hội tụ
Định lí 2.1.
Nếu ta thêm vào hoặc bớt đi một số hữu hạn các số hạng của một chuỗi
nào đó thì không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi.
Nếu ta thay đổi thứ tự của một số hữu hạn số hạng của một chuỗi hội tụ
thì chuỗi mới nhận được cũng hội tụ và có cùng tổng với chuỗi ban đầu.
Định lí 2.2.


Nếu chuỗi

a

k

k 1

Hoàng Thị Bích Thủy

hội tụ thì lim an  0
n

-3-


K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Nếu lim an không tồn tại hoặc tồn tại nhưng khác không thì chuỗi
n



a

k

phân kỳ.

k 1

Định lí 2.3.




 an và

Giả sử các chuỗi

n 1

b


n

hội tụ và có tổng lần lượt là A và B ,

n 1



 và  là các hằng số thực. Khi đó,

 ( a

n

  bn ) cũng là chuỗi hội tụ và

n 1

có tổng bằng  A   B .
Định lí 2.4. (Điều kiện cần và đủ để chuỗi hội tụ )


Điều kiện cần và đủ để chuỗi

a

n

hội tụ là:   0, n0  n0 ( ) sao


n 1

cho n  n0 , p 

*

ta đều có: an 1  an 2     an p   .


Từ đó suy ra chuỗi

a

phân kỳ khi và chỉ khi tồn tại một số  0  0 để

n

n 1

với mọi n 

*

tồn tại một số p0 nguyên dương sao cho An p0  An   0 .

3. Chuỗi số dương


a


3.1. Định nghĩa: Cho chuỗi

(1)

n

n 1

Nếu mọi số hạng an đều dương thì ta gọi chuỗi (1) là chuỗi số dương.
3.2. Sự hội tụ
Định lí 3.2.1. Điều kiện cần và đủ để chuỗi số dương hội tụ là dãy tổng riêng
của nó bị chặn.
Chú ý : Định lí trên có ý nghĩa thực hành lớn. Nếu như trước muốn


xét sự hội tụ của chuỗi

a

n

chúng ta phải chỉ ra sự hội tụ của dãy các tổng

n 1

Hoàng Thị Bích Thủy

-4-


K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

riêng  An  của nó thì đối với chuỗi số dương ta chỉ cần chứng minh  An  bị
chặn trên.
Định lí 3.2.2. (Dấu hiệu so sánh)




 an và

Giả sử

n 1

 b là 2 chuỗi số dương thỏa mãn điều kiện: tồn tại
n

n 1

một số tự nhiên n0 và một hằng số C  0 sao cho an  Cbn n  n0 . Khi đó:


i) Nếu chuỗi




 bn hội tụ thì chuỗi

a

n

n 1

n 1



ii) Nếu chuỗi

hội tụ.



a

b

phân kỳ thì chuỗi

n

n

n 1


phân kỳ.

n 1



Hệ quả : Cho 2 chuỗi số dương



a

n

và

n 1

 b . Nếu n 
n

* ta có

n 1

an1 bn1
thì :

an
bn



i)



a

n

b

hội tụ nếu

n

n 1



ii)

hội tụ

n 1



b


n

a

phân kỳ nếu

n

n 1

phân kỳ

n 1



Định lí 3.2.3. Cho 2 chuỗi số dương



 an và
n 1

b

n

.

n 1


an
k.
n b
n

Giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn lim

i) Nếu 0  k   thì cả 2 chuỗi cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ.


ii) Nếu k  0 và



b

n

hội tụ thì

n 1

a

hội tụ.

n

n 1




iii) Nếu k   và

b

n

n 1

Hoàng Thị Bích Thủy



phân kỳ thì

a

n

phân kỳ.

n 1

-5-

K34A - SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

Định lí 3.2.4. (Dấu hiệu Cauchy)


Cho chuỗi số dương

a

n

, giả sử tồn tại giới hạn hữu hạn hay vô hạn

n 1

lim n an  C . Khi đó:
n

i) Nếu C  1thì chuỗi đã cho hội tụ.
ii) Nếu C  1thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Định lí 3.2.5. (Dấu hiệu D’Alembert)


Cho chuỗi số dương

a

n

. Giả sử tồn tại giới han hữu hạn hay vô hạn


n 1

an1
 d . Khi đó:
n a
n

lim

i) Nếu d  1 thì chuỗi đã cho hội tụ.
ii) Nếu d  1 thì chuỗi đã cho phân kỳ.
Chú ý: Trong các dấu hiệu Cauchy hoặc D'Alembert nếu các giới hạn
an1
không tồn tại thì ta có thể thay bằng các giới hạn trên
n a
n

lim n an hoặc lim
n

an1
) các giới hạn này luôn tồn tại và có kết luận tương tự.
n a
n

( lim n an , lim
n

Định lí 3.2.6. (Dấu hiệu tích phân)



Cho chuỗi số dương

a

n

.

n 1

Giả sử f ( x) là một hàm đơn điệu giảm và liên tục trên 1,   sao cho
x

f (n)  An , n  1,2,... Khi đó nếu tồn tại lim  f (t ) dt hữu hạn thì chuỗi
x

1



a

n

hội tụ.

n 1


Hoàng Thị Bích Thủy

-6-

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định lí 3.2.7. (Dấu hiệu Raabe)


Cho chuỗi số dương

a

(1)

n

n 1

i) Nếu tồn tại một số r  1 và một số tự nhiên n0 sao cho với mọi
n  n0 ta đều có Rn  n(

an
 1)  r  1 thì chuỗi (1) hội tụ.
an 1

ii) Nếu tồn tại số tự nhiên n0 sao cho với mọi n  n0 ta đều có Rn  1

thì chuỗi (1) phân kỳ.
Định lí 3.2.8. (Dấu hiệu Gauss)


Cho

a

n

là chuỗi số dương. Giả sử

n 1

an
 
    1n trong đó  là
an1
n n

một số dương,  n là đại lượng bị chặn với mọi n . Khi đó:
i) Nếu   1 thì chuỗi (1) hội tụ, nếu   1 thì chuỗi (1) phân kỳ.
ii) Với   1 nếu   1 thì chuỗi (1) hội tụ, nếu   1 thì chuỗi (1) phân
kỳ.
4. Chuỗi có số hạng với dấu bất kì
4.1. Chuỗi đan dấu


Định nghĩa 4.1.1. Một chuỗi số có dạng


 (1)

n 1

an trong đó các số an cùng

n 1

dấu được gọi là chuỗi đan dấu.
Định lí 4.1.1. (Dấu hiệu Leibniz)
Nếu dãy số

an 

là dãy đơn điệu giảm và lim an  0 thì chuỗi
n



 (1)

n 1

an hội tụ.

n 1

Chú ý: Trong định lí Leibniz giả thiết về tính đơn điệu giảm dần về 0
khi n   của dãy an có ý nghĩa quan trọng vì có những ví dụ chứng tỏ rằng


Hoàng Thị Bích Thủy

-7-

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp



mặc dù lim an  0 nhưng an  là dãy không đơn điệu thì chuỗi
n

 (1)

n 1

an có

n 1

thể phân kỳ.
Định lí 4.1.2. (Dấu hiệu Dirichlet)
Giả thiết:


a) Chuỗi

a


n

có dãy các tổng riêng bị chặn, tức là tồn tại một số

n 1

M  0 sao cho:
A  a1  a2  ...  an  M với mọi n
b) bn  là dãy đơn điệu giảm và lim bn  0 .
n



Khi đó chuỗi

a b

hội tụ.

n n

n 1

4.2. Hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ


Xét chuỗi




 an và lập chuỗi
n 1

a

n

.

n 1



Định lí 4.2.1. Nếu chuỗi



 an hội tụ, thì chuỗi
n 1

a

n

cũng hội tụ.

n 1




Chú ý: Điều kiện chuỗi

a

n

hội tụ chỉ là điều kiện đủ để cho chuỗi

n 1



a

n

hội tụ. Điều ngược lại có thể không đúng.

n 1

Định nghĩa 4.2.1.


a) Nếu chuỗi



 an hội tụ, thì chuỗi
n 1


a

n

được gọi là chuỗi hội tụ

n 1

tuyệt đối.

Hoàng Thị Bích Thủy

-8-

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp



b) Nếu chuỗi



 an hội tụ nhưng chuỗi

a


n 1

n

phân kỳ, thì chuỗi

n 1



a

n

được gọi là hội tụ có điều kiện (hay bán hội tụ).

n 1

Định lí 4.2.2. (Dirichlet)


Giả sử



 an là chuỗi hội tụ tuyệt đối;
n 1

:




là một song ánh trong đó



a

n

S.

n0

là tập số tự nhiên. Khi đó chuỗi



 a (n) cũng hội tụ tuyệt đối và
n0

 a

(n)

S

n0

Định lí 4.2.3. (Định lí Riemann)



Cho chuỗi hội tụ không tuyệt đối

a

n

 a1  a2  ...  an  ...

n 1

Khi đó với số L cho trước (hữu hạn hay vô hạn), ta có thể hoán vị các
số hạng của chuỗi số để nhận được một chuỗi có tổng bằng L .

Hoàng Thị Bích Thủy

-9-

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

CHƯƠNG 2. CHUỖI HÀM SỐ
1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1.1
Giả sử f1 , f 2 ,..., f n ,... là một dãy các hàm số xác định trên tập hợp
X


. Điểm x0  X được gọi là điểm hội tụ của dãy hàm số ấy nếu dãy số

 f n ( x0 ) hội tụ. Tập hợp những điểm hội tụ của dãy hàm số  f n  được gọi là
tập hợp hội tụ của nó.
Như vậy, nếu dãy hàm số  f n  hội tụ tới hàm số f trên tập hợp X , thì
tại mỗi điểm x  X , với mọi số   0 cho trước, luôn tìm được một số
n0  sao cho với mọi n  n0 ta đều có f n ( x)  f ( x)   .

Định nghĩa 1.2
Cho dãy hàm un  cùng xác định trên 1 tập X 

. Chuỗi hàm là biểu



thức dạng u1 ( x)  u2 ( x)  ...  un ( x)  ...   un ( x)

(1)

n 1



Nếu tại x0  X chuỗi số

 u ( x ) hội tụ thì ta nói
n

0


x0 là điểm hội tụ của

n 1



chuỗi hàm (1), nếu

 u ( x ) phân kỳ thì ta nói chuỗi hàm (1) phân kỳ tại x
n

0

0

.

n 1

Tập X *  X gồm tất cả các điểm hội tụ của (1) gọi là miền hội tụ của
(1).
Giả sử (1) hội tụ trên miền X *  X về S ( x) thì S ( x) gọi là tổng của (1)
và ký hiệu:


S ( x )   un ( x )
n 1

Hoàng Thị Bích Thủy


- 10 -

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Khi đó biểu thức rk ( x )  S ( x)  Sk ( x) gọi là số dư thứ k của chuỗi (1),


 u ( x) .

lim rk ( x)  0 và rk ( x) 
k 

n

n  k 1


Chuỗi hàm

 u ( x) được gọi là hội tụ đều trên
k

X nếu với mọi   0 tồn

k 1

tại số tự nhiên n0  n0 ( ) không phụ thuộc vào x sao cho khi n  n0 thì



rn ( x) 

 u ( x)  

với mọi x  X

k

k  n 1

Từ định nghĩa suy ra rằng nếu chuỗi hàm hội tụ đều trên tập X thì nó
cũng hội tụ trên tập đó, điều ngược lại chưa chắc đúng.
2. Sự hội tụ của chuỗi hàm
Định lí 2.1. (Điều kiện cần và đủ Cauchy)


Chuỗi hàm

 u ( x) hội tụ đều trên tập
k

X khi và chỉ khi với   0 cho

k 1

trước tồn tại số tự nhiên n0  n0 ( ) (không phụ thuộc vào x ) sao cho với mọi
nm


 u ( x)   với mọi x  X .

m nguyên dương đều xảy ra

k

k  n 1

Định lí 2.2. (Dấu hiệu Weierstrass)


Cho chuỗi hàm số

 u ( x)
n

gồm các hàm un xác định trên tập X . Giả

n 1

thiết tồn tại một dãy số dương cn  sao cho
a) un ( x)  cn x  X , n 

*



b) Chuỗi số

c


n

hội tụ

n 1



Khi đó chuỗi hàm

 u ( x) hội tụ đều trên X .
n

n 1

Hoàng Thị Bích Thủy

- 11 -

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định lí 2.3. (Dấu hiệu Dirichlet)
Cho 2 dãy hàm an  ,bn  cùng xác định trên tập X . Giả thiết


a) Dãy tổng riêng An ( x) của chuỗi hàm


 a ( x)
n

bị chặn đều trên X có

n 1

n

nghĩa là tồn tại một số M  0 sao cho: An ( x ) 

 a ( x)  M
k

n , x  X

k 1

b) Dãy hàm bn  đơn điệu có nghĩa là với mỗi x  X dãy bn ( x ) là dãy số
đơn điệu và dãy hàm bn  hội tụ đều trên X đến không. Khi đó chuỗi hàm


 a ( x)b ( x) hội tụ đều trên
n

n

X.


n 1

Định lí 2.4. (Dấu hiệu Abel)
Cho 2 dãy hàm an  ,bn  cùng xác định trên tập X . Giả thiết


a) Chuỗi hàm

 a ( x) hội tụ đều trên X
n

n 1

b) Dãy hàm bn  đơn điệu với mọi x và bị chặn đều có nghĩa là với
mọi x  X dãy số bn ( x ) là dãy đơn điệu và tồn tại số M  0 sao cho
bn ( x )  M n 

*

, x  X .



Khi đó chuỗi

 a ( x)b ( x) hội tụ đều trên X .
n

n


n 1

3. Các tính chất của tổng chuỗi hàm
3.1. Tính liên tục
Định lí 3.1.1.


Cho chuỗi hàm

 u ( x) . Giả thiết rằng:
n

n 1

a) un là các hàm liên tục trên tập X .

Hoàng Thị Bích Thủy

- 12 -

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp



b) Chuỗi hàm

 u ( x) hội tụ đều trên X đến tổng S ( x) .

n

n 1

Khi đó S là một hàm liên tục trên X .
Từ định lí ta thấy: Nếu chuỗi hàm số có các số hạng liên tục mà hội tụ đến
một hàm số gián đoạn trên X thì chuỗi hàm số ấy hội tụ không đều trên X .
Định lí 3.1.2.
Giả thiết rằng:


 u ( x) hội tụ trên  a, b đến tổng S ( x) .

a) Chuỗi hàm

n

n 1

b) un là các hàm liên tục trên  a, b  và un ( x)  0 (hoặc un ( x)  0 ) với
mọi x   a, b  n  1,2,...
c) S là hàm liên tục trên  a, b .


Khi đó chuỗi hàm

 u ( x) hội tụ đều trên  a, b
n

n 1


Hệ quả : Nếu dãy

 f n  là dãy hàm đơn điệu các hàm liên tục hội tụ đến một

hàm f liên tục trên  a, b  thì dãy hàm đó hội tụ đều trên  a, b 
3.2. Tính khả tích


Định lí 3.2.1. Cho chuỗi hàm

 u ( x) . Giả sử rằng:
n

n 1

a) un là các hàm khả tích trên  a, b  n  1,2,..


b) Chuỗi hàm

 u ( x) hội tụ đều trên  a, b và có tổng là S ( x) .
n

n 1

Khi đó:
i) S là hàm khả tích trên  a, b 
b


 b

ii)  S ( x)dx    un ( x) dx
a

n 1 a

Hoàng Thị Bích Thủy

- 13 -

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

3.3. Lấy đạo hàm từng số hạng


Định lí 3.3.1. Cho chuỗi hàm

 u ( x) .
n

n 1

Giả sử rằng:
a) Chuỗi hàm hội tụ tại một điểm x0 nào đó thuộc  a, b 
b) un là các hàm khả vi trên  a, b  n  1,2,..



c) Chuỗi đạo hàm

 u ( x) hội tụ đều trên  a, b  và có tổng là hàm g ( x)
n

n 1

Khi đó:


i) Chuỗi hàm

 u ( x) hội tụ đều trên  a, b  và có tổng là S ( x)
n

n 1

ii) S là hàm khả vi trên  a, b  và S ( x)  g ( x) x   a, b 
4. Chuỗi lũy thừa
4.1. Định nghĩa


Chuỗi lũy thừa là một hàm dạng

 a (x  x )
n

0


n

trong đó x0 , a1 , a2 ,... là

n0

những số thực.
Điểm x0 được gọi là tâm của chuỗi lũy thừa. Chuỗi lũy thừa luôn hội
tụ tại x  x0 .


Nếu đặt t  x  x0 thì ta có thể đưa chuỗi lũy thừa về dạng

a t
n

n

,

n0

chuỗi có tâm tại t  0 .
4.2. Miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa


Định lí 4.2.1. Nếu chuỗi lũy thừa

a x
n


n

hội tụ tại x  x0  0 thì nó hội tụ

n0

tuyệt đối tại mọi x với x  x0 .

Hoàng Thị Bích Thủy

- 14 -

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định lí 4.2.2. (Định lí Abel)


a x

Cho chuỗi lũy thừa

n

n

. Khi đó tồn tại một số R : 0  R   sao


n0

cho


a) Chuỗi

a x

n

n

hội tụ trong khoảng   R, R  và hội tụ đều trong mỗi

n0

đoạn   r , r  với 0  r  R .


a x

b) Tại mọi x mà x  R chuỗi

n

n

phân kỳ.


n0

Chú ý : Số thực R  0 tồn tại theo định lí trên được gọi là bán kính hội tụ của
chuỗi lũy thừa, còn khoảng   R, R  được gọi là khoảng hội tụ của chuỗi lũy
thừa.


Chuỗi

 a (x  x )
n

0

n

có khoảng hội tụ là  x0  R, x0  R 

n0



Nếu chuỗi

 a (x  x )
n

0


n

chỉ hội tụ tại một điểm duy nhất x  x0 , thì ta

n0

nói là phân kỳ hầu khắp nơi và bán kính hội tụ là R  0 , khoảng hội tụ suy
biến thành một điểm x  x0 .
Nếu R   thì ta nói chuỗi lũy thừa hội tụ khắp nơi.
Định lí 4.2.3.


Cho chuỗi lũy thừa

a x
n

n

. Giả sử rằng lim n an   (hoặc

n0

lim

an1
  ). Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa được tính như sau:
an

Hoàng Thị Bích Thủy


- 15 -

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

1
khi 0    


R   khi   0
0
khi   



4.3. Các tính chất của tổng chuỗi lũy thừa
Định lí 4.3.1. (Tính liên tục)


Giả sử chuỗi lũy thừa

a x

n

n


có bán kính hội tụ R  0 , khi đó tổng

n0

S ( x) của nó là một hàm liên tục trong khoảng hội tụ   R, R  .

Định lí 4.3.2. (Tích phân từng số hạng)


Giả sử chuỗi lũy thừa

a x
n

n

có bán kính hội tụ R  0 . Khi đó tổng

n0

S của nó là hàm khả tích trên mọi đoạn  a, b nằm trong khoảng hội tụ
b

b



  R, R  và  S ( x)dx   an  x n dx
a


n 0

a

Định lí 4.3.3. (Tính khả vi và đạo hàm từng số hạng)


Giả sử chuỗi lũy thừa

a x
n

n

có bán kính hội tụ R  0 và

n0



S ( x )   an x n , x    R , R 
n 0

Khi đó:


a) Chuỗi lũy thừa

 na x
n


n 1

nhận được bằng cách đạo hàm từng số

n0

hạng của chuỗi lũy thừa đã cho, cũng có bán kính hội tụ là R .

Hoàng Thị Bích Thủy

- 16 -

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

b) Tổng S là hàm khả vi trong khoảng hội tụ

  R, R 

và



S ( x)   nan x n
n 0

4.4. Khai triển hàm thành chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 4.4.1.
Hàm số S ( x) gọi là khai triển được thành chuỗi hàm lũy thừa trên


  R, R  nếu tồn tại một chuỗi hàm lũy thừa

a x
n

n

hội tụ và có tổng là

n0

S ( x) trên   R, R  .


S ( x) là tổng của

a x

n

n

thì S ( x) phải là hàm có đạo hàm mọi cấp trên

n0




miền hội tụ của chuỗi

a x
n

n

.

n0

Định lí 4.4.1.
Điều kiện cần để hàm số S ( x) khai triển được thành chuỗi lũy thừa


a x
n

n

trên   R, R  là S ( x) có đạo hàm mọi cấp trên   R, R  và S ( k ) (0)  k !ak

n0

( k  0,1,...)

Định lí 4.4.2.
Nếu hàm số S ( x) có đạo hàm mọi cấp trên   R, R  và tìm được một số


c  0 sao cho S ( k ) ( x)  c x    R, R  , k 

thì S ( x) khai triển được



thành

a x
n

n

.

n0

Định nghĩa 4.4.2.
Giả sử f là một hàm khả vi vô hạn trong một lân cận nào đó của
điểm x0 , thì chuỗi

Hoàng Thị Bích Thủy

- 17 -

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp





n0

f ( n ) ( x0 )
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 ) n  f ( x0 ) 
( x  x0 )    
( x  x0 ) n  
n!
1!
n!

Được gọi là chuỗi Taylor của hàm số f ( x) tại điểm x .
Nếu x0  0 , thì chuỗi



n0

f ( n ) (0) n
f (0)
f ( n ) (0) n
x  f (0) 
x    
x   
n!

1!
n!

Được gọi là chuỗi Mac-Laurin của hàm f ( x) .

4.5. Khai triển Taylor của một số hàm
x2
xn
e  1  x        
2!
n!
x

1 1
1
e  1      
1! 2!
n!

x3 x5
x 2 n 1
n
sin x  x       (1)
  
3! 5!
(2n  1)!
2n
x2 x4 x6
n x
cos x  1        ( 1)

  
2! 4! 6!
(2n)!

ln x  ( x  1) 

( x  1) 2 ( x  1)3 ( x  1) 4
( x  1) n


    (1) n
 
2
3
4
n

ln(1  x)  x 

x 2 x3
xn
     (1) n1   
2 3!
n

2 n 1
x3 x5 x7
n x
arctan x  x        (1)
 

3 5 7
2n  1

x 2 ln 2 2 x3 ln 3 2
2  1  x ln 2 

  
2!
3!
x

1 1 1
1
1
  ( x  2)  ( x  2) 2  ( x  2)3   
x 2 4
8
16

Hoàng Thị Bích Thủy

- 18 -

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

(1  x)  1   x 


 (  1)
2!

x 2    

 (  1)...(  n  1)
n!

  

5. Chuỗi hàm lượng giác
5.1. Định nghĩa
Định nghĩa 5.1.1
a0 
  ( an cos nx  bn sin nx) trong đó a0 , an , bn
2 n 1

Chuỗi hàm có dạng

( n  1, 2,...) là những số thực, được gọi là chuỗi hàm lượng giác.

Định nghĩa 5.1.2
Giả sử f là hàm khả tích trên đoạn   ,   và tuần hoàn chu kì 2 .
Khi đó các hệ số an , bn được xác định theo công thức
an 

1








f ( x)cos nxdx

bn 



n  0,1, 2,...

1







f ( x)sin nxdx



n  1,2,...

được gọi là hệ số Fourier của hàm f , còn chuỗi hàm lượng giác
a0 
  ( an cos nx  bn sin nx)
2 n 1


được gọi là chuỗi Fourier của hàm f .
5.2. Định lí về sự hội tụ của chuỗi Fourier
Nếu f là hàm xác định trên toàn trục số, tuần hoàn với chu kì 2 và
trơn từng khúc trên mọi đoạn hữu hạn bất kì thì chuỗi Fourier tương ứng với
f hội tụ tại mọi điểm x0 và có tổng

S ( x0 ) 

f ( x0  0)  f ( x0  0)
2

Đặc biệt nếu f liên tục tại x0 thì S ( x0 )  f ( x0 )

Hoàng Thị Bích Thủy

- 19 -

K34A - SP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

5.3. Khai triển hàm thành chuỗi Fourier
5.3.1. Thác triển chẵn và thác triển lẻ
Nếu hàm số y  f ( x) là hàm chẵn thì ta có
a0 

an 


bn 

1


1


1





2



 f ( x)dx    f ( x)dx



0



2




 f ( x)cos nxdx    f ( x)cos nxdx



0



 f ( x)sin nxdx  0



a0 
Do đó: f ( x)    an cos nx
2 n 1

Nếu hàm số y  f ( x) là hàm lẻ thì ta có:
a0  0
an 

bn 

1


1








f ( x)cos nxdx  0







f ( x)sin nxdx 



2





 f ( x)sin nxdx
0



Do đó : f ( x)   bn sin nx
n 1

5.3.2. Khai triển Fourier trong đoạn   ,  

Giả sử f ( x) xác định và liên tục trong đoạn   ,   . Đặt:
a0 

an 

1


1





 f ( x)dx





 f ( x)cos nxdx



Hoàng Thị Bích Thủy

- 20 -

K34A - SP Toán



Khóa luận tốt nghiệp

bn 



1

 f ( x)sin nxdx



( n  1, 2,...)



Khi đó: f ( x) 

a0 
  ( an cos nx  bn sin nx)
2 n1

Đây là chuỗi Fourier của một hàm f * ( x ) tuần hoàn với chu kì 2 và
f * ( x)  f ( x ), x    ,   .

5.3.3. Khai triển Fourier trong đoạn  l , l 
Nếu hàm số y  f ( x) cho trên đoạn bất kì  l , l  , ta đặt x 

ly




. Khi đó

ta có khai triển của hàm số trong đoạn  l , l 
f ( x) 

a0 
n x
n x
  an cos
bn sin
2 n1
l
l

Trong đó các hệ số Fourier được tính theo công thức sau
l

1
a0   f ( x) dx
l l
l

1
n x
an   f ( x)cos
dx
l l

l

n  1,2,...

l

1
n x
bn   f ( x )sin
dx
l l
l

Hoàng Thị Bích Thủy

n  1,2,...

- 21 -

K34A - SP Toán