Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
........................

NGUYỄN THỊ HUỆ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Giải tích

HÀ NỘI, 2012
Nguyễn Thị Huệ

1

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
........................

NGUYỄN THỊ HUỆ

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành : Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI, 2012

Nguyễn Thị Huệ

2

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
Lời cảm ơn

Sau một thời gian miệt mài nghiên cứu cùng sự giúp đỡ của các thầy cô
giáo và các bạn sinh viên đến nay khóa luận của em đã được hoàn thành.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến Tiến Sĩ Nguyễn Văn
Hùng đã hướng dẫn và giúp đỡ em tận tình trong quá trình chuẩn bị và hoàn
thành khóa luận.
Em xin trân thành cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện
cho em có cơ hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học. Đồng thời em xin

trân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu của các thầy cô trong tổ giải tích, sự
động viên giúp đỡ, đóng góp ý kiến của bạn bè đã dành cho em trong quá
trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Vì đây là lần đầu tiên em được làm quen với công việc nghiên cứu và
kiến thức của bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi những thiếu sót.
Em rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa
luận của em được hoàn thiện hơn.

Em xin trân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Huệ

Nguyễn Thị Huệ

3

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
Lời cam đoan

Em xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng em.
Trong khi nghiên cứu, em đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của
các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.

Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì công
trình nào khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2012
Sinh viên

Nguyễn Thị Huệ

Nguyễn Thị Huệ

4

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
Mục lục

Lời cảm ơn……………………………………………………………………1
Lời cam đoan…………………………………………………………………2
Mở đầu………………………………………………………………………..4
Nội dung
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản………………………………………….6
1.1 Số gần đúng và sai số…………………………………………………...6
1.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc…………………………………………...8
1.3. Sai số tính toán…………………………..………………………….…..9
1.4. Bài toán ngược của bài toán tham số…………………………………..12
Chương 2: Lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính………………………...13

2.1. Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính…………………………13
2.2. Một số khái niệm………………………………………………………..14
2.3. Nghiệm và điều kiện tồn tại nghiệm………………………...………….14
2.4. Hệ n phương trình n ẩn…………………………………………………15
2.5. Phân tích sai số………………………………………………………….17
2.6. Chuẩn của ma trận và chuẩn củavec tơ…………………………………19
Chương 3: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính………..….20
3.1.

Phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính………………20

3.1.1. Phương pháp Gauss…………………………………………………..20
3.1.2. Phương pháp Cholesky……………………………………………….27
3.1.3. Phương pháp trực giao hóa…………………………………………...31
3.2.

Phương pháp gián tiếp giải hệ phương trình tuyến tính…..…………..34

3.2.1. Phương pháp lặp đơn…………………………………………..……..34
3.2.2. Phương pháp Jacobi…………………………………………………..40
3.2.3. Phương pháp Seidel…………………………………………………..42
3.2.4. Phương pháp Gauss-Seidel……………………………………..…….45
Chương 4: Bài tập áp dụng…………………………………………………..48
Kết luận……………………………………………………...………………63
Tài liệu tham khảo…………………………………………………………..64

Nguyễn Thị Huệ

5


Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Các bài toán ứng dụng trong kinh tế kĩ thuật thường là không đẹp và
không thể giải theo các phương pháp tính đúng. Người ta cần các phương
pháp giải có tính chất thuật giải và nếu các kết quả là gần đúng thì sai số phải
“đủ nhỏ” (thường là hội tụ về 0). Cho dù các phương pháp đó đòi hỏi lượng
phép tính lớn, thì với máy tính bài toán dễ dàng được giải quyết. Một trong
các ngành học nghiên cứu các phương pháp như trên là giải tích số.
Phương pháp giải tích số có ý nghĩa rất lớn trong đại số tuyến tính, đặc
biệt là đối với việc giải hệ phương trình tuyến tính. Khi số các phương trình
lớn các phương pháp truyền thống nhiều khi gặp khó khăn, chúng ta không
thể giải quyết một cách chính xác mà chỉ có thể đưa ra lời giải gần đúng cho
một bài toán. Chính vì vậy em đã chọn đề tài “ Hệ phương trình tuyến tính”
với nội dung chủ yếu là tìm những phương pháp giải gần đúng hệ n phương
trình tuyến tính n ẩn để làm khóa luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu các kiến thức về hệ phương trình tuyến tính.
-Làm rõ các phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: kiến thức về hệ phương trình tuyến tính.
Phạm vi nghiên cứu: kiến thức cơ bản về sai số; phương pháp giải trực
tiếp; gián tiếp hệ phương trình tuyến tính.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày lý thuyết cơ bản về hệ phương trình tuyến tính.
- Đề xuất các phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính.

Nguyễn Thị Huệ

6

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu sử dụng các lí luận, các công cụ toán học.
Nghiên cứu sách tham khảo, các tài liệu liên quan.
Nghiên cứu lí luận, tổng hợp, đánh giá.
6. Cấu trúc của khóa luận
Gồm 3 phần:
Phần I: Mở đầu
Phần II: Nội dung
Gồm 4 chương
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản
Chương 2: Lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính
Chương 3: Các phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính
Chương 4: Bài tập áp dụng

Nguyễn Thị Huệ


7

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
NỘI DUNG

Chương 1: Một số kiến thức cơ bản

1.1. Số gần đúng và sai số
1.1.1 Định nghĩa
Trong thực tế tính toán ta thường không biết số đúng a* mà chỉ biết số
đủ gần nó là a . Ta nói a là số gần đúng của a* , nếu a không sai khác a*
nhiều.
Đại lượng   a*  a được gọi là sai số thực sự của a .
Do không biết a* nên  cũng không biết nhưng ta có thể tìm được số
a  0 sao cho a*  a  a (1.1) hay a  a  a*  a  a

Số a thỏa mãn (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a .
Tỉ số  a 

a
được gọi là sai số tương đối của a .
a

Ví dụ 1.1.1. Cho số a*   ; a  3.14


3.14  a*  3.15 ; a  0.01
3.14  a *  3.142 ; a  0.002

Trong phép đo nói chung sai số tuyệt đối càng nhỏ càng tốt.
Ví dụ 1.1.2. Đo độ dài hai đoạn thẳng AB, CD ta được a  10cm và b  1cm ;
với a  b  0.01. Khi đó ta có  a  0,1% còn  b  1% hay

 b  10 a .
Hiển nhiên rằng phép đo a chính xác hơn phép đo b mặc dù

a  b. Như vậy độ chính xác của phép đo phản ánh qua sai số tương đối.
1.1.2. Sai số thu gọn
Xét số thập phân a được biểu diễn dưới dạng

a  (  p .10 p   p1.10 p 1  ...   p q .10 p q )
Nguyễn Thị Huệ

8

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Trong đó 0   i  9 ;  p > 0 ; p  1  i  p  q
 Nếu p  q  0 thì a là số nguyên.
 Nếu   p  q  0 thì a là số thập phân có phần lẻ gồm
p  q chữ số.


 Nếu p  q    thì a là số thập phân vô hạn.
Ví dụ 1.1.2.1.

2403  2  103  4  102  0  101  3  100
Ta thấy p  q  0 nên 2403 là số nguyên.
Ví dụ 1.1.2.2.
25.134  2  101  5  10 0  1  10 1  3  10 2  4  10 3

Ta thấy p  q   3 nên a  25.134 là số thập phân có phần lẻ gồm
3 chữ số.
 Thu gọn a là vứt bỏ một số các chữ số bên phải của a để được số
ngắn gọn hơn nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết .
 Quy tắc thu gọn
Giả sử : a   (  p .10 p  ...   j .10 j  ...   p q .10 pq )
Giả sử ta muốn giữ lại đến hàng thứ j, gọi phần bỏ đi là M. Khi đó ta
được số thu gọn là :

a  (  p .10 p   p 1.10 p 1  ...   j .10 j )
  j
Trong đó  j  
  j  1

0  M
 0.5  10

j

 0.5  10 j 
 M  10 j 


Nếu M  0.5  10 j thì  j   j nếu  j là chẵn và  j   j 1 nếu  j lẻ
vì tính toán với số chẵn tiện hơn.

Ví dụ 1.1.2.3.



3.141592

Nguyễn Thị Huệ

3.14159

3.1416

9

3.142

3.14

3.1

3.

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp


Khoa Toán

 Giả sử sai số thu gọn của a là a . Ta có a  a  a .
a *  a  a *  a  a  a  a *  a  a  a  a   a

Từ đánh giá trên ta có nhận xét : Khi thu gọn số a thì sai số tuyệt đối
của a với a* lớn hơn hoặc bằng sai số tuyệt đối của a và a* .
1.2. Chữ số có nghĩa, chữ số chắc
1.2.1. Chữ số có nghĩa
Chữ số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và cả chữ số 0 nếu nó kẹp giữa
hai chữ số có nghĩa hoặc nó đại diện cho hàng được giữ lại.
Ví dụ 1.2.1.
 = 0.000870190
Bốn chữ số 0 đầu tiên là những chữ số không có nghĩa, toàn bộ những
chữ số còn lại là những chữ số có nghĩa.
1.2.2. Chữ số chắc
Xét số :

a   (  p .10 p  ...   j .10 j  ...   pq .10 p q )
Chữ số  j được gọi là chữ số chắc nếu a    10i . Với  là số cho
trước. Tham số  được chọn để một chữ số vốn đã chắc sau khi thu gọn vẫn
là chữ số chắc.
Ví dụ 1.2.2.

a  1.70134 ;  a  0.001  10 3
Khi đó

a  1  100  7  101  0  102  1  103  3  104  4  105
Chọn   1 thì a có bốn chữ số chắc là 1; 7; 0; 1 còn lại là hai chữ số

không chắc là 3; 4.
Chọn   0.5 thì a có ba chữ số chắc là 1; 7; 0 còn 1; 3; 4 là ba chữ
số không chắc.
Ta xét việc chọn  . Giả sử a được viết dưới dạng :

Nguyễn Thị Huệ

10

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

a   (  p .10 p  ...   j .10 j  ...   pq .10 p q )
Ta chọn  sao cho sau khi thu gọn đến bậc (i+1) thì  i 1 vẫn là chắc.
Muốn vậy phải có :

a  a    10i 1
  10 i  0.5  10 i 1    10 i 1

  5  10  

 

5
9


Trong thực tế người ta chọn  = 1 hoặc  = 0.5
Nếu  = 1 người ta nói chữ số là chắc theo nghĩa rộng, còn khi  = 0.5
người ta nói chữ số là chắc theo nghĩa hẹp.
Lưu ý: Khi viết số gần đúng ta chỉ nên giữ lại một hai chữ số không
chắc để khi tính toán sai số sai số chỉ tác động lên những chữ số không chắc
mà thôi.
1.3. Sai số tính toán
Giả sử ta phải tính đại lượng y theo công thức y  f ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) .
Gọi x*  ( x1* ; x2* ; ... ; xn* ) ; y*  f ( x* ) là các giá trị đúng. Giả sử ta
không biết các giá trị đúng này, mà ta chỉ biết các giá trị x  ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) ;

y  f ( x) lần lượt là các giá trị gần đúng của x* và y* .
Giả sử xi ;  xi (với i  1, n ) là các sai số tuyệt đối và tương đối của
các đối số. Khi đó sai số của hàm y  f ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) được gọi là sai số
tính toán.
Giả sử f ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) là hàm số khả vi liên tục thì:

y  y  y* 

f ( x1 ; x2 ; ... ; xn )  f ( x1* ; x2* ; ... ; xn* )

n

=  f x'i ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) xi  xi*
1

Nguyễn Thị Huệ

11


Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Với x  ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) là điểm giữa x và x* . Vì f khả vi liên tục và
n

xi  xi  xi* khá bé nên y 


i 1

y

y

Vậy  y 

n


i 1

f x'i ( x) xi với x  ( x1 ; x2 ; ... ; xn )


ln f ( x )

xi

xi

Và cũng có thể viết  y   ln y
1.3.1. Sai số của phép toán cộng, trừ
n

Nếu y 

thì yx' i  1 với i  1, n .

x

i

i 1

Vậy ta có :
n

y 

n


i 1

f x'i xi  x1  x2  ...  xn 


 x

i

i 1

n

Chú ý rằng nếu tổng đại số y 

 x bé về giá trị tuyệt đối thì
i

i 1

y
lớn;
y

phép tính sẽ kém chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa đến
hiệu của hai số gần nhau.
Ví dụ 1.3.1.

y 
Ta có: y 

2.01 

0.01
2.01  2.00


2.00

0.01
1.42  1.41

0.0035

Nhận xét: Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối
của các số hạng thành phần.
1.3.2. Sai số của phép toán nhân, chia
 Sai số của phép nhân
Giả sử y  x1.x2 ....xn
Ta có y  x1 . x2 .... xn
ln y  ln x1  ln x2  ...  ln xn

Nguyễn Thị Huệ

12

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

  ln y   ln x1   ln x2  ....   ln xn

 y   x1   x2  ...   xn

 y  y  y

Vậy sai số tương đối của một tích bằng tổng các sai số tương đối của
các số hạng thành phần.
 Sai số của phép chia
Xét y 
Ta có

x1
x2

y
1 y
x
;

  12
x1
x2 x2
x2

Suy ra y 

y 
=

1
x
x1   12 x2 ;
x2

x2
x
y
1
x
 ( x1  12 x2 ) : 1
y
x2
x2
x2
1
1
x1 
x2   x1 +  x2
x1
x2

1.3.3. Sai số của phép tính lũy thừa
Xét y  x

(  R, x  0) , khi đó  y    x

Như vậy nếu  > 1 thì độ chính xác là giảm đi, nếu  <1 thì độ chính
xác tăng lên. Nếu  = 1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác là không đổi,
nếu  

1
, k  N * (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.
k


1.3.4. Sai số của phép tính logarit
Xét y  ln x ; ta có: y   x
Ví dụ 1.3.4. Biết diện tích hình vuông S  12.34 và S  0.01 . Hãy tính cạnh
của hình vuông.
Gọi x là cạnh của hình vuông, thì x 

Nguyễn Thị Huệ

13

S

3.5128.

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp
Xét  S 

Khoa Toán

S
S

0.008. Vậy x = 3.5128  0.0004

1.4  103 ,

từ đó ta thấy rằng x có 4 chữ số chắc.

1.4. Bài toán ngược của bài toán tham số
Giả sử đại lượng y được tính theo công thức y  f ( x1 ; x2 ; ... ; xn ) .
Cần tính xi để y   ;    0  cho trước. Theo công thức tính toán ta
phải có :
f
xi

n

y 


i 1

Suy ra xi 

xi  


n f x'i

Kết luận: Nếu các biến xi có vai trò đều nhau thì ta có thể lấy
xi 


n f x'i

Khi đó y   .
Ví dụ 1.4.1. Một hình trụ có chiều cao h  3m , bán kính đáy R  2m . Tính


h, R , số  để thể tích chính xác đến 0.1m 3 .
Ta có V   R 2 h , nên có :
Vậy  
R 

V
V
V
 R2h ;
 2 Rh ;
  R2 .

R
h

0.1
0,1
 0.003 ; h 
 0.003 ;
3.12
3 .4
0.1
 0.001
3.2 .2.3

Chương 2: Lý thuyết về hệ phương trình tuyến tính
2.1. Các dạng biểu diễn hệ phương trình tuyến tính
2.1.1. Dạng tổng quát
Xét hệ m phương trình bậc nhất đối với n ẩn x1 ; x2 ; x3 ; ... ; xn


Nguyễn Thị Huệ

14

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

 a11 x1  a12 x2  ...
 a x  a x  ...
 21 1
22 2

...
... ...
 ... ...
am1 x1  am 2 x2  ...



a1n xn



b1




a2 n xn



b2

...

...

... ...



amn xn

 bm

(2.1.1)

Hệ này được gọi là một hệ phương trình tuyến tính ở dạng tổng quát.
. aij  được gọi là hệ số của các ẩn x j ( i  1, m ; j  1, n ).
. bi  ( i  1, m ) gọi là hệ số tự do.
 a11
a
21
A= 
 ...


 am1

a12
a22
...
am 2

 a11

a
A   21
 ...

 am1

a12
a22
...
am 2

... a1n 
... a2 n 
... ... 

... amn 

là ma trận hệ số của hệ (2.1.1)

... a1n b1 
... a2 n b2 

là ma trận mở rộng của hệ (2.1.1)
... ... ... 

... amn bm 

2.1.2. Dạng ma trận
Đưa vào các ma trận cột
 x1 
 b1 
x 
b 
2
T
x     ( x1 , x2 , x3 , ... , xn ) ; b   2   (b1 , b 2 , b 3 , ... , b m ) T

  
 
 
 bn 
 xn 

Ta có hệ (2.1.1) tương đương với một phương trình ma trận:

Ax = b

(2.1.2)

2.1.3. Dạng vectơ
Ta kí hiệu a j là vectơ cột thứ j của ma trận A và xem x , b cũng là các
vectơ cột, tức là:

aj 

a

x 

 x ; x ; ... ; x 

1j

; a2 j ; ... ; amj 

1

2

n

b  (b1; b2 ; ... ; bm )

Nguyễn Thị Huệ

15

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán


Khi đó hệ một có thể viết dưới dạng một phương trình vectơ:
(2.1.3)

a1 x1  a2 x2  ...  an xn  b

2.2. Một số khái niệm
Hệ phương trình tuyến tính (2.1.1) được gọi là :
 Thuần nhất nếu tất cả các bi  0 ( i  1, m )
 Không thuần nhất nếu có ít nhất một bi  0 ( i  1, m ).
 Tương thích nếu hệ có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại một bộ giá
trị của x1 ; x2 ; x3 ; ... ; xn mà khi thay vào sẽ có một đồng nhất thức.
 Hệ không tương thích nếu không có một nghiệm nào.
 Hệ xác định nếu hệ chỉ có một nghiệm duy nhất.
 Hệ bất định nếu tồn tại quá một nghiệm.
2.3. Nghiệm và điều kiện tồn tại nghiệm
2.3.1. Nghiệm
Một vectơ n chiều x 

 c ; c ; c ; ... ; c 
1

2

3

n

được gọi là nghiệm của hệ


(2.1.1) nếu ta thay các ẩn x j bởi các số c j , ( j  1, n ) vào tất cả các phương
trình của hệ ta được các đẳng thức đúng.
Hai hệ phương trình tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.
2.3.2. Định lí về sự tồn tại nghiệm
Định lí (Croncke-capelly)
Điều kiện cần và đủ để một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là hệ
đó có hạng của ma trận mở rộng bằng hạng của ma trận hệ số.
Chứng minh

ur ur ur
ur
Ta kí hiệu A =  a1 ; a2 ; a3 ; ... ; an  là hệ vectơ cột của ma trận A

ur ur ur
ur r
B =  a1 ; a2 ; a3 ; ... ; an ; b  là hệ vectơ cột của ma trận bổ sung A của
hệ (2.1.1)
U là không gian sinh bởi hệ vectơ A , W là không gian sinh bởi hệ
vectơ B.
Vì A  B nên U  W.

Nguyễn Thị Huệ

16

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp


Khoa Toán

() Giả sử hệ có nghiệm  c1 ; c2 ; c3 ; ... ; cn  . Khi đó :

r
ur
ur
ur
b  c1.a1  c2 .a2  ...  cn .an

Điều này có nghĩa là ta đã thêm vào hệ A vectơ b là tổ hợp tuyến tính
của hệ A được hệ A .
 rank(A) = rank( A ).
() Giả sử rank(A) = rank( A )  rank (A) = rank(B)
 dimU = dimW .
Vì U  W  U  W.

Do đó b  U. Vì thế tồn tại bộ n số :  c1 ; c2 ; c3 ; ... ; cn  sao cho

r
ur
ur
ur
b  c1.a1  c2 .a2  ...  cn .an
2.4. Hệ n phương trình n ẩn
2.4.1. Các dạng của hệ gồm n phương trình n ẩn số
Dạng tổng quát:
 a11 x1  a12 x2  ...
a x  a x  ...
 21 1

22 2

 ... ... ... ... ...
an1 x1  an 2 x2  ...

Dạng ma trận

a1n xn
a2 n x n

 b1
 b2

... ...
 ann xn

... ...
 bn




(2.4.1.2)

Ax = b

 a11
a
Trong đó : A =  21
 ...


 an1

a12
a22
...
an 2

(2.4.1.1)

... a1n 
 x1 
 b1 
x 
b 
... a2 n 
2

; x 
; b   2


... ... 

 
 
... ann 
 xn 
 bn 


Dạng vectơ

a j là vec tơ cột thứ j của ma trận A , xem x , b là các vec tơ cột, tức là:
aj 

a

1j

; a2 j ; ... ; anj 

x   x1; x2 ; ... ; xn 

Nguyễn Thị Huệ

17

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

b   b1; b2 ; ... ; bn 
Khi đó (2.4.1.1) viết dưới dạng một phương trình vectơ :
a1 x1  a2 x2  ...  an xn  b

(2.4.1.3)


2.4.2. Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm
Gọi det( Aj ) là định thức suy ra từ định thức det( A ) bằng cách thay cột
thứ j bởi vế phải.
Nếu det( A ) = 0 ta nói ma trận A suy biến và hệ (2.2.1) suy biến. Khi
đó hệ phương trình vô nghiệm hoặc vô số nghiệm.
Định nghĩa : Hệ (2.4.1.1) gọi là hệ Cramer nếu det( A ) ≠ 0 ( ma trận A
không suy biến ). Khi đó sẽ tồn tại ma trận nghịch đảo A 1 .
Định lý :(Cramer) Hệ Cramer có nghiệm duy nhất cho bởi công thức:

det Aj

 xj 
det A

 j  1, ... , n
Chứng minh
Vì det A  0 nên A là ma trận khả nghịch. Ta có:

Ax  b  A1 A x  A1b  x  A1b

Ta có: A1

 A11

1  A12

det A  ...

 A1n


A21 ...

An1 
... An 2 
... ... 

... Ann 

A22
...
A2 n

Trong đó Aij là phần bù đại số của aij trong det A . Từ đó:

1

xj 
x  A b  
det A

1

A b

1j 1

 A2 j b2  ...  Anj bn 

j  1,..., n


det Aj

 xj 
 
det A
 j  1, ... , n

Nguyễn Thị Huệ

18

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

2.4.3. Biện luận về số nghiệm
Cho hệ phương trình (2.4.1.1) với ma trận hệ số A và ma trận mở
rộng A
 Nếu rank( A ) ≠ rank( A ) thì hệ vô nghiệm.
 Nếu rank( A ) = rank( A ) = r thì có 2 trường hợp r = n và r < n:
1.Trường hợp r = n thì hệ có nghiệm duy nhất.
2.Trường hợp r < n thì hệ có vô số nghiệm.
2.5. Phân tích sai số
2.5.1. Số điều kiện của ma trận
n

Giả sử x là một chuẩn nào đó của vectơ x  R n ; A   aij i , j 1

Ax
x

Ta đặt: M  sup
x 0

và m  inf
x0

Ax
x

Khi đó M = A
Nếu m > 0 thì A không suy biến. Do đó ma trận A có ma trận nghịch
A1

đảo A 1 và m 

1

.

Định nghĩa
Đại lượng

M

N

A . A 1


được gọi là số điều kiện của ma trận A

và đại lượng đó kí hiệu là cond ( A) .
Ma trận A được gọi là ma trận điều kiện xấu nếu cond ( A) là khá lớn;
cond ( A)

1.

Tính chất của số điều kiện:
1. cond ( A)  1
2. Nếu A là ma trận trực giao tức là AT A  AAT  E thì

cond ( A) = A . A1



A

2

 1

3.  c  0 cond (cA)  cond ( A)

Nguyễn Thị Huệ

19

Lớp K34A



Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

max di
min di

n

4. Nếu D = diag  di i 1 thì cond (D) =
2.5.2. Phân tích sai số

Giả sử x là nghiệm của hệ phương trình Ax = b

(2.4.1.2)

x  x là nghiệm của phương trình A( x  x)  b  x
Khi đó

b

 Ax
b

M x
A(x)




 m x

Từ đây suy ra :
x
M b

x
N b

 cond ( A)

b
b

Ước lượng trên chứng tỏ rằng sai số tương đối của nghiệm có thể bằng
tích của cond ( A) với sai số của vế phải. Từ đó suy ra rằng với ma trận A điều
kiện xấu thì nghiệm của nó thay đổi nhiều so với những thay đổi nhỏ ở hệ số
và số hạng tự do. Như vậy, vấn đề giải hệ phương trình tuyến tính bằng số với
ma trận điều kiện xấu và vế phải cho gần đúng là một bài toán khó của toán
học tính toán.
2.6. Chuẩn của ma trận và chuẩn của vectơ
Với x  Rn ; x 

 x ; x ; ... ; x  và
1

2

n


n

A   aij i , j 1

 Chuẩn của ma trận A là một số thực. Kí hiệu A , thỏa mãn:


A

 0 ( với A = 0  A = 0)



 A   A với  là số thực.



AB



A.B





A


 B

A . B

Thực tế thường dùng 3 chuẩn sau :

Nguyễn Thị Huệ

20

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán
n

-

A

1

 max
j 1, n

a

ij


(chuẩn cột)

i 1
n

-

A

A



2

 max
i 1, n



a

ij

(chuẩn dòng)

j 1

max i  AT A 

1i  n

(chuẩn Ơclit)

Trong đó i  AT A là các giá trị của ma trận đối xứng và xác định
không âm AT A .
 Chuẩn của vectơ
Vectơ là ma trận chỉ có một cột nên chuẩn của vectơ là:
n

-

x

-

x

-

x

1

2



 x1  x2  ....  xn 


x

i

i 1

n
   xi2 
 i1 

1

2

 m ax xi
1 i  n

Chương 3: Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính

Nhiều vấn đề của khoa học kĩ thuật, kinh tế môi trường quy về việc giải
hệ phương trình tuyến tính (2.4.1.2) Ax = b. Về phương diện lí thuyết hệ có
thể giải được trọn vẹn nhờ lí thuyết ma trận và định thức. Tuy nhiên trong
trường hợp ma trận A không suy biến, nếu giải hệ bằng phương pháp Cramer
thì số phép tính rất lớn. Nhằm khắc phục hạn chế đó, trong chương này chúng
ta xét một số phương pháp thực tế giải hệ phương trình (2.4.1.2) với đặc điểm
chung là khối lượng tính toán được giảm nhẹ.
3.1. Phương pháp trực tiếp giải hệ phương trình tuyến tính
3.1.1. Phương pháp Gauss
3.1.1.1. Nội dung phương pháp: Gồm hai quá trình



Quá trình thuận

Biến đổi A về dạng ma trận tam giác trên
Nguyễn Thị Huệ

21

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

1
0
( n)
A   ...

0

a12(1) a13( 2) ... a1(1)n 

1
a23( 2) ... a2( 2)n 
;
... ...
... ... 


0
0
... 1 

b( n )

 b1(1) 
 ( 2) 
b
 2 
  
 (n) 
 bn 

Trong đó aij( k ) ; bi( k ) là phần tử ở hàng i ; cột j của A và phần tử thứ i
của ma trận b ở bước biến đổi thứ k .
Hệ phương trình tương đương với:

 x1






 a12(1) x2
x2

a1(1)n xn




a2(2)n xn
... ... ... ...
xn



 ... 
 ... 

b1(1)

b2(2)
... ...
 bn( n )

 Quá trình nghịch
Lần lượt tính nghiệm xn ; xn 1 ; xn 2 ; ... ; x1
Các bước thực hiện


Quá trình thuận

Bước 1: Giả sử a11  0 chia dòng 1 cho a11 ( a11 là phần tử trụ).
Hệ đã cho tương đương với
1

 a21
 ...


 an1

Với a1(1)j 

a12(1) ... a1(1)n   x1 
 b1(1) 
 
 
a22 ... a2 n   x2 
b
.
  2 
 ... 
... ... ...   ... 
 
 
an 2 ... ann   xn 
 bn 

a1 j (1)
b
; b1  1
a11
a11

Khử x1 trong phương trình thứ i; ( i  2, n ) bằng cách:
Thay dòng i bởi dòng i trừ dòng một nhân ai1 .
Nghĩa là aij(1)  aij  a1(1)j .ai1 với j  1, n
(1)


Và bi

 bi  b1(1) .ai1

Nguyễn Thị Huệ

22

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Hệ đã cho tương đương với:

a12(1) a13(1)
a22(1) a23(1)
a32(1) a33(1)
... ...

1
0

0

 ...
0



an(1)2

an(1)3

... a1(1)n   x1 
 b1(1) 
 (1) 
... a2(1)n   x2 
 b2 
 
(1)
... a3n  . x3    b3(1) 
 
 
... ...   ... 
 ... 
 b (1) 
... ann(1)   xn 
 n 

(1)

(1)

Bước 2: Giả sử a22  0 chia dòng 2 cho a22 . Hệ tương đương với :

1
0


0

 ...
0

(2)
2j

Với a



a12(1)
1
a32(1)
...

a13(1)
a23( 2)
a33(1)
...

an(1)2

an(1)3

a2(1)j

; b2( 2) 

(1)

a22

... a1(1)n   x1 
... a2( 2)n   x2 
 
... a3(1)n  . x3  
 
... ...   ... 
... ann(1)   xn 

 b1(1) 
 ( 2) 
 b2 
 b3(1) 


 ... 
 b(1) 
 n 

b2(1)
( j  1, n )
a22(1)

Tiếp tục thực hiện như trên cho đến khi đưa được ma trận hệ số về một
ma trận tam giác trên. Hệ đã cho tương đương với:

1

0

0

 ...
0


a12(1) a13(1)
1
a23( 2)
0
1
... ...
0

0

 b1(1) 
a1(1)n   x1 
 ( 2) 
 
a2( 2)n   x2 
 b2 
(3)
a3n  . x3    b3(3) 


 
...

...   ... 


(n) 




... 1   xn 
 bn 
...
...
...
...

 Quá trình nghịch: Tìm từ hệ tam giác xn ; xn 1 ; xn 2 ; ... ; x1 theo cách

xn  bn(n)
xn1  bn(n11)  a(nn11) n xn
………………………
n

xi  bi(i ) 

(i )
ik

a

xk


k i 1

………………………

Nguyễn Thị Huệ

23

Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

n

x1  b1(1) 

(1)
1k

a

xk

k 2

Trong trường hợp không sử dụng máy tính để giải, để hạn chế sai sót ta

có thể lập bảng (sơ đồ Gauss) để ghi lại quá trình tính toán.
Để đơn giản ta xét hệ 3 phương trình 3 ẩn số:

 a11 x1  a12 x2  a13 x3  b1

a21 x1  a22 x2  a23 x3  b2
a x  a x  a x  b
32 2
33 3
3
 31 1
Lập bảng tính

I

II

i

ai1

ai 2

ai 3

bi

1

a11


a12

a13

b1

a1

2

a21

a 22

a 23

b2

a2

3

a31

a32

a33

b3


a3

1

a12(`1)

a13(1)

b2(1)

a1(1)

2

0

a22(1)

a23(1)

b2(1)

a2(1)

3

0

a32(1)


a33(1)

b3(1)

a3(1)

0

1

a23(2)

b2(2)

a2(2)

0

0

a33(2)

b3( 2)

a3(2)

0

0


1

b3(3)

a3(3)

1

x3

3
III

IV

1
1



x2
x1

3.1.1.2. Nhận xét
 Khối lượng phép tính của phương pháp Gauss

Nguyễn Thị Huệ

24


Lớp K34A


Khóa luận tốt nghiệp
- Phép nhân :

Khoa Toán

n(n  1)
n(n  1)(2n  5)
; phép chia :
6
2

- Phép cộng, phép trừ :

n(n  1)(2n  5)
6

4n3  9n2  7n
- Tổng số phép tính: Sn =
6
 Với phương pháp Gauss được trình bày ở trên
- Phương pháp Gauss là phương pháp giải đúng, nhưng thực tế vẫn
xảy ra sai số quy tròn. Hơn nữa các tính toán trên máy tính chỉ là gần đúng.
Sai số sẽ lớn khi phần tử trụ có trị tuyệt đối nhỏ.
- Không thực hiện được nếu ở bước k phần tử akk  0 .
 Cải tiến phương pháp Gauss ở trên bằng cách: Ở bước k ta chọn
phần tử làm trụ có trị tuyệt đối lớn nhất để giảm sai số tính toán.

Ta tìm dòng r : ark  max  aik ; i  k , n
Hoán vị dòng r với dòng k , sau đó mới thực hiện chia dòng k cho a kk .
Khử x k trong các phương trình còn lại ( k  1 , k  2 , …)
3.1.1.3. Ví dụ
Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss
2 x1

a)  x1
3x
 1

 3x2
 2 x2

2 x1
3 x

b)  1
12 x1
7 x1

 5 x2
 7 x2
 x2
 2 x2




x3

x3

 11
 0

 2 x3

 9

 4 x3
 2 x3
 7 x3
 x3

 x4
 6 x4
 2 x4
 5 x4






9
5
4
4

Giải

a) Hệ phương trình tương đương với

Nguyễn Thị Huệ

25

Lớp K34A