Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán
LờI CảM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích - khoa Toán- trường ĐHSP Hà Nội
2 đã động viên giúp đỡ em trong suốt quá trình làm khóa luận.
Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn TS. Nguyễn Văn
Hùng đã tạo điều kiện tốt nhất và chỉ bảo tận tình để em có thể hoàn thành
khóa luận tốt nghiệp này.
Do thời gian và kiến thức có hạn nên những vấn đề trình bày trong khóa
luận không tránh khỏi những thiếu xót. Vì vậy, em rất mong nhận được các ý
kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Vũ Thị Hiền

Hàm nhiều biến

1


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán
Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình
của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân.

Trong quá trình nghiên cứu, em đã đã kế thừa những thành quả nghiên cứu
của các nhà khoa học, các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận là kết quả nghiên cứu
của bản thân, không trùng kết quả của tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm!
Hà Nội, tháng 05 năm 2012
Sinh viên

Vũ Thị Hiền

Hàm nhiều biến

2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán
Mục lục

Lời cảm ơn...................................................................................................... 1
Lời cam đoan.................................................................................................. 2
Lời mở đầu ..................................................................................................... 4
Chương 1: Các khái niệm cơ bản ................................................................... 5
1.1. ..................................................................................................... H
àm số 2 biến số...................................................................................... 5
1.2. ..................................................................................................... H
àm số n biến số...................................................................................... 10
1.3. ..................................................................................................... P
hép hợp hàm .......................................................................................... 13

1.4. ..................................................................................................... M
ột số hàm số trong phân tích kinh tế ..................................................... 14
Chương 2: Giới hạn và tính liên tục ................................................................ 23
2.1. Giới hạn của hàm số 2 biến số .............................................................. 23
2.2. Giới hạn của hàm số n biến số .............................................................. 25
2.3. Hàm số liên tục...................................................................................... 27
Chương 3: Đạo hàm riêng và vi phân .............................................................. 32
3.1. Đạo hàm riêng ....................................................................................... 32
3.2. Vi phân toàn phần.................................................................................. 33
3.3. Đạo hàm của hàm số hợp ...................................................................... 35
3.4. Đạo hàm và vi phân cấp cao.................................................................. 37
3.5. Hàm số thuần nhất................................................................................. 40
3.6. Công thức Taylor................................................................................... 41
3.7. ứng dụng trong kinh tế ......................................................................... 42
Chương 4: Cực trị của hàm nhiều biến ........................................................... 52
4.1.

Cực trị không có điều kiện ràng buộc ................................................. 52

4.2.

Cực trị có điều kiện ràng buộc ............................................................ 57

Hàm nhiều biến

3


Khóa luận tốt nghiệp đại học


Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

4.3.

Các bài toán về sự lựa chọn của người tiêu dùng ................................. 68

4.4.

Các bài toán về sự lựa chọn của nhà sản xuất ...................................... 73

Kết luận .......................................................................................................... 96
Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 97

Lời mở đầu

Toán học nói chung và toán giải tích nói riêng có những ứng dụng đa
dạng trong nhiều nghành khoa học khác nhau, đặc biệt là trong khoa học kinh
tế. Các nghiên cứu và phân tích kinh tế về mặt định lượng thường được tiến
hành thông qua các mô hình kinh tế toán (dùng toán học để mô tả, phân tích
mối quan hệ, các quá trình hay đối tượng kinh tế). Vì vậy, các nhà nghiên cứu
kinh tế ngày càng có nhu cầu sử dụng nhiều hơn các công cụ toán học, đặc
biệt là công cụ toán giải tích (như hàm số, đạo hàm, vi phân) và các phương
pháp tối ưu hóa.
Đề tài khóa luận đề cập tới những kiến thức toán giải tích về hàm số
nhiều biến số, các bài toán ứng dụng trong kinh tế. Việc tìm hiểu kiến thức
này hoàn toàn cần thiết và hữu ích, giúp hiểu sâu hơn kiến thức về hàm số
nhiều biến số và các ứng dụng giảng dạy toán cho các đối tượng kinh tế.
Mục tiêu của khóa luận là tìm hiểu và trình bày khái quát những kiến
thức cơ bản của hàm số nhiều biến số cần dùng trong các nghiên cứu kinh tế.
Các nội dung được đề cập tới trong khóa luận được trình bày không quá hình

thức mà gần gũi với tư duy kinh tế với nhiều ví dụ và bài tập minh họa cụ thể,
nhưng vẫn giữ tính chính xác, chặt chẽ về mặt toán học.
Nội dung khóa luận được chia làm 4 chương:
Chương 1: Các khái niệm cơ bản
Chương 2: Giới hạn và tính liên tục
Chương 3: Đạo hàm riêng và vi phân

Hàm nhiều biến

4


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

Chương 4: Cực trị của hàm số nhiều biến số

ChƯơng 1
các kháI niệm cơ bản

1.1. Hàm hai biến số
1.1.1 Khái niệm hàm số hai biến
Khái niệm hàm số một biến phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến
số vào một biến khác: mỗi giá trị của biến độc lập được đặt tương ứng với một
giá trị xác định của biến phụ thuộc.Trong thực tế, nhiều khi một biến số không
chỉ phụ thuộc vào một mà còn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác.
Chẳng hạn, sản lượng, tức là số lượng sản phẩm đầu ra của một nhà sản xuất,
phụ thuộc vào mức sử dụng các yếu tố đầu vào (gọi là các yếu tố sản xuất)
như lao động, vốn v.v

Khái niệm hàm số n biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến
số vào n biến số khác. Để cho đơn giản, trước hết ta đề cập đến trường hợp
Như ta đã biết, việc thiết lập hệ tọa độ trên
Cho một cặp biến có thự tự x, y .

mặt phẳng cho phép ta đồng nhất mỗi cặp số thực có thứ tự x0 , y0 với một
điểm M 0 x0 , y0 của mặt phẳng.Mặt phẳng tọa độ được gọi là không gian
hai chiều và kí hiệu là R2. Theo quan điểm này, một cặp biến số x, y được
xem như một biến điểm M x, y với miền biến thiên là một tập hợp D của
không gian R2 và khái niệm hàm hai biến có thể định nghĩa bằng ngôn ngữ
hình thức của toán học như sau:

Hàm nhiều biến

5


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

Định nghĩa: Một hàm số f của biến điểm M x, y , với miền biến thiên

D

2

, là một quy tắc (quy luật) đặt tương ứng mỗi điểm M x, y D với

một và chỉ một số thực w .

Miền D được gọi là miền xác định của hàm số f , còn số thực w tương
ứng với điểm M x, y được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm
M x, y và được kí là f M , hoặc f x, y . Một hàm số của biến điểm hai

chiều M x, y còn được gọi là hàm số của hai biến số x và y.
Trong các lĩnh vực khoa học người ta thờng thiết lập sự phụ thuộc của
một biến số w vào hai biến số x và y dưới dạng một hàm hai biến. Chẳng hạn,
trong hình học diện tích S của một tam giác phụ thuộc vào cạnh đáy a và
đường cao h theo quy luật hàm số: S

a.
h
. Để nói rằng biến số w là một
2

hàm số của hai biến x và y ta dùng kí hiệu w f x, y , trong đó f là một
quy tắc cho phép ta xác định được giá trị tương ứng của w khi biết giá trị của
x và y. Trong trường hợp này người ta còn nói rằng biến số w phụ thuộc hàm
số vào các biến số x và y. Các biến x, y được gọi là các biến số độc lập, hay
các đối số của hàm số. Trong toán học, các kí hiệu biến số chỉ mang ý nghĩa
hình thức. Khi nói đến các hàm số khác nhau người ta có thể vẫn dùng các kí
hiệu biến số như nhau, nhưng phân biệt ở kí hiệu biểu diễn quy luật hàm số:

w f x, y , w g x, y , w h x, y
Khi cho một hàm hai biến, các cách diễn đạt sau đây có nghĩa như nhau:


Hàm số f xác định trên miền D R 2




Hàm số f M , M D



Hàm số f x, y , x, y D



Hàm số w f x, y , x, y D.

Hàm nhiều biến

6


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

1.1.2. Miền xác định của hàm số dạng biểu thức
Miền xác định (MXĐ) của hàm hai biến w f x, y là miền biến thiên
của biến điểm M x, y . Nếu biểu diễn hình học thì đó là một tập hợp điểm
của mặt phẳng tọa độ. Về nguyên tắc, khi cho một hàm số ta phải cho trước
miền xác định D và chỉ rõ quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm M x, y D với
một số thực w nhất định.
Thông thường một hàm số hai biến x, y được cho dưới dạng một biểu
thức f x, y .
Mỗi biểu thức hai biến số x và y có MXĐ tự nhiên của nó. Miền
xác định tự nhiên của một biểu thức f x, y là tập hợp tất cả các cặp số thực


x0 , y0 mà biểu thức đó khi ta gán

x x0 và y y0 .
Hàm số cho dưới dạng

một biểu thức hai biến f x, y đặt tương ứng mỗi điểm M 0 x0 , y0 thuộc
MXĐ tự nhiên của biểu thức đó với giá trị tính toán của nó khi gán
x x0 , y y0 . Nói chung MXĐ của một hàm hai biến cho dưới dạng biểu thức

có thể là tập con D bất kỳ của MXĐ tự nhiên của biểu thức đó (tùy theo ý
nghĩa của các biến số). Tuy nhiên, trong toán học người ta thường xét biểu
thức hàm số trong toàn bộ MXĐ tự nhiên của nó.
Ví dụ:


MXĐ tự nhiên của hàm số w y x là tập hợp tất cả các điểm

M x, y thỏa mãn điều kiện y x . Nếu biểu diễn hình học thì đó là nửa mặt

phẳng phía trên đường thẳng y x , kể cả đường thẳng này.
Y

Y=x
Y

Hàm nhiều biến

X


7


Khóa luận tốt nghiệp đại học



Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

MXĐ tự nhiên của hàm số w ln 4 x 2 y 2 là tập hợp tất cả

các điểm M x, y thỏa mãn điều kiện x 2 y 2 4.
Đó là hình tròn có tâm ở
gốc tọa độ có bán kính r = 2 ( không kể các điểm của đường tròn).
Y

X

-2

2

O

1.1.3. Miền giá trị
Tương tự như trong trường hợp hàm một biến, ta dùng kí hiệu
f x0 , y0 hoặc f M 0 để chỉ giá trị tương ứng của hàm hai biến
w f x, y tại điểm M 0 x0 , y0 thuộc MXĐ của nó.

Ví dụ: Với f ( x, y ) x 2 y 2


,

x, y R 2 , ta có:

f 0,0 0, f 2, 1 5, f (3,4) 5.
.
.
.

Định nghĩa: Miền giá trị (MGT) của hàm số f x, y là tập hợp tất cả
các giá trị của hàm số khi điểm M x, y thay đổi trong miền xác định.

Hàm nhiều biến

8


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

Ví dụ: Miền giá trị của hàm số f ( x, y ) x 2 y 2 , x, y R 2 là khoảng

0; .

1.1.4. Đồ thị của hàm hai biến
Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số w f x, y , trong không gian ba
chiều ta dùng hệ tọa độ vuông góc với trục hoành Ox biểu diễn biến số x, trục
tung Oy biểu diễn biến số y và trục cao Ow biểu diễn biến phụ thuộc w .

Miền xác địnhDcủa hàm số w f x, y là một tập hợp điểm trên mặt phẳng
(Oxy). Theo quy tắc f, mỗi điểm M x, y cho tương ứng một số w là giá trị
của hàm số tại điểm M x, y theo đó ta có tương ứng một điểm
P x, y , w trong không gian với cao độbằng w .

Định nghĩa: Đồ thị của hàm số w f x, y là tập hợp tất cả các điểm
P x, y , w trong không gian, trong đó M x, y là điểm bất kỳ thuộc miền

xác định D và w giá trị của hàm số tại điểm đó.
Thông thường, đồ thị của một hàm hai biến là một mặt trong không gian 3
chiều.
Ví dụ: Đồ thị hàm số w 4 x 2 y 2 là nửa mặt cầu có tâm ở gốc tọa độ và
bán kính R = 2.
1.1.5. Đường mức
Cho w f x, y là một hàm số xác định trong miền D và w0 là một giá
trị cố định của hàm số đó.
Định nghĩa: Đường mức của hàm số w f x, y là tập hợp tất cả các
điểm M x, y thỏa mãn điều kiện:

Hàm nhiều biến

9


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán
f x, y w0 .

Nói cách khác, đường mức của hàm hai biến w f x, y là tập hợp tất cả

các điểm của mặt phẳng (Oxy) mà khi điểm M x, y biến thiên trên tập hợp
đó, hàm số nhận một giá trị w0 cố định.
Thông thường, đường mức của một hàm hai biến là một đường trên mặt phẳng.
Mỗi giá trị w0 cố định cho tương ứng một đường mức.
Ví dụ: Các đường mức của hàm số w 2 x 3 y là các đường thẳng
2 x 3 y w0 , với w0 là hằng số.
y

x
O

1.2. HM S n BIN S
1.2.1. Không gian điểm n chiều
Theo phương pháp tọa độ, mỗi điểm trên mặt phẳng được đồng nhất với
một bộ hai số thực có thự tự ( x, y ) và mỗi điểm trong không gian ba chiều
được đồng nhất với một bộ ba số thực có thự tự x, y, z .
Trên mặt phẳng (trong không gian hai chiều) khoảng cách giữa hai điểm

M x, y và M x, y được xác định theo công thức:
d ( M , M ') ( x ' x) 2 ( y ' y ) 2

Hàm nhiều biến

10


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán


Tương tự, trong không gian ba chiều khoảng cách giữa hai điểm M x, y, z và
M x, y, z được xác định theo công thức:

d M , M

2

2

x x y y z z

2

Tổng quát hóa các khái niệm nói trên ta định nghĩa điểm n chiều và không
gian n chiều như sau:
Định nghĩa 1: Mỗi bộ n số thực có thứ tự ( x1 , x2 ,, xn ) được gọi là một
điểm n chiều.
Để gán tên cho một điểm n chiều ( x1 , x2 ,, xn ) dùng một chữ cái in hoa. Nếu
gọi tên điểm đó là X thì ta viết:
X ( x1 , x2 ,, xn ), hoặc X ( x1 , x2 ,, xn ).

Định nghĩa 2: Không gian điểm n chiều (gọi tắt là không gian n chiều) là
tập hợp tất cả các điểm n chiều, trong đó khoảng cách giữa hai
điểm X ( x1 , x2 ,, xn ) và X ( x1 , x2 ,, xn ) được xác định theo công thức:
d X , X ( x1 x1 )2 ( x2 x2 )2 .
.
.
.(
xn xn )2


(1.1)

Không gian n chiều được kí hiệu là Rn.
Ta có thể chứng minh được rằng khoảng cách trong không gian Rn, xác định
theo công thức (1.1), thỏa mãn các tính chất quen biết của khoảng cách hình
học trên mặt phẳng và trong không gian ba chiều:
1.

d X , X 0

2.

d X , X 0 khi và chỉ khi X X , tức là khi xi xi với

mọi i 1,2,, n;
3.

d X , X d X , X ;

4.

d X , X d X , X d X , X .

Ba tính chất đầu là hiển nhiên. Để chứng minh tính chất thứ tư ta xét ba điểm
n chiều bất kỳ:

Hàm nhiều biến

11



Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

X ( x1 , x2 ,, xn ),X ( x1 , x2 ,, xn ),X ( x1 , x2 ,, xn ).

Đặt
xk xk ak , xk xk bk ,

ta có:
xk xk ak bk ( k 1,2,, n).

Tính chất 4 được viết dưới dạng:

a12 a22 .
.
.
an2 b12 b22 .
.
.
bn2 (a1 b1 )2 (a2 b2 )2 .
.
.
(an bn )2
Bình phương hai vế và quy gọn ta được bất đẳng thức tương đương:
(a12 a 22 .
.
.
a 2n )(b12 b 22 .

.
.
b 2n ) a1b1 a 2 b 2 .
.
.
.
a n bn

Bất đẳng thức này đã được nói đến trong chương trình toán sơ cấp dưới tên gọi
là bất đẳng thức Bunhiacopxki.
1.2.2. Khái niệm hàm số n biến số
Ta có thể xem mỗi bộ n biến số có thứ tự ( x1 , x2 ,, xn ) như một biến
điểm X ( x1 , x2 ,, xn ) của không gian n chiều. Khái niệm hàm số n biến số
được định nghĩa tương tự như hàm số hai biến số.
Định nghĩa:
Một hàm số f của biến điểm n chiều X ( x1 , x2 ,, xn ) với miền biến thiên

D R n , là một quy tắc (quy luật) đặt tương ứng mỗi điểm
X ( x1 , x2 ,, xn ) D với một và chỉ một số thực w . Miền D được gọi là miền

xác định của hàm số f và số w được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm
X ( x1 , x2 ,, xn ) và được kí hiệu là f ( x1 , x2 ,, xn ), hoặc f X .

Hàm số f của biến điểm n chiều

X ( x1 , x2 ,, xn ) còn được gọi là hàm

số của n biến số x1 , x2 ,, xn . Khi dùng quan hệ hàm số f để biểu diễn sự phụ

Hàm nhiều biến


12


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

thuộc của một biến số w vào n biến số x1 , x2 ,, xn (gọi tắt là các biến độc lập
hay các đối số ) ta dùng kí hiệu:
w f ( x1 , x2 ,, xn )

Các cách gọi tên hàm số sau đây được sử dụng với nghĩa như nhau:


Hàm số f xác định trên miền D R n ;



Hàm số f X , X D .



Hàm số f ( x1 , x2 ,, xn ),( x1 , x2 ,, xn ) D;



Hàm w f ( x1 , x2 ,, xn ),( x1 , x2 ,, xn ) D.

Thông thường một hàm n biến được cho dưới dạng một biểu thức n biến

Các khái niệm MXĐ, MGT của hàm số n biến số được hiểu
f ( x1 , x2 ,, xn ).
theo nghĩa tương tự như đã định nghĩa cho hàm số hai biến số. Tập hợp tất cả
các điểm n chiều X ( x1 , x2 ,, xn ) mà tại đó hàm số f ( x1 , x2 ,, xn ) nhận
cùng một giá trị w0 cố định được gọi là tập mức của hàm số đó. Phương trình
của tập mức tương ứng với mỗi giá trị w0 cho trước có dạng:
f ( x1 , x2 ,, xn ) w0 .

1.3. PHẫP HP HM
Giả sử hàm số w f (u1 , u2 ,, um ) có các đối số u1 , u2 ,, um là các hàm số
của các biến x1 , x2 ,, xn :

U k k X k ( x1 , x2 ,, xn ), X D (k 1,2,, m).
1

Giả sử tập hợp tất cả các bộ giá trị (u1 , u2 ,, um ) của các hàm số

1 ,2, ,k là tập con của MXĐ của hàm số f . Khi đó biến w là hàm số của
các biến x1 , x2 ,, xn theo quy luật tương ứng bắc cầu:
k

f

( x1, x2 ,, xn ) (u1, u2 ,, um )
w
Hàm số w f [1 ( x1 , x2 ,, xn ), , m ( x1 , x2 ,, xn )]

Hàm nhiều biến

13



Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

g ( x1 , x2 ,, xn ),

đặt tương ứng mỗi điểm X ( x1 , x2 ,, xn ) D với một số thực w theo quy luật
tương ứng nói trên được gọi là hàm hợp của các hàm số
w f (u1 , u2 ,, um ) và uk k ( x1 , x2 ,, xn ).
Hàm hợp còn được gọi là hàm kép.

Ví dụ:
Hàm số w e xy 1 x 2 y 2 là hợp của các hàm số
w u v, u e xy , v 1 x 2 y 2 .

Tiếp theo, hàm số u e xy là hợp của các hàm số u et và t xy; hàm số


v 1 x 2 y 2 là hợp của các hàm số w z , z 1 x 2 y.
1.4. Một số hàm số trong phân tích kinh tế
1.4.1. Hàm số sản xuất
Hàm số sản xuất là hàm số biểu diễn sự phụ thuộc của sản lượng tiềm
năng của một doanh nghiệp vào lượng sử dụng các yếu tố sản xuất. Khi phân
tích hoạt động sản xuất, các nhà kinh tế thường lưu tâm đến hai yếu tố sản
xuất quan trọng nhất là tư bản (capital) và lao động (labor). Gọi K là lượng tư
bản (vốn) và L là lượng lao động được sử dụng. Với trình độ công nghệ của
mình, khi sử dụng K đơn vị tư bản và L là đơn vị lao động, doanh nghiệp có
khả năng sản xuất một lượng sản phẩm tối đa kí hiệu là Q ( gọi là sản lượng

tiềm năng). Hàm sản xuất có dạng: Q f K , L .

(1.2)

Hàm số (1. 2) cho biết số lượng sản phẩm mà doanh nghiệp có khả năng
sản xuất được ở mỗi mức sử dụng kết hợp vốn và lao động. Khi phân tích sản
xuất người ta thường giả thiết rằng các doanh nghiệp khai thác hết khả năng
công nghệ, tức là Q luôn luôn là sản lượng tiềm năng, do đó hàm sản xuất f
là do công nghệ xác định.

Hàm nhiều biến

14


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

Dạng hàm sản xuất mà các nhà kinh tế học hay sử dụng là hàm CobbDouglas: Q aK L ,trong đó , , a là các hằng số dương.
Đường mức của hàm sản xuất có phương trình:

f K , L Q0 Q0 const 0 .
Trong kinh tế học thuật ngữ đường mức của hàm sản xuất có tên gọi là
đường động lượng, hay đường đẳng lượng (isoquant). Đường động lượng là tập
hợp các tổ hợp yếu tố sản xuất K , L cho cùng một mức sản lượng Q0 cố định.
1.4.2. Hàm chi phí và hàm lợi nhuận
Như ta đã biết, tổng chi phí sản xuất TC (total cost) tính theo sản lượng
gọi hàm chi phí, có dạng: TC TC Q .
Nếu theo các yếu tố sản xuất thì hàm số chi phí là hàm số của các yếu tố

sản xuất : TC wk K wl L C0 , trong đó wk là giá thuê một đơn vị tư bản
(chẳng hạn như một giờ sử dụng xưởng máy); wl là giá thuê một đơn vị lao
động (chẳng hạn như một giờ làm việc của một công nhân); C0 là chi phí cố định.
Nếu doanh nghiệp cạnh tranh có hàng sản xuất Q f K , L và giá thị
trường của sản phẩm là p thì tổng doanh thu của doanh nghiệp là hàm số của

K và L :
TR pQ pf K , L .
Tổng lợi nhuận của một doanh nghiệp canh tranh là hàm số:

pf K , L wk K wl L C0 .
1.4.3. Hàm chi phí kết hợp
Trên thực tế có nhiều doanh nghiệp sản xuất kết hợp nhiều loại sản
phẩm.Giả sử doanh nghiệp sản xuất n sản xuất. Với trình độ công nghệ nhất
định, để sản xuất Q1 đơn vị sản phẩm 1, Q2 đơn vị sản phẩm 2,, Qn đơn vị
sản phẩm n , doanh nghiệp phải bỏ ra một khoản chi phí TC . Như vậy TC là
hàm số của n biến số:

Hàm nhiều biến

15


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

TC TC (Q1 , Q2 ,, Qn ).
1.
3


Hàm số (1.3) được gọi là hàm chi phí kết hợp.

1.4.4. Hàm lợi ích (Utility function)
Sở thích của người tiêu dùng là một trong các yếu tố quan trọng chi phối
quyết định mua sắm, tức là ảnh hưởng tới phía cầu của hoạt động kinh tế. Các
nhà kinh tế học dùng biến số lợi ích U (Utility) để biểu diễn mức độ ưa thích
của người tiêu dùng đối với mỗi tổ hợp hàng hóa trong cơ cấu tiêu dùng. Ta
gọi mỗi tổ hợp hàng hóa là một túi hàng. Giả sử cơ cấu tiêu dùng gồm có
n mặt hàng. Mỗi túi hàng là một bộ n số thực X ( x1 , x2 ,, xn ), trong đó xi

là lượng hàng hóa Ti (i 1, 2,, n).
Hàm lợi ích là hàm số đặt tương ứng mỗi
túi hàng X ( x1 , x2 ,, xn ) với một giá trị lợi ích U nhất định theo quy tắc:
túi hàng nào được ưa chuộng hơn thì được gán giá trị lợi ích lớn hơn. Hàm lợi
ích có dạng tổng quát như sau:
U U ( x1 , x2 ,, xn )

Một trong những dạng hàm lợi ích hay được sử dụng là hàm CobbDouglas: U ax1 x2 .
.
.
xn ( a,1 , 2 ,, n là các hàm số dương).
1

2

n

Tập mức của hàm lợi ích có phương trình:
U ( x1 , x2 ,, xn ) U 0 U 0 const


Trong kinh tế học tập mức của hàm lợi ích được gọi là tập bàng quan
(Indifferent set). Tập bàng quan là tập hợp tất cả các túi hàng đem lại cùng
một mức lợi ích cho người tiêu dùng (tập hợp các túi hàng được ưa chuộng
như nhau). Trường hợp n 2 tập bàng quan được gọi là đường bàng quan
(Indifferent curve). Phương trình của đường bàng quan là phương trình hai
biến số:

Hàm nhiều biến

16


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán
U x1 , x2 U 0

Chú ý rằng hàm lợi ích được sử dụng để biểu diễn sở thích của người tiêu
dùng: túi hàng nào được ưa thích hơn thì được gán giá trị lớn hơn. Giá trị lợi
ích U chỉ mang ý nghĩa ước lệ.
Nếu U U ( x1 , x2 ,, xn ) và V g[U ( x1 , x2 ,, xn )] cùng mô tả một sở thích.
1.4.5.

Hàm cung và hàm cầu trên thị trường
nhiều hàng hóa liên quan

Hàm cung (hàm cầu) biểu diễn lượng hàng hóa mà người bán bằng lòng
bán (người mua bằng lòng mua) ở mỗi mức giá trị. Lượng cung và lượng cầu
đối với một loại hàng hóa trên thị trường không những phụ thuộc vào giá của

hàng hóa đó mà còn bị chi phối bởi giá của các hàng hóa liên quan và thu
nhập của người tiêu dùng. Trên thị trường n hàng hóa liên quan hàm cung
hàng hóa i và hàm cầu đối với hàng hóa i có dạng (với giả thiết thu nhập
không thay đổi):
Qsi Si ( p1 , p2 , , pn ),
Qdi Di ( p1 , p2 , , pn ),

Trong đó Qsi là lượng cung hàng hóa i , Qdi là lượng cầu đối với hàng
hóa i , pi là giá hàng hóa i (i 1,2,, n).
Mô hình cân bằng của thị trường n
hàng hóa liên quan có dạng:
Qsi Qdi
Q S ( p , p ,.
.
.
, pn )
si
i
1
2

.
.
.
, pn )
Qdi Di ( p1 , p2 ,.
i 1,2,.
.
.
.

,n

Hệ phương trình xác định giá trị cân bằng là:

.
.
, pn ) Di ( p1 , p2 ,.
.
.
.
, pn )
Si ( p1 , p2 ,.

.
.
.
,n
i 1, 2,.
Bài tập chương 1

Hàm nhiều biến

17


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

Bài 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau:

a) z ln xy
b) z 4 x 2 y 2 x 2 y 2 1
c) z

1
y x2

Giải:
a)

Miền xác định của hàm số z = ln xy là miền
xy > 0

Vậy D ( x, y ) : x 0, y 0 ( x, y ) : x 0, y 0
Miền xác định của hàm số z là miền x2 +

b)
y2 4 và x2 + y2 1.

Vậy MXĐ của hàm số là vành tròn đóng giới hạn bởi các đường tròn
x2 + y2 = 4, x2 + y2 = 1
c)

Miền

xác

định

của


hàm

số

z

là

D ( x, y ) : y x 2
Bài 2: Cho hàm số f x, y x3 3 y 3 2 xy 2 .
Hãy tính các giá trị f 0,1 , f 1, 2 , f a, b , f a, 2a .
Giải:
Ta có f x, y x3 3 y 3 2 xy 2
Do đó f 0,1 0 3 0 3;
3

2

f 1, 2 1 3 2 2.
1.
2 15

f a, b a 3 3b3 2ab 2
3

2

f a, 2a a 3 3 2a 2a 2a 33a 3


Hàm nhiều biến

18


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Bài 3: Cho hàm số f x, y, z

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

x 2 y 3z
x y2 z2 1
2

Hãy tính các giá trị f 0,0,0 , f 1, 1,1 , f 3,2, 2 , f a,2a,3a
Giải:
Ta có f x, y, z

x 2 y 3z
x y2 z2 1
2

Do đó

f 0,0,0 0
1 2 3
2 1

1111 4 2

3 46
1
f 3,2, 2

9 4 4 1 18
a 4a 9a
14a
f a,2a,3a 2

2
2
a 4a 9a 1 14a 2 1
f 1, 1,1

Bài 4: Hãy viết phương trình đường mức đi qua điểm A 0,1 của hàm số
u

x2 y2
2x 6 y

Giải:
Đường mức của hàm số u thỏa mãn điều kiện: u x, y u0 u0 const
Do đường mức đi qua điểm A 0,1 nên ta có u0

1
6

x2 y 2 1

Vậy phương trình đường mức của hàm số đã cho là

2x 6 y 6

Bài 5: Hãy viết phương trình mặt mức đi qua điểm A 1,1,1 của hàm số:
ux yz

Giải:
Mặt mức của hàm số u thỏa mãn điều kiện u x, y, z u0 u0 const
Do mặt mức đi qua điểm A 1,1,1 nên ta có u0 1 1 1 3

Hàm nhiều biến

19


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

Vậy phương trình mặt mức của hàm số đã cho là x y z 3
Bài 6: Lập hàm hợp của các hàm số sau:
W u 2 v 2 , u sinx siny sinz, v cosx cosy cosz

Giải:
2

2

Ta có hàm hợp là w sin x sin y sin z cos x cos y cos z .
Bài 7: Một công ty cạnh tranh sản xuất một loại sản phẩm với hàm sản xuất
Q 5 3 K L , với Q, K , L được tính hàng ngày.


a)

Hãy viết phương trình đường động lượng
ứng với mức sản lượng

Q 200

b)

Hãy biểu diễn tổng doanh thu, tổng chi phí
và tổng lợi nhuận hàng

ngàycủa công ty theo K và L , cho biết giá sản phẩm trên thị trường là $4, giá
tư bản là $15, giá lao động là $8 và mỗi ngày công ty phải trả $50 chi phí khác.
Giải:
a)

Đường động lượng của hàm sản xuất có
phương trình
f K , L Q0

Mà Q 200 nên ta có:
5 3 K L 200
3 K L 40

Vậy phương trình đường động lượng của hàm sản xuất là
b)

3


K L 40

+) Tổng doanh thu hàng ngày của công ty
theo K và L :

Ta có p 4 , Q 5 3 K L
3
Do đó, có TR p.
Q 20.
K L

Hàm nhiều biến

20


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

+) Tổng chi phí hàng ngày của công ty theo K và L :
Ta có wK 15, wL 8, C0 50.
Do đó, TC wK K wL L C0 15 K 8 L 50.
+) Tổng lợi nhuận hàng ngày của công ty theo K và L :
Ta có TR TC 20 3 K L 15 K 8 L 50 .
1

5


Bài 8: Một nhà sản xuất độc quyền có hàm sản xuất Q 40 K 3 L6 và tiêu thụ
sản phẩm trên thị trường có hàm cầu D p 3503 p . Hãy lập hàm số biểu
diễn tổng doanh thu theo K và L .
Giải:
1

5

Ta có Q D p 40 K 3 L6 350 3 p
1 5
1
p (350 40 K 3 L6 ).
3

Vậy tổng doanh thu theo K và L là
1
3

5
6

40 13 56
TR (350 40 K L ). K L
3

Bài 9: Một công ty độc quyền sản xuất 2 loại sản phẩm với hàm chi phí kết
hợp ( Qi là lượng sản phẩm i ):

TC 3Q12 2Q1Q2 4Q22
a)


Lượng chi phí mà công ty phải bỏ ra để sản
xuất 4 đơn vị sản phẩm 1 và 2 đơn vị sản phẩm 2 là bao nhiêu?

b)

Cho biết hàm cầu đối với sảm phẩm 1 là
D1 p1 3205 p1 , hàm cầu đối với sản phẩm 2 là D2 p2 1502 p2 .

Hãy lập hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của công ty theo Q1 , Q2 .
Giải:
a)

Lượng chi phí mà công ty phải bỏ ra để sản
xuất 4 đơn vị sản phẩm 1

Hàm nhiều biến

21


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

và 2 đơn vị sản phẩm 2:
Ta có: Q1 4, Q1 2 . Do đó TC 3.
42 2.
4.
2 4.

22 48 .
Ta có Q1 D1 p1 Q1 320 5 p1

b)
p1

320 Q1
5

Ta có Q2 D2 p2 Q2 1502 p2

p2

150 Q2
2

320 Q1 150 Q2
Q1
Q2
Lại có TR pQ p1Q1 p2Q2
.
.
5
2




Hàm số biểu diễn tổng lợi nhuận của công ty theo Q1 , Q2 là
320 Q1 150 Q2

Q1
Q2 (3Q12 2Q1Q2 4Q22 )
.
.
5
2



16
9
64Q1 75Q2 2Q1Q2 Q12 Q22
5
2

TR TC

Hàm nhiều biến

22


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

Chương 2
giới hạn và tính liên tục

2.1. Giới hạn của hàm số 2 biến số

2.1.1.

Giới hạn của dãy điểm trên mặt phẳng

Ta đã biết, khoảng cách giữa hai điểm M x, y và M x, y của mặt
phẳng tọa độ được xác định theo công thức
d ( M , M ') ( x ' x) 2 ( y ' y ) 2 (2.1)

Giả sử theo một quy tắc nhất định mỗi số tự nhiên k được đặt tương ứng
với một điểm M k xk , yk nhất định trên mặt phẳng. Khi đó ta có dãy điểm:
M 1 x1, y1 , M 2 x2 , y2 ,, M k xk , yk ,

Định nghĩa: Nếu tồn tại một điểm cố định A a, b sao cho
lim d ( M k , A) 0

k

thì ta nói rằng dãy điểm M k hội tụ đến điểm A , hay điểm A là giới hạn của
dãy điểm M k khi k và kí hiệu như sau:
lim M k A hay M k A khi k .

k

Định lý: Dãy điểm M k xk , yk hội tụ đến điểm A a, b khi và chỉ khi

Hàm nhiều biến

23



Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

lim x
xk k

a và lim yk b
yk

Chứng minh:
Giả sử dãy khoảng cách d k d ( M k , A) có giới hạn 0. Cho số e 0 bất kỳ
ta tìm được số tự nhiên k0 đủ lớn sao cho:

x

dk

k

Từ đây suy ra xk a

2

2

a yk b , k k0
và yk b , k k0

Nếu một trong hai bất đẳng thức này không thỏa mãn thì d k

Do đó lim xk a và lim yk b
k

k

x a và klim
y b thì theo số e 0 bất kỳ ta tìm được
Ngược lại, nếu klim
k
k
các số tự nhiên k1 , k2 đủ lớn sao cho
xk a

,
,
k k1 và xk a
k k2 .
2

2

Gọi k0 là số lớn hơn trong hai số k1 , k 2 , ta có
d k ( xk a ) 2 ( yk b) 2 , k k0

Điều này chứng tỏ d k 0 khi k
Định lý này cho thấy sự hội tụ của dãy điểm trên mặt phẳng tương đương với
sự hội tụ theo tọa độ.

1 k
Ví dụ: Để tìm giới hạn của dãy điểm M k ,


k k 1
ta tính giới hạn của các dãy số xk , yk :
1
k
0, lim yk lim
1
k
k
k
k
k 1

lim xk lim

k

1 k
Theo định lý trên, ta có: M k ,
A(0,1) khi k
k k 1

2.1.2.

Giới hạn của hàm số

Hàm nhiều biến

24



Khóa luận tốt nghiệp đại học

Vũ Thị Hiền K34C SP Toán

Cho hàm số w f M , M x, y D . Giả sử A a, b là một điểm cố
định của mặt phẳng sao cho tồn tại các dãy điểm M

k

x k , y k

của miền D hội tụ đến điểm A (Điểm A có thể thuộc miền D hoặc không).
Với w = f(M) = f(x, y) là một hàm số cho trước, mỗi dãy điểm
M1(x1, y1),M1(x2, y2),,M1(xk, yk),.

(2.2)

cho tương ứng một dãy số với các số hạng là các giá trị tương ứng của hàm số
w = f(x, y):
w1 = f(M1), w2 = f(M2),, wk = f(Mk),

(2.3)

Định nghĩa: Nếu với mọi dãy điểm (2.2) lấy từ miền xác định D của
hàm số w = f(M) và hội tụ tới điểm A(a, b) mà dãy số (2.3)luôn luôn có giới
hạn L thì số L được gọi là giới hạn của hàm số w = f(M) khi M A
( khi x a, y b) và kí hiệu như sau:
lim f (M ) L
M A


hoặc

lim f ( x, y) L
xa
y b

Ví dụ: Chứng minh

lim(3x y 2 ) 1
x1
y 2

Giải:
Ta có:f(x, y) = 3x - y2 , a = 1, b = 2.
Lấy bất kỳ dãy điểm Mk(xk, yk) hội tụ đến điểm A(1, 2), ta có:
f xk , yk 3xk - yk 2 , lim xk 1, lim yk 2 ,
k

k

lim f ( xk , yk ) lim (3xk yk2 ) 1
k

k

Vậy theo định nghĩa, ta có lim(3x y 2 ) 1
x 1
y 2


2.2. GIớI HạN CủA HàM n BIếN
2.2.1. Sự hội tụ của dãy điểm trong không gian n chiều

Hàm nhiều biến

25